高中数学简单的线性规划(提高)知识梳理

简单的线性规划【考纲要求】1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。

2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。

3.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；4.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。

5.熟练应用不等式性质解决目标函数的最优解问题。

【知识网络】【考点梳理】考点一：用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax+By+C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）要点诠释：画二元一次不等式0(0)Ax By C ++>≥或0(0)Ax By C ++<≤表示的平面区域的基本步骤： ①画出直线:0l Ax By C ++=（有等号画实线，无等号画虚线）；②当0≠C 时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当0C =时，另取一特殊点判断； ③确定要画不等式所表示的平面区域。

简称：“直线定界，特殊点定域”方法。

考点二：二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法因为对在直线Ax+By+c=0同一侧的所有点(x ,y)，实数Ax+By+c 的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x 0, y 0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便）.把它的坐标代入Ax+By+c ，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.要点诠释：判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧的方法：因为对在直线Ax+By+C =0同一侧的所有点(x ,y)，数Ax+By+C 的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x 0, y 0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c ，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.考点三：线性规划的有关概念：①线性约束条件：在一个问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、简单的线性规划 二元一次不等式（组）表示的区域简单应用不等式（组）的应用背景y 的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x 、y 的一次式z=ax+by (a ，b ∈R)是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y ）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．要点诠释：在应用线性规划的方法时，一般具备下列条件：①一定要能够将目标表述为最大化（极大）或最小化（极小）的要求。

②一定要有达到目标的不同方法，即必须要有不同的选择的可能性存在；③所求的目标函数是有约束（限制）条件的；④必须将约束条件用代数语言表示成为线性等式或线性不等式（组），并将目标函数表示成为线性函数。

考点四：解线性规划问题总体步骤：设变量→找约束条件，找目标函数作图，找出可行域−−−→−运动变化求出最优解 要点诠释：线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用：①在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；②给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．【典型例题】类型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域 例1. 用平面区域表示不等式组3122y x x y ≤-+⎧⎨≤⎩. 【解析】不等式312y x ≤-+表示直线312y x =-+右下方的区域，2x y ≤表示直线2x y =右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。

举一反三：【变式1】画出不等式组3003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域并求其面积。

【解析】如图，面积为814；【变式2】由直线20x y +-=，220x y --=和10x +=围成的三角形区域（如图）用不等式组可表示为 。

【解析】122020x x y x y >-⎧⎪--<⎨⎪+-≤⎩【变式3】求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 表示平面区域的面积.【解析】不等式所表示的平面区域如图联立方程组得)25,25(),3,3(),8,3(--C B A 所以4121211112121=⨯⨯=⋅=h AB S ABC 例2. 画出下列不等式表示的平面区域(1) 0)1)((≤---y x y x ； (2) x y x 2≤≤【解析】 (1) 原不等式等价转化为010x y x y -≥⎧⎨--≤⎩或⎩⎨⎧≥-≤-10y x y x （无解），故点),(y x 在区域010x y x y -≥⎧⎨--≤⎩内，如图：(2) 原不等式等价为0020y x y x y >⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩或0020y x y x y ≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，如图举一反三：【变式1】用平面区域表示不等式（1）1y x ≥+； （2）x y ≥； （3）x y ≥【解析】（1）（2）（3）例3.求满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<--<-+>--155363232yxyxyx的整数解.【解析】设1l：230x y--=，2l：2360x y+-=，3l：35150x y--=，则由2360230x yx y+-=⎧⎨--=⎩，得)43,815(A，由23035150x yx y--=⎧⎨--=⎩，得)3,0(-B由236035150x yx y+-=⎧⎨--=⎩，得)1912,1975(-C于是看出区域内点的横坐标在)1975,0(内，取1,2,3x=，当1x=时，代入原不等式组有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-><-<512341yyy，即1512-<<-y，得y＝－2，∴区域内有整点(1,2)-。

同理可求得另外三个整点(2,0)、(2,1)-、(3,1)-.举一反三：【变式1】求不等式组3220,440,260x yx yx y-->⎧⎪++>⎨⎪+-<⎩的整数解。

【解析】如图所示，作直线1:3220l x y --=，2:440l x y ++=，3:260l x y +-=，在直角坐标平面内画出满足不等式组的区域，此三角形区域内的整点(2,1)，(1,0)，(2,0)，(1,－1)，(2,－1)，(3,－1)即为原不等式组的整数解。

类型二：图解法解决简单的线性规划问题.例4．设变量,x y 满足约束条件311x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩，则目标函数42z x y =+的最大值为（ ）A ．12B ．10C ．8D ．2【解析】由约束条件311x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩可知可行域如图：平移2y x =-知在(2,1)A 处取得最大值10z =答案：B举一反三：【变式1】求z x 2y =+的最大值和最小值，使式中的x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥+-020*******y y x y x y x .【解析】在平面直角坐标系内作出可行域（如图所示）作直线:x 2y 0l +=，把l 向右上方平移至1l 位置，即直线l 经过可行域上点A 时，l 距原点距离最大，且x 2y 0+>，这时目标函数z x 2y =+取得最大值.由方程组⎩⎨⎧=-+=+-07202154y x y x ，解得(1,5)A ，∴max z 12511=+⨯=. 把直线l 向左下方平移至2l 位置，即直线l 经过可行域上点B 时，由于x 2y 0+<，这时目标函数z x 2y =+取得最小值.由方程组⎩⎨⎧=+-=+-07302154y x y x ，解得(4,1)B -，∴min z 4212=-+⨯=-. 【变式2】给出平面区域如图所示，若使目标函数z x (0)a y a =+>取得最大值的最优解有无穷个，则a 的值为 .【解析】由题意结合图形可知,线性目标函数与可行域的一边界平行,可得53=a .【变式3】如果点P 在平面区域22021020x y x y x y -+⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≤≤上，点Q 在曲线22(2)1x y ++=上，那么PQ 的最小值为（ ）A1 B1- C．1 D1【解析】不等式组22021020x y x y x y -+⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≤≤表示的平面区域如图所示，要求PQ 的最小值只需求出圆心(0,2)-到平面区域的最小值再减去半径1即可。

由图象可以知道圆心(0,2)-到平面区域的最小值就是圆心(0,2)-到直线210-+=x y 的距离 （垂足为A ）所以d ==例5.已知x 、y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，求下列各式的最大值和最小值.（1）2z x y =+； （2）z x y =+.【解析】（1）不等式组表示的平面区域如图所示：求出交点(2,1)A -，(1,1)C --，(0.5,0.5)B ，作过点(0,0)的直线0l :20x y +=，平移直线0l ，得到一组与0l 平行的直线l :2z x y =+,z R ∈. 可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中，当l 经过点(2,1)A -时的直线l 所对应的z 最大，所以max 2213z =⨯-=；当l 经过点(1,1)C --时的直线l 所对应的z 最小，所以min 2(1)13z =⨯--=-.（2）不等式组表示的平面区域如图所示：作过点(0,0)的直线0l :0x y +=，平移直线0l ，得到一组与0l 平行的直线l :z x y =+,z R ∈. 可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中，当l 经过线段AB 上的所有点时的直线l 所对应的z 最大，所以max 211z =-=；当l 经过点(1,1)C --时的直线l 所对应的z 最小，所以min (1)12z =--=-.举一反三：【变式1】求35z x y =+的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件5315153x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≥⎩.【解析】不等式组所表示的平面区域如图所示：从图示可知，直线35z x y =+在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点(2,1)B --的直线所对应的z 最小， 以经过点35(,)22A 的直线所对应的z 最大.所以min 3(2)5(1)11z =⨯-+⨯-=-， max 35351722z =⨯+⨯=. 类型三：某些实际背景的线性规划问题.例6.某厂生产甲、乙两种产品，生产甲种产品每件要消耗煤9吨，电力4千瓦，使用劳动力3个，获利7000元：生产乙种产品每件要消耗煤4吨，电力5千瓦，使用劳动力10个，获利12000元。