拉普拉斯变换 例题解析
5.3 拉普拉斯变换的性质及应用
F (s s0 )的ROC : Re[ s s0 ] 1 即 Re[ s] 1 Re[ s0 ]
5.3 拉普拉斯变换的性质及应用
4. 复频移特性 例5.3-3 求 e 解： 因为
- at
sin wt 和 e-at coswt 的拉氏变换。
s 例5.3-2: 已知因果函数f(t)的象函数 F ( s) = 2 ，求f(2t)的象 s +1 函数。
解：
s f (t ) « 2 s +1
Re[ s] > 0
f (at ) 1 s F Re[ s] a 0 a a
由尺度变换性质有：
s 1 s 2 f (2t ) « × = 2 2 2 æsö s +4 ç ÷ +1 è2ø
f (t )
0
s f (t )e st dt
0
sF (s) f (0 )
f
(2)
Re[ s] 0
d (1) (t ) f (t ) dt
LT [ f ( 2) (t )] s[sF (s) f (0 )] f (1) (0 ) s 2 F (s) sf (0 ) f (1) (0 )
Re[ s] 0
LT [ f (3) (t )] s[s 2 F (s) sf (0 ) f (1) (0 )] f ( 2) (0 ) s 3 F (s) s 2 f (0 ) sf (1) (0 ) f ( 2) (0 )
Re[ s] 0
a 0, b 0, 求f1(t)的象函数。
解:
L f t f t u t F s
第四章拉普拉斯变换与S域分析
第二种情况：极点为共轭复数
共轭极点出现在
求f(t)
例题
另一种方法
求下示函数F(s) 的逆变换f(t)： 解：F(s)具有共轭极点，不必用部分分式展开法
求得
部分分式展开法
(3)极点包含多重根的情况 (k重根p1 )
A( s ) F ( s) k ( s p1 ) D( s )
其中D(s)为分母除去多重根剩余 部分
证明：
推广：
电感元件的s域模型
设 应用原函数微分性质
三．原函数的积分
证明：
① ②
① ②
电容元件的s域模型
四．延时（时域平移）
证明：
例题 4-3-1
已知
证明：
例4-6
求 e α t cosω0 t的拉氏变换
s 已知 : Lcosω0 t u( t ) 2 s ω02
所以 e
其中k1 sF ( s ) s 0 10( s 2)( s 5) ( s 1)( s 3) 100 3
s 0
举例4.1:
解：k2 ( s 1) F ( s ) s 1 10( s 2)( s 5) ( s 3) 20
s 1
k3 ( s 3) F ( s ) s 3 10( s 2)( s 5) s( s 1) 10 3
部分分式展开法
A( s ) 设F ( s ) 1 D( s )
F1 ( s ) 则F ( s ) ( s p1 ) k
分解
K1i K11 k ( s p1 ) ( s p1 ) k i 1 K1k s p1
部分分式展开法
1 d i 1 其中K1i i 1 F1 ( s) s p 1 (i 1)! ds
第十四章拉普拉斯变换
第十四章 拉普拉斯变换典型例题例14-1 求以下函数的象函数。
（1）单位冲激信号()t δ （2）单位阶跃信号()t ε （3）单边指数信号()t e at ε- （4）单边正弦信号()t t εωsin 解（1） 单位冲激信号()t δ的象函数()()[]()10=====--∞⎰-t stst e ds e t t L s F δδ即 ()1↔t δ （14-5） 可以看出，按拉氏变换定义式（14-1）进行计算，能计及t=0时()t f 中所包含冲激函数。
（2） 单位阶跃信号()t ε的象函数()()[]()se s ds e ds e t t L s F st st st 11000=-====∞-∞--∞⎰⎰-εε即 ()st 1↔ε （14-6）由于()t f 的单边拉氏变换其积分区间为[)∞-,0，故对定义在()∞∞-,上的实函数()t f 进行单边拉氏变换时，相当于()()t t f ε的变换。
所以常数1的拉氏变换与()t ε的拉氏变换相同，即有 s 11↔同理，常数A 的拉氏变换为 sAA ↔ （14-7）（3）指数信号()t eatε-的象函数()()[]()as dt e dt e e t e L s F t s a st at at +====⎰⎰∞+-∞-----10ε 即 ()as t e at+↔-1ε （14-8） 同理()as t e at -↔1ε（4） 单边正弦信号()t t εωsin 的象函数 由于 ()t j tj e e jt ωωω--=21sin 故()()[]()()22112121sin ωωωωεεωωω-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-s j s j s j t e e j L t t L s F t j t j 即 ()22sin ωωεω-↔s t t （14-9）例14-2 求单边余弦信号()t t εωcos 的象函数。
拉普拉斯变换实验报告答案
评分：《信号与系统》实验报告实验题目：拉普拉斯变换实验班级：姓名：学号：指导教师：实验日期：拉普拉斯变换实验一、实验目的：1、了解拉普拉斯变换及其逆变换的符号方法；2、了解由系统函数零、极点分布决定时域特性，并绘制出图形；3、了解由系统函数零、极点分布决定时域特性，并绘制出图形。
二、实验设备：多媒体计算机，matlab软件。
三、实验内容：１．例题4-8 求下示函数的逆变换F（s）=10(s+2)(s+5)/s(s+1)(s+3)该题中，所编程序为：clear all, close all, clc; %清除所有变量并清除屏幕内容syms s; %定义系统sf = ilaplace(10*(s+2)*(s+5)/s/(s+1)/(s+3)) %进行拉式变换实验结果:f =100/3 - (10*exp(-3*t))/3 - 20*exp(-t)2.例题4-9 求下示函数的逆变换F（s）=(s^3+5s^2+9s+7)/(s+1)(s+2)该题中，所编程序为：clear all, close all, clc; %清除所有变量并清除屏幕内容b = [1,5,9,7]; %函数分子的系数a1 = [1,1]; %函数分母第一个因式的系数a2 = [1,2]; %函数分母第二个因式的系数a = conv(a1,a2); %令a的值使a1，a2收敛[r,p,k] = residue(b,a) %是函数部分分式展开运行结果为：r =-12p =-2-1k =1 23.例题4-10 求下示函数的逆变换F（s）=(s^2+3)/(s^2+2s+5)(s+2)该题中，所编程序为：clear all, close all, clc; %清除所有变量并清除屏幕内容b = [1,0,3]; %函数分子的系数a1 = [1,2,5]; %函数分母第一个因式的系数a2 = [1,2]; %函数分母第二个因式的系数a = conv(a1,a2); %令a的值使a1，a2收敛[r,p,k] = residue(b,a) %是函数部分分式展开运行结果为：r =-0.2000 + 0.4000i-0.2000 - 0.4000i1.4000p =-1.0000 + 2.0000i-1.0000 - 2.0000i-2.0000k =[]4.例题4-12 求下示函数的逆变换F(s)=(s-2)/s(s+1) ^3该题中，所编程序为：clear all, close all, clc; %清除所有变量并清除屏幕内容b = [1,-2]; %函数分子的系数a1 = [1,0]; %函数分母第一个因式的系数a2 = [1,1] %函数分母第二个因式的系数a = conv(conv(a1,a2),conv(a2,a2)); %令a的值使a1，a2收敛的收敛[r,p,k] = residue(b,a) %是函数部分分式展开运行结果为：r =2.00002.00003.0000-2.0000p =-1.0000-1.0000-1.0000k =[]５.例题4-17图4-17所示电路在t=0时开关S闭合，接入信号源e(t)=VmSIN(wt),电感起始电流等于零，求电流i(t)。
考研高数总复习Laplace变换性质(讲解)
0
sin t dt t
0
1 π d s arctan s |0 2 s 1 2
四、位移性质 若L [f (t)]=F (s), 则有 L [eat f (t)]=F (s-a) (Re (s-a)>c)
证明:
根据Laplace变换式, 有
at
求L [ea t t m].
m
( m 1) 利用位移性质， , 已知 L [ t ] m 1 s
可得:
( m 1) L [e t ] m 1 (s a)
at m
求L [e –at sin k t].
k 已知 L [sin kt ] 2 , 利用位移性质， 2 s k
t t L d t d t 0 0 n次 1 f (t ) d t n F ( s) s
t 0
三、积分性质
由Laplace变换存在定理, 可得象函数积分 性质: 若L [f (t)]=F (s), 则
f (t ) L t
L f (t k ) L [ f (t k )] k 0 k 0
F ( s )e ks
k 0
,有 0
1 F ( s) (Re( s ) c ) s 1 e
求如图所示的单个半正弦波 的Laplace变换. f t
由象函数的微分性质,有
d k L [t sin kt ] 2 ds s k 2
k L [sin kt ] 2 s k2
同理
s
2ks
2
k2
2
(Re( s ) 0)
拉普拉斯变换详解
s2 s2
s
例3 求周期函数的拉氏变换
解
设f1(t)为第一周函数
[ f1(t )] F1(s)
f(t) 1
T/2 T
... t
则：
1 [ f (t )] 1 esT F1(s)
证：f (t) f1(t) f1(t T )ε(t T )
f1(t 2T )ε(t 2T )
[ f (t )] F1(s) esT F1(s) e2sT F1(s)
S
校验：
U(S)
1
S(1 SRC )
u(0
)
lim
s
S
S(1
1 SRC
)
lim
s
(1
1 SRC
)
0
u() lim 1 1 s0 (1 SRC )
小结： 积分
(t) (t)
t (t ) t n (t)
1
1
1
n!
S
S2 S n1
微分
sint (t)
S2 2
e-tt n (t )
)
例3 求 : f (t) teat的象函数
解
[te αt ] d ( 1 ) 1
ds s α (s α)2
3.积分性质
设： [ f (t)] F (s)
则：
t
1
[ 0
f
(t)dt]
s
F(s)
证：令
t
[ 0
f
(t)dt]
φ( s )
[ f (t)]
d dt
t
0
f
(t )dt
(s
p
)
kn
s pn
f
考研高数总复习Laplace变换应用(讲解)
dY ds (分离变量法) Y s2
第 9页
积分得
lnY ( s)ห้องสมุดไป่ตู้ ln 2 s ln C ,
C Y s s2
得
取逆变换得
y t Ce 2t .
下面确定 C . 令 t 0 得 1 y 0 C .
2t y t e . 得
2 s 1 Y s sX s s s 1 1 2 sY s s 1 X s 2 s s 1
第25页
1 解得 Y s 2 s s 1 X s 2s 1 2 s s 1 1 由 Y s 得 2 s s 1
t0
0
对方程的两边取Laplace变换,得
RCsU C s U C s L e t
L e t L U m sin t cos cos t sin
第17页
U m cos U m s sin 2 2 2 s s 2 Um 2 cos s sin 2 s Um cos s sin 得 RCsU C s U C s 2 2 s U m cos s sin 即 U s .
第10页
的解.其中 h t , f t 为定义在 0, 的已知函数.
求积分方程 y t h t 0 y t f d
t
设 L [ y(t )] Y ( s ), L [h( t )] H ( s ).
L [ f (t )] F ( s ). 对方程的两边取Laplace变换,得
拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用
拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用学生姓名：岳艳林班 级：物电系物本0801班学 号：0036 指导老师：韩新华摘要通过对拉普拉斯变换在求解常微分方程、典型偏微分方程中的应用举例，综合比较、归纳总结拉普拉斯变换在求解微分方程中的优势以及局限性。
关键词拉普拉斯变换 常微分方程 偏微分方程 引言傅里叶变换和拉普拉斯变换是常用的积分变换，但对函数进行傅里叶变换时必须满足很强的条件，于是人们将傅里叶变换进行改造便得到在物理和工程等领域有着广泛应用的拉普拉斯变换。
本文通过具体例子，重点讨论拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用。
应用拉普拉斯变换求解微分方程的步骤如下：1、对线性微分方程中每一项进行拉氏变换，使微分方程变为s 的代数方程；2、解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；3、用拉氏反变换得到微分方程的时域解。
微分方程的解 取拉普拉斯逆变换解代数方程取拉普拉斯变换一、拉普拉斯变换以及性质。
1．拉普拉斯变换的定义。
傅里叶变换要求满足狄里希利和在+∞<<∞-t 内绝对可积，但是在物理、无线电技术等十几应用中，许多以时间t 为自变量的函数通常在t<0时不需要考虑或者没有意义，像这样的函数不能取傅里叶变换。
为避免上述两个缺点，将函数进行适当改造，便产生了拉普拉斯变换。
设函数f(t)(t ≥0)满足下列条件：⑴在区间[0，∞)上，除了有限个第一类间断点外，函数f(t)及它的导数)('t f 处处连续，即函数f(t)分段连续；⑵存在常数M ＞0和δ≥0，使对任何t 值(t ≥0)，有| f(t)| ＜M ｔδe ，即随着t 的增大，函数| f(t)|的增大不比某个指数函数快，其中δ为其增长指数。
此时积分⎰+∞->+=0)0,(,)(c i c s dt et f stω在半平面Re(s)>c 上一定存在,在c c s >≥1)Re(上绝对且一致收敛。
则此积分所确定的函数⎰+∞-=)()(dt e t f s F st (t ≥0 )(在半平面Re(s)>c 内，F(s)为解析函数)称为f(t)的拉普拉斯变换（简称拉氏变换）或像函数，而f(t) 称为F(s)的拉普拉斯逆变换（简称拉氏逆变换）或原函数。
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L⎢⎣⎡e −2t cos(5t
−
π 3
)⎥⎦⎤
=
⎧ L⎨e
⎩
−2t
cos⎢⎣⎡5(t
−
π 15
)⎥⎦⎤⎭⎬⎫
( ) =
⎧
π -s
⎨e 15
⎩
s2
s +
52
⎫ ⎬ ⎭s→s+2
− π (s+2)
= e 15 ⋅
s+2 s + 2 2 + 52
（5）终值定理（极限确实存在时）
lim f (t) = f (∞) = lim s ⋅ F(s)
( ) L :
s2
+
2s
+
2
L(s)
=
2U a
(s)
=
2 s
L(s)
=
(s s2
2 + 2s
+
2)
L−1 : l(t) = L-1[L(s)]
复习拉普拉斯变换的有关内容
1 复数有关概念
（1）复数、复函数
复数
s = σ + jω
复函数 F(s) = Fx + jFy
例： F(s) = s + 2 = σ + 2 + jω
ss
s
虚位移定理： [L eat ⋅ f (t)] = F(s - a)
（证略）
z 例 6：求 L[eat ]
[ ] [ ] 解 : L eat = L 1(t)⋅ eat = 1 s−a
[ ] z
例
7： L e-3t
⋅ cos5t
=
s2
s + 52
s→s+3
=
s+3
(s + 3)2 + 52
z
例
8：
[ ] ∴ f (t) = 1 1 − e−at a
微分方程一般形式：
C(n) + a1C(n-1) + L + a n-1C′ + C = b0r(m) + b1r(m-1) + L + bm-1r′ + bmr
L : (设初条件为0)
[ ] [ ] sn + a1sn-1 + a2sn-2 +L+ a n-1s + an C(s) = b0sm + b1sm−1 +L+ bm-1s + bm R(s)
=
1⎡ 2j ⎢⎣s
−1 − jω
e−(s− jω)t
∞ 0
−
s
−1 + jω
e−(s+ jω )t
∞⎤ 0 ⎥⎦
=
1 2j
⎡ ⎢⎣ s
1 − jω
−
s
1 + jω
⎤ ⎥ ⎦
= 1 ⋅ 2jω = ω 2j s2 + ω 2 s2 + ω 2
4 拉氏变换的几个重要定理
（1）线性性质： L[af1(t) + bf2 (t)] = aF1(s) + bF2 (s)
( ) 1).F(s) = 2s2 − 5s +1 s s2 +1
f(t) = 1+ cost-5sint
2).F(s)
=
s2
+
s 8s
+ 17
3).F(s)
=
s3
+
21s2
1 + 120s
+
100
4).F(s)
=
s
(s
3s2
+ 2)
+ 2s + 8 (s2 + 2s
+
4)
f(t) = 17e−4tcos(t +14o )
0
= sF(s) − f (0)
=右
进一步：L ⎡⎣f (n) ( t )⎤⎦ = snF(s) − sn-1f (0) − sn-2f ′(0) −L− sf (n-2) (0) − f (n−1) (0)
[ ] 零初始条件下有： L f (n)(t) = sn ⋅ F(s)
z 例 1：求 L[δ (t)]
t=0
=
1 s3
（4）位移定理
实位移定理： L[f (t -τ )] = e−τs ⋅ F(s)
⎧0 t < 0
z 例 5： f (t) = ⎪⎨1 0 < t < 1
⎪⎩0 t > 0
求F(s)
解： f (t) = 1(t) −1(t − 1)
( ) ∴ F(s) = 1 − 1 ⋅ e−s = 1 1 − e−s
第二章：控制系统的数学模型
§2.1 引言
·系统数学模型－描述系统输入、输出及系统内部变量之间关系的数学表达
式。
·建模方法
⎧机理分析法 ⎩⎨实验法（辩识法）
·本章所讲的模型形式
⎧时域：微分方程 ⎩⎨复域：传递函数
§2.2 控制系统时域数学模型
1、 线性元部件、系统微分方程的建立
（1）L-R-C 网络
ur
（2）复数模、相角
F(s) = Fx2 + Fy2 ∠F(s) = arctg Fy
Fx
（3）复数的共轭
F(s) = Fx − jFy
（4）解析：若 F(s)在 s 点的各阶导数都存在，称 F(s)在 s 点解析。
2 拉氏变换定义
F(s)
=
L[f
(t
)]
=
∫∞
0
f
(t
)
⋅
e
−st
dt
3 几种常见函数的拉氏变换
∫ (1) 反变换公式： f (t) = 1
σ
+
j∞
F(s).e
st
ds
2πj σ − j∞
(2) 查表法——分解部分分式(留数法，待定系数法，试凑法)
例1.F(s) = 1 ,求f(t) s(s + a)
解.F(s)
=
1 a
(s + s(s
a) - s + a)
=
1 a
⎡1 ⎢⎣ s
−
s
1 +
a
⎤ ⎥⎦
y(α ) = E0cosα
解：在α = α 处线性化展开，只取线性项： 0 y(α ) = y(α0 ) + E0 (− sinα0 )(α − α0 )
令 Δy = y(α )- y(α0 )
Δα = α − α 0
得 Δy = −E0sinα 0 ⋅ Δα
3、 用拉氏变换解微分方程
&l& + 2l& + 2l = 2ua （初条件为 0）
z 例 3：求 L[t]=?
解：Q t = ∫1(t)dt
[ ] ∴ L[t] = L ∫1(t)dt
=
1 s
⋅
1 s
+
1 s
t
t=0
=
1 s2
z
例
4：求
⎡ L⎢
⎣
t2 2
⎤ ⎥ ⎦
解：Q t 2
2
=
∫ tdt
[∫ ] ∴
⎡ L⎢
⎣
t2 2
⎤ ⎥ ⎦
=
L
tdt
=1⋅ 1 s s2
+ 1⋅ t2 s2
0
0
[ ] =
−1 s−a
e −(s−a ) t
∞ 0
=
− 1 (0 − 1) = s−a
1 s−a
3.
正弦函数：
f
(t)
=
⎧0 ⎩⎨sinωt
t <0 t≥0
∞
L[f (t)] = ∫ sinωt ⋅ e−stdt
0
∫ [ ] ∞
=
1
e jωt − e− jωt
⋅ e−stdt
0 2j
∫ [ ] = ∞ 1 e-(s- jω)t − e−(s+ jω)t dt 0 2j
t→∞
s→0
∞
证明：由微分定理 ∫ f ′(t)e−stdt = sF(s) − f (0)
0
∞
∫ 取极限： lim f ′(t)e−stdt = limsF(s) − f (0)
s→0
s→0
0
[ ] ∞
∞
∫ ∫ 左 = f ′(t) lime−st dt = f ′(t)⋅1⋅ dt = f (t) ∞
≠
lim
s→0
s
s2
ω + ω2
=
0
拉氏变换附加作业 一． 已知 f(t),求 F(s)=?
1 -t
1).f(t) = 1-e T
1
F(s)
=
1− s
1 s+ 1
T
=
T
s
⎛ ⎜⎝
s
+
1 T
⎞ ⎟⎠
2).f (t) = 0.03(1− cos2t)
( ) F(s)
=
0.03
⎡1 ⎢⎣ s
−
s2
s +
22
+ c2 s − p2
+ c3 s − p3
+
L
+
s→0
0
0
0
= f (∞) − f (0) = 右 = limsF(s) − f (0)
s→0
∴有： f (∞) = lim sF(s) 证毕 s→0
z
例
9：
F(s)