第十五章电路方程的矩阵形式
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电路方程的矩阵形式
2 割集的方向
移去一个割集的所有 支路时，连通图分为 两部分，从其中一部 分指向另一部分的方 向
3 独立割集---能够列出一组独立的KCL方程的割集 n个节点b条支路的连通图,独立节点数n-1=独立割集数 4 基本割集---以树的概念确定的单树支割集
往往以基本割集互感时不是对角阵（主对 角线仍为各支路导纳，非主对角线不都为0） ，
5 节点导纳矩阵Yn=AYAT 电路中无互感时为n-1阶方 阵，
主对角线为回路自导纳，非主对角线为回路间互导纳；
电路中有互感时仍为n-1阶方 阵，主对角线的自导纳和非主对角线为节点间互导纳 都有可能含有互感。
§5 割集电压方程的矩阵形式
对于复杂的电路宜用树的概念列写状态方程
对常态网络（不含纯电容回路和纯电感割集 的网络），借用特有树（常态树），分别列 出电容树支对应的基本割集的KCL方程和电 感连支的基本回路的KVL方程。P360
常态树：树支不包含电流源和电感元件的树
5 割集导纳矩阵Yt=QfYQfT 为n-1阶方阵， 割集电压方程的矩阵形式（15-17式）中变量是割集电压， 称为割集电压法，节点电压法是割集电压法的特殊情况。
比较回路电流方程的矩阵形式（15-16式）和 割集电压方程的矩阵形式（15-17式）
·对某些图有Qf=A；
·当选择的独立割集都由汇集在一个节点上的
支路组成时，割集电压法即节点电压法。
§6 网络的状态变量分析法
一、输入输出法与状态变量法
动态网络的时域分析法与运算电路法都 是输入输出法建立输入输出的关系
状态变量法借助一组称为状态变量的辅 助变量，建立关于状态变量与输入变量 的一阶微分方程组，称为状态方程。建 立输出与状态变量和输入的关系称为输 出方程。
移去一个割集的所有 支路时，连通图分为 两部分，从其中一部 分指向另一部分的方 向
3 独立割集---能够列出一组独立的KCL方程的割集 n个节点b条支路的连通图,独立节点数n-1=独立割集数 4 基本割集---以树的概念确定的单树支割集
往往以基本割集互感时不是对角阵（主对 角线仍为各支路导纳，非主对角线不都为0） ，
5 节点导纳矩阵Yn=AYAT 电路中无互感时为n-1阶方 阵，
主对角线为回路自导纳，非主对角线为回路间互导纳；
电路中有互感时仍为n-1阶方 阵，主对角线的自导纳和非主对角线为节点间互导纳 都有可能含有互感。
§5 割集电压方程的矩阵形式
对于复杂的电路宜用树的概念列写状态方程
对常态网络（不含纯电容回路和纯电感割集 的网络），借用特有树（常态树），分别列 出电容树支对应的基本割集的KCL方程和电 感连支的基本回路的KVL方程。P360
常态树：树支不包含电流源和电感元件的树
5 割集导纳矩阵Yt=QfYQfT 为n-1阶方阵， 割集电压方程的矩阵形式（15-17式）中变量是割集电压， 称为割集电压法，节点电压法是割集电压法的特殊情况。
比较回路电流方程的矩阵形式（15-16式）和 割集电压方程的矩阵形式（15-17式）
·对某些图有Qf=A；
·当选择的独立割集都由汇集在一个节点上的
支路组成时，割集电压法即节点电压法。
§6 网络的状态变量分析法
一、输入输出法与状态变量法
动态网络的时域分析法与运算电路法都 是输入输出法建立输入输出的关系
状态变量法借助一组称为状态变量的辅 助变量，建立关于状态变量与输入变量 的一阶微分方程组，称为状态方程。建 立输出与状态变量和输入的关系称为输 出方程。
s第15章 电路方程的矩阵形式
1、小规模电路 人工观察法 回路电流法 结点电压法 2、大规模电路 利用计算机作为辅助手段 电路方程的矩阵形式
二、割集
1、定义 连通图G的一个割集是G的一个支路集合，把这些支 路移去将使G分离为两个部分，但是如果少移去一条支路， 图仍将是连通的。
a e c f d f c f c b a
a
b
e
d
(b,d,e,f)是割集
5、独立割集组 基本割集组是独立割集组。对于n个结点的连通图，独 立割集数为(n-1) 。 独立割集不一定是单树支割集， 如同独立回路不一定是单连支回路一样。
由于一个连通图G可以有许多不同的树，所以可选出许 多基本割集组。 6、基本割集组的选择 首先选择一个树， 然后确定(n-1)个单树支割集。
树
4、用矩阵A表示的KCL的矩阵形式
电路中的b个支路电流可以用一个b阶列向量表示
i=[i1 i2 … ib]T
Ai =
结点1上的∑i 结点2上的∑i …… 结点(n-1)上的∑i
因此有 用矩阵A表示的 KCL的矩阵形式
Ai =0
② 3 ① 6 4 ③ 5
A=
-1 0 +1
-1 +1 0 0 0 0 -1 -1 0 +1 0 0 +1 +1 0
u=QfTut=
1 0 0 -1 -1 0
小结：
A
B
Q
KCL
Ai=0
BTil=i
Qi=0
KVL
ATun=u
Bu=0
QTut=u
§15. 3 矩阵A、Bf、Qf之间的关系
在任一网络的有向图中，选一个参考结点可以写出关 联矩阵A， 选择一树可以写出基本回路矩阵[Bf]和基本割集矩阵 [Qf]， 因此三个矩阵是从不同角度表示同一网络的连接性质， 它们之间自然存在着一定的关系。
二、割集
1、定义 连通图G的一个割集是G的一个支路集合，把这些支 路移去将使G分离为两个部分，但是如果少移去一条支路， 图仍将是连通的。
a e c f d f c f c b a
a
b
e
d
(b,d,e,f)是割集
5、独立割集组 基本割集组是独立割集组。对于n个结点的连通图，独 立割集数为(n-1) 。 独立割集不一定是单树支割集， 如同独立回路不一定是单连支回路一样。
由于一个连通图G可以有许多不同的树，所以可选出许 多基本割集组。 6、基本割集组的选择 首先选择一个树， 然后确定(n-1)个单树支割集。
树
4、用矩阵A表示的KCL的矩阵形式
电路中的b个支路电流可以用一个b阶列向量表示
i=[i1 i2 … ib]T
Ai =
结点1上的∑i 结点2上的∑i …… 结点(n-1)上的∑i
因此有 用矩阵A表示的 KCL的矩阵形式
Ai =0
② 3 ① 6 4 ③ 5
A=
-1 0 +1
-1 +1 0 0 0 0 -1 -1 0 +1 0 0 +1 +1 0
u=QfTut=
1 0 0 -1 -1 0
小结：
A
B
Q
KCL
Ai=0
BTil=i
Qi=0
KVL
ATun=u
Bu=0
QTut=u
§15. 3 矩阵A、Bf、Qf之间的关系
在任一网络的有向图中，选一个参考结点可以写出关 联矩阵A， 选择一树可以写出基本回路矩阵[Bf]和基本割集矩阵 [Qf]， 因此三个矩阵是从不同角度表示同一网络的连接性质， 它们之间自然存在着一定的关系。
第15章电路方程的矩阵形式
(2)保留Q 中的一条支路，其于都移去， G还是连通的。
②
2
1
2
①5
③
1
5
①
43
4
④
6 6
Q1: { 2 , 5 , 4 , 6 }
②
③
3
④
②
②
1
2
①5
③
1
2
①5
③
43 ④6
43 ④6
Q2: { 2 , 3 , 6 }
Q3: { 1 , 5 , 4}
单树支割集（基本割集）
②
②
1
2
①5
③
43 ④6
Q1: { 2 , 3 , 6 }
设 I I1 I2 Ib T
IS IS1 IS 2 ISb T
15-3 结点电压方程的矩阵形式
Ik
Iek
U Sk
Yk ISk
U k
U U1 U 2 U b T
U S U S1 U S 2 U Sb T
②
基本回路
15.1 割集
基本割集
1
2
①5
③
43 ④6
{1，2，3，4} {1，4，5} {1，2，6}
{1，5，3，6} {2，3，6} {3，4，5}
2. 由某个连支bl确定的单连支回路应包含那些树支，每个
这种树支所构成的基本割集中含有bl 。
②
基本回路
基本割集
1
2
①5
③
43 ④6
{1，2，3，4} {1，4，5} {1，2，6}
u5
节点电压
un1
un
第015章_电路方程的矩阵形式
1 Bu 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 u3 0 1 u4 1 1 u 5 u6
u1 u2
6 1 3 6 31
i
i1 i2 i3 i4 i5 i6
i
这正是回路电流 法的基本思想。
i B T il
i i i
i i
i i i
即为用B表示 KCL的矩阵形式。
17
五、割集矩阵：
1、割集矩阵： 即独立割集矩阵，它反映电路的支 Q1 路与所取的独立割集的关联性。 矩阵元素的取值：
（2）某些列仅有一个非零元素，表示该支路与参考结点相关联。 ②A的物理意义：反映电路的拓扑结构
支路与结点的关联性。
11
3、用A表示的KL的矩阵形式： ①KCL：
i1 i
2 3 4 5 6
证明： G
T1
l1 l2 l3
bt
T2
而且，每一条树支与相应的连支都会构成一个单树支割集。 这种单树支割集又称为基本割集。对于一个G，树支数为 n -1， ∴有n -1个基本割集，称为对一个树的基本割集组。 基本割集组必是独立割集组，但独立割集组不一定是单树 支割集组，因树是一个相对概念，人家可以先（用树）定义一 组独立割集，而后又可以重新定义树。
② 4 6 5 ④ ③
0 k支路与 j 结点不关联 关联，且方向背离该结点 a jk 1 1 关联，但方向为指向结点
② 0 Aa ③ 1 ④ 0
1 ① -1 2 -1 0 3 1 4 0
u1 u2
6 1 3 6 31
i
i1 i2 i3 i4 i5 i6
i
这正是回路电流 法的基本思想。
i B T il
i i i
i i
i i i
即为用B表示 KCL的矩阵形式。
17
五、割集矩阵：
1、割集矩阵： 即独立割集矩阵，它反映电路的支 Q1 路与所取的独立割集的关联性。 矩阵元素的取值：
（2）某些列仅有一个非零元素，表示该支路与参考结点相关联。 ②A的物理意义：反映电路的拓扑结构
支路与结点的关联性。
11
3、用A表示的KL的矩阵形式： ①KCL：
i1 i
2 3 4 5 6
证明： G
T1
l1 l2 l3
bt
T2
而且，每一条树支与相应的连支都会构成一个单树支割集。 这种单树支割集又称为基本割集。对于一个G，树支数为 n -1， ∴有n -1个基本割集，称为对一个树的基本割集组。 基本割集组必是独立割集组，但独立割集组不一定是单树 支割集组，因树是一个相对概念，人家可以先（用树）定义一 组独立割集，而后又可以重新定义树。
② 4 6 5 ④ ③
0 k支路与 j 结点不关联 关联，且方向背离该结点 a jk 1 1 关联，但方向为指向结点
② 0 Aa ③ 1 ④ 0
1 ① -1 2 -1 0 3 1 4 0
电路第15章电路方程的矩阵形式
元件参数的识别
利用矩阵形式的电路方程，可以对电路中的元件参数进行 识别和估计，例如通过测量节点电压和支路电流来计算元 件的电阻、电容、电感等参数。
系统分析和控制
矩阵形式的电路方程可以用于系统分析和控制，例如稳定 性分析、频率响应分析、最优控制等。
02 电路元件的矩阵表示
电阻元件的矩阵表示
总结词
电阻元件在矩阵形式中表示为对角线矩阵，对角线上的元素为电阻值。
矩阵元素的选取
矩阵中的元素根据电路元件的类 型和连接方式进行选取，通常包 括电阻、电容、电感等元件的参 数。
矩阵形式的优点
矩阵形式能够简化电路的分析和 计算过程，提高计算效率和精度， 适用于大规模复杂电路的分析。
矩阵形式的电路方程
节点电压方程
在电路中选取节点电压作为未知 量，根据基尔霍夫定律建立节点 电压方程，并将其表示为矩阵形
线性
电路的输出信号与输入信号成正比，满足叠加定 理。
3
时不变
电路的参数不随时间变化。
线性时不变电路的矩阵形式
矩阵形式的电路方程
将电路中的元件参数和连接关系表示为矩阵形式，以便于分析和 计算。
状态变量
描述电路中电压和电流变化的变量，通常用向量表示。
状态方程
描述电路中状态变量之间关系的方程，通常表示为矩阵形式。
矩阵形式的电路方程广泛应用于电子工程、通信工程、控制工程等多个领域，尤其在处理大规模复杂电 路时表现出显著的优势。
电路方程的矩阵形式的展望
01
矩阵形式的进一步研究
随着电子技术和计算机技术的不断发展，对电路方程的矩 阵形式的研究将更加深入。未来研究将更加注重矩阵形式 的数学基础、算法优化和数值稳定性等方面。
02 03
利用矩阵形式的电路方程，可以对电路中的元件参数进行 识别和估计，例如通过测量节点电压和支路电流来计算元 件的电阻、电容、电感等参数。
系统分析和控制
矩阵形式的电路方程可以用于系统分析和控制，例如稳定 性分析、频率响应分析、最优控制等。
02 电路元件的矩阵表示
电阻元件的矩阵表示
总结词
电阻元件在矩阵形式中表示为对角线矩阵，对角线上的元素为电阻值。
矩阵元素的选取
矩阵中的元素根据电路元件的类 型和连接方式进行选取，通常包 括电阻、电容、电感等元件的参 数。
矩阵形式的优点
矩阵形式能够简化电路的分析和 计算过程，提高计算效率和精度， 适用于大规模复杂电路的分析。
矩阵形式的电路方程
节点电压方程
在电路中选取节点电压作为未知 量，根据基尔霍夫定律建立节点 电压方程，并将其表示为矩阵形
线性
电路的输出信号与输入信号成正比，满足叠加定 理。
3
时不变
电路的参数不随时间变化。
线性时不变电路的矩阵形式
矩阵形式的电路方程
将电路中的元件参数和连接关系表示为矩阵形式，以便于分析和 计算。
状态变量
描述电路中电压和电流变化的变量，通常用向量表示。
状态方程
描述电路中状态变量之间关系的方程，通常表示为矩阵形式。
矩阵形式的电路方程广泛应用于电子工程、通信工程、控制工程等多个领域，尤其在处理大规模复杂电 路时表现出显著的优势。
电路方程的矩阵形式的展望
01
矩阵形式的进一步研究
随着电子技术和计算机技术的不断发展，对电路方程的矩 阵形式的研究将更加深入。未来研究将更加注重矩阵形式 的数学基础、算法优化和数值稳定性等方面。
02 03
15电路方程的矩阵形式(简)
第十五章 电路方程的矩阵形式
本章主要内容：主要介绍电路方程的矩阵形式及其系统建 立法。简单介绍电路的状态方程。 包括：关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵。 15-1 割集
对于复杂的电路系统，需要研究系统化建立电路方程的方 法——电路方程的矩阵形式及其系统建立法。
图G ——是结点和支路的一个集合，每条支路的两端都连到 相应的结点上。电路的支路是实体，结点是支路的汇集点。 连通图G ——图G中任意两个结点间至少有一条支路。 割集——连通图G的一个割集是G的一个支路集合。①把一个 割集的所有支路移去将使G分为两个部分。②如果少移去一条 支路，则G仍是连通的。
1
Bf = [ 1l ¦ Bt ]
显然， Bf 中有一个l 阶的单位子矩阵
11
用一个b阶列向量
u u1 u2 ub 表示b个支路电压
T
用矩阵B左乘电压列向量u， 得到一个l 阶列向量
显然，B u =0 —— （15-5） 是用B矩阵表示的KVL方程
12
2
3
1
u1 u 2 1 0 1 0 1 1 u1 u3 u5 u6 0 u 3 0 Bu 0 1 1 0 0 1 u2 u3 u6 u 4 u u u 0 0 0 0 1 1 1 4 5 u 5 u6 13
矩阵中，列对应支路，行对应结点 分析以上矩阵，每一列只有两个非零元 素，(即每一条支路只与两个结点有关) 任何一行可以由其他(n-1)行导出。 将Aa中划去任一行，得到如下降阶关联矩阵 A
注意：被划去的行所 对应的结点可以作为 参考结点
6
用一个b阶列向量
i i1 i2 ib
本章主要内容：主要介绍电路方程的矩阵形式及其系统建 立法。简单介绍电路的状态方程。 包括：关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵。 15-1 割集
对于复杂的电路系统，需要研究系统化建立电路方程的方 法——电路方程的矩阵形式及其系统建立法。
图G ——是结点和支路的一个集合，每条支路的两端都连到 相应的结点上。电路的支路是实体，结点是支路的汇集点。 连通图G ——图G中任意两个结点间至少有一条支路。 割集——连通图G的一个割集是G的一个支路集合。①把一个 割集的所有支路移去将使G分为两个部分。②如果少移去一条 支路，则G仍是连通的。
1
Bf = [ 1l ¦ Bt ]
显然， Bf 中有一个l 阶的单位子矩阵
11
用一个b阶列向量
u u1 u2 ub 表示b个支路电压
T
用矩阵B左乘电压列向量u， 得到一个l 阶列向量
显然，B u =0 —— （15-5） 是用B矩阵表示的KVL方程
12
2
3
1
u1 u 2 1 0 1 0 1 1 u1 u3 u5 u6 0 u 3 0 Bu 0 1 1 0 0 1 u2 u3 u6 u 4 u u u 0 0 0 0 1 1 1 4 5 u 5 u6 13
矩阵中，列对应支路，行对应结点 分析以上矩阵，每一列只有两个非零元 素，(即每一条支路只与两个结点有关) 任何一行可以由其他(n-1)行导出。 将Aa中划去任一行，得到如下降阶关联矩阵 A
注意：被划去的行所 对应的结点可以作为 参考结点
6
用一个b阶列向量
i i1 i2 ib
第15章 电路方程的矩阵形式
Chapter 15 电路方程的矩阵形式主要内容 1.关联矩阵，回路矩阵，割集矩阵; 2.KCL, KVL 的矩阵形式；3.回路电流（网孔电流）方程、结点电压方程、割集电压方程的矩阵形式；§15-1 割集KCL 和KVL 所表示的电路中各电压、电流之间的约束关系取决于电路中各元件的连接方式。
电路的拓扑 ---- 电路中各元件的连接方式。
电路拓扑性质用图论及矩阵代数进行研究（图，回路，树，割集等）。
1. 割集：是G 的一个支路集合，移去这些支路，将使G 分离为两个部分，如果少移去其中任意一条支路，图仍将是连通的。
可以用在连通图G 上作闭合面的方法来判断确定一个割集，与闭合面相切割的所有支路构成一个割集（因移去这些支路，G 被分离为两部分）。
割集：),,,( ),,,,( ),,,,( ),,,( ),,,( ),,,( ),,,(d c b a f c e a f d e b c e d f c b b e a f d a 非割集：),,,(),,,(c b e a e d aKCL 适用于任何一个闭合面，属于同一割集的所有支路的电流满足KCL ，若一个割集的所有支路都连接在同一个接点上，割集的KCL 方程即变为结点上的KCL 方程2. 独立割集：一组线性独立的KCL 方程对应的割集。
应用割集法，首先必须选择一组独立割集。
① 选定连通图的一个树，则任何连支集合不能构成一个割集；因移去全部连支，剩下的子图（树）仍是连通的，故任何连支集合不能构成割集.② 连通图的每一个树支与一些相应的连支可以构成一个割集。
因移去全部连支，剩下子图为树，再移去一个树支，则树被分离成 21 T T 和两部分，于是联结 21 T T 和的那些连支和这条树支必构成一个割集。
③ 单树支割集（基本割集）由树的一条树支与相应的一些连支所构成的割集为单树支割集。
如下图中 ),,( ),,,( ),,,(d f a f c b e b a④n 个结点和b 条支路的连通图，其树支数为 (n -1)，有(n -1)个单树支割集，称为基本割集组。
第十五章 电路方程的矩阵形式
u （支路方向与回路绕向一致为正，反之为负）
由KVL可知，任一闭合回路电压的代数和恒为零
即有 B f u 0 或 Bf U 0 称为矩阵形式的KVL。
如上图中，u u1 u2 u3 u4 u5 u6 T
1 1 1 1 0 0
4
Bf 1 1 0 0 1 0
1 l1
l2
6
0
1
100 u1
1
5 2 3 l3
us5 -
R5
b5
1
b1 2 b2 3
Is1
R2
+
+
b4
b3
b6
u4 - R4
R3
kuu4 _
4
电路
拓扑图（线图）
支路电压和支路电流的正方向与支路方向一致-----
有向图
连通图：是指拓扑图中任意两节点间都至少有一条通路。
子图：是指原拓扑图的一部分，可包括原图的一些边和顶 点。
树：在连通图中包含连通图中的全部节点和部分支路，不 包含回路。
b4
b5 b3
4
特点：
a.每一列的代数和均为零。其中的行不是彼 此独立的，其任意一行都与（n-1）行的和 的相反的数相等。
b.去掉以任意一个节点为参考节点所对应的 一行后记为（n-1） b阶矩阵称为降阶的关 联矩阵 简称关联矩阵 。用符号 A 表示。
在 Aa 中划去的行对应的节点即为参考节点。
如上图选节点④为参考节点则有：
b1 b5
b2
Q1
b4
b3
Q3 b6
Q2
规定基本割集的方向与其中的树支方向一致。
若将切割线Q1，Q2，Q3延伸成闭合面则有：
ib1 ib2 ib4 ib6 0 ib2 ib5 ib6 0 ib3 ib4 ib6 0
第十五章 电路方程的矩阵形式
割集与非割集示例
4 4 3 2 1 (a) 1 (b) (c) 6
①
4 3
5 6
(a)(b)为割集，(c)为非割集
1. 关联矩阵
一条支路连接两个结点，称该支路与这两个结点相关 联，结点和支路的关联性质可以用关联矩阵Aa描述。
N个结点b条支路的图用nb的矩阵描述 支路b
Aa=
结点n
n b
每一行对应一个结点，每一列对应一条支路， 矩阵Aa的每一个元素定义为：
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 -1 0 1 -1 1 0 1 -1
Bl
Bt
u u u u u u
1 2 3 4 5 6
u4 u5 u1 u4 u5 u6 u2 0 u5 u6 u3
矩阵形式的KVL： [ B ][ u ]= 0
Bl
= [ 1 Bt ]
Bt
②
引入回路矩阵[B]的作用： ① 用回路矩阵[B]表示矩阵形式的KVL方程 设
①
４ ３
５ ③
[u ] [ u1 u 2 u3 u 4 u5 u6 ]T
u u
l
２
６
④1
t
[ B ][ u ]=
0 -1
关联矩阵Aa的特点： ① ② 每一列只有两个非零元素，一个是+1，一个是-1， Aa的每一列元素之和为零。 矩阵中任一行可以从其他n-1行中导出，即只有n-1 行是独立的。 支路b
引入降阶关联矩阵A A=
(n-1) b
结点（n-1）
② ４ ①
２ ５
设④为参考节点,得降阶关联矩阵
③ ６
4 4 3 2 1 (a) 1 (b) (c) 6
①
4 3
5 6
(a)(b)为割集，(c)为非割集
1. 关联矩阵
一条支路连接两个结点，称该支路与这两个结点相关 联，结点和支路的关联性质可以用关联矩阵Aa描述。
N个结点b条支路的图用nb的矩阵描述 支路b
Aa=
结点n
n b
每一行对应一个结点，每一列对应一条支路， 矩阵Aa的每一个元素定义为：
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 -1 0 1 -1 1 0 1 -1
Bl
Bt
u u u u u u
1 2 3 4 5 6
u4 u5 u1 u4 u5 u6 u2 0 u5 u6 u3
矩阵形式的KVL： [ B ][ u ]= 0
Bl
= [ 1 Bt ]
Bt
②
引入回路矩阵[B]的作用： ① 用回路矩阵[B]表示矩阵形式的KVL方程 设
①
４ ３
５ ③
[u ] [ u1 u 2 u3 u 4 u5 u6 ]T
u u
l
２
６
④1
t
[ B ][ u ]=
0 -1
关联矩阵Aa的特点： ① ② 每一列只有两个非零元素，一个是+1，一个是-1， Aa的每一列元素之和为零。 矩阵中任一行可以从其他n-1行中导出，即只有n-1 行是独立的。 支路b
引入降阶关联矩阵A A=
(n-1) b
结点（n-1）
② ４ ①
２ ５
设④为参考节点,得降阶关联矩阵
③ ６
电路方程的矩阵形式
第十五章电路方程的矩阵形式重点：1.关联矩阵；2. 结点电压方程的矩阵形式；3. 状态方程。
难点：电路状态方程列写的直观法和系统法。
§ 15.1 图的矩阵表示1. 有向图的关联矩阵2.电路的图是电路拓扑结构的抽象描述。
若图中每一支路都赋予一个参考方向，它成为有向图。
有向图的拓扑性质可以用关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵描述 3. 关联矩阵是用结点与支路的关系描述有向图的拓扑性质。
4. 回路矩阵是用回路与支路的关系描述有向图的拓扑性质。
5. 割集矩阵是用割集与支路的关系描述有向图的拓扑性质。
6. 本节仅介绍关联矩阵以及用它表示的基尔霍夫定律的矩阵形式。
7.一条支路连接某两个结点，则称该支路与这两个结点相关联。
支路与结点的关联性质可以用关联矩阵描述。
设有向图的结点数为 n ,支路数为b ,且所有结点与支路均加以编号。
于是，该有向图的关联矩阵为一个 」阶的矩阵，用 表示。
它的每一行对应一个结点，每一列对应一条支路，它的任一元素 定义如下：8.，表示支路 k 与结点j 关联并且它的方向背离结点9.-1 一，表示支路k 与结点j 关联并且它指向结点； 10.n:A，表示支路k 与结点j 无关联。
对于图 15.1 所示的有向图，它的关联矩阵是1 23 45 61'-I -1 0 1 0 0A=2 0 0 1 -1-1 D 3 41 0 0 0+1 +4 0 +1 -1 0图 15.1J-的每一列元素之和为零。
关联矩阵丄的特点:①每一列只有两个非零元素，一个是+1，—个是-1，如果把 的任一行划去，剩下的矩阵用 亠』表示，并称为降阶关联矩阵（今后主要用这种降阶关联矩阵， 所以往往略去“降阶”二字） ，被划去的行对应的结点可以当作参 考结点。
例如，若以结点4为参考结点，把上式中'3-的第4行划去，得 A0 0-1 0+1 -+1的第3行划去，得 A0 01-1 0 0 -1或一个-1 ，每一个这样的列必对应于与参考结从而画岀有向图。
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Q1 a e d f Q2 a b Q3 b
结束
c
(a，d，f )这个支路集合就 e Q 4 是G的一个割集。 c d 显然，对右图，汇集于同一结点 f 的支路都是G的一个割集。 (a， b，e ) (b，c，f ) (c，d，e ) 2019年2月12日星期
二
2
全移，G一分为二；少移一条， G连通。
9
2019年2月12日星期 二
-1 -1 +1 0 0 0 A = 0 0 -1 -1 0 +1 +1 0 0 +1 +1 0
(3)用A表示KCL的矩阵形式
② 3 ① i3 i6 i i2 6 5 ④ 4 i4 5
结束
③
2
b(=6)条支路电流可以用列向量表示 1 i1 i = [i1, i2 , ···, i6 ]T i1 i2 -i 1 – i 2 +i 3 0 -1 -1 +1 0 0 0 · Ai = 0 0 -1 -1 0 +1 · = -i3 –i4 +i6 = 0 · +i1 +i4 +i5 0 +1 0 0 +1 +1 0 i6 结点1的KCL 2的KCL Ai =0 Ai = 结点 ……
2019年2月12日星期 二
结束
2
2
1
④
5
i1
1 Aa= 2 3 4
1 2 3 4 - 1 - 1 +1 0 0 0 -1 -1 +1 0 0 +1 0 +1 0 0
5 6 0 0 0 +1 +1 0 -1 -1
8
(2)降阶关联矩阵A
划去Aa中任意一行所得到 的(n-1)×b阶矩阵。 被划去的行对应的结点可 以当作参考结点。
二
0 0 0
17
(2)用基本割集矩阵Qf表示KVL的矩阵形式 u = Qf u t Q1 式中 ut =[ut1 ut2 ···ut(n① T ] 1) 为树支电压列向量。 对右图： ut =[ut1 ut2 ut3]T u =[u3 u5 u6 u1 u2 u4]T 1 0 0 ut1 =u 3 0 1 0 ut1 ut2 =u 5 =u 6 u = 0 0 1 ut2 = ut3 -ut1+ut2 -ut3 =u1 -1 1 -1 ut3 -ut1-ut3 -1 0 -1 =u 2 0 1 -1 =u 4 ut2-ut3 ①当选单树支割集为独立割集时， 树支电压可视为割集电压。 2019年2月12日星期
2019年2月12日星期 二
Q2 (1,3,5,8)
4 8 3 7
Q3 (1,4,5) Q4 (5,6,7,8) 同一个图，有 许多不同的树， 因此能选出许 多不同的基本 割集组。
7
1
5 6
Q2
2
Q3
§15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩 阵 ② 1. 关联矩阵的特点 3 4 i4 描述结点与支路关联的矩阵。 i6 ① i ③ 3 i5 是一个(n×b)阶的矩阵。 6 i (1)Aa的元素定义 ajk= +1，支路k与结点j关 联，且方向背离结点； ajk= -1，支路k与结 点j关联，且方向指 向结点； ajk= 0，支路k与结点 j无关联。
2019年2月12日星期 二
结点(n-1)的KCL
10
(4)用A表示KVL的矩阵形式
②
结束
3 4 以b(=6)阶列向量表示支路电压： i4 i6 ① i ③ T 3 u = [u1, u2 , ···, u6 ] i5 6 i 2 并取某一结点(取④)为参考， 5 2 ④ (n-1=3) 个结点电压的列向量： 1 i1 un = [un1, un2 , un3 ]T 结点电压与支路电压之间的关系为 u = ATun u1 -un1+ un3 -1 0 1 可以认为， u2 -un1 -1 0 0 u 这是用A表示 n1 u3 un1-un2 1 1 0 u4 = -un2 + un3 = 0 -1 1 un2 KVL的矩阵 un3 u5 u n3 形式。 0 0 1 u6 un2 0 1 0
二
(4)用B表示的KCL矩阵形式
②
结束
3 4 若用列向量表示 l(=3) 个独立回 6 ① ③ 路电流： Ⅱ Ⅲ il = [i l 1 i l 2 · · · ill ]T 2 5 Ⅰ ④ 则支路电流与回路电流之间的 1 关系可以表示为 i = BTil i1 1 0 0 ii1 i2 0 1 0 il2 可以认为是用 i i3 l 1 1 1 0 il1+il2 = i B 表示KCL的 i4 0 0 1 il2 = il3 i5 l3 矩阵形式。 -1 0 -1 i i l1 l3 i6 1 1 1 il1+il2 +il3
二
结束
3 1 Qf = [ 1t ┆Ql ] = 0 0
5 0 1 0
6 0 0 1
1 2 4 -1 -1 0 Q1 1 0 1 Q2 -1 -1 -1 Q3
Q1 ①
结束
(1)用割集矩阵Q表示的 KCL的矩阵形式
③
3 6
Q3 4 5 ④ Q2
因属同一割集的所有支路 2 的电流也满足KCL，所以 ② Qi=0 i1 1 i2 -i 1 – i 2 +i 3 - 1 -1 1 0 0 0 i 1 0 0 1 1 0 i3 = i1 +i4 +i5 = 4 - 1 - 1 0 - 1 0 1 i5 -i1 -i2 -i4 +i6 i6 2019年2月12日星期
2019年2月12日星期 二 15
3. 割集矩阵Q 描述割集与支路关联的矩阵。 Q是一个(n-1)×b阶的矩阵。各元素定义为： qjk= +1，支路k与割集j关联，且方向一致； qjk= -1，支路k与割集j关联，且方向相反； ③ qjk= 0，支路k与割集j无关联。 Q3 Q1 3 4 1 2 3 4 5 6 ④ 1 -1 -1 1 0 0 0 6 ① Q=2 1 0 0 1 1 0 Q2 2 5 3 -1 -1 0 -1 0 1 ② 若选单树支割集为一组独立割集， 1 则得到基本割集矩阵Qf。 Qf = [ 1t ┆Ql ] 排列顺序为先树支后连支。 16 2019年2月12日星期
2. 对任一图G，当A、B、Q 的列按相同的支 路编号排列时： ABT = 0 或 BAT = 0 QBT = 0 或 BQT = 0 3. 若A、Bf、Qf 对应同一个树，且支路编号按 先树支后连支的相同顺序排列写出。 则有： BtT = -At-1Al Ql = - BtT = At-1Al
2019年2月12日星期 二
2019年2月12日星期 二
AT
11
结束
小结
① 矩阵 A表示有向图结点与支路的关联性质。 ② 用 A表示的 KCL 的矩阵形式为 Ai =0 ③ 用 A表示的 KVL 的矩阵形式为 u = ATun
2019年2月12日星期 二
12
2. 回路矩阵 描述回路与支路关联的矩阵。 是一个(l×b)阶的矩阵。 (1)B 的元素定义 bjk= +1，支路k与回路j关联，且方向一致； bjk= -1，支路k与回路j关联，且方向相反； bjk= 0，支路k与回路j无关联。 ②
4
3. 独立割集和基本割集 KCL适用于任一闭合面。 属同一割集的所有支路电 流也满足KCL。 对于一个连通图 G，总 可以列出与割集数量相 等的KCL方程。但它们 不一定线性独立。 (1)独立割集 与一组线性独立的KCL 方程相对应的割集，称 为独立割集。
2019年2月12日星期 二
Q2 Q1 a f d Q4 e c b Q3
第十五章 电路方程的矩阵形式
重点
结束
1. 掌握割集的概念，熟练写出电路关联矩 阵A、回路矩阵B、割集矩阵Q； 2. 掌握复合支路的概念； 3. 学会用矩阵形式列写回路电流方程、结 点电压方程和割集电压方程；
难点 割集电压方程的列写。
2019年2月12日星期 二
1
§15-1 割集
1. 定义 连通图G的一个割集是G的 一个支路集合，如果 ①把这些支路移去，将使G(恰 好)分离为两个部分， ②但是少移去其中一条支路， G将仍是连通的。
二
T
③
6
3 2 ②
Q3 4 5 ④ Q2
结束
1
②树支电压(割 集电压)也是一 组完备的独立 变量，支路电 压可以用树支 电压表示。
18
*§15-3 矩阵A、Bf 、Qf之间的关系 1. A i = 0 u = ATun Qi=0 u = QfT ut
结束
在形式上相似。
所以对某些图G有 Qf = A
19
§15-4 回路电流方程的矩阵形式 一、复合支路 . Isk . 既含阻抗(导纳)，又有电源。 . . Usk Ik Iek Zk + (1)支路阻抗Zk是单一的R或L或 . C，但不是它们的组合； + Uk (2)可以缺少某种元件。但不许 存在无伴电流源支路。 避免造成计算困难。 . . . . . . . . Uk = Zk (Ik+ ISk) -USk 设 I =[ I1 I2 … Ib]T . . . . 式中各量为第 k 条支路的阻 U =[ U1 U2 … Ub]T . . . . 抗、独立电流源和独立电压 IS = [ IS1 IS2 … ISb]T 源。无独立源时将其置零。 . . . . … USb]T U = [ U U S S 1 S 2 二、支路方程的矩阵形式 . . . . 2019年 2月12 日星期 = Z (I + IS) -US 20 则 U 情况 1 电路无互感 二
若以结点 4 为参考结点，把 式中的第 4 行划去，得 A 提示 给定A可以确定 Aa， 从而画出有向图。 1 Aa = 2 3 4
结束
c
(a，d，f )这个支路集合就 e Q 4 是G的一个割集。 c d 显然，对右图，汇集于同一结点 f 的支路都是G的一个割集。 (a， b，e ) (b，c，f ) (c，d，e ) 2019年2月12日星期
二
2
全移，G一分为二；少移一条， G连通。
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2019年2月12日星期 二
-1 -1 +1 0 0 0 A = 0 0 -1 -1 0 +1 +1 0 0 +1 +1 0
(3)用A表示KCL的矩阵形式
② 3 ① i3 i6 i i2 6 5 ④ 4 i4 5
结束
③
2
b(=6)条支路电流可以用列向量表示 1 i1 i = [i1, i2 , ···, i6 ]T i1 i2 -i 1 – i 2 +i 3 0 -1 -1 +1 0 0 0 · Ai = 0 0 -1 -1 0 +1 · = -i3 –i4 +i6 = 0 · +i1 +i4 +i5 0 +1 0 0 +1 +1 0 i6 结点1的KCL 2的KCL Ai =0 Ai = 结点 ……
2019年2月12日星期 二
结束
2
2
1
④
5
i1
1 Aa= 2 3 4
1 2 3 4 - 1 - 1 +1 0 0 0 -1 -1 +1 0 0 +1 0 +1 0 0
5 6 0 0 0 +1 +1 0 -1 -1
8
(2)降阶关联矩阵A
划去Aa中任意一行所得到 的(n-1)×b阶矩阵。 被划去的行对应的结点可 以当作参考结点。
二
0 0 0
17
(2)用基本割集矩阵Qf表示KVL的矩阵形式 u = Qf u t Q1 式中 ut =[ut1 ut2 ···ut(n① T ] 1) 为树支电压列向量。 对右图： ut =[ut1 ut2 ut3]T u =[u3 u5 u6 u1 u2 u4]T 1 0 0 ut1 =u 3 0 1 0 ut1 ut2 =u 5 =u 6 u = 0 0 1 ut2 = ut3 -ut1+ut2 -ut3 =u1 -1 1 -1 ut3 -ut1-ut3 -1 0 -1 =u 2 0 1 -1 =u 4 ut2-ut3 ①当选单树支割集为独立割集时， 树支电压可视为割集电压。 2019年2月12日星期
2019年2月12日星期 二
Q2 (1,3,5,8)
4 8 3 7
Q3 (1,4,5) Q4 (5,6,7,8) 同一个图，有 许多不同的树， 因此能选出许 多不同的基本 割集组。
7
1
5 6
Q2
2
Q3
§15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩 阵 ② 1. 关联矩阵的特点 3 4 i4 描述结点与支路关联的矩阵。 i6 ① i ③ 3 i5 是一个(n×b)阶的矩阵。 6 i (1)Aa的元素定义 ajk= +1，支路k与结点j关 联，且方向背离结点； ajk= -1，支路k与结 点j关联，且方向指 向结点； ajk= 0，支路k与结点 j无关联。
2019年2月12日星期 二
结点(n-1)的KCL
10
(4)用A表示KVL的矩阵形式
②
结束
3 4 以b(=6)阶列向量表示支路电压： i4 i6 ① i ③ T 3 u = [u1, u2 , ···, u6 ] i5 6 i 2 并取某一结点(取④)为参考， 5 2 ④ (n-1=3) 个结点电压的列向量： 1 i1 un = [un1, un2 , un3 ]T 结点电压与支路电压之间的关系为 u = ATun u1 -un1+ un3 -1 0 1 可以认为， u2 -un1 -1 0 0 u 这是用A表示 n1 u3 un1-un2 1 1 0 u4 = -un2 + un3 = 0 -1 1 un2 KVL的矩阵 un3 u5 u n3 形式。 0 0 1 u6 un2 0 1 0
二
(4)用B表示的KCL矩阵形式
②
结束
3 4 若用列向量表示 l(=3) 个独立回 6 ① ③ 路电流： Ⅱ Ⅲ il = [i l 1 i l 2 · · · ill ]T 2 5 Ⅰ ④ 则支路电流与回路电流之间的 1 关系可以表示为 i = BTil i1 1 0 0 ii1 i2 0 1 0 il2 可以认为是用 i i3 l 1 1 1 0 il1+il2 = i B 表示KCL的 i4 0 0 1 il2 = il3 i5 l3 矩阵形式。 -1 0 -1 i i l1 l3 i6 1 1 1 il1+il2 +il3
二
结束
3 1 Qf = [ 1t ┆Ql ] = 0 0
5 0 1 0
6 0 0 1
1 2 4 -1 -1 0 Q1 1 0 1 Q2 -1 -1 -1 Q3
Q1 ①
结束
(1)用割集矩阵Q表示的 KCL的矩阵形式
③
3 6
Q3 4 5 ④ Q2
因属同一割集的所有支路 2 的电流也满足KCL，所以 ② Qi=0 i1 1 i2 -i 1 – i 2 +i 3 - 1 -1 1 0 0 0 i 1 0 0 1 1 0 i3 = i1 +i4 +i5 = 4 - 1 - 1 0 - 1 0 1 i5 -i1 -i2 -i4 +i6 i6 2019年2月12日星期
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3. 割集矩阵Q 描述割集与支路关联的矩阵。 Q是一个(n-1)×b阶的矩阵。各元素定义为： qjk= +1，支路k与割集j关联，且方向一致； qjk= -1，支路k与割集j关联，且方向相反； ③ qjk= 0，支路k与割集j无关联。 Q3 Q1 3 4 1 2 3 4 5 6 ④ 1 -1 -1 1 0 0 0 6 ① Q=2 1 0 0 1 1 0 Q2 2 5 3 -1 -1 0 -1 0 1 ② 若选单树支割集为一组独立割集， 1 则得到基本割集矩阵Qf。 Qf = [ 1t ┆Ql ] 排列顺序为先树支后连支。 16 2019年2月12日星期
2. 对任一图G，当A、B、Q 的列按相同的支 路编号排列时： ABT = 0 或 BAT = 0 QBT = 0 或 BQT = 0 3. 若A、Bf、Qf 对应同一个树，且支路编号按 先树支后连支的相同顺序排列写出。 则有： BtT = -At-1Al Ql = - BtT = At-1Al
2019年2月12日星期 二
2019年2月12日星期 二
AT
11
结束
小结
① 矩阵 A表示有向图结点与支路的关联性质。 ② 用 A表示的 KCL 的矩阵形式为 Ai =0 ③ 用 A表示的 KVL 的矩阵形式为 u = ATun
2019年2月12日星期 二
12
2. 回路矩阵 描述回路与支路关联的矩阵。 是一个(l×b)阶的矩阵。 (1)B 的元素定义 bjk= +1，支路k与回路j关联，且方向一致； bjk= -1，支路k与回路j关联，且方向相反； bjk= 0，支路k与回路j无关联。 ②
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3. 独立割集和基本割集 KCL适用于任一闭合面。 属同一割集的所有支路电 流也满足KCL。 对于一个连通图 G，总 可以列出与割集数量相 等的KCL方程。但它们 不一定线性独立。 (1)独立割集 与一组线性独立的KCL 方程相对应的割集，称 为独立割集。
2019年2月12日星期 二
Q2 Q1 a f d Q4 e c b Q3
第十五章 电路方程的矩阵形式
重点
结束
1. 掌握割集的概念，熟练写出电路关联矩 阵A、回路矩阵B、割集矩阵Q； 2. 掌握复合支路的概念； 3. 学会用矩阵形式列写回路电流方程、结 点电压方程和割集电压方程；
难点 割集电压方程的列写。
2019年2月12日星期 二
1
§15-1 割集
1. 定义 连通图G的一个割集是G的 一个支路集合，如果 ①把这些支路移去，将使G(恰 好)分离为两个部分， ②但是少移去其中一条支路， G将仍是连通的。
二
T
③
6
3 2 ②
Q3 4 5 ④ Q2
结束
1
②树支电压(割 集电压)也是一 组完备的独立 变量，支路电 压可以用树支 电压表示。
18
*§15-3 矩阵A、Bf 、Qf之间的关系 1. A i = 0 u = ATun Qi=0 u = QfT ut
结束
在形式上相似。
所以对某些图G有 Qf = A
19
§15-4 回路电流方程的矩阵形式 一、复合支路 . Isk . 既含阻抗(导纳)，又有电源。 . . Usk Ik Iek Zk + (1)支路阻抗Zk是单一的R或L或 . C，但不是它们的组合； + Uk (2)可以缺少某种元件。但不许 存在无伴电流源支路。 避免造成计算困难。 . . . . . . . . Uk = Zk (Ik+ ISk) -USk 设 I =[ I1 I2 … Ib]T . . . . 式中各量为第 k 条支路的阻 U =[ U1 U2 … Ub]T . . . . 抗、独立电流源和独立电压 IS = [ IS1 IS2 … ISb]T 源。无独立源时将其置零。 . . . . … USb]T U = [ U U S S 1 S 2 二、支路方程的矩阵形式 . . . . 2019年 2月12 日星期 = Z (I + IS) -US 20 则 U 情况 1 电路无互感 二
若以结点 4 为参考结点，把 式中的第 4 行划去，得 A 提示 给定A可以确定 Aa， 从而画出有向图。 1 Aa = 2 3 4