3和8的最大公因数
最大公因数
2和21 2和27 15和2 25和2
特点：几组数中的两个数公因数都 只有 1 。
公因数只有 1 的两个数， 叫做——
例如：
2和3是互质数，5和7也是互质数。
公因数只有 1 的两个数，叫做互质数。 1个数，如果只有 个数 1和它本身两个约数， 这样的数叫做质数（或素数）。
什么叫做质数？
质数是对一个数来说，互质数 是对两个数的关系来说的。
1 5
5 15
3 15
1 6
2 3 9 18
2 9 6 18
1
3
4. 找出下面各组数的最大公因数。
5和11 和8 9和6 8 和9 9 和3 8和10
5 和8 4 28和7 20和25
用图表示8和12的公因数：
8 的因数 12 的因数
1 4
2 8
1 4
2 3 6 12
3
8
1
4
2
6
12
3.找出下面各组数的最大公因数。 2和4 2 6和9 3 5和10 5 7
有两根木料，一根长8米， 另一根长12米，现在要把它们 截成相等的小段，每根不许有 剩余，每小段最长是多少？一 共可以截成多少段？
1.公因数、最大公因数
几个数公有的因数，叫做这几个数的最 大公因数。其中最大的一个，叫做这几个数 的最大公因数。
2.互质数
公约数只有1的两个数，叫做互质数。 互质数是指两个数的关系，它们可以都是 质数，可以都是合数，也可以一个是质数，一 个是合数。
1、12、3 4、2、6
12和15的 公因数
1、15 、3、 1、18、2 5 9、3、6
12和18的 公因数
15和18的 公因数
1、3
公因数和公倍数知识点
公因数和公倍数知识点公因数和公倍数公因数是指两个或多个数公有的因数，而公倍数是指两个或多个数公有的倍数。
在数学中，我们常常需要求两个数的最大公因数和最小公倍数。
首先，我们需要了解一些基本知识。
两个自然数如果公因数只有1，那么它们就是互素数。
而分子、分母是互素数的分数则被称为简分数。
求最大公因数的方法有分解素因数法和短除法。
最小公倍数的求法有分解素因数和短除法，即用最大公因数乘以各自独有的因数。
对于两个数的最大公因数和最小公倍数，有三种基本情况：特殊互素、较大数是较小数的倍数、一般关系。
对于特殊情况，我们可以直接求解，而对于一般情况，我们可以使用列举法、单列举法、分解质因数法、短除法、除法算式法等方法来求解最大公因数。
对于最小公倍数的求解，我们可以使用列举法、单列举法、大数翻倍法、分解质因数法或短除法等方法。
最后，我们需要记住，当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数；当两个数是互质关系时，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
12的倍数为12、24、36、48.一种方法是单列举法，比如求18和12的最小公倍数，先找出18的倍数：18、36、54、72，再从小到大找这些倍数中哪个同时也是另一个数的倍数，最小公倍数为36.另一种方法是大数翻倍法，将较大的数翻倍，每次翻倍后检查结果是否也是另一个数的倍数，直到找到最小公倍数为止。
比如求18和12的最小公倍数，可以将18翻倍，得到36，而36又是12的倍数，因此36是18和12的最小公倍数。
还有一种方法是短除法，先用两个数同时除以一个质数（要能整除），再同时除以另一个质数，直到得到两个互质的商为止，最后将所有的除数和商相乘即可得到最小公倍数。
对于问题1，（1）既是30的因数又是45的因数的数共有4个，其中最大的是15；（2）既是30的倍数又是45的倍数的数最小是90.对于问题2，将168分解质因数得到2×2×2×3×7，其中一个因数必为7，因此这三个连续自然数只有6、7、8和7、8、9两种可能，而7、8、9这三个数任意两个数的公因数都是1，因此这三个连续自然数只能是6、7和8，它们的和为21.随堂练：1、既是30的倍数又是45的倍数还是75的倍数的数最小是450；2、三个连续自然数的最小公倍数是660，这三个连续自然数分别是220、221和222.最小公倍数和最大公因数在数学中有着广泛的应用。
(基础版)第3讲 因数和倍数(通用版,含详解)
基础版（通用）2021-2022学年小升初数学精讲精练专题汇编讲义第3讲因数和倍数知识精讲知识点一：因数与倍数的意义和特征1.意义：如果a b=c（a、b是非0自然数），那么a和b是c的因数，c是a和b的倍数例如：24=8，就说2和4是8的因数，8是2和4的倍数2.特征：①一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
例如：15最小的因数是1，最大的因数是15②一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数例如：31最小的倍数是31，没有最大的倍数。
）【提示】①研究因数与倍数时，所说的数一般指非0自然数。
②因数和倍数相互依存，不能单独说一个数是因数或倍数，应该说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。
知识点二：2 、3、5的倍数的特征①2 的倍数的特征：个位是 0、2、4、6、8。
例如：20,136,4578....②3的倍数的特征：个位是 0 或 5。
例如：21，327，.576.....③5 的倍数的特征：各位上数字的和一定是 3 的倍数。
例如：50，895 2645......○4同时是2和5的倍数的特征：个位上是0的数同时是2和5的倍数。
例如：90，340，....知识点三：奇数与偶数1.奇数：不是2的倍数的数叫作奇数，最小的奇数是1.偶数：是2的倍数的数叫作偶数，最小的偶数是0。
2.和与积的奇偶性：（1）偶数士偶数=偶数奇数士奇数=偶数奇数士偶数=奇数（2）偶数偶数=偶数奇数×奇数=奇数偶数×奇数=偶数知识点四：质数与合数1.质数：只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数（或素数），最小的质数是2.2.合数：除了1和它本身外还有别的因数，这样的数叫作合数，最小的合数是43.1既不是质数，也不是合数。
4.质因数：如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。
5，分解质因数：把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。
6，公因数只有1的两个数叫作互质数。
三个数的最大公因数和最小公倍数
三个数的最大公因数和最小公倍数在人教版《数学》第五册（下）的第96面，有这样两个题目：看到这两个题目我就在想：书上前面的内容根本就没涉及到三个数的最小公倍数，现在又要我们比较三个异分母分数的大小，是什么意思？是要我们将三个分数进行通分，还是只要求我们能比较三个分数的大小。
而且，紧接着在后面有出现这样的一个题目：这是一个带*号的题目，在《广州市义务教育阶段学科学业质量评价标准》里也没要求掌握求三个数的最大公因数和最小公倍数。
求三个数的最大公因数和最小公倍数，难就难在他们的算理和算法没有统一性，特别是求三个数的最小公倍数，理解起来，很困难。
1．理解算理．把8、12和30分解质因数．6＝2×2×212＝2×2×330＝2×3×5引导学生看着8、12和30分解质因数得到的横式先取这三个数公有的质因数2（教师用红粉笔把三个横式中公有的2圈起来），再取8和12公有的质因数2（教师用红粉笔再把这两个横式中公有的2圈起来），然后再取12和30公有的质因数3（教师用红粉笔再把这两个横式中公有的3圈起来），最后再分别取8和30各自独有的质因数2和5。
列出乘式（2×2×2×3×5）．“我们来观察这个乘式，它既包含8所有的质因数，又包含着12的和30所有的质因数，并且使所包含的质因数的个数最少．所以它是8、12和30的最小公倍数：2×2×2×3×5＝120．”那么，最大公因数，就是找出三个数共同拥有的质因数的乘积。
相对最小公倍数来说比较容易理解。
2．方法．“为了简便，通常我们也用短除分解质因数的方法，来求三个数的最小公倍数．方法与求两个数的最小公倍数差不多．”短除的竖式：第一步 2| 8 12 304 6 15除到这一步时，教师说明：“这等于先取出了三个数公有的质因数2．到此得到的三个商4、6、15已没有公有的质因数了，这时还要看其中的任何两个商是否还有公有的质因数．”接着板书短除的竖式：2| 8 12 302| 4 6 152 3 15“因为其中的两个商4和6还有公有的质因数2，所以还要用2去除4和6，商2和3；同时把没有第二次用2除的15移下来．这时3和15还有公有的质因数3，所以还要用3去除3和15，商1和5；同时把没有用3除的2移下来．”继续板书短除的竖式：2| 8 12 302|4 6 153|2 3 152 1 5“这时得到的三个商2、1、5，任何两个商都没有公有的质因数了．也就是说，其中的任何两个数都是互质数，除到这里为止．”引导学生看短除的竖式：“这里的除数2、2、3，就是8、12和30三个数公有的质因数和其中任何两个数公有的质因数．最后三个商中的2和5，就是8和30各自独有的质因数．所以，只要把每次的除数和最后的商都连乘起来，就是8、12和30的最小公倍数．”8、12和30的最小公倍数是2×2×2×3×5＝120．而求三个数的最大公因数，就只要第一步就行啦。
公因数和公倍数知识点
公因数和公倍数知识点————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:ﻩ公因数和公倍数【知识点回顾】1、公因数（1）互素数:公因数只有１的两个自然数叫做互素数。
(2)简分数：分子、分母是互素数的分数叫做简分数。
(３)求最大公因数的方法：分解素因数法和短除法。
2、公倍数求最小公倍数的方法:分解素因数和短除法，即用最大公因数×各自独有的因数。
3、求两个数的最大公因数和最小公倍数,有３种基本情况，区别如下:两个数的关系最大公因素最小公倍数特殊关系互素（７和８） 1 两个数的积（7×8=５6）较大数是较小数的倍数(12和48）较小数(1２) 较大数(48）一般关系（12和1８) 用短除法将除数连乘(2×３=6) 将除数和商连乘（2×3×2×3=3６）4、求最大公因数和最小公倍数的方法：一、特殊情况：(１）倍数关系的两个数,最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。
(如；6和12的最大公因数是6,最小公倍数是1２。
）(2）互质关系的两个数,最大公因数是１,最小公倍数是它们的乘积。
（如，5和7的最大公因数时1,最小公倍数是５×７＝３５)二、一般情况:（1)求最大公因数:列举法、单列举法、分解质因数法、短除法、除法算式法。
①列举法：如，求18和27的最大公因数先找出两个数的所有因数１8的因数有：1、2、3、６、９、１82７的因数有:１、３、9、27再找出两个数的公因数：１8的因数有:1、2、３、6、9、1827的因数有:1、3、９、271、3、９最后找出最大公因数： 9②单列举法:如,求1８和27的最大公因数先找出其中一个数的因数:１8的因数有:１、２、３、６、9、18再找这些因数中那些又是另一个数的因数：1、3、9又是27的因数最后找出最大公因数: 9③短除法:３ 18 ２73 6 92 ３除到商是互质数为止,最后把所有的除数相乘3×3＝9 ④除法算式法:用这两个数同时除以公因数,除到最大公因数为止。
最大公因数与公因数
4和8
16和32
1和7
8和9
4和8的最大公因数是： 16和32的最大公因数是： 1和7的最大公因数是：
4 16
1
8和9的最大公因数是：大公因数；1和任何非0自然数的最大公因数是1；两个连续的自然数的 最大公因数是1。
巩固练习
1．请找出下面各组数的最大公因数：
5和7
34 和 17 3
3
16 和 48
15 和 16
6
15
1
17
16
1
★A=2X3X5，B=2X3X2，A和B的
最大公因数是（
）。
★A和B是两个相邻的非零的自然数，
它们的最大公因数是( )
★整数A除以整数B(A、B不为0，)商
是13,那么A和B的最大公因数是（ ）
★所有非零自然数的公因数是（ ）
★和24相邻的两个自然数是（ ）和
A. 1
B. 3
C. 4
D. 9
A
(2) 16 和 48 的最大公因数是______。
A. 4
B. 6
C. 8
D. 16
(3) 甲数是乙数的倍数，甲、乙两数的最大公因
数是______。
D
A. 1 B. 甲数 C. 乙数 D. 甲、乙两数的积
4. 写出下列各分数分子和分母的最大公因数。
7 9 ( )1
； （4）甲是乙1的，倍2，数3，，甲6、乙的最大公因数是——。
6 1
1 18
乙
在相应的( )里写出相邻阶梯上两个数的最大公因数。
72 36 ( 3)6 24 ( 1)2 18 ( 6) 15 ( 3) 10 ( 5)
找出下面每组数的最大公因数。
第3讲 巧用最大公因数与最小公倍数(教师版)
5. 三位小朋友每人隔不同天数到图书馆借书一次，甲 4 天去 1 次，乙 5 天去一 次，丙 6 天去一次，上次他们是星期四在图书馆相遇的，问：还要多少天他们才 在图书馆再次相遇？相遇时是星期几？ 解：[4,5,6]=60,还要 60 天他们才在图书馆再次相遇，60÷7=8（周）余 4 天， 星期四之后第四天是星期一，即相遇时是星期一. 6. a，b 两数的最大公约数为 4，最小公倍数为 120.问 a，b 各是多少？写出所 有答案. 解：设 m=4,mcd=120,mc=a,md=b,(c,d 互质)，所以 cd=30,如下表，所以有四组 解.
5<9，所以黄鼠狼先掉进陷阱.
课后作业
1. 有一个四边形的广场，它的四边长分别是 60 米、72 米、96 米、84 米，现在 要在四边种上树，如果四边上每两棵树间隔距离都相等，至少要种多少棵树？ 解： （60,72,96,84）=12， （60+72+96+84）÷12=26 棵. 2. 把 1,2,3,4,5,6,7,8,9 九个数字依不同的次序排列，可以得到 362880 个不同的九 位数，求所有这些九位数的最大公因数. 解：9. 3. 某市公交一公司有 1 路、3 路、5 路三条不同线路的公交车.1 路车每 5 分钟发 一辆车，3 路车每 6 分钟发一辆车，5 路车每 10 分钟发一辆车.三条线路的车在 同一时间发车后，再经过多少分钟又同时发车？ 解：[5,6,10]=30,所以再经过 30 分钟又同时发车. 4. 测量土地的技术人员用的测量标尺上用红、白、黑三种颜色做标记，分别将 标尺平均分成了 10 等份、12 等份和 15 等份.如果沿这三种标记从一端向另一端 （不重复、不交叉） ，标尺总共被分成了多少段？ [10,12,15]=60,60÷10=6,60÷12=5,60÷15=4,10+12+15-60÷[6,5]-60÷[5,4]-60 解： ÷[6,4]+1=28 段.
最大公因数最小公倍数
短除法
求几个数的最大公因数： ① 必须每次用这几个数的公因数去除； ② 一直除到这几个数的商互质为止（不一定是两两互质）， ③短除式中所有除数的乘积就是最大公因数。
求几个数的最小公倍数： ① 每次用这几个数的公因数去除，只要有两个数有共同的因数就一直除 ② 一直除到两两互质为止 ③所有除数与最后的商的乘积就是最小公倍数。
最大公因数和最小公倍数
一辆自行车的前轮齿有50齿，而后轮齿有24齿，请问前齿轮最 少要转多少圈后才能使前后轮都同时转到最开始的位置？
① 先求出最小公倍数
【50,24】=600
② 看清题意是前齿轮转多少圈 ② 600÷50=12（圈）
请问后齿轮最少要转多少圈后才能使 前后轮都同时转到最开始的位置？
综合练习 最大公因数和最小公倍数
因数分解法
求36、48、30的最大公因数和最小公倍数
最大公因数和最小公倍数
题型二 求36、48、30的最大公因数和最小公倍数
短除法
2 36 48 30 3 18 24 15 2 6 85 345
（36、48、30）=2×3=6 【36、48、30】=2×3×2×3×4×5=720
最大公因数和最小公倍数
6×72=432 432÷18=24
最大公因数和最小公倍数
练习
题型一 已知A数为24,A与B的最小公倍数为168,最大公因数为4,那么B
数为多少?
最大公因数和最小公倍数
拓展
题型一 两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。这两个自然
数的和是77，求这两个自然数。
① 求出这两个自然数的积 210×7=1470
次，丙每9天去一次，如果3月5日他们三人在图书馆相遇，那么下一次都