第数值微积分
数值分析-第4章 数值积分和数值微分
A0+A1=2 A0x0+A1x1=0 A0x02+A1x12=2/3 A0x03+A1x13=0
A0 A1 1 解得: 1 x 0 x1 3
求积公式为
1 1 1 f ( x)dx f ( ) f ( ) 3 3
x f(x)
数值分析
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
1
一、数值积分的基本概念 求积节点 数值积分定义如下：是离散点上的函数值的线性组合
I [ f ] f ( x)dx I n [ f ] Ai f ( xi )
b a i 0 n
称为数值积分公式
称为求积系数,与f (x)无关,与积分区间和求积节点有关
b a
Rn ( x) dx
定理：形如 Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度
A 该公式为插值型（即： k a l k ( x)dx ）
数值分析
b
5
例1 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式
1 f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
证明 因为Simpson公式对不高于三次的多项式精确成立。即
b
a
p 2 ( x)dx
ba ab [ p 2 (a) 4 p 2 ( ) p 2 (b)] 6 2
构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=(a) ,H3(b)=(b),
H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), 这时插值误差为
1
第4节 数值微分
对于
f ( n1) ( ) R1 ( xk ) n 1 ( x k ) ( n 1)!
由 n1 ( xk ) ( xk x0 )( xk xk 1 )( xk xk 1 )( xk xn )
及
可知
f ( n 1 ) ( x ) M , x [a , b ]
M M n R1 ( xk ) ( x n x0 ) (b a ) n ( n 1)! ( n 1)! 0, ( n )
可知当分点越多时，用如下公式求数值微商越精确
f ( xk ) Ln ( xk ),
k 0,1,, n
对于插值型数值微商公式
f ( xk ) Ln ( xk ),
得到一阶中心差商数值微分公式
f ( x0 ) f ( x0 h) f ( x0 h) 2h R1 ( x0 ) O( h2 )
误差为
二阶中心差商数值微分公式为 f ( x0 h) 2 f ( x0 ) f ( x0 h) ( x0 ) f h2 误差为 R2 ( x0 ) O( h2 )
3! dx ( ) 1 2 df (4h 6hf ( )) O( h) 6 dx ( ) 1 2 df R2 ( x1 ) ( h ) O ( h2 ) R2 ( x2 ) O( h) 6 dx
总结一下，两点、三点数值微商公式：
一阶两点微商公式
f ( x1 ) f ( x0 ) f ( x0 ) h f ( x1 ) f ( x0 ) ( x1 ) f h 一阶三点微商公式 1 f ( x0 ) L2 ( x0 ) [3 f ( x0 ) 4 f ( x1 ) f ( x2 )] 2h
第4章 数值积分与数值微分
1 (a b).得到的求积公式就是中 矩形公式。再令 2 f ( x) x 2 , 代入(1.4)式的第三式有
b ab 2 ba 2 1 2 A x (b a)( ) (a b ) x 2 dx (b 3 a 3 ), a 2 4 3 说明中矩形公式对 ( x) x 2不精确成立，故它的代 f 数精确度为 . 1
定 理 1 求积公式 f ( x)dx Ak f k 至少具有n次代数精度
a k 0
它是插值型求积公式 .
四、求积公式的余项 若求积公式(1.3)的代数精确度为m，则由求积 公式余项的表达式(1.7)可以证明余项形如
R[ f ] f ( x)dx Ak f ( xk ) Kf ( m1) ( ), (1.8)
k 0 n
Hale Waihona Puke 第4章 数值积分与数值微分
~ 定 义 3 若 0, 0,只要 f ( xk ) f k (k 0,, n), 就有 ~ | I n ( f ) I n ( f ) |
《 数 值 分 析 》
~ Ak [ f ( xk ) f ( xk )] ,
此求积公式的余项。
第4章 数值积分与数值微分
1 A1 B0 2 1 1 《 A1 0 x 2 dx 3 1 2 数 1 1 A1 , A0 , B0 于是有 f ( x)dx 2 f (0) 1 f (1) 1 f ' (0) 值解得 3 3 6 3 3 6 分 0 1 1 析当 3时 x 3 dx . 而上式右端为1/3，故公式对 f ( x) x 》 4 0
k 0
n
则称求积公式 (1.3) 是稳定的 .
数值分析(清华大学第五版) 第四章数值积分和微分
b
a
l j ( x)dx ( x x j -1 )( x x j 1 ) ( x x j 1 )( x x j 1 ) ( x xn ) ( x j xn )
dx
作变量代换， x a th ，则
n t (t 1) h (t j 1)(t j 1) (t n) 上式 dt b a 0 j ( j 1) 1(1) ( j n) 1 n t (t 1) (t j 1)(t j 1) (t n) dt n 0 j ( j 1) 1 (1) ( j n)
该积分仅与 n 有关，与 a, b, f ( x) 无关.
③ 设 n 1 个线性无关的次数 n 的多项式为 e0 ( x), 等距结点 x0 ,
过同样 , en ( x) ，
, xn , 对每一个 ei ( x) 利用 Newton Cotes 公式求积，且积分
余项均为零．即有
n b 1 b a a e0 ( x) dx c j e0 ( x j ) j 0 n 1 b e1 ( x)dx c j e( x j ) a （1） b a j 0 n b 1 b a a en ( x)dx c j en ( x j ) j 0
, n) ，
又设过该结点的次数 n 的 Lagrange插值多项式
P( x) f ( x j )l j ( x) ，
j 0
n
余项
f ( ) R( x) ( x) . (n 1)!
( n 1)
代数精确度
b n
定义 设求积公式 f ( x)dx A j f ( x j ) R(a, b, f ) ．
第七章数值微积分
Ck(n)
3 1/8 3/8 3/8 1/8
4 7/90 16/45 2/15 16/45 7/90 5 19/288 25/96 25/144 25/144 25/96 19/288
误差估计 （一）求积公式的代数精确度 若当f(x)为任意次数不高于m的多项式时，求积公 n b 式 ∫ f ( x)dx ≈ ∑ Ak f ( xk )
f ′′( x − θ 2 h) f ( x ) − f ( x − h) f ′( x) − =− h = O ( h) h 2
f ( x + h) − f ( x − h) f ′( x) − 2h f ′′′( x + θ 1 h) + f ′′′( x − θ 2 h) 2 =− h = O(h 2 ) 12
a k =0
均成立，而对某个m+1次多项式，公式不精确成立， 则称该求积公式具有m次代数精确度. 可以验证：梯形公式具有1次代数精确度。 事实上，由f(x)为1次多项式， f ′′(ξ ) R1 ( x ) = f ( x) − L1 ( x ) = ( x − a )( x − b) = 0 2
⇒∫
求导得且分别 代入三点有:
截断误差
h2 ′ f ′′′(ξ 0 ) R2 ( x 0 ) = − 3 h2 ′ f ′′′(ξ1 ) ξ 0 , ξ1 , ξ 2 ∈ (a, b) R2 ( x1 ) = − 6 h2 ′ f ′′′(ξ 2 ) R2 ( x1 ) = 3
b
a
b−a f ( x)dx = ∫ L1 ( x)dx = [ f (a ) + f (b)] a 2
b
b
若取f(x)=x2 ⇒ ∫a
数值分析--第4章数值积分与数值微分[1]详解
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第4章 数值积分与数值微分1 数值积分的基本概念实际问题当中常常需要计算定积分。
在微积分中，我们熟知，牛顿-莱布尼兹公式是计算定积分的一种有效工具,在理论和实际计算上有很大作用。
对定积分()ba I f x dx =⎰，若()f x 在区间[,]ab 上连续，且()f x 的原函数为()F x ,则可计算定积分()()()baf x dx F b F a =-⎰似乎问题已经解决，其实不然。
如1）()f x 是由测量或数值计算给出数据表时,Newton-Leibnitz 公式无法应用。
2)许多形式上很简单的函数，例如222sin 1(),sin ,cos ,,ln x x f x x x e x x-= 等等，它们的原函数不能用初等函数的有限形式表示。
3）即使有些被积函数的原函数能通过初等函数的有限形式表示，但应用牛顿—莱布尼兹公式计算，仍涉及大量的数值计算，还不如应用数值积分的方法来得方便，既节省工作量，又满足精度的要求。
例如下列积分241arc 1)arc 1)1dx tg tg C x ⎡⎤=+++-+⎣⎦+⎰ 对于上述这些情况,都要求建立定积分的近似计算方法—-数值积分法。
1。
1 数值求积分的基本思想根据以上所述,数值求积公式应该避免用原函数表示，而由被积函数的值决定.由积分中值定理：对()[,]f x C a b ∈，存在[,]a b ξ∈，有()()()baf x dx b a f ξ=-⎰表明,定积分所表示的曲边梯形的面积等于底为b a -而高为()f ξ的矩形面积（图4-1）。
问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出()f ξ。
我们将()f ξ称为区间[,]a b 上的平均高度。
这样，只要对平均高度()f ξ提供一种算法，相应地便获得一种数值求积分方法.如果我们用两端的算术平均作为平均高度()f ξ的近似值，这样导出的求积公式[()()]2b aT f a f b -=+ (4—1） 便是我们所熟悉的梯形公式（图4-2）。
实验09 数值微积分与方程数值解(第6章)
实验09 数值微积分与方程数值求解（第6章 MATLAB 数值计算）一、实验目的二、实验内容1. 求函数在指定点的数值导数232()123,1,2,3026x x x f x x xx x==2. 用数值方法求定积分(1) 210I π=⎰的近似值。
程序及运行结果：《数学软件》课内实验王平(2) 2221I dx x π=+⎰程序及运行结果：3. 分别用3种不同的数值方法解线性方程组6525494133422139211x y z u x y z u x y z u x y u +-+=-⎧⎪-+-=⎪⎨++-=⎪⎪-+=⎩ 程序及运行结果：4. 求非齐次线性方程组的通解1234123412342736352249472x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩5. 求代数方程的数值解(1) 3x +sin x -e x =0在x 0=1.5附近的根。
程序及运行结果（提示：要用教材中的函数程序line_solution ）：(2) 在给定的初值x 0=1，y 0=1，z 0=1下，求方程组的数值解。
23sin ln 70321050y x y z x z x y z ⎧++-=⎪+-+=⎨⎪++-=⎩6. 求函数在指定区间的极值(1) 3cos log ()xx x x xf x e ++=在(0,1)内的最小值。
(2) 33212112122(,)2410f x x x x x x x x =+-+在[0,0]附近的最小值点和最小值。
7. 求微分方程的数值解，并绘制解的曲线2250(0)0'(0)0xd y dyy dx dx y y ⎧-+=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩程序及运行结果（注意：参数中不能取0，用足够小的正数代替）：令y 2=y,y 1=y '，将二阶方程转化为一阶方程组：'112'211251(0)0,(0)0y y y x x y y y y ⎧=-⎪⎪=⎨⎪==⎪⎩8. 求微分方程组的数值解，并绘制解的曲线123213312123'''0.51(0)0,(0)1,(0)1y y y y y y y y y y y y =⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪===⎩程序及运行结果：三、实验提示四、教程：第6章 MATLAB 数值计算（2/2）6.2 数值微积分 p155 6.2.1 数值微分1. 数值差分与差商对任意函数f(x)，假设h>0。
《数值分析-李庆杨》第4章 数值积分与数值微分-文档资料
(a
b).得到的求积公式就是中矩形公式。再令
数
f (x) x2, 代入(1.4)式的第三式有
值
分 析 》
A0 x02
(b
a)( a
b)2 2
b
a 4
(a2
b2)
b x2dx 1 (b3 a3 ),
a
3
说明中矩形公式对f (x) x2不精确成立，故它的代数精确度为1.
当f(x)=x2时(1.4)式的第三个式子不成立，因为
b a (a2 b2 ) b x2dx 1 (b3 a3).
2
a
3
故梯形公式(1.1)的代数精确度为1.
第4章 数值积分与数值微分
在方程组(1.4)中如果节点xi及系数Ai都不确定，那么方 程组(1.4)是关于xi及Ai(i=0,1,…,n)的2n+2个参数的非线性方 程组。此方程组当n>1时求解是很困难的，但当n=0及n=1的 情形还可通过求解方程组(1.4)得到相应的求积公式。
练习 设有求积公式
1
1 f (x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
试确定系数A0, A1, A2, 使上述求积公式的代数精度尽量高.
三、插值型求积公式
第4章 数值积分与数值微分
在n 1个互异节点a x0 x1 xn b上已知函数值f0,
A1
1（b a）.于是得 2
数 值
I ( f ) b f ( x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
分
析 这就是梯形公式(1.1),它表明利用线性方程组(1.4)推出的求积公式，
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第五章数值微积分一、内容分析与教学建议本意内容是数值微积分。
数值微分包括：用插值多项式求数值微分、用三次样条函数求数值微分和用Richardson外推法求数值微分。
数值积分包括：常见的Newton-Cotes求积公式，如：梯形公式、Simpson公式和Cotes公式；复化求积公式；Romberg求积公式和Gauss型求积公式等内容。
(一)数值微分1、利用Taylor展开式建立数值微分公式，实际上是利用导数的离散化，即用差商近似代替导数，在由Taylor公式的余项估计误差；由于当步长h很小时，回出现两个非常接近的数相减，因此，在实际运用中往往采用事后估计的方法来估计误差。
2、用插值多项式求数值微分，主要是求插值节点处的导数的近似值。
借助第二章的Lagrange插值公式及其余项公式，确定插值节点处的导数的近似值及其误差。
常用的有三点公式和五点公式。
3、阐明用三次样条函数s(x)求数值微分的优点：由第三章的三次样条函数s(x)的性质知：只要f(x)的4阶导数连续，则当步长h 0时，s(x)收敛到f (x) , s(x)收敛到f (x) , s (x) 收敛到f (x).因此，用三次样条函数s(x)求数值微分，效果是很好的。
指出其缺点是：需要解方程组，当h很小时，计算量较大。
4、讲解用Richardson外推法求数值微分时，首先阐明方法的理论基础是导数的离散化，即用差商近似代替导数；然后重点讲解外推法的思想和推导过程，因为这种方法和思路在后面的数值积分和微分方程数值解中还要用到。
（二）数值积分的一般概念1、由定积分的几何意义引入数值积分的思想，介绍求积公式、求积节点、求积系数、余项等基本概念。
2、重点介绍代数精度以及如何求一个判定积公式的代数精度，并举例说明。
3、介绍插值型求积公式以及插值型求积公式的代数精度的特点。
（三）等距节点的求积公式1、简单介绍一般的等距节点的插值型求积公式--- Newton-Cotes公式以及Cotes系数。
2、重点介绍几种常用的Newton-Cotes公式：梯形公式、Simpson公式和Cotes公式。
要求学生掌握上述三种求积公式的表达式，并了解三种求积公式各自的余项。
3、以Simpson公式为例，求出它的代数精度是3;并要求学生课后自己求出梯形公式和Cotes公式的代数精度。
（四）复化求积公式1、结合分段插值的思想阐明复化求积公式的思想。
2、重点介绍复化梯形公式、复化Simpson公式和复化Cotes公式以及它们各自的余项，并举一、两个例子加以说明。
3、简介事后估计和自适应Simpson方法。
（五）Romberg求积法1、Romberg求积法是一种逐步分半加速法，它是以复化梯形公式为基础构造高精度求积公式的方法，是一种快速、有效的求积法。
2、阐明Romberg公式的建立过程：利用事后估计的思想，从复化梯形公式建立一整套递推算法，进而得到Romberg公式，整个过程实际上是一个加速的过程。
3、可通过例子验证Romber评积法的加速效果。
（六）Gauss型求积公式1、Gauss型求积公式也是一种高精度的插值型求积公式，但它的节点不是等距的，因而Gauss型求积公式不届于Newton-Cotes公式的范畴。
2、阐明Gauss型求积公式的代数精度是插值型求积公式的最大值，介绍Gauss点的概念，并说明Gauss点实际上是某个正交多项式的零点。
3、讲活楚Gauss型求积公式的求积系数的特殊构造，并由此证明Gauss型求积公式是稳定的，以及Gauss型求积公式的收敛性。
4、介绍几种Gauss型求积公式：古典Gauss公式、Gauss-Tchebyshev公式、Gauss-Laguerre公式和Gauss-Hermite公式。
让学生了解上述四中Gauss型求积公式的表达式、表达式中的权函数、定积分的上、下限以及求积系数，并通过2— 3个例子具体阐述上述Gauss 型求积公式是如何求数值积分的，并和以前的方法比较它们的精度。
本意结束时，建议安排一次上机实习，让学生自己动手，根据书中的算法，编程计算各种数值积分的例子，加深和巩固学生对本意内容和方法的了解和掌握。
二、补充例题例1用三点公式求f (x)([ 1)2在x 1.0, 1.1, 1.2处的导数值，并估计误差，f(x)的函数值由下表给出：X j 1.0 1.1 1.2. f(x) 0.250000 0.2267570.206612解三点求导公式为取上表中X0 1.0, X1 1.1, X2 1.2,再分别将有关数值代入上式，即可得导数的近似值。
因为f ( i) max f (x) max —4—5弓0.75 ,所以可得误差估计及导数值如下表：'I 1.0 x 1.2 '， 1.0 x 1.2 (1 x)525例2从地面发射一枚火箭，在最初80秒内，记录其加速度如下表。
试求火箭在第80 秒时的速度。
分析：速度对时间t的导数等丁加速度，因此已知加速度求速度，只需把速度看作是加t 80、、速度的原函数即可。
右设速度为v(t)，则v(t) v(0) 0a(t)dt , 丁是v(80) v(0) 0 a(t)dt . N样就把问题转化为求积分的问题。
解应用复化Simpson求积公式计算。
此题中积分区间的长度是80,有9个节点，故n 4, h 80/4 20.由丁火箭从地面向上发射，因此v(0) 0. 丁是火箭在第80秒时的速度80 80为v(80) v(0) 0 a(t)dt 0 a(t)dt例3计算椭圆丈y2 1的周长，使结果具有5位有效数字。
4分析：这是一个求周长的问题，因此要用到线积分中的弧长公式。
在估计误差时，由丁弧长公式中含有根式，其高阶导数较复杂，故可用事后误差估计的方法来做；另外还必须把误差与有效数字结合起来使用。
解由丁在直角坐标系下求弧长表达式较复杂，因此采用极坐标来求解。
令x 2cos , y sin ,则椭圆弧长为l 4 : ~(y )2 d 4 j cos2 d 4 j ~~3sin2 d ,因为—I W 3sin2 d 2 —，所以I有一位整数。
故若要求结果有5位有效数字, 2 02则必须使截断误差 1 104.列表计算如下：2故可取I T8 2.4221可使I有5位有效数字，从而l 4 I 9.6884 .例4用反证法证明：不存在A k, X k (k 0,1,2,|||,n)，使得求积公式的代数精度超过2n 1次。
分析：只要能找到一个2n 2次的多项式，使求积公式两边不相等即可。
而具有2n 1次代数精度的求积公式的节点是 [a, b]上带权(x)的正交多项式的零点x k (k 0,1,2，川,n),可 n 考察2n 2次的多项式2 3i (x) (x X i )2.n解 构造多项式K(x) 2 i (x) (x x i )2，并令f (x) K(x),代入上述求积公式，贝U 左i 0b n n(x)K(x)dx 0;右端有 A k f(xQ AKg) 0; 即左端 右端。
这k 0度的求积公式。
1 ， ， ， (f2 8f i 8f i12h2 3 1⑵ f(x °) *1 2f 0 f 1) O(h2).证本题用Taylor 公式来证。
1(2h)4 f (4) (X 0) O(h 5), 4!上 h 4 f (4)(x °) O(h 5), 4!5f(x 0 h) 8f(x 0 h) f (X 0 2h) 12h f (X 0) O(h 5),即 f(x °) ^(f 2 8f 1 8f 1 f 2) O(h4).⑵ 利用⑴中f(X 0 h)的展开式，得3，,1 , , , - 2E ?(f 1 2f 0 f 1) O(h).b跚有 (x)f(x)dx说明：不存在具有 2n 2次代数精度的求积公式。
故Gauss 型求积公式是具有最高次代数精例5设f (x)5C 5[x ° 2h, x) 2h], h 0, x kx kh, f k f (x<), k 0, 1, 2 ,求证：⑴f (x °)f 2) O(h 4);(1)因为 f(x 。
2h) f (x)) 2h f (x 0)1 2.1 3 _(2h) f (X ))(2h) f (X 0)2!3!所以 f (X 0 2h)例6确定常数A, B, C, D (均用分数精确表示)，使求积公式@(f) I(f),其中I(f) ：(x a)f(x)dx, @(f) h 2[Af(a) Bf(b)] h 3[Cf (a) Df (b)]具有尽可能高的代数精确 度，并指出代数精确度是多少其中h b a .解 设该求积公式对f(x) 1, x a, (x a)2, (x a)3精确成立，得-(x a)2 b h 2[A 1 B 1] h 3[C 0 D 0],2a -(x a)3 b h 2[A 0 B h] h 3[C 1 D 1],3 a !(x a)4 b h 2[A 0 B h 2] h 3[C 0 D 2h],4 a l(x a)5 b h 2[A 0 B h 3] h 3[C 0 D 3h 2],5a化简得解得 A —, B —, C —, D —. 2020 30 20例7寻找合适的数值求积公式，计算出积分1x—x 2 —dx 的准确值。
3J 2x t 21；21 1「2 2x_4x x 2 3dx(t 2) .1 t 2dt — 、.1 t 2d(t 2)21-12 -1_ 2 _ 21t(t 2)21 1t(t 2)2 1 1 1—2) dt 1 L (： 2) dt - , 1 f (t)d t , 1-1.1 t 2 2 -1 ,1 t 2 2 -1 ,1 t 21(x)—，所以可取Gauss-Tchebyshev 求积公式-^=f(t)dt A<f (x k )，其中 A 一，k 1,2，川,n . 1 t 2k 1n解因为其中 f (t) t(t(t 2)2 ■ 1 t 22)2,权函数 11 -1乂因为f(t) t(t 2)6是3次多项式，且()具有2n 1次代数精度，所以取n 2,可计算出积分：x 4x X2 3dx 711 2 -1i t2f(t)dt的准确值。
此时Al — , A21 2 3 2—,x〔cos— --- , X2 cos— ---2 2 4 2 4 2f (X i)2松 1 2)2了 2 守，2 2 4f (X2) x2(x2 2)2M 号 2 2 *2 2 46 2 4 2 4 87 _ 3 2 4 3 .4 3 2。