2010年北京市东城区数学选修2-3计数原理教材分析

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选修2-3第一章计数原理教材分析

选修2-3第一章：“计数原理”教材分析与教学建议一、地位与作用计数问题是数学中的重要研究象之一，分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具。

计数原理是学习统计与概率以及相关分支的基础。

计数原理的思想方法独特灵活，有利于培养和发展学生的抽象能力和逻辑思维能力。

二、本章重点、难点1．重点：（1）分类加法计数原理、分步乘法计数原理；（2）排列与组合的意义；（3）排列数公式与组合数公式；（4）二项式定理。

2．难点：（1）如何利用原理和有关公式解决应用问题。

三、课程标准1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题。

2．排列与组合通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题。

3．二项式定理能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。

四、教学安排与课时分配这部分的内容与《大纲》没有太大的区别，在处理方式上，相对于排列、组合来说，《标准》更强调基本的计数原理，而把排列、组合、二项式定理的证明作为计数原理的应用实例。

就计数原理本身而言，《标准》强调对计数思想的理解，两个版本相比，A版更加注重体现课标的精神，比如：从内容编排上看，非常强调基本计数原理的思想及其应用，第一节安排了有梯度的9个例题，计划用4课时，让学生通过丰富的实例来熟悉原理及其基本应用，而同样内容B版为3个例题，2课时；注重学生对新概念、新公式的探究。

避免抽象的讨论计数原理，而且强调计数原理在实际中的应用。

教学用时比《大纲》少了4课时。

六、教材分析（一）计数原理1．分类加法计数原理（1）原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N m n=+种不同的方法．（2）特点：两类方案中的任何一类的任何一种方法都可以完成这件事，并且两类方案中所有方法互不相同．（3）一般结论：完成一件事有n 类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，…，在第n 类方案中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++ 种不同的方法．（4）注意事项：完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，即做到“不重不漏”，才能用分类计数原理．2．分步乘法计数原理（1）原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法．那么完成这件事共有N m n =⨯种不同的方法．（2）特点：两个步骤缺一不可，并且经过两个步骤恰好完成这件事．（3）一般结论：完成一件事需要n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法．（4）注意事项：在分步乘法计数原理中，完成一件事分为若干个有联系的步骤，只有前一个步骤完成后，才能进行下一个步骤．当各个步骤都依次完成后，这件事才算完成．但每个步骤中可以有多种不同的方法，而这些方法之间是相互独立的．3．区别与联系（1）区别：在分类计数中，完成一件事，每一类中的每一种方法都可以达到目的，即都可以完成这件事．在分步计数中，完成一件事，只有各个步骤都完成，才算完成此事．（2）联系：①都是探讨完成一件事情的方法种数，即计数问题．②两个原理在处理问题时相互交织、互相渗透．4.特别提示（1）理解分类加法计数原理，要注意以下三点：①清楚完成“一件事”的含意，即知道做“一件事”，或完成一个“事件”在每个题中的具体所指；②解决“分类”问题用分类加法计数原理．需要分类的事件不妨叫做“独立事件”，即完成事件通过途径A ，就不必再通过途径B 就可以完成，每类办法都可以完成这件事．注意各类之间的独立性和并列性，否则，不独立会出现重复，不并列会出现遗漏；③每个问题中，标准不同，分类也不同．分类的基本要求是，每一种方法必属于某一类（不漏），任意不同类的两种方法是不同的（不重复）．（2）理解分步乘法计数原理，要注意以下三点：①清楚完成“一件事”的含意，即知道完成一个事件，在每个题中需要经过哪几个步骤； ②“分步”用乘法原理，需要分成若干个步骤，每个步骤都完成了，才算完成了一个事件，不妨称此为“相关事件”．要注意各步骤之间的连续性；③每个问题中，标准不同，分步也不同．分步的基本要求是完成一件事，必须且只需连续做完几步，既不漏步也不重复，二是两个步骤的方法之间是无关的，不能互相替代．（二）排列与组合1．排列与组合的意义排列与组合是既有联系又有区别的两类问题，它们都是从n 个不同元素中任取m 个不同元素.但是前者要求将元素排成一个顺序，后者对此不做要求.若不理解排列问题和组合问题的区别，在分析实际问题时就会犯错误.2．两类基本公式（1）排列数公式 !(1)(2)(1)()!m n n A n n n n m n m =---+=- 规定：0！=1 （2）组合数公式 )!(!!m n m n A A C m m m n m n-== 特别地：10==n n n C C 3．两类基本性质（1）排列性质：11-++=m nm n m n mA A A （2）组合性质：性质1.m n n m n C C -=, 性质2.11-++=m nm n m n C C C 在解决排列组合的计算或证明以及解方程，解不等式等问题时，经常用排列数公式、组合数公式以及组合数的两个性质.解这类题的关键是准确、熟练地运用这些公式及性质，但是在使用公式时要注意：计算题与证明题的类型不同，要求选择公式的形式就不同.排列数公式与组合数公式都有两种形式：乘积形式和阶乘形式证明恒等式，同时要注意公式的倒用，即由)!(!!m n m n -可得出m n C . 排列数m n A 与组合数m n C 中m 、n 的关系是 )(N n m n m ∈≤、；牢记：0！=1；.1;!;;;1;11100======n n n n n n n n C n A n C n A C A组合数派生性质：k n n k n n k k k C C C C C -+-++=++++1221101121++++=++++k n k n k k k k k k C C C C C4．排列组合的综合应用排列与顺序有关，或者说与所有顺序有关.组合与顺序无关，或者说与一种顺序有关.例如：从1、2、3、4四个数字中任取3个不同的数字，可组成多少个不同的三位数？这是排列问题，有34A 个，而组成的三位数中个位、十位、百位上的数字递增的三位数有多少个？这是一种确定的顺序，是组合问题，有34C 个不同的三位数.按元素的性质分类，按事件发生的连续过程分步，是处理排列组合问题的基本数学思想方法，要注意题设中“至少”、“至多”等限制词的意义.处理排列组合的综合性问题，一般的思想方法是对于要取出的元素不是一次完成的排列问题，要注意先选取元素，直到把应取的元素都取出来后，再进行排列在排列问题中，某几个元素必须在某几个固定位置，某几个元素不能在某几个位置，某几个元素必须在一起，某几个元素互不相邻等，是排列中的几种基本类型.在组合问题中，某些元素必须在内，某些元素都不在内，某些元素恰有一个在内，某些元素至少有一个在内，某些元素至多有一个在内等，是组合的几种基本类型.（三）二项式定理1．二项式定理的内容：（a+b ）n =C n 0a n +Cn 1a n-1b+…+n n C bn 2．对通项公式的理解：（1）对通项要注意以下几点:①它表示二项展开式中的任意项，只要n 与r 确定，该项也随之确定.②公式表示的是第r+1项，而不是第r 项.③公式中a 、b 的位置不能颠倒，它们的指数和一定为n.（2）要注意区分，展开式的第r+1项的二项式系数与第r+1项的系数是两个不同的概念，千万不能混在一起.3．二项式系数的性质（1）展开式中与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等.（2）若二项式的幂指数是偶数，则展开式的中间一项即第12+n 项的二项式系数最大；若二项式系数的幂指数是奇数，则展开式的中间两项即第（121+-n ）项和第（121++n ）项的二项式系数相等且最大.（3）展开式的所有二项式系数的和等于n2.即n n n n n n C C C C 2210=++++ （4）展开式中的奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.即+++=+++531420n n n n n n C C C C C C =12-n4．注意的几个问题：（1）用二项式定理进行幂的近似计算时，首先要将幂的底数拆成两项，构造二项式；其次要根据题设的精确度选取展开的项数.（2）利用二项式定理证明整除性问题，也应灵活处理底数，使之符合需要.（3）赋值法是解决二项展开式中有关系数问题的重要手段，许多复杂的与系数有关的问题均可以通过正确的、简单的赋值得到解决.。

高中数学选修2-3：第一讲计数原理含解析精品

第一讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理【教材扫描】1．分类加法计数原理2．分步乘法计数原理3.两个原理的区别【知识运用】题型一：分类加法计数原理的应用【例1】在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为__________．[解析] (1)法一：根据题意，将十位上的数字按1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．法二：分析个位数字，可分以下几类：个位是9，则十位可以是1,2,3，…，8中的一个，故共有8个；个位是8，则十位可以是1,2,3，…，7中的一个，故共有7个；同理，个位是7的有6个；……个位是2的有1个．由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．[答案] 36[一题多变]1．[变条件]若本例条件变为个位数字小于十位数字且为偶数，那么这样的两位数有多少个．解：当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个．当个位数字是6时，十位数字可取7,8,9，共3个．当个位数字是4时，十位数字可取5,6,7,8,9，共5个．同理可知，当个位数字是2时，共7个，当个位数字是0时，共9个．由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有1＋3＋5＋7＋9＝25(个)．2．[变条件，变设问]用1,2,3这3个数字可以写出没有重复数字的整数________个．解析：分三类：第一类为一位整数，有3个；第二类为两位整数，有12,21,23,32,13,31，共6个；第三类为三位整数，有123,132,231,213,321,312，共6个，∴共写出没有重复数字的整数3＋6＋6＝15个．答案：15【变式】1某校高二共有三个班，各班人数如下表：（1）从三个班中选1名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？（2）从高二（1）班、（2）班男生中或从高二（3）班女生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？【解析】（1）从每个班选1名学生任学生会主席，共有3类不同的方案：第1类，从高二（1）班中选出1名学生，有50种不同的选法；第2类，从高二（2）班中选出1名学生，有60种不同的选法；第3类，从高二（3）班中选出1名学生，有55种不同的选法.根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生任学生会主席，共有50＋60＋55＝165种不同的选法.（2）从1）班、（2）班男生或高3）班女生中选1名学生任有3类不第1类，1）班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第2类，从高二（2）班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第3类，从高二（3）班女生中选出1名学生，有20种不同的选法.根据分类加法计数原理知，从高二（1）班、（2）班男生或高二（3）班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80种不同的选法.2.从高三年级的四个班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分别为4人、5人、6人、7人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种不同的选法？分四类：从一班中选一人，有4种选法．从二班中选一人，有5种选法．从三班中选一人，有6种选法．从四班中选一人，有7种选法．共有不同选法N＝4＋5＋6＋7＝22种．3. 一个科技小组有3名男同学，5名女同学，从中任选一名同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法________种．【解析】任选一名同学参加学科竞赛，有两类办法：第一类：从男同学中选取一名参加学科竞赛，有3种不同的选法；第二类：从女同学中选取一名参加学科竞赛，有5种不同的选法．由分类加法计数原理，不同的选派方法共有3＋5＝8(种)．【答案】8题型二：分步乘法计数原理的应用类型一：涂色A B C D四个区域涂色,有5种不同的颜色可供选择，规定一个区域只涂一种颜色,相【例2-1】如图,将图中的,,,邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有______种．⨯⨯⨯=种.【解析】由分步乘法计数原理，可得不同的涂色方案有5433180【名师点睛】解答涂色问题有两种方法：（1）选择正确的涂色顺序,按步骤逐一涂色,这时用分步乘法计数原理进行计数；（2）根据涂色时所用颜色数的多少,进行分类处理,这时用分类加法计数原理进行计数.注意：“相邻区域不得使用同一种颜色”,找好不相邻的区域是解题的关键.一般地,在分步涂色时,要注意尽量让相邻区域多的区域先涂色.【变式】用6种不同颜色为如图所示的广告牌着色，要求有公共边界的区域不能用同一种颜色，问一共有多少种不同的方法着色？【解】由分步乘法计数原理知第1步，涂①区有6种方法；第2步，涂②区有5种方法；第3步，涂③区有4种方法；第4步，涂④区有4种方法．由分步乘法计数原理知，共有N＝6×5×4×4＝480(种)方法．类型二：数字问题【例2-2】一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)?解析：按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：第一步，有10种拨号方式，所以m1＝10；第二步，有10种拨号方式，所以m2＝10；第三步，有10种拨号方式，所以m3＝10；第四步，有10种拨号方式，所以m4＝10.根据分步乘法计数原理，共可以组成N＝10×10×10×10＝10 000个四位数的号码．【变式】1、从1,2,3,4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则分别满足下列条件的数有多少个？(1)三位数；(2)三位数的偶数．[解] (1)三位数有三个数位，百位十位个位故可分三个步骤完成：第1步，排个位，从1,2,3,4中选1个数字，有4种方法；第2步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法；第3步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法．依据分步乘法计数原理，共有4×3×2＝24个满足要求的三位数．(2)分三个步骤完成：第1步，排个位，从2,4中选1个，有2种方法；第2步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法；第3步，排百位，只能从余下的2个数字中选1个，有2种方法．故共有2×3×2＝12个三位数的偶数．2．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为( ) A．24 B．18C．12 D．6解析：选B 由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种情况)，之后十位(2种情况)，最后百位(2种情况)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种．因此总共有12＋6＝18种情况．故选B．3.某商店现有甲种型号电视机10台，乙种型号电视机8台，丙种型号电视机12台，从这三种型号的电视机中各选1台检验，有多少种不同的选法？解：从这三种型号的电视机中各选1台检验可分三步完成：第一步，从甲种型号中选1台，有10种不同的选法；第二步，从乙种型号中选1台，有8种不同的选法；第三步，从丙种型号中选1台，有12种不同的选法．根据分步乘法计数原理，不同的选法共有10×8×12＝960种．题型三、两个计数原理的综合应用【例3】用0，1，2，3，4五个数字，①可以排出多少个三位数字的电话号码？②可以排成多少个三位数？③可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？【解析】①三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5=53=125(种).②三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5=100(种).③被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3=12种排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因为0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3=18种排法.因而有12+18=30种排法，即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数.【变式】1.在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现在从7人中选2人同时参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？解析：选参加象棋比赛的学生有两种方法：在只会下象棋的3人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选；选参加围棋比赛的学生也有两种选法：在只会下围棋的2人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选．互相搭配，可得四类不同的选法．从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有3×2＝6种选法；从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有3×2＝6种选法；从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛有2×2＝4种选法；2名既会下象棋又会下围棋的学生分别参加象棋比赛和围棋比赛有2种选法．∴共有6＋6＋4＋2＝18种选法．所以共有18种不同的选法．2. 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？【解】依题意得既会英语又会日语的有7＋3－9＝1人，6人只会英语，2人只会日语．第一类：从只会英语的6人中选一人有6种方法，此时会日语的有2＋1＝3种．由分步乘法计数原理可得N1＝6×3＝18种．第二类：不从只会英语的6人中选，只有1种方法，此时会日语的有2种．由分步乘法计数原理可得N2＝1×2＝2种综上可知，共有18＋2＝20种不同的选法．【强化练习】1．甲、乙两人从4门课程中各选修1门，则甲、乙所选的课程不相同的选法共有( )A．6种 B．12种C．30种 D．36种解析：选B ∵甲、乙两人从4门课程中各选修1门，∴由分步乘法计数原理，可得甲、乙所选的课程不相同的选法有4×3＝12种．2．由数字1,2,3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为( )A．15 B．12C．10 D．5解析：选D 分三类，第一类组成一位整数，偶数有1个；第二类组成两位整数，其中偶数有2个；第三类组成3位整数，其中偶数有2个．由分类加法计数原理知共有偶数5个．3．三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有( )A．4种 B．5种C．6种 D．12种解析：选C 若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法；同理，甲先传给丙也有3种不同的传法，故共有6种不同的传法．4．现给如图所示的4个区域涂色，要求相邻区域不得使用同一颜色，共有3种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有A．4种B．6种 C．8种D．12种B 【解析】首先给下面一个涂色，有三种涂色方法，再给上面的最左边涂色，有两种涂色方法，中间一块只有一种涂色方法，右边的一块只有一种涂色方法，根据分步计数原理，得共有种不同的涂色方法.5．由错误！未找到引用源。

人教版高二数学选修2-3第一章计数原理《《计数原理》小结与复习》

第一章计数原理《计数原理》小结与复习班级：高二（）班学号：姓名：一．知识点整理1、两个基本计数原理：（1）分类计数原理：完成一件事，有n 类办法,完成这件事共有 N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。

（2）分步计数原理：完成一件事，需要分成n 个步骤，完成这件事有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。

2、排列（1）排列：一般地，从n 个不同的元素中取出m （m ﹤n ）个元素，并按一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

（2）排列数公式： )!(!)1()2()1(m n n m n n n n A m n -=+-⋅⋅⋅-⋅-⋅=， 3、组合（1）组合：一般地，从n 个不同元素中取出m 个不同元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的一个组合。

（2）组合数公式：（3）组合数公式性质：性质1: m n nm n C C -= 性质2: 111+++=+k n k n k n C C C 推论1: t n t n k k k C C C C C 122110+++=+⋅⋅⋅+++ 推论2: 1121++++=+⋅⋅⋅+++k n k n k k k k k k C C C C C4、二项式定理：（1）二项式定理：011222()n n n n r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++（2）通项是展开式的第项，即：2、二项展开式的特点:（1）项数：共n ＋1项；（2）指数：a 按降幂排列，b 按升幂排列，每一项中a 、b 的指数和为n（3）系数:第r ＋1项的二项式系数为C n r (r ＝0,1,2,…，n )二．巩固练习 1.(西安)4个男生与3个女生站成一排，如果两端不站女生且3(A)144种 (B)288种 (C)432种 (D)576种2.(海淀)某科技小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选时的不同选法有16种，则小组中的女生数目为( )。

人教啊B版选修2-3高中数学《第一章计数原理》单元教材教学分析

1.复杂问题简单化，以简驭繁，化难为易
2.通过实例，由难到易，逐步加深学生对两个计数原理的理解
3.通过具体的实例概括得出排列、组合的概念，应用分步乘法计数原理得出排列数公式，应用分步计数原理和排列数公式推出组合数公式
4.二项式定理的学习先猜后证
学生思想教育和行为习惯的培养及学习方法
1.借助章前图提供的两幅古今结合，时代气息浓厚画面所反映出的计数原理的实际应用价值，激发学生的学习兴趣，培养其对科学知识的追求欲望。
2.通过实例引导学说认识到现实世界中的计数问题普遍存在，通过两个计数原理的学习学生体会将综合问题化解为单一问题的组合，再对单一问题各个击破，可以达到以简驭繁，化难为易的目的，
3.引导学生通过类比加法与乘法的关系，体会引进乘法运算是为了简便快捷地计算，明确研究计数原理的最基本的指导思想也是探究计数的技巧。
第十二课时：二项式定式系数的性质
第十四课时：小结
说明
教学基本流程
1.创设情境，提出分类计数问题
2.归纳得出分类加法计数原理
3.分类加法计数原理的推广
4.类比引出分步计数问题
5.归纳得出分步乘法计数原理
6.分步乘法计数原理的推广
用分类加法计数原理解决问题就是将一个复杂问题分解为若干“类别”,然后分类解决,各个击破；应用分步乘法计数原理则是将一个复杂问题的解决过程分解为若干“步骤”,先对每一个步骤进行细致分析，再整合为一个完整的过程,这样做的目的都是为了分解问题、简化问题.由于排列、组合及二项式定理的研究都是作为两个计数原理的典型应用而设计的。因此,理解和掌握两个计数原理是学好本章内容的关键。
课时安排
第一课时：分类加法计数原理
第二课时：分类加法计数原理的应用
第三课时：分步乘法计数原理

计数原理教材分析

选修2-3第一章《计数原理》教材分析计数原理是数学的重要研究对象，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数原理问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具.本章在整个高中数学中占有重要地位以计数问题为主要内容的排列与组合，属于现在发展很快且在计算机领域获得广泛应用的组合数学的最初步知识，它不仅有着许多直接应用，是学习概率理论的准备知识，而且由于其思维方法的新颖性与独特性，它也是培养学生思维能力的不可多得的好素材.作为初中一种多项式乘法公式推广二项式定理，不仅使前面组合等一、内容分析1．本章从学习加法原理和乘法原理开始，应该说，这两个基本原理在本章的学习中占有重要地位；其作用并不限于用来推导排列数、组合数公式，实际上其解决问题的思想方法贯穿在整个学习的始终：当将一个较复杂的问题通过分类进行分解时，用的是加法原理；当将它通过分步进行分解时，用的是乘法原理此基础上，研究排列与组合，运用归纳法导出排列数公式与组合数公式，并提出随后研究的二项式定理，在本章中起着承上启下的作用：它不仅将前面的组合的学习深2．排列、组合是两类特殊而重要的计数原理，而解决它们的基本思想和工具就是两个计数原理.教材从简化运算的角度提出排列和组合的学习任务，通过具体的实例得出排列和组合的概念、排列数公式、组合数公式及其在解决问题中的应用.3．二项式定理的学习过程是应用两个计数原理解决问题的典型过程，教材主要是运用组合数两个性质推导出二项式定理，同时通过对二项式系数的性质的学习，深化对组合数的认识.二、教学要求12.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数计算公式，并能用它们解决3.掌握二项式定理和二项展开式的性质三、考点诠释（1）两个原理（分类计数原理、分步计数原理）分类和分步的区别，关键是看事件能否完成，事件完成了就是分类；必须要连续若干步才能完成的则是分步.分类要用加法原理将种数相加；分步要用乘法原理，分步后再将种数相乘.（2）两个概念（排列、组合）排列与组合是既有联系又有区别的两类问题，它们都是从n 个不同元素中任取m 个不同元素.但是前者要求将元素排成一个顺序，后者对此不做要求.若不理解排列问题和组合问题的区别，在分析实际问题时就会犯错误.（3）两类基本公式排列数公式 !(1)(2)(1)()!m n n A n n n n m n m =---+=- 规定：0！=1 组合数公式 )!(!!m n m n A A C m m m n mn-== 特别地：10==n n n C C （4）两类基本性质排列性质：11-++=m nm n m n mA A A 组合性质：性质1.m n n m n C C -=, 性质2.11-++=m nm n m n C C C 在解决排列组合的计算或证明以及解方程，解不等式等问题时，经常用排列数公式、组合数公式以及组合数的两个性质.解这类题的关键是准确、熟练地运用这些公式及性质，但是在使用公式时要注意：计算题与证明题的类型不同，要求选择公式的形式就不同.排列数公式与组合数公式都有两种形式：乘积形式和阶乘形式前者多用于数字计算，后者多用于证明恒等式，同时要注意公式的倒用，即由)!(!!m n m n -写出m n C . 排列数m n A 与组合数m n C 里的m 、n 的关系是 )(N n m n m ∈≤、牢记：0！=1；.1;!;;;1;11100======n n n n n n n nC n A n C n A C A（5）排列组合的综合应用排列与顺序有关，或者说与所有顺序有关.组合与顺序无关，或者说与一种顺序有关.例如：从1、2、3、4四个数字中任取3个不同的数字，可组成多少个不同的三位数？这是排列问题，有34A 个，而组成的三位数中个位、十位、百位上的数字递增的三位数有多少个？这是一种确定的顺序，是组合问题34C 个不同的三位数.按元素的性质分类，按事件发生的连续过程分步，是处理排列组合问题的基本数学思想方法，要注意题设中“至少”、“至多”等限制词的意义.处理排列组合的综合性问题，一般的思想方法是对于要取出的元素不是一次完成的排列问题，要注意先选取元素，直到把应取的元素都取出来后，再进行排在排列问题中，某几个元素必须在某几个固定位置，某几个元素不能在某几个位置，某几个元素必须在一起，某几个元素互不相邻等，是排列中的几种基本类型.在组合问题中，某些元素必须在内，某些元素都不在内，某些元素恰有一个在内，某些元素至少有一个在内，某些元素至多有一个在内等，是组合的几种基本类型.（6）二项式定理的有关概念第一、对通项要注意以下几点:①它表示二项展开式中的任意项，只要n 与r 确定，该项也随之确定.②公式表示的是第r+1项，而不是第r 项.③公式中a 、b 的位置不能颠倒，它们的指数和一定为n.第二、要注意区分，展开式的第r+1项的二项式系数与第r+1项的系数是两个不同的概念，千万不能混在一起.（7）二项式系数的性质①展开式中与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等.②若二项式的幂指数是偶数，则展开式的中间一项即第12+n 项的二项式系数最大；若二项式系数的幂指数是奇数，则展开式的中间两项即第（121+-n ）项和第（121++n ）项的二项式系数相等且最大. ③展开式的所有二项式系数的和等于n 2.即n n n n n nC C C C 2210=++++ ④展开式中的奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.即 +++=+++531420n n n n n nC C C C C C =12-n 注意：①用二项式定理进行幂的近似计算时，首先要将幂的底数拆成两项，构造二项式；其次要根据题设的精确度选取展开的项数.②利用二项式定理证明整除性问题，也应灵活处理底数，使之符合需要.③赋值法是解决二项展开式中有关系数问题的重要手段，许多复杂的与系数有关的问题均可以通过正确的、简单的赋值得到解决.四、教学建议1.在深刻理解的基础上，严格要求按照两个原理去做.分类计数原理和分步计数原理是两个基本原理，它们既是推导排列数公式、组合数公式的基础，也是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题，这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终.搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性.分类计数原理是对完成一件事的所有方法的一个划分，依分类计数原理解题，首先明确要做的这件事是什么，其次分类时要根据问题的特点确定分类的标准，最后在确定的标准下进行分类.分类要注意不重复、不遗漏，保证每类办法都能完成这件事.分步计数原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的标准分成几个步骤，必须且只需连续完成这几个步骤后才算完成这件事，每步中的任何一种方法都不能完成这件事.从以上的分析可以看出，分类计数原理和分步计数原理的地位是有区别的，分类计数原理更具有一般性，解决复杂问题时往往需要先分类，每类中再分成几步.在排列、组合教学的起始阶段，不能嫌罗嗦，教师一定要先做出表率并要求学生严格按原理去分析问题.只有这样才能使学生认识深刻、理解到位、思路清晰，才会做到分类有据、分步有方，为排列、组合的学习奠定坚实的基础.2. 指导判定与顺序有无关系，分清排列与组合排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系.下面几种方法可供参考.(1) 指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通.(2) 能列举出某种方法时，让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别.(3) 学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题.3. 引导联系现实情景，正确领会问题的实质排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法）.要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高.4.倡导一题多解优化解法，交流合作互相启发排列、组合问题解题方法比较灵活，问题思考的角度不同，就会得到不同的解法.若选择的切入角度得当，则问题求解简便，否则会变得复杂难解.教学中既要注意比较不同解法的优劣，更要注意提醒学生体会如何对一个问题进行认识思考，才能得到最优方法.排列与组合方法数比较多，无法逐一进行验证.为了防止重复、避免遗漏，除了一题多解之外，另一种切实有效的办法是倡导同学之间的交流与合作.排列、组合问题的分析与解答的过程不长，且逻辑性强，特别有利于语言交流.交流与合作不仅仅是解出题目、对答案，还要根据自己的理解说明分类还是分步的理由，每类或每步中.m n A 、m n C 及n 、m 取值的理由，不断反思自己的思考过程，让别的同学能在你思考的基础上进一步的思考，看清问题的其他方面.这样相互启发、多角度的考虑，定会加深对问题的理解，激发学习的兴趣.。

人教B版数学选修2-3《1.1基本计数原理》说课稿

人教B版数学选修2-3《1.1基本计数原理》说课稿各位老师，大家好，我今天说课的课题是《基本计数原理》，我将从教材、学情、教学策略、教学过程、板书设计、教学反思等几个方面对本节课进行说明。

一、教材分析本节课是人教B版的数学教材选修2-3第一章第一节第一课，本节课所讲授的两个基本计数原理，即分类加法原理与分步乘法原理，是本章继续学习排列、组合的基础，学生能否理解并能应用两个基本原理，是学好本章知识的一个关键，本节课建议安排两课时，本节为第一课时，根据其在教材中的地位，结合课标的要求，设置了如下的教学目标：1、知识目标理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，并能应用两个基本原理分析、解决一些简单的应用问题。

2、能力目标在概念形成的过程中培养学生的总结与概括能力，在解决实际问题过程中锻炼学生逻辑思维能力。

3、情感目标让学生体验知识从生活中来又应用到生活中去得过程，培养学生用数学的眼光观察世界和用数学的思想思考世界的习惯。

教学重点是两个基本计数原理的内容。

难点是如何正确是用两个基本计数原理来解决实际问题。

二、学情分析高二学段的高中生已经具备较好的计算能力和基本的逻辑思维能力，但是对于实际问题的生活背景了解不多，对问题中创设的实际背景和如何完成一件事的含义的理解将成为学生运用两个基本计数原理解决问题是的瓶颈，所以找到如何完成一项实际任务的方法，是应用过程中难点。

三、教学策略本课由于内容比较简单学生通过预习多都能够看懂，在实际授课时，我将使用更能贴近学生生活的实例，以激发学生的求知欲和学习热情。

采用教师启发、学生小组合作学习方式进行教学，利用多媒体课件展示引例的问题环境，引导学生思维，具体的分析比较进而归纳出两个基本计数原理，遵循从特殊到一般的思维过程，在学生现有的认知基础上，促使其获取知识，让学生始终保持高水平的思维活动水平，增强学习效果。

四、教学过程1、设置情景，引入新课使用多媒体课件展示郑板桥《咏雪》让学生齐读古诗并请学生对古诗进行自由鉴赏。

高中数学北师大版选修2-3：1.2+两个计数原理的概念及应用+课件

高中数学· 选修2-3· 北师版
1.1 分类加法计数原理 1.2 分步乘法计数原理第2课时两个计数原理的概念及应用
学习目标
• 1．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理． • 2．会用这两个原理分析和Leabharlann 决一些简单的实际计数问题．导
1．分类加法计数原理
(1)内容：完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中
目中所给的某种方法是不是能完成这件事，是否必须要经过几步才能完成这件事
(2)完成这件事要分若干个步骤，只有每个步骤都完成了，
才算完成这件事，缺少哪一步，这件事都不可能完成．即各步之间是关联的，相互依存的，只有前步完成后步才能进行． (3)根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按
照这几步逐步地去做，才能完成这件事，缺少任何一步也
第二类：从高二· 二班选一名，有60种不同的方法；第三类，从高二· 三班选一名，有55种不同的方法；故任选一名学生任学生会主席的选法共有50＋60＋55＝ 165种不同的方法． (2)要完成“选一名学生任学生会体育部长”这件事有3类不同的选法：第一类，从高二· 一班男生中选有30种不同的方法；
有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n m1＋类办法中有mn种方法．那么，完成这件事共有N＝______ m2＋…＋mn 种方法(也称加法原理)． ___________ (2)特点：①完成一件事有若干种方法，这些方法可以分成 n类；②用每一类中的每一种方法都可以完成这件事；③ 把各类的方法数_____ 相加，就可以得到完成这件事的所有方法数．
不能完成这件事，即分步要做到步骤完整．
练2、若乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参
加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7 名队员选2名安排在第二、四位置，求不同的出场安排共有多少种？

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排列组合例题教学分析
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例1和例5是公式的简单计算，教材要求用计算器进行. 例2和例6分别是判断是否有顺序. 例3和例7重点是让学生从叙述的过程中体会两者的差别，并判断哪些是排列，哪是组合，加深学生的理解. 例4是带有限制条件的排列问题，是排列和两个计数原理的综合应用.课本上分别用三种解法去解，让学生体会从不同角度去考虑列式不同，但结果相同，从而加深理解，在教学时注意让学生说出每种解法的依据，并比较其优劣. 例8中重点是组合和两个计数原理的综合应用.
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1.3 二项式定理（3课时）
重点： 1.用两个计数原理分析(a+b)2的展开式，归纳得出二项式定理，并能用计数原理证明; 能应用它解决简单问题. 2.学会讨论二项式系数性质的一些方法. 难点：用两个计数原理分析(a+b)2的展开式;用两个计数原理证明二项式定理
教科书中用两个计数原理非常详细地分析(a+b)2的展开式，学生模仿分析写出(a+b)3、(a+b)4的展开式，归纳推理出(a+b)n 的展开式，并给出证明.
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注意借助几何直观理解抽象的二项式系数的性质
例5-例9背景丰富、信息量大、综合性强，让学生在复杂的背景下分清楚“一件事情”是什么、何时分类、何时分步.最后让学生自己总结用两个计数原理解决问题的一般思路.
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两个计数原理教学建议
1、注意使用“树形图”分析问题 2．正确理解“完成一件事”在不同背景下的含义如从甲地到乙地；从甲地经过丙地到乙地. 从中任取一本书；从中任取语文、数学各一本书. 3．明确两个计数原理的区别分类：类类互斥、不重不漏分步：步步相依、步骤完整 4. 分类或分步都要注意按照统一的标准进行. 5. 建议教学时多让学生练习说清楚“完成一件事”是什么、分类还是分步，第一类（步）是什么，第二类（步）是什么，„„，这样可以让学生在做题中深刻体会两个计数原理，即便遇到复杂的问题也能迎刃而解. 6. 对两个计数原理建议利用对比法教学
排列组合教学分析
2、公式推导排列公式的推导用到（1）分步乘法计数原理和（2）树状图组合公式的推导用到（1）排列与组合的关系和（2）树状图排列是先选后排组合是只选不排
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例如组合数公式的推导
以问题“从集合{a，b，c，d}中取出3个元素组成三元子集，共有多少不同的子集？”为载体，设置如下台阶：（1）借助树形图用列举法得出答案；（2）细致分析从a，b，c，d中取出3个元素的排列与组合之间的关系；（3）以“等式的两边是对同一个问题作出的两个等价解释”为指导，分析等式的实际意义，得出“从4个不同元素中任取3个的排列的两个步骤”；（4）推广到一般情形，得出组合数公式．
三、课标规定的本章内容与要求
1.本章教学要求（1）．分类加法计数原理、分步乘法计数原理通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单实际问题. (2)．排列与组合通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题. (3)．二项式定理能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. ★与以往“教学大纲”基本一致，唯一不同的是“教学大纲”要求“掌握组合数的两个性质，并能用它解决一些简单的应用问题”，而这里没有这个内容和要求. 7
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（4）二项式定理的学习过程是应用两个计数原理解决问题的典型过程，其基本思路是“先猜后证”．（5）“学以致用”的思想始终贯穿本章内容．两个计数原理的直接应用,需要经过一定量的应用性训练．
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四、具体教学分析
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
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重点：归纳得出分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能应用它解决简单的实际问题. 难点：正确地理解“完成一件事情”的含义;根据实际问题的特征，正确区分“分类”或“分步”.
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排列组合教学分析
1、概念理解排列、一个排列、不同排列、全排列、排列数组合、一个组合、不同组合、组合数
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排列概念中的“一定顺序”
• 排队中“从前到后”、“从左到右”、“从上到下” 都是“一定顺序”；例: “从1~9这九个数字中选三个不同数字组成三位数”中，“一定顺序”可以规定为“百十个”；等等. • 若干个元素按照一定的顺序排成一列，元素不同或元素相同但顺序不同的排列都是不同的排列． “排列数”与“一个排列”、“组合数”与“一个组合”. 例如，123，321，213，…都是“从1~9这九个 19 数字中选三个不同数字组成三位数的一个排列”，
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1.2 排列与组合
重点： 1.归纳、对比得出排列、组合概念; 2.根据两个计数原理推导出排列数、组合数公式; 3.应用排列与组合知识解决简单的实际问题. 难点： 1.建立组合与排列的联系，结合两个数原理推导排列数、组合数公式; 2.根据实际问题的特征，正确地区分“排列”或 “组合” 排列与组合是两类特殊的计数原理，是典型的两个计数原理的应用，排列组合在计数中的地位，就如同等差等比数列在数列中的地位.
数学选修2－3 第一章
计数原理教材分析
北京宏志中学石玉星
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教学分析提纲一、本章地位与作用二、本章的变化之处三、本章内容与要求四、具体的教学分析五、教学的注意问题
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一、本章地位与作用
计数原理是数学的重要研究对象，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数原理问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具.以计数问题为主要内容的排列与组合，属于现在发展很快且在计算机领域获得广泛应用的组合数学的最初步知识，它不仅有着许多直接应用，是学习概率理论的准备知识，而且由于其思维方法的新颖性与独特性，它也是培养学生思维能力的不可多得的好素材. 作为初中一种多项式乘法公式推广的二项式定理，不仅使前面的计数原理等知识的学习得到强化，而且与后面概率中的二项分布有着密切联系.
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对二项展开式要让学生认识到下面几点：
• （1）它有n+1项； • （2）各项的次数都等于二项式的次数n • （3）字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n; • (4)二项展开式中，系数Cnk叫做（第k+1）的二项式系数，与a、b无关，注意与展开式中关于某一个字母系数的区别.
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二项式定理的猜想与证明过程
（1）在“探究”中提出如何利用两个计数原理得出 n =2，3，4的展开式的问题；（2）详细写出用多项式乘法法则得到n=2展开式的过程，并从两个计数原理的角度对展开过程进行分析，概括出项数以及项的形式；（3）用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数，从而得出用组合数表示的n =2展开式；（4）让学生模仿上述过程推导n =3，4的展开式；（5）得出关于二项式展开式的猜想，给出证明．
2.本章重点和难点（1）重点：
两个计数原理，排列、组合的意义及排列数、组合数计算公式，二项式定理．两个计数原理是最基本而重要的．（2）难点：正确运用两个计数原理以及排列、组合概念分析和解决问题．
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3.本章课时安排
1．本章有三节内容，共14课时具体分配如下（供参考）： 1．1 两个计数原理 1．2 排列与组合 1．3 二项式定理小结
典型（学生熟悉的）实例 →“两类方案”或“两个步骤”的计数原理 →“n类方案”或“n个步骤”的计数原理 →单一例题 →综合例题 →归纳用两个计数原理解决问题的方法
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对“完成一件事情”的理解
“完成一件事情”是指“确定一个满足条件的排列或组合” 例: “从1~9这九个数字中任取两个，一共可组成多少个没有重复数字的两位数？”
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对通项要注意以下几点:
Tk 1 C a
k n n k
b (k 0,1, 2,…，n)
k
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①它表示二项展开式中的任意项，只要n与k确定，该项也随之确定. ②公式表示的是第k+1项，而不是第k项. ③公式中a、b是一种“符号”，它们可以是数、式或其它. ④公式中a、b的位置不能颠倒，它们的指数和一定为n. 要注意区分，展开式的第k+1项的二项式系数与第k+1项的系数是两个不同的概念，千万不能混在一起.
标准理科学文科不学古典概率后
必修3概率
计数原理
选修2-3概率
1.必修3强调概率思想，避免复杂的计算干扰学生对概率思想的领悟 2.本章为进一步研究概率做准备 3.本章学习,提供思想和工具计数问题是数学中的重要研究对象之一，计数原理为解决很多实际问题提供思想和工具(分类分步思想不 6 仅仅是解计数问题)
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研究排列、组合问题时，都是从不同元素中任意取部分不同元素，这里既没有重复元素，也没有重复抽取同一元素；排列和顺序有关，组合和顺序无关，这是两个概念的本质区别；排列其实分两步进行的，即先取后排；而组合是只取不排，这正是两者在操作过程中的区别. 在许多问题里可能既有排列，又有组合. 如“从甲、乙、丙中选出2个人去参加一项活动，有多少种不同的选法”是组合问题；而求“从甲、乙、丙中选出2个人去参加一项活动，一人上午参加，一人下午参加，有多少种不同的选法”的选法种数则是排列问题. 教学中要注意引导学生在解例题、习题时细心观察分析是否与顺序有关，养成好习惯. 20
分析:学生常把“完成一件事情”与“计算完成这件事情的方法总数”混淆．把要完成的事情理解成为“求满足条件的两位数的个数”．
教学建议:解题先抓 “完成的一件事情是什么”
什么叫“完成一件事情” 用什么方法完成