微积分下册期末试卷及问题详解

中南民族大学06、07微积分（下）试卷

及参考答案

06年A 卷

评分

阅卷人

1、已知22

(,)y

f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.

2、已知,则=

⎰∞

+--dx e x x

21

___________.

π

=⎰

∞

+∞

--dx e

x 2

3、函数

22

(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值.

4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则='

)0,1(x f ________.

5、以x

e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是

____________________.

二、选择题(每小题3分,共15分) 评分

阅卷人

6 知dx e x p ⎰∞

+- 0 )1(与⎰-e p x

x dx 1 1ln 均收敛,

则常数p 的取值范围是( ).

(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >

7 数⎪⎩

⎪⎨

⎧=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222

22

2y x y x y x x y x f 在原点间断,

是因为该函数( ).

(A) 在原点无定义

(B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义

(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值

8、若

2

2223

11

1x y I x y dxdy +≤=

--⎰⎰

,22223212

1x y I x y dxdy

≤+≤=--⎰⎰,

2

2223

324

1x y I x y dxdy

≤+≤=

--⎰⎰

,则下列关系式成立的是( ).

(A) 123I I I >> (B) 213I I I

>>

(C) 123I I I << (D) 213I I I

<<

9、方程x

e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ).

(A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+=

(C) x e bx ax y 32)(+= (D) x

e bx ax y 323)(+=

10、设∑∞

=12n n

a

收敛，则∑∞

=-1)

1(n n

n

a ( ).

(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定

三、计算题(每小题6分,共60分)

评分

评分

评阅人

11、求由2

3x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.

评分

评阅人

12、求二重极限 1

1lim

22220

0-+++→→y x y x y x .

评分

评阅人

13、),(y x z z =由xy e z z

=+确定，求y x z

∂∂∂2.

评分

评阅人

14、用拉格朗日乘数法求

22

1z x y =++在条件1=+y x 下的极值.

评分

评阅人

15、计算⎰

⎰1 2

1

2dx

e dy y

y

y

x .

评分

评阅人

16、计算二重积分2

2()D x

y dxdy

+⎰⎰，其中D 是由y 轴及圆周

221x y +=所围成的在第一象限内的区域.

评分

评阅人

17、解微分方程x y y +'=''.

评分

评阅人

18、判别级数)

11(

133∑∞

=--+n n n 的敛散性.

评分

评阅人

19、将函数x -31

展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间.

评分

评阅人

20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)的及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下的经验公式:

2

2

2121211028321415x x x x x x R ---++=， 求最优广告策略.

四、证明题(每小题5分,共10分) 评分

评分

评阅人

21、设113

3

ln()z x y =+，证明：

13z z x

y x y ∂∂+=

∂∂.

评分

评阅人

22、若∑∞

=12n n

u

与∑∞

=1

2n n

v

都收敛,则∑∞

=+1

2

)(n n n

v u

收敛.

06年B 卷

一、填空题(每小题3分,共15分)

评分

阅卷人

1、设22

(,)y

f x y x y x -=-，则

=),(y x f _____________.

2、已1()2πΓ=知，则5()2Γ＝___________.

3、设函数

22

(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-取得极值，则常数 ________a = .