数学史研究之微积
初探中国古代数学中的微积分思想
有着 光辉灿 烂的数 学 史， 事 实上 中国古代 教 学中也 同样蕴含 着初步 的微 积分 思想．
微积 分的 产 生一般 分 为三 个阶段 ： 极 限概 念 ． 求积 的 无限 小方 法 ， 积 分 与 微 分 的 互
逆 关 系． 最 后一 阶段 是 由牛 顿 、 莱布 尼兹 各 自独 立 完成 的． 对 于前 两个 阶段 的 工作 ， 欧 洲的 大批数 学家甚 至 可一 直追 溯 到 古 希 腊 的 阿基 米德 都 做 出过 不 同的 贡 献． 在这 方
足 下． ” 比喻 事情 的 成功是 由小到 大逐 渐积 累的． 如 果我 们单从 比喻 的 本 身来说 明定 积
分 的 微 元 法 是 再 合 适 不 过 的 了． 这里 面蕴 涵 着深刻 的微 积分 思 想． 立足传 统 文化 ， 将 会 使 我 们 收 获 人 类 文 明 成 果 的 行 程 变得 更 有 意 义 ．
移
爷 ， 刊 首 。 ● 一 － Ａ Ⅳ － ● ｓ ， ■ ■ ， ● ●
初 探 中 国 古 代 数 学 中 的 微 积 分 思 想
刻 画静 态现 象的数 与 刻 画动 态现 象的 函数都 是数 学 中非 常重要 的概 念． 随 着对 函 数 研 究 的不 断深 化 ． 产 生了微积 分 ， 它是 数 学 发展 史上 继 欧 氏 几何 后 的 叉一 具 有 划 时
于不 可割 ． 则 与 圆周合体 而无所 失 矣． ” 这 其 中正体 现 了“ 以直 代 曲 、 无 限逼 近 ” 的 微 积
分 的 核 心 思 想．
学． － ｊ 立体 几何 时 ， 我 们 都 知 道球 的 体 积 公 式 、 ／ 球一 ÷ Ｒ。 ． 中 国古代 将 球 称 为 立
《数学史》微积分的创立
卡瓦列里利用这条原理计算出许多立体图形的体积．然而 他对积分学创立最重要的贡献还在于，他后来(1639)利用平面 上的不可分量原理建立了等价于下列积分
a
0
n 1 a x n dx n 1
费马在信中指出他求函数极大值、极小值的方法还“可以 推广应用于一些优美的问题”，并说他已经获得了求平面与立 体图形的重心等一些其他结果，“关于这些结果，如果时间允 许，我将在另外的场合来论述.”
开普勒
• 1609年，他在《新天文学》和《宇宙和谐》两部著作 中提出了行星运动三大定律，为日后牛顿发现万有引 力定律奠定了基础．
• 开普勒在极度贫苦中去世，在他的墓碑上刻着他自 己写的墓志铭：我曾观测苍穹，今又度量大地． 灵魂遨游太空，身躯化为尘泥．
开普勒行星运动三大定律要意是： I．行星运动的轨道是椭圆，太阳位于该椭圆的 一个焦点；
3
(二)卡瓦列里不可分量原理
意大利数学家卡瓦列里(Bonaventura Cavalieri，1598—1647) 在其著作《用新方法促进的连续不可分量的几何学》(1635)中发 展了系统的不可分量方法． 卡瓦列里认为线是由无限多个点组成；面是由无限多条平行 线段组成；立体则是由无限多个平行平面组成．他分别把这些元 素叫做线、面和体的“不可分量”(indivisible)．
f (a e) ~ f (a),
ae
消去公共项后，用 e 除两边，再令 e 消失，即
f (a e) f (a) 0 e e 0
由此方程求得的
a 就是
f ( x) 的极值点．
费马的方法几乎相当于现今微分学中所用的方法，只是 以符号 e (他写作 E )代替了增量△ x ． 记载费马求极大值与极小值方法的这份手稿，实际上是 他写给梅森(M．Mersenne)的一封信。梅森将费马这封信转给 了笛卡儿，从而引起了关于切线问题的热烈争论 。
微积分的创立与第二次数学危机
微积分的创立与第二次数学危机微积分在数学史上的发展有着重要的地位，不仅是一种研究工具，更是引领了数学领域的新一波革命。
然而，在微积分创立的同时，数学却遭遇了第二次数学危机，为什么会出现这样的情况呢？微积分的创立微积分的创立是由牛顿和莱布尼茨两位伟大的数学家分别独立发明的。
17世纪末期，牛顿发明了微积分的基本思想，通过对同一函数在两个相邻时刻之间的差别进行极限分析，得出了微分和积分的概念。
莱布尼茨也在同一时间内独立地发明出了微积分的基本思想，但他使用的符号和牛顿有所不同。
微积分的诞生极大地推动了物理学和其他领域的发展。
在物理学中，微积分被用来描述质点的位置变化随时间的导数和加速度，以及力的积分表示功。
微积分也被广泛应用于工程学、经济学、天文学等领域。
第一次数学危机发生在19世纪初期，当时的探究重点是不确定性原理。
卡尔·根特洛克和海森堡等物理学家的研究表明，存在一些物理量的值是无法同时确定的。
这种不确定性引导着波动力学的诞生，而不是经典力学。
然而，第二次数学危机与第一次危机的背景截然不同。
在20世纪初期，一些数学家意识到了基于无穷集合的微积分理论中存在一些悖论。
G·卡扎活、B·罗素和A·怀特海等数学家通过数学的逻辑分析，发现了使得微积分理论变得自相矛盾的问题。
其中一个最著名的问题是伯努利悖论。
伯努利悖论指出如果意像无穷多次抛硬币，每次都有1/2的概率正面朝上，那么这样的尝试会有无穷大的概率得到全部正面或全部反面。
这个问题看着很奇怪，但是仍然能够被证明它是正确的。
结果是，微积分中的传统定义中对于无穷小量，极限和集合的性质并不十分明确。
为了解决这些问题，数学家扩展了微积分的公理化定义，并利用了另一种数学逻辑系统——ZFC公理集合论。
这就意味着微积分和其他数学学科的基础被彻底地改变了。
结语微积分的发明是数学史上的一个里程碑，极大地推动了现代科学的发展。
然而，微积分的诞生也在一定程度上暴露了基于无穷集合的微积分理论的局限性。
微积分发展历程
微积分发展历程微积分的发展历程是数学史上一个充满辉煌成就的章节。
微积分为我们提供了一种强大的工具，用于理解和描述自然界的各种现象，从运动的轨迹到电磁场的行为，从物质的变化到概率的推断，微积分无处不在。
在下面的文章中，我们将探讨微积分的发展历程，包括其起源、关键人物和里程碑事件。
1. 古希腊时期：微积分的历史可以追溯到古希腊时期。
古希腊数学家阿基米德（Archimedes）被认为是微积分的奠基人之一。
他在计算曲线下的面积和体积时使用了无限小的方法，这可以看作微积分的初步尝试。
2. 牛顿和莱布尼兹：微积分的真正发展始于17世纪末。
英国科学家艾萨克·牛顿和德国数学家戈特弗里德·莱布尼兹独立地开发了微积分的基本原理。
牛顿的工作集中在运动和力学方面，而莱布尼兹则更侧重于符号表示法。
他们的成就为微积分的未来发展奠定了坚实的基础。
3. 分析学的建立：18世纪，微积分逐渐成为一门独立的学科，被称为"分析学"。
法国数学家奥古斯丁·路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy）和卡尔·威尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）等人在微积分中引入了极限概念，从而解决了一些问题的严格性。
4. 黎曼几何和复分析：19世纪中期，德国数学家伯纳尔·黎曼的工作将微积分与几何学相结合，创立了黎曼几何，为曲线和曲面的研究提供了新的工具。
复分析的发展也为微积分的应用领域提供了更多可能性。
5. 泛函分析和分布理论：20世纪，微积分领域进一步扩展，引入了泛函分析和分布理论等新的数学工具，用于研究函数空间和广义函数。
这些理论在数学、物理学、工程学和经济学等领域的应用中发挥了重要作用。
6. 现代微积分的应用：现代微积分广泛应用于科学、工程、计算机科学、经济学和社会科学等各个领域。
它不仅有助于解决实际问题，还推动了数学自身的发展。
微积分的方法和概念也在其他数学分支中找到了应用，如微分方程、积分方程和泛函分析。
微积分发展史读后感
微积分发展史读后感微积分作为数学的一个重要分支，在数学史上有着悠久的历史。
它的发展史可以追溯到古希腊时期的亚历山大大帝时代，当时的数学家们就已经开始研究曲线的长度、面积和体积等问题。
随着时间的推移，微积分逐渐成为了现代数学中不可或缺的一部分，对物理、工程、经济等领域都有着重要的应用价值。
在这篇读后感中，我将结合微积分的发展史，谈谈我对微积分的认识和感悟。
微积分的发展史可以追溯到古希腊时期，当时的数学家们开始研究曲线的长度、面积和体积等问题。
然而，真正将微积分推向新的高度的是17世纪的牛顿和莱布尼茨。
他们独立地发现了微积分的基本理论，分别创立了微积分的两大支柱——微分和积分。
这一发现极大地推动了科学和工程技术的发展，成为了现代数学的基石之一。
在我看来，微积分的发展史不仅仅是一部数学史，更是一部人类智慧的历史。
微积分的发展，不仅仅是数学家们的努力和智慧的结晶，更是对人类认识世界的一种方式。
微积分的发展，推动了科学技术的进步，改变了人类对世界的认识，为人类社会的发展做出了重要贡献。
微积分的发展史也给我留下了深刻的启发。
在学习微积分的过程中，我深刻感受到微积分的深奥和美妙。
微积分的概念和方法，不仅仅是一种数学工具，更是一种思维方式。
通过学习微积分，我学会了用微积分的思维方式去思考问题，去解决问题，这种思维方式在我日常生活中也得到了很好的运用。
总的来说，微积分的发展史是一部充满智慧和魅力的历史。
微积分的发展不仅仅是数学史的一部分，更是人类智慧的结晶。
通过学习微积分，我不仅仅学会了一门数学知识，更学会了一种思维方式，这对我的人生将会产生深远的影响。
希望未来我能够继续深入学习微积分，掌握更多微积分的知识和方法，为人类社会的发展做出更大的贡献。
微积分的历史发展及其应用
科学技术创新2019.27微积分是一门建立在实数、函数和极限基础上的学科，它主要研究函数的微分、积分以及相关概念和应用。
微积分是微分和积分的总称，微分即“无限细分”，积分即“无限求和”。
微积分的产生起源于极限思想，最早可追溯到我国的战国时期。
魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”，古希腊数学家欧多克斯的“穷竭法”，阿基米德的“平衡法”等都蕴含着微积分的基本思想。
17世纪牛顿莱布尼兹公式的提出标志着微积分理论开始成为一门独立的学科。
微积分推动了人类文明的进步，在数学、物理、天文以及经济学等许多领域都起到了关键的作用。
1微积分的起源与发展微积分思想的起源最早可以追溯到我国战国时期，《庄子·天下篇》中曾提到过“一尺之棰，日取其半，万事不竭”；魏晋时期刘徽在求圆周率时提出了“割圆术”的方法，其中蕴涵着分割、求和、极限等思想。
还有古希腊数学家欧多克斯的“穷竭法”，被认为是微积分的第一步；阿基米德的“平衡法”，运用微元的思想计算面积和体积等。
这些都是微积分思想萌芽的最早体现，为后世微积分的诞生打下了基础。
从15-16世纪欧洲文艺复兴时代开始，培根、韦达、费马、笛卡尔、开普勒等人发展和完善了前人的思想，深入研究了求切线、求面积和体积这两类基本问题，并提出了无穷小的方法，但他们都没有意识到“求切线”和“求面积”这两者之间存在着互逆关系。
直到17世纪，英国数学家巴罗引入了“微分三角形”的概念，以明确形式给出了求切线和求面积之间互逆关系的几何形式，对后来微积分的创立起到了巨大的推动作用，因此被认为是微积分创立的先驱者[1]。
17世纪以来，随着科学和生产力的进一步发展，以下四种类型的问题亟需解决：求变速运动中的即时速度；求曲线的切线；求函数的最值；求曲线长度、曲边梯形面积等。
这些问题的提出是促使微积分产生的重要因素，牛顿对此做出了巨大贡献。
牛顿在其三大著作《论流数》《无穷多项方程的分析》《流数法和无穷级数》中，将求切线和求面积之间的互逆关系从巴罗的纯几何形式推广到了代数形式，第一次以明确形式给出了微积分基本定理，并将其应用到许多动力学和运动学问题中，在经典物理学领域做出了卓越的贡献。
中国古代数学中的微积分思想对学习的启发
中国古代数学中的微积分思想对学习的启发摘要：微积分是一些列数学思想演变的结果，是高等数学的基本组成内容，也是我们大学生必须要学习的科目。
中国古代数学中的许多智慧也对微积分的发展带来了巨大的贡献。
我们对中国古代数学中有关微积分的发展进行探讨，并希望从中提取到对我们学习的启发。
关键词：微积分；古代数学；高等教育；学习方法17世纪时，许多科学问题亟待解决。
数学首先从对运动的研究中引出了一个基本概念，就是函数。
紧接着函数概念的采用，产生了微积分。
微积分的问题至少被十七世纪的十几个最大的数学家和几十个小的数学家探索过，其创立者一般认为是牛顿和莱布尼兹。
但实际上，在牛顿和莱布尼兹做出他们的冲刺之前，大量微积分的知识已经积累起来了。
17世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都做了大量的研究工作[1]，在这方面的研究，古代中国丝毫不逊于西方。
一、微积分的主要思想微积分是很多数学家经过无数次的思考与研讨总结出的一项数学知识，其产生过程主要分为以下几个阶段：极限概念、求积利用无限小方法、微分与积分之间存着着互逆的关系。
通过对微积分学的发展历程与微积分理论可以知道，微积分学发展是由极限思想支撑的。
极限思想将不同的数学思想连接了起来，提供了一定的理论基础，进而为完善微积分学的思想与方法提供了前提条件。
虽然微积学当中包含了许多不同的数学思想，但是极限思想仍是最主要的思想。
[2]二、古代数学中微积分的发展极限思想的本质是利用极限概念来分析问题与处理问题，尤其是无穷分割的极限思想能直接决定微积分思想。
[3]而在中国，公元前7世纪老庄哲学中就有了无限可分性和极限思想；公元前4世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、无穷大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念。
刘徽公元263年首创的割圆术求圆面积和方锥体积，他的极限思想和无穷小方法，是世界古代极限思想的深刻体现。
刘徽利用圆内接正多边形的边数趋于无穷大时，正多边形的面积将无限接近于圆面积的标准，创设了一项符合极限存在要求的不等式，还对圆内接整3072边形的面积进行了计算，推算得出了π，π的数值为3.14161250，π三位数之后的数值是由数学家祖冲之补充完成的，推算到了50位数之后，还得出3.1415926<π<3.1415927这个结果，这就是著名的割圆术。
微积分发展史
说牛顿发明了微积分。
莱布尼茨的微积分
莱布尼茨当时还没有微积分 的符号，他用语言陈述他的 特征三角形导出的第一个重
微积分的现代发展
在Riemann将Cauchy的积分含义扩展之后， Lebesgue又引进了测度的概念，进一步将 Riemann积分的含义扩展。例如著名的 Dirichilet函数在Riemann积分下不可积，而在 Lebesgue积分下便可积。
我国的数学泰斗陈省身先生所研究的微分几何领域， 便是利用微积分的理论来研究几何，这门学科对 人类认识时间和空间的性质发挥的巨大的作用。 并且这门学科至今仍然很活跃。前不久由我国数 学家朱熹平、曹怀东完成最后封顶的庞加莱猜想 便属于这一领域。
1715年数学家泰勒在著作《正的和反的增量 方法》中陈述了他获得的著名定理，即现 在以他的名字命名的泰勒定理。后来麦克 劳林重新得到泰勒公式的特殊情况，现代 微积分教材中一直将这一特殊情形的泰勒 级数称为“麦克劳林”级数。
18世纪的数学家还将微积分算法推广到多元 函数而建立了偏导数理论和多重积分理论。 这方面的贡献主要应归功于尼古拉·伯努利、 欧拉和拉格朗日等数学家。
第第二一类类是是，，望已远知镜物的体光的程移设动计的使距得离求表曲为线时 间的函数的公式的，切求线物问体题在任意时刻的速 度第第和三四加类类速是问度，题使确是瞬定求时炮行变弹星化的沿率最轨问大道题射运程动以的及路求 行程星、离行开星太矢阳径的扫最过远的和面最积近以距及离物等体涉重及 心与引的力函等数，极使大面值积、、极体小积值、问曲题线长、
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数学史研究之微积分的发展数学史研究之微积分的发展这学期，我选修了数学史这门课程，听了一个学期下来，随着老师的精心讲解，我对数学又有了重新的认识，以前只是学习、做题，数学题倒是做了不少，可是真要说对数学的认识，还有很大的差距，甚至连概念都数不清楚，所以，想要学好数学，对数学史的研究必不可少。
数学史，顾名思义，分开来理解，数学与历史，他的研究对象涉及到数学以及历史，所以和传统的数学研究方法又不同，他着重于研究过去历史上的数学方法，数到历史，他又为我们展现了数学的一个发展过程，带我们走过了几千年的数学历史，从简单到复杂，逐步为我们剖析，使我们对数学的发展过程有了大概的了解，作为一个当代大学生，我想大家都有必要了解这些，数学在当今社会已变得越来越重要以及普遍，几乎涉及到每个方面，所以学好数学对每一个人的思维锻炼有很大好处。
谈到高等数学，大学生能应该都知道，这是大学必修的基础学科。
而其中微积分又是重中之重，贯穿整个高等数学，以及其他理工课程。
学好微积分，对深入学习一些课程很重要。
微积分的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”。
在18世纪，微积分进一步深入发展，这种发展与广泛的应用紧密交织在一起，刺激和推动了许多数学新分支的产生，从而形成了“分析”这样一个在观念上和方法上都具有鲜明特点的数学领域。
在数学史上，18世纪可以说是分析的时代，也是向现代数学过度的重要时期。
微积分学的触角几乎遍至当今科学的各个角落,是当代科学大厦的重要石,微积分的发展过程是数学家集体智慧的结晶。
微积分的发展大致可分为以下4个阶段:早期萌芽,酝酿时期,创建期,发展完善期。
一：早起萌芽微积分，顾名思义，涉及到微分与积分，他们的发展是独立的，接下来我想大家分别介绍。
1．积分学积分学的思想萌芽可以追溯到古代,因为面积与体积的计算自古以来一直是数学家们感兴趣的课题,这里介绍几位具有突出贡献的数学家以及他们的学术理论,他们的理论代表着数学研究的思想、精神和方法。
古希腊数学家欧多克斯(约公元前410 - 前347年)发展安提丰的“穷竭法”为“设给定两个不相等的量,如果以较大的量减去比它的一半大的量,再以所得量减去比这个量的一半大的量,继续重复这一过程,必有某个量将小于给定的较小的量”。
欧多克斯的穷竭法可看作微积分的第一步,但没有明确地用极限概念,也回避了“无穷小”概念,并证明了“棱椎体积是同等同高的棱柱体积的三分之一”。
古希腊数学家阿基米德(公元前287 - 前212 )在《处理力学问题的方法》一文中阐明了“平衡法”,即“将需要求积的量(面积、体积等)分成许多微小单元(如微小线段、薄片等) ,再用另一组微小单元来进行比较,而后一组小单元的总和是可以计算的,但它要借助于杠杆的平衡原理来计算”。
实质上“平衡法”是一种原始的“积分法”。
阿基米德用“平衡法”证明了球体积公式:球体积=4 33Rπ⋅, 且等于外切圆柱体积的23。
中国数学家刘徽(生于公元263 年) ,发明了“割圆术”———“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”,并求得圆周率π≈ 3.14 。
祖暅(5世纪- 6世纪) ,解决了刘徽绞尽脑汁未果的求球体积问题,祖用的方法是祖氏定理“幂势既同,则积不容异”和“岀入相补原理”,祖暅的球体积公式为V 球=163Dπ⋅ (D为球的直径) 。
2．微分学与积分学相比,微分学的起源则要晚得多,早期应用微分学思想是静止的,不是动态的,与现代微积分相差甚远。
二：酝酿时期15, 16世纪在欧洲文艺复兴的高潮中,数学的发展与科学的革命紧密结合在一起,提出了以下亟待解决的问题:(1)如何确定非匀速运动物体的速度与加速度及瞬时变化率问题。
(2)望远镜的设计需要确定透镜曲面上任意一点的法线,求任意曲线切线的连续变化问题。
(3)确定炮弹的最大射程及寻求行星轨道的近日点与远日点等涉及的函数极大值、极小值问题。
(4)行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力的计算等。
为解决科学发展所带来的一系列问题, 17世纪上半叶被人们遗忘千年的微积分重又成为重点研究对象,几乎所有的科学大师都竭力寻求这些问题的解决方法,有代表性的成果有以下几个方面:1． 开普勒与旋转体体积德国天文学家、数学家开普勒(1571 - 1630)在1615年发表的《测量酒桶的新立体几何》中,采用“用无数个同维无限小元素之和来确定曲边形的面积及旋转体的体积”。
例如,他认为球的体积是无数个小圆锥的体积的和,这些圆锥的顶点在球心,底面则是球的一部分;他又把圆锥面看作极薄的圆盘之和,并由此计算出它的体积,然后得出球体体积为:球的半径乘以球面面积的三分之一( V = R ×4 2R π⋅ ×13) 。
2． 卡瓦列里不可分量原理意大利数学家卡瓦列里( 1598 - 1647)在《用新方法促进的连续不可分量的几何学》中发展了系统的不可分量方法:“两个等高的立体,如果它们的平行于底面且离开底面有相等距离的截面面积之比为定值,那么这两个立体的体积之间也有同样的比”(当比为1: 1时,就是祖原理,只不过相差1 000多年) ,并于1639年利用平面上不可分量原理建立了等价于积分a 101n n a x dx n +⋅=+⎰的基本结果,使早期积分突破体积计算的现实原型而向一般算法过渡。
3． 沃利斯“无穷算术”英国数学家沃利斯( 1616 - 1703)是牛顿和莱布尼茨之前将分析方法引入微积分贡献最大的数学家,并在《无穷算术》中用“分析”的途径发展积分法,并获得许多重要成果,比如将幂函数积分公式a101n na x dx n +⋅=+⎰推及到分数幂()()101p+qa p q p p q q a q xdx a p q ++⋅==⋅+⎰ ,不过沃利斯仅对q = 1的特例给出了证明。
4． 笛卡尔“圆法”法国数学家笛卡尔( 1596 - 1650)在《几何学》中提到了用代数方法求切线的方法———“圆法”。
笛卡尔的代数方法在推动微积分的早期发展方面有很大的影响,牛顿就是以笛卡尔的“圆法”为起跑点而踏上研究微积分的道路的。
5． 费马求极大值与极小值的方法法国业余数学家费马( 1601 - 1665)在给梅森的一封信中提出了求极大值与极小值的代数的方法。
按费马的方法,设函数f (x) 在点a 处取值,用a+ e 代替原来的未知量a ,并使f ( a + e) 与f ( a) 逼近,消去公共项后, 用e 除两边再令e 消失, 即0()()0a f a e f a e =+-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,此方程求得的a 就是f ( x) 的极值点。
6． 巴罗微分三角英国数学家巴罗(1630 - 1677)在《几何讲义》中应用“微分三角形”给出了求曲线切线的方法,这对于他的学生牛顿完成微积分理论起到了重要作用。
三：微积分学的创建微积分学是由牛顿与莱布尼茨分别独立创建的。
1.牛顿的“流数术”英国数学家牛顿(1642 - 1727)于1665年11月发明“正流数术”(微分法) , 1666年5月建立“反流数术”(积分法) 。
1666年10月,牛顿将前两年的工作总结为《流数简论》,明确了现代微积分的基本方法,是历史上第1篇系统的微积分文献。
牛顿将自古希腊以来的求解无限小问题的各种技巧统一为两类普通的算法) ———正、反流数术(流数就是微商) ,并证明了二者的互逆关系,将这两类运算进一步统一成整体,这是他超越前人的功绩,也正是在这样的定义下,我们说牛顿发明了微积分。
应用微积分理论,牛顿在1687 - 1693年里相继发表了《运用无限多项方程的分析》(《分析学》) 、《流数术与无穷级数》(《流数法》) 、《曲线求积术》(《求积术》) 。
在这些文献中他改变了自己对无限小量的依赖,提出了极限方法的先导“首末比方法”,第1次引进流数记号,一次流数x, y, z,二次流数x ⋅⋅, y ⋅⋅, z ⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅等。
2.莱布尼茨德国数学家莱布尼茨( 1646 - 1716)是从巴罗的“微分三角形”切入微积分研究工作的,他在研究“微分三角形”时认识到:“求曲线的切线依赖于纵坐标的差值与横坐标的差值在变成无限小时之比;求曲线的面积则依赖于无限小区间上的纵坐标之和”。
早在1666年,莱布尼茨在《组合艺术》一书中讨论过数列问题并求得许多重要结论。
1972 年开始,莱布尼茨将他对数列研究的结果与微积分运算结合起来, 1675年10月29日的一份手稿中,他决定用sum 拉长的s, ∫表示积分, 1676年11月,莱布尼茨已经能够给出幂函数的微分与积分公式: 1e e dx ex =-dx 与11e ex x dx e -=+⎰ (其中不一定是正整数) 。
1677年,莱布尼茨在一篇手稿中明确陈述了微积分基本定理()()()baf x dx F b F a =-⎰) 。
3． 优先权之争瑞士数学家德丢勒于1699年在一本小册子中提出: “牛顿是微积分的第一发明人”“莱布尼茨是微积分的第二发明人”。
从而引发了牛顿与莱布尼茨“发明微积分”优先权的争论,这场争论被称为“科学史上最不幸的一章”,并导致了英国与欧洲国家在数学发展上的分道扬镳。
事实上,牛顿与莱布尼茨是相互独立的发明微积分的。
四：微积分的完善时期牛顿与莱布尼茨的微积分还只能说是姗姗学步的孩童时期,还很不完善,历经众多数学大家的发展才有了今天的面貌,主要代表人物有:瑞士数学家欧拉( 1707———1783)在1748 年出版的《无限小分析引论》以及随后发表的《微分学》和《积分学》中同时引进了一批标准的符号,如: f ( x) —函数符号, Σ—求和符号, e —自然对数底, i —虚数号等等,对分析表达的规范化起了重要作用。
法国数学家柯西(1789 - 1851)在《分析教程》和《无限小计算教程概论》中,以严格化为目标,对微积分的基本概念如变量、函数、极限、连续性、导数、微分等给出了明确的定义,并在此基础上重建和拓展了微积分的一些重要事实与定理,如证明连续函数的积分(作为和式的极限)的存在性、证明级数Sn 收敛的判别准则、中值定理等,柯西的工作向分析的全面严格化迈出了关键的一步。
但由于实数系的不明确,微积分还不够完善,逻辑上仍存在着一些问题,这导致了19世纪后半叶数学史上著名的“分析算术化”运动。
德国数学家维尔斯特拉斯( 1815 - 1897)认为实数系是解决极限与连续等概念的关键,从而成为全部分析的本源。
要使分析严格化,必须使实数系严格化,最可靠的办法是按照严密的推理将实数归结为整数(有理数) ,这样分析的所有概念便可由整数导出,使以往的漏洞和缺陷都能得以填补。
这就是“分析算术化”纲领。
维尔斯特拉斯和他的学生们为实现这一纲领付出了艰苦的努力并获得了很大的成功。