高等数学：第五章 第5节广义积分
《广义积分的性质》课件
应用：区间可加性在解决实际问题中具有广泛的 应用，例如在计算定积分、广义积分等问题时， 都可以利用区间可加性进行简化计算。
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性质：区间可加性是广义积分的一个重要性质，它 使得我们可以将复杂的积分问题分解为简单的积分 问题，从而简化计算。
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注意事项：在使用区间可加性时，需要注意函数的 连续性和可积性，以确保计算结果的正确性。
• 幂级数法：一种求解积分的方法，通过将积分转化为幂级数形式求解 • 典型例题：求解∫(x^2+1)^(-1/2)dx • 解题步骤： a. 将积分转化为幂级数形式：(x^2+1)^(-1/2)=∑(n=0,∞)(-1)^n(2n+1)x^2n b. 求解幂级数：
∑(n=0,∞)(-1)^n(2n+1)x^2n=x^2-3x^4+5x^6-7x^8+... c. 积分结果：∫(x^2+1)^(-1/2)dx=x^3-3x^5+5x^77x^9+... • a. 将积分转化为幂级数形式：(x^2+1)^(-1/2)=∑(n=0,∞)(-1)^n(2n+1)x^2n • b. 求解幂级数：∑(n=0,∞)(-1)^n(2n+1)x^2n=x^2-3x^4+5x^6-7x^8+... • c. 积分结果：∫(x^2+1)^(-1/2)dx=x^3-3x^5+5x^7-7x^9+... • 结论：幂级数法是一种有效的求解积分的方法，适用于求解某些特定类型的积分问题。
下节课预告
下节课我们将继续学习广义积分 的性质
学习目标：掌握广义积分的基本 概念和计算方法
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广义积分
其中 c ∈ (a, b ).
例7 计算广义积分 解 ∵ lim
∫
a
0
dx a2 − x2
(a > 0).
收敛
x →a − 0
1 = +∞ , 2 2 a −x
. ∴ x = a 为被积函数的无穷间断点 瑕点） （
∫0
a
a −ε dx = lim ∫0 2 2 ε → +0 a −x
a −ε
dx 2 2 a −x
ε →0
b
b
a+ε
f ( x)dx = F( x) a
b
= lim F( x) a+ε = limε F(b) − F(a + ε )]b b−[ b ε →0+ ε →0+ lim ) ∫= f ((x)dx (= ε+ 0+)∫a f ( x)dx = F( x) a a F b − F a →0
+∞
其中a 其中 是任意实数 . 若设F ( x )是f ( x )的任一原函数
以后为了方便, 以后为了方便,把 lim F ( x ) a 直接记为 F ( x ) a .
+∞
例1 求 ∫ e−3xdx.
0
+∞
收敛
解
∫
+∞
0
e
−3 x
1 +∞ −3x dx = − ∫ e d(−3x) 3 0
1 −3x =− e 3 0
1 = [ lim ln(1 + x 2 ) − ln 1] 2 x → +∞
= +∞
xdx 思考： 发散？ 发散. 思考： ∫−∞ 1+ x2收敛or发散？ 发散
人大微积分课件5-5广义积分
2021/4/21
22
a
0
1 xp
dx
当
0
p 1 时收敛，当p 1时发散；
再考察a
1 xp
dx
p
0
的敛散性.
当 p 1 时，a 0
a
1dx x
lim
t
ln
t
ln
a
,
当 p 1 时，a 0
1 dx 1 lim t1p a1p
a xp
1 p t
2021/4/21
23
a1 p , p 1 p 1
2.说明
（1）设 Fx f x ，则
a
f xdx
lim Ft Fa F Fa； t
b
f xdx
Fb lim Ft Fb F ； t
2021/4/21
5
f
xdx
lim
t
F
t
lim
t
F
t
F F .
（2）当
f x为奇函数时,
f
x
dx
不能按积
分区间关于原点对称的定积分处理为零。因为
tc a
tc t
2021/4/21
15
这至散时少. 称有广一义个积不分存在ab ，f 则x称dx广收义敛积，分若上ab f述 x两d极x发限
2.说明
（1）在定义2中f x在点a,b,c 的邻域内都无 界，这些点均为f x的无界间断点，也称为f x
的瑕点，故无界函数的广义积分也称为瑕积分.
（2）设 Fx f x ，则
解
sin
xdx
0 sin
xdx
0
sin
xdx
cos
广义积分的计算方法
广义积分的计算方法广义积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在某一区间上的积分进行推广，可以用来求解曲线下面的面积、求解物体的质量、求解电荷的总量等问题。
在实际问题中，广义积分的计算方法非常重要，下面我们将介绍一些常见的广义积分的计算方法。
首先，我们来看一下对于无界函数的广义积分。
对于函数f(x)在区间[a, +∞)上的广义积分，可以通过极限的方法来进行计算。
具体来说，如果极限lim┬(t→+∞)∫(a)^t f(x)dx存在且有限，则称广义积分∫(a)^+∞ f(x)dx收敛，记为∫(a)^+∞f(x)dx=lim┬(t→+∞)∫(a)^t f(x)dx。
否则，称广义积分∫(a)^+∞ f(x)dx发散。
在计算无界函数的广义积分时，我们需要先对函数进行适当的变形，使得积分变为有限的形式，然后再进行极限的计算。
其次，对于在有限区间上发散的函数，我们可以通过分段积分的方法来进行计算。
具体来说，如果函数f(x)在区间[a, b]上有一个或多个无界点，那么我们可以将积分区间分成若干个有界区间，然后分别计算每个有界区间上的广义积分，最后将这些广义积分的极限相加得到原广义积分的值。
另外，对于奇异点的处理也是广义积分计算中需要注意的问题。
在计算广义积分时，如果积分区间上存在奇异点，我们需要先对奇异点进行适当的处理，例如使用柯西主值等方法，然后再进行积分的计算。
最后，需要注意的是，在计算广义积分时，我们还需要考虑函数的性质、积分区间的选择等因素。
有时候，我们需要对函数进行分解、变形，以便于进行积分的计算。
同时，选择合适的积分区间也是非常重要的，可以通过变量替换、对称性等方法来简化积分的计算。
总之，广义积分的计算方法涉及到许多微积分的知识和技巧，需要我们对函数的性质有深入的理解，熟练掌握各种积分计算方法。
通过不断的练习和实践，我们可以更加熟练地运用广义积分的计算方法，解决实际问题，提高数学建模和问题求解的能力。
高考数学必绝活高等数学广义积分计算方法
高考数学必绝活高等数学广义积分计算方法高考数学必绝活：高等数学广义积分计算方法在高考数学中，广义积分的计算虽然不是常见的考点，但一旦出现，往往能拉开考生之间的差距。
掌握广义积分的计算方法，不仅能在高考中多一份胜算，也为后续的高等数学学习打下坚实的基础。
接下来，让我们一起深入探讨高等数学广义积分的计算方法。
一、广义积分的概念广义积分是定积分的扩展，当积分区间为无穷区间或者被积函数在积分区间内有无穷间断点时，就涉及到广义积分。
对于无穷区间上的广义积分，比如积分区间为 a, ＋∞），我们可以写成：∫a, ＋∞） f(x) dx ＝lim b→＋∞ ∫a, b f(x) dx同样，如果积分区间为（∞， b，则广义积分为：∫（∞， b f(x) dx ＝lim a→∞ ∫a, b f(x) dx而对于被积函数在积分区间内有无穷间断点的广义积分，以区间 a,b 上，x ＝c 为无穷间断点为例，广义积分为：∫a, b f(x) dx ＝∫a, c) f(x) dx ＋∫（c, b f(x) dx其中，∫a, c) f(x) dx ＝lim ε→0+ ∫a, c ε f(x) d x ，∫（c, b f(x) dx ＝ lim ε→0+ ∫c ＋ε, b f(x) dx二、常见的广义积分类型及计算方法1、无穷区间上的广义积分（1）形如∫a, ＋∞） x^n dx （n ≠ －1）对于这种类型的广义积分，我们可以使用幂函数的积分公式：∫ x^n dx ＝（1/（n ＋ 1)） x^（n ＋ 1) ＋ C则∫a, ＋∞） x^n dx ＝lim b→＋∞ （1/（n ＋ 1)） b^（n ＋ 1) （1/（n ＋ 1)） a^（n ＋ 1)当 n ＞－1 时，该广义积分收敛；当n ≤ －1 时，广义积分发散。
（2）形如∫a, ＋∞） e^（px) dx （p ＞ 0）先对被积函数进行积分：∫ e^（px) dx ＝（－1/p) e^（px) ＋ C则∫a, ＋∞） e^（px) dx ＝lim b→＋∞ （－1/p) e^（pb) （－1/p) e^（pa)因为当b → ＋∞ 时，e^（pb) → 0 ，所以该广义积分收敛，其值为（1/p) e^（pa) 。
第五节 广义积分
1 1
例2. 计算广义积分
2
x2 sin x dx.
解:
2
1 x2
sin 1 dx x
2
sin
1 x
d
1 x
lim b
b1
sin
2
x
d
1 x
lim
b
cos
1 b x 2
lim
b
t
f (x) d x
t
t a
例1. 计算广义积分
解:
dx 1 x2
0
dx 1 x2
0
dx 1 x2
lim a
01 a 1 x2
dx lim b
b1 0 1 x2 dx
y
y
1 1 x2
lim a
基本问题： （1）将定积分的概念推广至积分区间 为无限区间； （2）考虑被积函数在积分区间上无界的情形。
一、无穷限的广义积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积 可记作
A
dx 1 x2
其含义可理解为
A
lim
b
b 1
dx x2
lim b
lim
0
arcsin
x a
a
0
lim
0
arcsin
a
a
0
2
.
原式
arcsin x a
§5.5 广义积分
dx
的敛散性. 的敛散性 且
1 ≤ 解：因为 (x ≥1), 2 2 x 1+ x x
sin x
所以
∫
+∞
1
1 dx 收敛， 收敛， 2 x
∫
+∞
sin x x 1+ x2
1
收敛， dx 收敛，即
∫
+∞
sin x
2
1
x 1+ x
dx 绝对收敛 绝对收敛.
14
5.5.2 无界函数的广义积分 瑕积分
a → −∞ a
∫
b
f ( x )dx
上有定义， 上有定义，
+∞
f (x ) 在无穷区间 ( −∞,+∞ )
+∞ −∞
∫
f ( x )dx = ∫
c
−∞
f ( x)dx + ∫
c
f ( x)dx
为常数(通常取 其中 c ∈ ( −∞,+∞) 为常数 通常取c = 0). 左端的广义积分收敛 左端的广义积分收敛 左端的广义积分发散 左端的广义积分发散 右端两个广义积分都收敛 右端两个广义积分都收敛 右端两个广义积分至少有一个发散 右端两个广义积分至少有一个发散
连习. 连习 计算 2 解
∫
+∞
dx x x −1
∫2
+∞
x −1 =t +∞ +∞ dx 2tdt = 2 arctan t 1 = π = ∫1 2 x x −1 (t 2 + 1) ⋅ t
2. 无穷限积分的性质 1)若 若 2)若 若
∫
+∞
a
f ( x ) dx 收敛，则 收敛，
第五节 广义积分
∫
+∞
1
1 dx ( p > 0 ) 的收敛性. 的收敛性. p x
解 当 p = 1 时,
当 p ≠ 1时 ,
∫
+∞
1
1 +∞ dx = ln x 1 = +∞ ， 积分发散； 积分发散； x
∫
+∞
1
1 x dx = p x 1− p 1
+∞ 1− p
+ ∞ , p < 1 = 1 p −1, p > 1
f ( x ) dx ( k ≠ 0) 具有 相同的
+∞ a
敛散性； 敛散性 ；
3 设∫
f ( x ) dx 与
∫
g ( x ) dx 都收敛 ， 则
∫
+∞ a
[ f ( x ) ± g ( x )] dx 也收敛 。
16
二、瑕积分
的任一邻域内都无界, 如果函数 f ( x ) 在点 a 的任一邻域内都无界,则称点
−∞
f ( x)dx + ∫
+∞ a
f ( x)dx
注意：上式只有右边两个反常积分均收敛时才有意义。 注意：上式只有右边两个反常积分均收敛时才有意义。
4
例1
讨论下列无穷限积分的敛散性. 讨论下列无穷限积分的敛散性
(1)
∫
+∞ 0
dx 1 + x2
解 对任意 t > 0 , 有
∫
t
0
dx t 2 = arctan x 0 = arctan t , 1+ x
9
例2
∫
+∞ 0
xe d x = − ∫
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cosln
x
x
1
1
sinln
xdx
1
sin(ln x)dx
1 [cosln sin ln ] 1
2
2
1
1
sin(ln x)dx lim[
0
0
] 2
17
例6 dx
0 x(4 x)
1 dx
0 x (4 x) 1
dx x(4 x)
lim[arctan 0
x 2
]1
lim[arctan b
lim
0
b
a f (x)dx .
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
11
设函数 f ( x)在区间[a,b] 上除点外 c 连续，
lim
xc
f
(
x)
,如果两个广义积分ac
f
(
x)dx
和
b
c
f
( x)dx 都收敛，则定义
b
a
f
( x)dx
c
a
f
( x)dx
b
c
f
( x)dx
lim arctanb b
2
2
.
5
例3
计算广义积分
2
1 x2
sin
1 x
dx.
解
2
1 x2
sin
1 x
dx
2
sin
1 x
d
1 x
lim b
b
2
sin
1 x
d
1 x
lim
b
cos
1 x
b 2
blimcos
1 b
cos
2
1.
6
例4
证明广义积分 1
1 xp
a
0
a2 x2
lim 0
0
dx a2 x2
lim
0
arcsin
x a
a
0
lim
0
arcsin
a
a
0
. 2
13
例 2 证明广义积分
当q 1时发散.
1 0
1 xq
dx
当q
1
时收敛，
证 (1) q 1,
1
0
1 xq
dx
1
0
1 x
dx
ln
x
1 0
,
(2) q 1,
1
0
1 xq
dx
第五节 反常积分（广义积分）
一、无穷限的广义积分 二、无界函数的广义积分 三、Γ函数的介绍 四、小结
1
一、无穷限的广义积分
无穷限广义积分 f ( x)dx,
b
f ( x)dx,
f ( x)dx,
a
定义 1 设函数 f ( x) 在区间[a,) 上连续，如
果极限 lim b
b
a
f
(
x
)dx
存在，则称此极限为函数
dx
当
p
1
时收敛，
当 p 1时发散.
证
(1)
p
1,1
1 xp
dx
1
1 x
dx
ln
x
1
,
(2)
p
1,
1
1 xp
dx
x1 p 1 p1
,
p
1
1
,
p1 p1
因此当 p 1时广义积分收敛，其值为 1 ； p1
当 p 1时广义积分发散.
7
例 5 证明广义积分 e pxdx 当p 0 时收敛， a
0 1 ln x
0
1
lim ln(ln 2) ln(ln(1 )) 0
.
故原广义积分发散.
15
3
例4 计算广义积分
dx 2.
0 ( x 1)3
x 1瑕点
解
3 dx
0
2
( x 1)3
1
3
( )
dx
2
0 1 ( x 1)3
1 dx
1 dx
0
2
( x 1)3
lim 0
当 p 0时发散.
证
e pxdx lim
b
e
px
dx
a
b a
blim
e pa p
e pb p
e ap
p
,
,
p0 p0
即当 p 0时收敛，当p 0 时发散.
8
例6
0
x (1 x)3 dx
x 11 0 (1 x)3 dx
1
0 [(1 x)2
1 (1 x)3
]dx
[
1 x 1
f ( x) 在无穷区间[a,) 上的广义积分，记作
a
f
( x)dx.
b
a
f
( x)dx
lim
b
a
f
( x)dx
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在
时，称广义积分发散.
2
类似
b
f ( x)dx lim
b
f ( x)dx
a a
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在
时，称广义积分发散.
x 2
]1b
2
18
例7
证明
dx 0 1 x4
0
1 2(1
x)2
]0
1 2
9
二、无界函数的广义积分
定 义 2 设 函 数 f ( x) 在 区 间 (a,b] 上 连 续 ，
而 lim xa
f(ຫໍສະໝຸດ x)，如果lim
0
b a
f (x)dx 存在，
则称此极限为函数 f ( x)在区间(a,b]上的广义
积分，记作
b
a
f
(
x
)dx
.
b
b
a
f
( x)dx
0
2 3 ( x 1) 3
3 dx
1
2
( x 1)3
lim 0
3 dx
1
2
( x 1)3
3 3 2,
3 0
dx
2
( x 1)3
3(1 3 2).
16
1
例5 sin(ln x)dx 0
解
1
sin(ln x)dx
sinln x x 1
1
cos ln xdx
sin
ln
lim[e
b
x
]b0
1 lim(eb 1) b
几何意义
4
例2
计算广义积分
1
dx x
2
.
解
dx
0 dx
dx
1 x2 1 x2 0 1 x2
lim a
0
a1
1 x2
dx
lim
b
b1 0 1 x2 dx
lim arctan
a
x0a
lim arctan
b
x
b
0
lim arctana a
f
( x)dx
0
f
( x)dx
0
f
( x)dx
0
b
lim a a
f ( x)dx
lim b 0
f ( x)dx
当右端两个积分都收敛时, 称积分 f ( x)dx收敛;
否则成为发散.
说 明:
f
(
x)dx
定
义
中
用
任
意c作
中
间
限
也
可.
3
例1 exdx lim b exdx
0
b 0
x1q 1 1 q0
, 1 1 q
,
q q
1 1
因此当q 1时广义积分收敛，其值为 1 ； 1q
当q 1时广义积分发散.
14
例3
计算广义积分
2 dx . 1 x ln x
解
2 dx
1 x ln x
lim 0
2
1
dx x ln x
lim 2 d (ln x) lim ln(ln x) 2
lim
0
f (x)dx
a
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在
时，称广义积分发散.
10
类似地，设函数 f ( x)在区间[a,b)上连续，
而
lim
xb
f
(
x)
，如果极限
lim
0
b a
f (x)dx 存在，则
称此极限为函数 f ( x)在区间[a,b)上的广义积
分，
记作
b a
f
(
x)dx
c
b
lim f (x)dx lim f (x)dx
0 a
0 c
否则，就称广义积分ab f ( x)dx 发散.
定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分.
12
a
例1 计算广义积分
dx
(a 0).
0 a2 x2
解 lim 1 , xa a2 x2
x a 为被积函数的无穷间断点.
a dx