数学分析期末论文

n
n →∞
un
那么，当r < 1时，此级数必为收敛；当r > 1时，此级数为发散，而当 r = 1 时，此级数的收敛性需要进一步判定。 3、设 x=a 是 f（ x）的奇点，如果 f（ x） ≤ 么，
b a c x −a p
c > 0 , p < 1那
f x dx绝对收敛 .
c x −a p
+∞ a
f(x)dx的敛散性基本概念：
若对于任意给定的 ε > 0，存在 A0 (ε) > ��（此 A0 (ε)仅于 ε有关），当 A′ ， A ≥ A0 时，对一切y ∈ c, d ，成立
A′ +∞
f(x, y)dx < ��或
A A
f(x, y)dx < ��
就称
+∞ A
b a
f x dx发散。魏尔斯特拉斯判别法 1、如果对充分大的 n，恒有实数an ，使得 un ≤ an 对 X 上的任意的
x 都成立，并且数项级数 an 收敛则 un （ x）在 X 上一致收敛 2、设有函数 F（ x），使得 f(x, y) ≤ F x , a ≤ x < +∞, �� ≤ �� ≤ �� 如果积分
∞ a
f x dx收敛的充要条件是：对任意给定的 ε > 0，存在 A > 0，当
A‘ ， A” > ��时，总有
A“
f x dx < ��
A’
由此可以看出，反常函数的敛散性和无穷级数的相仿，在反常积分中也有绝对收敛和条件收敛的概念：设对任何A > ��， f x 在 [a,A]可积，并且
∞ a
f x dx收敛，我们就称
∞ a
f x dx绝对收敛。收敛但是不绝对收敛
的反常积分叫做条件收敛。例题：讨论
∞ dx a xp
（ a > 0）的收敛情形，这里的 p 是实数。
解：设p ≠ 1，
A a
dx 1 A 1 1 −p = x = A1−p − a1 −p = Ip A p x 1−p a 1−p
提出问题如何进行数学分析的学习？如何对数学问题进行分析？
分析问题在学习数学分析中，我们首先接触到的就是关于数学名词的概念问题，那么毫无疑问，深入了解概念就会是我们学习掌握数学分析的第一要务；在掌握了概念之后，接下来就是我们的运算能力了及对数学符号的熟识程度；然后就是我们在学习及做题中学习实践的做题技巧，这一项可以体现我们的思维有没有形成数学分析思维了，也体现我们对数学分析的概念、定理及推论的理解掌握情况。一、数学分析中的概念掌握概念是抽象的、普遍的想法、观念或充当指明实体、事件或关系的范畴或类的实体。在数学分析中的概念不是独立存在的，而是具有叠加性的，也可以说是数学分析中的概念链接性很强。学习认识概念需要长期的实践，才会真正的了解掌握，才会随着知识的增长不断的深入了解概念的本质。既然数学分析概念具有相当强的连接性，我们就可以根据我们所学习的概念，建立一个数学分析概念网。数学分析是一个个概念的点阵，所有相关的、丛属的概念要在头脑中形成一个网络，才会建立一个清晰地脉路。学习了解数学分析的概念时，还要多方向深入认识。对于相似的、类似的概念或者概念的内部关系认识不清，会不利于理解概念。实例分析：级数收敛定义：若级数即
如果 f（ x） ≥
c > 0 , p ≥ 1，那么
b a
f x dx发散
柯西判别法的极限形式为：设
lim x − a
x →a
p
f（ x） = k
b a
如果0 ≤ k < ∞， p < 1，那么
f x dx绝对收敛 .
如果 0 < �� ≤ ∞， p ≥ 1， f x 在区间 a， b 内的符号不改变，那么
+∞
f x dx
a
收敛，那么
+∞ a
f x， y dx关于 y 在 c， d 上一致收敛。
证明：有一致收敛的定义和不等式：
A′ A′ A′
f x, y dx ≤
A A
f(x, y) dx ≤
A
F(x)dx
就可以推出结论，因为这时对ε > 0，有A0 ，使得当 A ′ ，A ≥ A 0 时
中的表达符号好是需要我们仔细体会其中的含义的，但是数学分析中的符号是一种带提性的符号，我们只要知道它是代表的什么，具有什么意义，并不需要我们细细的体会。说白了，它就只仅仅是一个替身罢了，帮助我们进行数学运算。其实，数学就是一种符号与符号的游戏，所以我们必须要对符号精通，这样才能进行迅速的变形。实例分析：对于数学分析中的许多相似的定理及推论，我们应该学会有区别的记忆理解，而在本学期中，见到最多的就是：阿贝尔判别法、狄利克雷判别法、柯西判别法、傅里叶级数、魏尔斯特拉斯判别法⋯ ⋯ 柯西判别法： 1、设
类似的一致收敛的定义还可以用下面的方式来表达：一致收敛的概念（ 2）：设 Sn − S = 如果
n →∞ sup x ∈X
Sn (x) − S(x) ,
lim Sn − S = 0
就称Sn (x)在 X 上一致收敛于S（ x）由一致收敛的定义概念也会类似的推出与级数收敛的定义相近的定理来：函数列{Sn （ x） }在 X 上一致收敛的充要条件为，对于任意的给的 ε > 0，可得正整数N = N(ε)，使得 n>N 时，不等式 Sn+p （ x） − Sn (x) < �� 对任意的正整数 p 和 X 上任意的 x 都成立。同时由反常积分的敛散性的概念可以联系到含有参变量的反常积分
当 p ≤ 1时积分发散。而一致收敛又会分为收敛和一致收敛，由此要引出一致收敛的概念，会发现与前面的收敛定义相似：一致收敛的概念：设有函数列 {Sn （ x） } （或函数项级数
∞ n =1 u n
（ x）的部分和序列）。若对人给的ε > 0，存在只依赖于ε的正整
∞ n=1 u n 为正项级数，若从某一项起（即存在
N，当n > ��时）
成立着 n un ≤ q < 1（ q 为某确定的常数），则级数一项起成立着 n un ≥ 1，则级数 2、对于正项级数
∞ n =1 u n 发散。
∞ n =1 u n 收敛，若从某
∞ n =1 u n ，设
r = lim
云南大学
数学分析习作课（3）读书报告
论文摘要本文主要对《数学分析（下）》中所学习的基本理论知识进行相关的系统总结及实例应用分析。
论文关键词数学分析、系统总结、实例应用分析
Hale Waihona Puke 论文正文正文引言在我们学习数学分析的时候，很容易急躁。急躁的原因是因为我们很难掌握数学分析这门知识。数学分析的特点就是枯燥，尤其是在不深入挖掘的情况下。但是，数学分析却是我们学习物理专业的学科基础，直接关系到我们的其他理科学科。那么，我们必须要学习好这门知识。而学习数学分析这门知识并不是索然无味的，实际掌握这门学科，就不能眉毛胡子一把抓，而应该掌握一些学习数学分析的基本的方法，形成一种分析性的思维方式。深入了解之后，加上一些必要的习题，相信就会对数学分析产生一些相应的兴趣。毕竟，数学分析是一种体现分析的理性之美的学科，是一门很锻炼思维的理性学科。下面，我将会根据自己所学所感，对我所学习过的《数学分析》进行相关的系统总结及实例应用分析。
证明：因为
+∞ a
f(x, y)dx在 c, d 上一致收敛，所以对于任意给定的
ε > 0，常存在A0 (ε)，使当A ≥ A0 时
+∞
f(x, y)dx < ��
A
对 c, d 上一切 y 成立，因此当y + ∆y在 c, d 上时，也对一切∆y成立
+∞
f(x, y + ∆y)dx < ��
A
又 f(x,y)在 a, A; c, d 上连续，所以
A a
f x, y dx是 y 在 c, d 上的连续函数，
对 ε > 0，存在δ > 0，使当 ∆y < �� 时
A A
f x, y + ∆y dx −
a a
f(x, y)dx < ��
因此，当 ∆y < ��时，有 I y + ∆y − I(y)
2
1 1 + n n+1 n + 1 n+ 2
1 n+2
1 n + p − 1 n+ p
1 1 1 = − < n n+p n 于是对任意 ε > 0，存在 N = 是成立 Sn +p − Sn < < ��，
n 1 1 ε
，当n > �� 时，对任何 p=1,2,3 ，⋯ ，总
按柯西收敛原理，级数
1 ∞ n=1 n 2 的收敛性
解：要判断该题的敛散性，那么就必须要从定义出发，使得存在一个数值Sn ，使得有 Sn+p − Sn < ��，存在 N，当n < ��，ε为任意实数，式子成立。对于任何正整数 p Sn +p − Sn = < 1 n+1 + +⋯+ 2 + ⋯+ 2 1 n+ p
rn = S − Sn =
k=n+1
un = un+1 + un+2 + un+3 + ⋯

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应用数学数值分析大学期末论文

应用数学数值分析大学期末论文Abstract:本文将探讨应用数学中的数值分析方法，并结合实际案例进行分析。

首先介绍数值分析的基本概念和应用领域，包括数值计算的重要性和发展前景。

然后，针对一些广泛应用的数值分析算法，如数值积分、线性方程组求解和常微分方程数值解等，进行详细的讨论和比较。

最后，利用实例说明数值分析在实际问题中的应用和效果，并总结数值分析在应用数学中的意义和局限性。

1. 引言应用数学数值分析是一门研究数值计算方法的学科，其目标是通过数学模型和计算机算法来解决实际问题。

数值分析方法在科学研究、工程设计、经济分析等领域具有广泛应用，并且在不断发展壮大。

2. 数值分析的基本概念与应用2.1 数值计算的重要性数值计算作为一种利用计算机对数学模型进行近似求解的方法，具有高效、灵活和准确的特点，对于复杂问题的求解具有重要意义。

通过数值计算，可以得到问题的近似解或数值解，帮助研究人员分析问题的特性和趋势。

2.2 数值分析的应用领域数值分析方法广泛应用于科学、工程和计算经济学等领域。

在物理学中，数值分析可以模拟天体运动、流体力学等问题；在工程学中，数值分析用于结构力学、电磁场分析等；在经济学中，数值分析可以帮助进行经济模型的求解和预测等。

3. 数值积分数值积分是数值分析中的基本内容，用于计算函数的定积分值。

常见的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则和龙贝格法等。

这些方法基于离散化的思想，将函数曲线分割为若干小区间，然后通过求和或加权求和的方式来近似计算定积分的值。

4. 线性方程组求解线性方程组求解是数值分析中的重要问题，涉及到多个未知数之间的线性关系。

数值方法可以通过矩阵运算和迭代算法来求解线性方程组，如高斯消元法、雅可比迭代法和共轭梯度法等。

这些方法可以高效地解决大规模线性方程组的求解问题。

5. 常微分方程数值解常微分方程是自然科学和工程技术中经常遇到的问题，数值解法是解决常微分方程的常用方法之一。

常见的数值解法包括欧拉法、龙格-库塔法和变步长法等。

纯数学泛函分析大学期末论文

纯数学泛函分析大学期末论文摘要：本文主要介绍了纯数学泛函分析的基本概念和应用。

首先，我们从泛函分析的起源和发展历程入手，介绍了泛函和泛函空间的概念。

接着，我们详细讨论了泛函分析的基本理论，包括线性算子、Banach空间和Hilbert空间等。

最后，我们探讨了泛函分析在实际问题中的应用，包括偏微分方程的解析和数值方法等。

1. 引言泛函分析作为现代数学的重要分支，对于理解和解决实际问题具有重要意义。

它既是函数论的延伸，又是数学分析的发展。

纯数学泛函分析是泛函分析中的一个重要分支，主要研究无穷维线性空间的性质和结构。

本文将系统地介绍纯数学泛函分析的基本内容，以期对读者有所启发。

2. 泛函分析的起源和发展历程泛函分析是20世纪初发展起来的数学分支，源于对函数序列收敛性的研究。

随着对无穷维空间和泛函的研究深入，泛函分析逐渐形成了自己独特的理论体系。

通过对泛函的定义和性质的研究，人们逐渐发现了泛函分析在实际问题中的广泛应用。

3. 泛函和泛函空间的概念泛函是定义在一个函数空间上的函数。

泛函空间是所有满足一定条件的函数的集合。

泛函和泛函空间是泛函分析的核心概念。

在本节中，我们将详细介绍泛函和泛函空间的定义和性质，并给出一些常用的泛函空间的例子。

4. 线性算子和算子空间线性算子是将一个线性空间映射到另一个线性空间的映射。

算子空间是所有满足一定条件的线性算子的集合。

线性算子和算子空间是研究泛函分析中线性性质的基本对象。

在本节中，我们将讨论线性算子和算子空间的定义和一些重要性质，并给出一些经典的算子空间的例子。

5. Banach空间和Hilbert空间Banach空间是一个完备的赋范线性空间，Hilbert空间是一个完备的内积空间。

它们是泛函分析中最重要的两类空间。

在本节中，我们将详细介绍Banach空间和Hilbert空间的定义和性质，并讨论它们的一些重要的特征和例子。

6. 泛函分析的应用泛函分析作为数学的一种工具，具有广泛的应用领域。

期末总结学科分析范文

期末总结学科分析范文一、引言时光匆匆，转眼间一学期已经过去了。

在这个学期中，我学习了许多学科知识并进行了深入的分析和思考。

下面，我将对我所学的几门学科进行总结和分析，以期更好地认识学科的内涵和特点，并能够在接下来的学习中更好地运用所学知识。

二、数学分析1. 内容概述数学分析是一门基础学科，它研究函数、极限、连续性、微积分等概念和理论。

在这门学科中，我们学习了函数的性质和图像、导数和微分、积分等内容。

2. 学科特点数学分析强调逻辑性和严密性，它的推导过程严格、清晰，要求我们在运用概念和定理时必须推敲、严谨。

同时，数学分析还注重抽象思维能力的培养，它要求我们能够从具体的问题中抽象出一般规律，具有较高的抽象能力。

3. 学科应用数学分析的应用广泛，它在物理、化学、经济等领域都有着重要的应用。

例如，在物理学中，我们要求对物体的运动进行分析和计算时，就需要运用到导数和微分的知识；在经济学中，我们常常需要利用函数和积分来分析和预测市场的变化。

三、物理学分析1. 内容概述物理学是研究物质的运动、变化和相互关系的一门学科，它包括力学、热学、电磁学、光学、量子力学等多个学科内容。

2. 学科特点物理学注重实验，它通过实验来验证和验证理论，从而推动学科的发展。

另外，物理学还注重建立数学模型，通过数学之间的推理和计算来研究和解释物理现象。

3. 学科应用物理学在现实生活中有着广泛的应用。

例如，在交通工程中，我们需要利用物理学的知识来分析和计算车辆的速度、加速度等参数，从而设计出更合理的交通流量控制方案；在能源领域，我们使用物理学的知识来研究和开发新能源，提高能源利用效率。

四、化学分析1. 内容概述化学是研究物质的组成、性质、变化和反应规律的学科。

它包括无机化学、有机化学、物理化学等三个主要分支。

2. 学科特点化学是一门实验性较强的学科，它要求我们能够进行精确的实验操作，理解和掌握化学实验的原理和方法。

同时，化学也是一门实践性较强的学科，它注重学科与社会实践结合，通过化学理论和技术来解决实际问题。

大学期末数学论文2200字-大学期末数学毕业论文范文模板

大学期末数学论文2200字_大学期末数学毕业论文范文模板导读：大学期末数学论文2200字写作的时候怎么能不参考一些资料呢？创作之前搜集大量的文献之后，然后根据文献的主要内容进行一个具体的排列和分类，引用的时候就会更加的方便一些，本文分类为大学数学论文，下面是小编为大家整理的几篇大学期末数学论文2200字范文供大家参考。

大学期末数学论文2200字(一)：对大学公共体育课程期末成绩评分的思考论文调查表明，近年来，大学生体质健康持续下降。

究其原因很多，如社会发展改变人们的生活习惯及家庭和自身对体育课程认识不足等。

作为促进大学生身心健康发展的重要课程――大学体育尤显尴尬，体质下滑说明所开设的大学体育课程并没有发挥应有的作用。

针对此种情况，全国高校兴起轰轰烈的高校公共体育课程改革，但未见很好的成效，多数注重形式而无实际促进学生身心健康发展的措施。

多年的教学经验让我们明白，考试内容和形式才是指挥棒，不管是什么年级的学生，他们往往关注的是怎样做才能提高考试成绩，大学生也不例外，绝大多数学生以通过考试为首要任务。

当然考试不是目的而是手段，但我们可以从考试评分入手，促进学生自主学习，尤其对于大学生来说提高自主学习能力是非常重要的，参与体育锻炼更应如此。

寻找合理的期末考试成绩给予方式，客观公正地给学生一个合理的分数，尤显重要。

首先，教师在开学第一课就让学生明白，怎样做好才能获得高分，这对于促进学生有目的地进行自主锻炼、上好体育课程等的积极性都十分重要。

明确通告班上学生做好以下几个方面可获得较高的分数，得出期末考试综合评价分数。

在此建议从如下几个方面考虑，不周之处敬请指教。

1.体质方面。

体质主要包括心肺功能、力量、速度、耐力等，可根据具体的教学内容考核体质指标，每学期按教学计划适当选择部分项目考查，并按国家公布的有关规定的评分标准评分。

体质测试每个学期可根据发展身体的素质能力选择三项，把力量、速度、耐力各选一项作为考试项目，并建议把800（女）或1000米（男）作为每学期必考项目，其他两项根据实际教学灵活安排考试内容，但注意要以体现速度和力量为主的项目相搭配。

数分论文

数学分析论文412114000216 景薇方正文引言在刚开始学习数学分析的时候，很容易急躁，急躁的原因是我们很难掌握数学分析这门知识。

数学分析的特点就是枯燥，尤其是在深入挖掘的情况下。

但是，数学分析却是我们学期其他知识的基础。

南无我们必须学好这门知识，而学习数学分析者们知识并不是索然无趣的，实际掌握这门学科，就不能眉毛胡子一把抓，而应该掌握一些学习数学分析的基本的方法，形成一种分析性的思维方式。

深入了解之后，加上一些必要的习题，相信就会对数学分析产生一些相应的兴趣。

毕竟，数学分析是一种体现分析的理性之美的学科，是一门很锻炼思维的理性学科。

下面我将浅谈几个微分中值定理的之间联系摘要了解几个微分中值定理，及他们之间的联系；掌握这几个中值定理的推导过程，能够熟练的辨别他们区别。

关键词：微分；中值定理；罗尔定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理；联系一、几个微分中值定理1、罗尔（Rolle）中值定理若函数f 满足如下条件：（i ）f 在闭区间[],a b 上连续；（ii ）f 在开区间(),a b 内可导；（iii ）()()f a f b =则在(),a b 内至少存在一点，使得ξ'()0f ξ=几何意义：罗尔定理的条件表示，曲线弧（方程为）是一条连续的曲线弧，除端点外处处有不垂直于x 轴的切线，且两端点的纵坐标相等。

而定理结论表明，弧上至少有一点，曲线在该点切线是水平的.[注意]：（1）定理中的条件是充分的，但非必要的。

（2）导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点）2、拉格朗日（Lagrange ）中值定理若函数f 满足如下条件：（i ）f 在闭区间[],a b 上连续；（ii ）f 在开区间(),a b 内可导；（iii ）()()f a f b =，则在(),a b 内至少存在一点，使得ξ ()()'()f b f a b a f ξ--=.拉格朗日定理是罗尔定理的推广。

初中学生学习数学分析论文

初中学生学习数学分析论文一、初中学生数学学习状况分析（一）学生数学学习的心理分析1.学生的数学学习无目的、无计划、无标准要求。

对学了什么,应掌握什么,有什么作用是茫然的,有的学生竟说“成绩好有什么用,给我多少奖金”,学习具有盲目性。

2.学生对数学学习不主动、自觉性差,对学习内容的理解和学习任务的完成是被动消极的,学习本是自己的事,却常推委、拖拉或希望同学帮忙,所以同学间常出现抄作业现象,学习具有依赖性。

3.学生有上进的心理,但缺乏勤奋刻苦的学习精神,学习兴趣不浓也不愿培养,不作意志努力,学习中思想常常走神或学习时间内干其他事情,具有学习意志不坚定性。

4.学生学习有了一知半解就感到满足,但遇到困难又垂头伤气,遇难而退或绕道而行,得过且过,致使部分学生学习成绩难以提高,甚至下滑,学习缺乏思想性。

5.学生学习不注重方法,不讲求逻辑联系,分析问题思路杂乱,表达东拼西凑,思维不严谨。

明知这方面过不了关,但也不思改进,学习具有随意性。

(二)学生课堂学习的状况分析1.好动,爱讲话,课堂注意力难持久,自控能力差。

2.数学思维简单;形象思维难建立,抽象思维无基础,针对问题常常冲口而出,答非所问。

3.学习的交流、讨论往往人云亦云,难树己见,思维的闪光点往往在不坚持中一错而过。

思维也就在一次次放弃中养成惰性。

4.观察分析无耐性,不细心,往往被问题的表面现象或假象所迷惑,难以拨云见日,难以感受尝试成功的刺激。

5.会的嫌简单,稍难又嫌烦,总不想动手。

对于较繁的式子,较困难的图形就不于理睬,放置一旁,再遇类似问题,似曾相识,动手就困难。

（三）学生数学学习的思维特征分析1.孤立少联系.学生学习中常常割裂所学知识,分化所学内容,孤立地认识理解问题,如；多项式计算脱离有理数的计算基础,导致运算错误常在符号上。

根式化简不以分式化简为前提,在方法上不能有效迁移。

同时对问题的认识和知识的理解往往绝限于某一范围或某个方面,难以拓宽范围,扩大认识面。

数值分析_学科期末论文(数值分析方法在实际问题中的应用)

数值分析方法在实际问题中的应用摘要：数值分析方法是现代科学计算中常用的数值计算方法，其研究并解决数值问题的近似解，是数学理论与计算机同实际问题的有机结合；本文对拉格朗日插值法和数值积分法的基本原理做了简要阐述；从实际问题出发，分别探究了拉格朗日插值法在油罐储油量中的应用、数值积分法在预测森林伐量中的应用。

关键词：拉格朗日插值法、数值积分法、原理、应用1. 拉格朗日插值法原理介绍及应用拉格朗日插值法是一种多项式插值法，在很多实际问题中都用函数来表示某种内在联系或规律，而不少函数都只能通过实验和观测来了解。

如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。

这样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式。

1.1 拉格朗日插值多项式（1）问题提出已知函数()y f x =在n+1个不同的点,,,01x x xn 上的函数值分别为01,,,n y y y , 求一个次数不超过n 的多项式()n P x , 使其满足()n i i P x y =,()0,1,,i n =即n+1个不同的点可以唯一决定一个n 次多项式。

（2）插值基函数过n+1个不同的点分别决定n+1个n 次插值基函数01(),(),,()n l x l x l x 。

每个插值基本多项式()i l x 满足：(i).()i l x 是n 次多项式;(ii).()1i i l x =，而在其它n 个()()0,i k l x k i =≠。

由于()()0,i k l x k i =≠，故()il x 有因子：011()()()()i i n x x x x x x x x -+----因其已经是n 次多项式，故而仅相差一个常数因子。

令:011()()()()()i i i n l x a x x x x x x x x -+=----由()1i i l x =，可以定出a ，进而得到：011011()()()()()()()()()i i n i i i i i i i n x x x x x x x x l x x x x x x x x x -+-+----=----,,（3）n 次拉格朗日型插值多项式()n P x()n P x 是n+1个n 次插值基本多项式01(),(),,()n l x l x l x 的线性组合，相应的组合系数是01,,,ny y y 。

《数学分析》范文

《数学分析》范文《数学分析》主要研究实数域上的函数和它们的性质。

它首先介绍了实数的基本性质，包括实数的有序性、稠密性以及实数的最大和最小界等等。

接着，《数学分析》引入了函数的概念，学习了实数到实数的映射关系。

函数是数学中非常重要的概念，它可以描述现实世界中的各种关系，如时间与距离的关系、温度与压力的关系等等。

在函数的基础上，《数学分析》引入了极限的概念。

极限是数学分析中非常关键的一个概念，它可以用来描述函数在其中一点的局部行为。

通过极限的研究，我们可以了解到函数的趋势、变化率等等重要的性质。

比如，当自变量趋向于一些值时，函数的取值是否有界、是否趋向于一些特定的值等等。

极限的研究是数学分析的核心内容之一微分和积分则是数学分析中的两个重要操作。

微分是研究函数的局部变化率的工具，它可以用来求得函数的导数。

导数可以告诉我们函数在其中一点的斜率或变化率，从而帮助我们描述函数的几何特征。

而积分则是计算函数在其中一区间上的总量的工具，它可以用来求得函数的原函数。

原函数可以帮助我们计算函数在其中一区间上的面积、体积等等。

除了以上的基础概念之外，数学分析还涉及到级数、微分方程等更深入的内容。

级数是无穷多项相加的运算，它可以用来研究数列的和、函数的展开式等等。

微分方程则是研究函数与其导数之间的关系的数学方程，它在自然科学、工程学等领域中具有广泛的应用。

总之，《数学分析》是一门重要的数学学科，其内容涵盖了函数、极限、微分、积分等各个方面。

通过学习《数学分析》，我们可以掌握一些基本的数学工具，如函数的性质、函数的极限、函数的导数等等。

同时，我们还可以学到一些基本的数学思维方法，如严密的证明思路、逻辑推理等等。

通过《数学分析》的学习，我们可以提高自己的数学分析能力，并且为将来的数学研究打下坚实的基础。

数学分析论文

目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)前言 (1)1立体体积 (1)2曲面的面积 (2)3物体的重心 (3)4物体的转动惯量 (6)5物体的引力 (7)结语 (8)参考文献 (8)重庆三峡学院数学分析课程论文重积分的应用院系：数学与统计学院专业：数学与应用数学（师范）姓名：李林年级：2009级学号：200904014215指导老师：王平（教授）2011年5月重积分的应用李林摘要：重积分主要用来解决实际问题，在本文中，我总结一下学习中遇到的重积分的应用，比如求空间立体的体积，空间物体的质量及在几何和物理方面的应用，并用实例加以说明.关键词：重积分；曲面面积；重心；转动惯量；引力；应用引言学习重积分，主要掌握重积分的计算和应用，用重积分的思想解决实际问题，而计算又涵盖在应用中，我归纳其应用如下：1 具体应用 1.1.立体体积曲顶柱体的顶为连续曲面()y x f z ,=,()D y x ∈,,则其体积为()dxdyy x f V D⎰⎰=,占有空间有界域 Ω 的立体的体积为⎰⎰=Ddxdydz V .例1 求曲面1:221++=y x z S 任一点的切平面与曲面222:y x z S +=所围立体的体积V .解曲面1S 在点()000,,z y x 的切平面方程为22000122y x y y x x z --++=. 它与曲面22y x z +=的交线在xoy 面上的投影为()()12020=-+-y y x x （记所围域为D ）.[]⎰⎰----++=∴Ddxdy y x y x y y x x V 22202000122()()()[]⎰⎰-+--=Ddxdy y y x x 221.令θcos 0r x x =- θs i n 0r y y =-. 原式θπrdrd r D⋅-=⎰⎰2dr r d ⎰⎰-=1320πθπ2π=.例2 求半径为a 的球面与半顶角为α的内接锥面所围成的立体的体积.解在球坐标系下空间立体所占区域为.⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ωπθαϕϕ200cos 20:a rdr d d r dv ϕθϕsin 2=.则立体体积为⎰⎰⎰Ω=dxdydz Vr d r d a ⎰⎰⎰=παϕϕθ20c o s202s i n⎰=αϕϕϕπ033s i n c o s 316d a()απ43c o s 134-=a . 1.2.曲面的面积设光滑曲面()y x f z S ,:=，()D y x ∈,，则面积A 可看成曲面上各点()z y x M ,,处小切平面的面积dA 无限积累而成.设它在D 上的投影为σd ，则dA d ⋅=γσcos()()y x f y x fyx,,11cos 22++=γ.()()∂++=d y x f y x f dA y x ,,122（称为面积元素）.故有曲面面积公式()()∂++=⎰⎰d y x f y x f A Dy x ,,122.即dxdy y z x z A D⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=221. 若光滑曲面方程为()z y g x ,=，()yz D z y ∈,，则有dydz y z x z A yzD ⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=221. 若光滑曲面方程为()x z h y ,=，()zx D x z ∈,，则有dydz y z x z A yzD ⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=221. 若光滑曲面为隐式()0,,=z y x F ，且0≠z F ，则z x F F x z-=∂∂，zy F F y z -=∂∂，()xy D y x ∈,.dxdy F F F F A xyD zz y x ⎰⎰++=∴222.例3求半径为a 的球的表面积. 解利用球坐标方程设球面方程为a r =.球面面积元素为θϕϕd d a dA sin 2=.⎰⎰==∴πππϕϕθ022024sin a d d aA .例4 计算双曲抛物面xy z =被柱面222R y x =+所截出的面积A . 解曲面在xoy 面上投影为222:R y x D ≤+,则dxdy z z A Dy x ⎰⎰++=221.dxdy y x A D⎰⎰++=221r d rr d R⎰⎰+=πθ2021 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=1132232Rπ.1.3. 物体的重心设空间有n 个质点,分别位于()k k k z y x ,,,其质量反别为()n k m k ,2,1 =,由力学知,该质点系的重心坐标为∑∑===nk knk kk mmx x 11.∑∑===nk knk kk mmy y 11.∑∑===nk knk kkmmz z 11.设物体占有空间域Ω,有连续密度函数()z y x ,,ρ则采用大化小常代变取极限可求出其重心公式即:把Ω分成n 小块,在第k 块上任取一点()k k k ζηξ,,,将第k 块看作质量集中于点()k k k ζηξ,,的质点,此质点系的重心坐标就近似该物体的重心坐标.若()()∑∑==∆∆≈nk kk k knk kk k kk v v x 11,,,,ζηξρζηξρξ 令各小区域的最大直径0→λ，即得()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dxdydzz y x dxdydz z y x x x ,,,,ρρ.同理可得()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dxdydzz y x dxdydz z y x y y ,,,,ρρ.()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dxdydzz y x dxdydz z y x z z ,,,,ρρ.当()≡z y x ,,ρ常数时，则有：Vxdxdydzx ⎰⎰⎰Ω=.Vydxdydzy ⎰⎰⎰Ω=.Vzdxdydzz ⎰⎰⎰Ω=（⎰⎰⎰Ω=dxdydz V 为Ω的体积）.若物体为占有xoy 面上区域D 的平面薄片，其面密度为()y x ,μ，则它的重心()()⎰⎰⎰⎰=DDdxdyy x dxdyy x x x ,,μμ()()⎰⎰⎰⎰=DDdxdyy x dxdyy x y y ,,μμ.当=ρ常数时，则有Axdxdyx D⎰⎰=Ay d x d yy D⎰⎰=（A 为D 的面积）.例5 求位于两圆θsin 2=r 和θsin 4=r 之间均匀薄片的重心. 解利用对称性可知0=x .而⎰⎰=Dydxdy A y 1θθπd r d rDs i n 312⎰⎰=dr r d ⎰⎰=θθπθθρsin 4sin 220sin 31θθππd ⎰=04s i n 956 θθππd ⎰⋅=204s i n 2956 2212956ππ⋅⋅⋅= 37=.例6 一个炼钢炉为旋转体形,剖面壁线的方程为()2239z z x -=，30≤≤z 若炉内储有高为h 的均匀钢液,不计炉体的自重,求它的重心.解利用对称性可知重心在z 轴上故其坐标为0==y x ,Vzdxdydzz ⎰⎰⎰Ω=.采用柱坐标,则炉壁方程为()2239z z r -=,. 因此⎰⎰⎰Ω=dxdydz V ⎰⎰⎰⎰Ω=zdxdy dz h 0()dz z z h239-=⎰π⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=23412299h h h π. ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=zdxdy zdz zdxdydz h()dz z z h22039-=⎰π⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=23512339h h h π. 225409043060hh h h h z +-+-=∴. 1.4. 物体的转动惯量因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故连续体的转动惯量可用积分计算. 设物体占有空间区域Ω,有连续分布的密度函数()z y x ,,ρ,该物体位于()z y x ,,处的微元对z 的转动惯量为()()dv z y x y x dI z ,,22ρ+=因此物体对z轴的转动惯量()()⎰⎰⎰Ω+=dxdydz z y x y x I z ,,22ρ.类似可得对x 轴的转动惯量()()⎰⎰⎰Ω+=dxdydz z y x z yI x ,,22ρ. 对y 轴的转动惯量()()⎰⎰⎰Ω+=dxdydz z y x z xI y ,,22ρ.对原点的转动惯量()()⎰⎰⎰Ω++=dxdydz z y x z y xo ,,222ρ.如果物体是平面薄片,面密度为()y x ,μ，()D y x ∈,则转动惯量的表达式是二重积分.()dxdy y x y I x ,2μ⎰⎰Ω=()dxdy y x x I y ,2μ⎰⎰Ω=()()dxdy y x y x I o ,22μ⎰⎰Ω+=.例7 求半径为a 的均匀半圆薄片对其直径的转动惯量.解建立坐标系如图所示 ⎩⎨⎧≥≤+0:222y a y x D .⎰⎰=Dx dxdy y I 2μθθμdrd r D23sin ⎰⎰=dr r d a⎰⎰=0302sin θθμπ2212414πμ⋅⋅⋅=a . 半圈薄片的质量μπ221a M =241Ma I x =∴. 例8 求均匀球体对于过球心的一条轴l 的转动惯量.解取球心为原点, z 轴为l 轴,设球所占域为2222:a z y x ≤++Ω,则()dxdydzy x I z ρ⎰⎰⎰Ω+=22()θϕϕθϕθϕρd drd r r r sin sin sin cos sin 2222222⋅+=⎰⎰⎰Ωdr r d d a⎰⎰⎰=040320sin ϕϕθρππ1322525⋅⋅⋅=a πρM a 252=(ρπ334a M =).1.5. 物体的引力设物体占有空间区域Ω,其密度函数()z y x ,,ρ连续,物体对位于原点的单位质量质点的引力()z y x F F F F ,,=.利用元素法,引力元素在三坐标轴上的投影分别是()dv rxz y x GdF x 3,,ρ=()dv r yz y x GdF y 3,,ρ=()dv rz z y x G dF z 3,,ρ=222z y x r ++=G 为引力常数. 在上积分即得各引力分量:()dv rxz y x G F x ⎰⎰⎰Ω=3,,ρ()dv r yz y x G F y ⎰⎰⎰Ω=3,,ρ()dv rzz y x G F z ⎰⎰⎰Ω=3,,ρ.对xoy 面上的平面薄片D ,它对原点处的单位质量质点的引力分量为()σρμd xy x G F Dx ⎰⎰⎰=3,. ()σρμd y y x G F Dy ⎰⎰⎰=3, (22y x +=ρ). 例9 设密度函数为μ,半径为R 的圆形薄片222R y x ≤+,0=z ,求它对于位于点()a M ,0,00()0>a 处的单位质量质点的引力.解由对称性知引力()z F F ,0,0= d a d d G dF z ⋅-=2σμ()23222a y x d Ga ++-=σμ()⎰⎰++-=∴Dz a y x d Ga F 23222σμ()⎰⎰+-=Rarrdrd Ga 0232220πθμ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=a a R Ga 11222μπ. 例10 求半径为R 的均匀球2222R z y x ≤++对位于点()()R a a M >,0,00的单位质量质点的引力.解利用对称性知引力分量0==y x F F()[]dv a z y xaz G F z 23222-++-=⎰⎰⎰Ωρ()()[]⎰⎰⎰-++-=-zD RRa z y xdxdydz a z G 23222ρ()()[]⎰⎰⎰---+-=220232220z R R Ra z rrdrd dz a z G πθρ()dz a az R z a a z G RR⎪⎪⎭⎫⎝⎛+----=⎰-222112ρπ ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+----=⎰-222122a az R d a z a R G R R ρπ2a M G -=(ρπ343R M =为球的质量).参考文献：1王贵鹏. 数学分析[M]. 北京: 高等教育出版社, 2001年6月.2 田国华. 数学分析辅导及习题全解[M]. 北京: 人民日报出版社, 2007年8月.3 闫晓红,王贵鹏. 数学分析全程导学及学习习题全解[M]. 北京: 中国时代经济出版社,2006年3月.4 强文久,李元章,黄雯荣. 数学分析的基本概念与方法[M]. 上海: 高等教育出版社, 1989年4月.5 刘玉莲,傅沛仁,林钉,苑德馨. 数学分析讲义[M]. 北京: 高等教育出版社, 2008年4月.The application of the heavy integralLiLin(Second class of Grand 2009， mathematics and applied mathematics college of mathematics and ststistics Chongqing Three Gorges University （404000）)Abstract : Heavy integral is mainly used to solve practical problems, in this article, I encountered in the study summarized the application, such as heavy points for three-dimensional volume, space objectsin the quality and the applications of geometry and physics, and some examples to illustrate. Key words: Heavy integral; Surface area; Gravity; Inertia; Gravity;Application.10。