2012-2013学年度第一学期八县(市)一中期末考答卷1

2012-2013学年度第一学期八县(市)一中期末考高二年级 数学（理科）试卷命题学校：福清一中 命题教师：林立举 审核教师：郭世开考试日期：1月25日 完卷时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 命题“若ab ＝0，则a=0或b=0”的否命题是( )A ．若ab=0，则a ≠0或b ≠0B ．若ab=0，则a ≠0且b ≠0C ．若ab ≠0，则a ≠0或b ≠0D ．若ab ≠0，则a ≠0且b ≠02．已知△ABC 的顶点A (1，－1，1)，B (5，6，2)，C (1，m ，－1)，若∠ACB =900，则m 等于( )A ．0B ．5C ．0或5D ．不存在3．已知方程13522=-+-k y k x ，该方程表示椭圆的充要条件是( ) A ．53<<k B ．3<k C ．5>k D ．453≠<<k k 且 4．若平面α的一个法向量n ＝(2,2,1)，直线l 的一个方向向量为a ＝(1,－1,－4)，则l 与α所成角的正弦值为( )A ．629B ．229C ．－229D ．±2295．过双曲线13422=-y x 左焦点1F 的直线交双曲线的左支于M N ，两点，2F 为其右焦点，则22MF NF MN +-的值为( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．126．若a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1，2)，c ＝(1，4，4)，且a 、b 、c 共面，则λ＝( )A ．1B ．－1C ．1或2D ．±17．已知命题p ：x ²∈{x |11+x >0}，则⌝p 是( )A ．x ∈{x |11+x ≤0}B ．x ²∈{x |11+x ≤0}C ．x ² ∉{x|11+x ≤0|}D ．x ² ∉{x |11+x >0} 8．下列有关双曲线13222=-y x 的命题中，叙述正确的是( )A ．渐近线方程y=±63xB ．离心率e = 102 C ．顶点（0，±2） D ．焦点（±5，0）9．已知经过点M （4，0）的直线交抛物线x y 42=于A 、B 两点，则以线段AB 为直径的圆与原点的位置关系是( ) A ．原点在圆内 B ．原点在圆上 C ．原点在圆外 D ．不能确定10．设R b a ∈,，下列给出b a ,三个命题:①“存在0>a ，使得对任意的b ，都有1≥b a ； ②“任意0>a ，存在b 使得001.0<b a ”； ③存在两个无理数b a ,，使得b a 为有理数．其中真命题的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

把正确答案填在答卷的相应位置上。

11．设抛物线方程为241x y -=，则该抛物线的焦点坐标是12．直线1+=my x 与双曲线1:22=-y x C 恰有一个交点，则m 的取值集合是13．已知经过椭圆141622=+y x 左焦点F 的一条直线交椭圆于A 、B 两点，那么线段AB 长的最小值为14．已知正四面体A-BCD 的棱长为1，O 为底面BCD 的中心，则AB→·AO →=15．经过点P(4,1)的直线l 交双曲线141222=-y x 于M 、N 两点，若点P 恰为线段MN 中点，则直线l 的方程为___________________．三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分13分）已知R m ∈，设命题P ：关于x 的不等式022<++m mx x 有解；命题Q ：直线m x y +=与抛物线x y 42=没有公共点．若命题“P ⌝”与“Q P ∨”都为真命题，求m 的取值范围．17.（本小题满分13分）已知椭圆C ：12222=+by a x (a ＞b ＞0)的离心率为21，其左焦点到点P(2，1)的距离为10，过原点作直线OP 的垂线l 交椭圆C 于A ，B 两点． (1) 求椭圆C 的方程； (2) 求△ABP 的面积．ABCD EFP 18.(本小题满分13分)如图，四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP=AB=2, BC=22, E, F 分别是AD, PC 的中点．试建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题：(1) 证明：PC ⊥平面BEF ；(2) 求平面PAD 与平面BEF 所成角．19.（本小题满分13分）平面直角坐标系中，O 为原点，给定两点A （1，0）、 B （0，-2），点C 满足OB OA OC βα+=，其中α、β∈R ，且α-2β=1， (1) 求点C 的轨迹方程；(2) 设点C 的轨迹与双曲线1222=-y ax （a ＞0,b ＞0）交于两点M 、N ，且ON OM ⊥，求双曲线方程．20．（本小题满分14分）如图，FD 垂直于矩形ABCD 所在平面，CE//DF ，090DEF ∠=．(1) 求证：BE//平面ADF ；(2) 若矩形ABCD 的一个边AB =3，EF =23，则另一边BC 的长为何值时，点A 到平面BEF 的距离为2？21．（本小题满分14分）如图所示，过抛物线2:4C x y =的对称轴上一点(0,)(0)P m m >作直线l 与抛物线交于1122(,),(,)A x y B x y 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点． (1) 求证：m x x 421-=；(2) 若PB AP λ=，且)(QB QA PQ μ-⊥，求证：μλ=．ABCDEF2012---2013学年度第一学期八县（市）一中期末联考高中 二 年 数学 (理) 科答题卷考试日期： 1月 25日 完卷时间：120分钟 满分：150分 1~10 11~15 16 17 18 29 20 21 总分一、选择题：（每小题5，共50分）二、填空题：（每小题4分，共20分） 11 1213 1415三、解答题：（16-19每小题13分，20-21每小题14分，共80分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案学校 班级 姓名 座号 准考号： .---------密………封…………装…………订………线----------16.（本小题满分13分）17.（本小题满分13分）18.（本小题满分13分）ABCD EFP21（小题满分14）19.（本小题满分13分）20.（本小题满分14分）A B CD EF--------密………封…………装…………订………线--------..八县(市)一中高二年级期末考数学(理科)试卷参考答案2013年1月8日一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11. （0，-1） 12. {0，1，-1} 13. 2 14. 3215. 4x-3y-13=0三、解答题（本大题共6小题，16-19每小题13分，20-21每小题14分，共80分） 16.（本小题满分13分）解：由已知关于x 的不等式022<++m mx x 有解082>-=∆∴m m ， 解得0<m 或8>m ………………………………5分 ∴当0<m 或8>m 时，P 是正确的 …………………6分 ∵直线m x y +=①与抛物线x y 42=②没有公共点,联立①、②，消去x 得0442=+-m y y ……7分 令0<∆，解得1>m因此，当1>m 时， Q 是正确的……………………10分 ∵P ⌝与Q P ∨都为真命题∴P 假且Q 真，画数轴可得：81≤<m …………12分∴实数m 的取值范围为]8,1(…………13分 17.（本小题满分13分）解：(1)由题意：21==a c e ； ①………1分左焦点(﹣c ，0)到点P(2，1)的距离为：101)2(22=++=c d ． ②……3分由①②可解得：222431a b c ===，，．……………6分∴所求椭圆C 的方程为：13422=+y x ．………………7分(2)易得直线OP 的方程：y ＝21x ，即x-2y=0因直线l 过原点且垂直于直线OP ，故直线l 的方程：2x+y=0………8分由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,134222y x y x 得：12 4(2x)3x 22=+. ∴195722,1±=x ………………10分∴||1||212x x k AB -+==192854 ………………11分 又5||=OP∴△ABP 的面积S=195720||||21=OP AB ………………13分18.（本小题满分13分）解：(1)如图，建立空间直角坐标系A-xyz . ………………1分∵22,2====AD BC AB AP ，四边形ABCD 是矩形. ∴(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,22,0)C ，(0,22,0),(0,0,2)D P ………………2分又E,F 分别是AD,PC 的中点， ∴ (0,2,0),(1,2,1)E F∴ (2,22,2),(1,2,1),(1,0,1)PC BF EF =-=-=,…………4分 ∴ 0242=-+-=⋅BF PC ，0202=-+=⋅EF PC 分 ∴ ,,PC BF PC EF ⊥⊥…………6 又∵,BF EF F ⋂=∴ PC ⊥平面BEF …………………………8分 (2)由（1）知平面BEF 的法向量：)2,22,2(1-==PC n平面BEF 的法向量：)0,0,2(2==AB n …………10分 设平面BEF 与平面BAP 的夹角为θ， 则21424||||||,cos |cos 212121=⨯=⋅=><=n n n n n n θ，……12分 ∴060=θ，∴ 平面BEF 与平面BAP 的所成角为060…………13分 19.（本小题满分13分）解:（1）设C （x ，y ），因为OC =αOA +βOB ，则（x ，y ）=α（1，0）+β（0，-2） ………………………2分∴⎩⎨⎧-==.2,βαy x ∵α-2β=1,∴x+y=1. …………………4分即点C 的轨迹方程为x+y=1. ………………………5分（2）由⎪⎩⎪⎨⎧=-=+,1,1222y ax y x 得：02a x 2a -x )1-(a 2222=+………………6分 由题意,得a 2-1≠0，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）,则：x 1+x 2=1222-a a ，x 1x 2=1222-a a .……………………………8分因为ON OM ⊥，ON OM ∙=0，即x 1x 2+y 1y 2=0, ………………9分 x 1x 2+(1-x 2)(1-x 2) =1-(x 1+x 2)+2x 1x 21 234 5 6 7 8 910DC CBBADAB Ay xzABCD EFP=114122222-+--a a a a =0, ………………11分 即1-3a 2=0, 得 312=a∴双曲线方程为1322=-y x ………………13分20.（本小题满分14分）解：（1）法1：过点E 作CD 的平行线交DF 于点M ，连接AM ． 因为CE//DF ，所以四边形CEMD 是平行四边形． 可得EM = CD 且EM //CD ，于是四边形BEMA 也是平行四边形，所以有BE//AM ，而直线BE 在平面ADF 外， 所以BE//平面ADF ．………………………5分法2：以直线DA 为x 轴，直线DC 为y 轴，直线DF 为z 轴， 建立空间直角坐标系．…………1分则平面ADF 的一个法向量为(0,1,0)n →=．设AB = a ，BC = b ，CE = c ，则点B 、E 的坐标分别为（b ，a ，0）和（0，a ，c ），……………3分那么向量(,0,)BE b c →=-．可知(0,1,0)(,0,)0n BE b c →→∙=∙-=，得n BE →→⊥，而直线BE 在平面ADF 的外面，所以BE//平面ADF ．………………………6分 （2）由EF =23，EM = AB =3，得FM = 3且030MFE ∠=．由090DEF ∠=可得FD = 4，从而得CE =1．………………………7分 设BC = a ，则点B 的坐标为（a ，3，0）．又点E 、F 的坐标分别为（0，3，1）和（0，0，4）， 所以(,0,1)EB a →=-，(0,3,3)EF →=-．…………………9分 设平面BEF 的一个法向量为),,(z y x m =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0EF m EB m ⎩⎨⎧=+-=-⇒0330z y z ax ，取1=x ，得),3,1(a a m =．……11分易知向量)0,3,0(=AB ，设点A 到平面BEF 的距离为d ：则2413||||aam m AB d +=⋅= ……12分 由已知点A 到平面BEF 的距离为2， 所以24132=+aa ，可得2=a ．………13分所以当另一边BC 的长为2时，点A 到平面BEF 的距离为2…………… 14分 21.（本小题满分14分）解：(1)设l 方程为：y kx m =+，由24y kx m x y=+⎧⎨=⎩得2440x kx m --=，………………3分 所以124x x m =- ………………………5分(2) PB AP λ=,得(-1x ,m-1y )=λ(2x ,2y - m)∴1x =-2x λ，即12x x λ=-，………………6分 由()QP QA QB μ⊥-，得122[(1)]0m y y m μμ-+-=………………………8分又∵4211x y =，4222x y =从而2212(1)044x x m μμ-+-=， ………………………………9分 把124x x m =-代入上式并化简得0)1(212221=-+-x x x x μμ，……10分∴21122()(1)0x xx x μμ---=， ……………………11分则2(1)0λμλμ+--=，所以1λ=-或λμ=，而显然0λ>，…………………13分 所以λμ=． ……………………………14分A BC D E MFxyz。