2020年高考理科数学一轮总复习：基本不等式

2020年高考理科数学一轮总复习基本不等式[基础梳理] 1．重要不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )(当且仅当a ＝b 时等号成立)． 2．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件是a >0，b >0.(2)等号成立的条件是：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数， ab 称为正数a ，b 的几何平均数． 3．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2 p (简记：积定和最小)．(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24(简记：和定积最大)1．基本不等式的两种常用变形形式(1)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)． (2)a ＋b ≥2 ab (a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时取等号)．2．几个重要的结论 (1)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22. (2)b a ＋ab ≥2(ab ＞0)． (3)21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．[四基自测]1．设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82答案：C2．若x ＜0，则x ＋1x ( ) A ．有最小值，且最小值为2 B ．有最大值，且最大值为2 C ．有最小值，且最小值为－2 D ．有最大值，且最大值为－2 答案：D3．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________． 答案：25 m 2 4．已知x >1，则x ＋4x －1的最小值为________． 答案：55．若1a ＋1b ＝1(a >0，b >0)，则a ＋b 的最小值为________． 答案：4考点一利用基本不等式求最值◄考基础——练透角度1 配凑[例1](1)已知x＞54，则f(x)＝4x－2＋14x－5的最小值为________．解析：因为x＞54，所以4x－5＞0，所以f(x)＝4x－2＋14x－5＝(4x－5)＋14x－5＋3≥2(4x－5)·14x－5＋3＝2＋3＝5，当且仅当4x－5＝14x－5，即x＝32时取等号，所以f(x)的最小值为5.答案：5(2)函数y＝x2x＋1(x>－1)的最小值为__________．解析：因为y＝x2－1＋1x＋1＝x－1＋1x＋1＝x＋1＋1x＋1－2，因为x>－1，所以x＋1>0，所以y≥2 1－2＝0，当且仅当x＝0时，等号成立．答案：0配凑，以拼凑出和是定值或积是定值的形式为目标，根据代数式的结构特征，利用系数的变化或对常数的调整进行巧妙变形，注意做到等价变形．一般地，形如f (x )＝ax ＋b ＋ecx ＋d的函数求最值时可以考虑配凑法．角度2 常值代换[例2] (1)已知x ＞0，y ＞0,2x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________． 解析：因为2x ＋y ＝1，所以1x ＋1y ＝(1x ＋1y )·(2x ＋y ) ＝y x ＋2xy ＋3≥2y x ·2xy ＋3＝2 2＋3，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧y x ＝2x y，2x ＋y ＝1即x ＝2－22，y ＝ 2－1时取等号．所以1x ＋1y 的最小值为2 2＋3. 答案：22＋3(2)(2019·西安模拟)已知x >0，y >0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3解析：由lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2得，lg 2x ＋3y ＝lg 2，∴x ＋3y ＝1，1x ＋13y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋13y (x ＋3y )＝2＋x 3y ＋3y x ≥4⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x 3y ＝3y x 时，等号成立.故选C. 答案：C本题突破的关键是利用“1”的代换构造积为定值的形式，一般形如“已知ax ＋by (或a x ＋b y )为定值，求cx ＋dy (或c x ＋dy )的最值(其中a ，b ，c ，d 均为常参数)”时可用常值代换处理．角度3 换元[例3] 设x ，y 是正实数，且x ＋y ＝1，则x 2x ＋2＋y 2y ＋1的最小值为________．解析：令x ＋2＝m ，y ＋1＝n ，则m ＋n ＝4，且m ＞2，n ＞1，所以x 2x ＋2＋y 2y ＋1＝(m －2)2m ＋(n －1)2n ＝4m ＋1n －2＝(4m ＋1n )(m 4＋n4)－2 ＝m 4n ＋n m －34≥2m 4n ·n m －34＝14， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧m 4n ＝n m，m ＋n ＝4即m ＝83，n ＝43时取等号．所以x 2x ＋2＋y 2y ＋1的最小值为14.答案：14本题通过换元法使得问题的求解得到了简化，从而将复杂问题化为熟悉的最值问题处理，然后利用常值代换及基本不等式求得最值．角度4 减元[例4] 已知x ，y ，z 均为正实数，且x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz 的最小值为________．解析：由x －2y ＋3z ＝0得y ＝x ＋3z 2，所以y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz 4xz＝x 4z ＋9z 4x ＋32.又x ，z 均为正实数，所以x 4z ＞0，9z 4x ＞0，所以y 2xz ＝x 4z ＋9z 4x ＋32≥2x 4z ·9z 4x ＋32＝3，当且仅当x 4z ＝9z4x 即x ＝3z 时取“＝”．所以y 2xz 的最小值为3. 答案：3本题中出现了三个变元，所以我们要利用题中所给的条件构建不等关系，并减元，在减元后应注意新变元的取值范围．1．将例1(1)变为若x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．解析：此题依然可用配凑法凑“积定”，但需要注意先化正后方可用基本不等式．因为x ＜54，所以5－4x ＞0，所以f (x )＝(4x －5)＋14x －5＋3＝－[(5－4x )＋15－4x ]＋3≤－2(5－4x )·15－4x＋3＝1， 当且仅当5－4x ＝15－4x即x ＝1时取等号． 所以f (x )的最大值为1. 答案：12．将例2(1)变为已知x ＞0，y ＞0,2x ＋y ＝1，则y x ＋2y 的最小值为________． 解析：目标式y x ＋2y 中出现了y x ，由此可联想到将后面的2y 变为与xy 有关的式子，于是利用常值代换处理即可．因为2x ＋y ＝1，所以2＝4x ＋2y ，所以y x ＋2y ＝y x ＋4x ＋2y y ＝y x ＋4xy ＋2≥2 y x ·4xy ＋2＝6，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧y x ＝4x y，2x ＋y ＝1即x ＝14，y ＝12时取等号． 所以y x ＋2y 的最小值为6. 答案：6考点二 基本不等式的综合应用◄考能力——知法 [例5] (1)若对x ，y ∈[1,2]，xy ＝2，总有不等式2－x ≥a4－y成立，则实数a 的取值范围是__________．解析：由题意知a ≤(2－x )(4－y )恒成立，则只需a ≤[(2－x )(4－y )]min ， (2－x )(4－y )＝8－4x －2y ＋xy ＝8－(4x ＋2y )＋2＝10－(4x ＋2y ) ＝10－⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋4x .令f (x )＝10－⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋4x ，x ∈[1,2]，则f ′(x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫4－4x 2＝4(1－x 2)x 2，f ′(x )≤0，故f (x )在x ∈[1,2]上是减函数， 所以当x ＝2时f (x )取最小值0， 即(2－x )(4－y )的最小值为0，所以a ≤0. 答案：(－∞，0](2)(2019·洛阳模拟)设函数f (x )＝98cos 2x ＋16－sin 2x 的最小值为m ，且与m 对应的x 的最小正值为n ，则m ＋n ＝________.解析：f (x )＝98cos 2x ＋16＋cos 2x －12＝98cos 2x ＋2＋cos 2x ＋22－32，因为cos 2x ＋2＞0，所以f (x )≥2×34－32＝0，当且仅当98cos 2x ＋2＝cos 2x ＋22，即cos 2x ＝－12时等号成立，所以x 的最小正值为n ＝π3，所以m ＋n ＝π3. 答案：π3基本不等式综合应用求解策略(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题；通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围．1．已知△ABC 的面积为1，内切圆半径也为1，若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，则4a ＋b ＋a ＋b c 的最小值为( )A ．2B ．2＋ 2C ．4D ．2＋2 2解析：因为△ABC 的面积为1，内切圆半径也为1，所以12(a ＋b ＋c )×1＝1，所以a ＋b ＋c ＝2，所以4a ＋b ＋a ＋bc ＝2(a ＋b ＋c )a ＋b ＋a ＋b c ＝2＋2ca ＋b ＋a ＋bc ≥2＋2 2，当且仅当a ＋b ＝ 2c ，即c ＝2 2－2时，等号成立，所以4a ＋b ＋a ＋bc 的最小值为2＋2 2，故选D.答案：D2．若P 为圆x 2＋y 2＝1上的一个动点，且A (－1,0)，B (1,0)，则|P A |＋|PB |的最大值为( ) A ．2 B ．2 2 C ．4D ．4 2解析：由题意知∠APB ＝90°，∴|P A |2＋|PB |2＝4，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|P A |＋|PB |22≤|P A |2＋|PB |22＝2(当且仅当|P A|＝|PB|时取等号)，∴|P A|＋|PB|≤2 2，∴|P A|＋|PB|的最大值为2 2.故选B.答案：B3．若对于任意的x＞0，不等式xx2＋3x＋1≤a恒成立，则实数a的取值范围为()A．a≥15B．a＞15C．a＜15D．a≤15解析：由x＞0，得xx2＋3x＋1＝1x＋1x＋3≤12 x·1x＋3＝15，当且仅当x＝1时，等号成立．∴a≥1 5.答案：A数学建模，数学运算——基本不等式的实际应用的学科素养在生活实际中，涉及到两个变量x，y之间可建立y＝ax＋bx(a＞0，b＞0)模型的函数，求其最值或者取得最值的条件，考查了数学建模，数学运算的学科素养.[例1]某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x的值是________．解析：总费用4x ＋600x ×6＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋900x ≥4×2900＝240，当且仅当x ＝900x ，即x ＝30时等号成立． 答案：30[例2] 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元． 解析：年平均利润为y x ＝－x －25x ＋18＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ＋18，因为x ＋25x ≥2 x ·25x ＝10，所以y x ＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ≤18－10＝8，当且仅当x ＝25x ，即x ＝5时，取等号． 答案：8课时规范练 A 组 基础对点练1．若f (x )＝1x －1＋2x (x >1)，则f (x )的最小值为( )A ．2 2B ．2 2＋1C ．2 2－2D ．2 2＋2解析：因为f (x )＝1x －1＋2x ＝1x －1＋2(x －1)＋2，又x >1，即x －1>0，所以f (x )≥21x －1×2(x －1)＋2＝2 2＋2，当且仅当1x －1＝2(x －1)，即x ＝1＋22时等号成立．所以f (x )的最小值为2 2＋2.故选D. 答案：D2．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值为( ) A ．3 B ．4 C.92D.112解析：因为x ＋2y ＋2xy ＝8. 所以y ＝8－x2(x ＋1)>0，即－1<x <8，所以x ＋2y ＝x ＋2·8－x 2(x ＋1)＝x ＋1＋9x ＋1－2≥2 9－2＝4，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2，y ＝1时，等号成立． 故x ＋2y 的最小值是4. 答案：B3．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2 ab B.1a ＋1b >1abC.b a ＋ab ≥2 D ．a 2＋b 2>2ab解析：因为ab >0，所以b a >0，a b >0，所以b a ＋ab ≥2 b a ·ab ＝2，当且仅当a ＝b时取等号． 答案：C4．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R )解析：对选项A，当x>0时，x2＋14－x＝⎝⎛⎭⎪⎫x－122≥0，∴lg⎝⎛⎭⎪⎫x2＋14≥lg x，故不成立；对选项B，当sin x<0时显然不成立；对选项C，x2＋1＝|x|2＋1≥2|x|，一定成立；对选项D，∵x2＋1≥1，∴0<1x2＋1≤1，故不成立．答案：C5．若实数a，b满足1a＋2b＝ab，则ab的最小值为()A. 2 B．2 C．2 2 D．4解析：法一：由已知得1a＋2b＝b＋2aab＝ab，且a>0，b>0，∴ab ab＝b＋2a≥2 2 ab，∴ab≥2 2.法二：由题设易知a＞0，b＞0，∴ab＝1a＋2b≥22ab，即ab≥22，故选C.答案：C6．当x>0时，函数f(x)＝2xx2＋1有()A．最小值1 B．最大值1 C．最小值2 D．最大值2解析：f(x)＝2x＋1x≤22 x·1x＝1.当且仅当x＝1x，x>0即x＝1时取等号．所以f(x)有最大值1.答案：B7．(2019·南昌调研)已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是() A．a＋b≥2 ab B．a2＋b2>2abC.ab＋ba≥2 D．|ab＋ba|≥2解析：对于A，当a，b为负数时，a＋b≥2 ab不成立；对于B，当a＝b时，a2＋b2>2ab不成立；对于C，当a，b异号时，ba＋ab≥2不成立；对于D ，因为b a ，a b 同号，所以|b a ＋a b |＝|b a |＋|ab |≥2|b a |·|ab |＝2(当且仅当|a |＝|b |时取等号)，即|b a ＋ab |≥2恒成立． 答案：D8．(2019·天津模拟)若log 4(3a ＋4b )＝log 2 ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3D ．7＋4 3解析：因为log 4(3a ＋4b )＝log 2 ab ，所以log 4(3a ＋4b )＝log 4(ab )，即3a ＋4b ＝ab ，且⎩⎨⎧3a ＋4b >0，ab >0，即a >0，b >0，所以4a ＋3b ＝1(a >0，b >0)，a ＋b ＝(a ＋b )·(4a ＋3b )＝7＋4b a ＋3ab ≥7＋2 4b a ·3a b ＝7＋4 3，当且仅当4b a ＝3ab 时取等号，故选D. 答案：D9．若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为__________． 解析：由题设可得1a ＋2b ＝1，∵a >0，b >0，∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝2＋b a ＋4a b＋2≥4＋2 b a ·4a b ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当b a ＝4a b ，即b ＝2a 时，等号成立. 故2a ＋b 的最小值为8. 答案：8B 组 能力提升练10．(2019·山东名校调研)若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：由3x ＋y ＝5xy ，得3x ＋y xy ＝3y ＋1x ＝5，所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y )·15(3y ＋1x )＝15(4＋9＋3y x ＋12x y )≥15(4＋9＋2 36)＝5，当且仅当3y x ＝12x y ，即y ＝2x 时，“＝”成立，故4x ＋3y 的最小值为5. 答案：D11．(2019·宁夏银川一中检测)对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．[－2，＋∞) C ．[－2,2]D ．[0，＋∞)解析：当x ＝0时，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，此时a ∈R ，当x ≠0时，则有a ≥－1－|x |2|x |＝－(|x |＋1|x |)，设f (x )＝－(|x |＋1|x |)，则a ≥f (x )max ，由基本不等式得|x |＋1|x |≥2(当且仅当|x |＝1时取等号)，则f (x )max ＝－2，故a ≥－2.故选B. 答案：B12．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[－2,0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：∵2x ＋2y ≥2 2x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当2x ＝2y 时等号成立)，∴2x ＋y≤12，∴2x ＋y ≤14，x ＋y ≤－2，故选D. 答案：D13．(2019·沈阳模拟)设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是________．解析：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n (1＋n )2， 所以S n ＋8a n＝n (1＋n )2＋8n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋16n ＋1≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫2 n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号． 所以S n ＋8a n 的最小值是92.答案：9214．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．解析：设每件产品的平均费用为y元，由题意得y＝800x＋x8≥2800x·x8＝20.当且仅当800x＝x8(x＞0)，即x＝80时“＝”成立．答案：80。