独立性检验讲解
独立性检验
74
26
100
（3）根据列联表中的数据可得
K2
n(ad bc)2
100 (6410 1610)2
(a b)(c d)(a c)(b d ) 80 20 74 26
3600 7.4844 6.635 481
所以有 99％的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度 有关.
(2017年海南卷第19题)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对 比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其 频率分布直方图如图所示。
K2
n(ad bc)2
(a b)(c d )(a c)(b d )
P(K 2 k) k
0.050 0.010
0.001
3.841 6.635 10.828
（2）由所给数据，可得列联表为：
SO2
0,150
150, 475
合计
PM 2.5
0, 75
64
16
80
75,115
10
10
20
合计
若K2 < k,则认为“在犯错误的概率不超过a的前提下不能 推断这两个分类变量有关系”（或者可以表达为“没有1-a的 把握认为两个分类变量有关系”）
（2020年海南卷第19题）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对 某市空气质量进行调研，随机抽查了天空气中的和浓度（单位：），得下表：
SO2 PM2.5 [0, 35] (35, 75]
独立性检验及其应用
一、定义：
利用随机变量K2 来判断“两个分类变量有关系” 的方法称为独立性检验
二、独立性检验的具体步骤：
1、完成列联表 2、根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系” 犯错误概率的上界a，然后查表确定对应的临界值k； 3、利用公式，计算随机变量K2； 4、若K2 > k ，则推断“在犯错误的概率不超过a的前提下认 为两个分类变量有关系”（或者可以表达为“有1-a的把握认 为两个分类变量有关系”）；
统计学中的独立性检验
统计学中的独立性检验统计学中的独立性检验（Test of Independence）是一种常用的统计方法，用于研究两个或多个分类变量之间是否存在相互独立的关系。
通过对随机抽样数据进行分析，可以判断不同变量之间是否有关联，并衡量关联的强度。
本文将介绍独立性检验的基本原理、常用的检验方法以及实际应用。
一、独立性检验的基本原理独立性检验的基本原理是基于统计学中的卡方检验（Chi-Square Test）。
卡方检验是一种非参数检验方法，用于比较观察值频数与期望频数之间的差异。
在独立性检验中，我们首先建立一个原假设，即所研究的两个或多个变量之间不存在关联，然后通过计算卡方统计量来判断观察值与期望值之间的差异是否显著。
二、常用的独立性检验方法1. 皮尔逊卡方检验（Pearson's Chi-Square Test）：这是最常见的独立性检验方法，适用于有两个以上分类变量的情况。
它基于观察频数和期望频数之间的差异，计算出一个卡方统计量，并根据卡方分布表给出显著性水平。
2. Fisher精确检验（Fisher's Exact Test）：当样本量较小或者某些期望频数很小的情况下，皮尔逊卡方检验可能存在一定的偏差。
在这种情况下，可以使用Fisher精确检验来代替皮尔逊卡方检验，得到更准确的结果。
3. McNemar检验：适用于配对数据比较的独立性检验，例如一个样本在两个时间点上的观察结果。
三、独立性检验的实际应用独立性检验在各个领域都有广泛的应用，以下是几个常见的实际应用场景：1. 医学研究：独立性检验可以用于研究某种药物治疗方法是否具有显著的疗效，或者判断不同年龄组和性别之间是否存在患病率的差异。
2. 教育领域：独立性检验可用于研究学生成绩与家庭背景、教育水平之间是否存在关联。
3. 市场调研：在市场调研中，可以通过独立性检验来分析不同年龄、性别、收入水平等因素对消费者购买习惯的影响。
4. 社会科学研究：独立性检验可以帮助社会科学研究人员探索个体特征与社会行为之间的关系，例如政治倾向与不同年龄群体之间的关联性等。
高考数学一轮复习专题04 独立性检验(解析版)
概率与统计 专题四：独立性检验一、知识储备 1．22⨯列联表设X ，Y 为两个变量，它们的取值分别为12{}x x ,和12{}y y ,，其样本频数列联表(22⨯列联表)如下：2．独立性检验利用随机变量2K (也可表示为2χ)2()()()()()n ad bc a b c d a c b d -=++++(其中n a b c d =+++为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验． 3．独立性检验的一般步骤(1)根据样本数据列出22⨯列联表；(2)计算随机变量2K 的观测值k ，查下表确定临界值k 0：(3)如果0k k ≥，就推断“X 与Y 有关系”，这种推断犯错误的概率不超过()20P K k ≥；否则，就认为在犯错误的概率不超过()20P K k ≥的前提下不能推断“X 与Y 有关系”．【注意】(1)通常认为 2.706k ≤时，样本数据就没有充分的证据显示“X 与Y 有关系”．(2)独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．(3)独立性检验是对两个变量有关系的可信程度的判断，而不是对其是否有关系的判断．二、例题讲解1．（2022·榆林市第十中学高三月考（文））随着经济的发展，人们的生活水平显著提高，健康意识不断增强，健康管理理念深入人心，人们参加体育锻炼的次数与时间在逐渐增加.某校一个课外学习小组为研究居民参加体育锻炼的时长（时长不超过60分钟）是否与性别有关，对某小区居民进行调查，并随机抽取了100名居民的调查结果，其中男性有55人，根据调查结果绘制了居民日均锻炼时间的频率分布直方图如下：(1)求样本中居民日均锻炼时间的中位数；(2)将日均锻炼时间不低于40分钟的居民称为“健生达人”（健康生活达人），已知样本中“健生达人”中有10名女性，根据已知条件完成下面22⨯列联表，并据此资料判断是否有95%的把握认为“健生达人”与性别有关.附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++.【答案】(1)32.8分钟；(2)表格见解析，没有95%的把握认为“健生达人”与性别有关. 【分析】(1)根据中位数的定义求样本中居民日均锻炼时间的中位数；(2)分析数据，完成列联表，计算2K ，通过比较其与临界值的大小，确定是否接受假设. 【详解】解：本题考查独立性检验.(1)由频率分布直方图知日均锻炼时间在[)0,30对应的频率为0.050.180.20.43++=，则中位数位于[)30,40，且中位数为0.500.43301032.80.25-+⨯=（分钟）(2)由频率分布直方图可知在抽取的100人中，“健生达人”有32人，从而22⨯列联表如下：得()210033103522 3.595 3.84155456832K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有95%的把握认为“健生达人”与性别有关2．（2022·江苏南京市·高三开学考试）科研小组为提高某种水果的果径，设计了一套实验方案，并在两片果园中进行对比实验.其中实验园采用实验方案，对照园未采用.实验周期结束后，分别在两片果园中各随机选取100个果实，按果径分成5组进行统计：[)21,26，[)26,31，[)31,36，[)36,41，[]41,46（单位：mm ）.统计后分别制成如下的频率分布直方图，并规定果径达到36mm 及以上的为“大果”.（1）请根据题中信息完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“大果”与“采用实验方案”有关；（2）根据长期种植经验，可以认为对照园中的果径X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，5.5σ≈，请估计对照园中果径落在区间()39,50内的概率.（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）附：①()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++；②若X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.683P X μσμσ-<<+=，()220.954P X μσμσ-<<+=，()330.997P X μσμσ-<<+=.【答案】（1）列联表见解析，有99.9%的把握认为两者有关；（2）0.157. 【分析】（1）根据频率分布直方图分别求出采用实验方案大果和非大果数量及未采用实验方案大果和非大果数量，从而可得出列联表，再根据公式求出2K ，对照临界值表即可得出结论；（2）求出样本平均数x ，再根据正态分布的性质即可得出答案. 【详解】解：（1）由频率分布直方图可得：采用实验方案大果的数量为()50.1100.01010060⨯+⨯=个， 则非大果数量为1006040-=个，未采用实验方案大果的数量为()50.0400.02010030⨯+⨯=个， 则非大果数量为1003070-=个， 列联表如下：22006070304020010.8281001009011011K ⨯-⨯==⨯⨯⨯＞，所以有99.9%的把握认为两者有关； （2）由题中数据，23.50.128.50.233.50.438.50.243.50.133.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 则33.5μ=，则()()0.9970.683395030.157P X P X μσμσ-=++==＜＜＜＜.三、实战练习1．（2022·定远县育才学校高三开学考试（文））微信是腾讯公司推出的一种手机通信软件，它支持发送语音短信､视频､图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人.为了调查微信用户每天使用微信的时间，某经销化妆品的店家在一广场随机采访男性､女性用户各50名，将男性､女性平均每天使用微信的时间（单位：h ）分成5组：(0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图估计女性平均每天使用微信的时间；（2）若每天玩微信超过4h 的用户称为“微信控”，否则称为“非微信控”，判断是否有90%的把握认为“微信控”与性别有关. 附表：（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）【答案】（1）4.76()h ；（2）有90%的把握认为“微信控”与性别有关. 【分析】（1）用每个小矩形的面积乘以对应小矩形底边的中点，然后求和即可得到答案；（2）先通过频率分布直方图面积为1求出a ，进而根据参考公式求出K 2，然后将数据进行对比即可得到答案. 【详解】（1）由女性的频率分布直方图，可知女性用户平均每天使用微信的时间为0.1610.2430.2850.2070.129 4.76()h ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）由男性的频率分布直方图，可得2(0.040.1420.12)1a +++⨯=，解得0.08a =.由两个频率分布直方图，可得22⨯列联表如下：2K的观测值2100(38203012)2.941 2.70650506832k⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有90%的把握认为“微信控”与性别有关.2．（2022·河北唐山·高三开学考试）数字人民币是由央行发行的法定数字货币，它由指定运营机构参与运营并向公众兑换，与纸钞和硬币等价.截至2022年6月30日，数字人民币试点场景已超132万个，覆盖生活缴费､餐饮服务､交通出行､购物消费､政务服务等领域.为了进一步了解普通大众对数字人民币的感知以及接受情况，某机构进行了-次问卷调查，部分结果如下：（1）如果将高中及高中以下的学历称为“低学历”，大学专科及以上学历称为“高学历”，根据所给数据，完成下面的22⨯列联表；（2）若从低学历的被调查者中，按对数字人民币的了解程度用分层抽样的方法抽取8人，然后从这8人中抽取2人进行进一步调查，求被选中的2人中至少有1人对数字人民币不了解的概率；（3）根据列联表，判断是否有95%的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关？ 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）列联表答案见解析；（2）914；（3）没有95%的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关. 【分析】（1）根据题中所给数据完成22⨯列联表即可；（2）根据分层抽样分别求出不了解数字人民币和了解数字人民币的人数，再根据古典概型公式即可得解； （3）根据公式求出2K ，在参照临界值表即可得出结论. 【详解】解：（1）22⨯列联表如下：（2）从低学历被调查者中按对数字人民币的了解程度用分层抽样的方法抽取8人，抽取的8人中，不了解数字人民币的有81503400⨯=人， 了解数字人民币的有82505400⨯=人， 从这8人中抽取2人进行进一步调查，求被选中的2人中至少有1人对数字人民币不了解的概率2528C 91C 14P =-=.（3）根据列联表得()22800125250150275800 3.463 3.841275525400400231K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯.故没有95%的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关.3．（2022·广东实验中学高三月考）在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均值x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把捏认为潜伏期与息者年龄有关；（3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立．为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）．．．．．．．．．．．是多少？ 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【答案】（1）5.4天；（2）列联表见解析，没有95%的把捏认为潜伏期与息者年龄有关.（3）潜伏期超过6天最有可能．．．．是8人.【分析】（1）根据频率直方表求平均值即可.（2）由题设写出列联表，根据卡方检验公式计算卡方值，比照参考值即可知是否有95%的把捏认为潜伏期与息者年龄有关；（3）由题意知潜伏期超过6天的人数2(20,)5X B ，则202032()()()55k k kP X k C -==，应用不等法求最大概率时的k 值即可. 【详解】（1）10.08530.20550.3170.2590.13110.015130.005x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 5.4=天.（2）由题设知：[0,6]的频率为0.6，(6,14]的频率为0.4，故200人中潜伏期在[0,6]上有120人，在(6,14]上有80人. 列联表如下：∴22200(65453555) 2.083 3.84110010012080K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，故没有95%的把捏认为潜伏期与息者年龄有关.（3）由患者潜伏期超过6天发生的概率400210005=， 设潜伏期超过6天的人数为X ，则2(20,)5XB ，∴202032()()()55k k kP X k C -==且020k ≤≤，*k N ∈，由题意，()(1)()(1)P X k P X k P X k P X k =≥=+⎧⎨=≥=-⎩，即2019112020202111202032325555{32325555k k k k k k k k k k k k C C C C --++----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得3(1)2(20)2(21)3k k k k +≥-⎧⎨-≥⎩，解得374255k ≤≤， ∴8k ，即潜伏期超过6天最有可能．．．．是8人. 4．（2022·黑龙江高三其他模拟（文））据有关部门统计，2021年本科生的平均签约薪酬为每月4300元.2021年某高校毕业生就业指导中心为了分析本校本科毕业生的专业课成绩优秀与否与本科毕业生就业后获得薪酬的关系，随机调查了从学校毕业的200名本科毕业学进行研究.研究结果表明：在专业课成绩优秀的120名本科毕业生中有90人每月工资超过人民币4300元，另30人每月工资低于人民币4300元；在专业课成绩不优秀的80名本科毕业生中有20人每月工资超过人民币4300元，另60人每月工资低于人民币4300元. （1）试根据上述数据完成22⨯列联表；（2）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“该高校本科毕业生的专业课成绩优秀”与“每月工资超过当年本科生的平均签约薪酬”有关系？参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.【答案】（1）列联表见解析；（2）能. 【分析】（1）根据题目已知数据完成22⨯列联表；（2）计算2K，根据临界值表判断即可【详解】（1）22⨯列联表如下：（2）因为()22009060302016004810.828 120801109033K⨯⨯-⨯==>>⨯⨯⨯.所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“该校毕业生的专业课成绩优秀”与“每月工资超过当年本科生的平均签约薪酬”有关系.【点睛】方法点睛：本题考查22⨯联表判断相关性，独立性检验的一般步骤：第一步，提出假设0H：两个分类变量A和B没有关系；第二步，根据22⨯列联表和公式计算2K统计量；第三步，查对课本中临界值表，作出判断。
高中数学选修课件第三章§独立性检验
针对性解决策略和建议
深入理解独立性概念
明确事件独立与随机变量独立的区别，熟练掌握 相关公式和定理的适用条件。
正确选择统计性检验。
ABCD
重视样本容量的选择
在进行独立性检验时，应根据实际情况选择合适 的样本容量，以保证结果的准确性。
明确显著性水平的意义
结果分析与讨论
结果描述
详细阐述检验结果，包 括统计量、显著性水平
等信息。
结果解释
结合研究问题和假设， 对检验结果进行合理解
释。
结果比较
将本研究结果与已有研 究进行比较，分析异同
点。
结果推广与应用
探讨本研究结果的推广 价值和应用前景。
06
独立性检验常见问题及解决方法
常见错误类型及原因剖析
错误理解独立性概念
在判断两个分类变量是否独立时，需 要结合实际情况和专业知识进行综合 判断，避免盲目依赖统计结果。
在计算卡方统计量时，需要注意期望 频数的计算方法，避免出现计算错误 。
需要注意独立性检验只能判断两个分 类变量之间是否存在关联，但不能确 定它们之间的因果关系。
03
独立性检验在统计学中应用
统计分析中作用
实际操作流程演示
确定研究问题和假设
明确研究目的，提出假设并确定检验标准 。
结果解释与报告
对检验结果进行解释，得出结论并撰写报 告。
收集数据
根据研究问题和假设，选择合适的方法收 集数据。
进行独立性检验
根据所选用的检验方法，对数据进行计算 和分析。
数据整理与预处理
对收集到的数据进行整理、清洗和转换， 以便于后续分析。
独立性检验可以帮助我们更好 地理解概率论中的基本概念， 如条件概率、联合概率等。
高中数学选修课件第一章：独立性检验
注意事项与误区提示
在进行独立性检验前，需要确保样本 的随机性和代表性，以避免因样本偏 差导致结果失真。
需要注意的是，独立性检验只能判断 两个变量之间是否存在统计上的独立 性，并不能说明它们之间是否存在因 果关系或其他形式的关联。
在解读结果时，需要注意概率值（p 值）或临界值表的具体含义和适用条 件，避免误用或滥用。
高中数学选修课件第一 章：独立性检验
汇报人：XX 20XX-01-30
contents
目录
• 独立性检验基本概念 • 独立性检验基本思想解读 • 独立性检验方法介绍及应用场景分析 • 独立性检验结果解读与注意事项 • 独立性检验在统计学中地位和作用 • 高中数学选修课程中其他相关知识点回
顾与拓展
01
在实际应用中，还需要结合其他统计 方法和专业知识进行综合分析和判断 。
05
独立性检验在统计学中地位和作用
独立性检验在统计学中地位
独立性检验是统计学 中一种重要的假设检 验方法。
在数据分析、市场调 研、医学研究等领域 具有广泛应用。
它用于判断两个或多 个分类变量之间是否 相互独立。
独立性检验对后续统计分析影响
高中数学选修课程中其他相关知识点梳理
排列组合与二项式定理
回顾排列组合的基本概念、计算公式及应用，掌握二项式定理的展开式及通项公式的应 用。
概率与统计的综合应用
梳理概率与统计在高中数学选修课程中的综合应用，如概率与统计在解决实际问题中的 结合，以及概率与统计在其他数学知识点中的交叉应用等。
数学建模与数学探究
独立性检验的基本思想
通过抽样调查获取数据，根据样本数据来判断两个分类变量 是否独立。
独立性检验的方法
通常采用列联表的形式整理数据，然后计算相关统计量的值 （如χ²值），并根据统计量的值及给定的显著性水平作出判 断。
解读独立性检验
解读独立性检验陕西汉中市405学校 侯有岐 723312一．知识详解 （一） 条件概率 1.概念对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号()P B A 来表示.2.性质条件概率具有概率的性质,任何事件的条件概率都在0和1之间,即0(1P B A ≤≤）;如果B 和C 是两个互斥事件,则(())()()P B C A P B A P C A =+ .3.求法(1)利用定义,分别求()(),P A P AB 和得()()P AB P B A P A =（）. (2)借助古典概型概率公式,先求事件A 包含的基本事件数()n A ,再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数,即()n AB ,得)()()n AB P B A n A =(. (二) 事件的相互独立性 1.概念设A 、B 为两个事件，如果()()(),P AB P A P B =则称事件A 与时间B 相互独立. 2.性质(1)事件A (或B )是否发生对事件B (或A )发生的概率没有影响.(2)一般地，如果事件A 与B 相互独立，那么A B,A B A 与B,与与也都是相互独立的. 3.计算公式(1)两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即()()()P AB P A P B =.(2) 一般地,如果事件12,,,n A A A n 相互独立，那么这个事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即1212()()()()n n P A A A P A P A P A = .(三)独立性检验 1.基本思想“独立性检验”的基本思想类似于反证法：要确认“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立.在假设下构造的2χ统计量应该很小,计算的结果如果很大,则在一定程度上说明假设不合理,即认为这两个变量在一定程度上有关.2.基本方法“独立性检验”是检验两个变量是否独立的统计方法,是卡方检验的一个应用.对独立性检验解析如下:(1) “独立性检验”的统计假设0H :两个变量之间是独立的,无关的;(2)卡方的计算公式是: 22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++;（3）卡方的临界值：2.706，3.841和6.635； （4）20χ≥.3.基本步骤(1)分析题意,作出2⨯2列联表; (2)根据卡方计算公式,求出2χ的值; (3)和临界值比较,作出统计判断:若2χ≤2.706,接受统计假设0H ,即认为两个变量无关,是独立的; 若2χ>2.706,有0090的把握判定两变量有关; 若2χ>3.841, 有0095的把握判定两变量有关; 若2χ>6.635, 有0099的把握判定两变量有关.二、考点解读考点一：条件概率的求法 例1 盒中装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球.玻璃球中有2个是红色的,4个是蓝色的;木质球中有3个是红色的,7个是蓝色的.现从中任取1个,已知取到的是蓝球,问该球是玻璃球的概率是多少?分析:由题意知,待求问题是条件概率问题,可利用条件概率公式求解.解:设事件A 为任取一个球是蓝球, 事件B 为任取一个球是玻璃球,则事件AB 为一个蓝色的玻璃球.方法一:由于任取一个球是等可能的,且A 包含的基本事件数()n A =11,事件AB 包含的基本事件数()n AB =4,故所求事件的概率)4()()11n AB P B A n A ==(. 方法二:由题意可知474()(),1616P A P AB +==11=，16所以4416()11()1116P AB P B A P A ===（）.点评:解答此类问题的关键是搞清题设的先定条件,即在什么条件下求事件的概率,在此基础上,运用条件概率的两种求法求解.变式练习1:在题设不变的情况下,求已知取到是木质球的前提下,问该球是红色球的概率.考点二：相互独立事件的概率例2 某省甲、乙、丙三名队员竞选2008年奥运火炬手，已知甲当选的概率为45，乙当选的概率为35，丙当选的概率为710. (1) 求恰有一名队员当选的概率；（2）求至多两名队员当选的概率.分析:由题意知,解答本题可以根据相互独立事件的概率计算公式进行计算. 解:记甲、乙、丙当选的事件分别为A B C 、、，则有4()5P A =,3()5P B =,7()10P C =. (1)因为事件A B C 、、相互独立，恰有一名队员当选的概率为()())()()()()()()()()()42313312747.551055105510250P A B C P A B C P A B C P A P B P CP A P B P C P A P B P C ++=++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（ (2) 至多两名队员当选的概率为437831()1()()()1.5510125P A B C P A P B P C -=-=-⨯⨯= 点评: (1)含有“至多”、“至少”等量词的概率问题，在解答过程中常利用独立事件间的关系求解.(2)正确处理好互斥事件与独立事件的概率问题,如本例中“恰有一名队员当选”，实际包含三个事件,,,ABC ABC ABC 而这三个事件是彼此互斥的.变式练习2:在题设不变的情况下,求下列事件的概率: (1)至少有一名队员当选的概率; (2)恰有两名队员当选的概率. 考点三：独立性检验的应用例3 某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm ）的值落在[29.94，30.06）的零件为优质品.从两个分厂生产的零件中各抽出500件,量其内径尺寸,得结果如下表： 甲厂乙厂（1） 试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；（2） 由以上统计数据填下面22⨯列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.附：221122122114244142(),n n n n n x n n n n -=分析:解答本题第(2)问只需用2χ公式计算,对照临界值便可以确定这种关系.解：（I ）(略) （Ⅱ）,635.635.7 320680500500)140320180360(100022>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=x 所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.点评: (1)本题是2009年辽宁高考文科题.解决此类题目的关键在于正确利用卡方公式计算2χ的值,再利用该值与临界值3.841和6.635进行比较,最终作出判断.(2)利用独立性检验，能够帮助我们对日常生活中的实际问题做出合理的推断和预测。
独立性检验的诠释与备考
独立性检验的诠释与备考
独立性检验，又称为卡方检验，是一种常用的统计技术，用于检验两个变量之间是否存在独立性的关系。
它的原理是比较两组数据之间的差异，从而判断数据是否独立。
首先，我们要明确独立性检验的定义：两个变量之间的独立性，指的是两个变量是否有着相互独立的关系，也就是说，这两个变量之间没有因果关系。
其次，我们要了解独立性检验的用途：它可以帮助我们确定两个变量之间是否存在相互独立的关系，也可以用来测试不同类别的变量之间的关系，从而推断出这两个变量是否有着相互独立的关系。
再次，我们要了解独立性检验的方法：它的基本步骤是：首先，确定两个变量的分类；其次，计算每类变量的频率；最后，使用卡方检验（Chi-Square Test）来检验两个变量是否相互独立。
最后，要了解独立性检验的备考方法：
1.了解变量的定义和分类：在备考独立性检验时，要先明确变量的定义和分类，以便于更好地理解相关的概念和计算公式。
2.研究卡方检验：卡方检验是独立性检验的基础，要了解它的概念以及计算公式。
3.练独立性检验：复时要多练独立性检验，比如说可以尝试某些实际例子，这样可以加深对独立性检验的理解。
总之，独立性检验是一种非常有用的统计技术，在备考时要搞清楚它的定义、用途和方法，并多练，以便在考试中取得良好的成绩。
高二独立性检验知识点总结
高二独立性检验知识点总结独立性检验是统计学中的一种重要方法，用于确定两个或多个变量之间是否存在关联性。
在高二阶段的学习中，独立性检验是一个必不可少的统计学概念。
本文将对高二独立性检验的知识点进行总结，旨在帮助同学们更好地理解和应用该概念。
1. 独立性检验的概念独立性检验用于判断两个分类变量之间是否存在显著关联。
其中，第一个分类变量称为自变量或行变量，第二个分类变量称为因变量或列变量。
独立性检验的目标是确定两个分类变量之间的关联性程度。
2. 卡方检验卡方检验是一种常用的独立性检验方法。
它基于卡方统计量，通过比较实际观察频数与期望频数之间的差异，判断两个分类变量是否独立。
卡方检验可以应用于两个或多个分类变量的关联性检验。
3. 单样本卡方检验单样本卡方检验用于检验一个分类变量在整体上是否符合期望分布。
通过计算观察频数与期望频数之间的差异，判断观察结果是否与期望分布存在显著差异。
单样本卡方检验是独立性检验的基础，可以帮助我们理解和掌握更复杂的卡方检验方法。
4. 独立性卡方检验独立性卡方检验用于判断两个分类变量之间是否存在关联。
它的原假设为两个分类变量独立，备择假设为两个分类变量不独立。
通过计算卡方统计量和查阅卡方分布表，我们可以得出检验结果，确定两个分类变量之间的关联性。
5. 列联表和期望频数独立性检验的前提是我们需要有观察数据和期望数据。
观察数据是指我们实际获得的数据，期望数据是指两个分类变量独立时的理论分布情况。
为了进行独立性检验，我们通常会将观察数据整理成列联表形式，并计算期望频数，以便进行后续分析。
6. 自由度和显著性水平在独立性检验中，自由度是一个重要的概念。
自由度取决于列联表的行数和列数。
自由度的选择会影响卡方统计量的分布。
显著性水平是我们设定的接受或拒绝原假设的临界点。
通常情况下，我们使用0.05的显著性水平作为判断标准。
7. 应用案例独立性检验广泛应用于各个领域，如医学、社会科学、市场调研等。
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独立性检验基础训练题 姓名： 分数：1．独立性检验中的统计假设就是假设两个事件A 、B （ ）A 互斥B 不互斥C 相互独立D 不独立2．在三维柱形图中，主对角线上两个柱形高度的乘积与副对角线上的两个柱形的高度的乘积相差越大两个变量有关系的可能性就 ( )A. 越大B. 越小C.无法判断D. 以上都不对3．2010年3月26日，韩国军舰“天安”号发生不明原因爆炸事故离奇沉没，5月20日韩国军民联合调查团公布的调查结果说天安舰是遭受朝鲜小型潜水艇发射的鱼雷攻击而沉没的。
对此，许多网民表达了自己的意见，有的网友进行了调查，在参加调查的4258名男性公民中有2360名认为是朝鲜所为，3890名女性公民中有2386人认为朝鲜是遭陷害，在运用这些数据说明天安舰事件中朝鲜是否冤枉时用什么方法最有说服力？（ ） A 平均数 B 回归分析 C 独立性检验 D 方差 4．利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X和Y 有关系”的可信度。
如果k>5.024,那么就有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为A.25％B.75％C.2.5％D.97.5％5．假设有两个分类变量X 和Y ，它们的值域分别为},{21x x 和},{21y y ，其２×２列联表为：A ．5=a ，4=b ，3=c ，2=dB ．5=a ，3=b ，4=c ，2=dC ．2=a ，3=b ，4=c ，5=dD ．2=a ，3=b ，5=c ，4=d 6．考察玉米种子经过药物处理跟生病之间的关系得到如下表数据：A. 玉米种子经过药物处理跟是否生病有关;B. 玉米种子经过药物处理跟是否生病无关;C. 玉米种子是否经过药物处理决定是否生病;D.以上都是错误的.7．对长期吃含三聚氰胺的婴幼儿奶粉与患肾结石这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（）A. 若2K的值大于6.635,我们有99%的把握认为长期吃含三聚氰胺的三鹿婴幼儿奶粉与患肾结石有关系，那么在100个长期吃含三聚氰胺的三鹿奶粉的婴幼儿中必有99人患有肾结石病;B.从独立性检验可知有99%的把握认为吃含三聚氰胺的三鹿婴幼儿奶粉与患肾结石有关系时，我们说某一个婴幼儿吃含三聚氰胺的三鹿婴幼儿奶粉，那么他有99%的可能患肾结石病;C.若从统计量中求出有95% 的把握认为吃含三聚氰胺的三鹿婴幼儿奶粉与患肾结石有关系，是指有5% 的可能性使得推判出现错误;D.以上三种说法都不正确。
8 1 000人，调查结果如下表所示：根据上述数据，试问色盲与性别关系是（）A. 相互独立B.不相互独立C. 有99.9％的把握认为色盲与性别无关D. 只有0.1％的把握认为色盲与性别有关9根据表格提供的数据，估计“成绩与班级有关系”犯错误的概率约是（）A.0.4B. 0.5C. 0.75D.0.8510．高中学生中流行这样一句话“文科就怕数学不好，理科就怕英语不好”。
下表是一次针对高二文科学生的调查所得的数据，得出的结论是（）A.有99%的把握说文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关。
B. 有97.5%的把握说文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关。
C. 有95%的把握说文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关。
D. 有90%的把握说文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关。
11．下列变量中不是分类变量的是( )A．近视B．成绩C．性别D．饮酒12．下面是一个2×2列联表：则表中a、b处的值分别为( )A．94、96 B．52、50C．52、60 D．54、5213．下列说法正确的个数是( )①对事件A与B的检验无关时，即两个事件互不影响②事件A与B关系越密切，则K2就越大③K2的大小是判定事件A与B是否相关的唯一根据④若判定两个事件A与B有关，则A发生B一定发生A．1 B．2C．3 D．414根据以上数据，可得出( )A．种子是否经过处理跟是否生病有关B．种子是否经过处理跟是否生病无关C．种子是否经过处理决定是否生病D．以上都是错误的15．下列说法中错误的是( )A．有时可以把分类变量的不同取值用数字表示，但这时的数字除了分类以外没有其他含义B．在统计学中，独立性检验就是检验两个分类变量是否有关系的一种方法C．在进行独立性检验时，可以先利用三维柱形图和二维条形图粗略地判断两个分类变量是否有关系D．通过三维柱形图和二维条形可以精确的给出所得结论的可靠程度16．下列关于随机变量K2的说法正确的是( )A．K2在任何相互独立问题中都可以用来检验有关还是无关B．K2的值越大，说明“两个变量有关系”成立的可能性越大C．当K2的值很小时可以推定两个分类变量不相关D．K2的观测值k的计算公式为17．在等高条形图中，下列哪两个比值相差越大，要推断的论述成立的可能性就越大( )A.aa＋b与dc＋dB.ca＋b与ac＋dC.aa＋b与cc＋dD.aa＋b与cb＋c18(2011·中山四校联考、湖南六校联考)甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：A．甲B．乙C．丙D．丁19．(2011·西安模拟)在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是( )①若K2的观测值满足K2≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病；③从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误A．①B．①③C．③D．②20某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得≈3.918，经查对临界值表知P(≥3.841) ≈0.05．则下列结论中，正确结论的序号是A有95 %的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”B若某人未使用该血清，那么他在一年中有的可能性得感冒C这种血清预防感冒的有效率为95 %D这种血清预防感冒的有效率为5%独立性检验基础训练题姓名：分数：1．若由一个2×2列联表中的数据计算得有95%的把握认为两个变量有关系．那么K2的取值范围为________．K≈,并且已知2．通过计算高中生的性别与喜欢唱歌列联表中的数据,得到2 4.98 2P K≥≈那么可以得到的结论是( 3.841)0.05,3．下面是一个2×2列联表则表中a、b处的值分别为，则K=5.研究人员选取170名高二学生的样本，对他们进行一种心理测验．发现有60名女生对该心理测验中的最后一个题目的反应是：作肯定的22名，否定的38名；男生110名在相同的项目上作肯定的有22名，否定的有88名．你有的把握认为性别与态度之间存在某种关系.6．当χ2>2.706时，就有________的把握认为“x与y有关系”．7．在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶，则χ2≈__________.(结果保留3位小数)8．分类变量X和Y．(填序号)①ad－bc越小，说明X与Y的关系越弱；②ad－bc越大，说明X与Y的关系越强；③(ad－bc)2越大，说明X与Y的关系越强；④(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y的关系越强．9．通过随机询问110由χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )算得，χ2＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.附表：参照附表，得到的正确结论是________．①在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”； ②在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”； ③有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”； ④有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”．10．为了研究男子的年龄与吸烟的关系，抽查了100个男子，按年龄超过和不超过40岁，则有________的把握确定吸烟量与年龄有关．11设H 0：从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能性为________． 12．为了考察高中生学习语文与数学之间的关系，在某中学学生中随机地抽取了610名学生得到如下列表：成绩之间有关系．13．若由一个2×2列联表中的数据计算得K 2＝4.013，则两个变量有关系的概率为________． 14．随机变量χ2的值越大，说明两个分类变量间有关系的可能________．15．某高校《统计》课程的教师随机调查了选该课程的学生的一些情况，具体数据如下：χ2≈4.844，因为χ2>3.841，所以可判定选修统计专业与性别有关．那么这种判断出错的可能性为________． 16．若两个分类变量X 和Y 的列联表为：则X 与Y 17．χ2＝n (n 11n 22－n 12n 21)2n 1＋n 2＋n ＋1＋n ＋2，用它的大小可以决定是否拒绝原来的统计假设H 0，如果x 2值较大，就拒绝H 0，即拒绝________．18．为了调查患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查了339名50岁以下的人，调查结果如下表：19．下列说法正确的有________．①对事件A 与B 的检验无关时，即事件A 与B 互不影响． ②事件A 与B 关系越密切，则χ2就越大．③χ2的大小是判定事件A 与B 是否相关的唯一根据． ④若判断事件A 与B 有关，则A 发生，B 一定发生．20设H 0：服用此药的效果与患者的性别无关，则χ2的值约为________，从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能性为________．独立性检验基础训练题姓名：分数：1、某单位餐厅的固定餐椅经常有损坏，于是该单位领导决定在餐厅墙壁上张贴文明标语，2、打鼾不仅影响别人休息，而且还可能与患某种疾病有关，在某一次调查中，其中每一晚都打鼾的254人中，患心脏病的有30人，未患心脏病的有224人；在不打鼾的1379人中，患心脏病的有24人，未患心脏病的有1355人，利用图形判断打鼾与患心脏病有关吗？3、某县对在职的71名高中数学教师就支持新的数学教材还是支持旧的数学教材做了调查，根据此资料，你是否认为教龄的长短与支持新的数学教材有关？4、在一次恶劣气候的飞机航程中，调查了男女乘客在飞机上晕机的情况:男乘客晕机的有24人，不晕机的有31人；女乘客晕机的有8人，不晕机的有26人。