作业(二)答案：单自由度机械系统动力学等效转动惯量等效力矩
【大二学习笔记】机械原理第八章 机械的运转及其速度波动的调节
ω
ωmax
ωmin
平均角速度：m
1
T
T d
0
φ
T
工程上常采用算术平均值：
ωm＝(ωmax +ωmin)/2
ωmax－ωmin 表示了机器主轴速度波动范围的大小，称为
绝对不均匀度。
定义：δ＝(ωmax－ωmin)/ ωm 为机器运转速度不均匀系数， 它表示了机器速度波动的程度。
由ωm＝(ωmax +ωmin)/2 以及上式可得：
力矩所作功及动能变化:
Md Mr
ab c d E
e a' φ
φ ω
φ
区间
a-b b-c c-d
d-e
e-a’
外力矩所作功
Md<Mr 亏功“－”
Md>Mr Md<Mr 盈功“＋”亏功“－”
Md>Mr Md<Mr 盈功“＋” 亏功“－”
主轴的ω
↓
↑
↓
↑
↓
动能E
↓
↑
↓
↑
↓
机械运转的平均速度和不均匀系数
已知主轴角速度：ω=ω( )
二、机械运转过程的三个阶段
稳定运转阶段的状况有：
①匀速稳定运转：ω＝常数
②周期变速稳定运转：ω(t)=ω(t+T) 注意:Wd = Wr
③非周期变速稳定运转
m
m
t
起动 稳定运转 停车
起动
稳定运转
t
停车
二、机械运转过程的三个阶段
阶段
名称
运动特征
功能关系
起 动
稳定 运转
停 车
角速度ω由零逐渐上升至 稳定运转时的平均角速 Wd Wr
第七章 机械系统的动力学分析
§7-2 单自由度机械系统动力学分析
3、等效动力学模型的意义
等效力学模型
等效构件 + 等效质量(转动惯量) + 等效力(力矩)
Je
Me
注意： 、、S、V是某构件的真实运动；
Me是系统的等效力矩；
Je是系统的等效转动惯量。
Fe
me
ve
Fe是系统的等效力； me是系统的等效质量。
例题：图示机构。已知z1＝20，J1；z2＝60，质量中心在B点，
§7-1 概 述
机构力分析的目的和方法
目的： 1）求驱动力。用以确定所需功率，选择合适的电动机。
2）求生产阻力。根据原动件上驱动力的大小，确定机
械所能克服的生产阻力。 3）求机构运动副中的反力。该力大小和性质是零件设
计计算和强度计算的重要依据。
方法：图解法和解析法
§7-1 概 述
二、机械的运转过程 机械运转中的功能关系 Wd - Wc = E2 – E1 其中：Wc = Wr+ Wf 1、 起动阶段： ω=0，↗ωm ， 则：E1 =0，↗E２， W= E=E2-E1 >0 故：Wd > Wc = Wr +Wf 主动件作加速运动。
启
动
Wd-Wc=E2-E1>0
稳定运行
Wd-Wc=E2-E1=0
停
车
原动件速度从正常工作速 度值下降到零
Wd-Wc=E2-E1<0
§7-2 单自由度机械系统动力学分析
为了便于讨论机械系统在外力作用下作 功和动能变化，将整个机械系统多个构件运
动问题根据能量守恒原理转化成对某个构件
的运动问题进行研究。为此引入等效转动惯
等效力可以根据等效前后功率相等的原则求取。
机械原理习题及答案
第二章 机构的结构分析一．填空题1．组成机构的基本要素是 和 。
机构具有确定运动的条件是： 。
2．在平面机构中，每一个高副引入 个约束，每一个低副引入 个约束，所以平面机构自由度的计算公式为F = 。
应用该公式时，应注意的事项是： 。
3．机构中各构件都应有确定的运动，但必须满足的条件是： 。
二．综合题1．根据图示机构，画出去掉了虚约束和局部自由度的等效机构运动简图，并计算机构的自由度。
设标有箭头者为原动件，试判断该机构的运动是否确定，为什么？2．计算图示机构的自由度。
如有复合铰链、局部自由度、虚约束，请指明所在之处。
（a ） （b ）ADECHGF IBK1234567893．计算图示各机构的自由度。
（a）（b）（c）（d）（e）（f）4．计算机构的自由度，并进行机构的结构分析，将其基本杆组拆分出来，指出各个基本杆组的级别以及机构的级别。
（a）（b）（c）（d）5．计算机构的自由度，并分析组成此机构的基本杆组。
如果在该机构中改选FG 为原动件，试问组成此机构的基本杆组是否发生变化。
6．试验算图示机构的运动是否确定。
如机构运动不确定请提出其具有确定运动的修改方案。
（a）（b）第三章平面机构的运动分析一、综合题1、试求图示各机构在图示位置时全部瞬心的位置（用符号P直接在图上标出）。
ij2、已知图示机构的输入角速度ω1,试用瞬心法求机构的输出速度ω3。
要求画出相应的瞬心，写出ω3的表达式，并标明方向。
3、在图示的齿轮--连杆组合机构中，试用瞬心法求齿轮1与3的传动比ω1/ω2。
4、在图示的四杆机构中，AB l =60mm, CD l =90mm, AD l =BC l =120mm, 2ω=10rad/s ，试用瞬心法求：（1）当ϕ=165°时，点C 的速度c v ；（2）当ϕ=165°时，构件3的BC 线上速度最小的一点E 的位置及其速度的大小； （3）当0c v =u u u v时，ϕ角之值（有两个解）。
第7章机械动力学
第 7 章机械动力学7.1概述一．机械动力学的研究内容及意义1）机械的摩擦及效率；2）机械的平衡；3）分析、计算机械系统的速度波动，周期性波动的调速方法和有关的调速零件的设计。
二．机械中作用的力作为发动机的曲柄滑块机构P-驱动力（爆发力）Mr –阻力矩（工作阻力矩）G2 –连杆重力重心上升－阻力，重心下降－驱动力F S2、 M S2 - 惯性力与惯性力矩，Ｎ、Ｆ f –正压力与摩擦力7.2 机械中的摩擦及效率一．机械中的摩擦（一）移动副中的摩擦1.平面摩擦摩擦力产生的条件：（1）两物体直接接触，彼此间有正压力；（2）有相对运动或相对运动的趋势。
作用：阻止两物体产生有相对运。
设摩擦系数为u，F21=uN 21F21tg，φ－摩擦角N21将 F21与 N21合成为 R21R21－总反力（全反力）P X P分解为 P和 P ，tgX Y P Y（ P X P sin、 P Y P cos ）F21P X，有F21tgY 方向平衡： Py=N 21，即：tg tg P Xtg讨论：①总反力 R21恒与相对速度V 12成 90° +φ②当β >φ， P X > F21，滑块作加速运动；当β =φ， P X = F21，动则恒动，静则恒静；当β <φ， P X < F21，原来运动，作减速运动，原来静止，永远静止，称自锁。
③ 自锁条件：β≤φβ=φ，条件自锁（静止）；β<φ，无条件自锁。
2.斜面摩擦斜面机构如图，滑块置于升角α的斜面上，摩擦角为φ，作用于滑块上的铅垂力为Q，求滑块等速上升和下降时所需水平平衡力P 和 P’。
（1）求等速上升水平平衡力 PP－驱动力， Q－阻力PQ R 21 0 ，tg ()P，P Qtg () （1）Q（ 2）求等速下降水平平衡力 P ’Q －驱动力， P ’－阻力P'Q R 21 0 ，tg () P '，P 'Qtg () （2）Q讨论：① 欲求下滑 （反行程） P ’，只需将式 （ 1）中 P →P ’，φ→ (－φ )② 下滑时，当α >φ， P ’为平衡力α <φ， P ’为负，成为驱动力的一部分，该条件下，若无 P ’，则无论 Q 多大，滑块不下滑，称自锁，自锁条件：α≤φ。
结构动力学习题解答
然后积分求初始速度
̇̇ d t = θ̇0 = θ 0
0+ 0+ 0+
∫
0
∫ hδ ( t ) d t = h ∫ δ ( t ) d t = h
0 0 0+
；
再积分求初位移
̇̇ d t == h )d t = 0 ； θ0 = θ 0
0+
∫
0
∫
0
̇̇ 、 θ̇ 和 θ 的瞬态响应 这样方程（6）的解就是系统对于初始条件 θ 0 0 0
1.6 求图 1-35 所示系统的固有频率。图中磙子半径为 R，质量为 M，作纯滚动。弹簧刚度 为K 。 解：磙子作平面运动， 其动能 T=T 平动 +T 转动 。
K R M 图 1-35 x
T平动 = T转动
1 ̇2; Mx 2 2 2 ̇ ⎞ 1 ⎛ MR 2 ⎞ ⎛ x ̇⎞ 1 ⎛x = I⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ; 2 ⎝R⎠ 2 ⎝ 2 ⎠⎝ R ⎠
U= r 2 1 1 1 1⎛ K A ϕ A 2 + K B ϕ B 2 = K Aϕ A 2 + K B ϕ B 2 = ⎜ K A + K B A 2 2 2 2 2⎜ rB ⎝
(
)
⎞ 2 ⎟ϕ ; ⎟ A ⎠
系统的机械能为
T +U = r 2 1 1⎛ ̇ A2 + ⎜ K A + K B A (m A + m B )rA 2ϕ 4 2⎜ rB 2 ⎝
d (T + U ) = 0 ，进一步得到系 dt
统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。 用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。 方法一：衰减曲线法。 求解步骤： （1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷 的幅值 Ai 、 Ai +1 。 （2）由对数衰减率定义 δ = ln(
第一章单自由度机械系统动力学建模解析
静力分析（static） 动态静力分析(kinetio-static) 动力分析(dynamic) 弹性动力分析(elastodynamic)
1 静力分析
对低速机械，运动中产生的惯性可以忽略不计，对机 械的运动过程中的各个位置，可以用静力学方法求出 为平衡载荷而需在驱动构件上施加的驱动力或力矩， 以及各运动副中的约束反力，可用此进行原动机功率 的计算、构件和运动副承载能力的计算。
v32
(M1
1
v3
F3 )v3
me
n i 1
mi
vsi v
2
等 J效si质 量vi
2 me
Fe
n i 1
Fi
程,其维数等于机构的自由度数目; 另一类是含运动副约束反力的代数与微分混合型
方程,其维数大于机构的自由度数目。
机构动力学分析的发展与现状
建立复杂机构动力学模型的常用力学方法有: * 牛顿-欧拉(Newton-Euler)法 * 拉格朗日(Lagrange)法 * 虚功原理法 * 凯恩(Kane)法 * 旋量法和R-W法等。
机械系统动力学
绪论
机械系统动力学是应用力学的基本理论解决 机械系统中动力学问题的一门学科，其核心 问题是建立机械系统的运动状态与其内部参 数、外部条件之间的关系，找到解决问题的 途径
三体机械臂
可伸展卫星太阳能电池板
汽车
五轴并联机床
机械动力学研究内容 ：
机械原理由三部分组成：
机械结构学、机构运动学和机械动力学
4 弹性动力分析
随着机械系统向高速轻质化发展，构件的柔度加大，惯 性力急剧加大，构件的弹性变形可能给机械的运动输出 带来误差。机械系统柔度 系统的固有频率 ，机械 运转速度 激振频率 可能会发生共振，破坏运动精度 ，影响疲劳强度，引发噪声。
作业(二)答案：单自由度机械系统动力学等效转动惯量等效力矩
作业（二）单自由度机械系统动力学等效转动惯量等效力矩1．如题图1所示的六杆机构中，已知滑块５的质量为m 5=20kg ，l AB =l ED =100mm ，l BC =l CD =l EF =200mm ，φ1=φ2=φ3=90o ，作用在滑块５上的力Ｐ＝500N ．当取曲柄AB 为等效构件时，求机构在图示位置的等效转动惯量和力Ｐ的等效力矩．图1答案：解此题的思路是：①运动分析求出机构处在该位置时，质心点的速度及各构件的角速度．②根据等效转动惯量，等效力矩的公式求出．做出机构的位置图，用图解法进行运动分析．V C =V B =ω1×l AB ω2=0V D =V C =ω1×l AB 且ω3=V C /l CD =ω1V F =V D =ω1×l AB (方向水平向右) ω4=0由等效转动惯量的公式：e J =m 5(V F /ω1)2=20kg ×(ω1×l AB ／ω1)2=0．2kgm 2由等效力矩的定义： e M =500×ω1×l AB ×cos180o／ω1＝－50Nm （因为ＶF 的方向与Ｐ方向相反，所以α＝180o ）2．题图2所示的轮系中，已知各轮齿数：z 1=z 2’=20，z 2=z 3=40，J 1=J 2’=0．01kg ·m 2，J 2=J 3=0．04kg ·m 2．作用在轴Ｏ3上的阻力矩Ｍ3＝40N ·m ．当取齿轮１为等效构件时，求机构的等效转动惯量和阻力矩Ｍ3的等效力矩．图2答案：该轮系为定轴轮系．i 12=ω1/ω2=(-1)1z 2/z 1∴ ω2=－ω1/2=－0．5×ω1ω2’=ω2=－0．5×ω1i 2’3=ω2’/ω3=(-1)1z 3/z 2’ ∴ ω3=0．25×ω1根据等效转动惯量公式e J = J 1×(ω1/ω1)2＋J 2×(ω2/ω1)2＋J 2’×(ω2’/ω1)2＋J 3×(ω3/ω1)2 ∑=+=n i i Si Si i e J v m J 12121]()([ωωω∑=±=n i i i i i i e M v F M 111)]()(cos [ωωωα∑=+=n i i Si Si i e J v m J 12121]()([ωωω＝J 1＋J 2／４＋J 2’／４ ＋J 3／16＝0．01＋0．04／4+0．01／4+0．04／16＝0．025 kg ·m 2根据等效力矩的公式： e M =M 3×ω3/ω1=40×0．25ω1/ω1=10N ·m3．在题图3所示减速器中，已知各轮的齿数：z 1=z 3=25，z 2=z 4=50，各轮的转动惯量J 1=J 3=0．04kg ·m 2，J 2=J 4=0．16kg ·m 2，（忽略各轴的转动惯量），作用在轴Ⅲ上的阻力矩M 3=100N ·m ．试求选取轴Ⅰ为等效构件时，该机构的等效转动惯量J 和M 3的等效阻力矩M r ．图3答案：i 12=ω1／ω2=z 2/z 1 ω2=ω1/2 ω3=ω2=ω1/2 i 34=ω3/ω4=z 4/z 3ω4＝ω1/4等效转动惯量：J=J 1(ω1/ω1)2+J 2(ω2/ω1)2+J 3(ω3/ω1)2+J 4(ω4/ω1)2=0．042+0．16×(1/2)2+0．04×(1/2)2+0．16×(1/4)2=0．04+0．04+0．01+0．01=0．1 kg ·m 2等效阻力矩：M r =M 3×ω4/ω1=100/4=25(N ·m)4．题图4所示为一简易机床的主传动系统，由一级带传动和两级齿轮传动组成．已知直流电动机的转速n 0＝1500r/min ，小带轮直径d =100mm ，转动惯量J d =0．1kg ·m 2，大带轮直径D ＝200mm ，转动惯量J D =0．3kg ·m 2．各齿轮的齿数和转动惯量分别为：z 1=32，J 1=0．1kg ·m 2，z 2=56，J 2=0．2kg ·m 2，z 2’=32，J 2’=0．4kg ·m 2，z 3=56，J 3=0．25kg ·m 2． 要求在切断电源后２秒，利用装在轴上的制动器将整个传动系统制动住．求所需的制动力矩M 1．图4∑=±=n i i i i i i e M v F M 111()(cos [ωωωα答案：电机的转速n0＝1500r/min其角速度ω0＝2π×1500/60=50π(rad/s)三根轴的转速分别为：ω1=d×ω0/D=25π(rad/s)ω2=z1×ω1/z2=32×25π/56=1429π(rad/s)ω3=z2’×ω2/z3=32×1429π/56=816π(rad/s)轴的等效转动惯量：J V=J d×(ω0/ω1)2+J D×(ω1/ω1)2+J1×(ω1/ω1)2+J2×(ω2/ω1)2+ J2’×(ω2/ω1)2+ J3×(ω3/ω1)2∴J V=0．1×(50π/25π)2+0．3×12+0．1×12+(0．2+0．1)×(14．29π/25π)2+0．25×(8．16π/25π)2=0．4+0．4+0．098+0．027=0．925 (kg·m2)轴制动前的初始角速度ω1＝２５π，制动阶段做减速运动，即可求出制动时的角加速度∴ωt=ω0－εt即０＝25π－2εε=12．5π则在２秒内制动，其制动力矩Ｍ为：M=J V×ε=0．925×12．5=36．31 (kg·m)5．在题图5所示定轴轮系中，已知各轮齿数为：z1=z2’=20，z2=z3=40；各轮对其轮心的转动惯量分别为J1=J2’=0．01kg·m2，J2=J3=0．04kg·m2；作用在轮１上的驱动力矩M d=60N·m，作用在轮３上的阻力矩M r=120N·m．设该轮系原来静止，试求在M d和M r作用下，运转到t=15s时，轮１的角速度ω1和角加速度α1．图5答案：i12=ω1/ω2=(-1)1×z2/z1 ω2=－ω1/2i13=ω1/ω3=(-1)2×z2×z3/z1×z2’ω3=20×20×ω1/40×40=ω1/4轮１的等效力矩Ｍ为：Ｍ＝M d×ω1/ω1+M r×ω3/ω1 =60×1－120/4=30 N·m轮１的等效转动惯量Ｊ为：Ｊ=J1(ω1/ω1)2+(J2’+J2)(ω2/ω1)2+J3(ω3/ω1)2=0．01×1+(0．01+0．04)/4+0．04/16=0．025 (kg·m2)∵M=J ×ε∴角加速度ε＝Ｍ／Ｊ＝1200 (rad/s2)初始角速度ω0=0 ∴ω1=ω0+ε×tω=1200×1．5=1800(rad/s)。
单自由度机械系统动力学——牛头刨床运动例题
单自由度机械系统动力学作业题目：图1所示为一牛头刨床。
各构件长度为：1110L mm =，3540L mm =，4135L mm =；尺寸580H mm =，1380H mm =。
导杆3重量3200G N =，质心3S 位于导杆中心，导杆绕3S 的转动惯量23 1.1J kg m =⋅。
滑枕5的重量5700G N =。
其余构件重量均可不计。
电动机型号为Y100L2-4，电动机轴至曲柄1的传动比23.833i =，电动机转子及传动齿轮等折算到曲柄上的转动惯量21133.3J kg m =⋅。
刨床的平均传动效率0.85η=。
空行程时作用在滑枕上的摩擦阻力50f F N =，切削某工件时的切削力和摩擦阻力如图2所示。
1）求空载启动后曲柄的稳态运动规律； 2）求开始刨削工件的加载过程，直至稳态。
图1 牛头刨床 图2 牛头刨床加工某工件时的负载图 解：（1）运动分析可以用解析法列出各杆角速度、各杆质心速度的表达式。
但为简便起见，现调用改自课本附录Ⅰ中的Matlab 子程序来进行计算。
图1中给出了构件和运动副的编号。
先调用子程序crank 分析点②的运动学参数，再调用子程序vosc 进行滑块2—导杆3这一杆组的运动学分析，然后再调用子程序vguide 进行小连杆4—滑枕5这一杆组的运动学分析。
这一段的Matlab 程序如下：crank(1,2,L(1),TH(1),W(1)); vosc(2,3,4,L(3)); vguide(4,5,L(4)); 其中：L(i)、TH(i)、W(i)分别表示第i 个杆的长度、位置角、角速度。
（2）等效转动惯量和等效力矩取曲柄1为等效构件，等效转动惯量为2223335513111()()()S e J J J G v G v g g ωωωω=+++ (a) 式中：g 为重力加速度，3S v 为导杆3质心的速度，5v 为滑枕的速度。
等效驱动力矩可由电动机机械特性导出，设m M 、de M 分别为电动机输出力矩和等效驱动力矩，两者有如下关系：de m M iM = (b)式中i 为电动机轴和曲轴间的传动比。
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作业（二）单自由度机械系统动力学等效转动惯量等效力矩
1．如题图1所示的六杆机构中，已知滑块５的质量为m 5=20kg ，l AB =l ED =100mm ，l BC =l CD =l EF =200mm ，φ1=φ2=φ3=90o ，作用在滑块５上的力Ｐ＝500N ．当取曲柄AB 为等效构件时，求机构在图示位置的等效转动惯量和力Ｐ的等效力矩．
图1
答案：解此题的思路是：①运动分析求出机构处在该位置时，质心点的速度及各构件的角速度．
②根据等效转动惯量，等效力矩的公式求出．
做出机构的位置图，用图解法进行运动分析．
V C =V B =ω1×l AB ω2=0
V D =V C =ω1×l AB 且ω3=V C /l CD =ω1
V F =V D =ω1×l AB (方向水平向右) ω4=0
由等效转动惯量的公式： e J =m 5(V F /ω1)2=20kg ×(ω1×l AB ／ω1)2=0．2kgm 2
由等效力矩的定义： e M =500×ω1×l AB ×cos180o ／ω1＝－50Nm （因为ＶF 的方向与Ｐ方向相反，所以α＝180o ）
∑=+=n i i Si Si i e J v m J 121
21])()(
[ωωω∑=±=n i i i i i i e M v F M 11
1)]()(
cos [ωωωα
2．题图2所示的轮系中，已知各轮齿数：z 1=z 2’=20，z 2=z 3=40，J 1=J 2’=0．01kg ·m 2，J 2=J 3=0．04kg ·m 2．作用在轴Ｏ3上的阻力矩Ｍ3＝40N ·m ．当取齿轮１为等效构件时，求机构的等效转动惯量和阻力矩Ｍ3的等效力矩．
图2
答案：该轮系为定轴轮系．
i 12=ω1/ω2=(-1)1z 2/z 1 ∴ ω2=－ω1/2=－0．5×ω1 ω2’=ω2=－0．5×ω1
i 2’3=ω2’/ω3=(-1)1z 3/z 2’ ∴ ω3=0．25×ω1 根据等效转动惯量公式
e J = J 1×(ω1/ω1)2＋J 2×(ω2/ω1)2＋J 2’×(ω2’/ω1)2＋J 3×(ω3/ω1)2 ＝J 1＋J 2／４＋J 2’／４ ＋J 3／16
＝0．01＋0．04／4+0．01／4+0．04／16
＝0．025 kg ·m 2
根据等效力矩的公式： e M =M 3×ω3/ω1=40×0．25ω1/ω1=10N ·m
3．在题图3所示减速器中，已知各轮的齿数：z 1=z 3=25，z 2=z 4=50，各轮的转动惯量J 1=J 3=0．04kg ·m 2，J 2=J 4=0．16kg ·m 2，（忽略各轴的转动惯量），作用在轴Ⅲ上的阻力矩M 3=100N ·m ．试求选取轴
∑=+=n i i Si Si i e J v m J 121
21])((
[ωωω∑=±=n i i i i i i e M v F M 11
1)]()(
cos [ωωωα
Ⅰ为等效构件时，该机构的等效转动惯量J和M3的等效阻力矩M r．
图3
答案：i12=ω1／ω2=z2/z1ω2=ω1/2 ω3=ω2=ω1/2
i34=ω3/ω4=z4/z3ω4＝ω1/4
等效转动惯量：
J=J1(ω1/ω1)2+J2(ω2/ω1)2+J3(ω3/ω1)2+J4(ω4/ω1)2
=0．042+0．16×(1/2)2+0．04×(1/2)2+0．16×(1/4)2
=0．04+0．04+0．01+0．01
=0．1kg·m2
等效阻力矩：
M r=M3×ω4/ω1=100/4=25(N·m)
4．题图4所示为一简易机床的主传动系统，由一级带传动和两级齿轮传动组成．已知直流电动机的转速n0＝1500r/min，小带轮直径d=100mm，转动惯量J d=0．1kg·m2，大带轮直径D＝200mm，转动惯量J D=0．3kg·m2．各齿轮的齿数和转动惯量分别为：z1=32，
J1=0．1kg·m2，z2=56，J2=0．2kg·m2，z2’=32，J2’=0．4kg·m2，z3=56，J3=0．25kg·m2．
要求在切断电源后２秒，利用装在轴上的制动器将整个传动系统制动住．求所需的制动力矩M1．
图4
答案：电机的转速n0＝1500r/min
其角速度ω0＝2π×1500/60=50π(rad/s)
三根轴的转速分别为：
ω1=d×ω0/D=25π(rad/s)
ω2=z1×ω1/z2=32×25π/56=1429π(rad/s)
ω3=z2’×ω2/z3=32×1429π/56=816π(rad/s)
轴的等效转动惯量：
J V=J d×(ω0/ω1)2+J D×(ω1/ω1)2+J1×(ω1/ω1)2+J2×(ω2/ω1)2+ J2’×(ω2/ω1)2+ J 3×(ω3/ω1)2
∴J V=0．1×(50π/25π)2+0．3×12+0．1×12+(0．2+0．1)×(14．29π/25π)2+0．25×(8．16π/25π)2
=0．4+0．4+0．098+0．027
=0．925 (kg·m2)
轴制动前的初始角速度ω1＝２５π，制动阶段做减速运动，即可求出制动时的角加速度
∴ωt=ω0－εt即０＝25π－2ε
ε=12．5π
则在２秒内制动，其制动力矩Ｍ为：
M=J V×ε=0．925×12．5=36．31 (kg·m)
5．在题图5所示定轴轮系中，已知各轮齿数为：z1=z2’=20，z2=z3=40；各轮对其轮心的转动惯量分别为J1=J2’=0．01kg·m2，J2=J3=0．04kg·m2；作用在轮１上的驱动力矩M d=60N·m，作用在轮３上的阻力矩M r=120N·m．设该轮系原来静止，试求在M d和M r 作用下，运转到t=15s时，轮１的角速度ω1和角加速度α1．
图5
答案：i12=ω1/ω2=(-1)1×z2/z1 ω2=－ω1/2
i13=ω1/ω3=(-1)2×z2×z3/z1×z2’ω3=20×20×ω1/40×40=ω1/4
轮１的等效力矩Ｍ为：
Ｍ＝M d×ω1/ω1+M r×ω3/ω1 =60×1－120/4=30 N·m
轮１的等效转动惯量Ｊ为：
Ｊ=J1(ω1/ω1)2+(J2’+J2)(ω2/ω1)2+J3(ω3/ω1)2=0．01×1+(0．01+0．04)/4+0．04/16=0．025 (kg·m2)
∵M=J ×ε∴角加速度ε＝Ｍ／Ｊ＝1200 (rad/s2)
初始角速度ω0=0 ∴ω1=ω0+ε×t
ω
=1200×1．5=1800(rad/s)。