高中数学 第二章 平面向量 2-4-2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件 新人教A版必修4
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析
一
数量积的坐标运算
已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a· b＝10.
【例1】
(1)求向量a； (2)若c＝(2，－1)，求(a· b)· c及a· (b· c)．
【分析】 算．
本题主要考查共线向量与向量数量积的坐标运
(1)由于a与b同向，可设a＝λb(λ>0)，结合a· b＝10，可以求 出a. (2)可按向量的运算进行．
规律技巧 1向量a与b同向，可设为a＝λbλ>0，a与b反 向，可设为a＝的数量积 不满足结合律.
变式训练1 b)，求x的值．
若a＝(－3,4)，b＝(2，－1)，且(a－xb)⊥(a－
解 ∵a－xb＝(－3－2x,4＋x)， a－b＝(－5,5)，(a－xb)⊥(a－b)， ∴(－3－2x)×(－5)＋(4＋x)×5＝0， ∴3x＋7＝0， 7 ∴x＝－3.
3．两向量垂直的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔______________. 4．向量的夹角公式 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其夹角为θ，则cosθ＝ ________.
1.x1x2＋y1y2 自 2.(1) x2＋y2
它们对应坐标的乘积的和
我 (2) x1－x22＋y1－y22 校 3.x x ＋y y ＝0 1 2 1 2 对 x1x2＋y1y2 4. 2 2 2 2(0≤θ≤π) x1＋y1 x2＋y2
3．向量的长度、距离和夹角公式
2 已知a＝(x1，y1)，则|a|＝ x1 ＋y2 1 ，即向量的长度等于它的
坐标平方和的算术平方根． 如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么 → |AB|＝ x2－x12＋y2－y12. 事实上这就是解析几何中两点间的距离公式．
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，设这两个向量的夹角为θ， 则 x1x2＋y1y2 cosθ＝ 2 2 2 2. x1＋y1· x2＋y2 用坐标表示向量，利用向量的数量积可以解决有关垂直的 问题，还可以求向量的长度、夹角，从而可以发现向量与解析 几何、三角函数有密切的联系．
＝1，则|a＋2b|＝( A. 3 C ．4
(2)若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角 等于( ) π B.6 3π D. 4
π A．－4 π C.4
解析 (1)∵a＝(2,0)，∴|a|＝2，∴a· b＝|a|· |b|· cos60° ＝1.∴ |a＋2b|＝ a＋2b2＝ a2＋4a· b＋4b2＝ 4＋4×1＋4＝2 3. (2)因为2a＋b＝(3,3)，a－b＝(0,3)，所以cos〈2a＋b，a－ 3×0＋3×3 2 b〉＝ 2 ＝ . 3 ＋32· 02＋32 2 π 所以2a＋b与a－b的夹角等于4.
ka－b· a＋b ∴cos120° ＝ ， |ka－b||a＋b| －2 1 即－ ＝ ， 2 2· k2＋k＋22 化简整理，得k2＋2k－2＝0，解得k＝－1± 3.
【答案】
(1)B (2)－1± 3
变式训练2
(1)平面向量a与b的夹角为60° ，a＝(2,0)，|b| ) B．2 3 D．12
模．(2)求出|ka－b|，|a＋b|及(ka－b)· (a＋b)，再运用夹角公式 求k.
【解析】
(1)∵a⊥b，∴x－2＝0，∴x＝2.
∴a＝(2,1)，∴a＋b＝(3，－1)．∴|a＋b|＝ 10. (2)∵|ka－b|＝ k2＋k＋22， |a＋b|＝ 12＋－12＝ 2. 又(ka－b)· (a＋b)＝(k，k＋2)· (1，－1)＝k－k－2＝－2，而 ka－b与a＋b的夹角为120° .
第二章
平面向量
§2.4 平面向量的数量积
2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 1.会用坐标表示平面向量的数量积． 2．能够用向量坐标求数量积、模及两个向量的夹角． 3．能够利用坐标判断向量的垂直关系.
课前热身 1.平面向量数量积的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a· b＝________.即两个 向量的数量积等于________． 2．向量的模与两点间距离公式 (1)设a＝(x，y)，则|a|＝________. (2)如果向量a的起点坐标和终点坐标分别为(x1，y1)，(x2， y2)，那么|a|＝________.
二
向量的模与夹角问题
(1)设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥ ) B. 10 D．10
【例2】
b，则|a＋b|等于( A. 5 C．2 5
(2)已知a＝(1,1)，b＝(0，－2)，且ka－b与a＋b的夹角为 120° ，则k＝________.
【分析】
(1)运用垂直求出x值，得到a＋b的坐标，求
思考探究 什么？
用向量的数量积的坐标表示求数量积的优势是
提示 优势是不需求向量的模和夹角，直接求数量积，简 化了运算.
名师点拨 1.向量内积的坐标运算 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a· b＝x1x2＋y1y2，即两个 向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 2．两个向量垂直的条件 若a⊥b，则x1x2＋y1y2＝0；反之，若x1x2＋y1y2＝0，则a⊥ b. 运用向量垂直的条件，既可以判定两向量是否垂直，又可 以由垂直关系去求参数．
答案 (1)B (2)C
三
数量积的坐标运算及综合应用
【例3】
→ → → 已知 OP ＝(2,1)， OA ＝(1,7)， OB ＝(5,1)，设C
【解】
(1)∵a与b同向，又b＝(1,2)，
∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)． 又a· b＝10， ∴1×λ＋2×2λ＝10，∴λ＝2>0. ∴a＝(2,4)．
(2)∵a· b＝10， ∴(a· b)· c＝10(2，－1)＝(20，－10)． 而b· c＝(1,2)· (2，－1)＝1×2＋2×(－1)＝0， ∴a· (b· c)＝a· 0＝0.
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高中数学第二章平面向量24平面向量的数量积242平面向量数量积的坐标表示模夹角课件新人教A版必修4
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练 2】 已知向量 a= (1,2),b= (2,-3),若向量 c 满足(a+ c)
∥ b,c⊥(a+ b),则 c 等于( )
题型一 题型二 题型三 题型四
题型二
垂直问题
【例2】 已知向量 a= (1,2),向量b= (x,-2),且a⊥(a-b),则实数x等于
()
A.9 B.4 C.0 D.-4
解析:∵ a⊥(a-b), ∴ a·(a-b)= 0, ∴ a2-a·b= 5-(x-4)= 0,解得x=9.
答案:A 反思有关向量垂直的问题 ,通常利用它们的数量积为 0来解决.本 题也可先求出 a-b的坐标,再代入a·(a-b)= 0,解得x.
题型一 题型二 题型三 题型四
题型一
数量积的坐标运算
【例1】 已知a= (2,-1),b= (3,-2),求(3a-b)·(a-2b). 分析:先求出 a·b,a2,b2,再对(3a-b)·(a-2b)展开求解 ;或先将3a-b,a2b的坐标求出 ,再进行运算 .
解法一:∵ a·b= 2×3+ (-1)×(-2)= 8,a2= 22+ (-1)2= 5,b2= 32+ (-2)2= 13, ∴ (3a-b)·(a-2b)= 3a2-7a·b+ 2b2= 3×5-7×8+ 2×13=- 15. 解法二:∵ a= (2,-1),b= (3,-2), ∴ 3a-b= (6,-3)-(3,-2)= (3,-1),
| a| =
??
2 1
+
??22 ;
(4)cos θ= |????·||????|? cos θ=
??1 ??1+ ??2??2 ;
高中数学必修四2-4-2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件
角，那么cos θ如何用坐标表示？
答案
cos θ＝|aa|·|bb|＝
x1x2＋y1y2 x21＋y21 x22＋y22.
[思考辨析 判断正误] 1.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.( × ) 2.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1y2－x2y1＝0.( × ) 3.若两个非零向量的夹角θ满足cos θ>0，则两向量的夹角θ一定是锐角.
( ×) 提示 当两向量同向共线时，cos θ＝1>0，但夹角θ＝0，不是锐角.
提示 答案
题型探究
类型一 数量积的坐标运算
例1 (1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于
A.10
√B.－10
C.3
D.－3
解析 a＋2b ＝(4，－3) ，a －3b ＝(－1,2) ，所以(a ＋2b)·(a－3b)＝ 4×(－1)＋(－3)×2＝－10.
解析 答案
(2)如图所示，在矩形 ABCD 中，AB＝ 2，BC＝2，点 E 为 BC 的中点， 点 F 在边 CD 上，且D→F＝2F→C，则A→E·B→F的值是____43____.
解析 答案
反思与感悟 数量积坐标运算的技巧 (1)进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用 以下几个关系： ①|a|2＝a·a； ②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2； ③(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2. (2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，一般先建立 坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积.
解析 答案
类型三 平面向量的夹角问题
例 3 (2017·山东枣庄八中月考)已知点 A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)， O(0,0)，若|O→A＋O→C|＝ 13，α∈(0，π)，则O→B，O→C的夹角为
高中数学必修四课件2-4-2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件
(2) 已 知 a ＝ (3 ， － 1) ， b ＝ (1 ， － 2) ， 则 a 与 b 的 夹 角 为 ________． 解析 设 a 与 b 的夹角为 θ，则 cos θ＝3×1＋1－0·1×5 －2＝ 22，又 θ∈[0，π]，所以 θ＝π4．
答案
π 4
题型一 数量积的坐标运算
【例1】 已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)
答案 4 2 5
(2)已知点 A(1，－2)，若向量A→B与 a＝(2,3)同向，|A→B|＝2 13， 则点 B 的坐标是________． 解析 由题意可设A→B＝λa(λ>0)，∴A→B＝(2λ，3λ)， 又|A→B|＝2 13，∴(2λ)2＋(3λ)2＝(2 13)2，解得 λ＝2 或 λ＝－ 2(舍去)． ∴A→B＝(4,6)，又 A(1，－2)，∴B(5,4)．
【预习评价】 (1)已知a＝(－1,3)，b＝(2,4)，则a·b的值是________． 解析 a·b＝(－1)×2＋3×4＝10． 答案 10 (2) 已 知 a ＝ (2 ， － 1) ， b ＝ (1 ， x) ， 且 a⊥b ， 则 x ＝ ________． 解析 由题意知a·b＝2×1＋(－1)×x＝0，得x＝2． 答案 2
题型二 平面向量的模
【例 2】 (1)设 x，y∈R，向量 a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝
(2，－4)，且 a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝( )
A． 5
B． 10
C．2 5
D．10
解析 因为 a⊥c，b∥c，所以22xy－＋44＝＝00，， 解得yx＝＝－2，2， 所以 a＝(2,1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)，所以|a＋b|＝ 10． 答案 B
高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件新人教A版必修4
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1 若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),且满足条件(8ab)· c=30,则x=( ) A.6 B.5 C.4 D.3 解析:∵a=(1,1),b=(2,5), ∴8a-b=8(1,1)-(2,5)=(8,8)-(2,5)=(6,3). ∴(8a-b)· c=(6,3)· (3,x)=6×3+3x=18+3x=30. ∴x=4. 答案:C
3π ������· ������ -5 2 = =- . |������||������| 5· 10 2
∵θ∈[0,π ],∴θ= 4 .
答案:(1)C (2)
3π 4
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打 “ ”,错误的 打“×”. (1)已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2).a⊥b⇔x1x 2-y1y 2=0. ( ) (2)已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2),a 与 b 所成角为 θ,则 cos
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究二向量垂直的问题 【例3】 (1)已知向量a=(1,2),向量b=(x,-2),且a⊥(a-b),则实数x等于 ( ) A.9 B.4 C.0 D.-4 (2)在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,E,F分别在AB,AD上,且AE=1,则当 DE⊥CF时,AF= . 解析:(1)由已知得a-b=(1-x,4). ∵a⊥(a-b),∴a· (a-b)=0. ∵a=(1,2),∴1-x+8=0,∴x=9.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
方法二:a· (a-b)=a2-a· b =(-1)2+22-[(-1)×3+2×2]=4. (2)∵a+b=(-1,2)+(3,2)=(2,4), 2a-b=2(-1,2)-(3,2)=(-2,4)-(3,2)=(-5,2), ∴(a+b)· (2a-b)=(2,4)· (-5,2)=2×(-5)+4×2=-2. (3)(a· b)c=[(-1,2)· (3,2)](2,1) =(-1×3+2×2)(2,1)=(2,1). a (b · c)=(-1,2)[(3,2)· (2,1)] =(-1,2)(3×2+2×1)=8(-1,2)=(-8,16).
高中数学 第二章《平面向量》2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件 新人教A版必修4
a 与b 的数量(或 积内)积 .
记为： ab, 即ab|a||b|cos.
规定: 零向量与任一向量量 的积 数 为0，即a 0 0.
学情调查、情景导入
2. 两个向量的数量积的性质: 设 a、b 为两个非零向,量
(1) a b a b 0
学情调查、情景导入
2. 两个向量的数量积的性质:
(2)当a与b同向, 时 aba b
练习. 设 a ( 5 -,7 b ( - 6 ),-,4 求 |a ) |a ,,b .
例1. 已知A(1，2)，B(2，3)，C( 2，5)， 试判断△ABC的形状，并给出证明.
例2. 已知 a(1, 3),b( 31, 31),
Байду номын сангаас
求|a|,ab及a、 b的夹 . 角
评述：已知三角形函数值求角时， 应注重角的范围的确定.
知识梳理、归纳总结
1.abx1x2y1y2.
2.a(x,y),则|a| x2 y2
3. 平面内两点间的距离公式:
|A| B(x1x2)2(y1y2)2
4. 向量垂直的判定:
ab x1x2y1y20.
预习指导、新课链接
1、习题2.4 2、同步练习册60~63页。
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
2.4.2平面向量数量积的 坐标表示、模、夹角
学情调查、情景导入
1. 平面向量的数量积(内积)的定义：
若|a|4， |b|3,它们的3夹 00，角 求 ab为
学情调查、情景导入
1. 平面向量的数量积(内积)的定义： 已知两个非零a向 和量 b，它们的
夹角为 ，我们把数 |a|量 |b|cos 叫做
记为： ab, 即ab|a||b|cos.
规定: 零向量与任一向量量 的积 数 为0，即a 0 0.
学情调查、情景导入
2. 两个向量的数量积的性质: 设 a、b 为两个非零向,量
(1) a b a b 0
学情调查、情景导入
2. 两个向量的数量积的性质:
(2)当a与b同向, 时 aba b
练习. 设 a ( 5 -,7 b ( - 6 ),-,4 求 |a ) |a ,,b .
例1. 已知A(1，2)，B(2，3)，C( 2，5)， 试判断△ABC的形状，并给出证明.
例2. 已知 a(1, 3),b( 31, 31),
Байду номын сангаас
求|a|,ab及a、 b的夹 . 角
评述：已知三角形函数值求角时， 应注重角的范围的确定.
知识梳理、归纳总结
1.abx1x2y1y2.
2.a(x,y),则|a| x2 y2
3. 平面内两点间的距离公式:
|A| B(x1x2)2(y1y2)2
4. 向量垂直的判定:
ab x1x2y1y20.
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1、习题2.4 2、同步练习册60~63页。
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2.4.2平面向量数量积的 坐标表示、模、夹角
学情调查、情景导入
1. 平面向量的数量积(内积)的定义：
若|a|4， |b|3,它们的3夹 00，角 求 ab为
学情调查、情景导入
1. 平面向量的数量积(内积)的定义： 已知两个非零a向 和量 b，它们的
夹角为 ，我们把数 |a|量 |b|cos 叫做
高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.2平面
探究一 平面向量数量积的坐标运算 [典例 1] (1)已知向量 a＝(1,2)，b＝(3,4)，求 a·b，(a－b)·(2a＋3b)． (2)已知向量 a 与 b 同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求： ①向量 a 的坐标； ②若 c＝(2，－1)，求(a·c)b. [解析] (1)解法一 ∵a＝(1,2)，b＝(3,4)， ∴a·b＝(1,2)·(3,4)＝1×3＋2×4＝11， (a－b)·(2a＋3b)＝2a2＋a·b－3b2＝2|a|2＋a·b－3|b|2＝2(12＋22)＋11－3(32＋42)＝－54.
垂直关系.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
课时作业
[自主梳理]
一、两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ.
数量积
两个向量的数量积等于相应坐标乘积的 和，即 a·b＝x1x2＋y1y2
两个向量垂直 a⊥b⇔ x1x2＋y1y2＝0
4k＋2＝0，k＝－12.
3．已知 a＝( 3，1)，b＝(－ 3，1)，则向量 a，b 的夹角 θ＝________.
解析：因为 a＝( 3，1)，b＝(－ 3，1)，
所以 cos θ＝
3×－ 32＋12
3－＋1×321＋12＝－12，
又 0°≤θ≤180°，所以 θ＝120°.
答案：120°
所以 2a－b＝(4,8)．所以|2a－b|＝4 5，故选 D.
答案：(1)2 5 4 (2)D
探究三 向量的夹角与垂直 [典例 3] 已知点 A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)． (1)求证：AB⊥AD； (2)要使四边形 ABCD 为矩形，求点 C 的坐标以及矩形 ABCD 两对角线所夹锐角 的余弦值． [解析] (1)因为 A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，A→B＝(1,1)，A→D＝(－3,3)，所以A→B·A→D＝ 1×(－3)＋1×3＝0，所以A→B⊥A→D，即 AB⊥AD.
数学：2.4.2《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》PPT课件(新人教A版必修4)
4、两向量夹角公式的坐标运算
设a与b 的夹角为（0 180 ），
则 cos
a b ab
设a x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 且a与b夹角为， （ (0 180 )则 cos
2 1 2 1 2 2
x1 x2 y1 y2 x y x y
(1) a a a 或 a
2
a a；
(1)向量的模 设a ( x, y ), 则 a x y , 或 a
2 2 2 2 2
x y ；
（2）两点间的距离公式 则 AB （x1 x2 ) y1 y2 ) （
=(x1,y1), b =(x2,y2),则
故两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和。即 y A(x ,y )
1 1
a b x1 x2 y1 y2 .
B(x2,y2)
b
j
a
i
o
x
根据平面向量数量积的坐标表示，向 量的数量积的运算可转化为向量的坐标运 算。
2、向量的模和两点间的距离公式
设两个非零向量
a
a x1 i y1 j b x2 i y2 j , a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j ) 2 2 x1 x2 i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j x1 x2 y1 y2
例3 （1）已知 a =（4，3），向量 b 是 垂直于 a 的单位向量，求 b .
（2）已知 a 10 , b (1,2)，且a // b，求a的坐标.
3 （3）已知a (3,0), b (k ,5)，且a与b的夹角为 ， 4 求k的值.
高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件新人教A版必修4(1)
探究一
探究二
探究三
思维辨析
1 ������������ 2
解析:(方法 1)������������ ·������������ = ������������ + 3 ������������ · ������������ + =0+2· 22+3· 32+3· 0=5.
1 1 1
1
(方法 2)以 A 为原点,AB,AD 分别为 x,y 轴建立直角坐标系,则 A(0,0),M(1,2),N(3,1), 于是������������=(1,2),������������=(3,1),故������������ ·������������=5.
答案:5
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟 数量积运算的途径及注意点 (1)进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性 质.解题时通常有两条途径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行 数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知 计算. (2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的 特征,建立平面直角坐标系,写出相应点的坐标即可求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
数量积的坐标运算
【例1】 已知向量a=(-1,2),b=(3,2). (1)求a· (a-b); (2)求(a+b)· (2a-b); (3)若c=(2,1),求(a· b)c,a(b· c). 分析根据坐标运算法则,结合数量积的运算律进行计算. 解:(1)方法一:∵a=(-1,2),b=(3,2), ∴a-b=(-4,0). ∴a· (a-b)=(-1,2)· (-4,0)=(-1)×(-4)+2×0=4. 方法二:a· (a-b)=a2-a· b =(-1)2+22-[(-1)×3+2×2]=4.
最新-高中数学 第二章 242平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件 新人教A版必修4 精品
AB x2 x1 2 y2 y1 2
三、向量垂直和平行的坐标表示:
a x1, y1 ,b x2, y2 (a 0,b 0)
(1)垂直: a b a b 0
x1x2 y1 y2 0
(2)平行: a / /b b a
x1 y2 x2 y1
四、向量夹角公式的坐标表示:
3.a b x1x2 y1y2 0
4.a / /b x1y2 x2 y1 5.cos x1x2 y1y2
x12 y12 . x22 y22
作业:
1.教材第108页A组 第5，9，10，11题
2.教材第108页B组 第2，4，5题
下一节课上习题课
| a | | b | x12 y12 . x22 y22 5 2
cos a b 5 2
| a || b | 5 2 2
4
2 已知a 2,3,b 2, 4,
则a ba b .
法一：a b (0, 7), a b (4, 1) （a b）（ a b） 0 4 7 (1) 7.
AB 2, AC 3 2, BC 2 5
例3:已知a (4,3),求与a垂直的单位向量b
解:设所求向量为(x, y), 则
4x 3y 0
x2
y2
1
yx534或xy453
5 5
b (3 , 4)或b ( 3 , 4)
55
55
例4:已知a =(1, 0)，b =(2, 1)，当k为何实数 时，向量k a－ b与 a+3b(1)平行；(2)垂直
法二：（a
b）（ a
b）
2
a
2
b
| a |2 | b |2 13 20 7
例2:已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(2, 5)， 求证：△ABC是直角三角形
三、向量垂直和平行的坐标表示:
a x1, y1 ,b x2, y2 (a 0,b 0)
(1)垂直: a b a b 0
x1x2 y1 y2 0
(2)平行: a / /b b a
x1 y2 x2 y1
四、向量夹角公式的坐标表示:
3.a b x1x2 y1y2 0
4.a / /b x1y2 x2 y1 5.cos x1x2 y1y2
x12 y12 . x22 y22
作业:
1.教材第108页A组 第5，9，10，11题
2.教材第108页B组 第2，4，5题
下一节课上习题课
| a | | b | x12 y12 . x22 y22 5 2
cos a b 5 2
| a || b | 5 2 2
4
2 已知a 2,3,b 2, 4,
则a ba b .
法一：a b (0, 7), a b (4, 1) （a b）（ a b） 0 4 7 (1) 7.
AB 2, AC 3 2, BC 2 5
例3:已知a (4,3),求与a垂直的单位向量b
解:设所求向量为(x, y), 则
4x 3y 0
x2
y2
1
yx534或xy453
5 5
b (3 , 4)或b ( 3 , 4)
55
55
例4:已知a =(1, 0)，b =(2, 1)，当k为何实数 时，向量k a－ b与 a+3b(1)平行；(2)垂直
法二：（a
b）（ a
b）
2
a
2
b
| a |2 | b |2 13 20 7
例2:已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(2, 5)， 求证：△ABC是直角三角形
高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件3新人教A版必修4
(2)向量有几种表示方法？由于表示方法的不同，计算数量积的方法有什么不 同？ 提示：向量有几何表示法、代数表示法和坐标表示法三种方法. 几何表示法、 代数表示法表示向量时，用数量积的定义计算数量积，坐标表示法表示向量 时，用数量积的坐标运算求数量积.
(3)向量模的坐标表示可以解决哪些问题？ 提示：向量模的坐标表示可以解决求线段的长度等问题.
【解析】(1)错误.向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)的数量积是实 数，其数值为x1x2+y1y2. (2)正确.向量 的模| |是线段AB的长度，也就是A，B两
点间的距离，两者计算公式也是相同的. (3)错误.非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)的夹角θ为锐角，
x1x 2 y1 y 2 ab 则cosθ= = >0，所以x1x2+y1y2>0， 2 2 2 2 | a || b | x1 y1 x 2 y 2
2．数量积坐标表示的意义 (1)由数量积坐标表示，可不求向量的模和夹角直接求数量积，使得数量积的 计算更为方便、简单. (2)实现了向量运算的完全代数化，并将数与形紧密结合起来.
3.向量的模的坐标运算的实质 向量的模即为向量的长度,其大小应为平面直角坐标系中两点 间的距离,如a=(x,y),则在平面直角坐标系中,一定存在点 A(x,y),使得 =a=(x,y),所以｜ ｜=｜a｜= x 2 y2 , 即 ｜a｜为点A到原点的距离.同样若A(x1,y1),B(x2,y2),则 = (x2-x1,y2-y1),所以｜ ｜=
【解析】(1)因为a=(1,1)，b=(－3,4)， 所以a· b=(1,1)· (－3,4)=1×(－3)+1×4=1. 答案：1 (2)由题意得，a=(3,3)－(－1,2)=(4,1)， 所以|a|= 答案：