三角形证明(辅助线归类讲解)
八年级数学三角形辅助线大全(精简、全面)
三角形作辅助性方法大全1.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题.例：已知D 为△ABC 内任一点，求证：∠BDC ＞∠BAC证法（一）：延长BD 交AC 于E ，∵∠BDC 是△EDC 的外角，∴∠BDC ＞∠DEC同理：∠DEC ＞∠BAC ∴∠BDC ＞∠BAC 证法（二）：连结AD ，并延长交BC 于F ∵∠BDF 是△ABD 的外角， ∴∠BDF ＞∠BAD 同理∠CDF ＞∠CAD∴∠BDF ＋∠CDF ＞∠BAD ＋∠CAD 即：∠BDC ＞∠BAC2.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE ＋CF ＞EF证明：在DA 上截取DN = DB ，连结NE 、NF ，则DN= DC 在△BDE 和△NDE 中，DN = DB ∠1 = ∠2ED = ED ∴△BDE ≌△NDE∴BE = NE同理可证：CF = NF在△EFN 中，EN ＋FN ＞EF ∴BE ＋CF ＞EF3. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线，且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE ＋CF ＞EF证明：延长ED 到M ，使DM = DE ，连结CM 、FM△BDE 和△CDM 中， BD = CD ∠1 = ∠5 ED = MD∴△BDE ≌△CDM ∴CM = BE又∵∠1 = ∠2，∠3 = ∠4∠1＋∠2＋∠3 ＋ ∠4 = 180oFABC DE D C B A4321NF E DC B A∴∠3 ＋∠2 = 90o 即∠EDF = 90o∴∠FDM = ∠EDF = 90o△EDF 和△MDF 中 ED = MD ∠FDM = ∠EDFDF = DF ∴△EDF ≌△MDF ∴EF = MF∵在△CMF 中，CF ＋CM ＞MF BE ＋CF ＞EF（此题也可加倍FD ，证法同上）4. 在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD证明：延长AD 至E ，使DE = AD ，连结BE∵AD 为△ABC 的中线 ∴BD = CD 在△ACD 和△EBD 中BD = CD ∠1 = ∠2AD = ED∴△ACD ≌△EBD∵△ABE 中有AB ＋BE ＞AE ∴AB ＋AC ＞2AD5.截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等. 这两种方法统称截长补短法.当已知或求证中涉及到线段a 、b 、c 、d 有下列情况之一时用此种方法： ①a ＞b ②a ±b = c ③a ±b = c ±d例：已知，如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1 = ∠2，P 为AD 上任一点，求证：AB －AC ＞PB －PC证明：⑴截长法：在AB 上截取AN = AC ，连结PN在△APN 和△APC 中， AN = AC∠1 = ∠2AP = AP ∴△APN ≌△APC ∴PC = PN ∵△BPN 中有PB －PC ＜BNMA BC D E F12345 12E DC B AP 12N DCB A∴PB －PC ＜AB －AC⑵补短法：延长AC 至M ，使AM = AB ，连结PM 在△ABP 和△AMP 中 AB = AM ∠1 = ∠2 AP = AP∴△ABP ≌△AMP ∴PB = PM 又∵在△PCM 中有CM ＞PM －PC ∴AB －AC ＞PB －PC练习：1.已知，在△ABC 中，∠B = 60o ,AD 、CE 是△ABC 的角平分线,并且它们交于点O求证：AC = AE ＋CD2.已知，如图，AB ∥CD ∠1 = ∠2 ,∠3 = ∠4. 求证：BC = AB ＋CD6.证明两条线段相等的步骤：①观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。
初中几何辅助线大全(最全版)
三角形中作辅助线的常用方法举例一、延长已知边构造三角形：分析：欲证 AD ＝BC ，先证分别含有AD ，BC 的三角形全等，有几种方案：△ADC 与△BCD ，△AOD 与△BOC ，△ABD 与△BAC ，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。
证明：分别延长DA ，CB ，它们的延长交于E 点， ∵AD ⊥AC BC ⊥BD （已知） ∴∠CAE ＝∠DBE ＝90° （垂直的定义） 在△DBE 与△CAE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠)()()(已知已证公共角AC BD CAE DBE E E∴△DBE ≌△CAE （AAS ）∴ED ＝EC EB ＝EA （全等三角形对应边相等） ∴ED －EA ＝EC －EB 即：AD ＝BC 。
（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。
）二 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。
三、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。
分析：要证BD ＝2CE ，想到要构造线段2CE ，同时CE 与∠ABC 的平分线垂直，想到要将其延长。
证明：分别延长BA ，CE 交于点F 。
∵BE ⊥CF （已知）∴∠BEF ＝∠BEC ＝90° （垂直的定义）在△BEF 与△BEC 中，19-图DCBAEF 12ABCDE17-图O∵ ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠)()()(21已证公共边已知BEC BEF BE BE ∴△BEF ≌△BEC （ASA ）∴CE=FE=21CF （全等三角形对应边相等） ∵∠BAC=90° BE ⊥CF （已知）∴∠BAC ＝∠CAF ＝90° ∠1＋∠BDA ＝90°∠1＋∠BFC ＝90° ∴∠BDA ＝∠BFC在△ABD 与△ACF 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠∠=∠)()()(已知＝已证已证AC AB BFC BDA CAF BAC∴△ABD ≌△ACF （AAS ）∴BD ＝CF （全等三角形对应边相等） ∴BD ＝2CE四、取线段中点构造全等三有形。
全等三角形六种辅助线方法及例题
全等三角形六种辅助线方法及例题全等三角形是初中数学中一个非常重要的概念，掌握全等三角形的判定方法和辅助线方法对于解题至关重要。
本文将介绍全等三角形的六种辅助线方法，并结合例题进行详细讲解。
一、辅助线法1.等角分线法：将三角形内角的平分线相互交点构成的点与三角形的另外一个顶点相连，得到一条辅助线。
这条辅助线将三角形分成两个等角的小三角形，从而得到相似或全等三角形。
2.中线法：将三角形任意两边的中点相连，得到三角形的中线。
相等的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。
3.高线法：将三角形内任意一条边的垂线向另外两边引出，得到三角形的高线。
相等的高线将三角形分成两个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。
4.角平分线法：将三角形内角的平分线相互交点构成的点相连，得到三角形的角平分线。
相等的角平分线将三角形分成两个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。
5.角平分线中垂线法：将三角形内角的平分线的中垂线相互交点构成的点相连，得到三角形的角平分线中垂线。
相等的角平分线中垂线将三角形分成两个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。
6.外心连线法：将三角形外接圆心与三角形三个顶点分别相连，得到三条辅助线。
这三条辅助线相等，将三角形分成三个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。
二、例题解析1.已知△ABC，点D,E分别为BC,AB边上的中点，连接AD，BE相交于点F，求证：△DEF≌△ABC。
解析：由题意可知，△ABC是由两个等腰三角形组成的，因此可使用中线法证明两个三角形的全等。
由于D，E分别是BC,AB边上的中点，因此DE是AC中线，即DE=1/2AC；同理，AE是BC中线，AF=1/2BC。
因此，△ADB和△AEC是等腰三角形，且AD=EC，AB=AB，∠BAC=∠BAC，因此△ADB≌△AEC。
又因为DE是AC中线，BF是AE中线，因此DE=1/2AC，BF=1/2AE。
三角形全等证明常见做辅助线方法
三角形全等证明常见做辅助线方法一、遇到三角形中线时常见的辅助线若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形。
（倍长中线法或“旋转”全等）1、如图，AD 为 △ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD 。
（三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半）2、已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 。
3、如图，已知：AD 是△ABC 的中线，且CD=AB ，AE 是△ABD 的中线，求证：AC=2AE.C二、遇到角平分线时常见的辅助线1.角平分线上点向角两边作垂线构造全等 过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到角两边距离相等的性质来证明问题。
（作垂线）2.截取构造全等（截长法、补短法）如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
ADBC图1-1B3.延长垂线段（延长法）遇到垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形。
4.作平行线①、以角平分线上一点作角的另一边的平行线，构造等腰三角形，图4-1。
②、通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形，图4-2。
图4-2图4-1ABCBIG4、已知：如图2-6,在正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为BC上的点，∠FAE=∠DAE 。
求证：AF=AD+CF 。
5、已知CE 、AD 是△ABC 的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+CD6、已知：如图在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 是∠ABC 的平分线，求证：BC=AB+AD三、截长补短法（适合于证明线段的和、差、倍、分等类题目）截长法：在长线段上截取与两条线段中的一条相等的一段，证明剩余的线段与另一段相 等（截取----全等----等量代换）图2-6ECDABCD AEBDC补短法：延长其中一短线段使之与长线段相等，再证明延长段与另一短线段相等（延长----全等----等量代换）①、对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法将其放在一个三角形中证明。
初中数学：19种有关三角形的辅助线方法归纳，结合例题实战演练
初中数学：19种有关三角形的辅助线方法归纳，结合例题实战演练初中数学：有关三角形的辅助线方法归纳，共是19种类型，结合例题实战演练，适合想要提升自己解题能力的同学。
辅助线的使用对大部分初中同学来说是难以逾越的一条鸿沟，难度大，无从下手已经成为常态，今天唐老师带大家一起搞定三角形有关的辅助线使用方法。
第一类型：在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可以连接两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证明。
第二类型：在利用三角形的外角大于任何不相邻的内角证明角的不等关系时，如果证不出来，就连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处于内角的位置上，再利用外角定理证明。
第三类型：有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形。
第四种类型：有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形。
第五类型：在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形。
第六种类型：截长补短作辅助线的方法。
其实这个很好理解的，截长表示在较长的线段上截取与较短线段相等长度的线段，反之补短则是通过延长较短线段与已知较长线段相等的方法。
总之截长补短的方法的使用还是要看具体的情况而定，唐老师在这只是给大家提出解决问题的具体方法，大家可以顺着这个思路看看下面的例题，然后找相同类型的题进行练习。
只有熟练运用这个方法，才能在考试的做题中自由发挥。
反之，没有深刻的理解和熟练的运用，遇到题目时，总感觉自己很乏力，没有做题的思路，甚至都找不到突破口。
对于大部分的同学来说，解难题已经很困难了，要是遇到需要做辅助线才能完成的题目，那将更是雪上加霜了。
第七类型：条件不足时，延长已知边构造三角形。
第八类型：连接四边形的对角线，把四边形问题转化为三角形问题来解决。
解题的方法并不是唯一的，但适时地打开思维，找到解题的突破口那将是变化多端。
第九类型：有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。
(完整版)相似三角形中几种常见的辅助线作法(有辅助线)
相似三角形中几种常见的辅助线作法在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。
主要的辅助线有以下几种：一、添加平行线构造“A ”“X ”型例1：如图，D 是△ABC 的BC 边上的点，BD ：DC=2：1，E 是AD 的中点，求：BE ：EF 的值.解法一：过点D 作CA 的平行线交BF 于点P ，则∴PE=EF BP=2PF=4EF 所以BE=5EF ∴BE ：EF=5：1.解法二：过点D 作BF 的平行线交AC 于点Q ，∴BE ：EF=5：1.解法三：过点E 作BC 的平行线交AC 于点S ，解法四：过点E 作AC 的平行线交BC 于点T ，∵BD=2DC ∴ ∴BE ：EF=5：1.变式：如图，D 是△ABC 的BC 边上的点，BD ：DC=2：1，E 是AD 的中点,连结BE 并延长交AC 于F,求AF ：CF 的值.解法一：过点D 作CA 的平行线交BF 于点P ， 解法二：过点D 作BF 的平行线交AC 于点Q ， 解法三：过点E 作BC 的平行线交AC 于点S ， 解法四：过点E 作AC 的平行线交BC 于点T ，，1==AE DE FEPE ,2==DC BD PF BP ，则2==EA DA EF DQ ,3==DCBC DQBF ，EF EF EF EF DQ EF BF BE 563=-=-=-=，则DC CT DT 21==；TC BT EF BE =，DC BT 25=例2：如图，在△ABC 的AB 边和AC 边上各取一点D 和E ，且使AD ＝AE ，DE 延长线与BC 延长线相交于F ，求证：（证明：过点C 作CG//FD 交AB 于G ）例3：如图，△ABC 中，AB<AC ，在AB 、AC 上分别截取BD=CE ，DE ，BC 的延长线相交于点F ，证明：AB ·DF=AC ·EF.分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。
三角形全等证明常用辅助线作法(倍长中线、截长补短)
倍长中线专题初中阶段三角形有三条重要的、也是最基本的线段：三角形的高线、中线、角平分线。
三种线段各有其重要信息反馈，就中线而言，它具有的功能：①必有相等的线段②必有相等的面积③必有倍长中线构成全等。
本专题只讨论倍长中线的问题。
【基本原理】：如图所示，AD是△ABC的中线，延长AD至E点，使DE＝AD，得到△ADC≌△EDB。
口诀：图形有中线，倍长延中线，连接另一端，全等尽呈现。
【模型实例】：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边的中线，E 是AD 上一点，连接BE 并延长交AC 于F 点，AF=EF ，求证：AC=BE证明： 如图所示。
延长AD 至G 点，使DG=AD ，连接BG 。
在△ADC 与△GDB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CD BD GDB ADC GD AD∴△ADC ≌△GDB∴BG =AC ，∠1=∠G又因为AF=EF∴∠1=∠2=∠3∴∠3=∠G∴BG=BE （等角对等边）∴AC=BE②证全等①作倍长中线 ③列出需要用的结果④转化替代 ⑤得出结果【练习1】：如图，在在△ABC中，D为BC的中点，求证：AD+>AB2AC【练习2】：如图，在△ABC中，D为B C的中点,且AD是角平分线。
求证：AB=AC【练习3】：AD是△ABC的中线，分别以AB边、AC边为直角边向外作等腰直角三角形，求证：EF=2AD【练习4】：在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于F点。
试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论。
截长补短专题要证明两条线段之和等于第三条线段，可以采用“截长补短”法。
①截长法：把较长的线段截取一段等于两较短线中的一条；②补短法：把两条较短的线段补成一条，再证与长线段相等。
【模型实例】：如图，△ABC中，∠1=∠2，∠B=2∠C。
求证：AC=AB+BD 方法一：截长(利用角平分线构建全等三角形)分析：如图，在AC上截AE=AB，连接DE。
三角形常用辅助线
三角形常用辅助线在学习三角形的过程中，辅助线的运用是一个非常重要的解题技巧。
它能够帮助我们将复杂的三角形问题转化为更简单、更易于解决的形式。
接下来，让我们一起深入探讨三角形中常用的辅助线。
一、中线倍长法中线倍长法是解决三角形中线相关问题的常用方法。
如果一个三角形中有中线，我们可以将中线延长一倍，构造出全等三角形。
例如，在三角形 ABC 中，AD 是 BC 边上的中线。
我们延长 AD 至E，使 DE ＝ AD，然后连接 BE。
这样就可以得到三角形 ADC 和三角形EDB 全等。
通过这种方法，我们可以将与中线相关的条件进行转化，从而解决问题。
二、截长补短法当遇到线段之间的和差关系时，截长补短法就派上用场了。
截长法是在较长的线段上截取一段等于较短的线段，然后证明剩余部分与另一条线段相等。
补短法是将较短的线段延长，使其与较长的线段相等，然后证明延长后的线段与另一条线段相等。
比如，在三角形 ABC 中，AB ＞ AC，∠1 ＝∠2。
要证明 BD ＝DC，我们可以采用截长补短法。
如果用截长法，可以在 AB 上截取 AE ＝ AC，连接 DE，证明三角形 AED 和三角形 ACD 全等，从而得出 DE ＝ DC，再证明 BD ＝ DE即可。
如果用补短法，可以延长 AC 至 F，使 AF ＝ AB，连接 DF，证明三角形 ABD 和三角形 AFD 全等，得出 BD ＝ DF，再证明 DF ＝ DC即可。
三、作平行线法作平行线可以利用平行线的性质来解决问题。
比如，在三角形 ABC 中，D 是 AB 上一点，要证明∠ACD ＝∠A＋∠B。
我们可以过点C 作CE∥AB，根据两直线平行，内错角相等，同位角相等的性质，得到∠ACE ＝∠A，∠ECD ＝∠B，从而证明∠ACD ＝∠A ＋∠B。
四、作垂线法作垂线常用于构造直角三角形，利用勾股定理或三角函数来解决问题。
例如，在三角形 ABC 中，要证明某两条边的关系，可以过某一顶点作垂线，然后利用直角三角形的相关知识进行求解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角形问题中常见的辅助线的作法
总体思想：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二
个角之间的相等
1. 等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的
性质解题
2•倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形
3. 有角平分线：角分线上找一点垂角两边；角分线上找一点平行角一边
4. 垂直平分线联结线段两端
5. 用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，
6. 图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形
7. 角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边
上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形
一、倍长中线（线段）造全等
例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ ABC中，AB=5 AC=3则中线AD的取值范围是_____________
例2、如图，△ ABC中，E、F分别在AB AC上, DEL DF, D是中点，试比较BE+CF与EF的
大小.
例 3、女口图，△ ABC 中，BD=DC=AC E 是 DC 的中点，求证：AD 平分/
BAE.
、截长补短
1 如图， 心ABC 中，AB=2AC AD 平分 N BAC ，且 AD=BD 求证：CDL AC
3、如图，在四边形 ABCD 中, BC> BA,AD= CD BD 平分乙ABC ,
求证： 乙A =180°
2、如图, AD// BC, EA,EB 分别平分/ DAB,/ CBA CD 过点 E ,
C
C
4、如图在△ ABC 中，AB> AC, / 1 = Z 2, P 为 AD 上任意一点，求证；AB-AC > PB-PC
如亂在闷边形川MD 中，购"血，点EM 匕一个动点•若AH =BC, fl £ DEC =60倉判断40卜恥！；j BC 的关系井证期祢的结论•
解:
三、借助角平分线造全等
1、如图，已知在△ ABC 中，/ B=60° OE=OD
2、如图，△ ABC 中，AD 平分/ BAC DGL BC 且平分 BC, DEI AB 于 E , DF 丄 AC 于 F. (1)说明BE=CF 的理由；(2)如果AB=a , AC=b ，求AE 、BE 的长.
应用: ,△ ABC 的角平分线AD,CE 相交于点
C F
D
【下载本文档，可以自由复制内容或自由编辑修改内容，更多精彩文章，期待你的好评和关注，我将一如既往为您服务】。