3.1 刚体模型
第三章 刚体的转动
M
o
r
F
M r F
m
力矩是矢量，M 的方向垂直于r和 F所决定的平面，其指向 用右手螺旋法则确定。
力矩的方向
2）力矩的单位、
牛· 米(N· m)
3）力矩的计算：
M 的大小、方向均与参考点的选择有关
M
m
M Fr sin
r
F
※在直角坐标系中，其表示式为 M r F ( xi yj zk ) ( Fx i Fy j Fz k )
例2 设质量为m，半径为R的细圆环和均匀圆盘分别绕通过各 自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和圆盘的转动惯量.
解 (1)求质量为m，半径为R的圆环对中心轴的转动惯量.如图 (a)所示，在环上任取一质元，其质量为dm，该质元到转轴的距 离为R，则该质元对转轴的转动惯量为
dI R 2 dm
考虑到所有质元到转轴的距离均为R， 所以细圆环对中心轴的转动惯量为
dI x dm x dx
2 2
整个棒对中心轴的转 x dx ml 2 12
2
(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的转动惯量为
1 2 I x dx ml 0 3
l 2
由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯量不同.
刚体也是一个各质点之间无相对位置变化且质 量连续分布的质点系。
3.1 刚体定轴转动的描述
刚体的基本运动可以分为平动和转动，刚体 的各种复杂运动都可以看成是这两种运动的合成。
1.刚体的平动和定轴转动
平动
刚体的平动是指刚体在运动过 程中其中任意两点的连线始终保 持原来的方向（或者说，在运动 的各个时刻始终保持彼此平行）。 特点：其中各点在任意相同的时间内具有相同的位移和运动 轨迹，也具有相同的速度和加速度。因而刚体上任一点的运 动都可代表整个刚体的运动。 平动的刚体可看作质点。 刚体的转动比较复杂，我们只研究定轴转动。
刚体力学 (17)
五、线速度
v v v dr dn × r v v v= = = ω ×r dt dt
注意：角速度为刚体共有， 线速度应是刚体上某一点的线速度
图
返回
表示绕转轴的转动，3 个独立的角度表示刚体的转动
二、刚体运动的分类
1. 2. 3. 4. 5.
平动
独立坐标数：3 独立坐标数：1 独立坐标数：2＋1
定轴转动
平面平行运动
Байду номын сангаас
定点转动独立坐标数：3 一般运动独立坐标数：3＋3 定点转动
学习重点：定轴转动 平面平行运动
§3.2 角速度矢量
一、矢量 ♥ 有大小、有方向 v v v v ♥ 满足对易律 A + B = B + A
第三章 刚体力学
刚体：理想模型. 任何两质点间的距离 不因力的作用而改变. 刚体力学的内容： 刚体运动学 刚体动力学 刚体静力学
§3.1 刚体运动的分析
一、描述刚体的独立变量
一个质点 一个点 二个点 三个点 3个独立坐标 ； n个质点 3个坐标能否确定刚体？ 6个坐标能否确定刚体？ 3个不在一条直线上的点 3点间距是常数 9－3＝6 9个坐标？ 3n?
位移、速度等线量满足对易律
二、有限转动
图
角位移、角速度不满足对易律
三、无限小转动的矢量性
无限小转动角位移、角速度满足对易律 角位移、角速度可用矢量描述 证明
四、角速度矢量 定义：
v v ∆n dn v = ω = lim ∆t → 0 ∆ t dt
dθ ω的大小：ω = ω dt
ω的方向：沿转动瞬轴
结论：刚体的独立坐标数是 6 .
如何用 6 个坐标？
力学中四种模型的比较与例析
力学中四种模型的比较与例析
力学中常见的四种模型是：质点模型、刚体模型、弹性体模型和连续介质模型。
下面是它们的比较与例析：
1. 质点模型：
- 简化模型：将物体近似为质点，忽略物体的形状和大小，只考虑质点的位置和质量。
- 适用范围：适用于研究物体在非常短时间内的运动，或者物体的形状和大小对问题解答没有影响的情况。
- 例子：一个小球从斜面上滑下，可以用质点模型来分析小球的运动，忽略小球的大小和形状，只考虑小球的位置和质量。
2. 刚体模型：
- 简化模型：将物体看作刚体，忽略物体内部的形变和变形，只考虑物体整体的平移和旋转运动。
- 适用范围：适用于研究物体的平移和旋转运动，特别是对于刚体之间的碰撞和相互作用有很好的描述。
- 例子：两个碰撞的小球可以看作刚体，通过刚体模型可以分析它们之间的碰撞过程，例如碰撞后的速度和动量变化。
3. 弹性体模型：
- 简化模型：考虑物体内部的形变和变形，将物体看作具有弹性的材料，可以发生弹性变形。
- 适用范围：适用于研究物体的弹性变形和弹性力学性质，如弹簧的
拉伸和压缩等。
- 例子：一个弹簧被拉伸或压缩时，可以用弹性体模型来分析弹簧的形变和恢复力。
4. 连续介质模型：
- 简化模型：将物体视为连续的介质，假设物体的性质在空间上是连续变化的。
- 适用范围：适用于研究物体的流体力学性质，如流体的流动、压力和密度等。
- 例子：水流动时可以用连续介质模型来分析水流的速度和压力分布，忽略水分子的个体运动。
这些模型在不同情况下有不同的适用范围，选择合适的模型可以简化问题，使问题更容易解决。
理论力学周衍柏第三章
(e) dT Fi dri
(e) 若 Fi dri dV 则 T V E
为辅助方程，可代替上述6个方程中任何一个
§3.5 转动惯量
一、刚体的动量矩 1. 某时刻刚体绕瞬轴OO’转动,则pi点的速度为
vi rii
动量矩为 2. 坐标表示
R Fi Fi 0 M M i ri Fi 0
2. 几种特例 1）汇交力系（力的作用线汇交于一点）：取汇交点为 简化中心，则
Fix 0 R Fi 0 Fiy 0 Fiz 0
三、力偶力偶矩 1. 力偶：等大、反向、不共线的两个力组成的利系。
力 偶 所在平面角力偶面. 2. 力偶矩: 对任意一点O M rA F rB F (rA rB ) F r F M Fd
方向 : 右手法则 上式表明:
J z x mi zi xi y mi zi yi z mi ( xi2 yi2 )
I yy mi ( zi2 源自xi2 ) I zy mi zi yi I yz mi yi zi I xz mi xi zi
I zz mi ( xi2 yi2 )
§3-1 刚体模型及其运动
平动：刚体运动时，若刚体内任意一条直线在 各个时刻的位置始终彼此平行，则这种运动 叫做平动。
特征： 1.运动学特征：平动时刚体中各质点的位移，
速度，加速度相等。刚体内任何一个质点的运动， 都可代表整个刚体的运动。
2.动力学特征：将刚体看成是一个各质点间距 离保持不变的质点组。
对刚体中的每一个质元应用牛顿运动定律
刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
v v0 at
0 t
x
x0
v0t
1 2
at 2
பைடு நூலகம்
0
0t
1 2
t
2
v2 v02 2a(x x0 )
2
2 0
2 (
0)
角量与线量的关系
d
dt
d
dt
d 2
d2t
v ret
at r an r 2
a
an
同 学 们 好
第三章 刚体的运动
出发点：牛顿运动定律
§3-1 刚体模型及其运动
刚体的运动形式：平动、转动。 （平动，定轴转动，定点转动， 平面平行运动，一般运动）
刚体是实际物体的一种理想的模型
一．刚体（理想模型）：在外力作用下，形状 和大小都不发生变化的物体 。（任意两质 点间距离保持不变的特殊质点组）
r
at
e v
t
a ret r 2en
刚体平动
质点运动
转动：刚体的各个质点在运动中都绕同一直线圆周 运动，这种运动就叫做转动，这一直线就叫做转轴。 转动又分定轴转动和非定轴转动。 定轴转动：转轴固定不动的转动。
刚体定轴转动的运动学特征：质点在垂直转轴的 平面内作圆周运动，用角量度描述，刚体中各质 点的角位移 、角速度、角加速度均相等。
大学物理 第3章 刚体力学基础
2 1
Jd
1 2
J22
1 2
J12
2 Md (1 J2 )
1
2
力矩对刚体所做的功，等于刚体转动动能的增量。
例 如图所示，一根质量为m，长为l的均匀细棒OA，可绕固定点O在竖直平 面内转动.今使棒从水平位置开始自由下摆，求棒摆到与水平位置成30°角 时中心点C和端点A的速度.
F
·
F
式中为力F到轴的距离
F
若力的作用线不在转动在平面内，
则只需将力分解为与轴垂直、平行
r
的两个分力即可。
力对固定点的力矩为零的情况：
1、力F等于零， 2、力F的作用线与矢径r共线
（有心力对力心的力矩恒为零）。
力对固定轴的力矩为零的情况：
若力的作用线与轴平行 若力的作用线与轴相交
则力对该轴无力矩作用。
dJ R2dm
考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对中心轴的转动惯量为
J dJ R2dm R2 dm mR2
m
m
(2)求质量为m，半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量.整个圆盘可以看成许
多半径不同的同心圆环构成.为此，在离转轴的距离为r处取一小圆环，如
图2.36(b)所示，其面积为dS＝2πrdr，设圆盘的面密度(单位面积上的质量)
力矩在x,y,z轴的分量式，称力对轴的矩。例如上面所列
Ｍx , My , Mz , 即为力对Ｘ轴、Ｙ轴、Ｚ轴的矩。 设力Ｆ 的作用线就在Z轴
的转动平面内，作用点到Ｚ
轴的位矢为r，则力对Ｚ轴
的力矩为
M z rF sin
r sin F F rF sin rF
第3章-刚体3.24
Liz mi ri vi mi ri
2
刚体对Oz轴的角动量为
Lz Liz mi ri ( mi ri )
2 2 i i i
令
J z mi ri
i
2
kg m
2
J z 为刚体对 Oz 轴的转动惯量。
Lz J z
2、转动惯量：（单位
kg m )
（2）转动惯量 J 是刚体转动惯性的量度
（3）瞬时性。同一时刻对同一刚体，同一转轴而言。
(4)在定轴转动中，M z 和 的方向均在转轴方位， 可用代数表示。
例4.一质量为m，长为l 的均质细杆，转轴在o点，距 A端l/3。今使棒从静止开始由水平位置绕o点转动， 求：（1）水平位置的角速度和角加速度。（2）垂直 位置时的角速度和角加速度。
J J c md
2 2
同样得
1 l 2 J ml m ml 12 3 2 1
例二 求质量为 m，半径为 R 的细圆环和均匀 薄圆盘分别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动 时的转动惯量。 解：（1）在圆环上取一质量元为
dm dl m 2 R dl
dl
x
任意点P(r,)的转动可代表整个刚体的转动.
在p点的转动平面内进行研究. 1 描述点P转动的物理量为:
(1). 角坐标 (t) 一般规定逆时针转动为正. (2).角速度 定义:
d dt
o
• P
r
• P
单位:
rad/s
x
>0
一般规定逆时针转动时 > 0 顺时针转动时 < 0 方向用右手法则确定.
W
z
刚体力学优质课件
飞轮的角加速度为 b d 20π dt
距转轴r处质点的切向加速度 at rb 2π 0r
法向加速度
an r2 40π20r2t
例 船用螺旋桨的正常转速为120r/min。从静止启动均匀地到
此转速需时40s。当转速为84r/min时运动系统出现振动，
方成正比。
求 在这段时间内，转子转过的圈数。
解 根据题意，设 b kt2（k为比例常量）
由角加速度的定义，有
b dkt2
dt
分离变量并积分，有
d tkt2dt
➢ 说明
刚体作平动时，刚体上各点的轨迹可以是直线，也可以是曲线； 刚体作平动时，刚体上所有质点都具有相同的位移、速度和加速度，
各点的运动轨迹都相同； 刚体平动的运动规律完全符合质点运动规律； 刚体质心的运动代表平动刚体的运动。
3. 刚体的转动 转动: 刚体上的各质点都绕同一直线作圆周运动的运动形式。 转动轴: 刚体转动围绕的那条直线(转轴可以是固定的或变化的)。
y
确定刚体绕瞬时轴转过的角度j 。
O
当刚体受到某些限制——自由度减少。
x i = 3+2+1= 6
§3.2 刚体定轴转动的运动学规律
主要内容：
1. 描述刚体定轴转动的物理量 2. 定轴转动刚体上一点的速度和加速度与角量的关系 3. 刚体定轴转动运动学的两类问题
3.2.1 描述刚体定轴转动的物理量
角坐标
任选刚体上的任意点P点为参考点
刚体定轴转动的运动方程
(t)
角位移
若P在t 和t 后的角坐标为1和2，则
角速度
21
平均角速度
t
瞬时角速度 d dt
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刚体模型
目录
为什么需要刚体概念
什么是刚体
刚体的运动方式一：平动
刚体的运动方式二：转动
01
02
03
04
一、为什么需要刚体概念？
（1）真实世界不存在质点。
（2）刚体便于处理，无数质点组成的系统根本无法用牛顿力学处理每一个质点的运动及受力情况。
（3）刚体是一种合理的近似。
无近似，不物理！
二、什么是刚体？
（1）生活语言描述：刚体就是刚性不形变的物体。
（2）物理语言描述：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体，任意两质点间距离保持不变的
特殊质点组。
（3）常见的刚体：桌子，房子...
易拉罐可以当成刚体吗？
气球可以当成刚体吗？
定义：刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线。
位置矢量之间 AB
r r A B += 两边对时间求导得： dt AB d dt r d dt r d A B += 0=dt
AB d B B A A v dt r d dt r d v ===∴ B B A A a dt r d dt r d a ===2222 o x
y z
B r A r A B 1A 1B 2A 2B n A n B
四、刚体的运动方式二：转动
定义：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动。
转动又分定轴转动和非定轴转动。
Thanks!。