2018-2019学年人教A版选修1-11.4.3含有一个量词的命题的否定学案

1.4 全称量词与存在量词1.4.1 全称量词1.4.2 存在量词1.4.3 含有一个量词的命题的否定 学习目标：1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称命题和特称命题的意义.2.掌握全称命题与特称命题真假性的判定．(重点，难点)3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点，易混点)[自 主 预 习·探 新 知]1．全称量词与全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)含有全称量词的命题叫做全称命题，通常将含有变量x 的语句用p (x )，q (x )，r (x )，…表示，变量x 的取值范围用M 表示，那么全称命题“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”可用符号简记为∀x ∈M ，p (x )．2．存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题，特称命题“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立”，可用符号简记为“∃x 0∈M ，p (x 0)”．思考：(1)“一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0有实数解”是特称命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式．(2)“不等式(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任意实数x 恒成立”是特称命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式．[提示] (1)是特称命题，可改写为“存在x 0∈R ，使ax 02＋2x 0＋1＝0”(2)是全称命题，可改写成：“∀x ∈R ，(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0”．3．含有一个量词的命题的否定一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p ：∀x ∈M ，p (x )，它的否定p ：∃x 0∈M ，p (x 0)；特称命题p ：∃x 0∈M ，p (x 0)，它的否定p ：∀x ∈M ，p (x )．全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．[基础自测]1．思考辨析(1)命题“对数函数都是单调函数”是全称命题．( ) (2)命题“有些菱形是正方形”是全称命题． ( )(3)命题：∀x ∈R ，x 2－3x ＋3>0的否定是∀x ∉R ，x 2－3x ＋3≤0. ( )[答案] (1)√ (2)× (3)×2．命题p ：“存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根”，则“p ”形式的命题是( )A ．存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0无实根B ．不存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0无实根C ．对任意的实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根D ．至多有一个实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实根[答案] C3．下列四个命题中的真命题为( )4．A ．∃x 0∈Z,1<4x 0<3B ．∃x 0∈Z,5x 0＋1＝0C ．∀x ∈R ，x 2－1＝0D ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋2>0D [当x ∈R 时，x 2＋x ＋2＝21＋47>0，故选D.][合 作 探 究·攻 重 难]全称命题和特称命题的概念及真假判断(1)∀x ∈N,2x ＋1是奇数；(2)存在一个x 0∈R ，使x0－11＝0；(3)能被5整除的整数末位数是0；(4)有一个角α，使sin α>1[解] (1)是全称命题，因为∀x ∈N,2x ＋1都是奇数，所以该命题是真命题．(2)是特称命题．因为不存在x 0∈R ，使x0－11＝0成立，所以该命题是假命题．(3)是全称命题．因为25能被5整除，但末位数不是0，因此该命题是假命题．(4)是特称命题，因为∀α∈R ，sin α∈[－1,1]，所以该命题是假命题．1．(1)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，使x 1>2B [A 中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B 中x ＝0时，x 2＝0，所以B 既是特称命题又是真命题；C 中因为＋(－)＝0，所以C 是假命题；D 中对于任一个负数x ，都有x 1<0，所以D 是假命题．] (2)下列命题中，真命题是( )A ．∃x ∈2π，sin x ＋cos x ≥2B ．∀x ∈(3，＋∞)，x 2>2x ＋1C ．∃x ∈R ，x 2＋x ＝－1D ．∀x ∈，ππ，tan x >sin x B [(1)对于选项A ，sin x ＋cos x ＝sin 4π≤，∴此命题不成立；对于选项B ，x 2－2x －1＝(x －1)2－2，当x >3时，(x －1)2－2>0，∴此命题成立；对于选项C ，x 2＋x ＋1＝21＋43>0，∴x 2＋x ＝－1对任意实数x 都不成立，∴此命题不成立；对于选项D ，当x ∈，ππ时，tan x <0，sin x >0，命题显然不成立．故选B.]含有一个量词的命题的否定2A ．∀x ∉R ，x 2≠xB ．∀x ∈R ，x 2＝xC ．∃x ∉R ，x 2≠xD ．∃x ∈R ，x 2＝x(2)写出下列命题的否定，并判断其真假：①p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋41≥0； ②p ：所有的正方形都是菱形；③p ：至少有一个实数x 0，使x 03＋1＝0.[思路探究] 先判定命题是全称命题还是特称命题，再针对不同的形式加以否定．(1)[解析] 原命题的否定为∃x ∈R ，x 2＝x ，故选D.[答案] D(2)[解] ①綈p ：∃x 0∈R ，x 02－x 0＋41<0，假命题．因为∀x ∈R ，x 2－x ＋41＝21≥0恒成立．②p ：至少存在一个正方形不是菱形，假命题．③p ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，假命题．因为x ＝－1时，x 3＋1＝0.2．(1)命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( )A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1B ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1C ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1D ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1A [特称命题的否定是全称命题，故原命题的否定是∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1.](2)写出下列命题的否定，并判断其真假．①p ：不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根；②q: 存在一个实数x 0，使得x 02＋x 0＋1≤0；③r ：等圆的面积相等，周长相等；④s ：对任意角α，都有sin 2α＋cos 2α＝1.[解] ①这一命题可以表述为p ：“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0有实数根”，其否定形式是p ：“存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根”．注意到当Δ＝1＋4m ＜0时，即m ＜－41时，一元二次方程没有实数根，所以p 是真命题．②这一命题的否定形式是q ：“对所有的实数x ，都有x 2＋x ＋1＞0”，利用配方法可以证得q 是真命题．③这一命题的否定形式是r ：“存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等”，由平面几何知识知r 是假命题．④这一命题的否定形式是s ：“存在α∈R ，sin 2α＋cos 2α≠1”，由于命题s 是真命题，所以是假命题.由全称(特称)命题的真假确定参数的范围1．若含参数的命题p 是假命题，如何求参数的取值范围？提示：先求p ，再求参数的取值范围．2．全称命题和特称命题与恒成立问题和存在性问题有怎样的对应关系？ 提示：全称命题与恒成立问题对应，特称命题与存在性问题对应．(1)若命题p “∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．(2)已知命题p ：∃x ∈R,9x －3x －a ＝0，若命题p 是真命题，求实数a 的取值范围.[思路探究] (1)先求p ，再求参数的取值范围．(2)令3x ＝t ，看作一元二次方程有解问题．[解析] (1) p ：∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0为真命题．则Δ＝9a 2－72≤0，解得－2≤a ≤2[答案] [－2，2](2)设3x ＝t ，由于x ∈R ，则t ∈(0，＋∞)，则9x －3x －a ＝0⇔a ＝(3x )2－3x ⇔a ＝t 2－t ，t ∈(0，＋∞)，设f (t )＝t 2－t ，t ∈(0，＋∞)，则f (t )＝21－41，当t ＝21时，f (t )min ＝－41，则函数f (t )的值域是，＋∞1， 所以实数a 的取值范围是，＋∞1.1．下列命题中是全称命题，且为假命题的是() A．存在x0∈R，sin x0＋cos x0＝2B．偶函数图象关于y轴对称C．∃m∈R，x2＋mx＋1＝0无解D．∀x∈N，x3＞x2D [A ，C 中命题是特称命题，故排除．B 为省略量词的全称命题，且为真命题．D 为全称命题．当x ＝0或1时，x 3＝x 2，故D 中命题是假命题．]2．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是( )A ．所有不能被2整除的数都是偶数B ．所有能被2整除的数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的数是偶数D ．存在一个能被2整除的数不是偶数D [全称命题的否定为相应的特称命题，即将“所有”变为“存在”，并且将结论进行否定．]3．命题p ：∃x 0∈R ，x 02＋2x 0＋5＜0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为綈p ：________.特称命题 假 ∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≥0 [命题p ：∃x 0∈R ，x 02＋2x 0＋5＜0是特称命题．因为x 2＋2x ＋5＝(x ＋1)2＋4＞0恒成立，所以命题p 为假命题．命题p 的否定为：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≥0.]4．命题“∀x ∈R ，2x ＋41>0”的否定是________． ∃x 0∈R ，2x0＋41≤0 [“∀x ∈R ，2x ＋41>0”的否定是“∃x 0∈R ，2x0＋41<0或2x0＋41＝0”即∃x 0∈R ，2x0＋41≤0]5．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假；(1)对某些实数x ，有2x ＋1>0；(2)∀x ∈{3,5,7},3x ＋1是偶函数；(3)∃x 0∈Q ，x 02＝3[解] (1)命题中含有存在量词“某些”，因此是特称命题，真命题．(2)命题中含有全称量词的符号“∀”，因此是全称命题．把3,5,7分别代入3x ＋1，得10,16,22，都是偶数，因此，该命题是真命题．(3)命题中含有存在量词的符号“∃”，因此是特称命题．由于使x2＝3成立的实数只有±，且它们都不是有理数，因此，没有一个有理数的平方等于3，所以该命题是假命题．。