【卓越学案】高考理科数学新课标一轮复习练习：7.2一元二次不等式(含答案解析)

一、选择题1．不等式x 2－3x ＋2<0的解集为( ) A ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B ．(－2，－1) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(1,2)[导学号35950479] 解析：选D.将x 2－3x ＋2<0化为(x －1)(x －2)<0，解得1<x <2. 2．若不等式mx 2＋2x ＋1>0的解集为(－∞，－2)∪(－23，＋∞)，则m ＝( )A.12B.712C.34D ．56[导学号35950480] 解析：选C.由已知可得－2，－23为方程mx 2＋2x ＋1＝0的两根，故⎩⎨⎧－2－23＝－2m－－23＝1m，解得m ＝34，故选C.3．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于( ) A ．(1,2) B ．[1,2] C ．[1,2)D ．(1,2][导学号35950481] 解析：选D.A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}， 由x －1>0得x >1， 即B ＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}，故选D.4．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则不等式f (3x －x 2)<0的解集为( )A ．{x |1<x <2}B ．{x |0<x <3}C ．{x |x <1或x >2}D ．{x |x <0或x >3}[导学号35950482] 解析：选A.由题中图象可知，当x >2时，f (x )<0， 所以由f (3x －x 2)<0，得3x －x 2>2，解得1<x <2，即不等式f (3x －x 2)<0的解集为{x |1<x <2}，故选A.5．已知一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－1或x >12}，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2}[导学号35950483] 解析：选D.因为一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－1或x >12}，所以可设f (x )＝a (x ＋1)(x －12)(a <0)，由f (10x )>0可得(10x ＋1)(10x －12)<0，即10x <12，x <－lg 2，故选D.6．如果关于x 的不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，－2)C ．(－2,2)D ．(－2,2][导学号35950484] 解析：选D.(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0恒成立的条件： 当a ＝2时，－4<0恒成立； 当a ≠2时，⎩⎪⎨⎪⎧a <2，Δ＝a －2－a －－，解得－2<a <2. 所以－2<a ≤2，故选D.7．已知集合A ＝{x |2x 2－2x <8}，B ＝{x |x 2＋2mx －4<0}，A ∩B ＝{x |－1<x <1}，A ∪B ＝{x |－4<x <3}，则实数m 的值为( )A.12B.32 C ．2D ．3[导学号35950485] 解析：选B.根据题意知，集合A ＝{x |2x 2－2x <8}＝{x |x 2－2x －3<0} ＝{x |－1<x <3}，因为A ∩B ＝{x |－1<x <1}，A ∪B ＝{x |－4<x <3}， 所以结合数轴可知集合B ＝{x |－4<x <1}， 即－4,1是方程x 2＋2mx －4＝0的两个根， 所以－4＋1＝－2m ，解得m ＝32，故选B.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，则不等式x ＋x ·f (x )≤2的解集为( )A ．(－∞，－1]B ．(－1,1)C ．(－∞，1]D ．(1，＋∞)[导学号35950486] 解析：选C.原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0x ＋x 2≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x <0x －x 2≤2， 解得0≤x ≤1或x <0，所以不等式的解集为(－∞，1]，故选C.9．若关于x 的不等式x 2＋mx －4≥0在区间[1,4]上有解，则实数m 的最小值是( ) A ．3 B ．－3 C ．4D ．－4[导学号35950487] 解析：选B.由题知，原不等式等价于m ≥4x －x 在区间[1,4]上有解，令f (x )＝4x －x (x ∈[1,4])，则m ≥f (x )min .因为f (x )＝4x －x 在区间[1,4]上单调递减，所以f (x )min ＝f (4)＝44－4＝－3，所以m ≥－3，故实数m 的最小值是－3，故选B.10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0x 2－2x ，x <0.若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．[1，＋∞)C ．[－1,3]D ．[－1,1][导学号35950488] 解析：选D.f (1)＝12＋2×1＝3，当a >0时，－a <0，原不等式可化为(－a )2－2(－a )＋a 2＋2a ≤2×3， 即2a 2＋4a －6≤0，解得－3≤a ≤1，又a >0，所以0<a ≤1； 当a ＝0时，－a ＝0，f (－a )＝f (a )＝f (0)＝0， 此时不等式0≤3成立；当a <0时，－a >0，原不等式可化为(－a )2＋2(－a )＋a 2－2a ≤2×3，即2a 2－4a －6≤0，解得－1≤a ≤3，又a <0，所以－1≤a <0.综上，实数a 的取值范围为[－1，1]，故选D.二、填空题11．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．[导学号35950489] 解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2.答案：{x |0<x <2}12．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a >0的解集是________． [导学号35950490] 解析：原不等式即(x －a )·⎝⎛⎭⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，所以a <x <1a. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫xa <x <1a13．若不等式x 2＋x －1<m 2x 2－mx 对任意的x ∈R 恒成立，则m 的取值范围为________． [导学号35950491] 解析：原不等式可化为(1－m 2)x 2＋(1＋m )x －1<0， 由1－m 2＝0，得m ＝1或m ＝－1.①当m ＝－1时，不等式可化为－1<0，不等式恒成立；②当m ＝1时，不等式可化为2x －1<0，解得x <12，故不等式的解集不是R ，不合题意；③当1－m 2≠0时，由不等式恒成立可得⎩⎪⎨⎪⎧1－m 2<0Δ＝＋m 2－－m 2－，解得m <－1或m >53.综上，m 的取值范围为(－∞，－1]∪(53，＋∞)．答案：(－∞，－1]∪(53，＋∞)14．已知m ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋m ≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的m 的取值集合是________．[导学号35950492] 解析：设函数f (x )＝x 2－6x ＋m ，可知其图象开口向上，对称轴是x＝3，又x 2－6x ＋m ≤0的解集中有且仅有3个整数，则⎩⎨⎧ff，即⎩⎪⎨⎪⎧22－6×2＋m ≤012－6×1＋m >0，解得5<m ≤8，又m ∈Z ，故m ＝6,7,8， 所以符合条件的m 的取值集合是{6,7,8}． 答案：{6,7, 8} 三、解答题15．甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得的利润是100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x 元． (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．[导学号35950493] 解：(1)根据题意，得 200⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ≥3 000， 则5x －14－3x ≥0，5x 2－14x －3x ≥0.又1≤x ≤10，所以5x 2－14x －3≥0. 解得x ≤－15(舍去)或x ≥3.综上，3≤x ≤10. (2)设利润为y 元，则 y ＝900x ·100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ＝9×104⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫1x －162＋6112.故x ＝6时，y max ＝457 500元．16．设a ∈R ，若x >0时，均有[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0，求a 的值．[导学号35950494] 解：①当a ＝1时，不等式可化为：x >0时均有x 2－x －1≤0，由二次函数的图象知，显然不成立，∴a ≠1.②当a <1时，∵x >0，∴(a －1)x －1<0，不等式可化为：x >0时均有x 2－ax －1≤0， ∵二次函数y ＝x 2－ax －1的图象开口向上，∴不等式x 2－ax －1≤0在x ∈(0，＋∞)上不能恒成立， ∴a <1不成立．③当a >1时，令f (x )＝(a －1)x －1，g (x )＝x 2－ax －1，两函数的图象均过定点(0，－1)， ∵a >1，∴f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增，且与x 轴交点为⎝⎛⎭⎫1a －1，0，即当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a －1时，f (x )<0，当x ∈⎝⎛⎭⎫1a －1，＋∞时，f (x )>0.又∵二次函数g (x )＝x 2－ax －1的对称轴为x ＝a2>0，则只需g (x )＝x 2－ax －1与x 轴的右交点与点⎝⎛⎭⎫1a －1，0重合，如图所示，则命题成立，即⎝⎛⎭⎫1a －1，0在g (x )图象上，所以有⎝⎛⎭⎫1a －12－a a －1－1＝0，整理得2a 2－3a ＝0，解得a ＝32，a ＝0(舍去)．综上可知a ＝32.。