2020年高考理科数学一轮总复习：基本不等式

2020年高考理科数学一轮总复习

基本不等式

[基础梳理] 1．重要不等式

a 2＋

b 2≥2ab (a ，b ∈R )(当且仅当a ＝b 时等号成立)． 2．基本不等式：ab ≤a ＋b

2

(1)基本不等式成立的条件是a >0，b >0.

(2)等号成立的条件是：当且仅当a ＝b 时取等号．

(3)其中a ＋b

2称为正数a ，b 的算术平均数， ab 称为正数a ，b 的几何平均数． 3．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则：

(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2 p (简记：积定和最小)．

(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 2

4(简记：和定积最大)

1．基本不等式的两种常用变形形式

(1)ab ≤?

????a ＋b 22

(a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)． (2)a ＋b ≥2 ab (a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时取等号)．

2．几个重要的结论 (1)a 2＋b 22≥?

??

??a ＋b 22

. (2)b a ＋a

b ≥2(ab ＞0)． (3)21a ＋1b

≤ab ≤a ＋b

2≤ a 2＋b 2

2(a ＞0，b ＞0)．

[四基自测]

1．设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82

答案：C

2．若x ＜0，则x ＋1

x ( ) A ．有最小值，且最小值为2 B ．有最大值，且最大值为2 C ．有最小值，且最小值为－2 D ．有最大值，且最大值为－2 答案：D

3．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________． 答案：25 m 2 4．已知x >1，则x ＋4

x －1

的最小值为________． 答案：5

5．若1a ＋1

b ＝1(a >0，b >0)，则a ＋b 的最小值为________． 答案：4

考点一利用基本不等式求最值?考基础——练透角度1 配凑

[例1](1)已知x＞5

4，则f(x)＝4x－2＋

1

4x－5的最小值为________．

解析：因为x＞5

4，所以4x－5＞0，所以f(x)＝4x－2＋

1

4x－5

＝(4x－5)＋

1

4x－5＋3

≥2(4x－5)·

1

4x－5＋3

＝2＋3＝5，

当且仅当4x－5＝

1

4x－5，即x＝

3

2时取等号，所以f(x)的最小值为5.

答案：5

(2)函数y＝

x2

x＋1

(x>－1)的最小值为__________．

解析：因为y＝x2－1＋1

x＋1＝x－1＋

1

x＋1＝x＋1＋

1

x＋1－2，因为x>－1，所以x＋

1>0，

所以y≥2 1－2＝0，

当且仅当x＝0时，等号成立．答案：0

配凑，以拼凑出和是定值或积是定值的形式为目标，根据代数式的结构特征，利用系数的变化或对常数的调整进行巧妙变形，注意做到等价变形．一般地，形如f (x )＝ax ＋b ＋

e

cx ＋d

的函数求最值时可以考虑配凑法．

角度2 常值代换

[例2] (1)已知x ＞0，y ＞0,2x ＋y ＝1，则1x ＋1

y 的最小值为________． 解析：因为2x ＋y ＝1，所以1x ＋1y ＝(1x ＋1

y )·(2x ＋y ) ＝y x ＋2x

y ＋3≥2

y x ·2x

y ＋3＝2 2＋3，

当且仅当?????

y x ＝2x y

，

2x ＋y ＝1

即x ＝

2－2

2，y ＝ 2－1时取等号．

所以1x ＋1

y 的最小值为2 2＋3. 答案：22＋3

(2)(2019·西安模拟)已知x >0，y >0，lg 2x

＋lg 8y

＝lg 2，则1x ＋1

3y 的最小值是( )

A ．2

B ．2 2

C ．4

D ．2 3

解析：由lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2得，lg 2x ＋3y ＝lg 2，

∴x ＋3y ＝1，1x ＋13y ＝? ??

??

1x ＋13y (x ＋3y )＝2＋x 3y ＋3y x ≥4? ????

当且仅当x 3y ＝3y x 时，等号成立.故选C. 答案：C

本题突破的关键是利用“1”的代换构造积为定值的形式，一般形如“已知ax ＋by (或a x ＋b y )为定值，求cx ＋dy (或c x ＋d

y )的最值(其中a ，b ，c ，d 均为常参数)”时可用常值代换处理．

角度3 换元

[例3] 设x ，y 是正实数，且x ＋y ＝1，则x 2x ＋2＋y 2

y ＋1

的最小值为________．

解析：令x ＋2＝m ，y ＋1＝n ，则m ＋n ＝4，且m ＞2，n ＞1，所以x 2x ＋2＋y 2

y ＋1

＝

(m －2)2m ＋(n －1)2

n ＝4m ＋1n －2＝(4m ＋1n )(m 4＋n

4)－2 ＝m 4n ＋n m －34≥2

m 4n ·n m －34＝14， 当且仅当?????

m 4n ＝n m

，

m ＋n ＝4

即m ＝83，n ＝4

3时取等号．

所以x 2x ＋2＋y 2y ＋1的最小值为14.

答案：14

本题通过换元法使得问题的求解得到了简化，从而将复杂问题化为熟悉的最值问题处理，然后利用常值代换及基本不等式求得最值．

角度4 减元

[例4] 已知x ，y ，z 均为正实数，且x －2y ＋3z ＝0，则y 2

xz 的最小值为________．

解析：由x －2y ＋3z ＝0得y ＝x ＋3z 2，所以y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz 4xz

＝x 4z ＋9z 4x ＋3

2.

又x ，z 均为正实数，所以x 4z ＞0，9z 4x ＞0，所以y 2xz ＝x 4z ＋9z 4x ＋32≥2

x 4z ·9z 4x ＋3

2＝3，

当且仅当x 4z ＝9z

4x 即x ＝3z 时取“＝”．

所以y 2

xz 的最小值为3. 答案：3

本题中出现了三个变元，所以我们要利用题中所给的条件构建不等关系，并减元，在减元后应注意新变元的取值范围．

1．将例1(1)变为若x ＜54，则f (x )＝4x －2＋1

4x －5的最大值为________．

解析：此题依然可用配凑法凑“积定”，但需要注意先化正后方可用基本不等式．因为x ＜5

4，所以5－4x ＞0，所以

f (x )＝(4x －5)＋1

4x －5＋3

＝－[(5－4x )＋1

5－4x ]＋3

≤－2

(5－4x )·

1

5－4x

＋3＝1， 当且仅当5－4x ＝

1

5－4x

即x ＝1时取等号． 所以f (x )的最大值为1. 答案：1

2．将例2(1)变为已知x ＞0，y ＞0,2x ＋y ＝1，则y x ＋2

y 的最小值为________． 解析：目标式y x ＋2y 中出现了y x ，由此可联想到将后面的2y 变为与x

y 有关的式子，于是利用常值代换处理即可．

因为2x ＋y ＝1，所以2＝4x ＋2y ，所以y x ＋2y ＝y x ＋4x ＋2y y ＝y x ＋4x

y ＋2≥2 y x ·4x

y ＋

2＝6，

当且仅当?????

y x ＝4x y

，2x ＋y ＝1

即x ＝14，y ＝1

2时取等号． 所以y x ＋2

y 的最小值为6. 答案：6

考点二 基本不等式的综合应用?考能力——知法 [例5] (1)若对x ，y ∈[1,2]，xy ＝2，总有不等式2－x ≥a

4－y

成立，则实数a 的取值范围是__________．

解析：由题意知a ≤(2－x )(4－y )恒成立，则只需a ≤[(2－x )(4－y )]min ， (2－x )(4－y )＝8－4x －2y ＋xy ＝8－(4x ＋2y )＋2＝10－(4x ＋2y ) ＝10－? ?

?

??4x ＋4x .

令f (x )＝10－? ?

?

??4x ＋4x ，x ∈[1,2]，

则f ′(x )＝－? ?

???4－4x 2＝4(1－x 2)x 2，f ′(x )≤0，

故f (x )在x ∈[1,2]上是减函数， 所以当x ＝2时f (x )取最小值0， 即(2－x )(4－y )的最小值为0，所以a ≤0. 答案：(－∞，0]

(2)(2019·洛阳模拟)设函数f (x )＝

9

8cos 2x ＋16

－sin 2x 的最小值为m ，且与m 对应

的x 的最小正值为n ，则m ＋n ＝________.

解析：f (x )＝9

8cos 2x ＋16＋cos 2x －12＝98cos 2x ＋2

＋cos 2x ＋22－32，因为cos 2x ＋2

＞0，所以f (x )≥2×34－32＝0，当且仅当98cos 2x ＋2＝cos 2x ＋22，即cos 2x ＝－

1

2时等号成立，所以x 的最小正值为n ＝π3，所以m ＋n ＝π

3. 答案：π3