5年全国高考课标卷1选作题分类整理

2010---2014全国高考课标卷1, (22) 几何证明选讲 晋江市养正中学 郑明铿 2015.3.9分类整理 2010年选修4-1：几何证明选讲如图，已知圆上的弧AC =BD ,过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：（Ⅰ)ACE ∠=BCD ∠; （Ⅱ）2BC BE CD =⨯;2011年选修4-1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为ABC ∆的边AB ，AC 上的点，且不与ABC ∆的顶点重合。

已知AE 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根。

（Ⅰ）证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；（Ⅱ）若90A ∠=︒，且4,6m n ==，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径。

解：（I ）连接DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中， AD ×AB=mn=AE ×AC, 即ABAEAC AD =.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE ∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB 所以C,B,D,E 四点共圆。

（Ⅱ）m=4, n=6时，方程x 2-14x+mn=0的两根为x 1=2,x 2=12.故 AD=2，AB=12.取CE 的中点G,DB 的中点F ，分别过G,F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH.因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH. 由于∠A=900，故GH ∥AB, HF ∥AC. HF=AG=5，DF= 21(12-2)=5. 故C,B,D,E 四点所在圆的半径为522012年选修4-1：几何证明选讲如图，,D E 分别为ABC ∆边,AB AC 的中点，直线DE 交ABC ∆的外接圆于,F G 两点，若//CF AB ，证明：（1）CD BC =； （2）BCD GBD ∆∆【解析】（1）//CF AB ，//////DF BC CF BD AD CD BF ⇒⇒= //CF AB AF BC BC CD ⇒=⇔= （2）//BC GF BG FC BD ⇒==//BC GF GDE BGD DBC BDC ⇒∠=∠=∠=∠⇒BCDGBD ∆∆2013年选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D . (1)证明：DB ＝DC ；(2)设圆的半径为1，BC CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径．(1)证明：连结DE ，交BC 于点G . 由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE .而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE .又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，∠DCE ＝90°， 由勾股定理可得DB ＝DC .(2)解：由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ，故DG 是BC 的中垂线，所以BG ＝2. 设DE 的中点为O ，连结BO ，则∠BOG ＝60°. 从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°，所以CF ⊥BF ，故Rt△BCF 外接圆的半径等于2. 2014年选修4—1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB=CE.(Ⅰ)证明：∠D=∠E ；（Ⅱ）设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MB=MC ，(Ⅰ)证明：∠D=∠E ；（Ⅱ）设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MB=MC ，证明：△ADE 为等边三角形.解：.(Ⅰ) 由题设知得A 、B 、C 、D 四点共圆，所以∠D=∠CBE ，由已知得，∠CBE=∠E , 所以∠D=∠（Ⅱ）设BCN 中点为N ，连接MN,则由MB=知M N⊥所以O 在MN 上，又AD 不是O 的直径，M 为AD 中点，故O M ⊥AD ， 即MN ⊥AD 所以AD//BC,故∠A=∠CBE ， 又∠CBE=∠E ，故∠A=∠由（1）知∠D=∠E 所以△ADE 为等边三角形点评：本题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．第一问利用四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，可得∠D=∠CBE ，由CB=CE ，可得∠E=∠CBE ，即可证明：∠D=∠E ；第二问设BC 的中点为N ，连接MN ，证明AD ∥BC ，可得∠A=∠CBE ，进而可得∠A=∠E ，即可证明△ADE 为等边三角形．2010---2014全国高考课标卷1, 坐标系与参数方程 晋江市养正中学 郑明铿 2015.3.9分类整理 2010年(22) 选修4—4;坐标系与参数方程已知直线1C :1cos .sin ,x t y t αα=+⎧⎨=⎩ （t 为参数），圆2C :cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，（Ⅰ)当α=3π时，求1C 与2C 的交点坐标； （Ⅱ）过坐标原点O 作1C 的垂线，垂足为A,P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线;N2011年选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数） M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =,P 点的轨迹为曲线C 2 (Ⅰ)求C 2的方程(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB . 解：（I ）设P(x,y),则由条件知M(2,2YX ).由于M 点在C 1上，所以⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=∂=sin 222,cos 22y x 即 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂+=∂=sin 44cos 4y x从而2C 的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=。

射线3πθ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3πρ=， 射线3πθ=与2C 的交点B 的极径为28sin3πρ=。

所以21||||AB ρρ-== 2012年选修4—4；坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上， 且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π（1）求点,,,A B C D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2222PA PB PC PD +++的取值范围。

【解析】（1）点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636ππππ点,,,A B C D的直角坐标为(11,1)--（2）设00(,)P x y ；则002cos ()3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数 2222224440t PA PB PC PD x y =+++=++25620sin[56,76]ϕ=+∈2013年选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线C 1的参数方程为45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)． 解：(1)将45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C 1的极坐标方程为 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.2014年选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）.(Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.解：.(Ⅰ) 曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的普通方程为：260x y +-= （Ⅱ）（2）在曲线C 上任意取一点P (2cos θ,3sin θ)到l 的距离为3sin 6d θθ=+-，则()0||6sin 30d PA θα==+-，其中α为锐角．且4tan 3α=.当()sin 1θα+=-时，||PA 取得最大值，最大值为5；当()sin 1θα+=时，||PA 点评：本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，直线与圆锥曲线的关系，体现了数学转化思想方法，是中档题．第一问联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C 的参数方程，直接消掉参数t 得直线l 的普通方程；第二问设曲线C 上任意一点P （2cosθ，3si nθ）．由点到直线的距离公式得到P 到直线l 的距离，除以sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值。

2010---2014全国高考课标卷1, 不等式选讲 晋江市养正中学 郑明铿 2015.3.9分类整理 2010年选修4—5；不等式选讲设函数f(x)=241x -+（Ⅰ)画出函数y=f(x)的图像；（Ⅱ）若不等式f(x)≤ax 的解集非空，求a 的取值范围.【答案】2011年选修4-5：不等式选讲设函数()3f x x a x =-+,其中0a >。

（Ⅰ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集 （Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤- ，求a 的值。

解：（Ⅰ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥。

由此可得 3x ≥或1x ≤-。

故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-。

( Ⅱ) 由()0f x ≤的 30x a x -+≤ 此不等式化为不等式组30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩或30x aa x x ≤⎧⎨-+≤⎩即 4x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩ 或2x a a a ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩ 因为0a >，所以不等式组的解集为{}|2ax x ≤-由题设可得2a-= 1-，故2a =2012年选修45-：不等式选讲已知函数()2f x x a x =++-（1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若()4f x x ≤-的解集包含[1,2]，求a 的取值范围。