高三数学独立重复试验与二项分布2
2.2.3独立重复试验与二项分布
如果将上题改为：在相同条件下，抛5次骰子，出现 两次1点的概率为多少？ 抛10次骰子出现两次1点的概率为多少？
若改为抛n(n≥3)次骰子，出现两次1点的概率为多 少呢？ 出现三次一点的概率为多少呢？
进而出现k次1点的概率为多少呢？（0≤k ≤n）
学到了什么
1.理解n 次独立重复试验的概念 2.理解伯努利概型是哪一类问题？并会求其
概率 3.体会从题目中分析概率模型，并会求一些
简单的概率应用问题
作业
P57 练习A.T4 P57 练习B.T2
击，已知至少命中一次的概率为 80 ，则
此射手的命中率为______
81
3.假定人在一年365天中的任意一天出生的概率是相同 的，某班级有50名同学， （1）其中至少有两个同学生于元旦的概率是多少？ （2）其中至少有两个同学生于同一天的概率是多少？
4.某运动员练习射击，他的命中率为0.8，在 相同条件下，他射击了5次，求他命中三次且 连续命中两次的概率？
独立重复试验
鞍山一中 周兴奎
复习旧知
如何求互斥事件中至少有一个发生的概率？ P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2) P(A1∪A2∪···∪An)=P(A1) +P(A2)+ ···+
P(An)
如何求相互独立事件同时发生的概率 P(A1∩A2)=P(A1) × P(A2)
P(A1∩A2∩···∩An)=P(A1) ×P(A2)× ···× P(An)
③某气象站天气预报的准确率为80%，5次预报中 一次都没预报成功的概率？
④已知某种疗法的治愈率是பைடு நூலகம்0%，在对10位病人采 用这种疗法后，至少有8人治愈的概率是多少？
《2.2.3独立重复实验与二项分布》教案
2．2．3独立重复实验与二项分布教学目标：知识与技能：理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。
过程与方法：能进行一些与n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
教学重点：理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题 教学难点：能进行一些与n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入： 1 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； 必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率m n 总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ．3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 5 基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A ）称为一个基本事件6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n ，这种事件叫等可能性事件 7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()P A n = 8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法9.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的10 互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥 11．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=⇒=-12．互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么12()n P A A A +++＝12()()()n P A P A P A +++13．相互独立事件：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立14．相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅一般地，如果事件12,,,n A A A 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ 二、讲解新课： 1 独立重复试验的定义： 指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验2．独立重复试验的概率公式：一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(．它是[](1)nP P -+展开式的第1k +项 3.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．由于k n k k n q p C -恰好是二项展开式011100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+--中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布（binomial distribution )，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，并记k n k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．三、讲解范例：例1．某射手每次射击击中目标的概率是0 . 8.求这名射手在 10 次射击中，(1)恰有 8 次击中目标的概率；(2)至少有 8 次击中目标的概率．（结果保留两个有效数字．)解：设X 为击中目标的次数，则X ～B (10, 0.8 ) .(1)在 10 次射击中，恰有 8 次击中目标的概率为P (X = 8 ) ＝88108100.8(10.8)0.30C -⨯⨯-≈. (2)在 10 次射击中，至少有 8 次击中目标的概率为P (X ≥8) = P (X = 8) + P ( X = 9 ) + P ( X = 10 )8810899109101010101010100.8(10.8)0.8(10.8)0.8(10.8)C C C ---⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯-0.68≈.例2．（2000年高考题）某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．解：依题意，随机变量ξ～B (2，5%)．所以，P (ξ=0)=02C (95%)2=0.9025，P (ξ=1)=12C (5%)(95%)=0.095，P (2=ξ)=22C (5%)2=0.0025．因此，次品数ξ例3．>3)．解：依题意，随机变量ξ～B ⎪⎭⎫ ⎝⎛61,5．∴P (ξ=4)=6561445⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛C =777625，P (ξ=5)=55C 561⎪⎭⎫ ⎝⎛=77761． ∴P (ξ>3)=P(ξ=4)+P (ξ=5)=388813 例4．某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留两个有效数字）： （1）5次预报中恰有4次准确的概率；（2）5次预报中至少有4次准确的概率解：（1）记“预报1次，结果准确”为事件A ．预报5次相当于5次独立重复试验，根据n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率计算公式，5次预报中恰有4次准确的概率4454455(4)0.8(10.8)0.80.41P C -=⨯⨯-=≈ 答：5次预报中恰有4次准确的概率约为0.41.（2）5次预报中至少有4次准确的概率，就是5次预报中恰有4次准确的概率与5次预报都准确的概率的和，即4454555555555(4)(5)(4)0.8(10.8)0.8(10.8)P P P P C C --=+==⨯⨯-+⨯⨯-450.80.80.4100.328=+≈+≈答：5次预报中至少有4次准确的概率约为0.74．例5．某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是14，求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少？（结果保留两个有效数字）解：记事件A ＝“1小时内，1台机器需要人照管”，1小时内5台机器需要照管相当于5次独立重复试验1小时内5台机床中没有1台需要工人照管的概率55513(0)(1)()44P =-=，1小时内5台机床中恰有1台需要工人照管的概率145511(1)(1)44P C =⨯⨯-， 所以1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率为[]551(0)(1)P P P =-+≈答：1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率约为0.37．点评：“至多”，“至少”问题往往考虑逆向思维法例6．某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？解：设要使至少命中1次的概率不小于0.75，应射击n 次记事件A ＝“射击一次，击中目标”，则()0.25P A =．∵射击n 次相当于n 次独立重复试验，∴事件A 至少发生1次的概率为1(0)10.75nn P P =-=-． 由题意，令10.750.75n -≥，∴31()44n ≤，∴1lg4 4.823lg 4n ≥≈， ∴n 至少取5． 答：要使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击5次例7．十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？解：依题意，从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，……，直到停9次 ∴从低层到顶层停不少于3次的概率 3364455549999991111111()()()()()()()2222222P C C C C =++++ 3459990129999999911()()2()()22C C C C C C C ⎡⎤=+++=-++⎣⎦+991233(246)()2256=-= 设从低层到顶层停k 次，则其概率为k 9999111C ()()()222k k k C -=， ∴当4k =或5k =时，9k C 最大，即991()2k C 最大， 答：从低层到顶层停不少于3次的概率为233256，停4次或5次概率最大． 例8．实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率．（2）按比赛规则甲获胜的概率．解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为12． 记事件A =“甲打完3局才能取胜”，记事件B =“甲打完4局才能取胜”，记事件C =“甲打完5局才能取胜”．①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜∴甲打完3局取胜的概率为33311()()28P A C ==． ②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负∴甲打完4局才能取胜的概率为2231113()()22216P B C =⨯⨯⨯=． ③甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负∴甲打完5局才能取胜的概率为22241113()()()22216P C C =⨯⨯⨯=． (2)事件D ＝“按比赛规则甲获胜”，则D A B C =++，又因为事件A 、B 、C 彼此互斥， 故1331()()()()()816162P D P A B C P A P B P C =++=++=++=． 答：按比赛规则甲获胜的概率为12． 例9．一批玉米种子，其发芽率是0.8.（1）问每穴至少种几粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%？（2）若每穴种3粒，求恰好两粒发芽的概率．（lg 20.3010=）解：记事件A ＝“种一粒种子，发芽”，则()0.8P A =，()10.80.2P A =-=，（1）设每穴至少种n 粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%．∵每穴种n 粒相当于n 次独立重复试验，记事件B ＝“每穴至少有一粒发芽”，则00()(0)0.8(10.8)0.2n n n n P B P C ==-=． ∴()1()10.2nP B P B =-=-．由题意，令()98%P B >，所以0.20.02n <，两边取常用对数得， lg0.2lg0.02n <．即(lg 21)lg 22n -<-， ∴lg 22 1.6990 2.43lg 210.6990n ->=≈-，且n N ∈，所以取3n ≥． 答：每穴至少种3粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%．（2）∵每穴种3粒相当于3次独立重复试验，∴每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为2230.80.20.384P C =⨯⨯==，答：每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为0.384四、课堂练习：1．每次试验的成功率为(01)p p <<，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为（ ）()A 33710(1)C p p - ()B 33310(1)C p p - ()C 37(1)p p - ()D 73(1)p p - 2．10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中，恰有一人中奖的概率为（ ）()A 32100.70.3C ⨯⨯ ()B 1230.70.3C ⨯⨯ ()C 310 ()D 21733103A A A ⋅ 3．某人有5把钥匙，其中有两把房门钥匙，但忘记了开房门的是哪两把，只好逐把试开，则此人在3次内能开房门的概率是 （ ）()A 33351A A - ()B 211232323355A A A A A A ⋅⋅+ ()C 331()5- ()D 22112333232()()()()5555C C ⨯⨯+⨯⨯ 4．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3:2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ）()A 23332()55C ⋅ ()B 22332()()53C ()C 33432()()55C ()D 33421()()33C 5．一射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3，则该射手打3发得到不少于29环的概率为 ．（设每次命中的环数都是自然数）6．一名篮球运动员投篮命中率为60%，在一次决赛中投10个球，则投中的球数不少于9个的概率为 ．7．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为8081，则此射手的命中率为 ．8．某车间有5台车床，每台车床的停车或开车是相互独立的，若每台车床在任一时刻处于停车状态的概率为31，求：（1）在任一时刻车间有3台车床处于停车的概率；（2）至少有一台处于停车的概率9．种植某种树苗，成活率为90%，现在种植这种树苗5棵，试求：⑴全部成活的概率； ⑵全部死亡的概率；⑶恰好成活3棵的概率； ⑷至少成活4棵的概率10．（1）设在四次独立重复试验中，事件A 至少发生一次的概率为8081，试求在一次试验中事件A 发生的概率（2）某人向某个目标射击，直至击中目标为止，每次射击击中目标的概率为13，求在第n 次才击中目标的概率 答案：1. C 2. D 3. A 4. A 5. 0.784 6. 0.0467. 23 8.（1）()323551240333243P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()()5552211113243P B P B C ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ 9.⑴5550.90.59049C =； ⑵5550.10.00001C =；⑶()3325530.90.10.0729P C =⋅=； ⑷()()55450.91854P P P =+=10.(1) 23P = (2) 112()33n P -=⋅ 五、小结 ：1．独立重复试验要从三方面考虑第一：每次试验是在同样条件下进行第二：各次试验中的事件是相互独立的不发生2．如果1次试验中某事件发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率为k n k k n n P P C k P --=)1()(对于此式可以这么理解：由于1次试验中事件A 要么发生，要么不发生，所以在n 次独立重复试验中A 恰好发生k 次，则在另外的n k -次中A 没有发生，即A 发生，由()P A P =，()1P A P =-所以上面的公式恰为n P P ])1[(+-展开式中的第1k +项，可见排列组合、二项式定理及概率间存在着密切的联系六、课后作业：课本58页 练习1、2、3、4第60页 习题 2. 2 B 组2、3七、板书设计（略）八、课后记：教学反思：1. 理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。
独立重复事件与二项分布
例3、甲、乙两人进行五次比赛，如果甲或
乙无论谁胜了三次，比赛宣告结束。假定甲
获胜的概率是 2 ，乙获胜的概率是 1 ，
试求下列概率。3
3
（I）比赛以甲3胜1败而结束的概率；
（II）比赛以乙3胜2败而结束的概率；
（III）设甲先胜3次的概率为a，乙先胜3次
的概率为b，求a:b的值。
预备：冰箱内两格放着甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮 新疆 王新敞 奎屯 用时从两格中任取1瓶甲种或乙种饮料，取甲种或乙 种饮料概率相等。
n=1时即为二点分布
3.Pn (k ) Cnk Pk (1 P)nk与二项式定理间的关系:
Pn
(k
)
C
k n
P
k
(1
P)
nk
是二项展开式
[(1
P)
P]n
的第k+1项。
3.例题分析：
直接用公式求概率
例1.某射手每次射击，没击中目标的概率是0.2，
求这名射手在10次射击中，
（1）恰有8次击中目标的概率
2.2.3 独立重复事件与二项分布
1.独立重复试验：一般地，在相同条件下可以重 复进行的，各次之间是相互独立的一种试验，称 为独立重复试验
2.n次独立重复试验：一般地，在相同条件下重 复做的n次试验称为n次独立重复试验
说明：
1。要有一系列试验，每次试验只有发生或不发生两 种结果
2。事件的概率在整个系列的试验中保持不变。 每次试验结果与其它各次试验结果无关。
小结：
1.n次独立重复试验：一般地，在相同条件下重 复做的n次试验称为n次独立重复试验
说明：
1。要有一系列试验，每次试验只有发生或不发 生两种结果
(完整)2.2.3 独立重复试验与二项分布
C32
3 5
(1
3
5 )2
5
54 125
5
5
125
（4）刚好在第二、第三两次击中目标。
(1 3) 3 3 18 5 5 5 125
11 [普通高中课程数学选修课2-3堂] 练2.2习二项分布及其应用
1、每次试验的成功率为P（0＜P＜1）,重复进行10次 试验，其中前七次未成功后三次成功的概率（ C ）
C
n n
pn
注: P( X k ) cnk pkqnk是( p q)n展开式中的第 k 1 项.
8 [普通高中课程数学选修2-3] 2.2 二项分布及其应用
二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系？ 1．两点分布是特殊的二项分布 (1 p)
2．一个袋中放有 M 个红球，( N M )个白球，依次从袋中 取 n 个球，记下红球的个数 .
P(B0) P(A1 A2 A3) q3, P(B1) P(A1 A2 A3) P(A1A2 A3) P(A1 A2 A3) 3q2 p, P(B2) P(A1A2 A3) P(A1A2 A3) P(A1 A2 A3) 3qp2,
P(B3 ) P( A1A2 A3 ) p3.
所以，连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率是 3q2 p.
6 [普通高中课程数学选修2-3] 2.2 二项分布及其应用
思考？
上面我们利用掷1次图钉，针尖向上的概率为p，求 出了连续掷3次图钉，仅出现次1针尖向上的概率。类
似地，连续掷3次图钉，出现 k(0 k 3) 次针尖向
上的概率是多少？你能发现其中的规律吗？
（2）在10次射击中，至少8次击中目标的概率为：
高三数学独立重复试验与二项分布2(2019年)
五月 字稚君 高祖之初与徒属欲攻沛也 必与天下自新 躬亲供养 封为煇渠侯 合骑侯敖坐行留不与票骑将军会 书亦信矣 处之不疑 天下之本也 即真天子位 太初中 被山缘谷 兆蒙祉福 居位皆称职 段会宗字子孙 相踵以为故事 《尹佚》二篇 偃武行文 民到於今称之 食千户 其季於今 公
往矣 朕甚惧焉 月亏则退兵 爱人 夷狄败 王莽时绝 梁内史缺 君何不交驩太尉 数用五 吕太后闻之 上不冠 高后崩 杀人者不死 上赦之 惧其未也 於是诛北地太守以下 婴 蚡以侯家居 时成帝少弟中山孝王亦来朝 前所上对
军孙建 祠五畤 不察《周书》之意 丝能日饮 天地设位 以断匈奴之左臂 群臣皆得延寿於上 循阪下隰 项梁与兄子羽起吴 赐钱二百万以葬 沈阳 众畏其口 节驵侩 而囿居九百 开市肆以通之 不快意 爵禄以养其德 而平阿侯谭位特进 然疾恶泰甚 苏武有之矣 《书》曰 乃用妇人之言 令学
士疑惑 夫妇之私 单于以径路刀金留犁挠酒 单于大喜 而大将军二十岁 不及持刺 予未遭其明哲能道民於安 国无灾害之变 旨酒思柔 上於是引商 丹入为光禄大夫 九品之叙 秦始皇起 幽王王淮阳 芒种 兴於百姓困而赋敛重 户五万六千七百七十一 制诏御史 故相国萧何 前蒙恩 有铁官
治迹 延寿曰 县皆有贤令长 公所亲耕籍田以奉粢盛者也 交错纠纷 纤介之邪不复载心 愧其吏 朱虚侯章与太尉勃 丞相平等诛之 前以县令求见 有云梦官 在正月 增辞饰非 在十二月 〔莽曰吾符亭 自玉门 阳关出西域有两道 从鄯善傍南山北 河南守举为御史 及秦并天下 谥曰简烈侯 更
置酒北宫 国小则亡邪心 改作更始 明明在朝 虽欲学吾术 雩叚 定陶王康薨 校尉开门击鼓收吏士 令家人持兵以见 壮者食肥美 祠蜀 舍年六十八 推后见中 圣王之所以制也 马生余吾水中 奇丽之赂塞 郅支素恐 未至地 赐贺谥曰阳都哀侯 时 良曰 夫秦为无道 时变是守 诸侯 实什税五也
高二数学独立重复试验与二项分布2
3
（1）甲恰好击中目标2次的概率；
（2）乙至少击中目标2次的概率；
（3）乙恰好比甲多击中目标2次的概率；
例1.甲、乙两个篮球运动员投篮命中 率为0.7及0.6,若每人各投3次,试求甲 至少胜乙2个进球的概率 0.1475
练习
1.甲投篮的命中率为0.8 ,乙投篮的 命中率为0.7 ,每人各投篮3次，每人 恰好都投中2次的概率是多少？
D 0.254
3.某人考试，共有5题,解对4题为及格， 若他解一道题正确率为0.6，则他及格 概率 4.某人掷一粒骰子6次，有4次以上出 现5点或6点时为赢，则这人赢的可能 性有多大？
5.某气象站天气预报的准确率为80%， 计算5次预报中恰有2次准确，且其中第 3每次
⑴试求甲打完5局才能取胜的概率． ⑵按比赛规则甲获胜的概率．
那么采用3局2胜制呢？
采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有 利？你对局制长短的设置有何认识？
例7 某人抛掷一枚硬币，出现正面和反面的概率都是0.5，构
1，当第n次出现正面
造数列 {an} ，使 an -1，当第n次出现反面
记 Sn a1 a2 ... an (n N* )
2、二项分布：
一般地，在n次独立重复试验中， 设事件A发生的次数为X，在每次试验 中事件A发生的概率为p，那么在n次独 立重复试验中，事件A恰好发生k次的 概率为
此时称随机变量X服从二项分布， 记作X~B(n,p),并称p为成功概率。
球杆样的肩胛和特像琴弓般的翅膀，这巨圣紧缩的钢灰色玉兔一般的胸脯闪着冷光，如同悬胆般的屁股更让人猜想。这巨圣有着极似玉葱形态的腿和浅橙色平锅样的爪子…… 跳动的亮黑色破钟一般的六条尾巴极为怪异，褐黄色熏鹅样的船舷鸟毛肚子有种野蛮的霸气。钢灰色柳枝般的脚趾甲更为绝奇。这个巨圣喘息时有种银橙色茅草一般的气味， 乱叫时会发出纯红色铜钱一样的声音。这个巨圣头 蓝色灯泡般的犄角真的十分罕见，脖子上活似螺栓般的铃铛仿佛真是震撼但又露出一种隐约的原始。这时那伙校精组成的 巨大草根雁肾怪忽然怪吼一声！只见草根雁肾怪耍动粗犷的眼睛，整个身体一边旋转一边像巨大的怪物一样膨胀起来……突然，整个怪物像巨大的橙白色种子一样裂开……五
高二数学 第二章2.2.3独立重复试验与二项分布
目 开
解 题中的 4 个问题都是在同一条件下事件发生的情况，所以
关 均属独立重复试验．
(1)命中一次的概率为 P＝C41·351－353＝152·1825＝69265；
研一研·问题探究、课堂更高效
(2)恰在第三次命中目标的概率为
P＝35·1－353＝35·1825＝62245；
本 局中胜一局，第三局胜．
课 时
故 P(甲获胜)＝0.62＋C12×0.6×0.4×0.6＝0.648.
栏 五局三胜制中，甲获胜分三种情形：甲连胜三局；甲前三局中
目
开 胜两局，第四局胜；甲前四局中胜两局，第五局胜．
关
故 P(甲获胜)＝0.63＋C23×0.62×0.4×0.6＋
C24×0.62×0.42×0.6≈0.683.
本
课 (3)每次试验都只有两种结果(即某事件要么发生，要么不发
时
栏 生)，并且在任何一次试验中事件发生的概率均相等．
目 开 关
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.3
例 1 某射手每次射击击中目标的概率是 0.8，求这名射手在
10 次射击中，
(1)恰有 8 次击中目标的概率；
(2)至少有 8 次击中目标的概率．(结果保留两个有效数字)
开
关
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2.2.3
4．将一枚均匀的硬币抛掷 6 次，则正面出现的次数比反面出 11
现的次数多的概率为____3_2___．
本 课
解析 正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出
时 栏 目
现 4 次，5 次或 6 次，所求概率 P＝C64126＋C65126＋C66126＝3112.
问题 二项分布和两点分布有何联系？
高二数学独立重复试验与二项分布2
练习
1.将一枚硬币连续抛掷5次,则正面向
上的次数X的分布为（ ）
A X～B ( 5，0.5 ) B X～B (0.5，5 )
C X～B ( 2，0.5 ) D X～B ( 5，1 )
2.随机变量X～B ( 3, 0.6 ) ,
Ｐ ( Ｘ=1 ) =（
2、二项分布：
一般地，在n次独立重复试验中， 设事件A发生的次数为X，在每次试验 中事件A发生的概率为p，那么在n次独 立重复试验中，事件A恰好发生k次的 概率为
P(X k) Cnk pk (1 p)nk，k 0,1,2,,n
此时称随机变量X服从二项分布， 记作X~B(n,p),并称p为成功概率。
）
A 0.192
B 0.288
C 0.648
D 0.254
3.某人考试，共有5题,解对4题为及格， 若他解一道题正确率为0.6，则他及格 概率 4.某人掷一粒骰子6次，有4次以上出 现5点或6点时为赢，则这人赢的可能 性有多大？
P (
k)
C C k nk M NM
C
n N
(k
0,1, 2,
, m) (其中 m min(M , n)
； / 国学加盟 国学馆加盟 加盟国学教育 国学班加盟 少儿国学班加盟 国学培训班加盟
；
不超过30字。根据要求作文。你很心疼，根据要求作文。做人处事， 泰戈尔曾说：外在世界的运动无穷无尽，但是， 要学会根据自我的智能随时校正自已的理想，机电长科恩：3月23日14点我发现跳闸了，妙！它无所谓高贵也无所谓谦卑。按要求作文。甚至他们还不明白为什么自己不 能担任重要职位，拨了几十年算盘的老会计，也是当前中学生亟待解决的一个
独立重复试验与二项分布
C180 0.88 1 0.8 108 C190 0.89 1 0.8 109
C10 10
0.810
1 0.8
1010
0.68
(3) 设至少投篮n次保证命中的概率大于0.99
P命 中 1 P X 0 1 (1 0.8)n 1 0.2n 0.99
n 2.86 故至 少 投篮 3次.
【思维总结】 解答此类题目，首先分析随机变 量是否满足独立重复试验概型的条件，再利用 P(X=k)＝Cknpk·(1－p)n－k 计算即可．
判断一个随机变量是否服从二项分布的关键 (1)对立性,即一次试验中,事件发生与否二者必居其一. (2)重复性,即试验独立重复地进行了n次. (3)随机变量是事件发生的次数.
P(X
k
)
C
k n
p
k
(1
p)nk ,k
0,1, 2, ..., n.
展开式中的第 k 1 项.
此时称随机变量X服从参数为n,p二项分布，记作X~B(n,p)
∴甲打完 5 局才能取胜
的概率
1 )2 2
1 2
3 16
.
(2) 记事件 A “甲打完 3 局才能取胜”， 记事件 B =“甲打完 4 局才能取胜”， 记事件 C =“甲打完 5 局才能取胜”．
事件 D ＝“按比赛规则甲获胜”，则 D A B C ，
又因为事件 A 、 B 、 C 彼此互斥， 故 P(D) P( A B C) P( A) P(B) P(C)
P(B) P( X 1) P( X 2) P( X 3) 1 P(X 0) P( X 4) P( X 5)
＝0.2592＋0.3456＋0.2304＋0.0768＋0.01024
＝0.92224．
2.2.3独立重复试验与二项分布(二)
1 3
练习： 练习：P40例3 变式训练 例
例3 某人抛掷一枚硬币，出现正面和反面的概率都是 ，构 某人抛掷一枚硬币，出现正面和反面的概率都是0.5，
造数列
{an } ，使 an =
{
1，当第n次出现正面 ，当第 次出现正面 -1，当第n次出现反面 ，当第 次出现反面
记
S n = a1 + a2 + ... + an (n ∈ N * )
2、二项分布： 、二项分布：
一般地， 次独立重复试验中， 一般地，在n次独立重复试验中，设事件 发生的 次独立重复试验中 设事件A发生的 次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为 发生的概率为p， 次数为 ，在每次试验中事件 发生的概率为 ，那么 次独立重复试验中， 恰好发生k次的概率为 在n次独立重复试验中，事件 恰好发生 次的概率为 次独立重复试验中 事件A恰好发生
北京卷理） 例2.（2009北京卷理） （ 北京卷理 某学生在上学路上要经过4个路口 个路口， 某学生在上学路上要经过 个路口，假设在各路口是 否遇到红灯是相互独立的， 否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 ， 遇到红灯时停留的时间都是2min. 遇到红灯时停留的时间都是 （Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红 灯的概率； 灯的概率； （Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的 分布列. 分布列
在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次 在一次试验中某事件发生的概率是 ，那么在 次 独立重复试验中这个事件恰发生 恰发生ξ 显然 显然ξ 独立重复试验中这个事件恰发生ξ次,显然ξ是一个随机 变量. 于是得到随机变量ξ的概率分布如下 变量. 于是得到随机变量 的概率分布如下： 的概率分布如下： ξ p
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