第58讲 两个正态总体参数假设检验(比较两个正态总体均值的检验)
正态总体参数的假设检验
的样本,EX
1 , DX
2 1
,
EY
2 , DY
2 2
,
则由中心极限定理知,
当n1和n2 较大时
U
X
Y
(1
2)
近似
~ N (0,1)
其中
2 1
n1
2 2
n2
故对大样本(n1和n2较大), 仍可用U检验法,这时拒绝条件仍如上表 所示.
如果
2 1
,
2 2
2
2 /2
2 (n 1)
2 2
0
2
2 1
概率统计（ZYH）
例1 某车间生产铜丝, 据经验知该车间生产的铜丝折 断力X~N(570,82).今换了一批质量较好的原材料,从性能上 看,估计折断力的方差不变,但不知折断力是否有所增强.故 从新生产的铜丝中抽取了十个样品,测得折断力(单位:N)为
n1
2 2
n2
T法
2 1
=
2 2
但未知
1 2 1 2 1 2
1 2 T
X Y
1 2
Sw 1 n1 1 n2
1 2 Sw
(n1 1)S12 (n2 1)S22 ) (n1 n2 2)
N (0,1)
N (0,1) t (n 1)
| U | u / 2 U u U u
| T | t / 2 T t T t
2法
2
2 0
两个正态总体的假设检验
由样本观察值算出的 F 满足
F0.95 (9 , 9) 1 3.18 F 1.95 3.18 F0.05 (9 , 9) .
可见它不落入拒绝域，因此不能拒绝原假设 H0 ：σ12 = σ22 ，
从而认为两个总体的方差无显著差异。
注意：在 μ1 与 μ2 已知时，要检验假设 H0 ：σ12 = σ22 ，其
检验方法类同均值未知的情况，此时所采用的检验统计量是：
1 n1
2
(
X
)
i 1
n1 i 1
F
1 n2
2
(
Y
)
i 2
n2 i 1
其拒绝域参看表8-5。
( 2 )单边检验可作类似的讨论。
F0.05 (n1 , n2 ) .
8-5
概率学与数理统计
体的样本，且 μ1 与 μ2 未知。现在要检验假设 H0 ： σ2 = σ02 ；
H1： σ2 ≠ σ02 。在原假设 H0 成立的条件下，两个样本方差的
比应该在1附近随机地摆动，所以这个比不能太大又不能太小。
于是我们选取统计量
S12
F 2.
S2
( 8.21 )
显然，只有当 F 接近1时，才认为有 σ12 = σ22 。
10 10 2
18
由( 8.20 )式计算得
2.063 2.059
t0
3.3 .
0.0000072 (2 10)
对于 α =0.01，查自由度为18的 t 分布表得 t 0.005( 18 )=2.878。
由于| t0|=3. 3 > t 0.005( 18 )=2.878 ，于是拒绝原假设 H0 ：μ1 = μ2 。
两个正态总体的假设检验
有时，我们需要比较两总体的参数 有时，我们需要比较两总体的参数 是否存在显著差异。比如， 是否存在显著差异。比如，两个农作物 品种的产量，两种电子元件的使用寿命， 品种的产量，两种电子元件的使用寿命， 两种加工工艺对产品质量的影响， 两种加工工艺对产品质量的影响，两地 区的气候差异等等。 区的气候差异等等。
Fα2 (n1 − 1, n2 − 1) 和 F12 α (n1 − 1, n2 − 1) ，使 −
2
( P (F
P F < Fα (n1 − 1, n2 − 1) =
2 2
2
2
> F12 α −
2
）、（3） 由（2）、（ ）式可得检验的拒绝域为 ）、（
F < F1−(α 2) ( n1 − 1, n2 − 1) 及 F > Fα 2 ( n1 − 1, n2 − 1)
拒绝H 两种灯泡的平均寿命 所以拒绝 假设， 所以拒绝 0假设，即认为 A、B两种灯泡的平均寿命 、 两种灯泡的 有统计意义。 有统计意义。
两个正态总体的方差检验 问题： 问题： X ~ N µ , σ 2 , Y ~ N µ ,σ 2 1 1
(
)
未知
µ1 , µ2 ，检验假设 0：σ 12 = σ 22 检验假设H
所以拒绝原假设 H20，即认为两种玉米的产量差异 有统计意义。 有统计意义。
(
2
2
)
F检验 检验
S12 σ 12 F = 2 2 ~ F ( n1 − 1, n2 − 1) 由抽样分布知 S2 σ 2 2 S 若假设H 成立， 若假设 0成立，则 F = 12 ~ F ( n1 − 1, n2 − 1) S2
f (x )
两个正态总体均值的检验.
S
2 w
(n1
1)S1*2 (n2 1)S2*2 n1 n2 2
.
当H0为真时, 根据第六章§3定理2知,
T ~ t(n1 n2 2).
第八章 假设检验
§8.3 两个正态总体参数的假设检验
对给定的 ， 由t分布的分位表可查得 t/ 2(n1 n2 2).
X Y
使得P{ Sw
1 1 t / 2 (n1 n2 2)}
,
2均为
2
未
知.
需要检验假设:
H0
:
2 1
22,
H1 :12 22 ,
第八章 假设检验
§8.3 两个正态总体参数的假设检验
当 H0 为真时,
E
(
S1*
2
)
2 1
2 2
E(S2*2 ),
当 H1 为真时,
E(
S1*2
)
2 1
22
E(S2*2 ),
当 H1 为真时,
观
察
值S1*
S
* 2
2 2
有 偏
大
或
偏
小
的
趋
势
故拒绝域的形式为 s1*2 s2* 2
k1或
s1* 2 s2* 2
k2,
此处 k1和k2 的值由下式确定:
第八章 假设检验
P
S1* S2*
2 2
k1
S1*2 S2*2
k2
§8.3
两个正态总体参数的假设检验
为了计算方便, 习惯上取
P
S1* S2*
2 2
k1
,
2
P
P{| ( X Y ) /
故拒绝域为
8.3 两正态总体的假设检验
.
当 H0: 1=2 为真时，有
(X Y ) S m n
1 1
~ tm n 2 .
从而
| X Y | P tm n2 (/2) . S m 1 n 1
拒绝域为
| X Y | S m n
1 1
tm n2 (/2)
2 2
因为 s1 3.325, s2 2.225,
2 2
s1 所以 2 1.49, s2 s1 0.153 2 1.49 6.54, s2
故接受 H 0 , 认为两总体方差相等.
2
2
两总体方差相等也称两总体具有方差齐性.
例3 分别用两个不同的计算机系统检索10个资料, 测得平均检索时间及方差(单位:秒)如下:
例1：假设有A和B两种药，欲比较它们在服用 2小时后在血液中的含量是否一样。对药品A， 随机抽取8个病人服药，服药2小时后，测得8 个病人血液中药物浓度(用适当的单位)分别为: 1.23, 1.42, 1.41, 1.62, 1.55, 1.51, 1.60, 1.76. 对药品B，随机抽取6个病人服药，服药2小时 后，测得血液中药的浓度分别为: 1.76, 1.41, 1.87, 1.49, 1.67, 1.81. 假定这两组观测值抽自具有共同方差的两个正 态总体，在显著性水=0.10下，检验病人血液 中这两种药的浓度是否有显著不同?
x % y %
0.20 0.30 0.10 0.21
0.40 0.52
0.50 0.32
0.60 0.78
0.70 0.80 0.90 1.00 0.59 0.68 0.77 0.89
d x y % 0.10 0.09 0.12 0.18 0.18 0.11 0.12 0.13 0.11
两个正态总体参数的比较
解：(1)检验假设
(2) 计算统计量
H 0 : 1 2 H1 : 1 2 2 X 56.5 , S1 9.4, n1 75
Y 65, S 5.5, n2 65
2 2
56.5 65 u 18.56 2 2 9.4 5.5 S1 S 2 ( ) ( ) 75 65 n1 n2
小样本情况下的检验步骤：
1、假设： H 0 : 1 2、统计量 t
2 , H1 : 1 2
~ t ( df )
( X Y ) ( 1 2 )
2 S12 S 2 n1 n2 3、查临界值：给出显著水平
，
查附表7，得到临界值 t (df ) 。
2
t 4、结论： t t , 拒绝H 0， t , 接受H 0 。
解：(1)检验假设 H 0
(2) 计算统计量
: 1 2 H1 : 1 5, S 0.0012, n1 4 Y 8.87, S 0.0018 n2 4 ,
2 2
(n1 1) S (n2 1) S S n1 n2 2
3.两位药师对同一样品测得结果的比较；
4.在动物试验中，通常把在遗传上和环境 上差别很小的同胎、同性别、体重相近的小 白鼠配成对子做试验，对子之一做甲种处理， 另一只做乙种处理，比较其反应的强弱。
配对资料的特点是：一对数据间存在着某 种联系。
我们把满足这种特点的资料称为配对的资 料。
二、配对的作用：
§4-4 两个正态总体的参数检验
关于两个正态总体的问题: 1、在动物身上做比较试验来鉴定使用和不使 用某种药物的效果； 2、临床试验中比较新药和旧药对于治疗某 种疾病的疗效。 3、在制药工业中比较新旧工艺间的优劣。 等等
双正态总体的假设检验
x1 , x2 ,, xn1
和
专业课件讲义教材PPT文档
y1 , y2 ,, yn2 ,
3
计算出 U 的观察值 u,若 u u / 2 , 则拒绝原假设 H 0 , 若 u u / 2 , 则接受原假设 H 0 .
类似地，对单侧检验有： (2) 右侧检验 H 0 : 1 2 0 , H1 : 1 2 0 , 可得拒绝域为 其中 0 为已知常数，
X Y 0 T 2 ~ t ( n1 n2 2), S w 1 / n1 1 / n2
2 2 ( n 1 ) S ( n 1 ) S 2 1 2 2 其中 Sw 1 . 选取 T 作为检验 n1 n2 2
统计量， 记其观察值为 t , 相应的检验法称为 t 检验
故应拒绝 H 0 , 即认为两厂生产的灯泡寿命有显著差 7 专业课件讲义教材PPT文档 异.
例2 一药厂生产一种新的止痛片, 厂方希望验证服用 新药片后至开始起作用的时间间隔较原有止痛片至 少缩短一半, 因此厂方提出需检验假设 此处 1 , 2 分别是服用原有止痛片和服用新止痛片 后至起作用的时间间隔的总体的均值 . 设两总体均 2 2 为正态总体 , 且方差分别为已知值 1 , 2 , 现分别在 两总体中取一样 X 1 , X 2 ,, X n 和 Y1 ,Y2 ,,Yn , 设 1 2 两个样本独立, 试给出上述假设 H 0的拒绝域, 取显著 性水平为 .
.
专业课件讲义教材PPT文档
10
2.
方差 , 未知，但 情形
2 1 2 2 2 1 2 2 2
(1) 双侧检验 H 0 : 1 2 0 , H1 : 1 2 0 , 当 H 0 为真时， 其中 0 为已知常数，
两个正态总体均值的检验.
2 , , 均为未知, N ( 1 , ) 和N ( 2 , ), 1 2
2 2
第八章
假设检验
*2 1
*2 2
需要检验假设 H 0 : 1 2 , H1 : 1 2 .
n1 8, n2 7,
2
§8.3 两个正态总体参数的假设检验
使得P{ Sw X Y 1 1 n1 n2 t / 2 ( n1 n2 2)}
故拒绝域为
W1 { sw ( x y) 1 1 n1 n2 t / 2 ( n1 n2 2)}
第八章
假设检验
§8.3 两个正态总体参数的假设检验
例2 有甲、乙两台机床加工相同的产品, 从这两台 机床加工的产品中随机地抽取若干件, 测得产品直 径(单位:mm)为 机床甲: 20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.0, 19.0, 19.9 机床乙: 19.7, 20.8, 20.5, 19.8, 19.4, 20.6, 19.2, 试比较甲、乙两台机床加工的产品直径有无显著 差异? 假定两台机床加工的产品直径都服从正态 分布, 且总体方差相等. ( 0.05)
x 24.4,
12
2 2
y 27
24.4 27 u ( x y) / 1.612 n1 n2 5 8 5 5 对 0.05, 查正态分布表得 u / 2 1.96,由于
| u | 1.612 1.96, 故接受原假设 H0 .
第八章
假设检验
§8.3 两个正态总体参数的假设检验
2.未知方差时两正态总体均值的检验 利用t检验法检验具有相同方差的两正态总体均 值差的假设. 设 X 1 , X 2 , , X n1 为 来 自 正 态 总 体 N ( 1 , 2 )的
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第58讲：两个正态总体参数的假设检验(比较两个正态总体均值的检验)
例1：通常认为男女的脉搏率是没有显著差异的. 现在随机地抽取年龄都是25岁的16位男子和13位女子, 测得他们的脉搏率如下:
男: 61, 73, 58, 64, 70, 64, 72, 60, 65, 80, 55,
72, 56, 56, 74, 65,
女: 83, 58, 70, 56, 76, 64, 80, 68, 78, 108,
76, 70, 97.
问题：假设男女脉搏率都是服从正态分布, 这些数据能否认为男女脉搏率的均值相同?
()()1222121212222
1
,,,,,
,,,,,,n n X X X N Y Y Y N X Y S S μσ
μσ∙∙∙ 1
2假设：
是来自的样本是来自的样本，两样本相互独立.
并记,分别为两样本的均值和方差.
()012112.
:,:,
H H μμμαμ=≠检验假设显著水平
2212
1.σσ当和已知时
221
2
012
,.~(0X Y X Y C H X Y N n n σ
σ
∙--≥∙-+ 检验统计量拒绝域形式 当成立时，，）.
221
2
1
2
σ
σ
-=
+
X Y
Z n n 记: 2
α≥--Z z z 则检验拒绝域为：检验
{}0000221
2
1
2
2(1(),.
σ
σ
-=≥=-Φ-=
+
H P P Z z z x y
z n n 其中:
222
12
2.σσσ当==但未知时
2
σ首先利用合样本给出参数的无偏估计量
()()2211
22
2
1211 .
2
w
n S n S
S n n -+-=
+-12
11-=
+w X Y T S n n 可取检验统计量为：
()
21212
211w
X Y T t n n S n n α-=
≥+-+检验拒绝域为：{}{}00120012
||||2(2)||11--=≥=+-≥-=
+H w P P T t P t n n t x y
t P s n n 其中为::值——两样本精确t检验
2212
3.σσ≠当且未知时
2212
12
.-=
+X Y T S S n n 取检验统计量为:22221212
.
S S σσ以样本方差分，别代替，
{}{}000||||2||,
--=≥=≥H P P T t P Z P t 值为:(1)当两个样本量都很大时，利用中心极限定理
{}
/2||α≥T z 检验的拒绝域为:0221
2
12
~(01).
-=+x y Z N t s s
n n 其中: ，，
12min(1,1),
=--k n n (2)当两个样本为小样本时都很大时，统计量近似服从t 分布，自由度为
222
112
22
222
112212(//)(/)(/)
11
+=+
--S n S n k S n S n n n 或更精确的近似自由度
{}
/2||()α≥T t k 检验的拒绝域为: {}{}000||||2()||.
--=≥=≥H P P T t P t k t P 值为: t ——两样本近似检验
221122
12221201,~(,),~(,),16,13,65.31,75.69,
56.36,211.40,
.X Y X N Y N n n x y s s H H μσμσμμμμ=======≠1212检验假设在例1中设分别表示男女的脉搏率，由已知数据计得:,:：算
2212
56.36,211.40,s s t ==注意到相差很大，采用不等方差的检验法，
结论：拒绝原假设，认为男女脉搏率的均值
不相同。
0221212 2.334.x y t s s n n -==-+检验统计量的观察值12min(1,1)12.t k n n =--=分布的近似自由度2{(12) 2.334}0.038.05._0P P t =≥-=<
012112012112
:,::,:H H H H μμμμμμμμ≥<≤> 类似地， 可以给出
在上述情形下左的边检验:
右边检验规则. 检验:
例2：某厂使用两种不同的原料A,B生产同一类型产品。
各在一周的产品中取样分析。
•取用原料A生产的样品220件，测得平均重量为2.46（公斤），样本标准差s=0.57（公斤）。
•取用原料B生产的样品205件，测得平均重量为2.55（公斤），样本标准差为0.48（公斤）。
设两样本独立，来自两个方差相同的独立正态总体。
问在水平0.05下能否认为用原料B的产品平均重量较用原料A的产品平均重量为大?
本例的Excel计算见实验22.
1122220, 2.46, 0.57205, 2.55, 0.48.======n x s n y s 由条件得：；
01μμμμ≥<H H 1212
解：:,:检验假设：1212
(2)11α-≤-+-+w X Y t n n S n n 拒绝域为：()0.050.05423 1.645,
≈=t z 查表得：
12
110.5285,0.097
w s n n =+=计算得：012
1.754 1.64511
w x y
t s n n -=
=-<-+,
{(423) 1.754}
( 1.754)0.0400.05.P P t -=≤-≈Φ-=<结论：拒绝原假设
()()()12320123112312121222123:,:,,,,,,,,,,,,,,,.
n n n X X X N Y Y Y H H N Z Z Z N μμμμμμσμμσμσ∙∙==∙∙ ：如果
是来自的样本是来自的样本，是来自的样本，三样本相互独立.应该如何检验假设问不全相等题61.——见第讲。