三角函数的最值及应用午练
三角函数精题最值问题及练习题
1三角函数最值问题的几种常见解法一 配方法 例1 函数3sin 3cos 2+--=x x y 的最小值为及y=4cos 5sin 2-+x 的最小值和最大值例2 求函数y=5sinx+cos2x 的最值 二 引入辅助角法 例3已知函数()R x x x x y ∈+⋅+=1cos sin 23cos212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合。
三 利用三角函数的有界性 例4求函数1cos 21cos 2-+=x x y 的值域 函数 y=3cos 4cos 2++x x例5 （2003年高考题）已知函数())cos (sin sin 2x x x x f +=，求函数f(x)的最小正周期和最大值。
四 引入参数法（换元法）例6 求函数y=sinx+cosx+sinxcosx 的最大值。
练习 求函数的最值。
五 利用基本不等式法 和利用均值不等式求解的最值 例7（1）函数的最值；（2） 求函数的最值。
（3）求函数xxy 22cos4sin1+=的最值。
六 利用函数在区间内的单调性 例8 已知()π,0∈x ，求函数xx y sin 2sin +=的最小值。
七 数形结合 例9 求函数()π<<--=x xx y 0cos 2sin 的最小值。
八 判别式法 例10 求函数xx x x y tan sectan sec 22+-=的最值。
2九 分类讨论法 例 11 设()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤--+-=20214sin cos 2πx a x a x x f ，用a 表示f(x)的最大值M(a).三角函数 最值1设M 和m 分别表示函数1cos 31-=x y 的最大值和最小值，则M+m等于（ ）（A ）32（B ）32-（C ） 34-（D ）-2（2003北京春季）2、函数f(x)=2sin 1sin 3+-x x 的最大值是，最小值是3 求函数f(θ)=2cos 1--θθSin 的最大值与最小值是什么？（两种方法解答）4求函数278cos 2[,]63sin y x x x ππ=--∈-，的值域5、(2000年高考)已知：212cos 12siny x x x x R =+⋅+∈，，求y 的最大值及此时x 的集合． ．6、（90年高考）求函数sin cos sin cos y x x x x =++的最小值．37：已知[]πθ,0∈,f （θ）=sin(cos θ)的最大值为a,最小值为b ，g(θ)=cos(sin θ)的最大值为c,最小值为d,则a,b,c,d 的大小顺序为 。
三角函数的最值习题精选精讲
三角函数的值域或最值常见的三角函数最值的基本类型有：（1）y=asinx+b （或y=acosx+b ）型，利用()1cos 1sin ≤≤x x 或，即可求解，此时必须注意字母a 的符号对最值的影响。
（2）y=asinx+bcosx 型，引入辅助角ϕ ，化为y=22b a +sin （x+ϕ）,利用函数()1sin ≤+ϕx 即可求解。
Y=asin 2x+bsinxcosx+mcos 2x+n 型亦可以化为此类。
（3）y=asin 2x+bsinx+c （或y=acos 2x+bcosx+c ），型，可令t=sinx （t=cosx ）,-1≤t ≤1,化归为闭区间上二次函数的最值问题。
（4）Y=d x c b x a ++sin sin （或y=dx bx a ++cos cos ）型，解出sinx （或cosx ）,利用()1cos 1sin ≤≤x x 或去解；或用分离常数的方法去解决。
（5）y=d x c b x a ++cos sin （y=dx c bx a ++sin cos ）型，可化归为sin （x+ϕ）g （y ）去处理；或用万能公式换元后用判别式去处理；当a=c 时，还可利用数形结合的方法去处理上。
（6）对于含有sinx±cosx,sinxcosx 的函数的最值问题，常用的方法是令sinx±cosx=t,2≤t ,将sinxcosx 转化为t 的函数关系式，从而化为二次函数的最值问题。
一、利用三角函数的有界性．求解这类问题，首先利用有关三角函数公式化为sin()y A x k ωϕ=++的形式．在化简过程中常常用到公式：22sin cos sin(),tan ,ba xb x x aab ϕϕϕ+=++=其中由及点(a,b)的位置确定. 例1 、(2000年高考)已知：2123sin cos 12sin y x x x x R =+⋅+∈，，求y 的最大值及此时x 的集合． 解：∵2123sin cos 12sin y x x x =+⋅+1cos 2315sin 21sin(2)44264x x x π+=++=++，∴当sin(2)16x π+=时，max 157244y=+= ．此时，2262x k πππ+=+，即6x k ππ=+． 所以y 的最大值为74，此时x 的集合为{|}6x x k k Z ππ=+∈，．例2、求函数1cos 3cos xy x-=+的值域．解： 1cos 3cos x y x -=+⇒(1)cos 2y x +=-⇒2cos 1x y=-+，由|cos |1x ≤得2||11y -≤+， |1|2y +≥即，解得31y y ≤-≥或，所以函数1cos 3cos xy x-=+的值域是3][1-∞-∞ （，，+）二、利用二次函数最值性质求解这类问题，首先利用有关三角函数公式化为2sin sin y x b x c a =++的形式．例3、求函数278cos 2[,]63sin y x x x ππ=--∈-，的值域． 解：278c o s 2s i n y x x =--＝278cos 2(1)cos x x ---＝223,(cos 2)x --∵[,]63x ππ∈-，∴1cos [1]2x ∈，，∴3[1]2y ∈-，．例4、（90年高考）求函数sin cos sin cos y x x x x =++的最小值． 解：设sin cos x x t +=，[22]t ∈-，，则21sin cos 2x x t -=，所以()y f t =＝211,2(1)t ⋅-+([2,2])t ∈-，当1[22]t =-∈-，时，y 有最小值1-．三、利用均值不等式*利用均值不等式求三角函数时，一定要注意均值不等式中的使用条件：一正、二定、三相等．例6、当0x π<<时，求sin 2cos xy x=+的最大值．解：设2223tan 0,(0),,23233x t t t x y t t π=><<=≤=⋅+则（当且仅当tan 32xt ==时取等号）。
4.6 三角函数的最值与综合应用
T=12，振幅 A 3, k
10, y 3sin
6
t 10.
(2)由题意,该船进出港时,水深应不小于5+6.5=11.5 米
1 3sin t 10 11.5,sin t , 2k t 6 6 2 6 6 5 2k 5 (k Z ),12k 1 t 12k 5(k Z ). 2k 6 (k Z ), 6 在同一天内，取k=0或 11 t 5或13 t 17
2
1 1 2 2 (3sin a 2sin a) sin a 2 2 1 2 1 (sin a 1 ) 2 1 (sin a 2 ) 4 2 2 4 当 sin a ,1 时，y是增函数， 3 2 2 当sin a 时, ymin 3 9 1 当 sin a , 0 时，y是减函数， 3 当sin a 0时, ymin 0 1 2 2 2 综上,函数 y sin sin a的最小值为 2 9
2
2．当
2
x
2
时,函数 f ( x) sin x
3 cos x
的取值范围为（ D ）
A．最大值是1，最小值是-1
1 B．最大值是1，最小值是 2
C．最大值是2，最小值是-2 D．最小值是2，最小值是-1 3．（2006· 湖北模拟）函数 y 12sin(2 x
6
) 5sin( 2 x)的最大值是 13 . 3
) 5s
4．（2005· 浙江）已知k<-4,则函数 y cos 2 x k (cos x 1)的最小值是（ A ） A．1 B．-1 C．2k+1 D．-2k+1 5．（2005· 辽宁11）已知函数
第40课 三角函数的最值(经典例题练习、附答案)
第40课 三角函数的最值◇考纲解读①理解正弦函数.余弦函数在区间 [0 ， 2π] 的最大和最小值.②三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的区间◇知识梳理1.sin y a x b =+ 型：设sin t x =化为一次函数y at b =+在闭区间[1,1]t ∈-上的最值求之； 2.sin cos y a x b x c =++型：引入辅助角(cos sin ϕϕϕ==，化为)y x c ϕ=++；3.2sin sin y a x b x c =++ 型：设sin t x =，化为二次函数2y at bt c =++在[1,1]t ∈-上的最值求之； 4. sin sin a x b y c x d+=+型根据正弦函数的有界性，即可分析法求最值，还可“不等式”法或“数形结合”． 5. y =dx c b x a ++cos sin 型（1）当x R ∈时，将分母与y 乘转化变形为sin （x +ϕ）＝()f y 型（2）转化为直线的斜率求解（特别是定义域不是R 时，必须这样作） 6．同角的正弦余弦的和差与积的转换：同一问题中出现sin cos ,sin cos ,sin cos x x x x x x +-∙，求它们的范围，一般是令sin cos x x t+=或21sin cos sin cos 2t x x t x x --=⇒∙=或21sin cos 2t x x -∙=-，转化为关于t 的二次函数来解决◇基础训练1.设函数()sin 2(0)f x a x b a =+<，则()f x 的最大值是 .2.函数sin cos 2y x x =++的最小值是 .3.函数2()cos sin f x x x =+在区间[,]44ππ-上的最大值是 ，最小值是 .4.函数sin sin 2x y x =+的最大值是 ，最小值是 .◇典型例题例1. 求函数2sin 2cos x y x-=-的最大值和最小值例2.求sin cos sin cos y x x x x =++的值域◇能力提升1. 函数|sin |2sin y x x =-的值域为（ ）A.[3,1]--B.[－1,3]C.[0, 3]D.[－3, 0] 2.函数sin y x x =-在［2π，π］上的最大值是( )A2π－1 Bπ3+1 Cπ322 D π3.2y sin x(sin x cos x )=+的最大值是 .4.函数3f (x )cos x cos(x )π=++的最小值是 .5.已知函数12)6(,8)0(,cos 2cos sin 2)(2==+=πf f x b x x a x f 且（１）求实数,a b 的值；（２）求函数)(x f 的最大值及取得最大值时x 的值6．(2008华附)如图，四边 形ABCD 是一个边长为100米的正方形地皮，其中A TPS 是一半径为90米的扇形小山，其余部分都是平地，P 是弧TS 上一点，现有一位开发商想在平地上建造一个两边落在BC 与CD 上的长方形停车场PQCR.（Ⅰ）若∠PA T=θ，试写出四边形RPQC 的面积S 关于θ 的函数表达式，并写出定义域； （Ⅱ）试求停车场的面积最大值第40课 三角函数的最值◇基础训练1. b a -2. 2-5412- 4.131-◇典型例题例1. 解法一：去分母，原式化为sin cos 22x y x y -=-，即sin()x ϕ-=故21|22|yy +-≤1，解得374-≤y ∴max y =374+，m in y =解法二：令1sin x x = ，1cos y x =有22111x y +=它表示单位圆，则所给函数y 就是经过定点P （2，2）以及该圆上的动点(cos ,sin )M x x 的直线PM 的斜率k ，故只需求此直线的斜率k 的最值即可由21|22|kk+-=1，得k ∴maxy =374+，m in y =374-例2.求sin cos sin cos y x x x x =++的值域解：设sin cos t x x =+，则t∈［－2，2］由221(sin cos )12sin cos sin cos 2t x x x x x x -+=+⇒=。
高中数学三角函数专题20 三角形中的范围与最值问题
专题20 三角形中的范围与最值问题一．选择题（共13小题）1．（2019•黄冈模拟）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边，已知45C ∠=︒，2c =，a x =，若满足条件的三角形有两个，则x 的取值范围是( ) A ．21x << B ．22x << C ．12x <<D ．12x <<2．（2020•邵阳三模）锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin 3a C c =，1a =，则ABC ∆周长的最大值为( )A ．31+B ．21+C ．3D ．43．（2019春•河北月考）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin 3cos a B b A =，4b c +=，则ABC ∆面积的最大值为( )A ．1B ．3C ．2D ．234．（2020春•金安区校级月考）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin 2sin cos 0B A C +=，则当cos B 取最小值时，(c a = ) A ．2 B ．3 C ．2 D ．335．（2016•南昌校级二模）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，角B 为锐角，且22sin sin sin A C B =，则a cb +的取值范围为( ) A ．(1,3) B ．(2,3) C ．13(,)22 D ．23(,)226．（2018•河南一模）已知锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2()b a a c =+，则2sin()sin A B A -的取值范围是( ) A ．2(0,)2 B ．13(,)22 C ．12(,)22 D ．3(0,)27．（2018春•雅安期末）在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=︒，2BC =，则AB 的取值范围是( )A ．(0,62)+B ．(32-，32)+C ．D ．8．（2018•惠州模拟）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2c B a b =+，若ABC ∆的面积为312S c =，则ab 的最小值为( ) A ．12 B ．13 C ．16 D ．3 9．（2017秋•罗庄区期中）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且2cos 2c B a b =-，若ABC ∆的面积为32S =，则c 的最小值为( ) A ．423- B ．31- C ．2 D ．210．（2021春•赛罕区校级期中）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边，2a =，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为( )A ．3B ．2C ．22D ．2311．（2021春•瑶海区月考）若ABC ∆的内角满足sin 2sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是( )A ．624-B ．624+C ．622-D ．622+ 12．在ABC ∆中，3a b c +=，则cos cos cos A B C 的最大值为( )A ．781B ．18C ．19D ．88113．（2019•天河区二模）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3A B =，则a b的取值范围是( ) A ．(0,3) B ．(1,3) C ．(0，1] D ．(1，2]二．填空题（共22小题）14．（2018春•昆山市期中）在ABC ∆中，若sin(2)2sin A B B +=，则tan B 的最大值为15．（2018•黑龙江模拟）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且1cos cos 2a Bb Ac -=，当tan()A B -取最大值时，角B 的值为 ． 16．（2018秋•南城县校级期末）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若222(cos cos )a b a B b A -=+，且ABC ∆的面积为25，则ABC ∆周长的最小值为 ．17．（2014•萧山区模拟）ABC ∆的三边a 、b 、c 和面积S 满足：22()S a b c =--，且ABC ∆的外接圆的周长为17π，则面积S 的最大值等于 ．18．（2017春•扬州期末）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22242a b c ++=，4ab =，则2sin sin 2C tan A B 的最小值是 ． 19．（2018秋•连云港期中）在ABC ∆中，4AB BC +=，sin tan24cos B A A =-，则当B ∠取最大值时，ABC ∆面积为 ．20．（2016•杭州校级模拟）直角ABC ∆中，2C π=，2AC =．若D 为AC 中点，且1sin 3ABD ∠=，则BC = ；若D 为AC 上靠近点C 的三等分点，则ABD ∠的最大值为 ．21．（2018秋•河南期中）在ABC ∆中，若cos 4AB BC B =，||32BC BA -=，则ABC ∆面积的最大值为 ．22．（2020•晋中模拟）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且sin2sin 0a B b A +=，若ABC ∆的面积3S b =，则ABC ∆面积的最小值为 ．23．（2020•渭南二模）在ABC ∆中，60B =︒，3AC =，则2AB BC +的最大值为 ．24．（2017秋•邯郸期中）在ABC ∆中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2A C B +=，sin 6sin b A B =，若符合条件的三角形有两解，则b 的取值范围是 ．25．（2020•郑州一模）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且2cos (2cos )A a C =-，2c =，D 为AC 上一点，:1:3AD DC =，则ABC ∆面积最大时，BD = ．26．（2018春•柳南区校级月考）在ABC ∆中，D 为AC 上一点，且2AD =，1DC =，BD 为ABC ∠的角平分线，则ABC ∆面积的最大值为 ．27．（2019•江苏二模）在ABC ∆中，若sin 2C =cos cos A B ，则22cos cos A B +的最大值为 ．28．（2019春•广陵区校级期中）在ABC ∆中，若sin 2cos cos C A B =，则22sin sin A B +的最小值为 ．29．（2012秋•东台市校级月考）已知ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，BC边上的高为2a ，则2b c a c b bc++的最大值为 ． 30．（2020春•高安市校级期中）在锐角ABC ∆中，3B π=，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos cos 32A C a c ac+=，则a c +的取值范围是 ． 31．（2021•信阳开学）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，BD 为边AC 上的高，若b =23ABC π∠=，则BD 的最大值是 ． 32．（2021秋•鼓楼区校级月考）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且22222a b c +=，则111tan tan tan A B C ++的最小值为 ． 33．（2021春•朝阳区校级期末）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若3a =，3A π=，则223b c bc ++的取值范围是 ．34．（2021春•沈河区校级期末）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且32sin()3a b C π=+，则角B 为 ；若ABC ∆的面积为3，D 为AB 边的中点，则CD 的最小值 ．35．（2016•湖南模拟）已知平面四边形ABCD 为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧），且2AB =，4BC =，5CD =，3DA =，则平面四边形ABCD 面积的最大值为 ．三．解答题（共15小题）36．（2020春•包河区校级月考）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，3b =．（1）求ABC ∆的外接圆面积；（2）求2c a +的最大值．37．（2020春•香坊区校级期末）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，sin 1sin sin A a b B C a c-=-+-． （Ⅰ）设(sin ,1),(8cos ,cos2)m A n B A ==，判断m n ⋅最大时ABC ∆的形状． （Ⅱ）若3b =，求ABC ∆周长的取值范围．38．（2021春•龙泉驿区期末）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3cos sin sin cos 2b A C a B C b +=． （1）求角B 的大小； （2）若ABC ∆为锐角三角形，其外接圆半径为3，求ABC ∆周长的取值范围．39．（2021•章丘区模拟）已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足51sin()sin()664A A ππ-+=-． （1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆为锐角三角形，1a =，求ABC ∆周长的取值范围．40．（2021春•龙泉驿区期末）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222sin sin sin sin sin A B C A B +-=．（1）求角C 的大小；（2）若ABC ∆的外接圆半径为3，求ABC ∆周长的取值范围．41．（2020秋•浙江月考）已知函数2()2sin cos 23cos f x x x x =-．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()02A f =，2a =，求ABC ∆面积的最大值．42．（2019春•沈阳期末）已知ABC ∆的外接圆的半径为2，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，又向量(sin sin ,)m A C b a =--，2(sin sin ,sin )4n A C B =+，且m n ⊥． （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）求三角形ABC 的面积S 的最大值并求此时ABC ∆的周长．43．（2020•鹤壁模拟）如图，在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(sin cos )a c B B =+．（1）求ACB ∠的大小；（2）若ACB ABC ∠=∠，点A ，D 在BC 的异侧，2DB =，1DC =，求平面四边形ABDC 面积的最大值．44．（2017秋•赫山区校级期中）锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC ∆的外接圆半径为R ，且满足2sin 3R a A =． （1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC ∆周长的最大值．45．（2017•资阳模拟）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知21sin sin sin 24B C B C -+=． （Ⅰ） 求角A 的大小； （Ⅱ） 若2b c +=，求a 的取值范围．46．（2015秋•北票市校级月考）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin a b C c B =+．（1）求B ；（2）若4b =，求ABC ∆面积的最大值．47．（2020春•禅城区期末）在ABC ∆内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知=+．a b C c Bcos sin（1）求角B；（2）若2∆面积的最大值．b=，求ABC48．（2017秋•金台区期中）已知ABC∆的内角A，B，C所对底边分别是a，b，c．（1）若a，b，c成等差数列，证明：sin sin2sin()+=+；A C A C（2）若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值．49．（2020春•盐城期末）在ABC∆中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且11 cos (1cos )a C c A =+．（1）若ABC ∆为锐角三角形，求c a 的取值范围； （2）若2b =，且[4B π∈，]2π，求ABC ∆面积的最小值．50．（2020秋•烟台期末）为提升居民生活质量，增加城市活力，某市决定充分利用城市空间修建口袋公园．如图所示，现有一处边长为40 m 的正方形空地ABCD ，若已规划出以A 为圆心、半径为30 m 的扇形健身场地AEF ，欲在剩余部修建一块矩形草坪PMCN ，其中点P 在圆弧EF 上，点M ，N 分别落在BC 和CD 上，设PAB θ∠=，矩形草坪PMCN 的面积为S ．（1）求S 关于θ的函数关系式；（2）求S 的最大值以及相应θ的值．。
北京四中高三数学高考总复习20三角函数的最值与综合应用巩固练习_三角函数的最值与综合应用_基础
【巩固练习】 一、选择题 1.函数2sin (-)(09)63x y x ππ=≤≤的最大值与最小值之和为（ ）A.2.函数2()sin cos f x x x x =在区间[,]42ππ上的最大值是( )A.1 C.323．已知函数()cos sin ()f x x x x =∈R ,给出下列四个命题： ①若12()()f x f x =-,则12x x =-; ②()f x 的最小正周期是2π;③()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数; ④()f x 的图象关于直线34x π=对称。
其中真命题是（ ）A ．①②④B ．①③C ．②③D ．③④ 4．函数4sin 3sin 36y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为（ ）A ．7B ．32C ．5D ．4 5．已知函数sin()y A x m ωϕ=++的最大值为4,最小值为0,最小正周期为2π,直线3x π=是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式为（ ）A ．4sin 46y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．2sin 223y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭C ．2sin 423y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ D ．2sin 426y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭6．若将函数()tan 04y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度后,与函数tan 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像重合,则ω的最小值为（ ）A ．16 B ．14 C ．13 D ．127. 若函数()sin (0)f x x ωω=>在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,则ω=（ ）A ．3B ．2C ．32D ．23二、填空题8．函数2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的值域为________． 9．已知2αβπ+=,则cos 6sin y βα=-的最小值为________．10．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数cos (6)6y a A x π⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦(1,2,3,,12)x =来表示,已知6月份的月平均气温最高,为28℃,12月份的月平均气温最低,为18℃,则10月份的平均气温值为________℃。
三角函数最好练习3-2-2三角恒等式的应用
3-2-2三角恒等式的应用一、选择题1．函数f (x )＝－12sin x cos x 的最大值是( )A.12 B ．－12C.14 D ．－14[答案] C2．函数y ＝cos 2x 2－sin 2x2的最小值等于( )A ．－1B ．1 C.12 D ．2 [答案] A[解析] ∵y ＝cos 2x 2－sin 2x2＝cos x ，∴最小值为－1.3．函数y ＝sin x1＋cos x 的周期等于( )A.π2 B ．π C ．2π D ．3π [答案] C[解析] y ＝2sin x 2cosx 22cos 2x 2＝tan x 2，T ＝π12＝2π.4．函数y ＝cos 4x －sin 4x ＋2的最小正周期是( ) A ．π B ．2π C.π2 D.π4 [答案] A5．函数y ＝12sin2x ＋sin 2x 的值域是( )A.⎣⎡⎦⎤－12，32B.⎣⎡⎦⎤－32，12C.⎣⎡⎦⎤－22＋12，22＋12 D.⎣⎡⎦⎤－22－12，22－12[答案] C[解析] ∵y ＝12sin2x ＋sin 2x ＝12sin2x ＋1－cos2x 2＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4， ∴值域为⎣⎡⎦⎤12－22，12＋22.6．已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象的一条对称轴是x ＝5π3，则函数g (x )＝a sin x ＋cos x 的最大值是( )A.223B.233C.43D.263[答案] B[解析] 由于函数f (x )的图象关于x ＝5π3对称，则f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫10π3，∴a ＝－32－a2， ∴a ＝－33， ∴g (x )＝－33sin x ＋cos x ＝233sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3， ∴g (x )max ＝233. 7．化简1＋cos80°－1－cos80°等于( ) A ．－2cos5° B ．2cos5° C ．－2sin5° D ．2sin5°[答案] D[分析] 利用倍角公式和辅助公式． [解析]1＋cos80°－1－cos80°＝2cos 240°－2sin 240° ＝2(cos40°－sin40°)＝2sin(40°＋135°)＝2sin175°＝2sin5°.8．函数y ＝cos 2ωx －sin 2ωx (ω>0)的最小正周期是π，则函数f (x )＝2sin(ωx ＋π4)的一个单调递增区间是( )A ．[－π2，π2]B ．[5π4，9π4]C ．[－π4，3π4]D ．[π4，5π4][答案] B[解析] y ＝cos 2ωx －sin 2ωx ＝cos2ωx (ω>0)， 因为函数的最小正周期为π，故 2π2ω＝π，所以ω＝1.则 f (x )＝2sin(ωx ＋π4)＝2sin(x ＋π4)，∴2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2即2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝1时，函数的一个增区间是[5π4，9π4]．9．(2011重庆高考)设△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C 等于( )A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6[答案] C[解析] ∵m ·n ＝1＋cos(A ＋B )＝3sin A cos B ＋3cos A sin B ， ∴3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )． 又A ＋B ＝π－C ， ∴整理得sin(C ＋π6)＝12.∵0<C <π，∴π6<C ＋π6<7π6.∴C ＋π6＝5π6.∴C ＝2π3.10．设M ＝{平面内的点(a ，b )}，N ＝{f (x )|f (x )＝a cos2x ＋b sin2x }，给出M 到N 的映射f ：(a ，b )→f (x )＝a cos2x ＋b sin2x ，则点(1，3)的象f (x )的最小正周期为( )A.π2B.π4 C ．π D ．2π [答案] C[解析] 点(1，3)的象f (x )＝cos2x ＋3sin2x ＝2⎝⎛⎭⎫32sin2x ＋12cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，则f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.二、填空题11．函数y ＝2sin x ＋2cos x 的值域是________． [答案] [－22，22][解析] y ＝2sin x ＋2cos x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，则值域是[－22，22]．12．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx －cos 2ωx (ω>0)的周期为π2，则ω＝________.[答案] 2 [解析] f (x )＝32sin2ωx －1＋cos2ωx 2＝32sin2ωx －12cos2ωx －12＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6－12， 则有2π2ω＝π2，∴ω＝2.13．函数f (x )＝3sin x －cos x 的单调递增区间是________． [答案] ⎣⎡⎦⎤－π3＋2k π，2π3＋2k π(k ∈Z ) [解析] f (x )＝2⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， 令－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，则－π3＋2k π≤x ≤2π3＋2k π，(k ∈Z )．即单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π3＋2k π，2π3＋2k π(k ∈Z )． 14．关于函数f (x )＝sin2x －cos2x ，有下列命题： ①函数y ＝f (x )的周期为π；②直线x ＝π4是y ＝f (x )的图象的一条对称轴；③点⎝⎛⎭⎫π8，0是y ＝f (x )的图象的一个对称中心；④将y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，可得到y ＝2sin2x 的图象．其中真命题的序号是________． [答案] ①③[解析] f (x )＝sin2x －cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 则T ＝2π2＝π；f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π4－π4＝1，f ⎝⎛⎭⎫π4不是函数f (x )的最值，则直线x ＝π4不是y ＝f (x )的图象的一条对称轴；f ⎝⎛⎭⎫π8＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π8－π4＝0，则点⎝⎛⎭⎫π8，0是y ＝f (x )的图象的一个对称中心； 将y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，可得到y ＝2sin ⎣⎡⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象，不是y ＝2sin2x 的图象，故①③正确，②④错误．三、解答题15．(2011～2012·北京东城高三期末)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1. (1)求f ⎝⎛⎭⎫π6的值及f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求f (x )的最大值和最小值． [解析] (1)∵f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1 ＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin(2×π6＋π6)＝2，且函数f (x )的最小正周期为π. (2)由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2可知，π6≤2x ＋π6≤7π6， 所以，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )有最大值，最大值为2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )有最小值，最小值为－1.16．已知函数f (x )＝2sin 2ωx ＋23sin ωx sin ⎝⎛⎭⎫π2－ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的值域． [解析] (1)f (x )＝1－cos2ωx ＋23sin ωx cos ωx ＝1－cos2ωx ＋3sin2ωx＝3sin2ωx －cos2ωx ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋1. 因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω>0， 所以2π2ω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1. 因为0≤x ≤2π3，所以－π6≤2x －π6≤7π6.所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1. 因此0≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1≤3， 即f (x )在⎣⎡⎦⎤0，2π3上的值域为[0,3]． 17．已知函数f (x )＝3sin2x －2sin 2x .(1)若点P (1，－3)在角α的终边上，求f (α)的值； (2)若x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，求f (x )的值域． [解析] (1)因为点P (1，－3)在角α的终边上， 所以sin α＝－32，cos α＝12. 所以f (α)＝3sin2α－2sin 2α ＝23sin αcos α－2sin 2α ＝23×⎝⎛⎭⎫－32×12－2×⎝⎛⎭⎫－322＝－3. (2)f (x )＝3sin2x －2sin 2x ＝3sin2x ＋cos2x －1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3， 所以－π6≤2x ＋π6≤5π6.所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1. 所以f (x )的值域为[－2,1]．18．某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1m ，求割出的长方形桌面的最大面积(如图)．[解析] 如题图，连接OC ，设∠COB ＝θ，则0°<θ<45°，OC ＝1.∵AB ＝OB －OA ＝cos θ－AD ＝cos θ－sin θ， ∴S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝(cos θ－sin θ)·sin θ ＝－sin 2θ＋sin θcos θ＝－12(1－cos2θ)＋12sin θ＝12(sin2θ＋cos2θ)－12＝22cos(2θ－π4)－12. 当2θ－π4＝0，即θ＝π8时，S max ＝2－12(m 2)．∴割出的长方形桌面的最大面积为2－12m 2.。
2021高考数学考前押题 三角函数的最值与综合应用(1)
2021高考数学考前押题：三角函数的最值与综合应用三角函数的最值1.函数f(x)=sin（2x-π4）在区间[0,π2]上的最小值为( )(A)-1 (D)0解析:由x∈[0,π2]得2x-π4∈[-π4,3π4],因此sin(2x-π4)∈,1].即f(x)在[0, π2]上最小值为.应选B.答案:B2.函数y=2sin(π6x-π3)(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )(B)0 (C)-1解析:当0≤x≤9时,-π3≤π6x-π3≤7π6,因此≤2sin(π6x-π3)≤2,因此最大值与最小值之和为应选A.答案:A3.已知函数f(x)=2sin(ωx+),x∈R,其中ω>0,-π<≤π.假设f(x)的最小正周期为6π,且当x=π2时,f(x)取得最大值,那么( )(A)f(x)在区间[-2π,0]上是增函数(B)f(x)在区间[-3π,-π]上是增函数(C)f(x)在区间[3π,5π]上是减函数(D)f(x)在区间[4π,6π]上是减函数解析:∵T=6π,∴ω=2πT =2π6π=13, ∴13×π2+=2k π+π2(k ∈Z),∴=2k π+π3 (k ∈Z).∵-π<≤π,∴令k=0得=π3.∴f(x)=2sin(3x +π3).∴增区间为2k π-π2<3x +π3<2k π+π2,k ∈Z,∴2k π-5π6<3x <2k π+π6,k ∈Z,∴6k π-5π6<x<6k π+π2,k ∈Z,当k=0时,-5π2<x<π2.∴f(x)在[-2π,0]上是增函数.应选A.答案:A4.函数y=sin2x+sin x-1的值域为( )(A)[-1,1] (B)[-5 4,-1](C)[-54,1] (D)[-1,54]解析:令sin x=t,那么t∈[-1,1],可得y=t2+t-1=(t+12)2-54,故y∈[-5 4,1].应选C.答案:C5.设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,那么cos θ= .解析其中当x-=2kπ+π2(k∈Z),即x=2kπ+π2+时函数f(x)取到最大值,即θ=2kπ+π2+,因此cos θ答案6.当函数cos x(0≤x<2π)取得最大值时,x= .解析π3),∵x∈[0,2π),∴x-π3∈[-π3,5π3),∴当x-π3=π2,即x=5π6时,函数值最大为2.答案:5π67.已知向量a=(cos x,- 12∈R,设函数f(x)=a·b.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求f(x)在[0,π2]上的最大值和最小值.解:f(x)=(cos x,- 1 2)·cos xsin x-12cos 2xsin 2x-12cos 2x=cos π6sin 2x-sinπ6cos 2x=sin(2x-π6).(1)f(x)的最小正周期为T=2π=2π2=π,即函数f(x)的最小正周期为π.(2)∵0≤x≤π2,∴-π6≤2x-π6≤5π6.由正弦函数的性质,知当2x-π6=π2,即x=π3时,f(x)取得最大值1.当2x-π6=-π6,即x=0时,f(x)取得最小值-1 2,因此,f(x)在[0,π2]上的最大值是1,最小值是-12.8.设函数f(x)=sin2ωsin ωx·cos ωx-cos2ωx+λ(x∈R)的图象关于直线x=π对称,其中ω,λ为常数,且ω∈(1 2,1).(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)假设y=f(x)的图象通过点(π4,0),求函数f(x)的值域.解:(1)f(x)=sin2ωx-cos2ωsin ωx·cos ωx+λ=-cos 2ωωx+λ=2sin(2ωx-π6)+λ.由直线x=π是y=f(x)图象的一条对称轴,可得sin(2ωπ-π6)=±1,因此2ωπ-π6=k π+π2(k ∈Z),即ω=2k +13(k ∈Z).又ω∈(12,1),k ∈Z,因此k=1,故ω=56.因此f(x)的最小正周期是6π5.(2)由y=f(x)的图象过点(π4,0),得f(π4)=0,即λ=-2sin(56×π2-π6)=-2sin π4,即λ.故f(x)=2sin(53x-π6.因此函数f(x)的值域为].9.设函数f(x)=Asin(ωx+)(其中A>0,ω>0,-π<≤π)在x=π6处取得最大值2,其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为π2.(1)求f(x)的解析式;(2)求函数g(x)=426cos sin1π6x xf x--⎛⎫+⎪⎝⎭的值域.解:(1)由题设条件知f(x)的周期T=π,即2πω=π,解得ω=2.因为f(x)在x=π6处取得最大值2,因此A=2,从而sin(2×π6+)=1,因此2×π6+=π2+2kπ,k∈Z.又由-π<≤π,得=π6.故f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x+π6).(2)g(x)=426cos sin1π2sin22x xx--⎛⎫+⎪⎝⎭=426cos cos22cos2x xx--=()()()2222cos13cos222cos1x xx-+-=32cos2x+1(cos2x≠12).因为cos2x∈[0,1],且cos2x≠1 2,故g(x)的值域为[1,74]∪(74,52].三角函数的综合应用1.方程|x|=cos x在(-∞,+∞)内( )(A)没有根(B)有且仅有一个根(C)有且仅有两个根(D)有无穷多个根解析:|x|=cos x的根的个数即y=|x|与y=cos x函数图象的交点个数.令y1=|x|,y2=cos x,那么它们的图象如下图.应选C.答案:C2.设f(x)=asin 2x+bcos 2x,其中a,b∈R,ab≠0.假设f(x)≤π6f⎛⎫⎪⎝⎭对一切x∈R恒成立,那么①f11π12⎛⎫⎪⎝⎭=0;②︱f7π10⎛⎫⎪⎝⎭︱<︱fπ5⎛⎫⎪⎝⎭︱;③f(x)既不是奇函数也不是偶函数;④f(x)的单调递增区间是[kπ+π6,kπ+2π3](k∈Z);⑤存在通过点(a,b)的直线与函数f(x)的图象不相交.以上结论正确的选项是(写出所有正确结论的编号).解析:因为f(x)≤π6f⎛⎫⎪⎝⎭对一切x∈R恒成立,因此f(x)的最大值为π6f⎛⎫⎪⎝⎭=a+12b︱,两边平方并整理,得b-12a)2=0,因此b,故f(x)=2bsin(2x+π6),因此f(1112π)=0,︱f(7π10)︱=︱f(π3)︱,因此①正确,②错误.由于b≠0,因此③成立.当b>0时,递增区间为[kπ-π3,kπ+π6](k∈Z).又|b|<2|b|,因此⑤不成立.故正确结论的编号为①③.答案:①③3.设函数f(θsin θ+cos θ,其中,角θ的极点与坐标原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边通过点P(x,y),且0≤θ≤π.(1)假设点P的坐标为(12),求f(θ)的值;(2)假设点P(x,y)为平面区域Ω:1,1,1x yxy+≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点,试确信角θ的取值范围,并求函数f(θ)的最小值和最大值.解:(1)由点P的坐标和三角函数的概念可得于是f(θθ+cos θ+12=2.(2)作出平面区域Ω(即三角形区域ABC)如下图,其中A(1,0),B(1,1),C(0,1).于是0≤θ≤π2.又f(θsin θ+cos θ=2sin(θ+π6), 且π6≤θ+π6≤2π3,故当θ+π6=π2,即θ=π3时,f(θ)取得最大值,且最大值等于2;当θ+π6=π6,即θ=0时,f(θ)取得最小值,且最小值等于1.4.已知函数f(x)=(2cos2x-1)sin 2x+12cos 4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值;(2)假设α∈(π2,π),且f(α,求α的值.解:(1)因为f(x)=(2cos2x-1)sin 2x+12cos 4x =cos 2xsin 2x+12cos 4x =12(sin 4x+cos 4x)sin (4x+π4),因此f(x)的最小正周期为π2,.(2)因为f(α)= ,因此sin(4α+π4)=1.因为α∈(π2,π),因此4α+π4∈(9π4,17π4).因此4α+π4=5π2.故α=9π16.5.设函数f(x)= sin2ωx-sin ωxcos ωx(ω>0),且y=f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值;(2)求f(x)在区间[π, 3π2]上的最大值和最小值.解:(1)f(x)= ωx-sin ωxcos ωx1cos22xω--12sin 2ωxcos 2ωx-12sin 2ωx=-sin(2ωx-π3).因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4,又ω>0,因此2π2ω=4×π4,因此ω=1.(2)由(1)知f(x)=-sin(2x-π3).当π≤x≤3π2时,5π3≤2x-π3≤8π3.因此≤sin(2x-π3)≤1.因此-1≤f(x)故f(x)在区间[π,3π2],-1.6.在△ABC 中,角A,B,C 的对边别离为a,b,c,且cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin(A+C) =-35.(1)求sin A 的值;(2)假设,b=5,求向量BA 在BC 方向上的投影.解:(1)由cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin(A+C)=-35,得cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-35.那么cos(A-B+B)=- 35,即cos A=-35.又0<A<π,那么sin A=45.(2)由正弦定理,有sin a A =sin bB ,因此sin B=sin b Aa.由题知a>b,那么A>B,故B=π4.依照余弦定理,有)2=52+c2-2×5c ×35⎛⎫- ⎪⎝⎭,解得c=1或c=-7(负值舍去).故向量BA在BC方向上的投影为|BA.7.已知函数f(x)=cos x·cos(x-π3).(1)求f2π3⎛⎫⎪⎝⎭的值;(2)求使f(x)<14成立的x的取值集合.解:(1)f2π3⎛⎫⎪⎝⎭=cos2π3·cosπ3=-cosπ3·cosπ3=-12⎛⎫⎪⎝⎭2=-14.(2)f(x)=cos xcos(x-π3)=cos x·(12sin x)=12sin xcos x=1 4=12cos(2x-π3)+14.f(x)<14等价于12cos(2x-π3)+14<14,即cos(2x-π3)<0.于是2kπ+π2<2x-π3<2kπ+3π2,k∈Z.解得kπ+5π12<x<kπ+11π12,k∈Z.故使f(x)<14成立的x的取值集合为{x︱kπ+5π12<x<kπ+11π12,k∈Z}.三角函数的最值求法1.函数y=sin2x+2cos x(π3≤x≤4π3)的最大值与最小值别离为( )(A)最大值为74,最小值为-14(B)最大值为74,最小值为-2(C)最大值为2,最小值为-1 4(D)最大值为2,最小值为-2解析:化简函数y=sin2x+2cos x(π3≤x≤4π3)得y=-cos2x+2cos x+1=-(cos x-1)2+2,当π3≤x≤4π3时,cos x∈[-1,1 2],故函数的最小值在cos x=-1时取得为-2,最大值在cos x=12时取得为74.应选B.答案:B2.概念运算a※b为a※b=()(),.a a bb a b≤⎧⎪⎨>⎪⎩如1※2=1,那么函数f(x)=sin x※cos x的值域为.解析:f(x)=sin x※cos x=()() sin sin cos, cos sin cos.x x xx x x≤⎧⎪⎨>⎪⎩由y=sin x与y=cos x的图象知f(x)在π9π,44⎛⎫⎪⎝⎭一个周期内的图象如图实线部份所示.由图象可知函数值域为].答案]3.函数函数g(x)=mcos（2x-π6）-2m+3(m>0),假设存在x1,x2∈[0,π4],使得f(x1)=g(x2)成立,那么实数m的取值范围是.解析cos 2x=2sin(2x+π3)∵0≤x1≤π4,∴π3≤2x1+π3≤5π6.∴1≤f(x1)≤2.又-π6≤2x2-π6≤π3,∴12≤cos(2x2-π6)≤1,∴-32m+3≤g(x2)≤-m+3.又∵存在x1,x2∈[0,π4],使得f(x1)=g(x2),∴1≤-32m+3≤2或1≤-m+3≤2,∴23≤m≤43或1≤m≤2,∴23≤m≤2.答案:[2 3,2]三角函数与其他知识的综合1.函数f(x)=sin(πcos x)在区间[0,2π]上的零点个数是( )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:f(x)=sin(πcos x)=0,则πcos x=kπ(k∈Z),cos x=k(k∈Z),∴cos x=±1或cos x=0,又x∈[0,2π],那么x=0或x=π或x=2π或x=π2或x=3π2,即有5个零点.应选C.答案:C2.函数y=ln|x-1|的图象与函数y=-2cos πx(-2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )(A)8 (B)6 (C)4 (D)2解析:作出y=ln|x-1|与y=-2cos πx(-2≤x≤4)的图象知,两函数图象有3对交点,且每对交点关于x=1对称,∴横坐标之和为2×3=6.应选B.答案:B3.设平面向量,sin x),x∈R.(1)假设x∈(0,π2),证明:a和b不平行;(2)假设c=(0,1),求函数f(x)=a·(b-2c)的最大值,并求出相应的x值.(1)证明:假设a与b平行,那么)=0,即sin x=0,与x∈(0,π2)时,sin x>0,矛盾.故a与b不平行. (2)解:f(x)=a·b-2a·ccos x=1-4sin（x-π3）.因此f(x)max=5,x=2kπ-π6(k∈Z).综合检测1. M、N是曲线y=πsin x与曲线y=πcos x的两个不同的交点,那么|MN|的最小值为( )(A)πππ(D)2π解析:两函数的图象如下图,那么图中|MN|最小,设M(x1,y1),N(x2,y2),那么x1=π4,x2=54π,|x1-x2|=π,|y1-y2|=|πsin x1-πcos x2|πππ,∴.应选C.答案:C2.已知概念域为R的函数f(x)既是奇函数,又是周期为3的周期函数,当x∈（0,32）时,f(x)=sin πx,f32⎛⎫⎪⎝⎭=0,那么函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数是( )(A)3 (B)5 (C)7 (D)9解析:∵f(x)是概念域为R的奇函数,∴f(0)=0.又周期为3,∴f(3)=f(6)=f(0)=0,又∵f(1)= sin π=0,∴f(4)=f(1)=0,又∵f(1)=f(-1)=f(2)=f(5)=0,f32⎛⎫⎪⎝⎭=f92⎛⎫⎪⎝⎭=0,∴零点为0,1, 32,2,3,4,92,5,6,共9个.应选D.答案:D3.已知函数f(x)=sin x+acos x的图象的一条对称轴是x=5π3,那么函数g(x)=asin x+cosx的最大值是( )(A)(C)43解析sin(x+)（）,∵x=5π3为函数f(x)图象的一条对称轴,∴53π+=kπ+π2(k∈Z),又cos >0,∴取=-π6,那么cosπ6⎛⎫-⎪⎝⎭,.∵sin(x+θ)（cos θ）,∴.应选B.答案:B4.函数y=()222sin3sin2sin3x xx-+的值域为. 解析:令t=2sin x+3∈[1,5],那么sin x=32t-,因此y=()2233922t tt---=229182t tt-+=91t⎛⎫⎪⎝⎭2-92·1t+12,又1t∈[15,1],因此y∈[-1 16,5].答案: [-1 16,5]5.已知向量a=(sin θ,cos θ,1),其中θ∈(0,π2).(1)假设a∥b,求sin θ和cos θ的值;(2)假设f(θ)=(a+b)2,求f(θ)的值域.解:(1)∵a∥b,∴sin θcos θ=0,求得tan θ又∵θ∈(0, π2),∴θ=π3,sin θ,cos θ=12.(2)f(θ)=(sin θ)2+(cos θ+1)2sin θ+2cos θ+5=4sin(θ+π6)+5.又∵θ∈(0, π2),∴θ+π6∈(π6,2π3),∴12<sin(θ+π6)≤1,∴7<f(θ)≤9,即函数f(θ)的值域为(7,9].。