中职数学常用公式及常用结论大全

中职数学常用公式及常用结论大全

1. 常见数集：N---自然数集 *

N ---正整数集 Z---整数集 Q---有理数集 R---实数集 2、充要条件：

（1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件.

（3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 3、一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠

（1）求根公式：2b x a

-±=

（2）根与系数的关系：12b x x a +=-，12c x x a

?= 4、不等式的基本性质：

（1）若a b > ，则a c b c ±>±； （2）若a b > ，且0c > ，则ac bc > （3）若a b > ，且0c < ，则ac bc < 5、一元一次不等式

（1）0(0)b

ax b a ax b x a ->>?>?>

（2）0(0)b

ax b a ax b x a

-<>?

（3）注意在解一元一次不等式组时，最后一定要求两个不等式解集的交集才是整个一元一次不等式组的解集。

6、一元二次不等式

（1）2

0(0)ax bx c a ++>>的解集：{}

12x x x x x <>或1x 、2x 是对应方程的两个根且1x <2x （2）20(0)ax bx c a ++<>的解集：{}12x x x x <<1

x 、2x

是对应方程的两个根且

1x <2x

7、含绝对值的不等式 （1）()(0),x a a a a <>?-

（2）()()(0),,x a a a a >>?-∞-?+∞

（3）(0)ax b c c ax b c ax b c +>>?+<-+>?或

（4）(0)ax b c c c ax b c +<>?-<+

8、定义域

口诀：函数定义域好求，分母不能等于零；

偶次方根非负，零和负数无对数；

零的零次方无意义，正切函数角不直；

其余函数实数集，多种情况求交集。

9、二次函数的图像与性质

（1）解析式：一般式：2

y ax bx c

=++

顶点式：

22

4

24

b a

c b

y a x

a a

-

??

=++

?

??

交点式：()()

12

y a x x x x

=--

（2）图像与性质

10、分数指数幂

(1)

m

n

n m

a

a

=（0,,

a m n N*

>∈，且1

n>）.

(2)

1

m

n

m

n

a

a

-

=（0,,

a m n N*

>∈，且1

n>）.

11．有理指数幂的运算性质

(1)(0,,)

r s r s

a a a a r s Q

+

?=>∈.

(2)()(0,,)

r s rs

a a a r s Q

=>∈.

(3)()(0,0,)

r r r

ab a b a b r Q

=>>∈.

12、常用指数值:()

010

a a

=≠; ()

1

1

a a

a

-=≠

13、指数式与对数式的互化式log b

a

N b a N

=?=(0,1,0)

a a N

>≠>. 14．对数的四则运算法则

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则

(1)log()log log

a a a

MN M N

=+;

(2) log log log

a a a

M

M N

N

=-;

(3)log log()

n

a a

M n M n R

=∈.

15、常用对数值：log10

a

=；log1

a

a=

16、指数函数与对数函数的图像与性质

(01)

x

y a a a

=>≠

且log(01)

a

y x a a

=>≠

且

定义域()

,

-∞+∞()

0,+∞

值域()

0,+∞()

,

-∞+∞

单调性

增函数减函数增函数减函数

17、等差数列

（1）等差数列定义：

1

n n

a a d

-

-==

常数

（2）等差数列的通项公式

1

(1)

n

a a n d

=+-；

（3）若,,

a b c成等差数列?b是,a c的等差中项2b a c

?=+

（4）其前n项和公式为1

()

2

n

n

n a a

s

+

=

1

(1)

2

n n

na d

-

=+.

18、等比数列

（1）等比数列定义：

1

n

n

a

q

a

-

==

常数

（2）等比数列的通项公式1*

1

1

()

n n

n

a

a a q q n N

q

-

==?∈；

（3）若,,

a b c成等比数列?b是,a c的等比中项2b ac

?=

（4）其前n项的和公式为

1

1

(1)

,1

1

,1

n

n

a q

q

s q

na q

?-

≠

?

=-

?

?=

?

19、三角函数定义

已知角α终边上一点,)P x y （，设OP r ==

则：sin ,cos ,tan y x y

r r x

ααα=

==。 20、三角函数值在各象限的符号

口诀：一全正；二正弦正；三正切正；四余弦正。 21、诱导公式：

口诀：奇变偶不变，符号看象限。 22、同角三角函数的基本关系式

22sin cos 1θθ+=；tan θ=

θ

θ

cos sin 。 23、和角与差角公式

sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±； cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=； tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

±±=

。（子同母异）

24、二倍角公式

sin 2sin cos ααα=；

2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；

2

2tan tan 21tan α

αα

=

-. 25、sin()y A x B ω?=++的周期与最值(A,ω,?为常数，且A>0)

(1)周期：2T π

ω

=

(2)最值：()1sin 1x ω?-≤+≤

()sin A A x A ω?-≤+≤

()sin A B A x B A B ω?-+≤++≤+

(3)sin cos )y a x b x x ωωω?=++ 26、正弦定理 2sin sin sin a b c

R A B C

===. 27、余弦定理

（1）2

2

2

2cos a b c bc A =+-；2

2

2

2cos b c a ca B =+-；2

2

2

2cos c a b ab C =+-.

（2）推论：222cos 2b c a A bc +-=；222cos 2a c b B ac +-=；222

cos 2a b c C ab

+-=

28、三角形面积定理

（1）111

222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111

sin sin sin 222

S ab C bc A ca B ===.

29、三角形内角和定理

在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=?=-+

222

C A B π+?

=-222()C A B π?=-+。 30、向量的加减运算

（1）AB BC AC +=(首尾相连) （2）AB AC CB -=(同一起点)

31、实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么

(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ;

(2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa; (3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 32、向量的数量积的运算律：

(1) a ·b= b ·a （交换律）; (2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）; (3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 33、a 与b 的数量积(或内积)

a ·

b =|a ||b |cos θ．

cos θ?=

a b

a b

34.平面向量的坐标运算

(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --.

(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--. (4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.

(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +. 35、两向量的夹角公式

cos θ=

(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).

36、平面两点间的距离公式

,A B d =||AB AB AB =

?=11(,)x y ，B 22(,)x y ).

37、向量的平行与垂直

设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则

a ||

b ?b =λa 12210x y x y ?-=.a ⊥b(a ≠0)?a ·b=012120x x y y ?+=. 38、线段AB 的中点，长度公式

1122121

2(,),(,)22

A x y

B x y M x y x x y y x y ==++==中中中中若，中点（，）则 ，

39、斜率公式

21

21

tan y y k x x α-==

-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.

40、直线的三种方程

（1）点斜式11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）一般式0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 41、两条直线的平行和垂直

(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+

①121212||,l l k k b b ?=≠;②12121l l k k ⊥?=-.

(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①111

1212221221222

||0A C -A C =0A B C l l A B A B A B C ?

=≠?-=且； ②1212120l l A A B B ⊥?+=； 42.点到直线的距离

d =

点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).注意直线一定要是一般式。

43. 圆的两种方程

（1）圆的标准方程2

2

2

()()x a y b r -+-=. 圆心坐标：（a,b ） 半径：r

（2）圆的一般方程22

0x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).

圆心坐标：D E ,2

2??

-- ??? 半径：224D E F

r +-=

44、直线与圆的位置关系

设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2

,2(E

D --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：

（1）当r d >时，直线l 与圆C 相离； （2）当r d =时，直线l 与圆C 相切； （3）当r d <时，直线l 与圆C 相交； 45、二次曲线（椭圆双曲线抛物线）

椭圆看大小a 最大，双曲线看正负c 最大。

45、抛物线的标准方程

46弦长公式 221212()()AB x x y y =

-+-=()

2

21212(1)

4k x x x x ++-

（弦端点A ),(),,(2211y x B y x ，由方程??

?=+=0

)y ,x (F b kx y 消去y 得到02

=++c bx ax ，0?>,α为直线

AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）.

47、分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++. 48、分步计数原理（乘法原理）12n N m m m =???.

49、排列数公式

m n P =)1()1(+--m n n n .(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=.

50、组合数公式

m

n

C =m n m m

P P =m m n n n ???+-- 21)1()1((n ∈N *，m N ∈，且m n ≤).

51、组合数的两个性质

(1)m

n C =m

n n

C -；(2) m n C +1-m n C =m n C 1+。注:规定10

=n C .

52、排列组合应用

??

???

????????????

????

重复（3信4邮）在于不在用优先分类有序(排列)相邻问题用捆绑不重复分步相隔问题用插空

无序(组合)