极坐标下曲率及曲率半径的求解
极坐标系中的曲线极值与拐点
极坐标系中的曲线极值与拐点在极坐标系中，我们可以通过极角和极径来确定点的位置。
而在极坐标系中，曲线的极值和拐点是非常重要的概念。
本文将详细介绍极坐标系中的曲线极值与拐点。
1. 极坐标系简介在直角坐标系中，我们用x轴和y轴表示平面上的点的位置。
而在极坐标系中，我们使用极径（ρ）和极角（θ）来描述点的位置。
极径表示点到原点的距离，极角表示点与正半轴之间的夹角。
2. 曲线的定义在极坐标系中，我们可以用方程或者参数方程来表示曲线。
曲线的方程可以写为ρ = f(θ)，其中f(θ)是关于极角θ的函数。
曲线的参数方程可以写为ρ = f(t)，θ = g(t)，其中t是参数。
3. 曲线的极值在极坐标系中，曲线的极值是指曲线上某一点的极径达到最大（或最小）值的点。
我们可以通过对曲线的导数进行求解，找出极值点的位置。
4. 曲线的拐点曲线的拐点是指曲线上某一点的曲率半径为零的点。
曲率半径表示曲线在该点处曲线弯曲的程度。
为了找到曲线的拐点，我们需要通过求解曲线的曲率半径来确定。
5. 极值和拐点的判断方法为了判断曲线上的极值和拐点，我们可以使用一些常见的方法。
其中包括求导数，求二阶导数，求曲率半径等等。
通过解方程或者求导数的方式，我们可以找到曲线上的极值和拐点的位置。
6. 举例说明为了更好地理解极坐标系中的曲线极值和拐点，我们举一个例子来说明。
考虑曲线ρ = 1 + cos(3θ)。
首先，我们可以通过求导数的方式来找到极值点的位置。
然后，我们可以通过求二阶导数的方式来找到拐点的位置。
7. 小结本文详细介绍了极坐标系中的曲线极值与拐点的概念和判断方法。
通过求解函数的导数和曲率半径，我们可以确定曲线上的极值和拐点的位置。
这些概念在数学和物理学中具有重要的应用价值，对于理解曲线的特性和性质非常有帮助。
总之，极坐标系中的曲线极值与拐点是关于极径和极角的重要概念。
通过求导数和曲率半径，我们可以找到曲线上的极值和拐点的位置。
这些概念对于研究曲线的特性和性质非常有帮助。
第四章第七节曲率
a b2
思考: 上面的椭圆在何处曲率最大?
三、 曲率圆与曲率半径
设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点 M 处作曲线的切线和法线, 在曲线
y
C 的凹向一侧法线上取点 D 使 M ( x, y ) 1 o x DM R K 把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的
R
T
曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做 曲率中心. 在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系: (1) 有公切线; (2) 凹向一致; (3) 曲率相同 .
K
y (1 y )
2 32Biblioteka 显然 当2axb0时曲率最大
曲率最大时 x
b 对应的点为抛物线的顶点 2a
因此 抛物线在顶点处的曲率最大 此处K|2a|
例4. 求椭圆 在t=0处的曲率. 解: (t ) a sin t ; (t ) b cos t ;
y 2 1 ( ) x s s( x) lim 1 ( y) 2 x 0 x
MM MM
由此得弧微分公式:
ds 1 y2 dx
或者
几何意义:
ds (dx) (d y )
2
2
ds M T
dy sin ds
y
dx cos ; ds
二、曲率及其计算公式
在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 s , 对应切线 转角为 , 定义 弧段 s 上的平均曲率
K s
点 M 处的曲率
d K lim s 0 s ds
注: 直线上任意点处的曲率为 0 !
例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .
注: 1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲 率互为倒数.
曲线的曲率曲率半径
.
O点处抛物线轨道的曲率半径
y
x0
x 2000
x0
0,
y
x0
1. 2000
得曲率为
k
x x0
1. 2000
曲率半径为 2000 米.
F 70 4002 5600(牛) 571.4(千克), 2000
Q 70(千克力) 571.4(千克力),
641.5(千克力).
即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.
§2-8
曲线的曲率.曲率半径
一、平面曲线的曲率及其计算公式
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量．
1
2
M2 S2 M3
S1
M1
弧段弯曲程度 越大转角越大
S1
M
M
N
S2 N
转角相同弧段越 短弯曲程度越大
y
M0 是基点. MM s ,
C
M.
M M 切线转角为 .
S
. M0 S M
)
定义
o
x
弧段MM的平均曲率为K .
s
曲线C在点M处的曲率 K lim s0 s
在 lim d 存在的条件下,
s0 s ds
K
d .
ds
注意: (1) 直线的曲率处处为零; (2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数, 对于半径为R的圆周 Δ S = RΔθ
1
s R
（3）曲率的倒数称为 曲率半径 = 1/K
1 cos t
sin3 t
2
y
1 4a
1 sin4
t
,
代入公式K
(1
y y2 )3/ 2
1 4a sin
t
曲率半径的求法
曲率半径的求法
曲率半径是描述曲线的弯曲程度的物理量，其在数学上有不同的求法，取决于所处的曲线形状和参数表示方式。
1. 对于通过参数方程表示的平面曲线，可以使用以下公式来计算曲率半径：
R = |(dx/dt * dy^2/dt^2 - dy/dt * dx^2/dt^2)| / (dx/dt^2 +
dy/dt^2)^3/2
其中，x = x(t) 和 y = y(t) 是曲线的参数方程，dx/dt 和 dy/dt 是参数方程的一阶导数，dx^2/dt^2 和 dy^2/dt^2 是参数方程的二阶导数。
2. 对于通过函数表达式表示的平面曲线，可以使用以下公式来计算曲率半径：
R = |(1 + (dy/dx)^2)^(3/2) / (d^2y/dx^2)|
其中，y = f(x) 是函数表达式，dy/dx 是函数的一阶导数，
d^2y/dx^2 是函数的二阶导数。
3. 对于通过参数方程表示的空间曲线，可以使用以下公式来计算曲率半径：
R = |(dα/dt * ds^2/dt^2 - ds/dt * dα^2/dt^2)| / (ds/dt^2 +
dα/dt^2)^3/2
其中，s = s(t) 和α = α(t) 是曲线的参数方程，ds/dt 和dα/dt 是参数方程的一阶导数，ds^2/dt^2 和dα^2/dt^2 是参数方程的二阶导数。
请注意，以上公式仅适用于一些特定类型的曲线，对于更复杂的曲线形状，可能需要使用其他数学方法来计算曲率半径。
曲率的计算
曲率的计算
曲率是描述曲线的急剧程度的数学概念。
对于曲线上的一点，
曲率可以通过以下公式计算：
曲率= |dθ / ds|
其中，dθ是曲线在该点的弯曲角度的微小变化量，ds是曲线
在该点的弧长的微小变化量。
具体计算曲率的步骤如下：
1. 将曲线表示为函数 y=f(x) 或参数方程 x=x(t), y=y(t)。
2. 使用微积分的方法，计算曲线在某一点的切线的斜率，或者
参数化曲线的速度向量。
3. 根据得到的切线斜率或速度向量，计算曲线在该点的弯曲角
度的微小变化量dθ。
4. 计算曲线在该点的弧长的微小变化量 ds。
5. 将dθ 和 ds 代入曲率公式，计算得到曲率的值。
不同曲线的计算方法和具体步骤可能会有所不同，因此在实际
应用中需要根据具体情况进行计算。
需要注意的是，曲率是一个标量，表示曲线的弯曲程度，而不
包含方向信息。
如果需要考虑曲线的方向信息，可以使用曲率向量，它包含曲率值和曲线在该点的切线方向。
求曲率半径的公式
求曲率半径的公式
在微分几何中，曲率的倒数就是曲率半径，即R=1/K。
平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。
对于曲线，它等于最接近该点处曲线的圆弧的半径。
对于表面，曲率半径是最适合正常截面或其组合的圆的半径。
1、曲率半径是指曲面的曲率，它表示曲线或曲面上任意一点到它的曲线中心的最小距离。
2、曲率半径的计算公式为：R=1/κ，其中κ表示曲率，它可以由下式计算出来：κ=(y''dx²+2y'xdx+y)/(dx²+2ydx+y²)^(3/2)。
3、其中，y代表任意点处的曲率，dx、dy分别表示该点处的横纵坐标差值，y'和y''表示曲率在此点处的一阶和二阶导数。
高等数学典型例题与解法(一)01-第38讲 曲率与曲率半径_38
d 些= 亜
fcsc2t —2sint
孜=无=克赢=一乎毗
d%2 dx
dt
dt
____________
从而，曲率K= 伊〃 I g— 10 g_
3, 10
5 4sin3t"
(1 _|_ y，2)a (4sin2t + 25cos2*)2 (4 + 21cos^)2
当cost = 0即％ = 0时曲率最大，当cost = ±1即工=±2时曲率最小.
K="
3,
(1+門2
NATIONAL UNIVERSITY OF DEFENSE TECHNOLOGY'
r
国防科学技术大学
第38讲曲率与曲率半径
(3)曲率半径与曲率中心
____
过曲线上。上点M作一个与其相切的圆(即它在
点M处与曲线有公共 切线)，使该圆与曲线。 线在在点点MM处处有的相曲同率的圆凹，向其和圆曲心率和，半称径这分个别圆称为曲 为曲线C在点M处的曲率中心和曲率半径.
N«3I Mvtniey of Maw
高等数学典型例题与解法（一）
第38讲曲率与曲率半径
理学院李建平教授
主要内容
第38讲曲率与曲率半径
i弧微分平面光滑曲线的弧长微分(弧微分)在几何上是用切线长 作为曲线长的一种局部线性近似.
⑴平面光滑曲线C\y = y(x)的弧微分
ds = 1 + y,2dx.
国防科学技术大学
第38讲曲率与曲率半径
2、曲率曲率是曲线的切线的转角关于弧长的变化率.
(1)曲率定义 设M是光滑曲线Gy = y(x)上一定点，N是。上
异于M的任意一点.设弧段标力的长度为4s , 设 点M处的切线转动到点N处的切线位置时, 切线 转过的角度为，如果极限
高等数学：第六节 曲率
四、作业
作业19
30
21
例4 求曲线y ln x与x轴交点处的曲率半径.
解 曲线y ln x与x轴的交点为M (1, 0). 在交点M处
的曲率为
| y'' |
1
k( x) [1 ( y' )2 ]3/ 2 2
. 2
曲率半径为R 1 2 2. k
22
三、小结
平均曲率 单位弧长的弧段上的切线转角, 即
k .
基点,
点M
是C
上某定点M
的
0
M
•
临近点. 又设M0、M处对应的弧长
M0
C P0 •
和倾斜角分别为s、s s和、 O
x
.
当点M沿曲线C趋于点M0时(此时s 0), 若平均曲率k
的极限存在, 则称此极限为曲线C在M0处的曲率, 记做k, 即
k= lim k lim d .
x0
MM0 s
当曲线y f ( x)在点M( x, y)处的曲率为k(k 0)时, 就可以通过半径为1/ k的圆, 将弯曲程度形象的表示 出来.
20
设曲线y f ( x)在点M（x，y)处的曲率为k(k 0), 在点M处的法线上取线段MC，使 MC ＝1 / k R. 以C为圆心,R为半径作圆,此圆称为曲线y f ( x) 在点M处的曲率圆. C称为曲线y f ( x)在点M处 的曲率中心. 曲率圆的半径R 1 / k称为曲线y f ( x) 在点M处的曲率半径.
dx
d
y''
y''
dx 1 tan2 1 ( y' )2 ,
转角的微分为d
y'' 1 ( y')2