教育取向的数学史研究

这样的例子在数学史上不胜枚举，对于这些历 史的了解，可以帮助人们了解数学创造的真 实过程，而这种过程在通常的教科书中是以 定理到定理的形式被包装起来的．
教科书往往用一种“冰冷的美丽”将数学知识 呈现出来，我们学习数学史，就是要了解数 学的发展历程，将这种“冰冷的美丽”还原 为数学家的“火热的思考”。
之法，出于圆(圆周率三)方(四方)，方出于矩(正
方形源自两边相等的矩 )，矩出于九九八十一(面 积计算——长乘宽依自九九乘法表 )。故折矩以
为勾广三，股修四，径隅五。……故禹之所以治 天下者，此数之所生也。”
注：周公生活于周朝初年（公元前1100年左右）
接着，在陈子与荣方的“师
生对话”中，借陈子之口
二、开展教育取向的数学史研究
数学史要学习什么？
数学史研究数学概念、数学方法和数学
思想的起源与发展，及其与社会政治、经济 和一般文化的联系。
数学史不仅仅是单纯的数学成就的编年史．数 学的发展决不是一帆风顺的，在更多的情况 下是充满犹豫、徘徊，要经历艰难曲折，甚 至会面临危机．数学史也是数学家们克服困 难和战胜危机的斗争记录． 无理量的发现、微积分和非欧几何的创立，乃 至费马大定理的证明，……这些都是充满着 困难、曲折和抗争的数学真理的发展史。
——基于历史的考察
为什么要讲讲勾股定理的证明？ 在课程改革以前，中学生学习勾股定理往往 只需要记住这个结论并用它来证明其它命 题就可以了，对这个命题的来龙去脉、对 这个命题证明和推广并未加深究.
《数学课程标准（义务）》对勾股定理的 教学提出了如下要求： 体验勾股定理的探索过程，会运用勾 股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆 定理判定直角三角形.
• 天圆地方
圜丘形圆象天，三 层坛制，高5.17米，下
层直径54.92米，上层
直径23.65米，每层四 面出台阶各九级。上层 天坛东西长1700米，南北宽 1600米，总面积为273万平方米。 天坛包括圜（huán ）丘和祈谷二 坛，围墙分内外两层，呈回字形。 北围墙为弧圆形，南围墙与东西墙 成直角相交，为方形。这种南方北 圆，通称“天地墙”，象徵古代 “天圆地方”之说。 中心为一块圆石，外铺 扇面形石块九圈，内圈
了直角三角形三边的某种特性.
现在请你也观察一下，你能有什么 发现？ 朋友家的地砖
毕达哥拉斯(公元前 572—前492),古希 腊著名的哲学家,数 学家,天文学家
同样地，在我国古代很早就有了对勾股定理的研究.
《周髀算经》写到：“昔者周公问于商高曰：…… 古者包牺(即伏羲)立周天历度，夫天不可阶而升， 地不可得尺寸而度，请问数安从出？商高曰：数
人教版8年级上册的教材中也有“勾股定理 的证法”一节.
然而，很多同学，包括数学教育专业的同学 对勾股定理的证明并不清楚.
比如，在2006年我校数学课程教学论专业硕 士研究生面试题中，就有一道“请用两种 方法证明勾股定理”的问题.
几个“准研究生”要么是不会做，要么是用 余弦定理、两点间距离公式或 sin2A+cos2A=1来证明勾股定理，殊不知这 些结论恰恰是用勾股定理推导出来的.（循 环论证）
三、数学史知识在数学教学中 的应用
初中数学教材中的数学史 （以人教版为例）
1.3 实验与探究 阅读与思考 2.1 阅读与思考 3.1 阅读与思考 3.2 实验与探究 4.1 阅读与思考
填幻方 中国人最先使用负数 数字1与字母Ｘ的对话 “方程”史话 无限循环小数化分数 几何学的起源
第五章 相交线与平行线 可介绍“第五公设” 第六章 平面直角坐标系 可介绍“笛卡尔” 7.4 镶嵌 可提及正多边形的历史
因此，数学史家认为“在大多数的学科里，一代 人的建筑为下一代人所拆毁，一个人的创造被
另一个人所破坏。唯独数学，每一代人都在古
老的数学大厦上添加一层楼” ．这种说法虽然
有些绝对，但却形象地说明了数学这幢大厦的
累积特性． 因此，当我们为这幢大厦添砖加瓦时，有必要了 解它的历史.当我们为未来的数学发展培养人才 时，我们就不得不让他们了解数学的历史.
（一）从历史说起——
在很早以前，许多民族都对勾股定理进行过
研究。在古代巴比伦、古代中国、古埃及、 古希腊等文明中，都有关于勾股定理的研 究……
在西方，勾股定理被称之为“毕达哥拉斯定
理”。
据说，毕达哥拉斯特哥拉斯在朋友家
做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映
等代数的抽象代数并没有使前者被淘汰；
同样现代分析中诸如函数、导数、积分等
概念的推广均包含了古典定义作为其特
例……．
可以说，在数学的进化过程中，几乎没有发生 过彻底推翻前人建筑的情况．如果我们对比 天文学的“地心说”、物理学的“以太说” （空间被以太这种媒介物质所充满 ）、化学 的“燃素说”的命运，就可以看清数学发展 不同于其他学科的这种特点．
数学的累积性与数学史的意义
英国科学史家丹皮尔(W．C．Dampier)曾经 说过：“再没有什么故事能比科学思想发
展的故事更有魅力了”．
庞加莱语录
H. Poincaré (法, 1854-1912）
如果我们想要 预见数学的将来， 适当的途径是研 究这门科学的历 史和现状。
萨顿（比－美，1884－1956）： 学习数学史倒不一定产生更出色的数学 家，但它产生更温雅的数学家，学习数 学史能丰富他们的思想，抚慰他们的心 灵，并且培植他们高雅的质量。
具体说来，数学史具有明理、哲思与求真三重
教育价值。
(1)明理：数学知识从何而来?数学史展示数学 知识的起源、形成与发展过程，诠释数学知识的源 与流。因此，通过数学史的学习，可以促进学生理 解数学知识之间的联系，了解数学知识的来龙去 脉……
比如，有的老师在讲有理数和无理数的概念 时，不清楚这两个概念的来龙去脉，讲不 清楚概念，学生也无法理解为什么叫“有 理数”、“无理数”——是有道理和没道 理吗？ 而事实是——“有理数”的英文单词是 “rational number”， rational有“理性 的”之意，然其词根是“ratio”，是“比 率”的意思。
一、数学史在数学教育中的意义 和作用
数学史研究的三重目的
数学史的三重教育价值 数学史的意义
数学史研究的三重目的——
数学史家李文林认为，数学史的研究具有三 重目的：一是历史的目的，即恢复历史的 本来面目；二是数学的目的，即古为今用， 为现实的数学研究与自主创新提供历史借 鉴；三是教育的目的，即在数学教学中利 用数学史，这在当前已成为一种国际现象。
事实上，据考证，中国的“有理数”、“无理数” 的名称从日文翻译过来。而日本学者在翻译过程 中错误的将“rational number”翻译为“有理 数”，相应地就有了“无理数”的概念。中国学 者又将这个错误的翻译引进中国。
因此， “rational number”一词其实质是“比数” （包含所有的整数和分数），正符合有理数的本 质——可以化成两个整数的比值。相应地，“无 理数”的本质则是“非比数”，无法写成两个整 数的比的形式（无理数就是无限不循环小数）。
科学史学会的萨顿奖章
数学史无论对于深刻认识作为科学的数学本 身，还是全面了解整个人类文明的发展都 具有重要意义． 与其他知识部门相比，数学是一门历史性或 者说累积性很强的科学．重大的数学理论 总是在继承和发展原有理论的基础上建立 起来的，它们不仅不会推翻原有的理论， 而且总是包容原先的理论．
例如，数的理论的演进（数系的扩张）就表 现出明显的累积性；在几何学中，非欧几 何可以看成是欧氏几何的拓广；溯源于初
阅读与思考 海伦─秦九韶公式
22.3 观察与猜想 发现一元二次方程根与 系数的关系 第二十四章 圆 可介绍圆周率的历史
25.3
27.2
阅读与思考 布丰投针实验
观察与猜想 奇妙的分形图形
28.1
阅读与思考 一张古老的三角函数表
第二十九章 投影与视图 可介绍中世纪的 名画、达芬奇的画、郑板桥画竹
探索勾股定理
1972年,在第二届国际数学教育大会上,成 立了数学史与数学教学关系国际研究小 组(International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics, 简称HPM),标志着数学史 与数学教育关系作为一个学术研究领域 (我们也称之为HPM)的出现.
教育取向的数学史研究，其最终目的是在数学教学中 借鉴数学家研究数学的经验和数学知识发生发展的
理论。然而，数学家研究数学的经验、数学知识发
生发展的理论对数学教学的指导也是有限的，因为
学校数学和科学数学是两种不同形态的数学，而且
学生也无法在有限的时间内重复数学家们所走过的 漫长道路。 那么，数学教学如何借鉴数学家研究数学的经验呢？ 这正是我们所要研究的主要问题。
教育取向的数学史研究
西华师范大学数学与信息学院
杨孝斌
Email:xbyang79@
QQ：328880809
数学，源自古老的河谷文明，绵延上下五 千年，传承着人类最富有理性魅力的科学 文化。追溯古今，每一个数学真理的获得， 都闪耀着人类思想的光辉；每一个数学问 题从绝境中突破，都折射出数学家的睿智 和灵感；每一个划时代的数学思想及其理 论体系的创生，都孕育着人类科学新的跨 越。数学史，一部恢弘壮丽的数学文明发 展史诗，是人类用实践和智慧铸就的理论 丰碑。
科学数学的 “冰冷的美丽”
还 原
数学家们 “火热的思 考”
如何还原？
开展教育取向的数学史研究 进行基于数学史与数学思想方法的教学设计
重视数学史在数学教学中的意义和作用，通 过数学教学展现数学知识的发现历程，让 学生了解数学知识的来龙去脉，是数学教 学的有效策略。
展现数学知识的发现过程，不是简单叙述数 学史实，重复数学家的“原发现过程”。 而是需要教师开展教育取向的数学史研究， 从中获得对数学教学的启示，引导学生重 走数学发现之路。