系统的可靠性

（ 3-1）
Ri(t)——单元i的可靠度
串联系统的可靠度Rs与串联单元的数量n及其可靠度Ri有关。由于o≤Ri≤1，所 以，Rs(t)随单元数的增加而降低。串联系统的可靠度总是小于系统中任一单元的 可靠度。因此，在串联系统中不应有任何特别薄弱的环节，应尽可能由等可靠度 的单元组成，并尽可能简化设计，减少分系统或元件数量，以提高整个系统的可 靠度。
“F”代表系统失效，“S”代表系统工作。
（见表）
根据概率论，整个系统能正常工作的概率为各单元工作和失效概率的乘 积。
因此，系统处于正常工作状态的事件为：
____
__
__ ___
__
____
__
___
S ABCD A BCD A B C D A B CD ABCD ABC D ABC D ABCD
Rsw,则该旁联系统的可靠度为：
Rs (t)
et
Rsw
1 2 1
(e 1t
e2t )
（3-18）
并联系统和表决系统都是工作冗余，也叫热储备，而旁联系统为非工作冗余， 也叫冷储备。
第三讲 系统的可靠性
四、复杂系统的可靠性 既非串联又非并联的系统为复杂系统。见下图：
A
B
C
D
一般采用两种方法计算系统的可靠度： 1、布尔真值表法（穷举法） 2、卡诺图法（概率图法）
当系统为n个等可靠度单元所组成时，则：
Rs (t) Rin (t)
第三讲 系统的可靠性
第三讲 系统的可靠性
若各单元的寿命均服从指数分布，即Ri(t)=e-it,式中i为第i个单元的失效率，则：
n
n
Rs(t) eit exp[ i 1 式中s为串联系统的失效率：
i 1
it]
est
（3-2）
系统又叫链条模型。
[例题] 如果一个串联系统由10个失效率 均等于10-5/h的单元组成，且已知各单 元的寿命均服从指数分布，试求该系统的失效率，平均寿命MTTFs及工作 到104h时的可靠度Rs(104h).
解：将n=10, =10-5/h代入式（3-5）可得：
=1010-5/h=10-4/h
MTTFs=1/ s=1/(10-4/h)=104h
第三讲 系统的可靠性
1、布尔真值表法
该方法是把模型看成一个开关网络，每一单元只有两种状态：工作状态 和失效状态。根据可靠性框图，列出各单元的两种状态的全部组合的表 格，判定系统的工作状态，把全部能工作的概率相加，就是系统能正常 工作的概率，即系统的可靠度。
当元件数为n,则有2n个状态。“0”表示单元失效，“1”表示单元工 作。
第三讲 系统的可靠性
=（1-0.9)(1-0.8)0.7 0.6+……+0.9 0.8 0.7 0.6=0.8700
但是，单元数不能太多，否则太繁琐。
第三讲 系统的可靠性
2、卡诺图法
将布而真值表各行转移到方格中，每个方格代表系统的一种状态，系统处于S状 态则标以“”，将标以“”的各相邻方格按行列分组，并用虚线隔开，即得到 卡诺图。
组成系统的所有单元中，只要有任何一个单元失效就会导致整个系统失效，这 个系统就称为串联系统。其可靠性框图为。
1
2
n
设各单元的失效互相独立，则由n个单元组成的串联系统的可靠度可根据概率乘 法定理按下式计算：
第三讲 系统的可靠性
n
Rs
(t)
R1(t)
R2
(t)
Rn
(t
)
i1
Ri
(t
)
式中 Rs(t)——系统的可靠度
下图表示了并联系统可靠度Rs的曲线图，由图中可以看出，随 着并联元件的增加，可靠度的增量逐渐减少，因此，通常采用 n3。
第三讲 系统的可靠性
第三讲 系统的可靠性
当单元的失效寿命为指数分布时,并假设每个单元的失效率都相同,
则并联系统的可靠度为：
Rs (t) 1 (1 et)n
（3-9）
式中 为单元的失效率 ， n为单元数。
n
n
Rs (t) Cni (et )i[1 et ]ni Cni eit (1 et )ni
所以：
ik
ik
MTTFs
0 Rs (t)dt
[
0
n
Cni eit (1 et )ni ]dt
用归纳法可证明：
ik
（3-14） (3-15)
Cni
eit (1 et )ni dt 1
0
单元B
单元A
单元A
等效单元 EBC
单元C
可靠度为：
Rs(t) RA(t) RE (t) RA(t)1[1 RB (t)][1 RC (t)]} （3-11）
第三讲 系统的可靠性
3、表决系统的可靠性
如果组成系统的n个单元中，只要有k个（1kn)单元不失效，系统 就不会失效，这样的系统称为k/n系统，即表决系统。
系统处于工作状态的概率：
__
__
__
A B CD A BCD A CD
__
__
__
ABC D AB C D ABCD ABC D AB
__
__
__
AB C D A B CD A B D
因此：
__
__
S AB A B D A CD
系统可靠度为：
Rs=RARB+RAFBRD+FARCRD=0.8700
将 s，t=104h代入式（3-2）可得
Rs(104h)=e-10-4 104=e-1=0.368
第三讲 系统的可靠性
三、冗余系统的可靠性 1、并联系统的可靠性 如果组成系统的所有单元都失效，整个系统才会失效，该系统为并联系统。这 种系统只要有一个单元不失效，整个系统就不会失效。逻辑图为：
1
2
n 由n个单元组成的并联系统的不可靠度，可根据概率乘法定律按下式计算：
将n=3,k=2 代入式3-14 得
Rs (t) e3t C32e2t (1 et ) 3e2t 2e3t
第三讲 系统的可靠性
将t=104h 代入上式，可得： R(104h)=3e-2 10-5 104-2e-3 10-5 104=0.9746
4、旁联系统的可靠性
旁联系统也叫待机系统，系统由n个单元组成，其中只有一个单元在工作， 其余n-1个作备用。当工作单元失效时，通过失效检测装置及转换装置， 另一单元立即开始工作，单元逐个顶替工作，直到全部单元失效为止。
性逻辑图，建立系统可靠性数学模型，把系统的可靠性特征量(例如可靠 度，MTTF等)表示为各子系统可靠性特征量的函数，然后通过已知的子 系统可靠性特征量计算出系统可靠性特征量。
系统的原理框图是绘制可靠性框图依据之一，原理框图表示的是系 统各组成部分间的物理关系。可靠性框图则表示了系统为完成规定功能 的各单元之间的逻辑关系，所以也叫逻辑图。逻辑图反映了子系统之间 的功能关系，为计算系统的可靠度提供数学模型。 例如，由管路和两阀 门A、B所组成的液压系统，其原理框图如图3—1a所示。
i
第三讲 系统的可靠性
这样：
n
MTTFs
1 1 (1
1
1)
ik i k k 1
n
（3-16）
[例题]设某n个取k系统的n=3、k=2,若各单元的失效率均为10-5/h，且已知 各单元的寿命均服从指数分布，试求该系统的平均寿命MTTFs及工作到 104h时的可靠度Rs(104h).
解： 由式（3-16）得系统的平均寿命 MTTFs=1/2 +1/3 =5/6 1/ =5/6 1/10-5=0.833 105h
可靠性框图为：
工作单元
1
检测装置
2
Se
Sw
待机单元
n
装换装置
第三讲 系统的可靠性
如系统中失效检测和装换装置可靠度为1，各单元元件在储存期内不影响其寿 命，当各单元失效率相同时，系统的可靠度为：
Rs
(t)
et
n1 k 0
(t)k
k!
（3-17）
如果旁联系统分别由1和2两个单元组成，其失效检测和转换装置的可靠性为
并联系统的平均寿命为：
MTTF
0
Rs
(t)dt
1
1
2
1
n
1
n1 i1 i
（3-10）
很多股钢丝编成的钢丝绳就是并联系统。 并联系统又叫绳索模型。
第三讲 系统的可靠性
[例题]如果一个并联系统由3个失效率均等于10-5/h的单元 组成，且已知各单元的寿命均服从指数分布，试求该 系统的平均寿命MTTFs及工作到104h时的可靠度 Rs(104h). 解：由（3-10）可得
设表决系统中每个单元的可靠度为R(t),根据二项分布，在n中取k的 概率为：
Rx P(x, n) Cnx pxqnx CnxRx (1 R)nx
n中取k，即大于k时均是可靠的，
n
Rs (k, n) Cni [R(t)]i[1 R(t)]ni ik
（3-13）
第三讲 系统的可靠性
若各单元的寿命均服从指数分布，即R(t)=e- t, 为各单元的失效率， 则系统可靠度Rs(t)为：
第三讲 系统的可靠性
第三讲 系统的可靠性
当系统功能是保证液体通过时，阀门A、B都要开启才行，此时可靠性框图为图 3—1b，是串联形式。但当系统功能是使液体截流时，则只需要A或B中有一个能 关闭，其可靠性框图变成图3—1c的并联形式。可见，按不同的功能进行设计时会 有不同形式的可靠性框图。
通常系统有串联系统、冗余系统和复杂系统ห้องสมุดไป่ตู้在冗余系统中又有并联系统、 混联系统、表决系统和旁联系统。 二、 串联系统的可靠性