刚体模型质点
高中物理力学模型归纳
高中物理力学模型归纳
1. 质点模型：将物体看成一个质点，忽略其大小、形态和内部结构，只考虑它的质量和运动状态。
2. 刚体模型：将物体看成一个刚体，认为它的各个部分不会相对运动，只考虑它的整体运动。
3. 弹性模型：将物体看成具有弹性的物体，认为它能够发生形变，但在去除外力后能够恢复原状。
4. 摩擦模型：将物体看成受到摩擦力的物体，认为在两个物体接触时存在一种阻碍运动的力，影响物体的运动状态。
5. 空气阻力模型：将物体看成受到空气阻力的物体，认为物体在空气中运动时会受到空气的阻碍，影响物体的运动状态。
6. 转动模型：将物体看成具有转动的物体，认为物体在运动过程中会发生转动，需要考虑其转动惯量和角加速度等因素。
7. 力分析模型：将物体的运动状态分解为力的作用和物体的反应，通过分析物体受力情况来预测物体的运动状态。
质点和刚体的运动
质点和刚体的运动质点和刚体是物理学中两个重要的概念。
它们揭示了物体在空间中的运动方式和规律。
在本文中，我们将探讨质点和刚体的运动，并讨论它们之间的区别。
一、质点的运动质点是物理学中一个基本的模型，用于描述物体的运动。
它被定义为质量集中在一个点上的物体。
质点的运动可以用一个点的位置来描述，不考虑物体的形状和大小。
在描述质点的运动时，我们通常需要考虑三个方面：位移、速度和加速度。
1. 位移（displacement）指的是物体从初始位置到最终位置的位移量。
它是一个矢量量，有大小和方向。
2. 速度（velocity）表示单位时间内物体位移的快慢和方向。
它是位移对时间的导数，可以用以下公式表示：速度 = 位移 / 时间3. 加速度（acceleration）表示单位时间内速度变化的快慢和方向。
它是速度对时间的导数，可以用以下公式表示：加速度 = 速度的变化量 / 时间质点的运动可以分为匀速直线运动和变速直线运动两种情况。
在匀速直线运动中，质点在直线上以相同的速度匀速运动；在变速直线运动中，质点在直线上以不同的速度运动。
二、刚体的运动刚体是由无穷多个质点组成的物体，其形状在运动过程中保持不变。
与质点不同，刚体的运动需要考虑物体的形状和大小。
在描述刚体的运动时，我们需考虑刚体的平动和转动两个方面。
1. 平动（translation）是指刚体的各点同时做平行移动。
刚体的平动可以用一个平动速度来描述，该速度是各点速度矢量的平均值。
2. 转动（rotation）是指刚体围绕固定轴线进行旋转。
刚体的转动可以用一个角速度来描述，该角速度是各点角速度矢量的平均值。
刚体的运动可以分为平动、转动和平动加转动等情况。
其中，平动和转动可以合成平动加转动运动。
三、质点和刚体的区别质点和刚体的运动有着明显的区别：1. 定义不同质点被定义为质量集中在一个点上的物体，刚体由无穷多个质点组成且形状保持不变。
2. 运动方式不同质点的运动只需考虑位移、速度和加速度，不考虑物体的形状和大小；刚体的运动需要考虑平动和转动，具有更多的自由度。
力学中四种模型的比较与例析
力学中四种模型的比较与例析
力学中常见的四种模型是：质点模型、刚体模型、弹性体模型和连续介质模型。
下面是它们的比较与例析：
1. 质点模型：
- 简化模型：将物体近似为质点，忽略物体的形状和大小，只考虑质点的位置和质量。
- 适用范围：适用于研究物体在非常短时间内的运动，或者物体的形状和大小对问题解答没有影响的情况。
- 例子：一个小球从斜面上滑下，可以用质点模型来分析小球的运动，忽略小球的大小和形状，只考虑小球的位置和质量。
2. 刚体模型：
- 简化模型：将物体看作刚体，忽略物体内部的形变和变形，只考虑物体整体的平移和旋转运动。
- 适用范围：适用于研究物体的平移和旋转运动，特别是对于刚体之间的碰撞和相互作用有很好的描述。
- 例子：两个碰撞的小球可以看作刚体，通过刚体模型可以分析它们之间的碰撞过程，例如碰撞后的速度和动量变化。
3. 弹性体模型：
- 简化模型：考虑物体内部的形变和变形，将物体看作具有弹性的材料，可以发生弹性变形。
- 适用范围：适用于研究物体的弹性变形和弹性力学性质，如弹簧的
拉伸和压缩等。
- 例子：一个弹簧被拉伸或压缩时，可以用弹性体模型来分析弹簧的形变和恢复力。
4. 连续介质模型：
- 简化模型：将物体视为连续的介质，假设物体的性质在空间上是连续变化的。
- 适用范围：适用于研究物体的流体力学性质，如流体的流动、压力和密度等。
- 例子：水流动时可以用连续介质模型来分析水流的速度和压力分布，忽略水分子的个体运动。
这些模型在不同情况下有不同的适用范围，选择合适的模型可以简化问题，使问题更容易解决。
刚体和质点组误建为质点模型探析
刚体和质点组误建为质点模型探析面对复杂具体的物体,研究他们形形色色的运动,如果不采取突出本质的主要矛盾,忽略非本质的次要因素的科学思维方法,人们便不能摆脱浩如烟海、纷乱复杂现象的纠缠,理不出清晰的物理概念和规律,物理学理论大厦无法建立. 物理学中的各种模型便是这种科学方法的具体应用. 质点模型无疑是理想化模型中最典型的,如果物体的大小、形状对所研究问题的影响可以忽略不计时,可视物体为质点. 同样的物体,研究的问题不同,可能建立的模型是不同的. 在一些问题中,研究对象已不能看成质点,而应看成刚体或质点组. 但中学阶段研究的问题绝大多数是可视为质点的,这容易造成学生思维定势,不利于学生能力的发展,这种常法定式容易误导学生闯入质点模型建立的红灯区.一、讨论人、车转弯(或物体有转动趋势)问题时,因为提供的向心力并不过质心,人、车或物体的大小已不是次要因素,模型一般不能建立为质点而应是刚体人滑冰转弯时还能把人看成质点吗?摩擦力的作用点一定能画在质心吗?带着疑问我们从下面的例题谈起.例1 北京时间2006年2月24日凌晨,都灵奥运会花样滑冰女子单人滑的比赛结束,最终日本名将荒川静香力挫美国名将科恩和俄罗斯老将斯鲁茨卡亚获得冠军,图1为俄罗斯老将斯鲁茨卡亚在滑冰过程中美丽的倩影. 假设图中斯鲁茨卡亚在沿弧形运动. 若已知该运动员的质量在60kg左右,除此之外,根据图中的信息和你所学的物理知识,你能估测的物理量是( )A. 地面对冰鞋摩擦力的大小B. 运动员的滑行速度C. 运动员转弯时的向心加速度D. 地面对人的支持力【错解】图1中的运动员受到三个力的作用,在竖直方向重力和支持力平衡,因此地面对人的支持力等于重力. 在水平方向运动员受到的静摩擦力提供所需的向心力,方向指向圆弧形的曲率中心,则由于Ff=ma=m,且Ff、v、R均未知,因此A、B、C项无法估测,综合选D.【错解分析】能不能把人看成质点,是由问题的性质决定的. 本题中,运动员转弯时需要倾斜,而且速度越大倾斜越厉害,这是不争的事实. 如果把人看成质点,就无法解释上述现象. 其实这类问题中应把人看成刚体,静摩擦力作用于脚底面已不能简单的平移在人的质心处而提供所需的向心力,也就是说人的大小已经是问题的主要因素. 如图2所示,过质心加上方向与Ff平行、大小均与Ff相等的一对方向相反的力Ff1和Ff2,显然,Ff、Ff1、Ff2的作用效果和原力Ff是等效的. 在Ff、Ff1、Ff2这组力中,Ff1提供运动员作圆周曲线运动的向心力,Ff2与Ff产生了一个顺时针的力偶矩,为了不使运动员向外翻倒,只有当运动员向内倾斜时即重力产生一个逆时针力矩才能使转动平衡,这种方法称为等效平移力法.[1]【正确解法】为了便于研究,把运动员简化成如图2所示的刚体模型,运动员所受的力有:重力作用在质心,方向竖直向下,支持力作用在脚底面方向竖直向上,沿法向方向的静摩擦力作用在脚底面,方向指向圆弧形轨迹曲率中心,设曲率半径为r,运动员此时沿切线方向上的速度为v. Ff1提供运动员做曲线运动的向心力,即Ff1=Ff=m ①Ff2产生的顺时针力矩和重力产生的逆时针力矩能使转动平衡,则Ff2y=mgx ②(y、x分别为Ff2和mg产生的力臂)设转弯时运动员的倾角为θ,则tanθ====③本题中,根据图中信息可估测出运动员的倾斜角θ,依③式由于v、r均未知,因此不能估算出运动员的滑行速度,但可估算出转弯时的向心加速度即a==;又依①式Ff=m=,因此摩擦力的大小也能估算出;在竖直方向上支持力与重力平衡,地面对人的支持力可估算出,FN=mg,综合本题选ACD.例2 一载重农用车总质量为M=5t,重心离地面高h=1.5m,两轮胎之间的宽度为L=1.2m,轮胎与地面之间的动摩擦因数μ=0.5. 当农用车通过一半径为R=100m 的水平弯道时,最大速度不能超过多少才是安全的?(最大静摩擦力按滑动摩擦力计算,g取10m/s2)【错解】如图3所示,农用车在竖直方向受到重力和支持力FN,则FN=Mg,农用车沿曲率中心的静摩擦力提供所需要的向心力. 设农用车转过水平弯道的速度为v时,即将沿法向方向滑出,则Ff=μMg=M,得v==22.5m/s.【错解分析】错解的原因仍然是简单的把农用车看成质点造成的. 农用车在转弯处的安全隐患是滑出还是翻倒是未知的,若是滑出,是平动问题,农用车可以看成质点;若是翻倒,是转动问题,农用车的大小也是主要因素,已不能看成质点,摩擦力的作用点不能简单地画在质心上,而应把农用车看成刚体按有固定转动轴的平衡问题来分析.【正确解法】先由静摩擦力提供向心力计算. 设即将侧滑动的车速为v1,则Ff=M ①又Ff=μMg ②联立①②得v1==22.5m/s.再由附加力矩和重力力矩的转动平衡计算. 设即将翻倒时车速为v2,由等效平移力法,此时静摩擦力提供向心力则Ff’=M③另一力Ff’’与重力的力矩平衡,即Ff’’h=Mg ④(设以右轮胎为转动点,即将翻倒时地对左边轮胎恰无支持力)联立③④得v2==20m/s. 通过计算对比可以看出,农用车在弯道处更容易翻倒造成事故,因此安全行驶的速度不能超过20m/s.【反思】限于中学学生所做的这方面试题绝大多数可视为是质点而不是刚体模型,这容易造成思维的固定模式,像前面讨论的人滑冰转弯、人骑车转弯、汽车转弯等很实际的问题,我们有必要让学生明白,这类问题已不能把它们看做质点,物体的形状、大小往往也起主要作用而不能忽略,当然我们也忽略了一些次要因素. 如人的双臂摆动、双腿交替运动、身体的晃动、内脏的运动等. 中学教学中,遇到的这类问题不是很多,我们要善于抓住时机,利用很少的时间帮助学生理解模型的建立要根据具体问题而决定,而不是避而不谈,甚至错误作答. [2]二、讨论人、机车的功能(或物体间的碰撞)问题时,因为有内力参与做功,模型一般不能建立为质点而应是质点组对涉及人和机车的做功问题时还能用质点动能定理吗?物体间(系统)的碰撞问题我们所列的动能方程是质点动能定理吗?下面以两个例题为引子做一深入的探究.例3如图4所示,平板车放在光滑的水平面上,一个人从左端加速向右端跑动. 设人受到的摩擦力为F,平板车受到的摩擦力为F’. 下列说法中正确的是( )A. F和F’均做负功B. F和F’均做正功C. F做正功F’做负功D. F和F’做的总功为零【错解】人从车的左端加速向右端跑动时,人相对地向右运动,人所受的摩擦力方向也向右,则F做正功;平板车相对地面向左运动,它受到的摩擦力也向左,则F’也做正功,所以选项B正确.【错解分析】上述错解中,人和平板车所受静摩擦力的方向及摩擦力对平板车做正功的分析都是正确的,错误出现在静摩擦力F对人做正功的分析上. 学生做此题时认为,人受静摩擦力方向向右,并且人向右运动,根据功的定义“一个物体在力的作用下移动,力对物体做的功等于力和物体沿力方向位移的乘积”,因此摩擦力对人做正功. 这是把人看做质点得出的结论,其实,这个问题中人已经不能看做质点,而应看成质点组. 难道中学就只能把人看成质点吗?若是把人看成质点分析得出的答案B与我们交代给学生的二级结论“一对静摩擦力做的总功为零”是相矛盾的,并且人和车组成的系统动能增加也是无法解释的,可见这不是简单的可回避的问题. [3]【正确解法】人应看做质点组,人向右跑动时,人体的各部分运动情况不一样,人体整体看来向右运动,但后脚随着后腿由弯曲变为伸展的过程中,随着平板车一起向左运动,由于后脚受到的静摩擦力方向向右,所以F对人做负功. 当后脚抬起并且向前运动变为前脚时,原来的前脚就开始变为后脚重复着上面的过程,每次的后脚蹬着平板车向左运动,后脚和平板车的位移是相等的,因此F和F’做的总功为零. 正确答案是D.例4 一质量分布均匀的铁链,质量为M,长为L,静止在水平面上,若用一竖直向上的恒力F作用于铁链的一端,则当铁链刚好全部离开地面时,其速度有多大?【错解】铁链在上升的过程中,拉力做正功,位移为L,重力做负功,位移为,地面支持力不做功,当铁链刚好完全离开地面时,设其速度为v,依动能定理,有:FL-Mg=Mv2,解得v=.【错解分析】上面的解法中套用了质点的动能定理,然而上面的铁链在这类问题中是不能视为质点的,必须看做质点组. 这样就涉及内力做功的问题,在铁链不断上升的过程中,原来静止在地面上的铁链微元dm不断地与获得速度的铁链主体m结合为一体,铁链的上升过程实质上就是已离地的m与静止的dm的一连串连续的碰撞过程,m与dm间相互作用的一对内力做功之和并不为零,碰撞中有能量损失. 其实对质点组,动能定理应写为W非内+W外=Ek2-Ek1,W非内为非保守内力所做的功.在中学应用动能定理时,是把物体能够看做质点的情况下,把物体看做质点,内力做功为零,因此质点动能定理为:W外=Ek2-Ek1.【正确解法】设某时刻铁链离开地面部分长度为x,获得速度为v,并设铁链的线密度为λ,λ=,则对长为x的铁链有微分方程:F-λxg=(λx v).整理得(-xg)=d(xv),两边乘以xv得:(xv)d(xv)=xvdt-x2gvdt=xdx-x2gdx.两边微分后得:x2v2=x2-gx3.当x由零到L,v2=-gx,则v=[4].【反思】人和车运动问题中,限于中学生的知识局限,学生出现的错误比较多,例如人和车在地面上运动,是地面摩擦力对人或车做正功的缘故;又如人从地面上跳起是地面支持力对人做功的结果;再如人在荡秋千的过程中(忽略各种阻力)机械能守恒等. 要帮助学生理解这类问题中人或车已不能看成质点或刚体,而应看成质点组,由于质点组内各质点之间存在着相互作用力,内力虽然不能改变质点组的总动量,但可以改变质点组的动能. 无论是人体内,还是各类机械中,因内力的产生随时间、位移的变化十分复杂,以至于通常难以用一个定量的函数式对它进行描述,所以内力功虽然具备功的因素却难以定量表示,其大小只能间接用机械能或其他形式能的增量进行粗略的估算.物体之间的碰撞问题,由于一些过程时间短,隐藏性强,中学生也经常“视而不见”从而出错. 教师经常埋怨学生粗心,其实教师也要在此做足文章,可以对碰撞过程“放大”和“强化”处理,使学生明确质点组间的碰撞由于一对内力做功一般不为零,因此机械能有损失.理想化模型的建立需具体问题具体分析,不能一概而论. 某因素可能在这种情况下是次要因素,不予考虑;但在另一种情况下可能是主要特征,就必须考虑.参考文献:[1] 张锦科. 人骑车转弯时的力学探究[J]. 物理教师,2009(7).[2] 冯晓林. 中学教学研究(3+X中学成功教学法体系)[M]. 呼和浩特:内蒙古大学出版社,2000.[3] 徐善松. 一对静摩擦力做功一定为零[J]. 物理教学,2008(7).[4] 丁三七. 几个功能问题的错解分析及原因探究[J].中学物理,2008(7).。
刚体力学基础第三章
二、转动惯量J
对分立的质点系： J miri2
i
对刚体： 质量是连续分布
J r2dm
r 2dl 线分布，为线密度
J r 2ds 面分布，为面密度 r 2 dV 体分布，为体密度
z
dm
r
讨论
J r2dm
（1）转动惯量的物理意义：J表示刚体转动时惯性的大小
（2）转动惯量J的大小决定于
r 3dr
1 2
mR2
m
R 2
J
常 见 刚 体 的 转 动 惯 量
§3 刚体定轴转动定律
一、 力矩
使物体转动，必须给定一 个作用力，另外考虑转动与力 的作用点以及作用力的方向有 关，因此在研究物体转动中引
入力矩这一物理量。 （1）若刚体所受力 F在转动平面内
z
Od r
F
F
P
力臂：rsin = d 表示转轴到力作用线的垂直距离。
m
2(2
m
1
+
m
2
m 1+m 2
+
m
2
)g
T1
a m1 m1g T2 a m2 m2g
§4 力矩的功 动能定理
一、力矩的功
刚体在合外力矩作用下绕定轴转动而发生角位移时
d，A则力F矩 d对r刚体F作d了r功co。s F cos(900 )ds
F sin rd
Md
z
O d
dr
F
r P
元功：力矩对质点(或刚体)所作的 元功等于力矩和角位移的乘积
盘）。如A下降，B与水平桌面间的滑动摩擦系数为μ，
绳与滑轮之间无相对滑动，试求系统的加速度及绳中的
张力FT1和FT2。 受力分析 FT1
力学总结(质点力学和刚体力学的比较)
力学总结(质点力学和刚体力学的比较)
力学是研究物体运动及其动力学规律的学科。
在力学中，质点力学和刚体力学是两个
重要的分支，它们主要研究不同类型物体的运动和受力情况。
质点力学是研究质点在空间中的运动及其受力情况的力学分支。
质点是指无限小、质
量均匀、大小可以忽略不计的物体。
在质点力学中，主要研究质点的运动状态和运动规律。
根据牛顿第二定律，物体的运动状态与所受的合力有关，因此质点力学主要研究质点所受
的力及其对运动状态的影响。
质点力学的重要内容还包括能量守恒和动量守恒原理，通过
这些守恒原理可以描述物体在各种运动过程中的能量和动量变化情况。
刚体力学是研究刚体在空间中的运动及其受力情况的力学分支。
刚体是指形状、体积
和质量都保持不变的物体，其内部各点的相对位置保持不变。
与质点力学不同，刚体力学
需要考虑不同部位所受的不同力及相应的力矩，因为刚体的形状和尺寸不同，所受的力和
力矩也不同。
刚体力学主要研究刚体受力平衡的情况和旋转运动的规律。
在研究刚体的运
动状态时，我们需要考虑刚体的转动惯量和角动量等因素。
在日常生活中，我们所遇到的物体有的是质点，比如小球、电子等；有的是刚体，比
如机器人、汽车等。
因此，质点力学和刚体力学的研究成果不仅可以应用于科学研究，还
可以应用于工程设计和日常生活。
我对质点、质心、刚体、惯量概念的新理解
我对质点、质心、刚体、惯量概念的新理解司今（广州毅昌科技研究院广州 510663 E-mail:jiewaimuyu@）在欧几里得几何中，将空间物体的运动看作是一个点的运动，这个点是没有空间大小的抽象点；牛顿力学是建立在欧几里得几何空间下的运动，因此牛顿研究物体运动时也不考虑物体空间大小，将物体运动抽象为一个点的运动，那就是质点。
有了质点概念后，他进一步建立了质心、刚体等概念，从而完成了他的力学概念体系。
1 质点质点是一种理想化模型。
在研究机械运动时，若物体形状和大小对运动影响可以忽略，我们就可以把它看作是一个具有一定质量的几何点，称为质点。
实际上，牛顿运动定律就是针对质点而言的，牛顿方程中的加速度就是欧几里得几何中点的加速度。
能否将物体看作质点处理需要满足以下条件的其中之一：（1）物体各个部分的运动情况相同，它的任何一点运动都可以代表整个物体运动，即物体具有刚体性。
（2）物体大小和形状对研究问题影响很小，可以把它看作一个质点。
（3）转动物体，只要不研究其转动且符合第2条，也可看成质点。
可见，质点是只具有质量没有空间大小或空间大小不考虑的几何点。
但不能把它和微观粒子如电子等实体概念混同起来。
若研究的问题不涉及转动或物体大小跟问题中所涉及到的距离相比较微小时，即可将这个物体抽象为质点，如研究地球公转时，地球半径比日、地间距离小得多，就可把地球看作质点，但研究地球自转时就不能把它当成质点。
又如物体平动时，内部各处的运动情况都相同，就可把它看成质点。
所以物体是否能被视为质点，完全决定于所研究问题的性质。
2 质心空间物体所具有的质量被看作是集中在物体内某一点上，这个点就称作是该物体的质心，这是一个假想点，用它就可以和欧几里得的空间几何点运动联系起来，从而和牛顿力学的质点运动统一起来。
质心也仅是一个点，与物体形状无关，能够作质心处理的运动物体必须具有刚体性，即要求质心点的运动可以代表整个物体的运动。
可见质心和质点概念是相通的，在研究空间物体运动时，质心本身就转化为质点涵义了。
机械系统的动力学模型和方程
机械系统的动力学模型和方程动力学是研究物体运动的规律和原因的科学分支，而机械系统的动力学则是指研究机械系统中各个部件之间相互作用的力学原理和运动规律。
机械系统的动力学模型和方程是描述机械系统运动的数学表示，对于系统的分析和设计有着重要的意义。
一、机械系统的动力学模型机械系统是由各种不同的部件组成的，这些部件之间通过力进行相互作用。
为了研究和描述机械系统的运动规律，我们需要建立相应的动力学模型。
1. 质点模型当机械系统中的部件趋于无限小，可以视为质点时，可以采用质点模型进行描述。
质点模型忽略了物体的形状和结构，只考虑其质量和质心位置。
通过对质点所受外力和力矩进行求解，可以得到系统的运动方程。
2. 刚体模型当机械系统中的部件可以看作刚体时，可以采用刚体模型进行描述。
刚体模型考虑了物体的形状和结构，将其视为不会发生形变的固体。
通过对刚体受力和力矩的分析，可以得到系统的运动方程。
3. 柔性体模型当机械系统中的部件存在形变和弹性时，需要采用柔性体模型进行描述。
柔性体模型考虑了物体的弹性变形和振动，通过弹性力和振动方程的求解，可以得到系统的运动方程。
二、机械系统的动力学方程机械系统的动力学方程是描述系统运动规律的数学方程。
根据牛顿第二定律，可以得到机械系统的动力学方程。
1. 线性动力学方程对于线性系统，动力学方程可以表示为：F = m*a其中，F是物体所受的合外力，m是物体的质量，a是物体的加速度。
2. 旋转动力学方程对于旋转系统，动力学方程可以表示为：M = I*α其中，M是物体所受的合外力矩，I是物体的转动惯量，α是物体的角加速度。
3. 耦合动力学方程对于复杂的机械系统，可以通过将线性动力学方程和旋转动力学方程耦合起来，得到系统的动力学方程。
通过建立机械系统的动力学模型和方程，可以对系统的运动进行研究和分析。
得到系统的运动规律和动态响应，为系统的设计和控制提供依据。
总结：机械系统的动力学模型和方程是研究机械系统运动规律的重要工具。
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演示
17
纯滚动处理方法：
（1）以过质心且垂直于运动平面的轴为转轴，把刚体 滚动分解为: 质心平动 + 绕质心转动。
（2）以过滚体与地面触点P且垂直于运动平面的轴为
转动轴，把刚体运动作为绕P点的纯转动。称P点为瞬
心。容易证明，P是瞬时静止的。即vp= 0，同时有
(1) 合力作用线过质心，刚体作纯平动。所
谓平动是指刚体在运动中，其中任意两点
F
间的连线始终保持方向不变。
(2)合力等于零，但力矩不为零。合力作用 F
lc
等价于一力偶。刚l体作F绕轴I的纯转动。
F
(3) 合力的作用线不过质心，刚体运动等价
于合力作用在质心的纯平动加上力偶矩作
用下的纯转动。
F
l c
F
6/10/2020 1:55 AM
第三章 刚体力学
一、什么是刚体？（刚体模型）
质点
一般物体 塑性体、流体…
1. 刚体定义
刚体
在外力作用下，物体的形状和大小（尺寸）保持不变，而且内 部各部分相对位置保持恒定（没有形变），这种理想物理模型 称之为刚体。
刚体是一种特殊的质点组。任意质点间相对位置不变
刚体
无穷质点组合 （质点组）
6/10/2020 1:55 AM
a
例3.6 平板中开孔后绕板中心且
垂6/直10/20板20 1面:55 轴AM 的转动惯量
10
四、刚体的能量
绕定轴转动
1. 动能
刚体中任一质元mi绕定轴转动的动能EiK
Eik
1 2
mi
vi2
1 2
mi
Ri2
2
刚体转动的总动能为
x
Ri dm
y
I / 2 Ek
Eik
12
2
mi Ri2
2
或
1 2
对应质点位置矢量：
更一般表述：
6/10/2020 1:55 AM
刚体的 质心
4
2 刚体绕某点（如质心） 合外力矩 的转动
刚
体
的 转
=0
动
定
律
刚体所受的合外力矩等于刚体对所选原点的合动量矩 随时间的变化率。
6/1刚0/20体20 1的:55 A运M 动=质心平动+刚体绕质心的转动
演示 5
2 刚体绕固定轴的转动 实质：简化刚体的转动、一维的转动问题
m2rr
mr
2
0
dL
0
dt
14
例3.7 行星的俘获截面
演示
有心力作用：角动量守恒 保守力作用：机械能守恒
3. 刚体的角动量守恒 刚体的角动量定理
若刚体的合外力矩等于零，则角动量守恒。
6/10/2020 1:55 AM
15
六、刚体的平面平行运动
作用在刚体上的外力都在同一平面内，则刚体与该平面相交之截 面将始终在此平面内运动，称为刚体的平面平行运动。
刚体运动
质点组的 运动
1
2. 刚体的受力模型
第 i 个质点受力
整个质点组（刚体）受力
刚体受到的力矩 相对O点的力矩 * 合内力的力矩
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=0 内力演示
y ri
rj o
x
=0 2
刚体受力特征：
y
合内力和合内力矩都为零。
ri
合外力 合外力矩
rj o
x
3. 刚体的运动特征 刚体的各点在任意时刻具有相同的角速度。 证明
(Ic
md
2 ) 2
1 2
Ic 2
1 2
mv
2 c
即：刚体绕定轴转动的动能等于质心绕定轴的动能加
6/10/2上020刚1:55体AM绕质心平行轴转动的动能。
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2. 总能量
加上重力势能
E
Ek
Ep
1 2
mv
2 c
1 2
Ic 2
mghc
3. 外力矩对刚体作的功
刚体绕定轴转动时，只有与轴垂直的力分量才能作功， 与轴平行的力分量将和轴上的约束力平衡。
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例3.8 滚动
摩擦力在滚动中作用: 如果摩擦力足够大，则其运动形式为无滑动的纯滚动。 若摩擦力不够大，会出现又滑动又滚动的情况， 摩擦力为0，则只滑动无滚动。
设滚体质心速度为vc，绕质心转动的角速度为 。在单位时间内，
质心前进了vc t，而由滚动产生的移动为 r t
vc > r是又有滑动又有滚动的情况。 vc = r是纯滚动的情况。
角速度成为刚体重要的运动特征，它在刚体运动中占 有特殊显要的地位。
一该6/10般点/2020刚以1:5体角5 AM的 速运 度动，作可转以动看的成合某运点动的。平动运动和刚体绕 3
二、刚体动力学 1 刚体的质心
刚体的平动
刚体在合外力作用下，其运动特征类似于一个质量等 于刚体质量的质点的运动。
运动特征：
外 力对质点所作的功等于质点 动 能 的增加。
直
角
线
运
运
动
动
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四、角动量守恒定律
v
1.
质点的角动量
L
r
mv
L mrvsin
L
I
mr
2
mrv
2. 质点在有心力作用下的角动量守恒
m(r r2 ) f (r)
F
f
(r)r0
图解
m(r 2r) 0
d2
dt (mr ) 6/10/2020 1:55 AM
Ri dmriBiblioteka yx角速度单位矢量
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6
Ri dm
ri
引入转动惯量
y
则有：
x 刚体绕固定轴的转动定律为：
对应关系
直
角
线
运
运 6/10/2020 1:55 AM
动7
动
一质般心刚以体 角的 速运 度动，作可转以动看的成合质运心动的。平动运动和刚体绕
* 质心运动定律 * 绕质心的转动定律
三、转动惯量 1. 举例给出常用物体形状的转动惯量计算 例3.1 圆盘绕轴心旋转的转动惯量
例3.2 圆球绕通过球心某轴旋转的转动惯量
例3.3 细棒绕通过中心且与棒垂直轴旋转的转动惯量
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2. 平行轴定理
刚体对任一转动轴 的转动惯量 等于 刚体过质心且平行 这一转动轴的转动 惯量 再加上刚体 质量乘上两平行轴 之间的距离的平方。
考虑与轴垂直的力，有
dA Fi dRi Fi Ri cos id
i i
Ri Fi d id d
i
i
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12
A
d
I d
I
d
d
I d
dt
1 2
I22
1 2
I12
dA d
dA
d
功率定义：
p dA d
dt
dt
结论：外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增加。
3. 垂直轴（正交轴）定理
薄板状刚体对板面两正 交轴的转动惯量之和 等于垂直该板面且通过 板6/面10/2内020两1:5正5 AM交轴交点的 轴的转动惯量。
I
Ic
o d oc dm y x
z
x
y
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例3.4 细棒绕通过端部且与棒垂直轴旋转的转动惯量
例3.5 通过矩形平板中心且垂直板面轴的转动惯量 b