中职数学教案：0508和角公式 (两角和与差的正切)
（2） 1 t an750
0
1 t an75
练一练： P33 （1） 四、练习 P34 五、归纳小结 熟记公式 tan( - ) = tan( + ) = 并灵活运用。
t an t an 1 t an t an
t an t an 1 t an t an
∴ tan( + ) =
t an - ) =
t an t an 1 t an t an
例1、 不查表，求 tan150 的值。 例 2、计算： （1）
t an230 t an 220 1 t an230 t an220
课
题
5.8
和角公式 (两角和与差的正切)
所需课时
2
（1）了解两角和与差的正切公式的推导，能正确运用两角和与差的 正切公式进行三角函数的化简、求值。 教学目的 （2） 能正确运用两角和与差的正切公式进行三角函数的化简、 求值。 （3）培养学生利用旧知识推导、论证新知识的能力，培养学生进行 数学交流，获得数学知识的能力。 重 难 点 点 正切公式的推导及正确应用。 正切公式的推导及正确应用。
教学过程： 一、组织教学 点名、组织课堂纪律 二、复习引入 两角和的余弦公式： 两角差的余弦公式： 两角和的正弦公式： 两角差的正弦公式： 三、讲授新课 两角和与差的正切公式： cos( + ) = cos cos – sin sin cos( - ) = cos cos + sin sin sin( + ) = sin cos + cos sin sin( - ) = sin cos - cos sin
（2）
（3）
（4）
1
2
3
，
课后作业： P40 16
反 思 录：
sin sin sin( ) sin cos cos sin tan tan cos cos tan( ) sin sin 1 tan tan cos( ) cos cos sin sin 1 cos cos
两角和与差的正弦、余弦和正切公式(教师版)
两角和与差的正弦、余弦和正切公式【最新考纲】1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．２.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．３.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系．4.能利用两角和（差)、二倍角公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆).１．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(１)sin（α±β）＝sin_αcos_β±cos_αsｉｎ＿β；（2)cos(α±β)＝ｃoｓ_αｃos_β∓sin_αsin_β；（3)ｔan(α±β)=错误!.２．二倍角的正弦、余弦、正切公式（１)sｉn2α＝2sｉn αｃｏsα;（2)cｏｓ2α=ｃｏs２α-ｓiｎ2α=2coｓ２α－1=1－２sｉn２α;(3）tan 2α=＼f（2tan α，１-ｔan2α）．3.有关公式的变形和逆用(1）公式Ｔ(α＋β)的变形：①taｎα＋tａn β=taｎ(α＋β)(1-ｔaｎ＿αｔａn_β)；②ｔａn α－ｔanβ＝ｔan（α-β）(1+tａn_αｔan_β)．(2)公式C2α的变形:①sin2α=错误!（1－cｏｓ＿2α）；②cos２α＝＼ｆ(1,2）(１+cos＿2α).(３）公式的逆用①1±ｓiｎ2α＝(ｓin α±cｏｓα)２；②sin α±ｃos α=2sｉn错误!.4.辅助角公式ɑsin α＋bｃos α＝错误!ｓｉn(α＋φ)(其中tａn φ=错误!）.1.(质疑夯基)判断下列结论的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）（1）存在实数α,β，使等式ｓin(α＋β)＝sｉn α＋sin β成立．( ）(2）在锐角△ＡＢＣ中，sin Asｉn B和cｏs Acos B大小不确定．()(3)公式tan(α+β)＝ｔaｎα＋ｔan β1－tａn αtaｎβ可以变形为tan α+ｔanβ＝taｎ（α+β)(1-tan αtａn β),且对任意角α，β都成立．()(4)公式ɑsin x＋bcos x＝＼r(ɑ２+b2)ｓiｎ(ｘ＋φ)中φ的取值与ａ，b的值无关.( )答案：(1)√（2)× (3)× (4)×2．(2015·课标全国Ⅰ卷)ｓiｎ20°cｏs10°－cos 160°sin １0°=( ）A ．-＼f(3,2) Ｂ.３2 Ｃ．-1２D.错误! 解析：ｓｉn ２０°cos 1０°－cos 1６０°s ｉn 1０°＝ｓｉｎ 20°ｃos 10°+ｃos ２０°ｓi ｎ 10°＝sin(２0°＋１0°)=ｓin ３0°＝错误!.答案：D3．(经典再现)已知sin 2α=错误!,则ｃos 2(α+错误!)=( ） A.16B.错误! Ｃ.错误! D.错误!解析：∵sin ２α=错误!，∴co ｓ2错误!＝错误!＝错误!=错误!=错误!.答案:A4．(2015·重庆卷)若ｔａn α＝13,tan (α+β)=错误!，则tan β＝（ )Ａ.＼f(1,7) B ．错误! C ．错误! D.56解析:ｔan β＝tan[（α＋β)－α]=＼f(tan(α+β)-ｔan α,1+tan （α＋β）·ta ｎ α)＝错误!=错误!.答案：Ａ5.若锐角α、β满足(1+3tan α）(1+＼r(3)ｔan β）＝4，则α+β＝__＿___＿_.解析：由(1+错误!tan α)(１＋错误!ｔan β）＝4,可得错误!＝错误!,即tan (α＋β)=错误!.又α＋β∈(0，π)，所以α+β＝π3. 答案:错误!一点注意三角函数是定义域到值域的多对一的映射,时刻关注角的范围是防止增解的有效措施.两个技巧1．拆角、拼角技巧:2α=(α＋β)＋(α－β),α=(α+β)－β,β＝错误!－错误!,错误!＝错误!－错误!.2．化简技巧:切化弦，“１”的代换等．三种变化1.变角:设法沟通所求角与已知角之间的关系.2．变名：尽可能减少函数名称,其方法是“弦切互化”、“升幂与降幂”等.3．变式:对式子变形要尽可能有理化、整式化、降低次数等.一、选择题1.若sin ＼f(α,2）=错误!，则cos α＝( ）A.-＼ｆ(2,３) B ．-错误! C.错误! D.错误!解析:cos α=1－2ｓin 2＼f(α，2)＝1－２×错误!错误!=错误!. 答案：C2.3－ｓin ７０°2-cos 21０°＝（ ) A.错误! B.错误! C.2 D ．错误! 解析:原式＝错误!＝错误!＝2．答案:Ｃ3.已知sin α＋cos α＝错误!，则ｓｉn 2错误!＝( ）A ．错误! B.错误! C.错误! Ｄ.错误!解析:由s ｉｎ α+cos α=１3得1＋si ｎ 2α＝错误!,解得si ｎ 2α＝-错误!，所以sin ２错误!=错误!=错误!＝错误!． 答案:B4.已知α∈错误!，且c ｏs α=－错误!，则ta ｎ错误!等于( ) Ａ.７ B.错误! C ．－错误!D ．－7解析:因α∈错误!，且c ｏs α＝－错误!,所以sin α＜0,即ｓin α=-错误!，所以tan α＝错误!.所以t ａn 错误!＝错误!＝错误!＝错误!．答案:Ｂ５.已知si ｎ α=错误!，sin （α-β）＝-错误!,α，β均为锐角,则角β等于（ ）Ａ.＼ｆ(5π,12) B ．π3C.错误!D.＼f(π,6)解析:∵α，β均为锐角,∴－错误!<α-β＜错误!.又s ｉｎ(α－β）＝-错误!,∴c os(α－β)=错误!．又sin α＝错误!,∴cos α＝错误!,∴ｓi ｎ β=ｓin [α－(α-β)]=s ｉn αc ｏs (α-β)-c ｏs αsin (α-β)＝５5×错误!-错误!×错误!＝错误!. ∴β＝错误!． 答案:Ｃ二、填空题6．若s ｉn 错误!=错误!，则ｃos ２θ＝___＿____．解析:∵sin 错误!＝cos θ＝错误!，∴cos 2θ=2cos 2θ-1=2×错误!错误!-1=-错误!.答案:－＼f(7，25）7.(2014·山东卷)函数y ＝错误!sin 2x+co ｓ2x 的最小正周期为_＿____＿_．解析:原式=错误!s ｉn 2ｘ＋错误!=sin 错误!＋错误!，∴周期T=２π2=π. 答案:π8．(2０１４·课标全国Ⅱ卷）函数f （x)＝si ｎ(x ＋２φ)-２si ｎ φcos（ｘ+φ）的最大值为_＿___＿__．解析:∵ｆ(x)＝ｓiｎ(x＋２φ)-2ｓｉn φcos（ｘ+φ)＝sin［(x＋φ)＋φ]－2sinφｃos（x＋φ)＝sin(ｘ+φ)cｏsφ＋ｃos(ｘ+φ)siｎφ-2siｎφcoｓ(ｘ+φ)＝siｎ(ｘ＋φ)cｏs φ-ｃos(x＋φ)ｓin φ=sｉn[(x+φ)-φ］＝sin x，∴f(ｘ)的最大值为1.答案：19．设函数f(ｘ）＝sin x+ｃos x，f′（x)是f(x)的导数,若f（x)＝2ｆ′(x),则错误!=_＿____＿_.解析:f′(x）=cｏｓx－ｓin x，由f(ｘ)＝2f′(x）得sin x＋cos x＝2ｃos x－2sｉn x，∴cｏｓx＝3sｉn x，于是错误!=错误!＝错误!=-错误!. 答案:-错误!三、解答题10.已知α∈错误!，且sin错误!+cos错误!＝错误!.(1)求coｓα的值;(2)若ｓin(α-β）＝-＼f(3,５）,β∈错误!，求cos β的值.解:(1)因为sin错误!+cos错误!＝错误!，两边同时平方，得sｉｎα=错误!.又错误!<α＜π，所以cｏｓα=－错误!.(2)因为＼f(π,２)<α＜π，错误!＜β＜π,所以－π<－β＜-＼f(π,２）,故-错误!<α-β<错误!.又siｎ(α-β)＝-＼f(3,５),得ｃos(α-β)=错误!.ｃoｓβ＝cｏｓ［α-(α－β)]＝cos αcos(α-β）＋sinαsin(α-β)=－＼r(3)２×＼f（4,5）+12×错误!=－错误!．１1．（郑州质检)已知函数ｆ(x)=错误!．（１)求函数ｆ(x)的定义域；(２)设α是第四象限的角,且ｔan α＝－＼f(4,３),求f（α）的值. 解析：(1)要使f（ｘ)有意义,则需ｃos x≠0，∴f(x)的定义域是错误!.(2)f(ｘ)=错误!=错误!＝错误!＝2（cos x-sｉｎx).由tａn α=－错误!,得sin α＝-错误!cos α.又sin2α+ｃｏs2α＝1，且α是第四象限角，∴ｃｏs2α＝错误!,则cos α=错误!,siｎα=－错误!.故f(α)=2(ｃｏs α-siｎα)=２错误!=错误!．。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式教案
三、课内练习应用示例例1、已知sinα=53-,α是第四象限角，求sin(4π-α),cos(4π+α),tan(4π-α)的值活动：教师引导学生分析题目中角的关系，在面对问题时要注意认真分析条件，明确要求.再思考应该联系什么公式，使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等.例如本题中，要先求出cosα,tanα的值，才能利用公式得解，本题是直接应用公式解题，目的是为了让学生初步熟悉公式的应用，教师可以完全让学生自己独立完成.解：由sinα=53-,α是第四象限角，得cosα=54)53(1sin122=--=-a.∴tanα=aacossin=43-.于是有sin(4π-α)=sin4πcosα-cos4πsinα=,1027)53(225422=-⨯-⨯cos(4π+α)=cos4πco sα-sin4πsinα=,1027)53(225422=-⨯-⨯tan(α-4π)=4tantan14tantanππaa+-=aatan11tan+-=7)43(1143-=-+--.点评：本例是运用和差角公式的基础题，安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯.例题2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）、sin72cos42cos72sin42-（2）、cos20cos70sin20sin70-；（3）、1tan151tan15+-示范点拨，加深理解7----10。
人教版(2021)中职数学拓展模块一(上册)《两角和与差的正切公式》课件
−
= −．
课堂练习
练习3 已知 = ， = ，求( + )，( − )
的值.
练习4 已知 =
− ，且
<<
，求(
− )的值.
温故知新
➢ 两角和与差的正切公式
tan( + ) = ________________________ ；
中等职业学校公共基础教材 拓展模块一
1.1.3 两角和与差的正切公式
温故知新
➢ 两角和与差的余弦公式
➢ 两角和与差的正弦公式
新知探究
➢ 两角和与差的正切公式
我们知道
( + ) +
( + ) =
=
，
( + ) −
（1） °；
（2）
°+ °
．
− ° °
°+ °
解 （2）
= ° + °
− ° °
= ° = ．
课堂练习
练习1 利用和角公式求值：
（1）°；
（2）°．
练习2 计算：
新知应用
例1 利用和角公式求值：
（1） °；
（2）
°+ °
．
− ° °
解 （1）° = ° + °
+
° + °
=
=
= + ．
− °°
−
新知应用
例1 利用和角公式求值：
把上述后一个分式的分子、分母同时除以
( ≠ )，得
《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》导学案(二)
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)学习目标 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.知识点一 两角和与差的正切公式思考1 怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？ 答案 tan(α＋β)＝sin (α＋β)cos (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin β，分子分母同除以cos αcos β，便可得到.思考2 由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式？ 答案 用－β替换tan(α＋β)中的β即可得到. 梳理名称简记符号公式 使用条件 两角和的正切 T (α＋β)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan βα，β，α＋β均不等于k π＋π2(k ∈Z )两角差的正切 T (α－β)tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan βα，β，α－β均不等于k π＋π2(k ∈Z )知识点二 两角和与差的正切公式的变形 (1)T (α＋β)的变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β). tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β). tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β).(2)T (α－β)的变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β). tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β). tan αtan β＝tan α－tan βtan (α－β)－1.类型一 正切公式的正用例1 (1)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为 .答案 3解析 tan β＝tan [(α＋β)－α] ＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝17－(－2)1＋17×(－2)＝3.(2)已知α，β均为锐角，tan α＝12，tan β＝13，则α＋β＝ .答案 π4解析 因为tan α＝12，tan β＝13，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1.因为α，β均为锐角， 所以α＋β∈(0，π)， 所以α＋β＝π4.反思与感悟 (1)注意用已知角来表示未知角. (2)利用公式T (α＋β)求角的步骤： ①计算待求角的正切值.②缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息. ③根据角的范围及三角函数值确定角.跟踪训练1 已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝ . 答案 －43解析 由题意，得cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45，∴tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝34.∴tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝－43.类型二 正切公式的逆用 例2 (1)1＋tan 15°1－tan 15°＝ ；(2)1－3tan 75°3＋tan 75°＝ .答案 (1)3 (2)－1解析 (1)原式＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝ 3.(2)原式＝33－tan 75°1＋33tan 75°＝tan 30°－tan 75°1＋tan 30°tan 75°＝tan(30°－75°)＝－tan 45°＝－1.反思与感悟 注意正切公式的结构特征，遇到两角正切的和与差，构造成与公式一致的形式，当式子出现12，1，3这些特殊角的三角函数值时，往往是“由值变角”的提示.跟踪训练2 求下列各式的值：(1)cos 75°－sin 75°cos 75°＋sin 75°； (2)1－tan 27°tan 33°tan 27°＋tan 33°. 解 (1)原式＝1－tan 75°1＋tan 75°＝tan 45°－tan 75°1＋tan 45°tan 75°＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－33. (2)原式＝1tan (27°＋33°)＝1tan 60°＝33.类型三 正切公式的变形使用例3 (1)化简：tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°；(2)若锐角α，β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，求α＋β的值. 解 (1)方法一 tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°＝tan(23°＋37°)(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37° ＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37°＝ 3. 方法二 ∵tan(23°＋37°)＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°，∴3＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°，∴3－3tan 23°tan 37°＝tan 23°＋tan 37°， ∴tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°＝ 3. (2)∵(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝1＋3(tan α＋tan β)＋3tan αtan β＝4， ∴tan α＋tan β＝3(1－tan αtan β)， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝ 3.又∵α，β均为锐角，∴0°<α＋β<180°， ∴α＋β＝60°.反思与感悟 两角和与差的正切公式有两种变形形式： ①tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)或②1∓tan α·tan β＝tan α±tan βtan (α±β).当α±β为特殊角时，常考虑使用变形形式①，遇到1与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式②.合理选用公式解题能起到快速、简捷的效果.跟踪训练3 在△ABC 中，A ＋B ≠π2，且tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则角C 的值为( )A.π3B.2π3C.π6D.π4 答案 A解析 ∵tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ⇔tan(A ＋B )·(1－tan A tan B )＝3(tan A tan B －1).① 若1－tan A tan B ＝0，则cos A cos B －sin A sin B ＝0，即cos(A ＋B )＝0. ∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝π2与题设矛盾.∴由①得tan(A ＋B )＝－3，即tan C ＝ 3. 又∵0<C <π，∴C ＝π3.1.若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( )A.13B.－13 C.3 D.－3 答案 A解析 tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13.2.已知cos α＝－45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－α等于( ) A.－17 B.－7 C.17 D.7答案 D解析 由cos α＝－45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，得sin α＝35， 所以tan α＝sin αcos α＝－34，所以tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝tan π4－tan α1＋tan π4tan α＝1－⎝⎛⎭⎫－341－34＝7. 故选D.3.已知A ＋B ＝45°，则(1＋tan A )(1＋tan B )的值为( ) A.1 B.2 C.－2 D.不确定 答案 B解析 (1＋tan A )(1＋tan B ) ＝1＋(tan A ＋tan B )＋tan A tan B＝1＋tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＋tan A tan B ＝1＋1－tan A tan B ＋tan A tan B ＝2.4.已知A ，B 都是锐角，且tan A ＝13，sin B ＝55，则A ＋B ＝ .答案 π4解析 ∵B 为锐角，sin B ＝55，∴cos B ＝255， ∴tan B ＝12，∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝13＋121－13×12＝1.又∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝π4.5.已知sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝ .答案 43解析 由条件知sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，则tan α＝2.∵tan(α－β)＝2，∴tan(β－α)＝－2，故tan(β－2α)＝tan [(β－α)－α]＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)tan α＝－2－21＋(－2)×2＝43.1.公式T (α±β)的结构特征和符号规律(1)公式T (α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和.(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. 2.应用公式T (α±β)时要注意的问题 (1)公式的适用范围由正切函数的定义可知，α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不为k π＋π2(k ∈Z ).(2)公式的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等.特别要注意tan(π4＋α)＝1＋tan α1－tan α，tan(π4－α)＝1－tan α1＋tan α.(3)公式的变形应用只要用到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式T (α±β)的意识，就不难想到解题思路. 特别提醒：tan α＋tan β，tan αtan β，容易与根与系数的关系联系，应注意此类题型.课时作业一、选择题1.若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β等于( )A.17 B.16 C.57 D.56答案 A解析 tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝12－131＋12×13＝17.2.3tan 23°tan 97°－tan 23°－tan 97°的值为( ) A.2 B.23 C. 3 D.0答案 C解析 ∵tan(23°＋97°)＝tan 23°＋tan 97°1－tan 23°tan 97°＝tan 120°＝－3，∴tan 23°＋tan 97°＝－3＋3tan 23°tan 97°， ∴原式＝3tan 23°tan 97°－(－3＋3tan 23°tan 97°) ＝ 3.3.已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为( )A.322B.2213 C.1318 D.16答案 A解析 因为α＋π4＝(α＋β)－(β－π4)，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝25－141＋25×14＝322.4.A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是( ) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.无法确定答案 A解析 ∵tan A ＋tan B ＝53，tan A ·tan B ＝13，∴tan(A ＋B )＝52，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－52，∴C 为钝角，即△ABC 为钝角三角形.5.若tan 28°tan 32°＝a ，则tan 28°＋tan 32°等于( ) A.3a B.3(1－a ) C.3(a －1) D.3(a ＋1) 答案 B解析 ∵tan(28°＋32°)＝tan 28°＋tan 32°1－tan 28°tan 32°＝3，∴tan 28°＋tan 32°＝3(1－a ).6.设向量a ＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，若a ⊥b ，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4等于( ) A.－13B.13C.－3D.3答案 B解析 由a ·b ＝2cos α－sin α＝0，得tan α＝2. tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－tanπ41＋tan αtanπ4＝2－11＋2＝13. 7.在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝33，tan 2B ＝tan A ·tan C ，则B 等于( ) A.30° B.45° C.120° D.60°答案 D解析 由公式变形得tan A ＋tan B ＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B ) ＝tan(180°－C )(1－tan A tan B ) ＝－tan C (1－tan A tan B ) ＝－tan C ＋tan A tan B tan C . ∴tan A ＋tan B ＋tan C＝－tan C ＋tan A tan B tan C ＋tan C ＝tan A tan B tan C ＝3 3. 又∵tan 2B ＝tan A tan C ， ∴tan 3B ＝33， ∴tan B ＝3，∴B ＝60°. 二、填空题8.已知tan α＝12，则tan (π4＋α)－11＋tan (π4＋α)的值是 .答案 129.tan 75°－tan 15°1＋tan 75°tan 15°＝ .答案3解析 原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝ 3.10.已知α，β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝ .答案 1解析 ∵tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α，∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α， ∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1， ∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β， ∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan(α＋β)＝1.11.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，D 为垂足，AD 在△ABC 的外部，且BD ∶CD ∶AD ＝2∶3∶6，则tan ∠BAC ＝ .答案 17解析 ∵AD ⊥BC 且BD ∶CD ∶AD ＝2∶3∶6， ∴tan ∠BAD ＝BD AD ＝13，tan ∠CAD ＝CD AD ＝36＝12，tan ∠BAC ＝tan(∠CAD －∠BAD ) ＝tan ∠CAD －tan ∠BAD 1＋tan ∠CAD tan ∠BAD ＝12－131＋12×13 ＝17. 12.若(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β的最小正值为 . 答案3π4三、解答题13.已知tan ⎝⎛⎭⎫π12＋α＝2，tan ⎝⎛⎭⎫β－π3＝22，求：(1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋β－π4的值； (2)tan(α＋β)的值. 解 (1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋β－π4＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π12＋⎝⎛⎭⎫β－π3 ＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12＋tan ⎝⎛⎭⎫β－π31－tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12tan ⎝⎛⎭⎫β－π3 ＝2＋221－2×22＝－ 2. (2)tan(α＋β)＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋β－π4＋π4 ＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋β－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α＋β－π4tan π4＝－2＋11＋2×1＝22－3. 四、探究与拓展14.如果tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0两根，则sin (α＋β)cos (α－β)＝ . 答案 －32解析 sin (α＋β)cos (α－β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝31＋(－3)＝－32. 15.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值.解 由条件得cos α＝210，cos β＝255.∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210， sin β＝1－cos 2β＝55. 因此tan α＝sin αcos α＝7，tan β＝sin βcos β＝12. (1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3. (2)∵tan 2β＝tan(β＋β)＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， ∴tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan αtan 2β＝7＋431－7×43＝－1. 又∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<3π2，∴α＋2β＝3π4.。
两角和与差的正切公开课教案
两⾓和与差的正切公开课教案课题：两⾓和与差的正切执教：XXX⼀.教学⽬的:1. 使学⽣掌握两⾓和与差的正切公式的推导。
2. 使学⽣理解公式成⽴的条件、记住公式的形式、了解公式的作⽤。
3. 使学⽣能正确运⽤公式进⾏计算4. 使学⽣能逆⽤和变形使⽤公式进⾏计算。
⼆.教学重点: 两⾓和与差的正切公式的推导。
三.教学难点：两⾓和与差的正切公式的逆⽤和变形使⽤。
四．教学过程教学内容设计意图⼀创设情境：提出问题:1如何求sin15°？Cos15？写出计算过程。
可以利⽤sin15°，cos15°求tan15°值吗？写出计算过程。
2.如何求sin75°？Cos75？写出计算过程。
可以利⽤sin75°，cos75°求tan75°值吗？写出计算过程。
3.如何利⽤由sin(βα+)，cos(βα+) 可以得到 ()tan αβ+=？写出推理过程。
（两学⽣展⽰预习成果）由 sin(βα-)，cos (βα-) 可以得到()tan αβ-= ？写出推理过程。
⼆．数学建模：(T α+β)以旧引新，注意创设问题的情境．通过设疑，引导学⽣开展积极的思维活动结合学⽣展⽰点评：可以看出，以上推导是把两⾓和(或差)的正切转化为两⾓和(或差)的正、余弦；把两⾓差的正切转化为两⾓和的正切，即都采⽤了“转化”的思想⽅法．这种思想⽅法是研究数学问题的基本思想⽅法．或问题1：在上⾯推导过程中，是否还有其他值得注意的地⽅？问题2：分⼦、分母同除以cos αcos β，有没有条件限制？在公式T α±β中，必须注意α、β的取值范围，必须在定义域范围内使⽤上述公式。
即：tan α，tan β，tan(α±β)只要有⼀个不存在就不能使⽤这个公式，只能（也只需）⽤诱导公式来解。
2?注意公式的结构，尤其是符号。
问题3：⽤什么⽅法能记住公式呢？ (让学⽣议论．)三．数学应⽤：例1求下列各式的值：tan 17tan 128tan 17tan -+ 例2.求证：1tan151tan15+-3=。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2)教学设计
两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2)教案教学分析1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较cos(α-β)与cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α+β=α-(-β)的关系，从而由公式C(α-β)推得公式C(α+β)，又如比较sin(α-β)与cos(α-β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式S(α-β)、S(α+.β)等2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等.另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的.二、三维目标1．知识与技能：在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.2．过程与方法：通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.3．情感态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.三、重点难点教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.四、课时安排2课时五、教学设想（一）导入新课思路1.(复习导入)让学生回忆上节课所学的六个公式，并回忆公式的来龙去脉，然后让一个学生把公式默写在黑板上或打出幻灯.教师引导学生回顾比较各公式的结构特征，说出它们的区别和联系，以及公式的正用、逆用及变形用，以利于对公式的深刻理解.这节课我们将进一步探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应用.思路2.(问题导入)教师可打出幻灯，出示一组练习题让学生先根据上节课所学的公式进行解答.1.化简下列各式(1)cos （α＋β）cos β＋sin （α＋β）sin β; (2)cos sin 1tan cos sin cos sin sin 22---+--x x x x x x x ; (3).tan tan cos sin )sin()sin(2222αββαβαβα+-+ 2.证明下列各式 (1);tan tan 1tan tan )cos()sin(βαβαβαβα++=-+ (2)tan （α＋β）tan （α-β）（1-tan 2tan 2β）＝tan 2α-tan 2β; (3).sin sin )cos(2sin )2sin(αββααβα=+-+ 答案:1.(1)cos α;(2)0;(3)1.2.证明略.。
《6.1.3 两角和与差的正切公式》学历案-中职数学高教版21拓展模块一上册
《两角和与差的正切公式》学历案（第一课时）一、学习主题本课学习主题为“两角和与差的正切公式”，是中职数学课程中的重要内容。
本课将通过公式推导、例题解析及实践应用等环节，使学生掌握两角和与差的正切公式的应用，加深对数学知识的理解。
二、学习目标1. 理解并掌握两角和与差的正切公式的定义和推导过程。
2. 能够运用两角和与差的正切公式解决简单的数学问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学应用能力。
三、评价任务1. 评价学生对两角和与差的正切公式的理解程度，通过课堂提问和小组讨论的方式进行。
2. 评价学生运用两角和与差的正切公式解决实际问题的能力，通过课后作业和课堂练习的方式进行。
四、学习过程1. 导入新课：通过回顾之前学习的三角函数知识，引出两角和与差的正切公式的概念。
2. 新课讲解：通过图示、演示等方式，讲解两角和与差的正切公式的定义和推导过程。
3. 公式应用：通过例题解析，让学生了解如何运用两角和与差的正切公式解决实际问题。
4. 小组讨论：学生分组进行讨论，互相交流对公式的理解和应用方法。
5. 课堂练习：布置相关的课堂练习题，让学生进行练习，巩固所学知识。
五、检测与作业1. 课堂检测：通过课堂小测验，检测学生对两角和与差的正切公式的理解和应用能力。
2. 课后作业：布置相关的课后作业题，让学生进行巩固练习，加深对公式的理解和应用能力。
3. 作业评价：对学生的课后作业进行评价，及时反馈学生的学习情况，指导学生进行改进。
六、学后反思1. 反思学习过程：学生应反思自己的学习过程，总结自己的优点和不足，为今后的学习提供参考。
2. 反思学习方法：学生应反思自己的学习方法是否得当，是否需要调整学习方法以提高学习效果。
3. 反馈教学意见：学生应向老师反馈自己的学习情况和意见，帮助老师改进教学方法和提高教学质量。
通过以上的学习过程，我们希望能够让学生对两角和与差的正切公式有更深入的理解和掌握。
同时，也希望学生能够通过本课的学习，培养起良好的数学学习习惯和解决问题的能力，为今后的学习和工作打下坚实的基础。
最新中职数学授课教案：两角和与差的正弦、余弦公式数学
15.1 两角和与差的正弦、余弦公式教学案1.掌握用向量方法推导两角差的余弦公式，进一步体会向量方法的作用；2.用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化归思想在三角变换中的作用；3.用余弦的和差角公式推导正弦的和差角公式，了解公式间的内在联系。
4.能用正余弦的和差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式的证明..一、学习过程（一）教材核心知识及推导过程cos()αβ-=cos()αβ+==+)sin(βαsin()αβ-= 自我总结4个公式的特点(二)预习自测：（1） 42sin 72cos 42cos 72sin -（2） 70sin 20sin 70cos 20cos -（三）自主探究---三角函数的求值1．________75cos = ; _________15cos = 。
2．________75sin = ; _________15sin = 。
3．已知)23,(,1312cos ππθθ∈-=，那么.____________)4cos(的值等于πθ+ 4．已知,43cos -=α且α是第二象限角，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ3cos 的值.5.已知,23,,53sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-=ππαα求⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ3sin 的值.6．已知,,2,54sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=ππαα求,3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ3sin 的值.（四）自主发展1---配凑角求值 例1、已知35sin ,cos 513αβ==-，且α为第一象限角，β为第二象限角。
求sin()αβ+和sin()αβ-的值.分析解答(五)当堂检测1 sin 7cos37sin83sin37︒︒-︒︒、的值为_______()()._________sin sin cos cos 2=+++ββαββα、3 sin 2sin 3cos 2cos3, ______x x x x x =、若则的值是.________3sin ,2,23,51cos 4=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=πθππθθ则若、5、α为第二象限角， ）的值。
【中职数学】两角和与差的正切
2、已知tan、tan是方程的3x2 5x 1 0的两根，
求tan（ ）的值。
例5(1)求证 :1 tan15 3 1 tan15
方法1： 先求出 tan15o的值， 再代入计算则可
其中 tan15 o
tan(45 o
30o )
3
(9) (1 tan1)(1 tan 44) 1 tan 44 tan1 tan1 tan 44
1 tan 45(1 tan1 tan 44) tan1 tan 44
2
同理可得 (1 tan 22 )(1 tan 23） 2
原式 223
cos sin
cos sin
cos cos cos cos
tan tan 1 tan tan
(又有什么要求?)
k
2
k (k Z )
2
两角和的正切公式:
代号: T( )
tan( ) tan tan 1 tan tan
∴△ABC中没有直角，∴tanAtanB≠1.
tan A tan B
∵ tan(A+B)=
∴
tanA+tanB=
1 tan A tan B
tan(A+B)–tanAtanBtan(A+B)
=tan(180°–C)–tanAtanBtan(180°–C)
= –tanC+tanAtanBtanC，
解：∵sinα＝35，90°<α<180°，
∴cosα＝－ 1－sin2α＝－45，tanα＝csoinsαα＝－34.
又 cosβ＝1123，270°<β<360°，
(完整版)两角和与差的正弦余弦正切公式
两角和与差的正弦余弦正切公式教学目标1．能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式，并灵活运用．（重点)2．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．（难点）3．掌握两角和与差的正切公式及变形应用．(难点、易错点)［基础·初探］教材整理1 两角和与差的余弦公式阅读教材P128“思考”以下至“探究"以上内容,完成下列问题。
cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°的值等于________．【解析】逆用两角和的余弦公式可得cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°＝cos（75°＋15°)＝cos 90°＝0.【答案】0教材整理2 两角和与差的正弦公式阅读教材P128“探究"以下内容，完成下列问题．1．公式2.重要结论－辅助角公式y＝a sin x＋b cos x＝错误!sin（x＋θ)(a，b不同时为0）,其中cos θ＝错误!，sin θ＝错误!．判断(正确的打“√”，错误的打“×”）(1）两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．（）（2）存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．( ）(3）对于任意α,β∈R，sin（α＋β）＝sin α＋sin β都不成立．（）(4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°。
( ）解：(1）√.根据公式的推导过程可得．(2)√.当α＝45°,β＝0°时，sin（α－β）＝sin α－sin β.（3)×.当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β）＝sin α＋sin β成立．(4）√.因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝sin(54°－24°)＝sin 30°，故原式正确．【答案】(1)√(2)√（3）×(4)√教材整理3两角和与差的正切公式阅读教材P129“探究”以下至“例3”以上内容，完成下列问题．判断(正确的打“√”，错误的打“×")（1)存在α,β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．( ）（2）对任意α，β∈R，tan（α＋β）＝错误!都成立．( )（3）tan(α＋β）＝错误!等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)．( )解:（1)√。