18-19 第1章余弦定理
正余弦定理知识点及题型归纳
正余弦定理是三角学中的重要知识点，用于解决与三角形相关的问题。
下面是对正余弦定理的知识点及题型归纳：一、正弦定理1. 定义：在任意三角形ABC中，设角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，那么有sinA/a = sinB/b = sinC/c。
2. 性质：-等式两边同时乘以任意非零常数，等式仍然成立；-等式两边同时除以相同的角，等式仍然成立；-等式两边同时取反函数，等式仍然成立。
3. 应用：-已知三个角的度数，求边长；-已知两个边的长度，求第三个边的长度；-已知一个角和一条边的长度，求另外两个角的度数；-已知一个角和两条边的长度，求第三个角的度数。
二、余弦定理1. 定义：在任意三角形ABC中，设角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，那么有cosA = (b ²+ c²- a²) / (2bc)。
2. 性质：-等式两边同时乘以任意非零常数，等式仍然成立；-等式两边同时除以相同的角，等式仍然成立；-等式两边同时取反函数，等式仍然成立。
3. 应用：-已知三个角的度数，求边长；-已知两个边的长度，求第三个边的长度；-已知一个角和一条边的长度，求另外两个角的度数；-已知一个角和两条边的长度，求第三个角的度数。
三、题型归纳1. 已知三个角的度数，求边长：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的角度代入公式中，求解边长；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。
2. 已知两个边的长度，求第三个边的长度：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的两个边的长度代入公式中，求解第三个边的长度；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。
3. 已知一个角和一条边的长度，求另外两个角的度数：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的角度和边的长度代入公式中，求解另外两个角的度数；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。
4. 已知一个角和两条边的长度，求第三个角的度数：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的角度和两条边的长度代入公式中，求解第三个角的度数；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。
高中一轮复习 18正弦定理和余弦定理
第18讲正弦定理和余弦定理一、教学目标掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．二、知识点梳理1．正弦定理和余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则正弦定理余弦定理内容asin A＝bsin B＝csin C＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bc cos Ab2＝a2＋c2－2ac cos Bc2＝a2＋b2－2ab cos C常见变形(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；(2)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin Ccos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝a2＋c2－b22ac；cos C＝a2＋b2－c22ab解决的问题(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数一解两解一解一解3.三角形中常用的面积公式(1)S＝12ah(h表示边a上的高)．(2)S＝12bc sin A＝12ab sin C＝12ac sin B.(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径)．辨析感悟1．三角形中关系的判断(1)在△ABC中，sin A＞sin B的充分不必要条件是A＞B. ()(2)在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°，则A＝60°或120°. () 2．解三角形(3)在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝13，则sin B＝59. ()(4)(教材习题改编)在△ABC中，a＝5，c＝4，cos A＝916，则b＝6. ()3．三角形形状的判断(5)在△ABC中，若sin A sin B＜cos A cos B，则此三角形是钝角三角形．()(6)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则此三角形是锐角三角形．()感悟·提升1．一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B，如(1)．2．判断三角形形状的两种途径一是化边为角；二是化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.三、典型例题讲解考点一利用正弦、余弦定理解三角形【例1】(1)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2a sin B＝3b，则角A等于()．A.π3 B.π4 C.π6 D.π12(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，c＝42，B＝45°，则sin C ＝______.解析 (1)在△ABC 中，由正弦定理及已知得2sin A ·sin B ＝3sin B ， ∵B 为△ABC 的内角，∴sin B ≠0. ∴sin A ＝32.又∵△ABC 为锐角三角形， ∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＝π3.(2)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋32－82×22＝25，即b ＝5. 所以sin C ＝c ·sin B b ＝42×225＝45. 答案 (1)A (2)45规律方法 已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断． 【训练1】 (1)在△ABC 中，a ＝23，c ＝22，A ＝60°，则C ＝( )． A ．30° B ．45° C ．45°或135°D ．60°(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )．A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°考点二 判断三角形的形状【例2】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C .(1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状． 解 (1)由2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ， 得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.(2)∵A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＋C ＝180°－60°＝120°. 由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3， ∴sin B ＋sin 120°cos B －cos 120°sin B ＝ 3.∴32sin B ＋32cos B ＝3，即sin(B ＋30°)＝1. ∵0°<B <120°，∴30°<B ＋30°<150°. ∴B ＋30°＝90°，B ＝60°.∴A ＝B ＝C ＝60°，△ABC 为等边三角形．规律方法 解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响． 【训练2】 (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，则△ABC 是( )．A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形(2)在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，则△ABC 的形状是( )．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形 考点三 与三角形面积有关的问题【例3】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B . (1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．审题路线 (1)a ＝b cos C ＋c sin B ――→正弦定理边化角sin A ＝…⇒sin(B ＋C )＝…⇒求出角B .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧S ＝12ac sin B ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B⇒得出a 2与c 2的关系式⇒利用基本不等式求ac 的最大值即可．解 (1)由已知及正弦定理， 得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ．① 又A ＝π－(B ＋C )，故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ．② 由①，②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B . 又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)△ABC的面积S＝12ac sin B＝24ac.由已知及余弦定理，得4＝a2＋c2－2ac cos π4.又a2＋c2≥2ac，故ac≤42－2，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为2＋1.规律方法在解决三角形问题中，面积公式S＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ac sin B最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.【训练3】在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos 2A－3cos(B＋C)＝1.(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积S＝53，b＝5，求sin B sin C的值．课堂小结：1．在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题时要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解．2．正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，尤其是其变形应用时可相互转化．如a2＝b2＋c2－2bc cos A可以转化为sin2A＝sin2B＋sin2C－2sin B sin C cos A，利用这些变形可进行等式的化简与证明．四、课后作业基础巩固题组(建议用时：40分钟) 一、选择题1．在△ABC中，若a2－c2＋b2＝3ab，则C＝()．A．30°B．45°C．60°D．120°2．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为32，则BC的长为()．A.32 B.3 C．2 3 D．23．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝π6，C＝π4，则△ABC的面积为()．A．23＋2 B.3＋1 C．23－2 D.3－14．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝2A，a＝1，b＝3，则c＝()．A．2 3 B．2 C. 2 D．15．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC 的形状为()．A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定二、填空题6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝2，sin B＋cos B＝2，则角A的大小为________．7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)tan B＝3ac，则角B的值为________．8．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，b＝2，cos C＝14，则sin B等于________．三、解答题9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且a ＝12c ＋b cos C . (1)求角B 的大小；(2)若S △ABC ＝3，b ＝13，求a ＋c 的值．10．在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．在锐角△ABC 中，若BC ＝2，sin A ＝223，则AB →·AC →的最大值为( )． A.13 B.45 C ．1 D ．32．在△ABC 中，三边长a ，b ，c 满足a 3＋b 3＝c 3，那么△ABC 的形状为( )． A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．以上均有可能 二、填空题3．在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点．若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC ＝________.三、解答题4．在△ABC 中，边a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足b cos C ＝(3a －c )cos B . (1)求cos B ；(2)若BC →·BA →＝4，b ＝42，求边a ，c 的值．。
人教A版高中数学必修第二册《余弦定理》名师课件
=
+ , 所以 =
+ −
+ −
,得
所以 + − = , 所以 + =
所以△ABC是直角三角形.
= ,
.
方法归纳
判断三角形形状的思路
1、转化为三角形的边来判断
(1)△ABC为直角三角形⇔ 2 = b2 + c 2 或 b2 = 2 + c 2 或 c 2 = 2 + b2
△ 中的最大角与最小角的和为∘ .
=
典例讲授
例2、在△ABC中, = , = , =
,则
= ,sin A = .
解析
根据余弦定理,得
=
+
− =
+
得 = .由 = , − , = 及余弦定理的推论,得
变式训练
2.在△ 中,已知 = 3, = 2, ( + ) =
B.
A.4
C.3
1
,则
3
=( D )
D.
解析
由三角形内角和定理可知, = [ ° − ( + )] = −( + ) = − .
又由余弦定理,得
=
+
ቐ 2 = 2 + 2 − 2cos
2 = 2 + 2 − 2cos
2 + 2 − 2
cos =
2
2 + 2 − 2
cos =
2
余弦定理的教案
余弦定理的教案余弦定理的教案作为一位杰出的老师，时常要开展教案准备工作，编写教案有利于我们准确把握教材的重点与难点，进而选择恰当的教学方法。
如何把教案做到重点突出呢？以下是小编收集整理的余弦定理的教案，欢迎阅读与收藏。
余弦定理的教案1一、教材分析《余弦定理》选自人教A版高中数学必修五第一章第一节第一课时。
本节课的主要教学内容是余弦定理的内容及证明，以及运用余弦定理解决“两边一夹角”“三边”的解三角形问题。
余弦定理的学习有充分的基础，初中的勾股定理、必修一中的向量知识、上一课时的正弦定理都是本节课内容学习的知识基础，同时又对本节课的学习提供了一定的方法指导。
其次，余弦定理在高中解三角形问题中有着重要的地位，是解决各种解三角形问题的常用方法，余弦定理也经常运用于空间几何中，所以余弦定理是高中数学学习的一个十分重要的内容。
二、教学目标知识与技能：1、理解并掌握余弦定理和余弦定理的推论。
2、掌握余弦定理的推导、证明过程。
3、能运用余弦定理及其推论解决“两边一夹角”“三边”问题。
过程与方法：1、通过从实际问题中抽象出数学问题，培养学生知识的迁移能力。
2、通过直角三角形到一般三角形的过渡，培养学生归纳总结能力。
3、通过余弦定理推导证明的过程，培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。
情感态度与价值观：1、在交流合作的过程中增强合作探究、团结协作精神，体验解决问题的成功喜悦。
2、感受数学一般规律的美感，培养数学学习的兴趣。
三、教学重难点重点：余弦定理及其推论和余弦定理的运用。
难点：余弦定理的发现和推导过程以及多解情况的判断。
四、教学用具普通教学工具、多媒体工具（以上均为命题教学的准备）余弦定理的教案2一、教学内容分析人教版《普通高中课程标准实验教科书·必修（五）》（第2版）第一章《解三角形》第一单元第二课《余弦定理》。
通过利用向量的数量积方法推导余弦定理，正确理解其结构特征和表现形式，解决“边、角、边”和“边、边、边”问题，初步体会余弦定理解决“边、边、角”，体会方程思想，激发学生探究数学，应用数学的潜能。
正弦定理与余弦定理
1.三角形的有关性质(1)在△ABC 中，内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2中互补和互余的情况；(2)a ＋b>c ，a －b<c ；(3)在三角形中有：sin 2A ＝sin 2B ⇔A ＝B 或A+B ＝π2⇔三角形为等腰或直角三角形；cos2A=cos2B ⇔A ＝B ⇔三角形为等腰三角形； tan2A=tan2B ⇔A ＝B ⇔三角形为等腰三角形； (4) sin(A ＋B)＝sin(π－C)＝sin C ，cos(A ＋B)＝cos(π－C)＝－cos C ，tan(A ＋B)＝tan(π－C)＝－tan C ，sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋B 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－C 2＝cos C 2，cos ⎝⎛⎭⎫A 2＋B 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－C 2＝sin C 2. (5) 三角形中的边角关系:在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大， 即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B.2.3.(1) ①S ＝12ah a ＝12bh b ＝12ch c (h a ，h b ，h c 分别是边a ，b ，c 上的高)；②S ＝12absin C ＝12bcsin A ＝12acsin B, 一般是已知哪一个角就使用哪一个公式；③S △ABC ＝s (s －a )(s －b )(s －c )(海伦公式)． ④S △ABC ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c)·r(r 是三角形内切圆的半径, R 是△ABC 外接圆半径)，并可由此计算R 、r. (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． 4.解三角形常见问题(1)已知一边和两角解三角形； (2)已知两边及其中一边的对角解三角形； (3)已知两边及其夹角解三角形；(4)已知三边解三角形；(5)三角形形状的判定； (6)三角形的面积问题； (7)正弦、余弦定理的综合应用． 5.解三角形应注意的问题(1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要进行分类讨论．(2)在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解. 6.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．7.在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．用正弦定理有解的可分为以下情况，在△ABC 中，已知a ，b 和角A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a ＝bsin A bsin A ＜a ＜ba ≥b a ＞b a ≤b 解的个数一解两解 一解一解无解8.利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角; 利用余弦定理判定三角形的形状？(以角A 为例)∵cos A 与b 2＋c 2－a 2同号，∴当b 2＋c 2－a 2＞0时，角A 为锐角，若可判定其他两角也为锐角，则三角形为锐角三角形； 当b 2＋c 2－a 2＝0时，角A 为直角，三角形为直角三角形； 当b 2＋c 2－a 2＜0时，角A 为钝角，三角形为钝角三角形．9.在解有关三角形的题目时，(1)要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制． 10.判定三角形形状的两种常用途径①通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断； ②利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断. 探究点一 正弦定理的应用例1 (1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求角A 、C 和边c ； (2)在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求边b 和c.解 (1)由正弦定理a sin A ＝b sin B 得，sin A ＝32.∵a>b ，∴A>B ，∴A ＝60°或A ＝120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝bsin Csin B ＝6＋22； 当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝bsin Csin B ＝6－22.综上，A ＝60°，C ＝75°，c ＝6＋22，或A ＝120°，C ＝15°，c ＝6－22. (2)∵B ＝60°，C ＝75°，∴A ＝45°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C，得b ＝a·sin B sin A ＝46，c ＝a·sin C sin A＝43＋4.∴b ＝46，c ＝43＋4.1．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c.若b ＝2asin B ，则角A 的大小为________．2. (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C 等于 ( )A.725B.－725C.±725D.2425(2) (2010·广东)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则角A 的大小为________．3.已知在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tanC ＝aba 2＋b 2－c 2，则角C 为( )A.π6B.π4C.π3D.3π44.已知△ABC 的三边长为a ，b ，c ，且面积S △ABC ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则A ＝( )A.π4B.π6C.2π3D.π125.(1)在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________；(2)在△ABC 中，若a ＝50，b ＝256，A ＝45°，则B ＝________. 6．(2012·广东高考)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A.4 3 B.23 C. 3 D.327.(2013·辽宁)在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若asin Bcos C ＋csin Bcos A ＝12b,且a ＞b,则∠B 等于 ( )A.π6B.π3C.2π3D.5π61.解析：由正弦定理得sin B ＝2sin Asin B ，∵sin B ≠0，∴sin A ＝12，∴A ＝30°或A ＝150°.2.解析 (1)由正弦定理b sin B ＝c sin C ，将8b ＝5c 及C ＝2B 代入得b sin B ＝85b sin 2B ，化简得1sin B ＝852sin Bcos B，则cos B ＝45，所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝2×(45)2－1＝725，故选A.(2)∵A ＋C ＝2B 且A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3.由正弦定理知：sin A ＝asin B b ＝12，又a<b ，∴A<B ，∴A ＝π6.3.解析：由已知及余弦定理，得sinC cosC ＝ab 2abcosC ，所以sinC ＝12.因为C 为锐角，所以C ＝π6.4.解析：因为S △ABC ＝12bcsinA ＝14(b 2＋c 2－a 2)，所以sinA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝cosA ，故A ＝π4.5.解析 (1)∵在△ABC 中，tan A ＝13，C ＝150°，∴A 为锐角，∴sin A ＝110.又∵BC ＝1.∴根据正弦定理得AB ＝BC·sin C sin A ＝102.(2)由b>a ，得B>A ，由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝bsin A a ＝25650×22＝32，∵0°<B<180° ∴B ＝60°或B ＝120°.6.解析：选B 由正弦定理得：BC sin A ＝AC sin B ，即32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝3232×22＝2 3.7.解析 由条件得a b sin Bcos C ＋c b sin Bcos A ＝12，依正弦定理，得sin Acos C ＋sin Ccos A ＝12，∴sin(A ＋C)＝12，从而sin B ＝12，又a ＞b ，且B ∈(0，π)，因此B ＝π6.【例2】不解三角形，判断下列三角形解的个数（1）5a =，4b =，120A =； （2）5a =，10b =，150A = ；（3）9a =，10b =，60A =； （4）18a =，24b =，44A =.解：（1）a b >，且A 为钝角，∴ ABC ∆有唯一解；（2）b a >，且A 为钝角，∴ ABC ∆有无解；（3）3sin 10532b A =⨯=，∴ sin b A a b <<，∴ ABC ∆有两解； （4）sin 24sin 4424sin 45122b A =<=，又1221824<<，故有两解.方法总结：已知三角形的两边和其中一边的对角，由正弦定理可以求出另一边的对角的正弦值，从而解出三角形，但这个三角形不一定有解.这类问题可以通过计算来判断，也可以通过画图用几何方法来判断.讨论时应注意两点： 一是其正弦值与“1”的大小关系，从而决定符合正弦值的角是否存在； 二是由此确定的角()0180有几个，它与已知角的和是否小于180.1.△ABC 中，a ＝5，b ＝3，sin B ＝22，则符合条件的三角形有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个2.在△ABC ，已知∠A ＝45°，AB ＝2，BC ＝2，则∠C 等于 ( ) A.30° B.60° C.120° D.30°或150°3.在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A.有一解 B.有两解C.无解D.有解但解的个数不确定4.ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若2B A =，1a =，3b =，则c =（ ） A. 23 B. 2 C.25.在锐角ABC ∆中，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin 3,a B b A =则角等于（ ） A.12π B.6π C.4π D.3π6.若==,则△ABC 是( )A.等边三角形B.直角三角形,且有一个角是30°C.等腰直角三角形D.等腰三角形,且有一个角是30°7.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ＝2，b ＝22，且三角形有两解，则角A 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 D.⎝⎛⎭⎫π4，π3 8.在△ABC 中, 内角A, B, C 所对的边分别是a, b, c. 已知sin 3sin b A c B =, a = 3, 2cos 3B =. (1) 求b 的值; (2) 求sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.1.解析：选B ∵asin B ＝102，∴asin B<b ＝3<a ＝5，∴符合条件的三角形有2个．2.解析 在△ABC 中，AB sin C ＝BC sin A ，∴2sin C ＝2sin 45°，∴sin C ＝12，又AB<BC ，∴∠C<∠A ，故∠C ＝30°.3.解析：选C 由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，∴sin B ＝bsin Cc＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．4.【解析】选B.由A B 2=,则A B 2sin sin =，由正弦定理知Bb Aasin sin =,即A A A B A cos sin 232sin 3sin 3sin 1===, 所以cosA=23，所以A=6π，32π==A B ，所以2ππ=--=A B C ，所以431222=+=+=b a c ，c=2.5.【解题指南】本题先利用正弦定理BbA a sin sin =化简条件等式，注意条件“锐角三角形” . 【解析】选D.由2asinB=3b 得2sinAsinB=3sinB,得sinA=23,所以锐角A=3π. 6.解析:在△ABC 中,将a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,代入==得==,所以==1.所以tan B=tan C=1,所以B=C=45°.所以△ABC 是等腰直角三角形.故选C.7.[解析] 由条件知bsinA<a ，即22sinA<2，∴sinA<22，∵a<b ，∴A<B ，∴A 为锐角，∴0<A<π4.8.【解题指南】(1)根据正弦定理及sin 3sin b A c B =, a = 3求出a,c 的值，再由余弦定理求b 的值； (2)根据同角三角函数的基本关系式及二倍角公式求出cos 2B ，sin 2B ，再由两角差的正弦公式求值.【解析】(1) 在△ABC 中，由正弦定理得sin sin a b AB=，即sin sin b A a B =，又由sin 3sin b A c B =，可得，3a c =,又 a =3，故c=1，由2222cos ,b a c ac B =+-且2cos ,3B =可得 6.b =(2)由2cos 3B =，得5sin 3B =，进而得到21cos 22cos 1,9B B =-=-45sin 22sin cos .9B B B ==所以453sin 2sin 2cos cos 2sin .33318B B B +⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭πππ 探究点二 余弦定理的应用例1.已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且a 2＋c 2－b 2＝ac.(1)求角B 的大小；(2)若c ＝3a,求tan A 的值．解(1)∵a 2＋c 2－b 2＝ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.∵0<B<π，∴B ＝π3. (2)方法一 将c ＝3a 代入a 2＋c 2－b 2＝ac ，得b ＝7a. 由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝5714.∵0<A<π，∴sin A ＝1－cos 2A ＝2114，∴tan A ＝sin A cos A ＝35. 方法二 将c ＝3a 代入a 2＋c 2－b 2＝ac ，得b ＝7a.由正弦定理，得sin B ＝7sin A.由(1)知，B ＝π3，∴sin A ＝2114.又b ＝7a>a ，∴B>A ，∴cos A ＝1－sin 2A ＝5714.∴tan A ＝sin A cos A ＝35.方法三 ∵c ＝3a ，由正弦定理，得sin C ＝3sin A.∵B ＝π3，∴C ＝π－(A ＋B)＝2π3－A ，∴sin(2π3－A)＝3sin A ，∴sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＝3sin A ，∴32cos A ＋12sin A ＝3sin A ，∴5sin A ＝3cos A ，∴tan A ＝sin A cos A ＝35.1.(2013年高考北京卷)在△ABC 中,若a=2,b+c=7,cos B=-,则b= .2.已知∆ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c.若a 2+ab+b 2-c 2=0，则角C 的大小是 .3.设△ABC 的内角A,B,C 所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,则3sinA=5sinB,则角C= ( ) A.π3B.2π3C.3π4D.5π64.在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，B ＝2π3，b ＝13，a ＋c ＝4，求a. 5.若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b)2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( ) A.43 B.8－43 C.1 D.236.若△ABC 的内角A ，B ，C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B ＝( ) A.154 B.34C.31516D.11167.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，且sin 2A －sin 2C ＝(sinA －sinB)sinB ，则角C 等于( ) A.π6 B.π3 C.5π6 D.2π38. (2013·浙江)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＋sinBsinC ＝0，则tanA 的值是( ) A.33 B ．－33C. 3 D ．－ 3 9.(2013·安徽高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c.若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________. 10.已知△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，sinC ＝3cosC ，则△ABC 的面积为( ) A.32 B.52 C. 75 D.1141.解析:在△ABC 中,由b 2=a 2+c 2-2accos B 及b+c=7知,b 2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×.整理得15b-60=0,∴b=4.2.解π32212- cos 0- 222222=⇒-=+=⇒=++C ab c b a C c b ab a3.解由题设条件可得5233573⎧=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩a b b c a a b c b ，由余弦定理得222222257()()133cos 52223+-+-∠===-⨯b b b a b c C ab b，所以2π∠C =3。
人教版数学高三第一章解三角形单元测试精选(含答案)1
（1）求 BC 边长； （2）求 AB 边上中线 CD 的长.
【来源】北京 101 中学 2018-2019 学年下学期高一年级期中考试数学试卷
【答案】（1） 3 2 ；（2） 13 .
33．ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a 3, cos A 6 , B A ，
【答案】C
3．在 ABC 中，若 a b cb c a 3bc ，则 A （ ）
A． 90
B． 60
C．135
D．150
【来源】2015-2016 学年江西省金溪一中高一下期中数学试卷（带解析)
【答案】B
4．设在 ABC 中,角 A，B,C 所对的边分别为 a，b, c , 若 b cos C c cos B a sin A ,
【答案】C
21．设 ABC 的内角 A, B,C 所对边的长分别为 a, b, c ，若 b c 2a, 3sin A 5sin B ,
则角 C =（ ）
A．
3 3
C．
4
2
B．
3 5
D．
6
【来源】2013 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（安徽卷带解析)
【答案】B
22．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a2 b2 c2 tanB 3ac ，
A．3 6
B．9 6
C．3
D．6
【来源】福建省晋江市季延中学 2017-2018 学年高一下学期期末考试数学试题
【答案】A
2．已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且cc−−ba=sinCsi+nAsinB，则 B= (
)
A．π
6
辽宁省普兰店市第一中学2018_2019学年高二数学上学期期中试题(含解析)
辽宁省普兰店市第一中学2018-2019 学年高二上学期期中考试数学试题时间： 120 分钟满分：150分范围：必修五+选修第 1 章~第二章 : 椭圆一 . 选择题 ( 每题 5 分，共 60 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的)1. 若，则以下不等式中不可立的是（）．．．A. B. C. D.【答案】 A【分析】，∵，∴，，∴，，所以不可立，应选．2. 已知等差数数列的前项和为, 若, 则等于()A. 15B. 18C. 27D. 39【答案】 C【分析】由等差数列的性质可知，又，应选 C.3. 已知命题，此中正确的选项是（）A.B.C.D.【答案】 C【分析】试题剖析：命题，使的否认为, 使，应选C．考点：特称命题的否认．4. 以下命题中，不是真命题的是（）A. 命题“若，则”的抗命题.B. “”是“且”的必需条件.C. 命题“若，则”的否命题.D. “”是“”的充足不用要条件.【答案】 A【分析】命题“若，则”的抗命题为：若，则, 明显是错误的，当m=0 时则不可立，故 A 是假命题 .5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，出行健步不犯难，次日脚痛减一半，六朝才获得其关，要见次日行里数，请公认真算相还. ”其粗心为“有一个人走了 378 里路，第一天健步行走，从次日因由脚痛每日走的行程为前一天的一半，走了6天后抵达目的地，请计算这人次日走的行程”. 该问题的计算结果为（）A.24 里B.48里C.96里D. 192里【答案】 C【分析】由题意得这人每日走的行程组成公比为的等比数列，且前 6 项的和为378，求该数列的第二项．设首项为，则有，解得，故里．选C．6. 已知数列知足，则的通项公式为（）A. B. C. D.【答案】 C【分析】由得，∴，∴，当时也切合，∴数列的通项公式为.应选 C.7. 设知足拘束条件，则的最大值是（）A. 9B.8C.3D.4【答案】 A【分析】绘制不等式组表示的平面地区以下图，联合目标函数的几何意义可知目标仍是在点处获得最大值，其最大值为.此题选择 A选项.8. 在中，内角所对的边长分别是，若. 则的形状为 ( )A. 等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【答案】 D【分析】余弦定理得代入原式得解得则形状为等腰或直角三角形,选 D.点睛：判断三角形形状的方法①化边：经过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：经过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用这个结论．9.、是椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，且. 若的面积为16，则=（）A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】 C【分析】由题得，应选 C.点睛：此题的难点在于找方程，看到焦半径要联想到圆锥曲线的定义，优化解题，提升解题效率 .10. 若不等式对一确实数都成立 , 则的取值范围为 ( )A. (-3,0)B. [-3,0)C. [-3,0]D. (-3,0]【答案】 D【分析】当k ＝ 0 时，明显成立；当k≠0时，即一元二次不等式22＋kx－ <0 对一确实数x都成立，kx则解得－ 3<k<0. 综上，知足不等式2kx2＋kx－<0 对一确实数x 都成立的 k 的取值范围是(－3,0]，应选 D.11. 已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为 ( )A.5B.7C. 13D. 15【答案】 B【分析】试题剖析：依照题意可得，椭圆的焦点分别是圆和圆的圆心，所以依据椭圆的定义可得：，应选 B．考点：椭圆的性质及圆锥曲线综合应用．【方法点晴】此题考察与圆的性质及其应用，以及椭圆的定义，解题时认真审题，认真解答，注意公式的合理运用，此题的解答中，利用椭圆的焦点分别是两圆和圆的圆心，再联合椭圆的定义与圆的性质可求解出的最小值，此中确立椭圆的焦点恰巧是两圆的圆心是解答此题的重点．12. 已知椭圆的两个焦点分别为，若椭圆上存在点使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】 B【分析】【剖析】当动点当且仅当在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角点位于短轴端点处时，张角达到最大值，由此可获得对于逐渐增大，的不等式，从而可得结果 .【详解】当动点从椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值．∵椭圆上存在点使得是钝角，∴中，，∴中，，∴，逐渐增大，∴，∴，∴，∵，∴．椭圆离心率的取值范围是，应选B．【点睛】此题主要考察利用椭圆的简单性质求椭圆的离心率范围，属于中档题.求解与椭圆性质相关的问题时要联合图形进行剖析，既使不画出图形，思虑时也要联想到图形，当涉及极点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，发掘出它们之间的内在联系 . 求离心率范围问题应先将用相关的一些量表示出来，再利用此中的一些关系结构出对于的不等式，从而求出的范围.二 . 填空题： ( 每题 5 分，共 20 分，把答案填在题中的横线上)13. 已知中，，，，那么______.【答案】【分析】【剖析】题中已知角、边和边，求角，知三求一能够直接利用正弦定理求出sinA ，而后利用边的关系，求出角大小。
18-19第1章第2课时余弦定理
18-19第1章第2课时余弦定理学习目标：1.理解余弦定理，能用余弦定理确定三角形的形状.2.熟练边角互化．(重点)[自主预习·探新知]1．射影定理在△ABC中，①b cos C＋c cos B＝a；②c cos A＋a cos C＝b；③a cos B＋b cos A＝c.2．平行四边形性质定理平行四边形两条对角线平方的和等于四边平方的和．特别地，假设AM是△ABC中BC边上的中线，那么AM＝1 2思考：三角形的形状类别很多，按边可分为等腰三角形，等边三角形，其他；按角可分为钝角三角形，直角三角形，锐角三角形．在判断三角形的形状时是不是要一个一个去判定？[提示]不需要．如果所知条件方便求角，只需判断最大的角是钝角，直角，锐角；如果方便求边，假设最大边为c，可用a2＋b2－c2来判断cos C的正负．而判断边或角是否相等那么一目了然，不需多说．[基础自测]1．在△ABC中，假设BC＝3，那么c cos B＋b cos C＝________.[解析]c cos B＋b cos C＝BC＝3.[答案] 32．假设△ABC中，AB＝1，AC＝3，A＝60°，那么BC边上的中线AD＝________.[解析]在△ABC中，由余弦定理可知BC＝7.∴AD＝122(AB2＋AC2)－BC2＝122(1＋9)－7＝132.[答案]132[合作探究·攻重难]某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10 n mile/h的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14 n mile/h的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 38°13′＝5314[思路探究] 先画出示意图，再借助正、余弦定理求解．[解] 如图，设该巡逻艇沿AB 方向经过x h 后在B 处追上走私船，那么CB ＝10x ，AB ＝14x ，AC ＝9，∠ACB ＝75°＋45°＝120°，由余弦定理，得(14x )2＝92＋(10x )2－2×9×10x cos 120°，化简得32x 2－30x －27＝0， 即x ＝32或x ＝－916(舍去)，∴巡逻艇需要1.5 h 才追赶上该走私船． ∴BC ＝10x ＝15，AB ＝14x ＝21. 在△ABC 中，由正弦定理，得 sin ∠BAC ＝BC sin 120°AB ＝1521×32＝5314.∴∠BAC ＝38°13′，或∠BAC ＝141°47′(钝角不合题意，舍去)， ∴38°13′＋45°＝83°13′.答 巡逻艇应该沿北偏东83°13′方向去追，经过1.5 h 才追赶上该走私船．1．两船同时从A 港出发，甲船以20 n mile/h 的速度向北偏东80°的方向航行，乙船以12 n mile/h 的速度向北偏西40°方向航行，求一小时后，两船相距多少n mile.[解] 一小时后甲船到B 处，乙船到C 处，如图，△ABC 中，AB ＝20，AC＝12，∠CAB ＝40°＋80°＝120°，由余弦定理，得BC 2＝202＋122－2×20×12·cos 120°＝784，∴BC ＝28(n mile)．即一小时后，两船相距28 n mile.在△ABC 中，(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，试确定△ABC 的形状.【导学号：57452019】[思路探究] (a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ―――――→余弦定理求C ；2cos A sin B ＝sin C ―――――――――→法一：恒等变换法二：正、余弦定理求A 与B 的关系．[解] ∵(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ， ∴a 2＋b 2－c 2＝ab ， ∴2ab cos C ＝ab ， ∴cos C ＝12， ∴C ＝π3.法一：又2cos A sin B ＝sin C ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0， ∴sin(A －B )＝0， ∴A ＝B ， ∴A ＝B ＝C ＝π3， ∴△ABC 为等边三角形． 法二：由2cos A sin B ＝sin C 可知 2b ×b 2＋c 2－a 22bc ＝c ， 即b 2＝a 2，∴a ＝b ， ∴A ＝B ＝C ＝π3， ∴△ABC 为等边三角形．2．在△ABC 中，假设B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状． [解] 法一：根据余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . ∵B ＝60°，2b ＝a ＋c ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝a 2＋c 2－2ac cos 60°， 整理得(a －c )2＝0，∴a ＝c . 又∵2b ＝a ＋c ，∴2b ＝2a ，即b ＝a . ∴△ABC 是正三角形． 法二：根据正弦定理， 2b ＝a ＋c 可转化为 2sin B ＝sin A ＋sin C .又∵B ＝60°，∴A ＋C ＝120°，∴C ＝120°－A ， ∴2sin 60°＝sin A ＋sin(120°－A )， 整理得sin(A ＋30°)＝1，∴A ＝60°， C ＝60°，∴△ABC 是正三角形.利用正、余弦定理度量平面图形[探究问题]1．在△ABC中，假设AD⊥BC，那么AB cos B＋AC cos C的值为多少？[提示]如图，易知AB cos B＝BD，AC cos C＝CD，又BD＋CD＝BC，故AB cos B＋AC cos C＝BC.2．在△ABC中，假设AD是∠BAC的平分线，那么BD与DC有什么关系？[提示]BD∶DC＝AB∶AC.3．在△ABC中，假设AD是BC边上的中线，那么AD与AB，AC，BC间存在怎样的等量关系？[提示]4AD2＝2(AB2＋AC2)－BC2.如图1-2-1，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，AC＝7，∠ABC＝2π3，∠ACD＝π3.图1-2-1(1)求sin∠BAC；(2)求DC的长．[思路探究](1)在△ABC中，由余弦定理求BC，在△ABC中由正弦定理求∠BAC的正弦值．(2)垂直关系→sin D→正弦定理确定边长[解] (1)在△ABC 中，由余弦定理得： AC 2＝BC 2＋BA 2－2BC ·BA cos B ，即BC 2＋BC －6＝0，解得：BC ＝2，或BC ＝－3(舍)， 由正弦定理得：BC sin ∠BAC＝AC sin B ⇒sin ∠BAC ＝BC sin B AC ＝217.(2)因为AB ⊥AD ，所以∠CAD ＋∠BAC ＝π2，所以cos ∠CAD ＝sin ∠BAC ＝217，sin ∠CAD ＝1－37＝277，所以sin D ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠CAD ＋π3＝277×12＋217×32＝5714， 由正弦定理得：DC sin ∠CAD ＝AC sin D ⇒DC ＝AC sin ∠CAD sin D ＝7×2775714＝475. 母题探究：1.(变条件)将本例中四边形ABCD 满足的条件改为∠BAD ＝90°，∠BCD ＝150°，∠DAC ＝60°，AC ＝2，AD ＝3＋1.求CD 的长和△ABC 的面积．[解] 在△ACD 中，由余弦定理得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos ∠CAD ＝6，所以CD ＝ 6.在△ACD 中，由正弦定理得 CD sin ∠CAD ＝ACsin ∠ADC，那么sin ∠ADC ＝22，又0°<∠ADC <120°， 所以∠ADC ＝45°，从而有∠ACD ＝75°，由∠BCD ＝150°，得∠ACB ＝75°，又∠BAC ＝30°， 所以△ABC 为等腰三角形，即AB ＝AC ＝2，故S △ABC ＝1. 2．(变结论)本例条件不变，求△ACD 的面积． [解] 由例题解答知sin D ＝5714，sin ∠CAD ＝277， 在△ACD 中由正弦定理得AD sin ∠ACD＝ACsin D ⇒AD ＝AC sin ∠ACD sin D ＝7×325714＝735，S △ACD ＝12AC ·AD ·sin ∠CAD ＝12×7×735×277＝735.1．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝4b sin A ，那么cos B ＝________.[解析] ∵a ＝4b sin A ，由正弦定理知sin A ＝4sin B sin A ，∴sin B ＝14，cos B ＝1－sin 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154.[答案]1542．假设平行四边形两邻边的长分别是3和6，它们的夹角是45°，那么这个平行四边形的两条对角线的长分别是________．[解析] 两条对角线的长分别为(3)2＋(6)2－2×3×6×cos 45°＝3和(3)2＋(6)2－2×3×6×cos 135°＝15.[答案]3153．A，B两地的距离为10 km，B，C两地的距离为20 km，经测量，∠ABC ＝120°，那么A，C两地的距离为________ km.【导学号：57452019】[解析]AC2＝102＋202－2×10×20×cos 120°，∴AC＝107.[答案]1074．在△ABC中，AB＝3，点D是BC的中点，且AD＝1，∠BAD＝30°，那么△ABC的面积为________．[解析]因为D为BC的中点，所以S△ABC＝2S△ABD＝2×12×AB·AD·sin∠BAD＝2×12×3×1×sin 30°＝3 2.[答案]3 25．如图1-2-2所示，在四边形ABCD中，BC＝20，DC＝40，B＝105°，C ＝60°，D＝150°，求：图1-2-2(1)AB的长；(2)四边形ABCD的面积．[解](1)连结BD，因为∠ABC＝105°，C＝60°，∠ADC＝150°，所以A＝360°－105°－60°－150°＝45°.在△BCD中，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos C＝202＋402－2×20×40×12＝1 200，于是BD ＝20 3.因为BD 2＋BC 2＝CD 2，所以∠CBD ＝90°.所以∠ABD ＝105°－90°＝15°，∠ADB ＝180°－45°－15°＝120°.在△ABD 中，AB sin ∠ADB＝BD sin A ， 所以AB ＝BD sin ∠ADB sin A ＝203sin 120°sin 45°＝30 2. (2)因为sin 15°＝sin(45°－30°)＝6－24，所以四边形ABCD 的面积S 四边形ABCD ＝S △DBC ＋S △DBA ＝12×20×203＋12×203×302×6－24＝50(9＋3)．。
三角形正弦定理和余弦定理
三角形正弦定理和余弦定理三角形正弦定理和余弦定理是几何学中的重要定理。
它们可以用来解决三角形中任意两边和夹角的求解问题。
两个定理都是基于三角形的基本定义而推导出来的，都有它们自己的特点，可以帮助我们解决复杂的几何问题。
三角形正弦定理由法国数学家Adrien-Marie Legendre于1786年提出，它定义了三角形的正弦和余弦值之间的关系：a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a,b,c分别表示三角形的三边，A,B,C分别表示三边所对应的角。
它可以用来求解三角形的任意两边和夹角的大小。
余弦定理，又称余弦公式，是由18世纪英国数学家John Wallis发现的，它定义了三角形的余弦值之间的关系：a^2 =b^2 + c^2 - 2bc*cosA，其中a,b,c分别表示三角形的三边，A表示两边之间的夹角。
它可以用来求解三角形的任意两边的长度。
三角形正弦定理和余弦定理是几何学中的重要定理，它们可以用来解决三角形中任意两边和夹角的求解问题，帮助我们求解复杂的几何问题。
它们的精确性和准确性，使得它们在几何学中具有重要的作用，也被广泛应用于现代数学和工程学中。
例如，它们可以用来求解地球表面上两点之间的距离，这是很多工程学上的应用，比如建筑、测量等应用都会用到三角形正弦定理和余弦定理。
此外，它们还可以用来解决圆柱体、球体和其他几何体的体积、表面积等问题，也是工程学中重要的计算公式。
三角形正弦定理和余弦定理都是几何学的重要定理，它们可以用来解决三角形中任意两边和夹角的求解问题，它们的精确性和准确性使得它们在几何学中具有重要的作用，也被广泛应用于现代数学和工程学中，比如求解两点之间的距离，求解圆柱体、球体和其他几何体的体积、表面积等问题，都是重要的工程学计算公式。
余弦定理-三角函数
(1)已知两边及夹角解三角形．
(2)已知三边解三角形．
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高中新教材同步导学案•BS•数学•必修第二册
思考诊断 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)勾股定理是余弦定理的特例．( √ ) (2)在△ABC 中，若△ABC 是钝角三角形，则必有 a2＋b2<c2.( × ) (3)在△ABC 中，若△ABC 是锐角三角形，则必有 a2＋b2>c2.( √ ) (4)在△ABC 中，已知两边和其夹角时，△ABC 不唯一．( × )
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题型二 已知三边解三角形 【典例 2】 (1)在△ABC 中，若 a＝7，b＝4 3，c＝ 13，则△ABC 的最小角为( B )
πππ π A.3 B.6 C.4 D.12 (2)在△ABC 中，若 a2＋b2＋ab＝c2，则角 C＝___1_2_0_°__. [思路导引] (1)利用三角形中“大边对大角”及余弦定理的推论求解；(2)根据已知条 件结合余弦定理的变形求解．
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(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化 思想解决问题．一般有两条思考路线：①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之 间的数量关系．②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系．
(2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论： ①△ABC 为直角三角形⇔a2＝b2＋c2 或 c2＝a2＋b2 或 b2＝a2＋c2. ②△ABC 为锐角三角形⇔a2＋b2>c2，且 b2＋c2>a2，且 c2＋a2>b2. ③△ABC 为钝角三角形⇔a2＋b2<c2 或 b2＋c2<a2 或 c2＋a2<b2. ④若 sin2A＝sin2B，则 A＝B 或 A＋B＝π2.
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2 19 [根据余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcos C＝16＋36－2×4×6cos 120° ＝ 76，c＝2 19.]
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3．在△ABC 中，a＝1，b＝ 3，c＝2，则∠B＝________.
由正弦定理的变形，将 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，代入 a2＝b2 a b c ＋c 可得 sin A＝sin B＋sin C.反之将 sin A＝ ，sin B＝ ，sin C＝ 代入 sin2A 2R 2R 2R
2 2 2 2
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＝sin2B＋sin2C 可得 a2＝b2＋c2.因此，这两种说法均正确．
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[探究问题] 1．在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c，若 a2＝b2＋c2， 则 sin2A＝sin2B＋sin2C 成立吗？反之说法正确吗？为什么？
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[提示] 设△ABC 的外接圆半径为 R.
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(2)∵c>a，c>b，∴∠C 最大．由余弦定理，得 c2＝a2＋b2－2abcos C， 即 37＝9＋16－24cos C， 1 ∴cos C＝－ ， 2 ∵0° <∠C<180° ， ∴∠C＝120° . ∴△ABC 的最大内角为 120° .
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120° [∵a ＝b ＋bc＋c ， ∴b2＋c2－a2＝－bc， b2＋c2－a2 －bc 1 ∴cos A＝ ＝ ＝－ ， 2bc 2bc 2 又∵0° ＜∠A＜180° ， ∴∠A＝120° .]
2 2 2
【导学号：12232017】
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在△ABC 中，若(a－c· cos B)· sin B＝(b－c· cos A)· sin A，判断△ABC 的形状． 【导学号：12232020】
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a2＋c2－b2 2 32＋ 6＋ 22－2 22 2 cos B＝ ＝ ＝ ， 2ac 2 2×2 3× 6＋ 2 ∴∠B＝45° ，∴∠C＝180° －∠A－∠B＝75° .
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(2)已知△ABC 的三边长为 a＝3，b＝4，c＝ 37，求△ABC 的最大内角．
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[解]
(1)由余弦定理得：
b2＋c2－a2 2 22＋ 6＋ 22－2 32 1 cos A＝ ＝ ＝ ， 2bc 2 2×2 2× 6＋ 2 ∴∠A＝60° .
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[思路探究] 角边转化．
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[解] 法一：∵(a－c· cos B)· sin B＝(b－c· cos A)· sin A， ∴由正、余弦定理可得：
2 2 2 2 2 2 a ＋ c － b b ＋ c － a · b ＝ a， a － c · b － c · · 2 ac 2 bc
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(4)√.余弦定理可以看作勾股定理的推广．
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√
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2．在△ABC 中，已知 a＝4，b＝6，∠C＝120° ，则边 c＝________. 【导学号：12232016】
2 2 2 2 2
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∴c＝4，即第三边长为 4.
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已知三边或三边关系解三角形
(1)已知△ABC 的三边长为 a＝2 3，b＝2 2，c＝ 6 △ABC 的各角度数．
＋ 2，求
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第一章
解三角形
1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.2 余弦定理
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学习目标：1.掌握余弦定理及其推论．(重点)2.掌握正、余弦定理的综合应 用．(难点)3.能应用余弦定理判断三角形的形状．(易错点)
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[自 主 预 习· 探 新 知]
1．余弦定理 (1)三角形任何一边的 平方 等于其他两边的 平方和减去这两边与它们夹角 的 余弦的积的 两倍 ，
2＋c2－2accos B 2＋c2－2bccos A 2 a b 即a ＝ ，b ＝ ，
2
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(3)利用余弦定理，可解决已知三角形三边求角问题；( (4)在三角形中，勾股定理是余弦定理的一个特例．(
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[解析]
(1)×.由正、余弦定理的特征可知在三角形中，已知两边及一边的
对角，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理求解． (2)√.余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形． (3)√.结合余弦定理公式及三角函数知识可知正确．
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[跟踪训练] 2．在△ABC 中，已知 BC＝7，AC＝8，AB＝9.试求 AC 边上的中线长. 【导学号：12232019】
AB2＋AC2－BC2 92＋82－72 2 [解] 由余弦定理和条件，得 cos A＝ ＝ ＝ ， 2· AB· AC 2×9×8 3 设中线长为 x，由余弦定理，得 x
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c2＝ a2＋b2－2abcos C
.
(2)应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题． ①已知三边，求三角 ． ②已知 两边和它们的 夹角，求第三边和其他两个角．
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思考：利用余弦定理只能解决以上两类问题？ [提示] 是
2
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AC2 AC 2 2 2 2 ＝ 2 ＋AB －2· · ABcosA＝4 ＋9 －2×4×9× ＝49， 2 3
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∴x＝7. 所以 AC 边上的中线长为 7.
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正、余弦定理的综合应用
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[基础自测] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在三角形中，已知两边及一边的对角，可用正弦定理解三角形，但不能 用余弦定理去解；( )
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(2)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角 形；( ) ) )
夹角.则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用正弦定理求解 或者直接利用余弦定理求角.
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[跟踪训练] 1．在△ABC 中，已知 a＝5，b＝3，∠C 的余弦值是方程 5x2＋7x－6＝0 的 根，求第三边长 c. 【导学号：12232018】
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c2＋a2－b2 4＋1－3 1 60° [cos B＝ ＝ ＝ ，∠B＝60° .] 2ac 4 2
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4．在△ABC 中，若 a2＝b2＋bc＋c2，则∠A＝________.
2＋
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1 － . 2 ∵0° <∠A<180° ，∴∠A＝120° ，∠C＝15° . 6＋ 2 6－ 2 故 c＝ ， ∠A＝60° ， ∠C＝75° 或 c＝ ， ∠A＝120° ，∠C＝15° .] 2 2
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[规律方法] 1.已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，再用正弦 定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增 解或漏解.
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2.若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入 k，从而转化为已 知三边解三角形.
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2．余弦定理的变形 (1)余弦定理的变形：
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b2＋c2－a2 cos A＝ 2bc a2＋c2－b2 cos B＝ 2ac a2＋b2－c2 cos C＝ 2ab