第二节直线的交点坐标与距离公式

第二节直线的交点坐标与距离公式
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1．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．
2．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．1．两条直线的交点
|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12
1．两条直线位置关系与其对应方程组的解之间有何关系？
提示：两条直线相交⇔方程组有唯一解；两条直线平行⇔方程组无解；两条直线重合⇔方程组有无穷多解．
2．使用点到直线的距离公式和两条平行线间的距离公式时应注意什么？
提示：使用点到直线距离公式时要注意将直线方程化为一般式；使用两条平行线间距离公式时，要将两直线方程化为一般式且x、y的系数对应相等．
1．(教材习题改编)原点到直线x ＋2y －5＝0的距离是( ) A ．1 B. 3 C ．2 D. 5
2．两条直线l 1：2x ＋y －1＝0和l 2：x －2y ＋4＝0的交点为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫25，95 B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－25，95 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－95 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2
5
，－95
3．(2014·烟台模拟)已知直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l 1与l 2的距离为( )
A.85
B.3
2 C ．4 D ．8 4．已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2的距离是2，则直线l 1的方程为____________．
5．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋by ＝0相交于一点，则b ＝________.
[例1] (1)经过直线l 1：x ＋y ＋1＝0与直线l 2：x －y ＋3＝0的交点P ，且与直线l 3：2x －y ＋2＝0垂直的直线l 的方程是____________．
(2)(2014·锦州模拟)当0<k <0.5时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第________象限．
【互动探究】
若将本例(1)中条件“垂直”改为“平行”，试求l 的方程．
【方法规律】
经过两条直线交点的直线方程的设法
经过两相交直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1
＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(这个直线系方程中不包括直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0)或m (A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋n (A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0.
已知直线l 1：2x ＋3y ＋8＝0，l 2：x －y －1＝0，l 3：x ＋ky ＋k ＋1
2
＝0，分别求满足下列条
件的k 的值：
(1)l 1，l 2，l 3相交于一点； (2)l 1，l 2，l 3围成三角形．
[例2] 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；
(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程．
【方法规律】
(1)关于中心对称问题的处理方法：
①若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2a －x 1，
y ＝2b －y 1.
②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它
们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l 1∥l 2，由点斜式得到所求直线方程．
(2)关于轴对称问题的处理方法： ①点关于直线的对称
若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0
对称，则线段P 1P 2的中点在l 上，而且连接P 1P 2的直线垂直于l ，由方程组
⎩⎪⎨⎪⎧
A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1
＋x 2
2＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1
＋y 2
2＋C ＝0，y 2－y 1x 2
－x 1
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，
x 1≠x 2)．
②直线关于直线的对称
此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行.
直线y ＝2x 是△ABC 的一个内角平分线所在的直线，若点A (－4,2)，B (3,1)，求点C 的坐标．
1．距离公式包括两点间的距离、点到直线的距离和两平行线间的距离．这三种距离在高考中经常体现，试题难度不大，多为容易题或中档题，以选择、填空的形式呈现，有时也会在解答题中有所体现．
2．高考中对距离公式的考查主要有以下几个命题角度：
(1)求距离；
(2)已知距离求参数值；
(3)求距离的最值．
[例3] (1)(2014·安康模拟)点P到点A′(1,0)和直线x＝－1的距离相等，且P到直
线y＝x的距离等于
2
2
，这样的点P共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(2)(2014·启东模拟)l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是____________．
与距离有关问题的常见类型及解题策略
(1)求距离．利用两点间的距离公式，点到直线的距离公式，两平行线的距离公式直接求
解，也可利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为点到直线的距离．
(2)已知距离求参数值．可利用距离公式，得出含参数的方程，解方程即可求解．
(3)求距离的最值．可利用距离公式得出距离关于某个点的函数，利用函数知识求最值．
1．在△OAB 中，O 为坐标原点，A (1，cos θ)，B (sin θ，1)，则△OAB 的面积的取值范围是( )
A ．(0,1] B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，32 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，34 2．已知直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0互相平行，且l 1，l 2之间的距离为5，求直线l 1的方程．
————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————
1条规律——与已知直线垂直及平行的直线系的设法
与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2
≠0)垂直和平行的直线方程可设为： (1)垂直：Bx －Ay ＋m ＝0； (2)平行：Ax ＋By ＋n ＝0.
1种思想——转化思想在对称问题中的应用
一般地，对称问题包括点关于点的对称，点关于直线的对称，直线关于点的对称，直线关于直线的对称等情况，上述各种对称问题最终化归为点的对称问题来解决．
2个注意点——判断直线位置关系及运用两平行直线间 的距离公式的注意点
(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑；
(2)运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|
A 2＋
B 2
的前提是将两方程中的x ，y 的系数化为。