高考总复习数学6-1

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2025届高考数学一轮总复习第六章数列第一节数列的概念与简单表示法

第六章
第一节数列的概念与简单表示法
课标
1.了解数列的概念和表示方法(表格、图象、通项公式、递推公式).
解读
2.了解数列是一种特殊的函数.
强基础增分策略
知识梳理
1.数列的有关概念
概念
含义
数列的项
按照确定的顺序排列的一列数
数列中的每一个数
数列的通项
数列{an}的第n项an
数列
通项公式
前n项和
如果数列{an}的递推公式满足an+1-an=f(n)的形式,且f(n)可求和,那么就可
以运用累加法an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1,求出数列
{an}的通项公式.
对点训练
1
3 数列{an}中,a1=0,an+1-an= + +1,且
√ √
an=9,则 n=
.
答案 100
1
解析∵an+1-an= + +1
√ √
= √ + 1 − √,
∴an=an-an-1+an-1-an-2+…+a2-a1+a1=√ − -1 + -1 − -2+…+√2 −
√1+0=√-1.∵an=9,即√-1=9,解得 n=100.
考向2.累乘法
-1
· ··
…·
2 3 4
+1
1
1
1
1
1
∴S30=1- + − +…+ −
2
2
3
30

【精品】高考数学第一轮总复习 6-1经典实用学案课件

3．如果a、b、c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列选项中不一定成立的是 A．ab＞ac C．cb2＜ab2 B．c(b－a)＞0 D．ac(a－c)＜0 ( )
解析：∵ac＜0，c＜a，∴c＜0，a＞0. 又b＞c，∴ab＞ac，∴A一定成立； ∵b＜a，∴b－a＜0，又c＜0， ∴c(b－a)＞0，∴B一定成立；
3．在复习时应强化不等式的应用，提高应用意识．历届高考题中除单独考查不等式的试题外，常在一些函数、数列、立体几何、解析几何和实际应用的问题中涉及不等式，如在实际问题中，主要有构造不等式求解或构
造函数求最值，求最值时要注意等号成立的条件．因此，
在复习过程中，一定要提高应用意识，不断总结不等式的应用规律，努力提高数学能力.
∵c＜a，∴a－c＞0，又ac＜0，
∴ac(a－c)＜0，∴D一定成立； ∵c＜a，而b2≥0， ∴cb2≤ab2，∴C不一定成立，故选C.
答案：C
4．(2009· 山东济南一模)若的是________．
＜0，则下列不等式：＞2.其中不正确
①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④
解析：特殊值法：令a＝－1，b＝－2，即不正确的为
●易错知识一、不等式的性质应用失误 1．已知a＞b，则不等式①a2＞b2，
答案：①②③
二、利用不等式的性质求取值范围失误
3．已知－1≤a＋b≤1,1≤a－2b≤3，则a＋3b的取值范围是________．
●回归教材 1．(教材P84题改编)a2与a3的大小关系是 A．a2＞a3 C．a2＜a3 B．a2＝a3 D．不能确定 ( )
解析：a≥1时，a3≥a2(当a＝1时，取“＝\”号)，
a＜1时，a2≥a3(当a＝0时，取“＝”号) 故选D. 答案：D

2025版高考数学一轮总复习第6章数列第1讲数列的概念与简单表示法pptx课件

知识点三 an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，
则 an＝______S__S1__n－____S__n， _－_1n_＝ __1_， _，n≥2.
知识点四数列的分类
归纳拓展 1．数列与函数数列可以看作是一个定义域为正整数集 N*( 或它的有限子集 {1,2，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值. 数列的通项公式是相应函数的解析式，它的图象是一群孤立的点.
知识点二数列的表示方法
列表法图象法
列表格表示n与an的对应关系把点___(n_，__a_n_)______画在平面直角坐标系中
通项公式把数列的通项使用__公__式____表示的方法
公式法递推公式使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an， an－1)等表示数列的方法
运算求解
数学运算
并项求和
综合性
逻辑思维
逻辑推理
2022新高考求通项公累乘法求数列
运算求解综合性数学运算
Ⅰ，17 式
的通项公式
等差数列 2022新高考
及其前n项 Ⅱ，3
和
求值
运算求解创新性数学运算
考题
考点
考向
关键能力考查要求核心素养
等比数列
2022新高考
等比数列的通项运算求解
及其前n
Ⅱ，17
公式及其应用逻辑思维
项和
创新性
数学运算
2021新高考
数列的求
错位相减法求和，运算求解
综合性
数学运算
Ⅰ，16,17 和
分组求和
等差数列求解等差数列的

高考数学一轮总复习：第六章数列1

【答案】 an＝22n－1
题型二累乘法[an＋1＝an·f(n)型] 设数列{an}是首项为 1 的正项数列，且(n＋1)an＋12－nan2
＋an＋1an＝0(n＝1，2，3，…)，则它的通项公式是 an＝________．
【解析】原式可化为[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0.
思考题 1 (1)如下图，它满足：①第 n 行首尾两数均为 n； ②表中的递推关系类似杨辉三角，则第 n 行(n≥2)第 2 个数是 ________.
1 22 343 4774 5 11 14 11 5 6 16 25 25 16 6 …………………
【解析】设第 n 行的第 2 个数为 an，不难得出规律 an＋1＝
(2)在数列{an}中，a1＝－1，an＋1＝2an＋4·3n－1，求通项公式 an.
【解析】方法一：原递推式可化为 an＋1＋λ·3n＝2(an＋λ·3n－1)．① 比较系数得 λ＝－4，①式即是： an＋1－4·3n＝2(an－4·3n－1)．则数列{an－4·3n－1}是一个等比数列，其首项 a1－4·31－1＝－5，公比是 2.
令a5nn＝bn，则①式变为 bn＋1＝25bn＋35，即 bn＋1－1＝25(bn－1)，
所以数列{bn－1}是等比数列，其首项为 b1－1＝a51－1＝－35，公比为25，所以 bn－1＝(－35)×(25)n－1，即 bn＝1－35×(25)n－1，
所以a5nn＝1－35×(25)n－1＝1－3×52nn－1，故 an＝5n－3×2n－1. 方法二：设 an＋1＋k·5n＋1＝2(an＋k×5n)，则 an＋1＝2an－3k×5n，与题中递推公式比较得 k＝－1，即 an＋1－5n＋1＝2(an－5n)，所以数列{an－5n}是首项为 a1－5＝－3，公比为 2 的等比数列，则 an －5n＝－3×2n－1，故 an＝5n－3×2n－1.故选 D 项．【答案】 D

高考数学复习考点知识与题型专题讲解6---函数的奇偶性、周期性与对称性

高考数学复习考点知识与题型专题讲解函数的奇偶性、周期性与对称性考试要求1.了解函数奇偶性的含义，结合三角函数，了解周期性与对称性及其几何意义.2.会依据函数的性质进行简单的应用．知识梳理1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．常用结论1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．2．函数周期性常用结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ：(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)．(2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a >0)． 3．函数对称性常用结论(1)f (a －x )＝f (a ＋x )⇔f (－x )＝f (2a ＋x )⇔f (x )＝f (2a －x )⇔f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)f (a ＋x )＝f (b －x )⇔f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称．f (a ＋x )＝－f (b －x )⇔f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，0对称．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f (x )为奇函数，则f (0)＝0.(×)(2)若f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，则y ＝f (x )g (x )为奇函数．(×)(3)若T 是函数f (x )的一个周期，则kT (k ∈N *)也是函数的一个周期．(√)(4)若函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，则f (x )的图象关于直线x ＝2对称．(√)教材改编题1．下列函数中为偶函数的是()A．y＝x2sin x B．y＝x2cos xC．y＝|ln x|D．y＝2－x答案B解析根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性；D选项既不是奇函数，也不是偶函数．2．若f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[0,2)时，f(x)＝2－x，则f(2023)＝______.答案1 2解析∵f(x)的周期为2，∴f(2023)＝f(1)＝2－1＝1 2.3.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为________．答案(－2,0)∪(2,5]解析由图象可知，当0<x<2时，f(x)>0；当2<x≤5时，f(x)<0，又f(x)是奇函数，∴当－2<x <0时，f (x )<0，当－5≤x <－2时，f (x )>0.综上，f (x )<0的解集为(－2,0)∪(2,5]．题型一函数的奇偶性命题点1判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3；(2)f (x )＝⎩⎨⎧ x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0； (3)f (x )＝log 2(x ＋x 2＋1)．解(1)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}，从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0.因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x <0时，－x >0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数．(3)显然函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝log2[－x＋(－x)2＋1]＝log2(x2＋1－x)＝log2(x2＋1＋x)－1＝－log2(x2＋1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．命题点2函数奇偶性的应用例2(1)(2022·哈尔滨模拟)函数f(x)＝x(e x＋e－x)＋1在区间[－2,2]上的最大值与最小值分别为M，N，则M＋N的值为()A．－2B．0C．2D．4答案C解析依题意，令g(x)＝x(e x＋e－x)，显然函数g(x)的定义域为R，则g(－x)＝－x(e－x＋e x)＝－g(x)，即函数g(x)是奇函数，因此，函数g(x)在区间[－2,2]上的最大值与最小值的和为0，而f(x)＝g(x)＋1，则有M＝g(x)max＋1，N＝g(x)min＋1，于是得M＋N＝g(x)max＋1＋g(x)min＋1＝2，所以M＋N的值为2.(2)(2021·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________.答案1解析方法一(定义法)因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)对任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以a＝1.方法二(取特殊值检验法)因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－1)＝f (1)，所以－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－2＝2a －12，解得a ＝1，经检验，f (x )＝x 3(2x －2－x )为偶函数，所以a ＝1.方法三(转化法)由题意知f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )的定义域为R ，且是偶函数．设g (x )＝x 3，h (x )＝a ·2x －2－x ，因为g (x )＝x 3为奇函数，所以h (x )＝a ·2x －2－x 为奇函数，所以h (0)＝a ·20－2－0＝0，解得a ＝1，经检验，f (x )＝x 3(2x －2－x )为偶函数，所以a ＝1.教师备选1．已知函数f (x )＝9－x 2|6－x |－6，则函数f (x )() A ．既是奇函数也是偶函数B ．既不是奇函数也不是偶函数C ．是奇函数，但不是偶函数D ．是偶函数，但不是奇函数答案C解析由9－x 2≥0且|6－x |－6≠0，解得－3≤x ≤3且x ≠0，可得函数f (x )的定义域为{x |－3≤x ≤3且x ≠0}，关于原点对称，所以f (x )＝9－x 2|6－x |－6＝9－x 26－x －6＝9－x 2－x，又f (－x )＝9－(－x )2x ＝－9－x 2－x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，但不是偶函数．2．若函数f (x )＝⎩⎨⎧ g (x )，x <0，2x －3，x >0为奇函数，则f (g (－1))＝________. 答案－1解析∵f (x )为奇函数且f (－1)＝g (－1)，∴f (－1)＝－f (1)＝－(－1)＝1，∴g (－1)＝1，∴f (g (－1))＝f (1)＝－1.思维升华 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．跟踪训练1(1)(2021·全国乙卷)设函数f (x )＝1－x 1＋x ，则下列函数中为奇函数的是() A ．f (x －1)－1B ．f (x －1)＋1C ．f (x ＋1)－1D ．f (x ＋1)＋1答案B解析f(x)＝1－x1＋x＝2－(x＋1)1＋x＝21＋x－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f(x)的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y ＝f(x－1)＋1.(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0，f(x)＝2x－2x＋a，则a＝________；当x<0时，f(x)＝________.答案－1－2－x－2x＋1解析∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，即1＋a＝0，∴a＝－1.∴当x≥0时，f(x)＝2x－2x－1，设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝2－x－2(－x)－1＝2－x＋2x－1，又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝2－x＋2x－1，∴f(x)＝－2－x－2x＋1.题型二函数的周期性例3(1)(2022·重庆质检)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意的实数x ，f (x －2)＝f (x ＋2)，当x ∈(0,2)时，f (x )＝x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫132等于() A ．－94B ．－14C.14D.94答案A解析由f (x －2)＝f (x ＋2)，知y ＝f (x )的周期T ＝4，又f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8－32 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－94. (2)函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，且f (1)＝2，则f (2023)＝________.答案－2解析f (x )＝－f (x ＋2)，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )的周期为4，∴f (2023)＝f (3)＝－f (1)＝－2.教师备选若函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x >0，则f (2023)＝________.答案－1解析当x>0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，①∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，②①＋②得，f(x＋1)＝－f(x－2)，∴f(x)的周期为6，∴f(2023)＝f(337×6＋1)＝f(1)＝f(0)－f(－1)＝20－21＝－1.思维升华(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．跟踪训练2(1)(2022·安庆模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x<3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2023)等于() A．336B．338C．337D．339答案B解析因为f(x＋6)＝f(x)，所以函数的周期T＝6，于是f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－(－3＋2)2＝－1，f(4)＝f(－2)＝－(－2＋2)2＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1，而2023＝6×337＋1，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2023)＝337×1＋1＝338.(2)函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)为定义在R上的奇函数，则f(2021)＋f(2022)＝________.答案0解析∵f(x＋1)＝f(x－1)，∴f(x)的周期为2，∴f(2021)＋f(2022)＝f(1)＋f(0)，又f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，且f(－1)＝－f(1)，①又f(x)的周期为2，∴f(－1)＝f(1)，②由①②得f(1)＝0，∴f(2021)＋f(2022)＝0.题型三函数的对称性例4(1)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是________．(填序号)①f(x)的图象关于直线x＝2对称；②f(x)的图象关于点(2,0)对称；③f(x)的周期为4；④y＝f(x＋4)为偶函数．答案①③④解析∵f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称，故①正确，②错误；∵函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故③正确；∵T＝4且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故④正确．(2)函数f(x)＝lg|2x－1|图象的对称轴方程为________．答案x＝1 2解析内层函数t＝|2x－1|的对称轴是x＝12，所以函数f(x)＝lg|2x－1|图象的对称轴方程是x ＝12.教师备选已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx ＋1的图象关于点(0,1)对称，且f ′(1)＝4，则a －b ＝________. 答案－1解析因为f (x )关于点(0,1)对称，所以f (x )＋f (－x )＝2，故f (1)＋f (－1)＝2，即1－a ＋b ＋1＋(－1)－a －b ＋1＝2，解得a ＝0，所以f (x )＝x 3＋bx ＋1，又因为f ′(x )＝3x 2＋b ，所以f ′(1)＝3＋b ＝4，解得b ＝1，所以a －b ＝－1.思维升华 (1)求解与函数的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数的对称轴或对称中心．(2)解决函数对称性有关的问题，一般结合函数图象，利用对称性解决求值或参数问题．跟踪训练3(1)函数f (x )的周期为6，且f (x ＋2)为偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －1，则f (2025)＝________.答案1解析∵f (x )的周期为6，则f (2025)＝f (3)，又f (x ＋2)为偶函数，∴f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴f (3)＝f (1)＝1，∴f (2025)＝1.(2)关于函数f (x )＝sin x ＋1sin x 有如下四个命题，其中正确的是________．(填序号)①f (x )的图象关于y 轴对称；②f (x )的图象关于原点对称；③f (x )的图象关于直线x ＝π2对称；④f (x )的图象关于点(π，0)对称．答案②③④解析∵f (x )＝sin x ＋1sin x 的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，f (－x )＝sin(－x )＋1sin (－x )＝－sin x －1sin x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，图象关于原点对称，故①错误，②正确．∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos x ＋1cos x ， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝cos x ＋1cos x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ， ∴f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，故③正确．又f (x ＋2π)＝sin(x ＋2π)＋1sin (x ＋2π)＝sin x ＋1sin x ，f (－x )＝－sin x －1sin x ，∴f (x ＋2π)＝－f (－x )，∴f (x )的图象关于点(π，0)对称，故④正确．课时精练1．如果奇函数f (x )在[3,7]上单调递增且最小值为5，那么f (x )在区间[－7，－3]上()A ．单调递增且最小值为－5B ．单调递减且最小值为－5C ．单调递增且最大值为－5D ．单调递减且最大值为－5答案C解析因为奇函数f (x )在[3,7]上单调递增且最小值为5，而奇函数的图象关于原点对称，所以f (x )在区间[－7，－3]上单调递增且最大值为－5.2．若函数f (x )＝12x －1＋a 为奇函数，则a 的值为() A ．－2B ．－12C.12D ．2答案C解析方法一(定义法)∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴12－x －1＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋a ， ∴2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x －1＋12x －1＝1， ∴a ＝12.方法二(特值法)f (x )为奇函数，且x ≠0，∴f (－1)＝－f (1)，∴a －2＝－(a ＋1)，∴a ＝12.3．(2022·南昌模拟)函数f (x )＝9x ＋13x 的图象()A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝x 对称答案B解析f(x)＝32x＋13x＝3x＋3－x，f(－x)＝3－x＋3x，∴f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称．4．已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4，f(3)＝－2，则f(2021)等于()A．2B．0C．－2D．－4答案A解析依题意，函数f(x)的图象关于原点对称，则函数f(x)是奇函数，又f(x)的周期为4，且f(3)＝－2，则有f(2021)＝f(－3＋506×4)＝f(－3)＝－f(3)＝2，所以f(2021)＝2.5．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是()A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x答案D解析由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证，A项，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；B项，|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，为偶函数；C项，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；D项，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．6．(2022·南昌模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝x2＋ax＋b，则a＋b等于()A．0B．－1C．－2D．2答案C解析因为f(x)是定义在R上的奇函数，且x∈[0,2]时，f(x)＝x2＋ax＋b，所以f(0)＝b＝0，f(－x)＝－f(x)，又对任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝f(－x)，所以函数图象关于直线x＝1对称，所以－a2＝1，解得a＝－2，所以a＋b＝－2.7．(2022·湘豫名校联考)已知f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[a－1,2a]上的偶函数，则a＋b＝________.答案1 3解析因为f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[a－1,2a]上的偶函数，则有(a－1)＋2a＝3a－1＝0，则a＝13，同时f(－x)＝f(x)，即ax2＋bx＋1＝a(－x)2＋b(－x)＋1，则有bx ＝0，必有b ＝0.则a ＋b ＝13.8．已知函数f (x )满足对∀x ∈R ，有f (1－x )＝f (1＋x )，f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈(0,1)时，f (x )＝x 2＋mx ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝12，则m ＝______. 答案12解析由f (1－x )＝f (1＋x )，f (x ＋2)＝－f (x )，知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，f (x )的周期为4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12， ∴14＋12m ＝12，∴m ＝12.9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ －x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值； (2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．10．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式．(1)证明∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)解∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]，∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8.∵f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即当x ∈[2,4]时，f (x )＝x 2－6x ＋8.11．(2022·重庆模拟)已知函数f (x )＝ax 5＋bx 3＋2，若f (2)＝7，则f (－2)等于()A ．－7B ．－3C ．3D ．7答案B解析设g (x )＝f (x )－2＝ax 5＋bx 3，则g (－x )＝－ax 5－bx 3＝－g (x )，即f (x )－2＝－f (－x )＋2，故f (－2)＝－f (2)＋4＝－3.12．已知定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝2x ＋a ，则g (1)等于()A ．a ＋54B.54C.34D ．a ＋34答案C解析依题意⎩⎨⎧ f (1)＋g (1)＝2＋a ①f (－1)＋g (－1)＝12＋a ，②又f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，∴②式可化为f (1)－g (1)＝12＋a ，③由①③可得g (1)＝34. 13．已知f (x )为R 上的偶函数，且f (x ＋2)是奇函数，则下列结论正确的是________．(填序号)①f (x )的图象关于点(2,0)对称；②f (x )的图象关于直线x ＝2对称；③f (x )的周期为4；④f (x )的周期为8.答案①④解析∵f (x )为偶函数，∴f (x )的图象关于y 轴对称，f (－x )＝f (x )，又∵f (x ＋2)是奇函数，∴f (－x ＋2)＝－f (x ＋2)，∴f (x )的图象关于(2,0)对称，又∵f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )为周期函数且周期为8.14．已知函数f (x )对任意实数x 满足f (－x )＋f (x )＝2，若函数y ＝f (x )的图象与y ＝x ＋1有三个交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，则y 1＋y 2＋y 3＝________.答案3解析因为f (－x )＋f (x )＝2，则f (x )的图象关于点(0,1)对称，又直线y ＝x ＋1也关于点(0,1)对称，因为y ＝f (x )与y ＝x ＋1有三个交点，则(0,1)是一个交点，另两个交点关于(0,1)对称，则y 1＋y 2＋y 3＝2＋1＝3.15．已知函数f (x )＝4x 4x ＋2，则f (x )＋f (1－x )＝____________，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12023＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22023＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32023＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20222023＝________. 答案11011解析因为f (x )＝4x4x ＋2，所以f (x )＋f (1－x )＝4x 4x ＋2＋41－x41－x ＋2＝4x 4x ＋2＋44x 44x ＋2＝4x 4x ＋2＋44x 4＋2·4x 4x＝4x 4x ＋2＋44＋2·4x＝2·4x ＋44＋2·4x ＝1，设f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12023＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22023＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32023＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20222023＝m ，① 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20222023＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32023＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22023＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12023＝m ，② ①＋②得2022＝2m ，即m ＝1011，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12023＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22023＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32023＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20222023＝1011. 16．(2022·北京西城区模拟)设函数f (x )的定义域为R .若存在常数T ，A (T >0，A >0)，使得对于任意x ∈R ，f (x ＋T )＝Af (x )成立，则称函数f (x )具有性质P .(1)判断函数y ＝x 和y ＝cos x 是否具有性质P ？(结论不要求证明)(2)若函数f (x )具有性质P ，且其对应的T ＝π，A ＝2.已知当x ∈(0，π]时，f (x )＝sin x ，求函数f (x )在区间[－π，0]上的最大值．解(1)因为函数y ＝x 是增函数，所以函数y ＝x 不具有性质P ，当A ＝1，T ＝2π时，函数y ＝cos x 对于任意x ∈R ， f (x ＋T )＝Af (x )成立，所以y ＝cos x 具有性质P .(2)设x ∈(－π，0]，则x ＋π∈(0，π]，由题意得f (x ＋π)＝2f (x )＝sin(x ＋π)，所以f (x )＝－12sin x ，x ∈(－π，0]，由f (－π＋π)＝2f (－π)，f (0＋π)＝2f (0)，得f (－π)＝14f (π)＝0，所以当x ∈[－π，0]时，f (x )＝－12sin x ，所以当x ＝－π2时，f (x )在[－π，0]上有最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝12.。

2022版高考数学总复习文档-第六节-对数与对数函数-含答案

第六节对数与对数函数学习要求:1.理解对数的概念和运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过具体实例,了解对数函数的概念.能画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点.3.知道对数函数y=log a x与指数函数y=a x(a>0,且a≠1)互为反函数.1.对数的概念(1)对数的定义一般地,如果①a x=N(a>0,且a≠1) ,那么数x叫做以a为底N的对数,记作②x=log a N ,其中③a叫做对数的底数,④N叫做对数的真数.(2)几种常见的对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a>0且a≠1) ⑤ log a N常用对数底数为10 ⑥ lg N自然对数底数为e ⑦ ln N2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质(i)负数和0无对数.(ii)1的对数等于0,即log a1=0(a>0且a≠1).(iii)log a a=1(a>0且a≠1).▶提醒a log a N=⑧N ;log a a N=⑨N (a>0且a≠1). (2)换底公式及其推论换底公式:⑩ log b N =log a Nlog a b(a,b均大于0且不等于1).推论:log a b=1log b a ,lo g a m bn=nmlog a b(a>0且a≠1,b>0且b≠1,m,n∈R,且m≠0),log a b·log b c·log c d= log a d (a,b,c均大于0且不等于1,d大于0).(3)对数的运算法则如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么log a(MN)= log a M+log a N ,log a MN= log a M-log a N ,log a M n=n log a M (n∈R).3.对数函数的图象与性质a>1 0<a<1图象性质定义域:(0,+∞)值域:R图象恒过点(1,0),即x =1时,y =0当x >1时,y >0; 当0<x <1时,y <0 当x >1时,y <0; 当0<x <1时,y >0 是(0,+∞)上的增函数是(0,+∞)上的减函数▶提醒当对数函数的底数a 的大小不确定时,需分a >1和0<a <1两种情况进行讨论. 4.反函数指数函数y =a x (a >0,且a ≠1)与对数函数y =loga x (a >0,且a ≠1)互为反函数,它们的图象关于直线 y =x 对称.知识拓展1.在第一象限内,不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.2.对数函数y =log a x (a >0,且a ≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a ,1),(1a ,-1),函数图象只在第一、四象限.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)log a(MN)=log a M+log a N.()(2)函数y=log a x2与函数y=2log a x相等.()(3)对数函数y=log a x(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上是增函数.()(4)函数y=ln1+x1-x与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同.()答案(1)✕(2)✕(3)✕(4)√2.(新教材人教A版必修第一册P127T3改编)log29×log34+2log510+log50.25=()A.0B.2C.4D.6答案 D3.(新教材人教A版必修第一册P133例3改编)已知a=ln 3,b=log3e,c=logπe,则下列关系正确的是()A.c<b<aB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a答案 A4.(新教材人教A版必修第一册P159T1改编)图中曲线是对数函数y=log a x的图象,已知a取√3,43,35,110四个值,则对应于C1,C2,C3,C4的a值依次为()A.√3,43,35,110B.√3,43,110,35C.43,√3,35,110D.43,√3,110,35答案 A5.已知函数f(x)=log a(2x-a)在区间[23,34]上恒有f(x)>0,则实数a的取值范围是.答案(12,1)对数式的化简与求值1.(多选题)设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,则()A.ab+bc=2acB.ab+bc=acC.2c =2a+1bD.1c=2b−1a答案AD∵a,b,c都是正数, 故可设4a=6b=9c=M,∴a=log4M,b=log6M,c=log9M,则1a =log M4,1b=log M6,1c=log M9.∵log M4+log M9=2log M6,∴1a +1c=2b,即1c=2b−1a,去分母整理得,ab+bc=2ac.故选AD.2.计算:2log 23+2log 31-3log 77+3ln 1= . 答案 0解析原式=3+2×0-3×1+3×0=0. 3.计算:(lg 14-lg25)×10012= . 答案 -20解析原式=(lg 2-2-lg 52)×10012=lg (122×52)×10=lg 10-2×10=-2×10=-20.4.计算:(1-log 63)2+log 62·log 618log 64= .答案 1 解析原式 =1-2log 63+(log 63)2+log 663·log 6(6×3)log 64=1-2log 63+(log 63)2+1-(log 63)2log 64=2(1-log 63)2log 62=log 66-log 63log 62=log 62log 62=1.名师点评1.在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数,然后逆用对数的运算法则,化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b=N⇔b=log a N(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化.对数函数的图象及应用典例1(1)(2020安徽亳州二模)在同一个平面直角坐标系中,函数f(x)=1a x 与g(x)=lg ax的图象可能是()(2)(2020宁夏银川模拟)已知函数f(x)=|ln x|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则2a+b的取值范围是()A.(2√2,+∞)B.[2√2,+∞)C.(3,+∞)D.[3,+∞)答案(1)A(2)B解析(1)由题意a>0且a≠1,所以函数g(x)=lg ax单调递减,故排除B、D;对于A、C,由函数f(x)=1a x 的图象可知0<a<1,对于函数g(x)=lg ax,g(1)=lg a<0,故A正确,C错误.(2)f(x)=|ln x|的图象如下:因为0<a<b且f(a)=f(b),所以|ln a|=|ln b|且0<a<1,b>1,所以-ln a=ln b,即ab=1,易得2a+b≥2√2ab=2√2,当且仅当2a=b,即a=√22,b=√2时等号成立.故选B.名师点评1.在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.常把一些对数型方程、不等式问题转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.1.(2020广东惠州模拟)当a >1时,在同一坐标系中,函数g (x )=a -x 与f (x )=-log a x 的图象大致是( )答案 D 因为a >1,所以g (x )=a -x=(1a )x为R 上的减函数,且过(0,1);f (x )=-log a x 为(0,+∞)上的减函数,且过(1,0), 故只有D 选项符合.2.(2020陕西榆林三模)设x 1、x 2、x 3均为实数,且e -x 1=ln x 1,e -x 2=ln(x 2+1),e -x 3=lg x 3,则( ) A.x 1<x 2<x 3 B.x 1<x 3<x 2 C.x 2<x 3<x 1 D.x 2<x 1<x 3 答案 D 因为e -x 1=ln x1⇒(1e )x 1=ln x 1,e-x 2=ln(x 2+1)⇒(1e )x 2=ln(x 2+1),e-x 3=lg x3⇒(1e )x 3=lg x 3,所以作出函数y =(1e )x,y 1=ln x ,y 2=ln(x +1),y 3=lg x 的函数图象,如图所示:由图象可知函数y 2,y 1,y 3与y 的交点A ,B ,C 的横坐标依次为x 2,x 1,x 3,即有x 2<x 1<x 3.故选D .对数函数的性质及应用角度一比较对数值的大小典例2 (2020课标Ⅲ理,12,5分)已知55<84,134<85.设a =log 53,b =log 85,c =log 138,则( )A.a 45, ∴c >45. 又∵55<84,∴8×55<85,两边同取以8为底的对数得log 8(8×55)<log 885, 即log 85<45,∴b <45.综上所述,c >b >a ,故选A . 角度二解简单的对数不等式典例3 若log a (a 2+1)<log a 2a <0,则a 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(0,12)C.(12,1)D.(0,1)∪(1,+∞)答案 C 由题意得a >0且a ≠1,故必有a 2+1>2a ,又log a (a 2+1)<log a 2a <0,所以0<a <1,且2a >1,∴a >12.故a 的取值范围是(12,1).角度三与对数函数有关的复合函数问题典例4 已知函数f (x )=log a (ax 2-x ).(1)若a =12,求f (x )的单调区间; (2)若f (x )在区间[2,4]上是增函数,求实数a 的取值范围.解析 (1)当a =12时,f (x )=lo g 12(12x 2-x),由12x 2-x >0,得x 2-2x >0,解得x <0或x >2,所以函数f (x )的定义域为(-∞,0)∪(2,+∞),利用复合函数单调性可得函数f (x )的增区间为(-∞,0),减区间为(2,+∞).(2)令g (x )=ax 2-x ,则函数g (x )的图象开口向上,对称轴为x =12a 的抛物线,①当0<a<1时,要使函数f(x)在区间[2,4]上是增函数, 则g(x)=ax2-x在[2,4]上单调递减,且g(x)min=ax2-x>0,即{12a≥4,g(4)=116a-14>0,此不等式组无解.②当a>1时,要使函数f(x)在区间[2,4]上是增函数, 则g(x)=ax2-x在[2,4]上单调递增,且g(x)min=ax2-x>0,即{12a≤2,g(2)=4a-2>0,解得a>12,又a>1,∴a>1.综上实数a的取值范围为(1,+∞).名师点评(1)确定函数的定义域,研究或利用函数的性质,都要在其定义域上进行.(2)如果需将函数解析式变形,一定要保证其等价性,否则结论错误.(3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时,要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时,一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响,并且真数必须为正.1.(2020课标Ⅲ文,10,5分)设a=log32,b=log53,c=23,则()A.a <c <bB.a log5√253=23=c ,所以a <c <b.故选A .2.若a >b >0,0<c <1,则 ( ) A.log a c <log b c B.log c a <log c bC.a c c b答案 B ∵0<c <1,∴当a >b >1时,log a c >log b c ,故A 项错误;∵0<c <1,∴y =log c x 在(0,+∞)上单调递减,又a >b >0,∴log c a <log c b ,故B 项正确;∵0<c <1,∴y =x c 在(0,+∞)上单调递增,又∵a >b >0,∴a c >b c ,故C 项错误;∵0<c <1,∴y =c x 在(0,+∞)上单调递减,又∵a >b >0,∴c a <c b ,故D 项错误.故选B .3.若函数f (x )=log a (x 2+32x)(a >0,a ≠1)在区间(12,+∞)上恒有f (x )>0,则f (x )的单调递增区间为 .答案 (0,+∞)解析令M =x 2+32x ,当x ∈12,+∞时,M ∈(1,+∞),因为f (x )>0,所以a >1,所以函数y =log a M 为增函数,又M =(x +34)2−916,因此M 的单调递增区间为(-34,+∞).又x 2+32x >0,所以x >0或x <-32,所以函数f (x )的单调递增区间为(0,+∞).A组基础达标1.(2020课标Ⅰ文,8,5分)设a log34=2,则4-a= ()A.116B.19C.18D.16答案 B2.(多选题)设a=log0.20.3,b=log20.3,则()A.1a <1bB.ab<0C.a+b<0D.ab<a+b 答案BCD3.已知a=log2e,b=ln 2,c=lo g1213,则a,b,c的大小关系为()A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b答案 D4.(多选题)已知函数f(x)=lg(x2+ax-a-1),则下列论述中正确的是()A.当a=0时, f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞)B.当a=0时,f(x)一定有最小值C.当a=0时, f(x)的值域为RD.若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是[-4,+∞)答案AC对于A,当a=0时,解x2-1>0,有x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),故A正确;对于B,当a=0时,f(x)=lg(x2-1),x2-1∈(0,+∞),此时f(x)=lg(x2-1)的值域为R,故B错误,C正确;对于D,若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,此时y=x2+ax-a-1的图象的对称轴的方程为直线x=-a 2,则-a2≤2,解得a≥-4.但当a=-4时,f(x)=lg(x2-4x+3)在x=2处无意义,故D错误.故选AC.5.(2020陕西西安高三二模)函数y=log5(x2+2x-3)的单调递增区间是.答案(1,+∞)解析由题意可知x2+2x-3>0,解得x<-3或x>1,即函数y=log5(x2+2x-3)的定义域为(-∞,-3)∪(1,+∞).令g(x)=x2+2x-3,则函数g(x)在(-∞,-3)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,根据复合函数的单调性,可得函数y=log5(x2+2x-3)的单调递增区间为(1,+∞).6.函数f(x)=e x-e-x+ln1+x1-x+1,若f(a)+f(1+a)>2,则a的取值范围是.答案(-12,0)解析由题意得, f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称设g(x)=f(x)-1=e x-e-x+ln1+x1-x,则g(-x)=e-x-e x+ln1-x1+x,则g(-x)+g(x)=0,所以g(x)是(-1,1)上的奇函数,因为f(a)+f(1+a)>2,所以f(1+a)-1>-f(a)+1,所以f(1+a)-1>-[f(a)-1],即g(1+a)>-g(a)=g(-a),因为y=e x-e-x单调递增,y=ln1+x1-x单调递增,所以g(x)单调递增,则{-1<a<1,-1<1+a<1,1+a>-a,即−12<a<0.故a的取值范围是(-12,0).7.已知函数f(x)=ln(2x2+ax+3).(1)若f(x)是定义在R上的偶函数,求a的值及f(x)的值域;(2)若f(x)在区间[-3,1]上是减函数,求a的取值范围.解析(1)因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(x)=f(-x),所以ln(2x2+ax+3)=ln(2x2-ax+3),故a=0,所以f(x)=ln(2x2+3),定义域为R,符合题意.令t=2x2+3,则t≥3,所以ln t≥ln 3,故f(x)的值域为[ln 3,+∞).(2)设u(x)=2x2+ax+3,f(u)=ln u.因为f(x)在[-3,1]上是减函数,所以u(x)=2x2+ax+3在[-3,1]上是减函数,且u(x)>0在[-3,1]上恒成立,故{-a4≥1,u(x)min=u(1)=5+a>0,解得-5<a≤-4,即a的取值范围是(-5,-4].B组能力拔高8.(2020山西大同三模)在同一平面直角坐标系中,函数f(x)=2-ax,g(x)=log a(x+2)(a>0,且a≠1)的图象大致为()答案A由题意知,函数f(x)=2-ax(a>0,且a≠1)为减函数,当0<a<1时,函数f(x)=2-ax的零点为x=2a>2,且函数g(x)=log a(x+2)在(-2,+∞)上为减函数,故C,D均不正确;当a>1时,函数f(x)=2-ax的零点为x=2a <2,且x=2a>0,且g(x)=log a(x+2)在(-2,+∞)上是增函数,故B不正确,故选A.9.(多选题)(2020山东济南模拟)已知函数f(x)=lg(1|x-2|+1),则下列说法正确的是()A.f(x+2)是偶函数B.f(x+2)是奇函数C.f(x)在区间(-∞,2)上是减函数,在区间(2,+∞)上是增函数D.f(x)没有最小值答案AD因为f(x)=lg(1|x-2|+1),所以f (x +2)=lg (1|x |+1),定义域为{x |x ≠0},关于原点对称,又f (-x +2)=lg (1|-x |+1)=lg (1|x |+1)=f (x +2),所以f (x +2)为偶函数,故A 说法正确,B 说法错误; f (x )=lg (1|x -2|+1)={lg (1x -2+1),x >2,lg (12-x +1),x <2.因为当x ∈(2,+∞)时,y =1x -2为减函数,所以y =1x -2+1为减函数,所以y =lg (1x -2+1)在区间(2,+∞)上为减函数,故C 说法错误;因为当x ∈(2,+∞)时,y =lg (1x -2+1)为减函数,且当x →+∞时,y →0,所以f (x )没有最小值,故D 说法正确.10.(2020辽宁高三三模)设f (x )为定义在R 上的奇函数,当x ≥0时, f (x )=log 3(x +1)+ax 2-a +1(a 为常数),则不等式f (3x +4)>-5的解集为 ( )A.(-∞,-1)B.(-1,+∞)C.(-∞,-2)D.(-2,+∞)答案 D 因为f (x )是定义在R 上的奇函数,所以f (0)=0,解得a =1,所以当x ≥0时,f (x )=log 3(x +1)+x 2.因为函数y =log 3(x +1)和y =x 2在x ∈[0,+∞)上都是增函数,所以f (x )在[0,+∞)上单调递增.由奇函数的性质可知,y =f (x )在R 上单调递增,因为f (2)=5,f (-2)=-5,所以f (3x +4)>-5⇒f (3x +4)>f (-2),即3x+4>-2,解得x>-2.11.(2020课标Ⅰ理,12,5分)若2a+log2a=4b+2log4b,则()A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2答案B2a+log2a=22b+log2b<22b+log2(2b),令f(x)=2x+log2x,则f(a)<f(2b),又易知f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以a<2b,故选B.12.(2020河北邢台模拟)若当x∈(1,2]时,不等式(x-1)2≤log a x恒成立,则实数a的取值范围为.答案(1,2]解析因为当x∈(1,2]时,不等式(x-1)2≤log a x恒成立,所以{a>1,log a2≥1,解得1<a≤2,故实数a的取值范围是(1,2].13.已知函数f(x)=3-2log2x,g(x)=log2x.(1)当x∈[1,4]时,求函数h(x)=[f(x)+1]·g(x)的值域;(2)如果对任意的x∈[1,4],不等式f(x2)·f(√x)>k·g(x)恒成立,求实数k的取值范围.解析(1)易知h(x)=(4-2log2x)·log2x=-2(log2x-1)2+2.因为x∈[1,4],所以log2x∈[0,2],故函数h(x)的值域为[0,2].(2)由f (x 2)·f (√x )>k ·g (x )可得(3-4log 2x )(3-log 2x )>k ·log 2x.令t =log 2x ,因为x ∈[1,4],所以t =log 2x ∈[0,2],即(3-4t )(3-t )>k ·t 对任意t ∈[0,2]恒成立.当t =0时,k ∈R;当t ∈(0,2]时,k <(3-4t )(3-t )t 恒成立, 即k <4t +9t -15恒成立.因为4t +9t ≥12,当且仅当4t =9t ,即t =32时取等号,所以4t +9t -15的最小值为-3,即k <-3.综上,k 的取值范围是(-∞,-3).C 组思维拓展14.(2020吉林长春高三模拟)若函数f (x )={log 12(3-x )m ,x <1,x 2-6x +m ,x ≥1的值域为R,则m 的取值范围为( )A.(0,8]B.(0,92]C.[92,8] D.(-∞,-1]∪(0,92]答案B①若m>0,则当x<1时, f(x)=lo g12(3-x)m单调递增,当x≥1时, f(x)=x2-6x+m=(x-3)2+m-9在(3,+∞)上单调递增,在[1,3)上单调递减,若函数f(x)的值域为R,则需f(3)=m-9≤m lo g12(3-1)=-m,解得0<m≤92;②若m≤0,则当x<1时,f(x)=lo g12(3-x)m单调递减或为常数函数,当x≥1时,f(x)=x2-6x+m=(x-3)2+m-9在(3,+∞)上单调递增,在[1,3)上单调递减,不满足函数f(x)的值域为R,舍去.综上,m的取值范围为(0,92],故选B.15.(2020山西运城高三模拟)已知函数f(x)=ln2+x2-x,g(x)=m(x-√4-x)+2,若∀x1∈[0,4],∃x2∈[0,1],使得f(x2)<g(x1),则实数m的取值范围是()A.[14ln3-12,1-12ln3]B.(14ln3-12,1-12ln3)C.(-12,1)D.[-12,1]答案C∀x1∈[0,4],∃x2∈[0,1],使得f(x2)<g(x1)等价于f(x)min<g(x)min.函数f(x)=ln2+x2-x=ln(2+x)-ln(2-x),-2<x<2.因为y=ln(2+x)与y=-ln(2-x)在[0,1]上为增函数,所以函数f(x)在[0,1]上为增函数,所以f(x)min=f(0)=0.易知函数y=x-√4-x在[0,4]上为增函数,则-2≤x-√4-x≤4.故当m>0时,-2m+2≤g(x)≤4m+2,因为f(x)min<g(x)min,所以0<-2m+2,解得0<m<1;当m=0时,g(x)min=2>0,满足f(x)min<g(x)min;<m<0.当m<0时,4m+2≤g(x)≤-2m+2,因为f(x)min<g(x)min,所以0<4m+2,解得-12 <m<1.综上可知,-12。

2019版高考数学大一轮复习人教B版全国通用文档：第六

§6.1数列的概念与简单表示法1．数列的定义按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的分类3.数列的通项公式如果数列{a n}的第n项a n与n之间的关系可以用一个函数式a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．4．(选用)数列的递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．5．已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2).知识拓展1．若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.2．在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.若a n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1.3．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( × ) (2)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( × )(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( √ ) (4)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．( × )(5)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( × )(6)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N ＋，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( √ ) 题组二教材改编2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋(－1)na n －1(n ≥2)，则a 5等于( )A.32B.53 C.85 D.23答案 D解析 a 2＝1＋(－1)2a 1＝2，a 3＝1＋(－1)3a 2＝12，a 4＝1＋(－1)4a 3＝3，a 5＝1＋(－1)5a 4＝23.3．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝.答案 5n －4 题组三易错自纠4．已知a n ＝n 2＋λn ，且对于任意的n ∈N ＋，数列{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是．答案 (－3，＋∞)解析因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N ＋，都有a n ＋1>a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)>n 2＋λn ，整理，得2n ＋1＋λ>0，即λ>－(2n ＋1)．(*)因为n ≥1，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3. 5．数列{a n }中，a n ＝－n 2＋11n (n ∈N ＋)，则此数列最大项的值是．答案 30解析 a n ＝－n 2＋11n ＝－⎝⎛⎭⎫n －1122＋1214， ∵n ∈N ＋，∴当n ＝5或n ＝6时，a n 取最大值30. 6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2，n ∈N ＋解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2，n ∈N ＋.题型一由数列的前几项求数列的通项公式1．数列0，23，45，67，…的一个通项公式为( )A ．a n ＝n －1n ＋2(n ∈N ＋)B ．a n ＝n －12n ＋1(n ∈N ＋)C ．a n ＝2(n －1)2n －1(n ∈N ＋)D ．a n ＝2n2n ＋1(n ∈N ＋)答案 C解析注意到分子0,2,4,6都是偶数，对照选项排除即可． 2．数列－11×2，12×3，－13×4，14×5，…的一个通项公式a n ＝.答案 (－1)n 1n (n ＋1)解析这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n 1n (n ＋1).思维升华由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－1)k ＋1，k ∈N ＋处理．(3)如果是选择题，可采用代入验证的方法．题型二由a n 与S n 的关系求通项公式典例 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1(n ∈N ＋)，则其通项公式为．答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2，n ∈N ＋解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1] ＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2，n ∈N ＋.(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13(n ∈N ＋)，则{a n }的通项公式a n ＝.答案 (－2)n －1解析由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，两式相减，整理得a n ＝－2a n －1，又当n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，∴a 1＝1，∴{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，故a n ＝(－2)n－1.思维升华已知S n ，求a n 的步骤 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1. (2)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.(3)对n ＝1时的情况进行检验，若适合n ≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式．跟踪训练 (1)(2017·河南八校一联)在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S n ＝2a n ＋1，则数列的通项公式a n ＝. 答案－2n －1解析由题意得S n ＋1＝2a n ＋1＋1，S n ＝2a n ＋1，两式相减得S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n ，即a n ＋1＝2a n ，又S 1＝2a 1＋1＝a 1，因此a 1＝－1，所以数列{a n }是以a 1＝－1为首项、2为公比的等比数列，所以a n ＝－2n －1.(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋1，则数列的通项公式a n ＝.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋1－3n －1－1＝2·3n －1.显然当n ＝1时，不满足上式．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.题型三由数列的递推关系求通项公式典例根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式． (1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ； (2)a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ； (3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2. 解 (1)∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ， ∴a n －a n －1＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n －1＝ln nn －1(n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝lnn n －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 32＋ln 2＋2＝2＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫n n －1·n －1n －2·…·32·2＝2＋ln n (n ≥2)．又a 1＝2适合上式，故a n ＝2＋ln n (n ∈N ＋)． (2)∵a n ＋1＝2n a n ，∴a n a n －1＝2n －1 (n ≥2)，∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝2n (n －1)2.又a 1＝1适合上式，故a n ＝2n (n －1)2(n ∈N ＋)．(3)∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，又a 1＝1，∴a 1＋1＝2，故数列{a n ＋1}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＋1＝2·3n －1，故a n ＝2·3n －1－1(n ∈N ＋)．引申探究在本例(2)中，若a n ＝n －1n ·a n －1(n ≥2，且n ∈N ＋)，其他条件不变，则a n ＝.答案 1n解析 ∵a n ＝n －1n a n －1 (n ≥2)，∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1.以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .当n ＝1时也满足此等式，∴a n ＝1n.思维升华已知数列的递推关系求通项公式的典型方法 (1)当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列． (2)当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列． (3)当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解． (4)当出现a na n －1＝f (n )时，用累乘法求解．跟踪训练 (1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＋2a n ＝3a n ＋1(n ∈N ＋)，则数列{a n }的通项公式a n ＝.答案 3×2n －1－2解析由a n ＋2＋2a n －3a n ＋1＝0，得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，∴数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1－a n ＝3×2n －1，∴当n ≥2时，a n －a n －1＝3×2n －2，…，a 3－a 2＝3×2，a 2－a 1＝3，将以上各式累加，得a n －a 1＝3×2n －2＋…＋3×2＋3＝3(2n －1－1)，∴a n ＝3×2n －1－2(当n ＝1时，也满足)．(2)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，则通项公式a n ＝.答案 4－1n解析原递推公式可化为a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，则a 2＝a 1＋11－12，a 3＝a 2＋12－13，a 4＝a 3＋13－14，…，a n －1＝a n －2＋1n －2－1n －1，a n ＝a n －1＋1n －1－1n ，逐项相加得a n ＝a 1＋1－1n ，故a n ＝4－1n.题型四数列的性质命题点1 数列的单调性典例已知a n ＝n －1n ＋1，那么数列{a n }是( )A ．递减数列B ．递增数列C ．常数列D ．摆动数列答案 B解析 a n ＝1－2n ＋1，将a n 看作关于n 的函数，n ∈N ＋，易知{a n }是递增数列．命题点2 数列的周期性典例数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝.答案 12解析 ∵a n ＋1＝11－a n，∴a n ＋1＝11－a n＝11－11－a n －1＝1－a n －11－a n －1－1＝1－a n －1－a n －1＝1－1a n －1 ＝1－111－a n －2＝1－(1－a n －2)＝a n －2，n ≥3， ∴周期T ＝(n ＋1)－(n －2)＝3. ∴a 8＝a 3×2＋2＝a 2＝2. 而a 2＝11－a 1，∴a 1＝12.命题点3 数列的最值典例数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大项是( )A ．310B ．19 C.119 D.1060答案 C解析令f (x )＝x ＋90x (x >0)，运用均值不等式得f (x )≥290，当且仅当x ＝310时等号成立．因为a n ＝1n ＋90n ，所以1n ＋90n ≤1290，由于n ∈N ＋，不难发现当n ＝9或n ＝10时，a n ＝119最大．思维升华 (1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列． ②用作商比较法，根据a n ＋1a n (a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断．③结合相应函数的图象直观判断． (2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． (3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．跟踪训练 (1)数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n，0≤a n≤12，2a n－1，12＜a n＜1，a 1＝35，则数列的第2 018项为．答案 15解析由已知可得，a 2＝2×35－1＝15，a 3＝2×15＝25，a 4＝2×25＝45，a 5＝2×45－1＝35，∴{a n }为周期数列且T ＝4， ∴a 2 018＝a 504×4＋2＝a 2＝15.(2)(2017·安徽名校联考)已知数列{a n }的首项为2，且数列{a n }满足a n ＋1＝a n －1a n ＋1，数列{a n }的前n 项的和为S n ，则S 2 016等于( ) A ．504 B ．588 C ．－588 D ．－504答案 C解析 ∵a 1＝2，a n ＋1＝a n －1a n ＋1，∴a 2＝13，a 3＝－12，a 4＝－3，a 5＝2，…，∴数列{a n }的周期为4，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝－76，∵2 016÷4＝504，∴S 2 016＝504×⎝⎛⎭⎫－76＝－588，故选C.解决数列问题的函数思想典例 (1)数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫1011n ，则此数列的最大项是第项． (2)若a n ＝n 2＋kn ＋4且对于n ∈N ＋，都有a n ＋1>a n 成立，则实数k 的取值范围是．思想方法指导 (1)可以将数列看成定义域为正整数集上的函数；(2)数列的最值可以根据单调性进行分析．解析 (1)∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ＝⎝⎛⎭⎫1011n ×9－n11，当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ，∴该数列中有最大项，且最大项为第9,10项． (2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列，又∵通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4， ∴(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋4>n 2＋kn ＋4，即k >－1－2n ，又n ∈N ＋，∴k >－3. 答案 (1)9或10 (2)(－3，＋∞)1．(2017·长沙一模)已知数列的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项不可能是( ) A ．a n ＝(－1)n －1＋1B ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，0，n 为偶数C ．a n ＝2sinn π2D ．a n ＝cos(n －1)π＋1 答案 C解析对n ＝1,2,3,4进行验证，知a n ＝2sinn π2不合题意，故选C. 2．(2018·葫芦岛质检)数列23，－45，67，－89，…的第10项是( )A ．－1617B ．－1819C ．－2021D ．－2223答案 C解析所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子．很容易归纳出数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n ＋1·2n 2n ＋1，故a 10＝－2021.3．(2017·黄冈质检)已知在正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ≥2)，则a 6等于( ) A ．16 B ．4 C ．2 2 D ．45答案 B解析由题意得a 2n ＋1－a 2n ＝a 2n －a 2n －1＝…＝a 22－a 21＝3，故{a 2n }是以3为公差的等差数列，即a 2n ＝3n －2.所以a 26＝3×6－2＝16.又a n >0，所以a 6＝4.故选B.4．若数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝3，a n ＝a n －1a n －2(n ≥3且n ∈N ＋)，则a 2 018等于( )A ．3B ．2C.12D.23答案 A 解析由已知a 3＝a 2a 1＝32，a 4＝a 3a 2＝12， a 5＝a 4a 3＝13，a 6＝a 5a 4＝23， a 7＝a 6a 5＝2，a 8＝a 7a 6＝3， ∴数列{a n }具有周期性，且T ＝6，∴a 2 018＝a 336×6＋2＝a 2＝3.5．(2018·长春月考)设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A.163B.133 C ．4D ．0 答案 D解析 ∵a n ＝－3⎝⎛⎭⎫n －522＋34，由二次函数性质，得当n ＝2或3时，a n 最大，最大为0. 6．(2017·江西六校联考)已知数列{a n }满足a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧(5－a )n －11，n ≤5，a n －4，n >5，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,5)B.⎝⎛⎭⎫73，5C.⎣⎡⎭⎫73，5D ．(2,5) 答案 D解析 ∵a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧(5－a )n －11，n ≤5，a n －4，n >5，且{a n }是递增数列， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5－a >0，a >1，5(5－a )－11<a 2，解得2<a <5，故选D.7．若数列{a n }满足关系a n ＋1＝1＋1a n ，a 8＝3421，则a 5＝. 答案 85解析借助递推关系，由a 8递推依次得到a 7＝2113，a 6＝138，a 5＝85. 8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N ＋)，则a n ＝.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2 解析当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2. 9．(2018·大庆模拟)已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋2)·⎝⎛⎭⎫67n ，则数列{a n }的项取最大值时，n ＝.答案 4或5解析假设第n 项为最大项，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，即⎩⎨⎧ (n ＋2)·⎝⎛⎭⎫67n ≥(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫67n －1，(n ＋2)·⎝⎛⎭⎫67n ≥(n ＋3)·⎝⎛⎭⎫67n ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤5，n ≥4，即4≤n ≤5，又n ∈N ＋，所以n ＝4或n ＝5，故数列{a n }中a 4与a 5均为最大项，且a 4＝a 5＝6574. 10．(2017·太原模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝na n a n ＋1(n ∈N ＋)，则a n ＝. 答案 2n 2－n ＋2 解析由a n －a n ＋1＝na n a n ＋1，得1a n ＋1－1a n ＝n ，则由累加法得1a n －1a 1＝1＋2＋…＋(n －1)＝n 2－n 2，又因为a 1＝1，所以1a n ＝n 2－n 2＋1＝n 2－n ＋22，所以a n ＝2n 2－n ＋2(n ∈N ＋)． 11．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N ＋)． (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N ＋)可得a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1， S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2，同理，a 3＝3，a 4＝4.(2)S n ＝a n 2＋12a 2n ，① 当n ≥2时，S n －1＝a n －12＋12a 2n －1，② ①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0.由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1，又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }为首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n .12．(2018届南京调研)已知数列{a n }的各项均为正数，记数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a 2n }的前n 项和为T n ，且3T n ＝S 2n ＋2S n ，n ∈N ＋.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)由3T 1＝S 21＋2S 1，得3a 21＝a 21＋2a 1，即a 21－a 1＝0.因为a 1>0，所以a 1＝1.(2)因为3T n ＝S 2n ＋2S n ，①所以3T n ＋1＝S 2n ＋1＋2S n ＋1，②②－①，得3a 2n ＋1＝S 2n ＋1－S 2n ＋2a n ＋1.因为a n ＋1>0，所以3a n ＋1＝S n ＋1＋S n ＋2，③所以3a n ＋2＝S n ＋2＋S n ＋1＋2，④④－③，得3a n ＋2－3a n ＋1＝a n ＋2＋a n ＋1，即a n ＋2＝2a n ＋1，所以当n ≥2时，a n ＋1a n＝2. 又由3T 2＝S 22＋2S 2，得3(1＋a 22)＝(1＋a 2)2＋2(1＋a 2)，即a 22－2a 2＝0.因为a 2>0，所以a 2＝2，所以a 2a 1＝2，所以对n ∈N ＋，都有a n ＋1a n＝2成立，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N ＋.13．(2017·江西师大附中、鹰潭一中联考)定义：在数列{a n }中，若满足a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n＝d (n ∈N ＋，d 为常数)，称{a n }为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{a n }中，a 1＝a 2＝1，a 3＝3，则a 2 015a 2 013等于( ) A ．4×2 0152－1B ．4×2 0142－1C ．4×2 0132－1D ．4×2 0132答案 C解析由题意知⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是首项为1，公差为2的等差数列，则a n ＋1a n ＝2n －1，所以a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×…×a 2a 1×a 1＝(2n －3)×(2n －5)×…×1. 所以a 2 015a 2 013＝(2×2 015－3)(2×2 015－5)×…×1(2×2 013－3)(2×2 013－5)×…×1＝4 027×4 025＝(4 026＋1)(4 026－1)＝4 0262－1＝4×2 0132－1.14．若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n (n ＋4)⎝⎛⎭⎫23n 中的最大项是第k 项，则k ＝. 答案 4解析设数列为{a n }，则a n ＋1－a n ＝(n ＋1)(n ＋5)·⎝⎛⎭⎫23n ＋1－n (n ＋4)·⎝⎛⎭⎫23n ＝⎝⎛⎭⎫23n ⎣⎡⎦⎤23(n 2＋6n ＋5)－n 2－4n ＝2n3n ＋1(10－n 2)．所以当n ≤3时，a n ＋1>a n ；当n ≥4时，a n ＋1<a n .因此，a 1<a 2<a 3<a 4，a 4>a 5>a 6>…，故a 4最大，所以k ＝4.15．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，若a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2，则a n 等于( ) A.15n 2－25n ＋65B ．n 3－5n 2＋9n －4C ．n 2－2n ＋2D ．2n 2－5n ＋4 答案 C解析由题意得(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝2，因此数列{a n ＋1－a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，a n ＋1－a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋3＋…＋(2n －3)＝1＋(1＋2n －3)(n －1)2＝(n －1)2＋1＝n 2－2n ＋2，又a 1＝1＝12－2×1＋2，因此a n ＝n 2－2n ＋2(n ∈N ＋)，故选C.16．(2017·太原五中模拟)设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，则它的通项公式a n ＝.答案 1n(n ∈N ＋) 解析因为数列{a n }是首项为1的正项数列，所以a n ·a n ＋1≠0，所以(n ＋1)a n ＋1a n －na n a n ＋1＋1＝0. 令a n ＋1a n＝t (t >0)，则(n ＋1)t 2＋t －n ＝0，分解因式，得[(n ＋1)t －n ](t ＋1)＝0，所以t ＝n n ＋1或t ＝－1(舍去)，即a n ＋1a n ＝n n ＋1. 方法一 (累乘法)因为a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a n a n －1＝12·23·34·45·…·n －1n，所以a n ＝1n(n ∈N ＋)．方法二 (迭代法)因为a n ＋1＝n n ＋1a n，所以a n ＝n －1n a n －1＝n －1n ·n －2n －1·a n －2＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·a n －3＝...＝n －1n .n －2n －1.n －3n －2.. (12)a 1，所以a n ＝1n(n ∈N ＋)．方法三 (特殊数列法)因为a n ＋1a n ＝n n ＋1，所以(n ＋1)a n ＋1na n＝1.所以数列{na n }是以a 1为首项，1为公比的等比数列．所以na n ＝1×1n －1＝1. 所以a n ＝1n (n ∈N ＋)．。

高考数学(理)人教A版一轮复习课件：第六章数列 6-1

D.an=
2,��为奇数, 0,��为偶数
关闭
若 an=2sin 2 ,则 a1=2sin2=2,a2=2sin π=0,a3=2sin 2 =-2,a4=2sin 2π=0.
B
解析答案
关闭
��π
π
3π
-10知识梳理双基自测
1 2 3 4
3.(2016石家庄二模)已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2an4(n∈N*),则an=( ) A.2n+1 B.2n C.2n-1 D.2n-2
(4)数列的各项,有的是分数,有的是整数,可将数列的各项都
1 4 9 16 25 统一成分数再观察,即2 , 2 , 2 , 2 , 2 ,…,从而可得数列的一个通项 ��2 公式 an= 2 . 5 5 5 (5)将原数列改写为9×9,9×99,9×999,…,易知数列 9,99,999,… 5 的通项公式为 10n-1,故所求的数列的一个通项公式 an= (10n-1). 9
> <
an an
an+1=an
其中 n∈N*
从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项
-4知识梳理双基自测
1 2 3 4 5 6
3.数列的表示方法
列表法图象法通项公公式式法递推公式列表格表示 n 与 an 的对应关系把点(n,an)画在平面直角坐标系中如果数列{an}的第 n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式已知数列{an}的第一项(或前几项)且任一项 an 与它的前一项 an-1(n≥2)(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,这个公式叫做数列的递推公式

高考文科数学总复习专项演练：第六章数列 6-1高考数学考点难点

6-1A 组专项基础训练(时间：45分钟)1．数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式是a n 等于( )A.（－1）n ＋12 B ．cos n π2C ．cos n ＋12πD ．cos n ＋22π【解析】令n ＝1，2，3，…逐一验证四个选项，易得D 正确．【答案】 D2．(·福建南安一中上学期期末)已知数列{a n }中，a 1＝1，若a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)，则a 5的值是() A ．7 B ．5C ．30D ．31【解析】由题意得a 2＝2a 1＋1＝3，a 3＝2×3＋1＝7，a 4＝2×7＋1＝15，a 5＝2×15＋1＝31.【答案】 D3．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10等于( )A ．15B ．12C ．－12D ．－15【解析】由题意知，a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10－…＋(－1)10×(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－1)9×(3×9－2)＋(－1)10×(3×10－2)]＝3×5＝15.【答案】 A4．若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n n ＋1，则1a 5等于( )A.56B.65C.130 D ．30【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n n ＋1－n －1n ＝1n （n ＋1），所以1a 5＝5×6＝30.【答案】 D5．(·嘉兴模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1a n ＝2n (n ∈N *)，则a 10等于( )A ．64B ．32C ．16D ．8【解析】因为a n ＋1a n ＝2n ，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n＝2. 又a 1a 2＝2，a 1＝1，所以a 2＝2，则a 10a 8·a 8a 6·a 6a 4·a 4a 2＝24，即a 10＝25＝32. 【答案】 B6．若数列{a n }满足关系：a n ＋1＝1＋1a n ，a 8＝3421，则a 5＝________．【解析】借助递推关系，则a 8递推依次得到a 7＝2113，a 6＝138，a 5＝85. 【答案】 857．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝________．【解析】由题意知：a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2，∴a n ＝⎝⎛⎭⎫n n －12(n ≥2)，∴a 3＋a 5＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫542＝6116. 【答案】 6116 8．已知{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________．【解析】因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)>n 2＋λn ，整理，得2n ＋1＋λ>0，即λ>－(2n ＋1)．(*)因为n ≥1，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3.【答案】 (－3，＋∞)9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1－2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ＋a n ＋1，求数列{b n }的通项公式．【解析】 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝22－2＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2－(2n －2)＝2n ＋1－2n ＝2n ；因为a 1也适合此等式，所以a n ＝2n (n ∈N *)．(2)因为b n ＝a n ＋a n ＋1，且a n ＝2n ，a n ＋1＝2n ＋1，所以b n ＝2n ＋2n ＋1＝3·2n .B 组专项能力提升(时间：30分钟)11．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6等于() A ．3×44 B ．3×44＋1C ．45D ．45＋1【解析】当n ≥1时，a n ＋1＝3S n ，则a n ＋2＝3S n ＋1，∴a n ＋2－a n ＋1＝3S n ＋1－3S n ＝3a n ＋1，即a n ＋2＝4a n ＋1，∴该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列．又a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1（n ＝1），3×4n －2（n ≥2）.∴当n ＝6时，a 6＝3×46－2＝3×44.【答案】 A12．对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |(n ＝1，2，…)”是“{a n }为递增数列”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】当a n ＋1>|a n |(n ＝1，2，…)时，∵|a n |≥a n ，∴a n ＋1>a n ，∴{a n }为递增数列．当{a n }为递增数列时，若该数列为－2，0，1，则a 2>|a 1|不成立，即知：a n ＋1>|a n |(n ＝1，2，…)不一定成立．综上知，“a n ＋1>|a n |(n ＝1，2，…)”是“{a n }为递增数列”的充分不必要条件．【答案】 B13．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2n 2＋1，则0.98是它的第________项．【解析】 n 2n 2＋1＝0.98＝4950，∴n ＝7. 【答案】 714．已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式；(2)判断数列{c n }的增减性．【解析】 (1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)．∴b n ＝⎩⎨⎧23（n ＝1），1n （n ≥2）. (2)∵c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1， ∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1 ＝12n ＋3－12n ＋2＝－1（2n ＋3）（2n ＋2）<0， ∴c n ＋1<c n .∴数列{c n }为递减数列．15．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a (a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N ＋.(1)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式；(2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N ＋，求a 的取值范围．【解析】 (1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ，即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )．即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝S 1－3＝a －3，因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n ＝(a －3)2n －1，n ∈N ＋.(2)由(1)知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N ＋，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2 ＝2×3n －1＋(a －3)2n －2，a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2＝2n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎫32n －2＋a －3，当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇒12⎝⎛⎭⎫32n －2＋a －3≥0⇒a ≥－9. 又a 2＝a 1＋3>a 1.综上，所求的a 的取值范围是－9，3)∪(3，＋∞)．。

2025届高考数学一轮总复习第六章数列第四节数列求和

4×3
41 + 2 ×
= 32,
1 = 5,
S4=32,T3=16,得
解得
所以
= 2.
(1 -6) + 2(1 + ) + (1 + 2-6) = 16,
an=a1+(n-1)d=2n+3.
(2)证明由(1)可得
[5+(2+3)]
Sn=
=n2+4n.
2
当 n 为奇数时,Tn=a1-6+2a2+a3-6+2a4+a5-6+2a6+…+an-2-6+2an-1+an-6
×…× ×a2= × ×…× ×1=n-1.
-2
2
1
-2 -3
显然 a1=0 满足,∴an=n-1(n∈N*).
(2)由(1)可知 an=n-1(n∈N*),
+1
1
1 1
1 2
1 3
1
∴an+1=n,∴ =n· ,∴Tn=1×
+2×
+3×
+…+n· ,
2
2
2
2
2
2
1
1 2
1 3
1
2
2
+(
1
2
2
−
1
2 )+…+
3
1
1
1
2 - 2 =1-81
8 9
=
80
.
81
=
1
2
−
1
(+1)
2,
增素能精准突破

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第6模块第1节
[知能演练]
一、选择题
1．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是
( )
A ．b －a >0
B ．a 3＋b 3<0
C ．b ＋a >0
D ．a 2－b 2<0
解析：a －|b |>0⇒a >|b |，⎩⎨⎧
－a 0
⇒a ＋b >0.故选C.
答案：C
2．已知x >y >z ，且x ＋y ＋z ＝0，下列不等式中成立的是
( )
A ．xy >yz
B ．xz >yz
C ．xy >xz
D ．x |y |>z |y |
解析：由已知3x >x ＋y ＋z ＝0,3z <x ＋y ＋z ＝0. ∴x >0，z <0. 由⎩⎨
⎧
x >0y >z
得：xy >xz .
答案：C
3．已知a ，b 为非零实数，且a 0，于是a <b 两边同除以a 2b 2
得1ab 2<1a 2b
.
解法二：排除法：若a ＝－2，b ＝1，排除A ；若a <0，b <0，排除B ；
若a ＝－2，b ＝1，则b a ＝－12，a
b ＝－2，
排除D. 答案：C
4．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则
() A．甲先到教室B．乙先到教室
C．两人同时到教室D．谁先到教室不确定
解析：设甲用时间T，乙用时间2t，步行速度为a，跑步速度为b，距离为s，则T＝s
2
a
＋s
2 b ＝
s
2a
＋
s
2b
＝s×
a＋b
2ab
，
ta＋tb＝s⇒2t＝
2s
a＋b
，
∴T－2t＝
s(a＋b)
2ab
－
2s
a＋b
＝s×
(a＋b)2－4ab
2ab(a＋b)
＝
s(a－b)2
2ab(a＋b)
>0，
故T>2t.
答案：B
二、填空题
5．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________．
解析：∵－4<β<2，∴0≤|β|<4.
∴－4<－|β|≤0.∴－3<α－|β|<3.
答案：(－3,3)
6．若x>y，a>b，则在①a－x>b－y，②a＋x>b＋y，③ax>by，④x－b>y－a，⑤
a
y
b
x
这
五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是______________．解析：令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2，
符合题设条件x>y，a>b，
∵a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5，
∴a－x＝b－y，因此①不成立．
又∵ax＝－6，by＝－6，∴ax＝by，因此③也不正确．
又∵a
y
＝
3
－3
1，
b
x
＝
2
－2
＝－1，∴
a
y
＝
b
x
⑤不正确．
由不等式的性质可推出②④成立．答案：②④
三、解答题
7．已知m ∈R ，a >b >1，f (x )＝mx
x －1
，试比较f (a )与f (b )的大小．
解：f (x )＝mx x －1＝m (1＋1x －1)，所以f (a )＝m (1＋1a －1)，f (b )＝m (1＋1
b －1)．
由a >b >1，知a －1>b －1>0，所以1＋1a －1<1＋1
b －1.
①当m >0时，m (1＋1a －1)<m (1＋1
b －1，即f (a )<f (b )；
②当m ＝0时，m (1＋1a －1)＝m (1＋1
b －1)，即f (a )＝f (b )；
③当m <0时，m (1＋1a －1)>m (1＋1
b －1，即f (a )>f (b )．
8．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c . (1)求c
a
的取值范围；
(2)设该函数图象交x 轴于A 、B 两点，求|AB |的取值范围．解：(1)f (1)＝0⇒a ＋b ＋c ＝0.
∵a >b >c ，∴a >－(a ＋c )>c 且a >0，c <0，解得－2<c a <－12
.
(2)设A (x 1,0)，B (x 2,0)，
则|AB |＝|x 1－x 2|＝b 2－4ac a ＝(a ＋c )2－4ac a ＝(a －c )2a ＝a －c a ＝1－c a .
由(1)知，－2<c a <－1
2，
∴32<1－c
a
<3，即|AB |的取值范围是(3
2
，3)．
[高考·模拟·预测]
1．使不等式a >b 成立的充要条件是
( )
A ．a 2
>b 2
B.1a <1b C ．lg a >lg b
D.12a <12
b 解析：取a ＝1，b ＝－2，可验证A 、B 、C 均不正确，故选D. 答案：D
2．已知0<x <y <a <1，m ＝log a x ＋log a y ，则有
( )
A ．m <0
B ．0<m <1
C ．1<m <2
D ．m >2
解析：由0<x <y <a ，得0<xy <a 2，又0<a <1，故m ＝log a x ＋log a y ＝log a (xy )>log a a 2＝2，故选D.
答案：D
3．给出下列四个命题： ①若a －1，则a 1＋a ≥b
1＋b
；
③若正整数m 和n 满足：m <n ，则m (n －m )≤n
2；
④若x >0，且x ≠1，则ln x ＋
1
ln x
≥2. 其中真命题的序号是________．(请把真命题的序号都填上) 解析：对于①，a ＝－2b 2
，故①错．对于④，ln x 不一定为正数，故0<x <1时，ln x ＋1
ln x
－2. x >1时，ln x ＋1
ln x
≥2，故④错．答案：②③
4．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )． (1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1
2
，比较f (x )与m 的大小．
解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )，当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即为a (x ＋1)(x －2)>0.
当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}． (2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， ∵a >0，且0<x <m <n <1a ，
∴x －m <0,1－an ＋ax >0. ∴f (x )－m <0，即f (x )<m .
[备选精题]
5．2008年北京成功举办了第29届奥运会，中国取得了51金、21银、28铜的骄人成
绩．下表为北京奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷赛前准备用12000元预订15张下表中球类比赛的门票：
门票，其中足球比赛门票数与乒乓球比赛门票数相同，且足球比赛门票的费用不超过男篮比赛门票的费用，求可以预订的男篮比赛门票数．
解：设足球比赛门票数与乒乓球比赛门票数都预订n (n ∈N *
)张，则男篮比赛门票预订(15－2n )张，
得⎩
⎪⎨
⎪⎧
800n ＋500n ＋1000(15－2n )≤12000800n ≤1000(15－2n )，
解得427n ≤5514
.
由n ∈N *
，可得n ＝5，∴15－2n ＝5. ∴可以预订男篮比赛门票5张．。