计算机中常用的数制
常用数制及其相互转换
一、常用数制及其相互转换在我们的日常生活中计数采用了多种记数制，比如：十进制，六十进制（六十秒为一分，六十分为一小时，即基数为60，运算规则是逢六十进一），……。
在计算机中常用到十进制数、二进制数、八进制数、十六进制数等，下面就这几种在计算机中常用的数制来介绍一下。
1．十进制数我们平时数数采用的是十进制数，这种数据是由十个不同的数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9任意组合构成，其特点是逢十进一。
任何一个十进制数均可拆分成由各位数字与其对应的权的乘积的总和。
例如：???这里的10为基数，各位数对应的权是以10为基数的整数次幂。
为了和其它的数制区别开来，我们在十进制数的外面加括号，且在其右下方加注10。
2．二进制数在计算机中，由于其物理特性（只有两种状态：有电、无电）的原因，所以在计算机的物理设备中获取、存储、传递、加工信息时只能采用二进制数。
二进制数是由两个数字0、1任意组合构成的，其特点是逢二进一。
例如：1001，这里不读一千零一，而是读作：一零零一或幺零零幺。
为了与其它的数制的数区别开来，我们在二进制数的外面加括号，且在其右下方加注2，或者在其后标B。
任何一个二进制数亦可拆分成由各位数字与其对应的权的乘积的总和。
其整数部分的权由低向高依次是：1、2、4、8、16、32、64、128、……，其小数部分的权由高向低依次是：0.5、0.25、0.125、0.0625、……。
二进制数也有其运算规则：加法：0+0=0????0+1=1???1+0=1????1+1=10乘法：0×0=0????0×1=0????1×0=0????1×1=1二进制数与十进制数如何转换：（1）二进制数—→十进制数对于较小的二进制数：对于较大的二进制数：方法1：各位上的数乘权求和??例如：（101101）2=1×25+0×24+1×23+1×22+0×21+1×20=45（1100.1101）2=1×23+1×22+0×21+0×20+1×2-1+1×2-2+0×2-3+1×2-4=12.8125方法2：任何一个二进制数可转化成若干个100…0?的数相加的总和??例如：（101101）2=（100000）2+（1000）2+（100）2+（1）2而这种100…00形式的二进制数与十进制数有如下关联：1后有n个0，则这个二进数所对应的十进制数为2n。
计算机中的数制和编码
h
17
③ 8位二进制补码表示数的范围是-128～+127， 十六位二进制补码表示数的范围是-32768～ +32767；对于同一个数，作为8位二进制数的补 码和作为16位二进制数的补码不同，这一点要特 别注意。
④ 注意：对于8位二进制数10000000B，若为补 码表示为[-128]补，若为原码表示[-0]原，若为反 码表示为[-127]反；
h
12
原码表示的特点：
① 最高位为符号位，正数为0，负数为1；
② 8位二进制原码表示数的范围是-127～+127， 十六位二进制原码表示数的范围是-32767～ +32767；
③ 0的原码有两种表示方法，即+0和-0，设字长 为8位：
[+0]原=00000000B
[-0]原=10000000B
h
23
1．美国信息交换标准代码（ASCII 码）
P311 附录A 如“8”的7位ASCII码 0111000B 奇校验ASCII码为00111000B； 偶校验ASCII码为10111000B；
h
24
2、BCD码
二进制编码的十进制数 0～9 A ～F非法 一个字节---8位 压缩与非压缩
h
18
P24 表1-5
从表1-5可以看出，8位二进制数，
无符号数表示范围是0～255；
有符号数：
原码表示范围-127～+127；
反码表示范围是-127～+127；
补码表示范围是-128～+127。
h
19
3．带符号数溢出及其判断方法
如前所述，带符号数表示方法都有一定的 范围，对于8位的原码、反码和补码表示的 范围分别为：
计算机中的数制
4
0
2
2
1
1
0.5
0
0.25
0.25
0.125
.0625
0.125 .0625
16 + 8 + 0 + 2 + 1 + 0 + .25 + .125 + .0625 = 27.4375
数 制 的 转 换
例4: 将下面给出的二进制数转换成十六进制的数
二进制数 十六进制数
0010 2 0000 0 0101 5 1010 A 0111 7 1110 E 0100 4
[例]：
[X]原=1 0110100
[X]反=1 1001011
[+0]反=00000000 [-0]反 =11111111 即：数0的反码也不唯一
补码
定义：
若X>0， 则[X]补= [X]反= [X]原 若X<0， 则[X]补= [X]反+1 [例]： X= –52= – 0110100
[X]原=10110100
1.2
计算机中的数制
数制 是人们利用符号来计数的科学方法。数制可以 有很多种，但在计算机的设计和使用上常用的 则为十进制、二机制、八进制和十六进制。 数制的基和位权 数制所使用的数码的个数称为基，数制中每一 固定位置对应的单位值称为“位权”
十进制： 基为“10”，权为以10为底的幂， —D 二进制： 基为“2”，权为以2为底的幂， —B 八进制： 基为“8”，权为以8为底的幂， —O 十六进制：基为“16”，权为以16为底的幂 —H
ASCII码
ASCII码是目前微机中普遍采用的字符编码系统。 字符的编码，一般用7位二进制码表示128个字符和 符号。在需要时可在D7位加校验位。 0～9的ASCII码:30H~39H;
大学计算机基础1.2计算机的数制
0.3125
×
8
2.5000…………2
×8
4.0000…………4
因此： (125.3125)10 = (175.24) 8
注意： 在十进制小数转换成二进制小数过程中，如出现小数部分不 归0的情况，则应按精度要求“0舍1入”。
十进制
二进制
八进制
十六进制
不
0
0
0
0
同
1
1
1
1
数
2
10
计算机中常用的数制
进位制 进位规则 基数 二进制 逢二进一 r=2
所用数码 0，1
位权 表示符号
2i
B(Binary)
八进制 逢八进一 r=8 0，1，…，7 8i
O(Octal)
十进制 逢十进一 r=10 0，1，…，9 10i D(Decimal)
十六进制 逢十六进一 r=16 0,1,…,9,A,…,F 16i H(Hexadecimal)
三种基本逻辑运算的真值表
a
b
a
a∧b
a∨b
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
1
1
若干位二进制数组成的逻辑数据，位与位之间没有“位权”的内 在联系。对两个逻辑数据进行运算时，每位相互独立，按位进 行运算，不存在进位与借位，运算结果也是逻辑量。
逻辑代数是实现逻辑运算的数学工具，逻辑代数有三种基本的逻 辑运算：与、或、非。其它复杂的逻辑关系均可由这三种基本 逻辑运算组合而成。
①与运算(逻辑乘法) 当做一件事情取决于多种因素时，当且仅当所有因素都满足时才去做，
数制基础
数制
数制——数的制式。
是人们利用符号计数的一种方法。
数制有很多种，常用的有十进制、二进制、十六进制。
1）十进制（Decimal）
数码：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9十个
基数：10
计数规则：逢十进一
日常生活中人们习惯于十进制计数制，但是对于计算机硬件电路，只有通/断或电平的高/低两种状态，为便于对数字信号的识别与计算，计算机采用二进制。
2）二进制（Binary）
数码：0 1
基数：2
计数规则：逢二进一
8位二进制数称为一个字节，Byte（8位）。
2个字节称为一个字，Word（16位）。
2个字称为一个双字，Double Word（32位）。
210= 1024称为1K。
二进制数较大时，书写和阅读均不方便，通常将四位二进制数合为一位，用十六进制数表示。
3）十六进制（Hexadecimal）
数码：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F十六个
基数：16
计数规则：逢十六进一
如二进制数1010 0101B可表示为A5H，其值为十进制的165（=10×161+5×160）。
编码
1）BCD码
有些场合，计算机输入/输出数据时仍使用十进制数，以适应人们的习惯。
为此，十进制数必须用二进制码表示，这就形成了二进制编码的十进制数，称为BCD码（Binary Coded Decimal）。
BCD码是用四位二进制数表示一位十进制数，它们之间的对应关系如下表所示。
计算机运算基础复习1常见的几种数制
几个重要概念重点概念1：计算机中的数据都是以二进制形式进行存储和运算的重点概念2：在计算机中存储数据时，每类数据占据固定长度的二进制数位，而不管其实际长度。
一般长度为字节的整倍数例如：在八位微机中，整数216 存储为11011000B整数56 存储为00111000B复习1）十进制特点：每一位数有02)二进制特点：3）十六进制特点：1（即乘10101000376542复习真值与机器数例：真值与机器数+77机机例：真值与机器数-77机机2数的定点与浮点表示计算机中如何表示实数中的小数点呢？计算机中不用专门的器件表示小数点，而是用数的两种不同的表示法来表示小数点的位置。
根据小数点的位置是否固定，数的表示方法分为定点表示和浮点表示,相应的机器数称为定点数和浮点数。
任意一个二进制数N均可表示为：N＝S·2J其中：最后面或最前面，即分为定点纯小数与定点纯整数两类，如图1-6所示。
01000000定点小数：定取不同的数值，则在计算机中除了要表示尾码示阶码J。
因此，一个浮点数表示为阶码和尾数两部分，尾数一般是定点纯小数，阶码是定点纯整数，其形式如图点N = 2p S点例:X= +10110.01= 2 +101×（+ 0.1011001）26点= 2无符号数带符号数数有正、负→带符号数把符号位和数值位一起编码：原码，反码，补码。
顺时针调：7＋9 ＝4 （mod 12）逆时针调：7－3 ＝4 （mod 12）由于时钟上超过12点时就会自动丢失一个数与原码相同，只要将符号位的得到它的真值。
对一个二进制数按位取反，最低位加1。
(计算机 已知负数的补码求真值在计算机中，用补码表示方法：按位取反，最低位加12 105 2 52 12 26 0[ 105D ] 补8位= 0 –0110 1001B = 0 –69H －D 2000:0 如，用DEBUG 查看到存放在内存中的一组符号数：由最高位判断：0 →正数7DH的真值= 7 ×16 + 13 = 125 D凡是能在计算机内存储或参与运算的都是二进制形式的机器数，计算机只能出别“0”和“1”，对于某个二进别致的最高位究竟应看做为符号位还是数值位，理论上是无法自动识别但是，由于引入了补码概念，使得计算机在进行无符号数和有符号数的运算时能够实现操作的一致性，且结果合理。
数的进制
转~~````数制是人们利用符号进行计数的科学方法。
数制有很多种，在计算机中常用的数制有：十进制，二进制和十六进制。
1．十进制数人们通常使用的是十进制。
它的特点有两个：有0，1，2….9十个基本字符组成,十进制数运算是按“逢十进一”的规则进行的.在计算机中,除了十进制数外,经常使用的数制还有二进制数和十六进制数.在运算中它们分别遵循的是逢二进一和逢十六进一的法则.2．二进制数3．二进制数有两个特点：它由两个基本字符0，1组成，二进制数运算规律是逢二进一。
为区别于其它进制数，二进制数的书写通常在数的右下方注上基数2，或加后面加B表示。
例如：二进制数10110011可以写成（10110011）2,或写成10110011B,对于十进制数可以不加注.计算机中的数据均采用二进制数表示,这是因为二进制数具有以下特点：1）二进制数中只有两个字符0和1，表示具有两个不同稳定状态的元器件。
例如，电路中有，无电流，有电流用1表示，无电流用0表示。
类似的还比如电路中电压的高，低，晶体管的导通和截止等。
2）二进制数运算简单，大大简化了计算中运算部件的结构。
二进制数的加法和乘法运算如下：0+0=0 0+1=1+0=1 1+1=100×0=0 0×1=1×0=0 1×1=1由于二进制数在使用中位数太长,不容易记忆,所以又提出了十六进制数.3.十六进制数十六进制数有两个基本特点:它由十六个字符0～9以及A，B，C，D，E，F组成（它们分剖别表示十进制数0～15），十六进制数运算规律是逢十六进一， 鹩谄渌 剖 氖樾赐ǔT谑 挠蚁路阶⑸匣 保叮 蚣雍竺婕樱缺硎尽?/SPAN>例如：十六进制数4AC8可写成（4AC8）16，或写成4AC8H。
4．数的位权概念5．一个十进制数110，其中百位上的1表示1个102，既100，十位的1表示1个101，即10，个位的0表示0个100，即0。
一个二进制数110，其中高位的1表示1个22，即4，低位的1表示1个21，即2，最低位的0表示0个20，即0。
数制与进制
数制与进制
数制是人类为了方便计数而发明的一种记数系统，它是由一组不同的符号来表示不同的数值。
常见的数制有十进制、二进制、八进制和十六进制等。
十进制是我们日常生活中最为常见的数制，它是基于十个数字
0~9来进行计数的。
而二进制则是计算机中最常用的数制，它仅使用两个数字0和1来进行表示。
八进制和十六进制也常常出现在计算机科学中，它们分别使用八个和十六个不同的数字来进行计数。
在进行数制转换时，需要了解各个数制之间的进制关系。
例如，十进制数转换为二进制数时，可以通过不断地将十进制数除以2并取余数的方式来得到相应的二进制数。
同样地，二进制数转换为十进制数时，可以通过将每位上的数字与相应的权值相乘并相加来得到十进制数。
不同的数制在计算机科学中具有不同的应用场景。
二进制数被广泛应用于数字电路设计和计算机内部数据传输等领域，而八进制和十六进制则是为了方便人们对大型二进制数进行表示和阅读而发明的。
了解数制和进制关系可以帮助我们更好地理解和应用计算机科学中
的一些基本概念和算法。
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十进制数转换为非十进制数
十进制数
整数
小数
二进制数
转换方法：
除2取余，直到商为0 （基数除法）
例：将十进数45转换成二进制数 2 2 2 4 5 2 2 1 1 2 5 2 2 2 1 0 余数 · · · · · · · · · · 1 · · · · · · · · · · · 0 · · · · · · · · · · · 1 · · · · · · · · · · · 1 · · · · · · · · · · 0 · · · · · · · · · · 1 ·
累计到 10 进位
10进制
累计到 8 进位
8进制
累计到 2 进位
2进制 进位基数
进位基数决定了数的每一位的权限
两个概念
• 基数 • 位权
• 提示:按位权展开
• 两种表示方法：
– 脚标： (520)10 (100.11)2 – 字母： 520D 100.11B (11.37)8 11.37O (4F.B6)16 4F.B6H
（159)8
= 1 82 + 5 81 + 9 80
= 64+40+9=（113）10
（2A4）16
= 2 162 +10 161 + 4 160 = 512+160+4=（676）10
友情提示
十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 „
转换方法：
例：将十进小数0.8125转换成二进制数 分离整数
乘2取整，直到积为整（即去整 后为零——基数乘法）
0. 8 1 2 5 2 1. 6 2 5 0 0. 6 2 5 2 1. 2 5 0
小数点.
1
1
0 二进制小数末位 1
0. 2 5 2 0. 5 0 0. 5 2 1. 0 练习
在表示同一量值时，十六进制数来的最短，如：将 （110111001101）2写成（DCD）16，且与二进制转换方便， 因此十六进制数常用来在程序中表示二进制数或地址。
（1011.01）2 = 1 23 + 0 22 + 1 21 + 1 20 + 0 2-1 + 1 2-2
= 8+0+2+1++0+0.25=（11.25）10
23 = 8
1位八进值数恰好与3位二进制数相对应 “一位拆三位”
每一位八进制数展成三位二 进制数，不足三位者补0。
例:将八进制数（4675.21)8转换成二进制数
转换过程：
4
6
7
5
.2
1
100
110
111
101
.010 001
转换结果： （4675.21）= 8 （100110111101.010001）2
二进制的低位
二进制的高位
转换结果： （121）10=（1111001）2
练习2：将（256）
2 2 2 2 2 256 128 64 32 16 2 8 2 4 2 2
10
转换成二进制数
余数 · · · · · · · · · · 0 · · · · · · · · · · · 0 · · · · · · · · · · · 0 · · · · · · · · · · · 0
• 请理解并熟记常用进位计数制的表
二进制 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000 10001 10010 „ 八进制 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17 20 21 22 „ 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 „
计算机中常用的数制
进位计数制
十进制
几种常见的进位计数制
二进制 八进制
十六进制
各种进数值的转换
进位计数制： 是一种科学的计数方法，它以累计和进位
的方式进行计数，实现了很少的符号表示 大范围数字的目的。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 12 13 14 15 16 17 18
19 20
进 位 计 数 值 的 本 质 特 征
二进制的低位
· · · · · · · · · · 0 · · · · · · · · · · · 0 · · · · · · · · · · · 0 2 1 · · · · · · · · · · · 0 二进制的高位 0 · · · · · · · · · · · 1 · 转换结果： （256）10=（100000000）2
转换过程：
001
010
111
011 . 001
011
100
1
2
7
3
. 1
3
4
转换结果： （1010110101.1011101）2=（1265.564）8
练习2
例:将二进制数（10110101011.011101）2 转换成十六进制数
转换过程：
0010 1101 0101 . 0111 0100
特点： 用十六个数码表示——0、1、2、3、4、5、6、7、
8、9、A、B、C、D、E、F 遵循“逢十六进一”的规 则
权展开式： 对任何一个n位整数m位小数的十六进制数，可表示为：
D=Hn-1 · 16n-1+ Hn-2 · 16n-2+ · · · + H0 · 160+ H-1 · 16-1 + · · · + H-m · 16-m 例：十六进制数（3C4)16代表多大的十进制数？ 解： （3C4)16 = 3 162 +12 161 + 4 160 = （964）10
解： （1101.01)2 = 1 23 + 1 22 + 0 21 + 1 20 + 0 2-1 + 1 2 = 8+4+0+1++0+0.25=（13.25）
10 -2
二进制数使用的数码少，只有0和1，用电器元件的状 态来表示既方便有可靠，在计算机内部存储和运算中 使用，运算简单，工作可靠。
非十进制数转换为十进制数
方法：把各个非十进制数按权展开求和
将二进制数转换成十进制数，只需 按权展开式做一次十进制运算即可。
例：将二进制数（1011.01）2转换成十进制数
（1011.01）2 = 1 23 + 0 22 + 1 21 + 1 20 + 0 2-1 + 1 2-2
= 8+0+2+1++0+0.25=（11.25）10
转换结果： （ 5A0B.0C）16 =（101101000001011。000011）2
二进制数转成八进制数
“三位并一位” 以二进制数小数点为中心，向两端每三位截成一
组，然后每一组二进制数下写出对应的八进制数 码，最高位或最低位不足时，用0补齐，并将小数 点垂直落到八进制数中。
例:将二进制数（1010110101.1011101）2 转换成八进制数
转换过程：
001
010
110
101 . 101
110
100
1
2
6
5
.5
6
4
转换结果： （1010110101.1011101）2=（1265.564）8
二进制数转成十六进制数
“四位并一位” 以二进制数小数点为中心，向两端每四位截成一
组，然后每一组二进制数下写出对应的十六进制 数码，最高位或最低位不足时，用0补齐，并将小 数点垂直落到十六进制数中。
二进制的低位
二进制的高位
转换结果： （45）10=（101101）2
练习
练习1：将（121）
2 121
10
转换成二进制数
2
2 2
60 30
15 2 7 2 3 2 1 0
余数 · · · · · · · · · · 1 · · · · · · · · · · · 0 · · · · · · · · · · · 0 · · · · · · · · · · · 1 · · · · · · · · · · 1 · · · · · · · · · · · 1 · · · · · · · · · · · 1 ·
特点： 用八个数码表示——0、1、2、3、4、5、6、7
遵循“逢八进一”的规 则
权展开式： 对任何一个n位整数m位小数的八进制数，可表示为：
D=Qn-1 · 8n-1+ Qn-2 · 8n-2+ · · · + Q0 · 80+ Q-1 · 8-1 + · · · + Q-m · 8-m 例：八进制数（317)8代表多大的十进制数？ 解： （317)8 = 3 82 + 1 81 + 7 80 = 192+8+7=（207）10 八进制接近十进制，且与二进制转换方便，常用来对 二进制数的“缩写”，如：将（110111001101）2写成 （6715）8，便于对二进制数的表示和记忆。
1
0
1
0 0 1 · · · · · · · · · · 1 ·
0. 2 5 2 0. 5 0 0. 5 2 1. 0
转换结果： （25.25)10 =（11001.01)2
练习2：将（66.625)10转换成二进制数
整数部分 2 2 2 2 66 33 16 8 2 4 2 2 2 1 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 0 1 0 0 0 1 小数部分 0. 6 2 5 2 1. 2 5 0