双层玻璃隔音效果(数学建模)

双层玻璃隔音问题
班级：2012级软件4班
小组成员：周冀浩()
游清文()
2013-10-22
摘要
社会现代化进程的快速发展，各种机械设备的创造和使用，给人类带来了繁荣和进步，但同时也产生了越来越多而且越来越强的噪音。

噪音严重影响人的生活、学习以及工作，对人的身体健康也有极大的影响。

因此，怎样减少噪音成了重要的研究课题。

本文通过对双层玻璃与单层玻璃隔音量的比较研究双层玻璃的隔音效果，建立了在不同介质中声音的衰减模型。

考虑到声音在介质中衰减的不好计算，通过微积分的方法处理得到声音强度级I 0的一声波，通过为吸收系数为k 厚度为d 的介质的后声波所剩下的强度I ，他们
的关系为kd
e I I -=0；声波传到玻璃会有一定量的反射，反射率的计算
公式为2
21221)()(n n n n +-=ρ。

点声源在空气中的声强级衰减公式为
)4
1lg(102r I π∆=。

一、问题重述
临街的房屋通常都安装双层玻璃，目的就是为了减少噪声。

试建立模型分析一下双层玻璃的隔音效果，并且进一步分析对于一栋临街的楼房不同楼层隔音效果的变化。

（考虑11层的正规楼房，噪声源离房屋20米，噪声90分贝）
二、问题分析
本问题的关键在于寻找声音在穿越玻璃的过程中能量的变化规律，即找到声波在穿过玻璃后的隔声量。

此变化规律不仅与声音的自身属性（频率、声压、声强等）有关，还会受到外部因素（例如介质的吸收
率、介质的密度等）的影响。

因此，对本问题的考虑会涉及到这两个主要方面。

本题难点在于不同频率不同方向的噪音传播效果不同，即难精确计算声音损失量。

而且双层玻璃间的空气会对声音产生共振减弱等作用削弱声音的传播，这也增大了对问题求解的难度。

因此，课一考虑对模型作一定的理想化，忽略一些难度大影响又小的因素，而只考虑主要因素。

一定程度上保证了所用方法的科学性和计算结果的合理性。

三、模型假设
因为阻碍物远大于噪音波长，衍射现象不明显，所以不考虑衍射现象带来的影响。

不考虑钢化玻璃的弹性，即忽略声波入射到钢化玻璃上时激起的弯曲振动。

双层玻璃材质均匀，厚度相同，声传导系数为常数。

假定窗户的密闭性能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的。

假设玻璃内外两侧所处环境的温度不变。

四、模型建立与求解
图1
双层玻璃窗与单层玻璃窗
根据物理学知识可知，沿x 轴正方向的平面波通过均匀介质，则波的强度级是波面位置x 的函数，即I=I(x)。

设I(0)=I 0，波经过x 与x+dx 两平面所夹的一层薄介质后，波的强度减少了dI ，即有-dI=kIdx ，其中k 为介质的吸收系数。

对上式两边同时进行积分可得：⎰⎰-=x I
I kdx
I dI
00
即得到：kd
e I I -=0
设k 1为玻璃的吸收系数，k 2为空气的吸收系数；n 1为玻璃折射率，
n 2为空气折射率。

对于双层玻璃窗(如图1)：声音反射率
2
212
21)()(n n n n +-=ρ，由于双层玻璃间距离很小，对声音的衰减量很小，
所以忽略不计，由此可得到
ρ⨯-=-111I e I I d k a ρ⨯-=-a d k a I e I I 12
由(1)(2)式可得：
212)(1ρ-=-d k e I I
对于单层玻璃：
ρ
⨯-=-12131I e I I d k
根据(3)(4)两式有：
ρ
ρρ-+-+=--d k d k e e I I 11232)21(1 通过资料可计算出)21(1ρρ+--d
k e
<0恒成立，所以I 2/I 3<0
，即
I 2<I 3。

所以双层玻璃的隔音效果强于单层玻璃。

五、模型推广
对于11层高的楼房，声源距楼房20米，声源强度90分贝的模型。

图2
楼层示意图
设声源到楼层实际距离为
R
，楼层高为H ，声源到一层的距离为S
=20m ，根据实际情况，每层楼的高度为h =3
m ，楼层数为b 。

声源到楼层的实际距离为：2
2H S R +=，bh H =
由于声强级在空气中的衰减量公式为：
)4
1
lg(102
R I π∆= 由(6)(7)式有)]9(4
1lg[102
2b S I +=π∆
为方便计算，假设噪声的频率为500Hz ，则k 1=，玻璃厚度d 为4mm ，
玻璃的折射率n 1=，空气近似真空，折射率n 2=1。

于是，
穿过第一层的声强为：I a = 穿过第十一层的声强为：I b =
dB 6899.4=-=b a I I I ∆，可知其差距ΔI 较小，所以楼层高度对
噪音的传播几乎无影响。

六、参考文献
[1]姜启元 谢金星 叶俊 《数学模型》 高等教育出版社 2011 [2]史君林 涂学海 吴松 双层玻璃隔音效果分析模型 七、附录。