(最新精选)2017-2018学年浙江省绍兴市上虞区高二(上)期末数学试卷

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2017-2018学年浙江省绍兴市上虞区高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线l经过坐标原点和点（﹣1，﹣1），则直线l的倾斜角是（）A．B．C．或D．﹣2．下列方程表示焦点在y轴上且短轴长为2的椭圆是（）A．B．C．D．3．双曲线﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x4．已知直线l不在平面α内，则“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n6．设F1，F2分别是椭圆+=1的左，右焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|：|PF2|=4：3，则△PF1F2的面积为（）A．24B．25C．30D．487．若直线l：ax+by+1=0平分圆M：x2+y2+4x+2y+1=0的周长，则a2+b2﹣2a的最小值为（）A．B．C．D．8．已知过抛物线y2=4x焦点F的直线l交抛物线于A、B两点（点A在第一象限），若=3，则直线l的斜率为（）A．2B．C．D．9．设点M（3，4）在圆x2+y2=r2（r＞0）外，若圆O上存在点N，使得，则实数r的取值范围是（）A．B．C．D．10．已知P﹣ABC是正四面体（所有棱长都相等的四面体），E是PA中点，F是BC上靠近B的三等分点，设EF与平面PAB，平面PAC，平面PBC所成角分别为α，β，γ，则（）A．β＞γ＞αB．γ＞β＞αC．α＞β＞γD．α＞γ＞β二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分．11．（6分）圆x2+y2﹣4x=0的圆心坐标是；半径为．12．（6分）抛物线x2=4y的焦点坐标是；准线方程为．13．（6分）直线l1：mx+y﹣2=0，直线l2：x﹣2y+2=0，若l1∥l2，则实数m=；l2关于x轴对称的直线方程为．14．（6分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是cm3，表面积是cm2．15．（6分）双曲线的一个焦点到其渐近线距离为3，则实数k的值为．16．（3分）E是正方形ABCD的边CD的中点，将△ADE绕AE旋转，则直线AD与直线BE所成角的余弦值的取值范围是17．（3分）若点P（x，y）在圆x2+y2+10x+10y+45=0上，则代数式的最大值是．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）已知直线l过点M（﹣3，3），圆C：x2+y2+4y+m=0（m∈R）．（Ⅰ）求圆C的圆心坐标及直线l截圆C弦长最长时直线l的方程；（Ⅱ）若过点M直线与圆C恒有公共点，求实数m的取值范围．19．（15分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点．（Ⅰ）证明A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）若C1C=CA=2，求直线AB与平面ADC1所成角的正弦值．20．（15分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=3的圆心在直线y=x+1上．（Ⅰ）若圆C与y轴相切，求圆C的方程；（Ⅱ）当a=0时，问在y轴上是否存在两点A，B，使得对于圆C上的任意一点P，都有|PA|=|PB|，若有，试求出点A，B的坐标，若不存在，请说明理由．21．（15分）如图，四面体ABCD中，△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，△BCD是边长为2的正三角形．（Ⅰ）当AD为多长时，AC⊥BD？（Ⅱ）当二面角B﹣AC﹣D为时，求AD的长．22．（15分）已知椭圆的离心率为，且过点B（0，1）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若点A是椭圆的右顶点，点P（x0，y0）（y0＞1）在以AB为直径的圆上，延长PB交椭圆E 于点Q，求|BP|•|BQ|的最大值．2017-2018学年浙江省绍兴市上虞区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线l经过坐标原点和点（﹣1，﹣1），则直线l的倾斜角是（）A．B．C．或D．﹣【分析】利用斜率的计算公式先求出直线的斜率，再利用正切函数求出直线的斜率．【解答】解：∵直线l经过坐标原点和点（﹣1，﹣1），∴直线l的斜率k==1，∴直线l的倾斜角α=．故选：A．【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意斜率公式的合理运用．2．下列方程表示焦点在y轴上且短轴长为2的椭圆是（）A．B．C．D．【分析】利用椭圆的方程判断焦点坐标的位置以及短轴长即可．【解答】解：的焦点坐标在y轴上，短半轴长为1，短轴才为2；所以A正确；选项B、D，焦点坐标在x轴上，不正确；选项C，短轴长为4，不正确；故选：A．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．3．双曲线﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得其焦点在x轴上，以及a、b的值，进而结合渐近线的方程并代入a、b的值计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：﹣=1，其中焦点在x轴上，且a==3，b==4，则其渐近线方程为：y=±x，故选：B．【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是利用双曲线的标准方程求出a、b的值．4．已知直线l不在平面α内，则“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【分析】“直线l上有两个点到平面α的距离相等”⇒“l∥α或直线l与平面α相交”，“l∥α”⇒“直线l上有两个点到平面α的距离相等”，由此能求出结果．【解答】解：由直线l不在平面α内，知：“直线l上有两个点到平面α的距离相等”⇒“l∥α或直线l与平面α相交”，“l∥α”⇒“直线l上有两个点到平面α的距离相等”，∴“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查直线与平行的位置关系等基础知识，是基础题．5．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n【分析】通过举反例可得A、B、C不正确，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，可得D正确，从而得出结论．【解答】解：A、m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故A错误；B、α，β 垂直于同一个平面γ，故α，β 可能相交，可能平行，故B错误；C、α，β平行于同一条直线m，故α，β 可能相交，可能平行，故C错误；D、垂直于同一个平面的两条直线平行，故D正确．故选：D．【点评】本题考查两个平面平行的判定和性质，平面与平面垂直的性质，线面垂直的性质，注意考虑特殊情况，属于中档题．6．设F1，F2分别是椭圆+=1的左，右焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|：|PF2|=4：3，则△PF1F2的面积为（）A．24B．25C．30D．48【分析】求得椭圆的a，b，c，运用椭圆的定义和条件可得|PF1|=8，|PF2|=6，|F1F2|=10，运用勾股定理和三角形的面积公式计算可得所求值．【解答】解：椭圆+=1的a=7，b=2，c=5，则|PF1|+|PF2|=2a=14，|PF1|：|PF2|=4：3，可得|PF1|=8，|PF2|=6，|F1F2|=10，显然|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，即PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为|PF1|•|PF2|=×8×6=24．故选：A．【点评】本题考查椭圆的定义和方程、性质，注意定义法的运用和勾股定理和三角形的面积公式的应用，考查运算能力，属于基础题．7．若直线l：ax+by+1=0平分圆M：x2+y2+4x+2y+1=0的周长，则a2+b2﹣2a的最小值为（）A．B．C．D．【分析】由已知条件我们可以判定直线必过圆的圆心，求出a，b的关系，再由a2+b2﹣2a的几何意义，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．【解答】解：∵直线l：ax+by+1=0始终平分圆M：x2+y2+4x+2y+1=0的周长，∴直线必过圆M：x2+y2+4x+2y+1=0的圆心，即圆心（﹣2，﹣1）点在直线l：ax+by+1=0上，则2a+b﹣1=0，则（a﹣1）2+b2表示点（1，0）到直线2a+b﹣1=0点的距离的平方，点（1，0）到直线2a+b﹣1=0点的距离d=，则a2+b2﹣2a的最小值为d2﹣1=﹣，故选：D．【点评】直线的性质与圆的方程都是高考必须要考的知识点，此题巧妙地将直线与圆性质融合在一起进行考查，解题的关键是转化思想的巧妙利用．8．已知过抛物线y2=4x焦点F的直线l交抛物线于A、B两点（点A在第一象限），若=3，则直线l的斜率为（）A．2B．C．D．【分析】作出抛物线的准线，设A、B在l上的射影分别是C、D，连接AC、BD，过B作BE⊥AC于E．由抛物线的定义结合题中的数据，可算出Rt△ABE中，cos∠BAE=，得∠BAE=60°，即直线AB的倾斜角为60°，从而得到直线AB的斜率k值．【解答】解：作出抛物线的准线l：x=﹣1，设A、B在l上的射影分别是C、D，连接AC、BD，过B作BE⊥AC于E．∵=3，∴设AF=3m，BF=m，由点A、B分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得AC=3m，BD=m．因此，Rt△ABE中，cos∠BAE=，得∠BAE=60°所以，直线AB的倾斜角∠AFx=60°，得直线AB的斜率k=tan60°=，故选：D．【点评】本题给出抛物线的焦点弦被焦点分成3：1的比，求直线的斜率k，着重考查了抛物线的定义和简单几何性质，直线的斜率等知识点，属于中档题．9．设点M（3，4）在圆x2+y2=r2（r＞0）外，若圆O上存在点N，使得，则实数r的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：如图，要使圆O：x2+y2=r2（r＞0）上存在点N，使得∠OMN=，则∠OMN的最大值大于或等于时一定存在点N，使得∠OMN=，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时OM=5，ON=，又点M（3，4）在圆x2+y2=r2（r＞0）外，∴实数r的取值范围是．故选：C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．10．已知P﹣ABC是正四面体（所有棱长都相等的四面体），E是PA中点，F是BC上靠近B的三等分点，设EF与平面PAB，平面PAC，平面PBC所成角分别为α，β，γ，则（）A．β＞γ＞αB．γ＞β＞αC．α＞β＞γD．α＞γ＞β【分析】取AC中点G，连结PG，过B作BO⊥平面PAC，交PG于点O，在平面PAC中过O作OD ∥AC，交PA于D，以O为原点，OP为x轴，OD为y轴，OB为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出α＞γ＞β．【解答】解：解：取AC中点G，连结PG，过B作BO⊥平面PAC，交PG于点O，在平面PAC中过O作OD∥AC，交PA于D，设正四面体棱长为2，则OG===，PO=PG=，BO==，以O为原点，OP为x轴，OD为y轴，OB为z轴，建立空间直角坐标系，则P（，0，0），A（﹣，1，0），B（0，0，），C（﹣，﹣1，0），E（，，0），F（﹣，﹣，），=（﹣，﹣，），=（﹣，1，0），=（﹣，0，），=（﹣，﹣1，0），∵EF与PA、PB、PC所成角分别为α、β、γ，∴cosα==0，∴α=90°，cosβ===，cosγ===，∴α＞γ＞β．故选：D．【点评】本题考查异面直线所成角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分．11．（6分）圆x2+y2﹣4x=0的圆心坐标是（2，0）；半径为2．【分析】把圆的一般方程化为标准方程，可得它的圆心坐标和半径．【解答】解：圆x2+y2﹣4x=0，即（x﹣2）2+y2 =4，它的圆心坐标是（2，0），半径等于2，故答案为：（2，0）；2．【点评】本题主要考查把圆的一般方程化为标准方程的方法，属于基础题．12．（6分）抛物线x2=4y的焦点坐标是（0，1）；准线方程为y=﹣1．【分析】由抛物线方程可得2p=4，即p=2，由焦点（0，），准线方程y=﹣，计算可得所求．【解答】解：抛物线x2=4y的2p=4，即p=2，可得焦点为（0，1），准线方程为y=﹣1．故答案为：（0，1），y=﹣1．【点评】本题考查抛物线的方程和性质，记住焦点坐标和准线方程是解题的关键，属于基础题．13．（6分）直线l1：mx+y﹣2=0，直线l2：x﹣2y+2=0，若l1∥l2，则实数m=﹣；l2关于x 轴对称的直线方程为x+2y+2=0．【分析】根据两直线平行，斜率相等，即可求出m的值，设出直线方程上任一点坐标为（x，y），则关于x轴对称的坐标（x，﹣y）在直线x﹣2y+2=0，带入可得答案【解答】解：直线l1：mx+y﹣2=0，直线l2：x﹣2y+2=0，若l1∥l2，则﹣m=，即m=﹣，由题意，设所求直线方程上任一点坐标为（x，y），则关于x轴对称的坐标（x，﹣y）∵（x，﹣y）在直线x﹣2y+2=0，∴x+2y+2=0，即所求直线方程为x+2y+2=0，故答案为：﹣，x+2y+2=0【点评】本题考查了直线平行和斜率的关系，直线关于x轴对称直线方程的求法，属于基础题．14．（6分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是3cm3，表面积是11+cm2．【分析】由题意，直观图为以正视图为底面的直三棱柱，由图中数据可得该几何体的体积，表面积．【解答】解：由题意，直观图为以正视图为底面的直三棱柱，由图中数据可得该几何体的体积是=3cm3，表面积是（2+2+1+）×1+2×=11+cm2．故答案为3cm3，11+．【点评】本题考查圆三视图求面积、体积，考查学生的计算能力，确定直观图的形状是关键．15．（6分）双曲线的一个焦点到其渐近线距离为3，则实数k的值为﹣9．【分析】根据题意，由双曲线的方程分析可得双曲线的焦点位置，则设其焦点坐标为（±c，0），求出其渐近线方程，结合题意可得d==3，解可得k的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为，必有k＜0，其焦点在x轴上，设其焦点坐标为（±c，0），则c2=4﹣k，其渐近线方程为：y=±x，即2y±x=0，若双曲线的一个焦点到其渐近线距离为3，假设（c，0）到渐近线2y+x=0的距离为d，则有d==3，解可得k=﹣9；故答案为：﹣9．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的方程不是标准方程，其次要正确求出其焦点到渐近线的距离．16．（3分）E是正方形ABCD的边CD的中点，将△ADE绕AE旋转，则直线AD与直线BE所成角的余弦值的取值范围是[，）【分析】由题意画出图形，求出△ADE没有旋转及将△ADE绕AE旋转，使面AED与平面ABCD重合时AD与BE的平行线AF所成角，则答案可求．【解答】解：如图，在平面ABCD内，过A作AF∥BE交CD的延长线于F，设正方形ABCD的边长为2，当△ADE没有旋转时，在Rt△ADF中，可得DF=1，AF=，∴cos∠FAD=；当将△ADE绕AE旋转，使面AED与平面ABCD重合时，此时求得DD′=，在△DAD′中，由AD=AD′=2，DD′=，由余弦定理可得：cos∠DAD′==．∴直线AD与直线BE所成角的余弦值的取值范围是[，）．故答案为：[，）．【点评】本题考查空间中异面直线所成角，考查空间想象能力与思维能力，训练了余弦定理的应用，是中档题．17．（3分）若点P（x，y）在圆x2+y2+10x+10y+45=0上，则代数式的最大值是1．【分析】将代数式分成两部分x﹣和，设x﹣=t，=k，分别求出t与k的最大值，以及取最大值的条件，结果它们取最大值的条件相同，所以t与k都取最大值时，所求代数式取最大值．【解答】解：∵圆x2+y2+10x+10y+45=0，即（x+5）2+（y+5）2=5是以（5，5）为圆心，以为半径的圆，因为代数式=x﹣y+，令=k，x﹣2y=t，因为k表示原点O与P点连线的斜率，所以当直线OP与圆相切时，=，解得k=或k=2，所以k的最大值为2，此时联立直线与圆可解得x=﹣3，y=﹣6，因为直线x﹣y﹣t=0与圆有交点，所以≤，解得﹣5≤t≤0，所以t的最大值为0，此时x﹣y=0，可解得切点为（﹣3，﹣6），由于k和t取最大值时得条件相同，都是x=﹣3，y=﹣6，所以代数式的最大值为2×+0=1．故答案为：1．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系．属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）已知直线l过点M（﹣3，3），圆C：x2+y2+4y+m=0（m∈R）．（Ⅰ）求圆C的圆心坐标及直线l截圆C弦长最长时直线l的方程；（Ⅱ）若过点M直线与圆C恒有公共点，求实数m的取值范围．【分析】第一步利用直径为最长弦；第二步利用点与圆的位置关系．【解答】解：（Ⅰ）圆C方程标准化为：x2+（y+2）2=4﹣m∴圆心C的坐标为（0，﹣2）直线l截圆C弦长最长，即l过圆心，故此时l的方程为：，整理得：5x+3y+6=0；（Ⅱ）若过点M的直线与圆C恒有公共点，则点M在圆上或圆内，∴（﹣3）2+32+4×3+m≤0，得m≤﹣30．【点评】此题考查了直线与圆，点与圆的位置关系．19．（15分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点．（Ⅰ）证明A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）若C1C=CA=2，求直线AB与平面ADC1所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）以C为原点，在平面ABC中过C作BC的垂线为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明A1B∥平面ADC1．（Ⅱ）以C为原点，在平面ABC中过C作BC的垂线为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面ADC1所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）以C为原点，在平面ABC中过C作BC的垂线为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=a，CC1=b，则A1（，，b），B（0，a，0），A（，，0），D（0，，0），C1（0，0，b），=（﹣，，﹣b），=（，0，0），=（0，﹣，b），设平面ADC1的法向量=（x，y，z），则，取y=2，得=（0，2，），∵=0+a﹣a=0，A1B⊄平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1．解：（Ⅱ）以C为原点，在平面ABC中过C作BC的垂线为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，∵C1C=CA=2，∴A（，，0），B（0，，0），D（0，，0），C1（0，0，2），=（，0，0），=（0，﹣，2），=（﹣，，0），设平面ADC1的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（0，2，1），设直线AB与平面ADC1所成角为θ，则si nθ===．∴直线AB与平面ADC1所成角的正弦值为．【点评】本题考查线面平面的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20．（15分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=3的圆心在直线y=x+1上．（Ⅰ）若圆C与y轴相切，求圆C的方程；（Ⅱ）当a=0时，问在y轴上是否存在两点A，B，使得对于圆C上的任意一点P，都有|PA|=|PB|，若有，试求出点A，B的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）圆与y轴相切，推出|a|=；（Ⅱ）假设存在满足题意的A、B、P，设出这三个点的坐标，然后由两点间的距离公式将几何条件|PA|=|PB坐标化，整理后对y恒成立两边对应项系数相等，列方程组解出y1，y2，即可求出．【解答】解：∵圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=3的圆心（a，b）在直线y=x+1上，∴b=+1，（I）∵圆C与y轴相切，∴|a|=，∴，，故所求圆C的方程，或，（II）∵a=0，b==1，∴圆的方程为x2+（y﹣1）2=3，∴x2+y2=2y+2，假设在y轴上存在两点A（0，y1）、B（0，y2），使得对于圆C上的任意一点P，都有|PA|=|PB|，设P（x，y），则由|PA|=|PB得x2+（y﹣y1）2=3[x2+（y﹣y2）2]，∴x2+y2﹣2y1y+y12=3（x2+y2﹣2y2y+y22，2y+2﹣2y1y+y12=3（2y+2﹣2y2y+y22），依题意此方程对y恒成立，故，解得或，故在y轴上存在两点A（0，﹣2）、B（0，0），或A（0，4）、B（0，2），使得对于圆C上的任意一点P，都有|PA|=|PB．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系．属中档题．21．（15分）如图，四面体ABCD中，△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，△BCD是边长为2的正三角形．（Ⅰ）当AD为多长时，AC⊥BD？（Ⅱ）当二面角B﹣AC﹣D为时，求AD的长．【分析】（Ⅰ）取BD中点O，连接AO，CO，利用等腰直角三角形与正三角形的性质可得：BD⊥平面AOC，即可得出．（Ⅱ）如图所示，取BC的中点F，连接DF．利用等腰直角三角形与正三角形的性质可得BC⊥平面ADF．经过D点作DE⊥AF，垂足为E，可得DE⊥平面ABC．假设作EC′⊥AC，垂足为C′．设DE=x，EF=y．可得x2+y2=DF2=3，x=，解得x=，y=1．可得点C′与点C重合．可得：∠DCE为二面角B﹣AC﹣D的平面角，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）取BD中点O，连接AO，CO，∵△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，△BCD是边长为2的正三角形．∴BC=CD=BD=2，AB=AC=，∴CO⊥BD，当AC⊥BD时，由AC∩CO=C，得BD⊥平面AOC，∵AO⊂平面AOC，∴AO⊥BD，∴AD=AB=，∴当AD为时，AC⊥BD．（Ⅱ）如图所示，取BC的中点F，连接DF．∵△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，△BCD是边长为2的正三角形．∴BC⊥AF，BC⊥DF．又AF∩DF=F．AC=，DF=．∴BC⊥平面ADF．经过D点作DE⊥AF，垂足为E，则DE⊥平面ABC．假设作EC′⊥AC，垂足为C′．设DE=x，EF=y．则x2+y2=DF2=3，x=，解得x=，y=1．∴=2，因此点C′与点C重合．可得：∠DCE为二面角B﹣AC﹣D的平面角，为，∴AD==．【点评】本题考查空间位置关系、等腰三角形与等边三角形的性质、空间角，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于难题．22．（15分）已知椭圆的离心率为，且过点B（0，1）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若点A是椭圆的右顶点，点P（x0，y0）（y0＞1）在以AB为直径的圆上，延长PB交椭圆E 于点Q，求|BP|•|BQ|的最大值．【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和b=1，结合基本量的关系，可得a，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）可得A（2，0），又B（0，1），求得圆方程和设PQ的参数方程为（t为参数，α为锐角），分别代入圆方程和椭圆方程，可得|BP|，|BQ|，再由换元法和判别式法，解不等式可得最大值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆的离心率为，且过点B（0，1），可得b=1，e==，a2﹣b2=c2，解得a=2，c=，则椭圆E的方程为+y2=1；（Ⅱ）可得A（2，0），又B（0，1），可得以AB为直径的圆方程为x2+y2﹣2x﹣y=0，设PQ的参数方程为（t为参数，α为锐角），代入圆方程可得t2+t（sinα﹣2cosα）=0，可得|BP|=t1=2cosα﹣sinα，将直线的参数方程代入椭圆方程可得：t2（cos2α+4sin2α）+8tsinα=0，可得|BQ|=，则|BP|•|BQ|==，设t=tanα＞0，设上式为y=f（t）=，即有（4y+8）t2﹣16t+y=0，y＞0，△≥0，即为256﹣4y（4y+8）≥0，解得0＜y≤﹣1，则|BP|•|BQ|的最大值为﹣1．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式，考查直线的参数方程的运用和参会时的几何意义，以及换元思想和判别式法，考查运算能力，属于中档题．。

浙江省绍兴市高二上学期期末数学试卷(理科)

浙江省绍兴市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）已知随机变量X的分布列为，则P（2＜X≤4）=（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高一下·新余期末) 某初级中学领导采用系统抽样方法，从该校预备年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数k= =16，即每16人抽取一个人．在1～16中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从33～48这16个数中应取的数是（）A . 40B . 39C . 38D . 373. （2分） (2016高二上·芒市期中) 如图是某校举行歌唱比赛时，七位评委为某位选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数和平均数依次为（）A . 87，86B . 83，85D . 82，864. （2分）如图是将二进制数11111（2）化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A . i≤5B . i≤4C . i＞5D . i＞45. （2分）某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（）A . 9B . 18C . 27D . 366. （2分）若样本a1 ， a2 ， a3的方差是a，则样本3a1+1，3a2+1，3a3+1的方差为（）A . 3a+1B . 9a+1D . 9a7. （2分） (2016高二下·三门峡期中) 已知随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），若P（ξ＞2）=0.023，则P（﹣2＜ξ≤2）=（）A . 0.477B . 0.628C . 0.954D . 0.9778. （2分）甲、乙两人参加一次射击游戏，规则规定，每射击一次，命中目标得2分，未命中目标得0分．已知甲、乙两人射击的命中率分别为和p，且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为2的概率是．假设甲、乙两人射击是相互独立的，则p的值为（）A .B .C .D .9. （2分）(2016·上饶模拟) 已知（2x2+4x+3）6=a0+a1（x+1）2+a2（x+1）4+…+a6（x+1）12 ，则a0+a2+a4+a6的值为（）A .B .C .D .10. （2分）已知．若在区域A中随机的扔一颗豆子，求该豆子落在区域B中的概率为（）A .B .C .D .11. （2分）下列所给程序框图，当x＝1 250时输出结果为（）A . 20B . 25C . 30D . 4012. （2分）若数列满足规律：，则称数列为余弦数列，现将1,2,3,4,5排列成一个余弦数列的排法种数为（）A . 12B . 14C . 16D . 18二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分），则n=________．14. （1分）将38化成二进制数为________ ．15. （1分）(2016·四川理) 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是________ ．16. （1分） (2018高二下·牡丹江月考) 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件．再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件。

浙江省绍兴市高二上学期期末数学试卷(理科)

浙江省绍兴市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）(2018·吉林模拟) 命题“ ，”的否定为（）A . ，B . ，C .D .2. （2分）已知双曲线，则它的渐近线的方程为（）A .B .C .D .3. （2分）在正项等比数列{an}中，若a2a6a10=8，则a6=（）A .B . 1C . 2D . 44. （2分） (2017高一下·孝感期末) 下列说法正确的是（）A . 零向量没有方向B . 单位向量都相等C . 任何向量的模都是正实数D . 共线向量又叫平行向量5. （2分）且是的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分） (2019高二上·阜阳月考) 点、为椭圆长轴的端点，、为椭圆短轴的端点，动点满足，若面积的最大值为8，面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高一下·承德期末) 已知变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为（）A .B . 1C . ﹣2D .8. （2分） (2016高二上·临川期中) 已知椭圆，过椭圆右焦点F的直线L交椭圆于A、B两点，交y轴于P点．设，则λ1+λ2等于（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高二上·和平期中) 设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A . 5B . 7C . 9D . 1110. （2分） (2018高二下·南宁月考) 已知双曲线（，），过其左焦点作轴的垂线，交双曲线于、两点，若双曲线的右顶点在以为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2016高二下·桂林开学考) 已知F1 ， F2是椭圆的两焦点，P为椭圆上一点，若∠F1PF2=60°，则离心率e的范围是________．12. （1分） (2017高三·银川月考) 设数列满足，点对任意的，都有向量，则数列的前n项和 ________.13. （1分）(2018·安徽模拟) 在锐角中，，，，则的面积是________．14. （1分） E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA的中点，若对角线BD=2，AC=4，则EG2+HF2的值为________．15. （1分） (2016高二上·张家界期中) 已知命题p：“函数在R上有零点”，命题q：函数f（x）= 在区间（1，+∞）内是减函数，若p∧q为真命题，则实数m的取值范围为________．三、解答题 (共6题；共55分)16. （10分） (2018高三上·长春期中) 已知向量m＝(3sin A，cos A)，n＝，m·n＝sin 2C，且A、B、C分别为△ABC三边a、b、c所对的角．（1）求角C的大小；（2）若sin A，sin C，sin B成等比数列，且，求c的值．17. （10分） (2015高二上·济宁期末) 已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣1（a∈R）．（1）若对任意实数x，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a＞0时，解关于x的不等式f（x）＜2x﹣3．18. （10分） (2015高二下·伊宁期中) 如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．（1）求证：AC⊥SD；（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P﹣AC﹣D的大小．19. （10分） (2017高一下·苏州期末) 某生态公园的平面图呈长方形（如图），已知生态公园的长AB=8（km），宽AD=4（km），M，N分别为长方形ABCD边AD，DC的中点，P，Q为长方形ABCD边AB，BC（不含端点）上的一点．现公园管理处拟修建观光车道P﹣Q﹣N﹣M﹣P，要求观光车道围成四边形（如图阴影部分）的面积为15（km2），设BP=x （km），BQ=y（km），（1）试写出y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；（2）若B为公园入口，P，Q为观光车站，观光车站P位于线段AB靠近入口B的一侧．经测算，每天由B入口至观光车站P，Q乘坐观光车的游客数量相等，均为1万人，问如何确定观光车站P，Q的位置，使所有游客步行距离之和最大，并求出最大值．20. （5分） (2016高三上·日照期中) 设等差数列{an}的前n项和为Sn ，且Sn= nan+an﹣c（c是常数，n∈N*），a2=6．（Ⅰ）求c的值及数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn= ，数列{bn}的前n项和为Tn ，若2Tn＞m﹣2对n∈N*恒成立，求最大正整数m的值．21. （10分） (2016高二下·信宜期末) 已知直线 x+y﹣ =0经过椭圆C： + =1（a＞b＞0）的右焦点和上顶点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点（0，﹣2）的直线l与椭圆C交于不同的A，B两点，若∠AOB为钝角，求直线l的斜率k的取值范围．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共55分) 16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、。

2017-2018学年高二上期末数学试卷(含答案解析)

2017-2018学年高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）在等差数列51、47、43，…中，第一个负数项为（）A．第13项 B．第14项 C．第15项 D．第16项2．（5分）在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则角A为（）A．B．C． D．或3．（5分）已知命题p：??{0}，q：{1}∈{1，2}，由它们组成的“ｐ∨q”，“ｐ∧q”形式的复合命题中，真命题有（）个．和“?p”A．0 B．1 C．2 D．34．（5分）双曲线=﹣1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．（5分）在△ABC中，a=8，B=60°，C=75°，则b=（）A．B．C．D．6．（5分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．7．（5分）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）A．14 B．21 C．28 D．358．（5分）准线方程为x=1的抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣2x B．y2=﹣4x C．y2=2x D．y2=4x9．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．410．（5分）”ｍ＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．12．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为（）A．12 B．10 C．8 D．2二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）数列{a n}的通项公式是a n=（n∈N*），则a3=．14．（5分）求y=x3+3x2+6x﹣10的导数y′＝．15．（5分）若在△ABC中，∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=．﹣sinx；③（）16．（5分）有下列命题：①（log a x）；②（cosx）′＝；其中是真命题的有：．（把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题（本大题共7小题，满分70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是．（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面积．18．（12分）命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的正实数根；命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实数根，若“ｐ或q”为真命题，求m的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+x+b，其中a，b∈R，a≠0，又y=f（x）在x=1处的切线方程为2x+y+1=0，求函数f（x）的解析式．20．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x，求函数f（x）在[﹣3，]上的最大值和最小值．21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2a n﹣2n（n∈N+），令b n=．（1）求证：数列{b n}为等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式．22．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P 在此椭圆上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=，|PF2|=．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l过圆x2+y2+4x﹣2y=0的圆心M且交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程．23．（理科）如图，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1，另一个侧面ABC是正三角形．（1）求证：AD⊥BC；（2）求二面角B﹣AC﹣D的余弦值．2017-2018学年甘肃省白银市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）在等差数列51、47、43，…中，第一个负数项为（）A．第13项 B．第14项 C．第15项 D．第16项【解答】解：因为数列51、47、43，…为等差数列，所以公差d=47﹣51=﹣4，首项为51，所以通项a n=51+（n﹣1）×（﹣4）=55﹣4n所以令55﹣4n＜0解得n＞，因为n为正整数，所以最小的正整数解为14，所以第一个负数项为第14项故选B2．（5分）在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则角A为（）A．B．C． D．或【解答】解：由a2=b2+c2+bc，则根据余弦定理得：cosA===﹣，因为A∈（0，π），所以A=．故选C3．（5分）已知命题p：??{0}，q：{1}∈{1，2}，由它们组成的“ｐ∨q”，“ｐ∧q”和“?p”形式的复合命题中，真命题有（）个．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：因为??{0}，所以命题p为真．因为：{1}?{1，2}，所以命题q为假．所以p∨q为真，p∧q为假，?p为假．故真命题的个数为1个．故选B．4．（5分）双曲线=﹣1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：化已知双曲线的方程为标准方程，可知焦点在y轴，且a=3，b=2，故渐近线方程为y==故选A5．（5分）在△ABC中，a=8，B=60°，C=75°，则b=（）A．B．C．D．【解答】解：由内角和定理得：A=180°﹣60°﹣75°=45°，根据正弦定理得：=，又a=8，sinA=，sinB=，则b===4．故选C6．（5分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．【解答】解：因为3a?3b=3，所以a+b=1，，当且仅当即时“=”成立，故选择B．7．（5分）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）A．14 B．21 C．28 D．35【解答】解：a3+a4+a5=3a4=12，a4=4，∴a1+a2+…+a7==7a4=28故选C8．（5分）准线方程为x=1的抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣2x B．y2=﹣4x C．y2=2x D．y2=4x【解答】解：由题意可知：=1，∴p=2且抛物线的标准方程的焦点在x轴的负半轴上故可设抛物线的标准方程为：y2=﹣2px将p代入可得y2=﹣4x．故选：B．9．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4【解答】解：由椭圆a=，b=，c2=a2﹣c2=4，则椭圆的焦点右焦点F（2，0），由抛物线y2=2px的焦点，则=2，则p=4，故选：D．10．（5分）”ｍ＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：将方程mx2+ny2=1转化为，根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足，且，即m＞n＞0反之，当m＞n＞0，可得出＞0，此时方程对应的轨迹是椭圆综上证之，”ｍ＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件故选C．11．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．【解答】解：由导函数图象可知，f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增，故选A．12．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为（）A．12 B．10 C．8 D．2【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=4x+2y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+的截距最大，此时z最大．由，解得，即C（2，1），代入目标函数z=4x+2y得z=4×2+2×1=10．即目标函数z=4x+2y的最大值为10．故选：B二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）数列{a n}的通项公式是a n=（n∈N*），则a3=．【解答】解：∵a n=（n∈N*），∴a3==，故答案为：．14．（5分）求y=x3+3x2+6x﹣10的导数y′＝3x2+6x+6，．【解答】解：函数的导数为y′=3x2+6x+6，故答案为：3x2+6x+6，15．（5分）若在△ABC中，∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=．【解答】解：由∠A=60°，得到sinA=，cosA=，又b=1，S△ABC=，∴bcsinA=×1×c×=，解得c=4，根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣4=13，解得a=，根据正弦定理====，则=．故答案为：﹣sinx；③（）16．（5分）有下列命题：①（log a x）；②（cosx）′＝；其中是真命题的有：②．（把你认为正确命题的序号都填上）【解答】解：①（log a x）′＝；故①错误，﹣sinx；故②正确，②（cosx）′＝③（）′＝，故③错误，故真命题为②，故答案为：②三、解答题（本大题共7小题，满分70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是．（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，cosA=．B=则：sinA=，所以：sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，=．（2）利用正弦定理得：，由于：B=，b=，sinA=，解得：a=，所以：，=．18．（12分）命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的正实数根；命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实数根，若“ｐ或q”为真命题，求m的取值范围．【解答】解：∵“ｐ或q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，当p为真命题时，则，解得m＜﹣2，当q为真命题时，则△=16（m+2）2﹣16＜0，得﹣3＜m＜﹣1．当p真q假时，得m≤﹣3．当q真p假时，得﹣2≤m＜﹣1．当p真q真时，﹣3＜m＜﹣2综上，m＜﹣1．∴m的取值范围是（﹣∞，﹣1）．19．（12分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+x+b，其中a，b∈R，a≠0，又y=f（x）在x=1处的切线方程为2x+y+1=0，求函数f（x）的解析式．【解答】解：函数f（x）=ax3﹣3x2+x+b，则：f′（x）=3ax2﹣6x+1，由于：y=f（x）在x=1处的切线方程为2x+y+1=0，则：f′（1）=﹣2，即：3a﹣6+1=﹣2，解得：a=1．又：当x=1时，y=﹣3，则（1，﹣3）满足函数f（x）=x3﹣3x2+x+b，解得：b=﹣2．故函数的解析式为：f（x）=x3﹣3x2+x﹣2．20．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x，求函数f（x）在[﹣3，]上的最大值和最小值．【解答】解：f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，故f（x）在[﹣3，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，在（1，]递增，而f（﹣3）=﹣27+9=﹣18，f（﹣1）=2，f（1）=﹣2，f（）=﹣，故函数的最大值是2，最小值是﹣18．21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2a n﹣2n（n∈N+），令b n=．（1）求证：数列{b n}为等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式．【解答】（1）证明：由S n=2a n﹣2n（n∈N+），n=1时，a1=S1=2a1﹣2，解得a1=2．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2n﹣（），化为：a n﹣2a n﹣1=2n﹣1，化为：﹣=．令b n=．则b n﹣b n﹣1=，b1==1．∴数列{b n}为等差数列，首项为1，公差为．（2）解：由（1）可得：b n=1+（n﹣1）==．∴a n=（n+1）?2n﹣1．22．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P 在此椭圆上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=，|PF2|=．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l过圆x2+y2+4x﹣2y=0的圆心M且交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）因为点P在椭圆C上，所以2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3．在Rt△PF1F2中，，故椭圆的半焦距c=，从而b2=a2﹣c2=4，所以椭圆C的方程为=1．（Ⅱ）解法一：设A，B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．已知圆的方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5，所以圆心M的坐标为（﹣2，1）．从而可设直线l的方程为y=k（x+2）+1，代入椭圆C的方程得（4+9k2）x2+（36k2+18k）x+36k2+36k﹣27=0．因为A，B关于点M对称．所以．解得，所以直线l的方程为，即8x﹣9y+25=0．（经检验，所求直线方程符合题意）（Ⅱ）解法二：已知圆的方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5，所以圆心M的坐标为（﹣2，1）．设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．由题意x1≠x2且，①，②由①﹣②得．③因为A、B关于点M对称，所以x1+x2=﹣4，y1+y2=2，代入③得=，即直线l的斜率为，所以直线l的方程为y﹣1=（x+2），即8x﹣9y+25=0．（经检验，所求直线方程符合题意．）23．（理科）如图，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1，另一个侧面ABC是正三角形．（1）求证：AD⊥BC；（2）求二面角B﹣AC﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）方法一：作AH⊥面BCD于H，连DH．AB⊥BD，HB⊥BD，又AD=，BD=1，∴AB==BC=AC，∴BD⊥DC，又BD=CD，则BHCD是正方形，则DH⊥BC，∴AD⊥BC．方法二：取BC的中点O，连AO、DO，则有AO⊥BC，DO⊥BC，∴BC⊥面AOD，∴BC⊥AD（2）作BM⊥AC于M，作MN⊥AC交AD于N，则∠BMN就是二面角B﹣AC﹣D的平面角，因为AB=AC=BC=，∵M是AC的中点，则BM=，MN=CD=，BN=AD=，由余弦定理可求得cos∠BMN=，∴二面角B﹣AC﹣D的余弦值为．。

2017-2018学年浙江省绍兴市上虞区高二(上)期末数学试卷(精品版)

浙江省绍兴市第一学期高中期末调研测试高二数学试题

2018学年第一学期高中期末调测高二数学一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 直线310x y -+=的斜率是( ) A. 3B. 3-C.13D. 13-2. 已知α∈R ，则“cos 2α=-”是“526k παπ=+，k Z ∈”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是 ( )A. 2B. 1C.23D.134. 已知方程22194x y k k +=--的曲线是焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是（）A. 49k <<B. 1342k <<C.1392k << D. 49k <<且132k ≠5. 已知椭圆222116x y a +=上的一点P 到两个焦点距离之和为10，则2=a （）A. 5B. 10C. 15D. 256. 直线390ax y +-=与直线30x y b -+=关于原点对称，则,a b 的值是( ) A. 1a =-，9b =- B. 1a =-，9b = C. 1a =，9b =-D. 1a =，9b =7. 已知圆221:4C x y +=与圆222:(3)(4)9C x y -++=，则圆1C 与圆2C 位置关系（）A. 外离B. 外切C. 相交D. 内含8. 一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是（） A. 相等B. 互补C. 相等或互补D. 不确定9. 在ABC ∆中，2AB AC =,AD 是A ∠平分线，且AC tAD =,则t 的取值范围是( )A. 3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B. 41,3⎛⎫⎪⎝⎭C. 30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 3,14⎛⎫⎪⎝⎭10. 在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，点E ,O 分别是线段1,D D DB 的中点，111(0)2A F A A λλ=<<,分别记二面角1F OB E --,1F OE B --,1F EB O --的平面角为α，β，γ，则下列结论正确的是( ) A. γβα>>B. αβγ>>C. αγβ>>D. γαβ>>二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。

2018-2019学年浙江省绍兴市上虞区高二(上)期末数学试卷

2018-2019 学年浙江省绍兴市上虞区高二（上）期末数学试卷副标题题号一二三总分得分、选择题（本大题共 10小题，共 40.0 分）直线 x+3y+4=0 的倾斜角大小是（D.5. 已知双曲线 - =1 的一个焦点在直线 x+y=5 上，则双曲线的渐近线方程为（6. 由曲线 x 2+y 2=2|x|+2|y|围成的图形的面积为（）A. 4+2 πB. 4+4πC. 8+2πD. 8+4 π 7. 直线 ax+3y-9=0 与直线 x-3y+b=0 关于原点对称，则 a ，b 的值是（）A. a=1，b=9B. a=-1 ， b=9C. a=1 ， b=-9D. a=-1， b=-9 8. 如果直线 l ，m 与平面 α， β，γ满足 β∩γl ，=l ∥α， m? α，m ⊥γ，那么必有（）A. m ∥β，且 l ⊥mB. α∥β，且 α⊥γC. α∥β，且 l ⊥mD. α⊥γ，且 l ⊥m9. 点 M （x ，y ）在曲线 C ：x 2-4x+y 2-21=0 上运动， t=x 2+y 2+12x-12y-150-a ，且t 的最大值为 b ，则 a 2+b 2的最小值为（）A. B. C. 9 D. 31.2. 3. 4. A. -B. C. D.椭圆的焦距为（A. 设 A. C. 1B. 2 α， β是两个不同的平面，充分而不必要条件充分必要条件 C. m 是直线且 m? B. D.D. 4α∥β”的（ α，“ m ∥β“是“ α 必要而不充分条件既不充分也A. B. C.A. y=±xB. y=±x如图，在正方体中点，则异面直线已知 A ，B ，C 是椭圆 + =1（a>b>0）上的三个点，直线 AB 经过原点 O ，直线AC 经过椭圆右焦点 F ，若 BF ⊥AC ，且 |BF|=5|CF|，则椭圆的离心率是（）A. B. C. D.填空题（本大题共 7 小题，共 36.0 分）已知直线 l 1： 3x+4 y-3=0 与直线 l 2：6x+my+14=0 平行，则 m= ，它们之间的距离是．已知抛物线 C ： x 2=4 y ，则其焦点坐标为_____________________________________ ，直线 y=x+1 与抛物线 C 交于 A ，B两点，则 |AB|= ．某几何体的三视图如图所示（单位： cm ），则该几何体的体积是 cm 3，表面积是 _________ cm 2．若点 P （ x ，y ）在不等式组表示的平面区域 Ω上运动，若区域 Ω表示一个三角形，则实数 a 的取值范围是 ___________________________ ，若 a=2，则 x+2y 的最大值是 _________ ．已知一水平放置的三角形的平面直观图是边长为 1的正三角形，那么原三角形的面积为．在三棱锥 ABCD 中， AB=CD=6，AC=BD=AD=BC=5，则该三棱锥的外接球的表面积为__ ．若不全为零的实数 a ，b ，c 成等差数列，点 A （ 1，2）在动直线 l ：ax+by+c=0 上的射影为 P ，点 Q 在直线 3x-4y+12=0 上，则线段 PQ 长度的最小值是 ________________________________________________________ ．解答题（本大题共 5 小题，共 74.0 分）已知△ABC 中，A （2，2），B （-4，0），C （3，-1）， AD ⊥BC ，垂足为 D ．（ Ⅰ）求直线 AD 的方程；（Ⅱ）求过点 D 且平行于边 AC 的直线方程．10.二、 11.12.13. 14.15.16. 17.三、 18.19.如图，正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都相D 为 AC 的等，中点．（Ⅰ）求证： AB1∥平面 C1BD；（Ⅱ）求证：平面 BDC1⊥平面 AA1C1C．20.已知圆 C过 A（-2，2），B（2，6）两点，且圆心 C在直线 3x+y=0上．（Ⅰ）求圆 C 的方程；（Ⅱ）若直线 l过点 P（ 0， 5）且被圆 C截得的线段长为 4 ，求 l 的方程．21.如图，在三棱锥 P-ABC 中，AB=BC，AP=PC，∠ABC=60 °， AP⊥PC ，直线 BP 与平面 ABC 成θ角．（Ⅰ）若平面 PAC⊥平面 ABC 时，求θ；（Ⅱ）若θ=30°，求二面角 P-AB-C 的余弦值．22.已知椭圆 E： + =1（a>b>0）的离心率为 e= ，且短轴的一个端点 B 与两焦点A， C 组成的三角形面积为．（Ⅰ）求椭圆 E 的方程；（Ⅱ）若点 P为椭圆 E 上的一点，过点 P 作椭圆 E的切线交圆 O：x2+y2=a2于不同的两点 M，N（其中 M在N的右侧），求四边形 ACMN 面积的最大值．答案和解析1.【答案】 C 【解析】解：直线x+3y+4=0 的斜率为- ，∴直线x+3y+4=0 的倾斜角大小是，故选：C．求出直线的斜率，再求直线的倾斜角，本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，是基础题．2.【答案】 B【解析】解：椭圆，可得a=2，b= ，所以c= ，椭圆的焦距为：2c=2．故选：B．直接利用椭圆的标准方程．求解2c 即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．3.【答案】 B【解析】解：m? α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m 和α，β的交线平行即可得到m∥β；α∥β，m? α，∴m 和β没有公共点，∴m ∥β，即α∥β能得到m∥β；∴“m∥β”是“∥αβ”的必要不充分条件．故选：B．m∥β并得不到α∥β，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，而α∥β，并且m? α，显然能得到m∥β，这样即可找出正确选项．考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念．4.【答案】 C【解析】∴异面直线DE与B1C所成角的余弦值为，∴异面直线DE与B1C所成角的大小为：30°，故选：C．建立空间直角坐标系，先求向量，，夹角的余弦值，可得异面直线所成角的余弦值，可得答案．本题考查异面直线所成的角，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题5.【答案】 B【解析】解：根据题意，双曲线的方程为- =1，则其焦点在x 轴上，直线x+y=5 与x 轴交点的坐标为（5，0），则双曲线的焦点坐标为（5，0），则有9+m=25，解可得，m=16，则双曲线的方程为：- =1，其渐近线方程为：y=± x，故选：B．根据题意，由双曲线的方程可以确定其焦点在位置，由直线的方程可得直线与x 轴交点的坐标，即可得双曲线焦点的坐标，由双曲线的几何性质可得9+m=25，解可得m的值，即可得双曲线的标准方程，进而由双曲线的渐近线方程计算可得答案．本题考查双曲线的几何性质，关键是求出焦点的坐标，确定m的值．6.【答案】 D【解析】解：曲线x2+y2=2|x|+2|y|可化为（|x|-1）2+（|y|-1）2=2；由题意，作出图形如图所示；由曲线关于原点对称，当x≥0，y≥0时，解析式为（x-1）2+（y-1）2=2，则此曲线所围成的图形由一个边长为2的正方形与四个半径为的半圆组成，所围成的面积是2 ×2 +4× ×π（× ）2=8+4π．故选：D．根据题意作出图形，结合图形知曲线所围成的图形是一个正方形与四个半圆组成，由此求得面积．本题考查了圆的方程与应用问题，也考查了数形结合的应用问题，是中档题．7.【答案】 D【解析】解：直线ax+3y-9=0 上任意取点（m，n），关于原点对称点的坐标为（-m，-n），则∵点（m，n）是直线ax+3y-9=0 上任意一点∴a=-1，b=-9 故选：D．直线ax+3y-9=0上任意取点（m，n），关于原点对称点的坐标为（-m，-n），分别代入已知的直线方程，即可求得结论．本题考查直线的对称性，考查学生的计算能力，属于基础题．8. 【答案】 D【解析】解：∵m? α和 m⊥γ，∴α⊥γ， ∵l= β∩，γl ? γ．∴l⊥m．故选：D ．由 m? α和 m⊥γ知 α⊥γ，由l= β∩，γl? γ．知l ⊥m ，得到结果．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．9. 【答案】 B【解析】解：曲线 C ：（x-2）2+y 2=25，由 t=x 2+y 2+12x-12y-150-a=4x+21+12x-12y-150-a=16x-12y-129-a ，即 16x-12y-129-a-t=0，依题意直线16x-12y-129-a-t=0与圆有公共点，所以圆心到直线的距离 d=依题意得 3-a=b ，即a+b=3，∴a 2+b 2+2ab=9，∴9-（a 2+b 2）=2ab≤a 2+b 2，∴a 2+b 2（当且仅当 a=b= 时取等），故选：B ．问题转化为直线 16x-12y-129-a-a=0与圆有交点，转化为圆心到直线的距离小于等于半径，可得 t 的最大值为3-a ，所以a+b=3，再根据重要不等式可得结果．本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．10. 【答案】 C【解析】解：设椭圆的左焦点 F 1（-c ，0），连接 AF 1，BF 1，CF 1，设 |CF|=m ，由对称性可知：|AF 1|=|BF|=5m ，由椭圆的定义可知：≤5，即|t+a+97| ≤ 1，00即-197-a≤t ≤-a3，|AF|=2a-5m，|CF|=2a-m1由AF1∥BF，则AF1⊥AC，则△AF1C 中，由|AF1|2+|AC|2=|CF1|2，则25m2+（2a-4m）2=（2a-m）2，整理得：m= ，在Rt△AF1F 中，2 2 225m2+（2a-5m）2=（2c）2，将m= 代入，解得椭圆的离心率e= = ．故选：C．利用椭圆的定义及勾股定理求得a和c的关系，根据椭圆的离心率即公式即可求得椭圆E的离心率．本题考查椭圆的性质，直线与椭圆位置关系，考查勾股定理的应用，考查转化思想，属于中档题．11.【答案】 8 2【解析】解：直线l1：3x+4y-3=0 与直线l2：6x+my+14=0平行，则3m-4×6=0，解得m=8．直线l 2：6x+my+14=0 化为：3x+4y+7=0．∴它们之间的距离= =2．故答案为：8，2．利用直线平行与斜率之间的关系、点到直线的距离公式即可得出．本题考查了直线平行与斜率之间的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.【答案】（ 0，1） 8【解析】解：已知抛物线C：x2=4y，则其焦点坐标为（0，1），由，可得：x2-4x-4=0 ，直线y=x+1 与抛物线C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，所以x1+x2=4 ，x1，x2=-4，所以|AB|= = ．故答案为：（0，1），8．利用抛物线方程求解焦点坐标即可，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理以及弦长公式转化求解即可．本题考查抛物线的简单性质以及直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查计算能力．13.【答案】 5π +2【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为圆柱截去一部分，圆柱底面半径为1，母线长为2，则该几何体的体积V= cm3，表面积为cm2．故答案为：；5π+2．由三视图还原原几何体，可知几何体为圆柱截去一部分，圆柱底面半径为1，母线长为2，然后分别以圆柱的表面积公式及体积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．14.【答案】 a< 10 25【解析】解：由不等式组表示的平面区域Ω表示一个三角形，由，解得A（5，10），则实数a的取值范围是a<10；当a=2时，设z=x+2y，目标函数过点A时，z取值最大值为5+2×10=25．故答案为：a<10；25．由不等式组表示的平面区域Ω是一个三角形，画出图形结合图形知a的取值范围是什么；当a=2时，设z=x+2y，找出最优解，求出目标函数的最大值．本题考查了不等式组表示平面区域的应用问题，也考查了简单的线性规划应用问题，是基础题．15.【答案】【解析】解：△ABC 的直观图是边长为1 的正三角形A′B′，C′且△A′B′的C′面积为×1×= ，所以原△ABC的面积为2 × = ．故答案为：．根据平面图形的直观图与原图形的面积比为1：2 ，计算所求的面积即可．本题考查了平面图形与它的直观图面积的计算问题，是基础题．16.【答案】43 π 【解析】解：分别取AB ，CD 的中点E，F，连接相应的线段CE，ED ，EF，由条件，AB=CD=6 ，BC=AC=AD=BD=5，可知，△ABC 与△ADB ，都是等腰三角形，AB ⊥平面ECD，∴AB ⊥EF，同理CD⊥EF，∴EF是AB 与CD的公垂线，球心G在EF上，可以证明G为EF中点，(△AGB ≌△CGD)DE= =4，DF=3，EF= = ，球半径DG= = ，∴外接球的表面积为4π× D2=G43π，故答案为：43π．分别取AB ，CD的中点E，F，连接相应的线段，由条件可知，球心G在EF上，可以证明G为EF 中点，求出球的半径，然后求出球的表面积．本题考查球的内接几何体，球的表面积的求法，考查计算能力．17.【答案】 1【解析】解：∵不全为零的实数a，b，c成等差数列，∴b= ，代入动直线l：ax+by+c=0，得ax+ +c=0，化为a（2x+y ）+c（y+2）=0 ，∵a，c不全为0，∴，解得x=1，y=-2，∴动直线l 过定点Q（1，-2），设点P（x，y），∵AP⊥QP．∴=（x-1，y-2）?（x-1 ，y+2）=0，整理，得x2+y2-2x-3=0，∴点P在以（1，0）为圆心，2为半径的圆上，∵点Q在直线3x-4y+12=0 上，∴线段PQ长度的最小值等于圆心（1，0）到直线3x-4y+12=0的距离d 减去圆半径2 ，∴|PQ|min= -2=1．故答案为：1．由已知得点P在以（1，0）为圆心，2为半径的圆上，线段PQ长度的最小值等于圆心（1，0）到直线3x-4y+12=0 的距离d减去圆半径2．本题考查线段长的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．18.【答案】解：（Ⅰ）因为，AD⊥BC，所以k AD=7；⋯⋯⋯⋯（ 2 分）所以 AD 的直线方程为 y-2=7（ x-2），即 y=7 x-12 ；⋯⋯⋯⋯（ 4 分）（Ⅱ ）因为 BC 的直线方程为，所以，解得，所以；⋯⋯⋯⋯（ 7 分）又k AC=-3 ，所以 AD 的直线方程为 y+ =-3（ x- ），即 y=-3 x+4 ．⋯⋯⋯⋯（ 10 分）【解析】（Ⅰ）求出BC的斜率，根据垂直关系得出AD 的斜率，利用点斜式写出AD 的直线方程；（Ⅱ）写出BC的直线方程，求出点D的坐标，再求直线AC的方程．本题考查了直线方程的应用问题，是基础题．19.【答案】证明：（Ⅰ）连结 B1C交 BC1于 E，连结 ED．在△AB1C中， D ，E分别为 AC 与B1C的中点，所以 AB1∥DE ，又 AB1?平面 C1BD，DE?平面 C1BD，所以 AB1∥平面 C1BD．⋯⋯⋯⋯（ 5分）（Ⅱ）因为 BD ⊥AC，由平面 ABC⊥平面 AA1C1C，所以BD⊥平面 AA1 C1C，又 BD? 平面 BDC 1，所以平面 BDC1⊥平面 AA1C1C．⋯⋯⋯⋯（ 10 分）【解析】（Ⅰ）连结B1C交BC1于E，连结ED．证明AB 1∥DE，推出AB 1∥平面C1BD．（Ⅱ）证明BD⊥平面AA 1C1C，推出平面BDC1⊥平面AA 1C1C．本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．20.【答案】解：（Ⅰ）根据题意，设圆 C 的圆心2 为（a，b），半径为 r，则圆 C 方程为（x-a）2+（y-b）22=r ，又由圆 C 过 A（-2，2），B（2，6）两点，且圆心C 在直线 3x+ y=0 上，则有，解可得 a=-2 ，b=6， r2=16，则圆 C 的方程为（ x+2）2+（y-6）2=16；（Ⅱ ）根据题意， A（-2，2），B（2，6）两点， |AB|=4 ，设 D 是线段 AB的中点，则有 CD ⊥AB，则 |AD|=2 ， |AC|=4．在 Rt△ACD 中，可得 |CD |=2．当直线 l 的斜率不存在时，满足题意，此时方程为 x=0 ．当直线 l 的斜率存在时，设所求直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为： y-5= kx，即 kx-y+5=0．由点 C 到直线 AB的距离公式：=2，解可得 k= ，此时直线 l 的方程为 3x-4y+20=0 ．故所求直线 l 的方程为 x=0 或 3x-4y+20=0 ．【解析】Ⅰ）根据题意，设圆C 的圆心为（a，b），半径为r，结合题意可得，解出a、b、r 的值，将其值代入圆的方程即可得答案；Ⅱ）根据题意，分类讨论，斜率存在和斜率不存在两种情况：① 当直线l 的斜率不存在时，满足题意，②当直线l的斜率存在时，设所求直线l 的斜率为k，则直线l的方程为：y-5=kx ，由点到直线的距离公式求得k的值，即可得直线的方程，综合2 种情况即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及两点间的距离公式，点到直线的距离公式，圆的标准方程，属于中档题．21.【答案】解：∵AB=BC，AP=PC，取 D 为 AC 的中点，∴BD ⊥AC，PD⊥AC，则 AC⊥平面 PBD，∴平面 PBD⊥平面 ABC，则直线 PB 与平面 ABC 所成角是∠PBD，即∠PBD =θ．（Ⅰ ）当平面 PAC ⊥平面 ABC 时，二面角 P-AC -B为直二面角，由 BD ⊥AC ，PD ⊥AC，得二面角 P-AC-B 的平面角为∠PDB=90 °．222得 PD⊥平面 ABC，PD 2+DB2=PB2．设 AC=2a，则 BD= ，PD=a，可得 PB=2a，有∠PBD =30°，即θ =30°；（Ⅱ）若θ=30°，即∠PBD=30°，设 AC=2a，则 BD= ，PD=a，由余弦定理得： PB=a 或 2a．由平面 PBD⊥平面 ABC，平面 PBD ∩平面 ABC=BD ，作 PM⊥BD 于 M，得 PM ⊥平面 ABC．故PM⊥AB，过M作MN⊥AB于N，连接 PN，得 AB⊥平面 PMN ，∴PN⊥AB．故二面角 P-AB-C 的平面角为∠PNM．当 PB=2a 时，由 PD⊥平面 ABC，故 M 与 D 重合，可得 PM =PD=a．故 cos∠PNM= ；当PB=a时，由 PB=PD，得 M为BD的中点，可得 PM= ．NM = ，PN= ，故 cos ．故二面角 P-AB-C 的余弦值为．【解析】由AB=BC ，AP=PC，取D为AC的中点，可得AC⊥平面PBD，进一步得到平面PBD⊥平面ABC，则直线PB与平面ABC所成角是∠PBD，即∠PBD=θ．（Ⅰ）当平面PAC⊥平面ABC 时，二面角P-AC-B 为直二面角，即∠PDB=9°0 ，设AC=2a，则BD= ，PD=a，可得PB=2a，有∠PBD=θ=30°；（Ⅱ）若θ=30°，即∠PBD=3°0 ，设AC=2a，则BD= ，PD=a，求得PB=a或2a，然后分类找出二面角P-AB-C 的平面角∠PNM，求解三角形可得二面角P-AB-C 的余弦值．本题考查空间中直线与平面，平面与平面的位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了二面角的平面角的求法，是中档题．22【. 答案】解：（Ⅰ ）可得，bc= 结合a2=b2+c2，解得 a=2， c= ， b=1．得椭圆方程；（Ⅱ ）易知直线 MN 的斜率 k 存在，设MN ：y=kx+m，由，得（ 4k2+1）x2+8kmx+4 （m2-1）=0，由△=64k2m2-16（4k2+1）（ m2-1）=0，得 m2=4k2+1，∵S ACMN=S△MON+S△MCO +S△ANO，设点 O 到直线 MN：kx-y+m=0的距离为 d， d= ， |MN=2 =2 ．S△MON+= =d= ，由，得（ k2+1） x2+2kmx+m2-4=0，，，∴y1+y2=kx1+m+kx2+m=k（x1+x2）+2m=k（ - +2m= ．∴S△MCO+S△NAO= × (|y1|+|y2|) = (|y1+y2|= ，∴S ACMN =S △MON +( S △NAO +S △MCO ) 而 m 2=4k 2+1，k 2= ，易知 k 2≥0，∴m 2≥1，则|m| ≥，1当且仅当 =|m|，即 m= 时取“ = ∴四边形 ACMN 面积的最大值为 4．【解析】（Ⅰ）结合已知可得，bc= 求出 a ，b 的值，即可得椭圆方程；（Ⅱ）由题意可知，直线的斜率存在，设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程，利用判别式等于 0可得 m 2=4k 2+1，联立直线方程与圆的方程，结合根与系数的关系求得 S △MCO +S △ANO ，利用弦长公式及点到直线的距离公式，求出 S △MON ，得到S ACMN =S △MON +S △MCO +S △ANO ，整理后利用基本不等式求最值．本题考查轨迹方程的求法，考查直线与圆、直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，考查计算能力，属难题．四边形A CMN 的面积 S= +。

浙江省2017-2018学年高二数学上学期考试试题

浙江省2017-2018学年高二数学上学期考试试题考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数()f x = ▲ ） .A (,0]-∞.B (,0)-∞.C [0,)+∞.D (0,)+∞2．下列函数既是奇函数，又在()0,+∞上为增函数的是（ ▲ ）.A 1y x = .B y x = .C 122xx y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ().log 1D y x =+3．等比数列{}n a 的公比为q ，312,,2a a a 成等差数列，则q 值为（ ▲ ）.A 2 .B 2+.C 2或2.D 1或124．计算：()()4839log 3log 3log 2log 2++=（ ▲ ）5.4A 5.2B .5C .15D5．y =[)0,+∞，则a 的取值范围是（ ▲ ）.A ()2,+∞ ()().,12,B -∞-+∞ .C []1,2- [].0,2D6．为了得到函数sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，可将函数sin y x =的图像向左平移m 个单位长度，或向右平移n 个单位长度（,m n 均为正数），则m n -的最小值是（ ▲ ）.3A π2.3B π 4.3C π 5.3D π7．以方程012=++px x 的两根为三角形两边之长，第三边长为2，则实数p 的取值范围是（ ▲ ）.A 2-<p .B 2-≤p 或2≥p .C 2222<<-p .D 222-<<-p8．已知坐标平面上的凸四边形ABCD 满足()()1,3,3,1AC BD ==-，那么ABCD ⋅的取值范围是（ ▲）(.A - (].1,2B - [).2,0C - [].0,2D9．函数8sin 2,0()1(),022x x f x f x x π-≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，则函数4()()log h x f x x =-的零点个数为（ ▲ ） .A 2个 .B 3个 .C 4个 .D 5个 10．如图，在AOB∆中,90AOB ∠=︒，1,OA OB == 等边EFG ∆三个顶点分别在AOB ∆的三边上运动，则EFG ∆面积的最小值为（ ▲ ） .A .B .C .D 第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．已知tan 34πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则tan α= ▲ ，cos2α= ▲ 12．不等式组2031x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域M 面积为 ▲ ，若点(),x y M ∈，则3x y -的最大值为 ▲13．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1480,a S S >=，则12S = ▲ ；满足0n a >的n 最大整数是 ▲ ．14．已知扇形AOB 半径为1，60AOB ∠=︒，弧AB 上的点P 满足(,)OP OA OB R λμλμ=+∈，则λμ+的最大值是 ▲ ；PA PB 最小值是 ▲ ；15．已知0,0x y >>，且241x y xy ++=，则2x y +的最小值是 ▲ ．16．若不等式组⎩⎨⎧<-≥-.08,09b x a x 的整数解的解集为{}1,2,3，则适合这个不等式组的整数a 、b 的所有有序数对),(b a 的个数是___▲____17．已知函数2()21f x ax x =++，若对任意,[()]0x R f f x ∈≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共74分。

浙江省绍兴市高二上学期期末数学试题(解析版)

高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知等差数列的前项和为，首项为，公差为，则（） {}n a n n S 1a d 42S a -=A ． B ． C ． D ．134a d +135a d +144a d +145a d +【答案】B【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式求解. n 【详解】因为，所以， 412146,S a d a a d =+=+42S a -=135a d +故选:B.2．已知点是点在坐标平面内的射影，则点的坐标和的模长分别为（） B ()1,2,2A Oxy B ABA ．B ．C ．D ．()1,0,2;2()1,0,2;3()1,2,0;2()1,2,0;3【答案】C【分析】直接求出点的坐标和的模长.B AB【详解】因为点是点在坐标平面内的射影， B ()1,2,2A Oxy 所以.()1,2,0B 所以， ()0,0,2AB =-所以. 2AB = 故选：C3．若直线，则（） :l y kx =22:4O x y +=k =A ． B ． C ． D ．0k =1k =1k =-1k =±【答案】D【分析】先求圆心到直线的距离，结合弦长和勾股定理可得答案. 【详解】因为的圆心为，半径为，22:4O x y +=()0,0O 2r =所以圆心到直线的距离为；l d =，所以，解得. 222d r +=1k =±故选：D.4．已知双曲线的左､右焦点分别为，若左支上的两点与左焦点三点共线，22:1C x y -=12,F F ,A B 1F 且的周长为8，则（） 2ABF △AB = A ．2 B ．3C ．4D ．6【答案】A【分析】利用双曲线的定义求解. 【详解】解：因为双曲线， 22:1C x y -=所以a =1，由双曲线的定义得：， 212122,22AF AF a BF BF a -==-==两式相加得，2244AF BF AB a +-==又因为的周长为8，即， 2ABF △228AF BF AB ++=两式相减得， 2AB =故选：A5．已知正四面体的棱长为为棱的中点，则（）A BCD -1,M CD AB AM ⋅=A ．B ．C ．D ．14-1412-12【答案】D【分析】利用基底表示出，利用数量积的定义可求答案.AM【详解】因为M 是棱CD 的中点，所以()12AM AC AD =+所以1122AB AM AB AC AD ⎛⎫⋅=⋅+ ⎪⎝⎭ ()12AB AC AB AD =⋅+⋅ ()1cos 60cos 602AB AC AB AD =+. 111111112222⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭故选：D.6．已知01,01x y ≤≤≤≤（）A ．2B ．C ．D ．32【答案】B【分析】利用两点间距离公式及线段和的性质求解.【详解】如图，设，，，， (,)P x y (0,0)O (0,1)A (1,1)B (1,0)C表示点与之间的距离；(,)P x y (0,0)O与之间的距离； (,)P x y (0,1)A与之间的距离； (,)P x y (1,0)C表示点与之间的距离；(,)P x y (1,1)B+，PO PA PB PC =+++其中是以1为边长的正方形内任意一点，(,)P x y OABC，PO PB OB +≥=PA PC AC +≥=故， PO PA PB PC +++≥当且仅当时，，等号成立，所以原式的最小值为12x y ==故选：B7．已知等比数列的前项和为，则点列在同一坐标平面内不可能的是（）{}n a n n S ()(),,,n n n a n S A ． B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据等比数列通项公式和前项和公式确定正确答案. n 【详解】设等比数列的首项为，公比为， {}n a 1a q A 选项，时，，图象符合.1n a =n S n =B 选项，时，，图象符合.11, 1.1a q ==()11 1.11.1,101.111 1.1nn n n n a S --===--C 选项，时，，图象符合. 11,2a q ==-()()1122,3nn n n a S ---=-=D 选项，由图可知，都是负数，所以， 123,,a a a 10,0,0,0n n a q a S <><<但图象显示时，或为正数，矛盾，所以D 选项图象不符合. 4n ≥n a n S 故选：D8．在空间直角坐标系中，经过点且一个法向量为的平面的方程为O xyz -()000,,P x y z (),,m a b c=α，经过点且一个方向向量为的直线的方()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=P ()(),,0n v v μωμω=≠l 程为.阅读上面材料并解决下面问题：现给出平面的方程为000x x y y z z v μω---==α，直线的方程为，则直线到平面的距离为（） 35410x y z -++=l 354x y z==l αA ．0B C D【答案】C【分析】根据线面距离的空间向量坐标运算求法直接求解.【详解】由题可知点在直线上，取平面内一点,(0,0,0)O l α1(0,0,)4P -根据题设材料可知平面一个法向量为，α()3,5,,4m =-,1(0,0,)4OP =- 所以 cos ,OP m OP m OP m ⋅<>===所以直线到平面的距离为 l α1cos ,4OP OP m <>==故选:C.二、多选题9．已知直线，下列说法中正确的是（） 1y =A ．倾斜角为 B ．倾斜角为 180 0 C ．斜率不存在 D ．斜率为0【答案】BD【分析】根据直线方程得到斜率，进而得到倾斜角. 【详解】解：因为直线方程为， 1y =所以斜率为0，倾斜角为， 0 故选：BD10．记为等比数列的前项和，则（）n S {}n a n A ．是等比数列B ．是等比数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}1n n a a +C ．成等比数列 D ．成等比数列23,,n n n S S S 232,,n n n n n S S S S S --【答案】AB【分析】根据等比数列的定义即可判断求解.【详解】设等比数列公比为，则有， (0)q q ≠1n na q a +=所以，所以是以为公比的等比数列，A 正确； 11111n n n na a a q a ++==1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1q ，所以是以为公比的等比数列，B 正确； 2121n n n n a a q a a +++={}1n n a a +2q 若公比，则，所以不能构成等比数列，C 错误； 1q =-20n S =23,,n n n S S S 若公比，且为偶数，则都等于0， 1q =-n 232,,n n n n n S S S SS --此时不能构成等比数列，D 错误. 故选:AB.11．若曲线是由方程和） E 1x -=1y -=A ．曲线关于直线对称E y x =±B ．曲线围成的图形面积为E 4π+C ．若点在曲线上，则的取值区间是 ()00,x y E 0x ⎡⎣D ．若圆能覆盖曲线，则的最小值为2 222(0)x y r r +=>E r 【答案】AD【分析】对条件作代数变换得到E 是由4个半圆组成，作曲线E 的图形，根据图形的性质逐项分析.【详解】由，得或，1x -=0,1x ≥∴≥1x ≥1x ≤-当时，，是圆心为，半径为1的半圆，1x ≥()22111x x y -=-+=∴()1,0同理可得E 的其他部分，分别为圆心为半径为1的半圆，圆心为半径为1的半圆，()1,0-()0,1圆心为半径为1的半圆； ()0,1-作曲线E 的图形如下图：图中虚线部分是边长为2的正方形； ABCD 对于A ，显然图形关于对称，正确；y x =±对于B ，图形的面积，错误；21224242ππ⨯=⨯+⨯=+对于C ，由图可知的取值范围是，错误；0x []22-,对于D ，覆盖住曲线E 的圆的半径的最小值显然是2，正确；故选：AD.12中，则下列命题中正确的是（）1111ABCD A B C D -A ．若点在侧面所在的平面上运动，它到直线的距离与到直线的距离之比为2，则P 11AA BB AD 11BC 动点的轨迹是圆P B ．若点在侧面所在的平面上运动，它到直线的距离与到面的距离之比为2，P 11AA BB AD 11BB CC 则动点的轨迹是椭圆P C ．若点在侧面所在的平面上运动，它到直线的距离与到直线的距离相等，则动P 11AA BB AD 1BB 点的轨迹是抛物线PD ．若点是线段的中点，分别是直线上的动点，则的最小值是P 1A B ,M N 1,AC CD PM【答案】ACD【分析】对于选项A ，建立如图所示的直角坐标系，由题得，代入坐标化简即得解；对12AP PB =于选项B ，代入坐标化简即得解；对于选项C ，代入坐标化简即得解；对于选项=2AP PE AP PE =D ，对任意的点，固定点时，当时，最小，即最小，把平M M MN CD ⊥PM PM MF +面翻起来，使之和平面在同一个平面，当时，最小，即得解. 1A BC 1A AC PF AC ⊥PM MF +【详解】对于选项A ，建立如图所示的直角坐标系，则设因为1(0,0,0),A B (,0,),P x z 平面, 所以,所以点到直线的距离就是,同理点到直线的距离AD ⊥11A B BA AD AP ⊥P AD AP P 11B C就是.所以,1PB 12AP PB ==2216((9x y +=，它表示圆，所以该选项正确；对于选项B ，过点作,垂足为,因为平面平面，则点到平面的P 1PE BB ⊥E 11A B BA ⊥11BB CC P 11BB CC距离就是.所以,因为，所以PE =2AP PE )E z，所以动点的轨迹是双曲线，所以该选项2256(3x z =∴-=P 错误；对于选项C ，点到直线的距离就是.所以，所以P 1BB PE AP PE =，所以动点的轨迹是抛物线，所以该选项正确； 22(1z x =∴=P 对于选项D ，对任意的点，固定点时，过点作平面，垂足为，连接，M M M MF ⊥ABCD F FN当时，最小，此时平面, 所以, 由于MN CD ⊥PM CD ⊥MNF CD FN ⊥. 所以. 如下图，,CF CFMF FN AC AC ==∴=MF MN =PM PM MF =+把平面翻起来，使之和平面在同一个平面，当时，最小，此时1A BC 1A AC PF AC ⊥PM MF +故该选项正确. PM MF BC +==故选：ACD三、填空题13．已知直线，直线，若，则__________. :20l x ay ++=:230m x y --=l m ⊥=a 【答案】##120.5【分析】根据两条直线垂直的充要条件算出答案即可. 【详解】因为，所以，解得， l m ⊥1120a ⨯-=12a =故答案为：.12四、双空题14．已知数列满足：，则__________；__________.{}n a ()21221n a a na n n +++=+ 2a =n a =【答案】 531n -【分析】利用赋值可得，利用退位相减可得.2a n a 【详解】当时，；当时，，所以.1n =12a =2n =12212a a +=25a =①()21221n a a na n n +++=+ 当时，② 2n ≥()()2121211n n a a n a n -+++-=- ①-②得，，整理得. ()()2211n na n n n n =+--31n a n =-故答案为：531n -五、填空题15．已知抛物线的焦点为，点在上，点，若的最小值为5，则2:4C y x =F P C ()4,A m PA PF +__________.m ∈【答案】[]4,4-【分析】讨论点A 与抛物线的位置关系，结合的最小值为5，列出不等关系，求得m 的PA PF +范围，可得答案.【详解】当线段与抛物线C 没有公共点，即点在抛物线外部时，或AF ()4,A m 216,4m m >∴>，4m <-此时当三点共线时，最小，最小值为， ,,A P F PA PF +5=解得或，不合题意；4m =4m =-当点在抛物线上时，或，此时， ()4,A m 216,4m m =∴=4m =-||5AF =即此时重合；,A P点在抛物线内部时，， ()4,A m 216,44m m <∴-<<设抛物线C 的准线为l ，过点P 作l 的垂线，垂足为Q ，过点A 作l 的垂线，垂足为B ，则,共线时，取等号，符合题意， 415PA PF PA PQ AB +=+≥=+=,,()P A B Q 综合上述可得若的最小值为5，则， PA PF +[]4,4m ∈-故答案为：[]4,4-16．圆锥曲线有着令人惊奇的光学性质，这些性质均与它们的焦点有关.如：从椭圆的一个焦点处出发的光线照射到椭圆上，经过反射后通过椭圆的另一个焦点；从抛物线的焦点处出发的光线照射到抛物线上，经反射后的光线平行于抛物线的轴.某次科技展览中某展品的一个截面由抛物线的一部分和一个“双孔”的椭圆构成（小孔在椭圆的右上方）.如图，椭圆为1C 2C 22212:1,,43x y C F F +=2C 的焦点，为下顶点，也为的焦点，若由发出一条光线经过点反射后穿过一个小孔再经B 2F 1C 1F B 抛物线上的点反射后平行于轴射出，由发出的另一条光线经由椭圆上的点反射后穿过另D x 1F 2C P 一个小孔再经抛物线上的点反射后平行于Ex 1cos BF P ∠=__________.【答案】 2326【分析】首先联立直线与抛物线方程求得点坐标,进而求得点坐标，然后再联立直线与2BF D E 2EF 椭圆方程求得点坐标，可得向量的坐标，最后求得.P 11,F B F P 1cos BFP ∠【详解】由题意得：12(1,0),(1,0),(0,F F B -可得抛物线方程，直线 :,24yx =2BF 1)y x =-联立，可得； )241y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩A (3,D，即. 34E E y x ==3(4E直线：，联立椭圆方程，得，解得或2EF1)y x =--)221431x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=--⎩A 265128600x x -+=65x =（舍），所以； 1013x =6(,5P 则，所以. 1111(1,(,5F B F P == 1111123cos 26F B F P BF P F B F P ⋅∠== 故答案为：. 2326六、解答题17．已知等差数列的公差为2，且成等比数列，{}n a 235,,1a a a -(1)求的通项公式；{}n a (2)记，若数列的前项和.121n a n n b a -=+-{}n b n n T 【答案】(1)2n a n =(2) ()22413n n -+【分析】(1)根据等比中项的性质结合等差数列的通项公式求解；(2)分组求和.【详解】（1）由题知()23251a a a =-即解得，()()()2111427,a a a +=++12a =所以.()112n a a n d n =+-=（2） 21212n n b n -=-+. ()2141(21)214n n n T n -+-=⋅+-()22413n n -=+18．已知双曲线的焦点. 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>F ()1,0(1)求双曲线的方程；C (2)已知过点的直线与双曲线只有一个公共点，求直线的方程.()2,3A l C l 【答案】(1) 2213y x -=(2)或)23y x =-+21y x =-【分析】（1）利用点到直线的距离求出b ，再结合顶点求出a ，从而求出双曲线方程；（2）设直线方程，联立双曲线，分类讨论，判别式法求解【详解】（1）双曲线的一条渐近线为，故焦点到直线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>b y x a =(c,0)F by x a =，所以，又，b =b =1a =所以双曲线方程为 2213y x -=（2）由题知，直线的斜率必存在.l 设直线方程为：l ()23y k x =-+联立，消y 得 ()223213y kx k y x ⎧=+-⎪⎨-=⎪⎩()()2222364412120k x k k x k k ----+-=①当时，上述方程只有一解，符合题意，230k -=所以；)23y x =-+②当时，为使上述方程只有一解即，230k -≠Δ0=， ()()22226443(41212)0k k k k k ----+-=化解得：，所以，2440k k -+=2k =所以.21y x =-综上，直线方程为：或.l )23y x =-+21y x =-19．在一个平面上，，机器人从与点的距离为的地方绕点顺时针()()6,0,0,8A B -()1,3C -()0r r >C 而行，在行进过程中机器人所在位置保持与点的距离不变.P C (1)若，求它在行进过程中到过点与点的直线的最近距离和最远距离；6r =A B (2)若在行进过程中存在某点使得，求的取值范围.P PA PB ⊥r 【答案】(1)最近距离为，最远距离为 7567555r ≤≤【分析】（1）先求点的轨迹方程，结合圆心到直线的距离可得答案；P （2）先求以为直径的圆的方程，结合两圆的位置关系可得答案.AB 【详解】（1）设机器人所在位置，则,(),P x y 22(1)(3)36x y -++=所以的轨迹是以为圆心，6半径的圆.P C 直线的方程为：，即, AB 168x y +=-43240x y -+=点到直线的距离为, C AB 375d所以到直线的最近距离为， P AB 75d r -=到直线的最远距离为. P AB 675d r +=（2）的轨迹方程为P 222:(1)(3)(0)C x y r r -++=>A 设中点， AB ()3,4,10M AB -=所以以为直径的圆方程，AB 22:(3)(4)25M x y ++-=A 因为，所以也在上.AP BP ⊥P M A 所以与有公共点，即， C A M A 55r CM r -≤≤+.55r -≤≤20．如图，在多面体中，已知，，，，ABCDE AB DE ∥AB BD ⊥AE CE =22AB BD DE ===为等边三角形.BCD △(1)求证：；AC BE ⊥(2)求平面与平面夹角的余弦值.ACE BCE 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）解法一，取中点，中点，连，，以为坐标原点，建立空间直AC M BC F ME DF F 角坐标系，利用证明即可；解法二，利用线面垂直和面面垂直的判定定理和性质定理求0AC BE ⋅= 解即可；（2）解法一：利用空间向量法求解即可；解法二：作于于，连接，由AG CE ⊥,G BH CE ⊥H MH 勾股定理可得即为所求二面角.BHM ∠【详解】（1）解法一：取中点，连，因为，所以，AC M ME AE CE =ME AC ⊥在等边三角形中，取中点，连接，则，BCD △BC F DF DF BC ⊥因为，且， MF AB DE ∥∥MF DE =所以四边形为平行四边形.MFDE 故，所以，DF ME ∥DF AC ⊥由，，平面，,DF BC DF AC ⊥⊥BC AC C ⋂=,BC AC ⊂ABC 得平面，DF ⊥ABC 因为平面，所以，AB ⊂ABC DF AB ⊥又因为，平面，DF BD D = ,DF BD ⊂BCD 所以平面，AB ⊥BCD 所以两两垂直，,,FM FC FD 建立如图所示的空间直角坐标系，则，F xyz -()()1,0,0,1,0,2C A -， ()()()()1,0,0,,2,0,2,B E AC BE -=-= 因为，所以.2020AC BE ⋅=+-= AC BE ⊥解法二：取中点，连，因为，所以，AC M ME AE CE =ME AC ⊥在等边三角形中，取中点，连接，则，BCD △BC F DF DF BC ⊥因为，且，MF AB DE ∥∥MF DE =所以四边形为平行四边形.MFDE 故，所以，DF ME ∥DF AC ⊥由，，平面，,DF BC DF AC ⊥⊥BC AC C ⋂=,BC AC ⊂ABC 得平面，DF ⊥ABC 因为平面，所以，AB ⊂ABC DF AB ⊥又因为，平面，DF BD D = ,DF BD ⊂BCD 所以平面，AB ⊥BCD 又因为平面，所以平面平面，AB ⊂ABDE ABDE ⊥BCD 取中点，连，BD O ,AO CO因为平面平面，所以平面，ABDE BCD BD =CO ⊥ABDE 又因为平面，所以，BE ⊂ABDE CO BE ⊥又，所以， 1tan tan AOB EBD∠∠=AO BE ⊥因为，平面，AO CO O = ,AO CO ⊂AOC 所以平面，BE ⊥AOC 又因为平面，所以.AC ⊂AOC BE AC ⊥（2）解法一：， ()()()2,0,2,,AC CE BE =-=-= 设平面的法向量为，则ACE (),,m x y z = ，解得，2200m AC x z m CE x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ()1,0,1m = 设平面的法向量，则BCE (),,n x y z = ，解得，00n CE x z n BE x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩()0,n = 设所求夹角为，则θcos m n m n θ⋅=== 解法二：作于于，连接，AG CE ⊥,G BH CE ⊥H MH 在中，ACE △AE CE AC ===所以AG CG ==在中，，BCEA 2,BC BECE ===所以 BH CH ==所以为的中点，H CG 所以 ,MH AG MH =∥所以，MH CE ⊥所以为平面与平面夹角或其补角，BHM ∠ACE BCE 由平面得，BM ⊥ACE 在中，（也可利用余弦定理求得） Rt BMH A cos MH BHM BH ∠=21．已知数列的前项和为. {}n a n 11131,3,31n n n n n S S a S ++-==-(1)求及的通项公式；23,S S {}n a (2)若对任意的恒成立，()()()()()()()32122311111111n n n n a a a a a a a a a a λ-+++≤------- *2,N n n ≥∈求的最小值.λ【答案】(1)，2312,39S S ==3n n a =(2) min 9128λ=【分析】（1）先求得求，然后利用累乘法求得，利用求得. 23,S S n S 11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩n a （2）利用裂项求和法化简题目所给不等式，结合分离常数法求得的最小值.λ【详解】（1）， 1322233,12313131233,3911S S S --=⨯=⨯-===-时，， 2n ≥()132112213312nn n n n n S S S S S S S S S S ----=⋅⋅⋅⋅⋅= 时上式也符合，即，1n =()3312n n S -=所以，时，，2n ≥13n n n n a S S -=-=时，上式也符合.1n =所以，.3n n a =（2）时，2n ≥ ()()()()111331111231313131n n n n n n n n a a a ---⎛⎫==- ⎪------⎝⎭故()()()()()()3212231111111n n n a a a a a a a a a -+++------ 3112231n ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭所以对任意的均成立， 23111223131n n λ⎡⎤⎛⎫≥⋅-⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎢⎥⎣⎦*2,N n n ≥∈由于， 11318n ≤-所以，故. 9128λ≥min 9128λ=22．已知椭圆，右焦点为，抛物线的焦点22122:1(0)x y C a b a b +=>>2F 22:2C x by=-到其准线的距离为1.F (1)求的标准方程；12,C C (2)若过于，交轴于的中垂线交轴于，记以弦2F 1C ,B D y ,A BD y E BD 为直径的圆的面积为的面积为，求.M 1,S MAE A 2S 12:S S (3)已知且，若斜率为的直线与椭圆相交于两点，且中点恰在抛物线2n ≥*n ∈N 2231n n --1C ,P Q PQ N 上.记的横坐标为，求的最大值.2C N n x n x【答案】(1) 22212:1,:22x C y C x y +==-(3) 89【分析】（1）由抛物线的焦点到准线的距离为，得出的值，再由椭圆的离心率公式求出的p b ,a c 值，求出椭圆和抛物线的标准方程；（2）直线与椭圆联立方程组，由弦长公式求出的长度，由圆的面积公式，从而求出；利用||BD 1S 韦达定理和中点坐标公式，求出点坐标，从而求出的中垂线方程，求出点坐标，由、M BD E A点坐标，利用三角形面积公式，求得，最后求出 M 2S 12S S （3）利用点差法求出的斜率与的斜率的关系，把点代入抛物线方程，求出的表达式，PQ ON N n x 利用证明数列的单调性的方法，证明单调递减，由于椭圆和抛物线图象的对称性，可以得到n x 2nx 一定小于等于它们交点的横坐标的平方，从而得出的范围，结合的单调性，从而求出的最2n x n x n x 大值.【详解】（1）抛物线的焦点到准线的距离为，22:2C x by =-F b ∴1,b =，22222222112c c a b b e e a a a a -==∴===-= 221,2b a ∴=. 21,2,b a a =∴== ∴22212:1,:22x C y C x y +==-（2），直线的方程为：，()21,0F BD )1y x =-所以，设， (0,A ()()1122,,,B x y D x y 联立，得. 221)12y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩271240x x -+=，∴1212124,77x x x x +==2BD x ∴=-===. 221||32ππ()π249BD S ∴=⋅=⋅=12121212126(,),,,22727x x y y x x M x x ++++=∴= 将点代入直线方程得到 M )1y x =-122y y +=的中点∴BD 6,7M ⎛ ⎝的中垂线方程为：BD 67y x x ⎫=-=⎪⎭令得，. 0x=y=∴E ⎛ ⎝ 211(22M E S AE x y ==-=. 12S S ∴==（3）设,代入得()()(),,,,,N N P P Q Q P x y Q x y N x y ,作差整理得，，即22221212p P Q Q x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()()2()()P Q P Q P Q P Q x x x x y y y y -+=--+2()P Q P Q P Q P Q y y x x x x y y -+=--+；()2P QPQ P Q x x k y y +=-+,即； 2,2,P Q N P Q N x x x y y y +=+= 1,22N PQ PQ N O N x k k y k ∴=-∴=-12PQ ON k k ⋅=-∵，点在抛物线上，N n x x =N ，，， ∴212N n y x =-12N n n y x x ∴=-∴12ON n k x =-且 22222233111,(),(222311n n PQ n n n n k x x n n n ----=∴⋅-=-∴=≥-- N )n *∈∵， 2221121(1)112230333n n n n n n n n n x x +---+---++-=-=<.∴234,,n x x x x >>>> 联立，得到其交点的横坐标为，， 222122x y x y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩A 21x =∴201n x ≤≤（不符合要求），（不符合要求），（不符合要求），（符合）. 23x =383x =453x =589x =的最大值为. ∴n x 89【点睛】方法点睛：圆锥曲线中三角形面积的求解方法：（1）公式法：利用弦长公式求出弦长作为三角形的底边长，利用点线距求出三角形的高线长，结合三角形的面积公式可得答案；（2）分割法：把三角形分割成易于求解的若干三角形，求解面积之和即可.。

2017-2018学年浙江省绍兴市上虞区高二(上)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年浙江省绍兴市上虞区高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线l 经过坐标原点和点（﹣1，﹣1），则直线l 的倾斜角是（）A ．B ．C ．或D ．﹣2．下列方程表示焦点在y 轴上且短轴长为2的椭圆是（）A ．B ．C ．D ．3．双曲线﹣=1的渐近线方程为（）A ．y=±xB ．y=±xC ．y=±xD ．y=±x4．已知直线l 不在平面α内，则“直线l 上有两个点到平面α的距离相等”是“l ∥α”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β C ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β D ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n6．设F 1，F 2分别是椭圆+=1的左，右焦点，P 是椭圆上一点，且|PF 1|：|PF 2|=4：3，则△PF 1F 2的面积为（） A ．24B ．25C ．30D ．487．若直线l ：ax +by +1=0平分圆M ：x 2+y 2+4x +2y +1=0的周长，则a 2+b 2﹣2a 的最小值为（）A ．B ．C ．D ．8．已知过抛物线y 2=4x 焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点（点A 在第一象限），若=3，则直线l 的斜率为（）A ．2B ．C ．D ．9．设点M（3，4）在圆x2+y2=r2（r＞0）外，若圆O上存在点N，使得，则实数r的取值范围是（）A．B．C．D．10．已知P﹣ABC是正四面体（所有棱长都相等的四面体），E是PA中点，F是BC上靠近B的三等分点，设EF与平面PAB，平面PAC，平面PBC所成角分别为α，β，γ，则（）A．β＞γ＞αB．γ＞β＞αC．α＞β＞γD．α＞γ＞β二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分．11．（6分）圆x2+y2﹣4x=0的圆心坐标是；半径为．12．（6分）抛物线x2=4y的焦点坐标是；准线方程为．13．（6分）直线l1：mx+y﹣2=0，直线l2：x﹣2y+2=0，若l1∥l2，则实数m=；l2关于x轴对称的直线方程为．14．（6分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是cm3，表面积是cm2．15．（6分）双曲线的一个焦点到其渐近线距离为3，则实数k的值为．16．（3分）E是正方形ABCD的边CD的中点，将△ADE绕AE旋转，则直线AD与直线BE所成角的余弦值的取值范围是17．（3分）若点P（x，y）在圆x2+y2+10x+10y+45=0上，则代数式的最大值是．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）已知直线l过点M（﹣3，3），圆C：x2+y2+4y+m=0（m∈R）．（Ⅰ）求圆C的圆心坐标及直线l截圆C弦长最长时直线l的方程；（Ⅱ）若过点M直线与圆C恒有公共点，求实数m的取值范围．19．（15分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点．（Ⅰ）证明A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）若C1C=CA=2，求直线AB与平面ADC1所成角的正弦值．20．（15分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=3的圆心在直线y=x+1上．（Ⅰ）若圆C与y轴相切，求圆C的方程；（Ⅱ）当a=0时，问在y轴上是否存在两点A，B，使得对于圆C上的任意一点P，都有|PA|=|PB|，若有，试求出点A，B的坐标，若不存在，请说明理由．21．（15分）如图，四面体ABCD中，△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，△BCD是边长为2的正三角形．（Ⅰ）当AD为多长时，AC⊥BD？（Ⅱ）当二面角B﹣AC﹣D为时，求AD的长．22．（15分）已知椭圆的离心率为，且过点B（0，1）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若点A是椭圆的右顶点，点P（x0，y0）（y0＞1）在以AB为直径的圆上，延长PB交椭圆E于点Q，求|BP|•|BQ|的最大值．2017-2018学年浙江省绍兴市上虞区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线l经过坐标原点和点（﹣1，﹣1），则直线l的倾斜角是（）A．B．C．或D．﹣【分析】利用斜率的计算公式先求出直线的斜率，再利用正切函数求出直线的斜率．【解答】解：∵直线l经过坐标原点和点（﹣1，﹣1），∴直线l的斜率k==1，∴直线l的倾斜角α=．故选：A．【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意斜率公式的合理运用．2．下列方程表示焦点在y轴上且短轴长为2的椭圆是（）A．B．C．D．【分析】利用椭圆的方程判断焦点坐标的位置以及短轴长即可．【解答】解：的焦点坐标在y轴上，短半轴长为1，短轴才为2；所以A正确；选项B、D，焦点坐标在x轴上，不正确；选项C，短轴长为4，不正确；故选：A．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．3．双曲线﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得其焦点在x轴上，以及a、b的值，进而结合渐近线的方程并代入a、b的值计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：﹣=1，其中焦点在x轴上，且a==3，b==4，则其渐近线方程为：y=±x，故选：B．【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是利用双曲线的标准方程求出a、b的值．4．已知直线l不在平面α内，则“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【分析】“直线l上有两个点到平面α的距离相等”⇒“l∥α或直线l与平面α相交”，“l∥α”⇒“直线l 上有两个点到平面α的距离相等”，由此能求出结果．【解答】解：由直线l不在平面α内，知：“直线l上有两个点到平面α的距离相等”⇒“l∥α或直线l与平面α相交”，“l∥α”⇒“直线l上有两个点到平面α的距离相等”，∴“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查直线与平行的位置关系等基础知识，是基础题．5．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n【分析】通过举反例可得A、B、C不正确，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，可得D正确，从而得出结论．【解答】解：A、m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故A 错误；B、α，β 垂直于同一个平面γ，故α，β 可能相交，可能平行，故B错误；C、α，β平行于同一条直线m，故α，β 可能相交，可能平行，故C错误；D、垂直于同一个平面的两条直线平行，故D正确．故选：D．【点评】本题考查两个平面平行的判定和性质，平面与平面垂直的性质，线面垂直的性质，注意考虑特殊情况，属于中档题．6．设F1，F2分别是椭圆+=1的左，右焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|：|PF2|=4：3，则△PF1F2的面积为（）A．24B．25C．30D．48【分析】求得椭圆的a，b，c，运用椭圆的定义和条件可得|PF1|=8，|PF2|=6，|F1F2|=10，运用勾股定理和三角形的面积公式计算可得所求值．【解答】解：椭圆+=1的a=7，b=2，c=5，则|PF1|+|PF2|=2a=14，|PF1|：|PF2|=4：3，可得|PF1|=8，|PF2|=6，|F1F2|=10，显然|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，即PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为|PF1|•|PF2|=×8×6=24．故选：A．【点评】本题考查椭圆的定义和方程、性质，注意定义法的运用和勾股定理和三角形的面积公式的应用，考查运算能力，属于基础题．7．若直线l：ax+by+1=0平分圆M：x2+y2+4x+2y+1=0的周长，则a2+b2﹣2a的最小值为（）A．B．C．D．【分析】由已知条件我们可以判定直线必过圆的圆心，求出a，b的关系，再由a2+b2﹣2a的几何意义，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．【解答】解：∵直线l：ax+by+1=0始终平分圆M：x2+y2+4x+2y+1=0的周长，∴直线必过圆M：x2+y2+4x+2y+1=0的圆心，即圆心（﹣2，﹣1）点在直线l：ax+by+1=0上，则2a+b﹣1=0，则（a﹣1）2+b2表示点（1，0）到直线2a+b﹣1=0点的距离的平方，点（1，0）到直线2a+b﹣1=0点的距离d=，则a2+b2﹣2a的最小值为d2﹣1=﹣，故选：D．【点评】直线的性质与圆的方程都是高考必须要考的知识点，此题巧妙地将直线与圆性质融合在一起进行考查，解题的关键是转化思想的巧妙利用．8．已知过抛物线y2=4x焦点F的直线l交抛物线于A、B两点（点A在第一象限），若=3，则直线l的斜率为（）A．2B．C．D．【分析】作出抛物线的准线，设A、B在l上的射影分别是C、D，连接AC、BD，过B作BE⊥AC于E．由抛物线的定义结合题中的数据，可算出Rt△ABE中，cos∠BAE=，得∠BAE=60°，即直线AB的倾斜角为60°，从而得到直线AB的斜率k值．【解答】解：作出抛物线的准线l：x=﹣1，设A、B在l上的射影分别是C、D，连接AC、BD，过B作BE⊥AC于E．∵=3，∴设AF=3m，BF=m，由点A、B分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得AC=3m，BD=m．因此，Rt△ABE中，cos∠BAE=，得∠BAE=60°所以，直线AB的倾斜角∠AFx=60°，得直线AB的斜率k=tan60°=，故选：D．【点评】本题给出抛物线的焦点弦被焦点分成3：1的比，求直线的斜率k，着重考查了抛物线的定义和简单几何性质，直线的斜率等知识点，属于中档题．9．设点M（3，4）在圆x2+y2=r2（r＞0）外，若圆O上存在点N，使得，则实数r的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：如图，要使圆O ：x 2+y 2=r 2（r ＞0）上存在点N ，使得∠OMN=，则∠OMN 的最大值大于或等于时一定存在点N ，使得∠OMN=，而当MN 与圆相切时∠OMN 取得最大值，此时OM=5，ON=，又点M （3，4）在圆x 2+y 2=r 2（r ＞0）外，∴实数r 的取值范围是．故选：C ．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．10．已知P ﹣ABC 是正四面体（所有棱长都相等的四面体），E 是PA 中点，F 是BC 上靠近B 的三等分点，设EF 与平面PAB ，平面PAC ，平面PBC 所成角分别为α，β，γ，则（） A ．β＞γ＞αB ．γ＞β＞αC ．α＞β＞γD ．α＞γ＞β【分析】取AC 中点G ，连结PG ，过B 作BO ⊥平面PAC ，交PG 于点O ，在平面PAC 中过O 作OD ∥AC ，交PA 于D ，以O 为原点，OP 为x 轴，OD 为y 轴，OB 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出α＞γ＞β．【解答】解：解：取AC 中点G ，连结PG ，过B 作BO ⊥平面PAC ，交PG 于点O ，在平面PAC 中过O 作OD ∥AC ，交PA 于D ，设正四面体棱长为2，则OG===，PO=PG=，BO==，以O 为原点，OP 为x 轴，OD 为y 轴，OB 为z 轴，建立空间直角坐标系，则P（，0，0），A（﹣，1，0），B（0，0，），C（﹣，﹣1，0），E（，，0），F（﹣，﹣，），=（﹣，﹣，），=（﹣，1，0），=（﹣，0，），=（﹣，﹣1，0），∵EF与PA、PB、PC所成角分别为α、β、γ，∴cosα==0，∴α=90°，cosβ===，cosγ===，∴α＞γ＞β．故选：D．【点评】本题考查异面直线所成角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分．11．（6分）圆x2+y2﹣4x=0的圆心坐标是（2，0）；半径为2．【分析】把圆的一般方程化为标准方程，可得它的圆心坐标和半径．【解答】解：圆x2+y2﹣4x=0，即（x﹣2）2+y2 =4，它的圆心坐标是（2，0），半径等于2，故答案为：（2，0）；2．【点评】本题主要考查把圆的一般方程化为标准方程的方法，属于基础题．12．（6分）抛物线x2=4y的焦点坐标是（0，1）；准线方程为y=﹣1．【分析】由抛物线方程可得2p=4，即p=2，由焦点（0，），准线方程y=﹣，计算可得所求．【解答】解：抛物线x2=4y的2p=4，即p=2，可得焦点为（0，1），准线方程为y=﹣1．故答案为：（0，1），y=﹣1．【点评】本题考查抛物线的方程和性质，记住焦点坐标和准线方程是解题的关键，属于基础题．13．（6分）直线l1：mx+y﹣2=0，直线l2：x﹣2y+2=0，若l1∥l2，则实数m=﹣；l2关于x轴对称的直线方程为x+2y+2=0．【分析】根据两直线平行，斜率相等，即可求出m的值，设出直线方程上任一点坐标为（x，y），则关于x轴对称的坐标（x，﹣y）在直线x﹣2y+2=0，带入可得答案【解答】解：直线l1：mx+y﹣2=0，直线l2：x﹣2y+2=0，若l1∥l2，则﹣m=，即m=﹣，由题意，设所求直线方程上任一点坐标为（x，y），则关于x轴对称的坐标（x，﹣y）∵（x，﹣y）在直线x﹣2y+2=0，∴x+2y+2=0，即所求直线方程为x+2y+2=0，故答案为：﹣，x+2y+2=0【点评】本题考查了直线平行和斜率的关系，直线关于x轴对称直线方程的求法，属于基础题．14．（6分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是3cm3，表面积是11+ cm2．【分析】由题意，直观图为以正视图为底面的直三棱柱，由图中数据可得该几何体的体积，表面积．【解答】解：由题意，直观图为以正视图为底面的直三棱柱，由图中数据可得该几何体的体积是=3cm3，表面积是（2+2+1+）×1+2×=11+cm2．故答案为3cm3，11+．【点评】本题考查圆三视图求面积、体积，考查学生的计算能力，确定直观图的形状是关键．15．（6分）双曲线的一个焦点到其渐近线距离为3，则实数k的值为﹣9．【分析】根据题意，由双曲线的方程分析可得双曲线的焦点位置，则设其焦点坐标为（±c，0），求出其渐近线方程，结合题意可得d==3，解可得k的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为，必有k＜0，其焦点在x轴上，设其焦点坐标为（±c，0），则c2=4﹣k，其渐近线方程为：y=±x，即2y±x=0，若双曲线的一个焦点到其渐近线距离为3，假设（c，0）到渐近线2y+x=0的距离为d，则有d==3，解可得k=﹣9；故答案为：﹣9．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的方程不是标准方程，其次要正确求出其焦点到渐近线的距离．16．（3分）E是正方形ABCD的边CD的中点，将△ADE绕AE旋转，则直线AD与直线BE所成角的余弦值的取值范围是[，）【分析】由题意画出图形，求出△ADE没有旋转及将△ADE绕AE旋转，使面AED与平面ABCD重合时AD与BE的平行线AF所成角，则答案可求．【解答】解：如图，在平面ABCD内，过A作AF∥BE交CD的延长线于F，设正方形ABCD的边长为2，当△ADE没有旋转时，在Rt△ADF中，可得DF=1，AF=，∴cos∠FAD=；当将△ADE绕AE旋转，使面AED与平面ABCD重合时，此时求得DD′=，在△DAD′中，由AD=AD′=2，DD′=，由余弦定理可得：cos∠DAD′==．∴直线AD与直线BE所成角的余弦值的取值范围是[，）．故答案为：[，）．【点评】本题考查空间中异面直线所成角，考查空间想象能力与思维能力，训练了余弦定理的应用，是中档题．17．（3分）若点P（x，y）在圆x2+y2+10x+10y+45=0上，则代数式的最大值是1．【分析】将代数式分成两部分x﹣和，设x﹣=t，=k，分别求出t与k的最大值，以及取最大值的条件，结果它们取最大值的条件相同，所以t与k都取最大值时，所求代数式取最大值．【解答】解：∵圆x2+y2+10x+10y+45=0，即（x+5）2+（y+5）2=5是以（5，5）为圆心，以为半径的圆，因为代数式=x﹣y+，令=k，x﹣2y=t，因为k表示原点O与P点连线的斜率，所以当直线OP与圆相切时，=，解得k=或k=2，所以k的最大值为2，此时联立直线与圆可解得x=﹣3，y=﹣6，因为直线x﹣y﹣t=0与圆有交点，所以≤，解得﹣5≤t≤0，所以t的最大值为0，此时x﹣y=0，可解得切点为（﹣3，﹣6），由于k和t取最大值时得条件相同，都是x=﹣3，y=﹣6，所以代数式的最大值为2×+0=1．故答案为：1．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系．属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）已知直线l过点M（﹣3，3），圆C：x2+y2+4y+m=0（m∈R）．（Ⅰ）求圆C的圆心坐标及直线l截圆C弦长最长时直线l的方程；（Ⅱ）若过点M直线与圆C恒有公共点，求实数m的取值范围．【分析】第一步利用直径为最长弦；第二步利用点与圆的位置关系．【解答】解：（Ⅰ）圆C方程标准化为：x2+（y+2）2=4﹣m∴圆心C的坐标为（0，﹣2）直线l截圆C弦长最长，即l过圆心，故此时l的方程为：，整理得：5x+3y+6=0；（Ⅱ）若过点M的直线与圆C恒有公共点，则点M在圆上或圆内，∴（﹣3）2+32+4×3+m≤0，得m≤﹣30．【点评】此题考查了直线与圆，点与圆的位置关系．19．（15分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点．（Ⅰ）证明A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）若C1C=CA=2，求直线AB与平面ADC1所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）以C为原点，在平面ABC中过C作BC的垂线为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明A1B∥平面ADC1．（Ⅱ）以C为原点，在平面ABC中过C作BC的垂线为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面ADC1所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）以C为原点，在平面ABC中过C作BC的垂线为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=a，CC1=b，则A1（，，b），B（0，a，0），A（，，0），D（0，，0），C1（0，0，b），=（﹣，，﹣b），=（，0，0），=（0，﹣，b），设平面ADC1的法向量=（x，y，z），则，取y=2，得=（0，2，），∵=0+a﹣a=0，A1B⊄平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1．解：（Ⅱ）以C为原点，在平面ABC中过C作BC的垂线为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，∵C1C=CA=2，∴A（，，0），B（0，，0），D（0，，0），C1（0，0，2），=（，0，0），=（0，﹣，2），=（﹣，，0），设平面ADC1的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（0，2，1），设直线AB与平面ADC1所成角为θ，则si nθ===．∴直线AB与平面ADC1所成角的正弦值为．【点评】本题考查线面平面的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20．（15分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=3的圆心在直线y=x+1上．（Ⅰ）若圆C与y轴相切，求圆C的方程；（Ⅱ）当a=0时，问在y轴上是否存在两点A，B，使得对于圆C上的任意一点P，都有|PA|=|PB|，若有，试求出点A，B的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）圆与y轴相切，推出|a|=；（Ⅱ）假设存在满足题意的A、B、P，设出这三个点的坐标，然后由两点间的距离公式将几何条件|PA|=|PB坐标化，整理后对y恒成立两边对应项系数相等，列方程组解出y1，y2，即可求出．【解答】解：∵圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=3的圆心（a，b）在直线y=x+1上，∴b=+1，（I）∵圆C与y轴相切，∴|a|=，∴，，故所求圆C的方程，或，（II）∵a=0，b==1，∴圆的方程为x2+（y﹣1）2=3，∴x2+y2=2y+2，假设在y轴上存在两点A（0，y1）、B（0，y2），使得对于圆C上的任意一点P，都有|PA|=|PB|，设P（x，y），则由|PA|=|PB得x2+（y﹣y1）2=3[x2+（y﹣y2）2]，∴x2+y2﹣2y1y+y12=3（x2+y2﹣2y2y+y22，2y+2﹣2y1y+y12=3（2y+2﹣2y2y+y22），依题意此方程对y恒成立，故，解得或，故在y轴上存在两点A（0，﹣2）、B（0，0），或A（0，4）、B（0，2），使得对于圆C上的任意一点P，都有|PA|=|PB．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系．属中档题．21．（15分）如图，四面体ABCD中，△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，△BCD是边长为2的正三角形．（Ⅰ）当AD为多长时，AC⊥BD？（Ⅱ）当二面角B﹣AC﹣D为时，求AD的长．【分析】（Ⅰ）取BD中点O，连接AO，CO，利用等腰直角三角形与正三角形的性质可得：BD⊥平面AOC，即可得出．（Ⅱ）如图所示，取BC的中点F，连接DF．利用等腰直角三角形与正三角形的性质可得BC⊥平面ADF．经过D点作DE⊥AF，垂足为E，可得DE⊥平面ABC．假设作EC′⊥AC，垂足为C′．设DE=x，EF=y．可得x2+y2=DF2=3，x=，解得x=，y=1．可得点C′与点C重合．可得：∠DCE为二面角B﹣AC﹣D的平面角，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）取BD中点O，连接AO，CO，∵△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，△BCD是边长为2的正三角形．∴BC=CD=BD=2，AB=AC=，∴CO⊥BD，当AC⊥BD时，由AC∩CO=C，得BD⊥平面AOC，∵AO⊂平面AOC，∴AO⊥BD，∴AD=AB=，∴当AD为时，AC⊥BD．（Ⅱ）如图所示，取BC的中点F，连接DF．∵△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，△BCD是边长为2的正三角形．∴BC⊥AF，BC⊥DF．又AF∩DF=F．AC=，DF=．∴BC⊥平面ADF．经过D点作DE⊥AF，垂足为E，则DE⊥平面ABC．假设作EC′⊥AC，垂足为C′．设DE=x，EF=y．则x2+y2=DF2=3，x=，解得x=，y=1．∴=2，因此点C′与点C重合．可得：∠DCE为二面角B﹣AC﹣D的平面角，为，∴AD==．【点评】本题考查空间位置关系、等腰三角形与等边三角形的性质、空间角，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于难题．22．（15分）已知椭圆的离心率为，且过点B（0，1）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若点A是椭圆的右顶点，点P（x0，y0）（y0＞1）在以AB为直径的圆上，延长PB交椭圆E于点Q，求|BP|•|BQ|的最大值．【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和b=1，结合基本量的关系，可得a，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）可得A（2，0），又B（0，1），求得圆方程和设PQ的参数方程为（t为参数，α为锐角），分别代入圆方程和椭圆方程，可得|BP|，|BQ|，再由换元法和判别式法，解不等式可得最大值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆的离心率为，且过点B（0，1），可得b=1，e==，a2﹣b2=c2，解得a=2，c=，则椭圆E的方程为+y2=1；（Ⅱ）可得A（2，0），又B（0，1），可得以AB为直径的圆方程为x2+y2﹣2x﹣y=0，设PQ的参数方程为（t为参数，α为锐角），代入圆方程可得t2+t（sinα﹣2cosα）=0，可得|BP|=t1=2cosα﹣sinα，将直线的参数方程代入椭圆方程可得：t2（cos2α+4sin2α）+8tsinα=0，可得|BQ|=，则|BP|•|BQ|==，设t=tanα＞0，设上式为y=f（t）=，即有（4y+8）t2﹣16t+y=0，y＞0，△≥0，即为256﹣4y（4y+8）≥0，解得0＜y≤﹣1，则|BP|•|BQ|的最大值为﹣1．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式，考查直线的参数方程的运用和参会时的几何意义，以及换元思想和判别式法，考查运算能力，属于中档题．。

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2017-2018学年浙江省绍兴市上虞区高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线l经过坐标原点和点（﹣1，﹣1），则直线l的倾斜角是（）A．B．C．或D．﹣2．下列方程表示焦点在y轴上且短轴长为2的椭圆是（）A．B．C．D．3．双曲线﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x4．已知直线l不在平面α内，则“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n6．设F1，F2分别是椭圆+=1的左，右焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|：|PF2|=4：3，则△PF1F2的面积为（）A．24B．25C．30D．487．若直线l：ax+by+1=0平分圆M：x2+y2+4x+2y+1=0的周长，则a2+b2﹣2a的最小值为（）A．B．C．D．8．已知过抛物线y2=4x焦点F的直线l交抛物线于A、B两点（点A在第一象限），若=3，则直线l的斜率为（）A．2B．C．D．9．设点M（3，4）在圆x2+y2=r2（r＞0）外，若圆O上存在点N，使得，则实数r的取值范围是（）A．B．C．D．10．已知P﹣ABC是正四面体（所有棱长都相等的四面体），E是PA中点，F是BC上靠近B的三等分点，设EF与平面PAB，平面PAC，平面PBC所成角分别为α，β，γ，则（）A．β＞γ＞αB．γ＞β＞αC．α＞β＞γD．α＞γ＞β二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分．11．（6分）圆x2+y2﹣4x=0的圆心坐标是；半径为．12．（6分）抛物线x2=4y的焦点坐标是；准线方程为．13．（6分）直线l1：mx+y﹣2=0，直线l2：x﹣2y+2=0，若l1∥l2，则实数m=；l2关于x轴对称的直线方程为．14．（6分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是cm3，表面积是cm2．15．（6分）双曲线的一个焦点到其渐近线距离为3，则实数k的值为．16．（3分）E是正方形ABCD的边CD的中点，将△ADE绕AE旋转，则直线AD与直线BE所成角的余弦值的取值范围是17．（3分）若点P（x，y）在圆x2+y2+10x+10y+45=0上，则代数式的最大值是．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（14分）已知直线l过点M（﹣3，3），圆C：x2+y2+4y+m=0（m∈R）．（Ⅰ）求圆C的圆心坐标及直线l截圆C弦长最长时直线l的方程；（Ⅱ）若过点M直线与圆C恒有公共点，求实数m的取值范围．19．（15分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点．（Ⅰ）证明A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）若C1C=CA=2，求直线AB与平面ADC1所成角的正弦值．20．（15分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=3的圆心在直线y=x+1上．（Ⅰ）若圆C与y轴相切，求圆C的方程；（Ⅱ）当a=0时，问在y轴上是否存在两点A，B，使得对于圆C上的任意一点P，都有|PA|=|PB|，若有，试求出点A，B的坐标，若不存在，请说明理由．21．（15分）如图，四面体ABCD中，△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，△BCD 是边长为2的正三角形．（Ⅰ）当AD为多长时，AC⊥BD？（Ⅱ）当二面角B﹣AC﹣D为时，求AD的长．22．（15分）已知椭圆的离心率为，且过点B（0，1）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若点A是椭圆的右顶点，点P（x0，y0）（y0＞1）在以AB为直径的圆上，延长PB交椭圆E于点Q，求|BP|•|BQ|的最大值．2017-2018学年浙江省绍兴市上虞区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线l经过坐标原点和点（﹣1，﹣1），则直线l的倾斜角是（）A．B．C．或D．﹣【分析】利用斜率的计算公式先求出直线的斜率，再利用正切函数求出直线的斜率．【解答】解：∵直线l经过坐标原点和点（﹣1，﹣1），∴直线l的斜率k==1，∴直线l的倾斜角α=．故选：A．【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意斜率公式的合理运用．2．下列方程表示焦点在y轴上且短轴长为2的椭圆是（）A．B．C．D．【分析】利用椭圆的方程判断焦点坐标的位置以及短轴长即可．【解答】解：的焦点坐标在y轴上，短半轴长为1，短轴才为2；所以A正确；选项B、D，焦点坐标在x轴上，不正确；选项C，短轴长为4，不正确；故选：A．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．3．双曲线﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得其焦点在x轴上，以及a、b的值，进而结合渐近线的方程并代入a、b的值计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：﹣=1，其中焦点在x轴上，且a==3，b==4，则其渐近线方程为：y=±x，故选：B．【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是利用双曲线的标准方程求出a、b的值．4．已知直线l不在平面α内，则“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【分析】“直线l上有两个点到平面α的距离相等”⇒“l∥α或直线l与平面α相交”，“l ∥α”⇒“直线l上有两个点到平面α的距离相等”，由此能求出结果．【解答】解：由直线l不在平面α内，知：“直线l上有两个点到平面α的距离相等”⇒“l∥α或直线l与平面α相交”，“l∥α”⇒“直线l上有两个点到平面α的距离相等”，∴“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查直线与平行的位置关系等基础知识，是基础题．5．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n【分析】通过举反例可得A、B、C不正确，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，可得D正确，从而得出结论．【解答】解：A、m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故A错误；B、α，β 垂直于同一个平面γ，故α，β 可能相交，可能平行，故B错误；C、α，β平行于同一条直线m，故α，β 可能相交，可能平行，故C错误；D、垂直于同一个平面的两条直线平行，故D正确．故选：D．【点评】本题考查两个平面平行的判定和性质，平面与平面垂直的性质，线面垂直的性质，注意考虑特殊情况，属于中档题．6．设F1，F2分别是椭圆+=1的左，右焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|：|PF2|=4：3，则△PF1F2的面积为（）A．24B．25C．30D．48【分析】求得椭圆的a，b，c，运用椭圆的定义和条件可得|PF1|=8，|PF2|=6，|F1F2|=10，运用勾股定理和三角形的面积公式计算可得所求值．【解答】解：椭圆+=1的a=7，b=2，c=5，则|PF1|+|PF2|=2a=14，|PF1|：|PF2|=4：3，可得|PF1|=8，|PF2|=6，|F1F2|=10，显然|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，即PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为|PF1|•|PF2|=×8×6=24．故选：A．【点评】本题考查椭圆的定义和方程、性质，注意定义法的运用和勾股定理和三角形的面积公式的应用，考查运算能力，属于基础题．7．若直线l：ax+by+1=0平分圆M：x2+y2+4x+2y+1=0的周长，则a2+b2﹣2a的最小值为（）A．B．C．D．【分析】由已知条件我们可以判定直线必过圆的圆心，求出a，b的关系，再由a2+b2﹣2a的几何意义，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．【解答】解：∵直线l：ax+by+1=0始终平分圆M：x2+y2+4x+2y+1=0的周长，∴直线必过圆M：x2+y2+4x+2y+1=0的圆心，即圆心（﹣2，﹣1）点在直线l：ax+by+1=0上，则2a+b﹣1=0，则（a﹣1）2+b2表示点（1，0）到直线2a+b﹣1=0点的距离的平方，点（1，0）到直线2a+b﹣1=0点的距离d=，则a2+b2﹣2a的最小值为d2﹣1=﹣，故选：D．【点评】直线的性质与圆的方程都是高考必须要考的知识点，此题巧妙地将直线与圆性质融合在一起进行考查，解题的关键是转化思想的巧妙利用．8．已知过抛物线y2=4x焦点F的直线l交抛物线于A、B两点（点A在第一象限），若=3，则直线l的斜率为（）A．2B．C．D．【分析】作出抛物线的准线，设A、B在l上的射影分别是C、D，连接AC、BD，过B作BE⊥AC于E．由抛物线的定义结合题中的数据，可算出Rt△ABE中，cos∠BAE=，得∠BAE=60°，即直线AB的倾斜角为60°，从而得到直线AB的斜率k值．【解答】解：作出抛物线的准线l：x=﹣1，设A、B在l上的射影分别是C、D，连接AC、BD，过B作BE⊥AC于E．∵=3，∴设AF=3m，BF=m，由点A、B分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得AC=3m，BD=m．因此，Rt△ABE中，cos∠BAE=，得∠BAE=60°所以，直线AB的倾斜角∠AFx=60°，得直线AB的斜率k=tan60°=，故选：D．【点评】本题给出抛物线的焦点弦被焦点分成3：1的比，求直线的斜率k，着重考查了抛物线的定义和简单几何性质，直线的斜率等知识点，属于中档题．9．设点M（3，4）在圆x2+y2=r2（r＞0）外，若圆O上存在点N，使得，则实数r的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：如图，要使圆O：x2+y2=r2（r＞0）上存在点N，使得∠OMN=，则∠OMN的最大值大于或等于时一定存在点N，使得∠OMN=，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时OM=5，ON=，又点M（3，4）在圆x2+y2=r2（r＞0）外，∴实数r的取值范围是．故选：C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．10．已知P﹣ABC是正四面体（所有棱长都相等的四面体），E是PA中点，F是BC上靠近B的三等分点，设EF与平面PAB，平面PAC，平面PBC所成角分别为α，β，γ，则（）A．β＞γ＞αB．γ＞β＞αC．α＞β＞γD．α＞γ＞β【分析】取AC中点G，连结PG，过B作BO⊥平面PAC，交PG于点O，在平面PAC中过O作OD∥AC，交PA于D，以O为原点，OP为x轴，OD为y轴，OB为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出α＞γ＞β．【解答】解：解：取AC中点G，连结PG，过B作BO⊥平面PAC，交PG于点O，在平面PAC中过O作OD∥AC，交PA于D，设正四面体棱长为2，则OG===，PO=PG=，BO==，以O为原点，OP为x轴，OD为y轴，OB为z轴，建立空间直角坐标系，则P（，0，0），A（﹣，1，0），B（0，0，），C（﹣，﹣1，0），E（，，0），F（﹣，﹣，），=（﹣，﹣，），=（﹣，1，0），=（﹣，0，），=（﹣，﹣1，0），∵EF与PA、PB、PC所成角分别为α、β、γ，∴cosα==0，∴α=90°，cosβ===，cosγ===，∴α＞γ＞β．故选：D．【点评】本题考查异面直线所成角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分．11．（6分）圆x2+y2﹣4x=0的圆心坐标是（2，0）；半径为2．【分析】把圆的一般方程化为标准方程，可得它的圆心坐标和半径．【解答】解：圆x2+y2﹣4x=0，即（x﹣2）2+y2 =4，它的圆心坐标是（2，0），半径等于2，故答案为：（2，0）；2．【点评】本题主要考查把圆的一般方程化为标准方程的方法，属于基础题．12．（6分）抛物线x2=4y的焦点坐标是（0，1）；准线方程为y=﹣1．【分析】由抛物线方程可得2p=4，即p=2，由焦点（0，），准线方程y=﹣，计算可得所求．【解答】解：抛物线x2=4y的2p=4，即p=2，可得焦点为（0，1），准线方程为y=﹣1．故答案为：（0，1），y=﹣1．【点评】本题考查抛物线的方程和性质，记住焦点坐标和准线方程是解题的关键，属于基础题．13．（6分）直线l1：mx+y﹣2=0，直线l2：x﹣2y+2=0，若l1∥l2，则实数m=﹣；l2关于x轴对称的直线方程为x+2y+2=0．【分析】根据两直线平行，斜率相等，即可求出m的值，设出直线方程上任一点坐标为（x，y），则关于x轴对称的坐标（x，﹣y）在直线x﹣2y+2=0，带入可得答案【解答】解：直线l1：mx+y﹣2=0，直线l2：x﹣2y+2=0，若l1∥l2，则﹣m=，即m=﹣，由题意，设所求直线方程上任一点坐标为（x，y），则关于x轴对称的坐标（x，﹣y）∵（x，﹣y）在直线x﹣2y+2=0，∴x+2y+2=0，即所求直线方程为x+2y+2=0，故答案为：﹣，x+2y+2=0【点评】本题考查了直线平行和斜率的关系，直线关于x轴对称直线方程的求法，属于基础题．14．（6分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是3cm3，表面积是11+cm2．【分析】由题意，直观图为以正视图为底面的直三棱柱，由图中数据可得该几何体的体积，表面积．【解答】解：由题意，直观图为以正视图为底面的直三棱柱，由图中数据可得该几何体的体积是=3cm3，表面积是（2+2+1+）×1+2×=11+cm2．故答案为3cm3，11+．【点评】本题考查圆三视图求面积、体积，考查学生的计算能力，确定直观图的形状是关键．15．（6分）双曲线的一个焦点到其渐近线距离为3，则实数k的值为﹣9．【分析】根据题意，由双曲线的方程分析可得双曲线的焦点位置，则设其焦点坐标为（±c，0），求出其渐近线方程，结合题意可得d==3，解可得k的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为，必有k＜0，其焦点在x轴上，设其焦点坐标为（±c，0），则c2=4﹣k，其渐近线方程为：y=±x，即2y±x=0，若双曲线的一个焦点到其渐近线距离为3，假设（c，0）到渐近线2y+x=0的距离为d，则有d==3，解可得k=﹣9；故答案为：﹣9．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的方程不是标准方程，其次要正确求出其焦点到渐近线的距离．16．（3分）E是正方形ABCD的边CD的中点，将△ADE绕AE旋转，则直线AD与直线BE所成角的余弦值的取值范围是[，）【分析】由题意画出图形，求出△ADE没有旋转及将△ADE绕AE旋转，使面AED与平面ABCD重合时AD与BE的平行线AF所成角，则答案可求．【解答】解：如图，在平面ABCD内，过A作AF∥BE交CD的延长线于F，设正方形ABCD的边长为2，当△ADE没有旋转时，在Rt△ADF中，可得DF=1，AF=，∴cos∠FAD=；当将△ADE绕AE旋转，使面AED与平面ABCD重合时，此时求得DD′=，在△DAD′中，由AD=AD′=2，DD′=，由余弦定理可得：cos∠DAD′==．∴直线AD与直线BE所成角的余弦值的取值范围是[，）．故答案为：[，）．【点评】本题考查空间中异面直线所成角，考查空间想象能力与思维能力，训练了余弦定理的应用，是中档题．17．（3分）若点P（x，y）在圆x2+y2+10x+10y+45=0上，则代数式的最大值是1．【分析】将代数式分成两部分x﹣和，设x﹣=t，=k，分别求出t与k的最大值，以及取最大值的条件，结果它们取最大值的条件相同，所以t与k都取最大值时，所求代数式取最大值．【解答】解：∵圆x2+y2+10x+10y+45=0，即（x+5）2+（y+5）2=5是以（5，5）为圆心，以为半径的圆，因为代数式=x﹣y+，令=k，x﹣2y=t，因为k表示原点O与P点连线的斜率，所以当直线OP与圆相切时，=，解得k=或k=2，所以k的最大值为2，此时联立直线与圆可解得x=﹣3，y=﹣6，因为直线x﹣y﹣t=0与圆有交点，所以≤，解得﹣5≤t≤0，所以t的最大值为0，此时x﹣y=0，可解得切点为（﹣3，﹣6），由于k和t取最大值时得条件相同，都是x=﹣3，y=﹣6，所以代数式的最大值为2×+0=1．故答案为：1．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系．属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（14分）已知直线l过点M（﹣3，3），圆C：x2+y2+4y+m=0（m∈R）．（Ⅰ）求圆C的圆心坐标及直线l截圆C弦长最长时直线l的方程；（Ⅱ）若过点M直线与圆C恒有公共点，求实数m的取值范围．【分析】第一步利用直径为最长弦；第二步利用点与圆的位置关系．【解答】解：（Ⅰ）圆C方程标准化为：x2+（y+2）2=4﹣m∴圆心C的坐标为（0，﹣2）直线l截圆C弦长最长，即l过圆心，故此时l的方程为：，整理得：5x+3y+6=0；（Ⅱ）若过点M的直线与圆C恒有公共点，则点M在圆上或圆内，∴（﹣3）2+32+4×3+m≤0，得m≤﹣30．【点评】此题考查了直线与圆，点与圆的位置关系．19．（15分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点．（Ⅰ）证明A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）若C1C=CA=2，求直线AB与平面ADC1所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）以C为原点，在平面ABC中过C作BC的垂线为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明A1B∥平面ADC1．（Ⅱ）以C为原点，在平面ABC中过C作BC的垂线为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面ADC1所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）以C为原点，在平面ABC中过C作BC的垂线为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=a，CC1=b，则A1（，，b），B（0，a，0），A（，，0），D（0，，0），C1（0，0，b），=（﹣，，﹣b），=（，0，0），=（0，﹣，b），设平面ADC1的法向量=（x，y，z），则，取y=2，得=（0，2，），∵=0+a﹣a=0，A1B⊄平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1．解：（Ⅱ）以C为原点，在平面ABC中过C作BC的垂线为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，∵C 1C=CA=2，∴A （，，0），B （0，，0），D （0，，0），C 1（0，0，2），=（，0，0），=（0，﹣，2），=（﹣，，0），设平面ADC 1的法向量=（x ，y ，z ），则，取z=1，得=（0，2，1），设直线AB 与平面ADC 1所成角为θ，则sinθ===．∴直线AB 与平面ADC 1所成角的正弦值为．【点评】本题考查线面平面的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20．（15分）已知圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2=3的圆心在直线y=x +1上．（Ⅰ）若圆C 与y 轴相切，求圆C 的方程；（Ⅱ）当a=0时，问在y 轴上是否存在两点A ，B ，使得对于圆C 上的任意一点P ，都有|PA |=|PB |，若有，试求出点A ，B 的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）圆与y 轴相切，推出|a |=；（Ⅱ）假设存在满足题意的A、B、P，设出这三个点的坐标，然后由两点间的距离公式将几何条件|PA|=|PB坐标化，整理后对y恒成立两边对应项系数相等，列方程组解出y1，y2，即可求出．【解答】解：∵圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=3的圆心（a，b）在直线y=x+1上，∴b=+1，（I）∵圆C与y轴相切，∴|a|=，∴，，故所求圆C的方程，或，（II）∵a=0，b==1，∴圆的方程为x2+（y﹣1）2=3，∴x2+y2=2y+2，假设在y轴上存在两点A（0，y1）、B（0，y2），使得对于圆C上的任意一点P，都有|PA|=|PB|，设P（x，y），则由|PA|=|PB得x2+（y﹣y1）2=3[x2+（y﹣y2）2]，∴x2+y2﹣2y1y+y12=3（x2+y2﹣2y2y+y22，2y+2﹣2y1y+y12=3（2y+2﹣2y2y+y22），依题意此方程对y恒成立，故，解得或，故在y轴上存在两点A（0，﹣2）、B（0，0），或A（0，4）、B（0，2），使得对于圆C上的任意一点P，都有|PA|=|PB．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系．属中档题．21．（15分）如图，四面体ABCD中，△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，△BCD 是边长为2的正三角形．（Ⅰ）当AD为多长时，AC⊥BD？（Ⅱ）当二面角B﹣AC﹣D为时，求AD的长．【分析】（Ⅰ）取BD中点O，连接AO，CO，利用等腰直角三角形与正三角形的性质可得：BD⊥平面AOC，即可得出．（Ⅱ）如图所示，取BC的中点F，连接DF．利用等腰直角三角形与正三角形的性质可得BC⊥平面ADF．经过D点作DE⊥AF，垂足为E，可得DE⊥平面ABC．假设作EC′⊥AC，垂足为C′．设DE=x，EF=y．可得x2+y2=DF2=3，x=，解得x=，y=1．可得点C′与点C重合．可得：∠DCE为二面角B﹣AC﹣D的平面角，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）取BD中点O，连接AO，CO，∵△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，△BCD是边长为2的正三角形．∴BC=CD=BD=2，AB=AC=，∴CO⊥BD，当AC⊥BD时，由AC∩CO=C，得BD⊥平面AOC，∵AO⊂平面AOC，∴AO⊥BD，∴AD=AB=，∴当AD为时，AC⊥BD．（Ⅱ）如图所示，取BC的中点F，连接DF．∵△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，△BCD是边长为2的正三角形．∴BC⊥AF，BC⊥DF．又AF∩DF=F．AC=，DF=．∴BC⊥平面ADF．经过D点作DE⊥AF，垂足为E，则DE⊥平面ABC．假设作EC′⊥AC，垂足为C′．设DE=x，EF=y．则x2+y2=DF2=3，x=，解得x=，y=1．∴=2，因此点C′与点C重合．可得：∠DCE为二面角B﹣AC﹣D的平面角，为，∴AD==．【点评】本题考查空间位置关系、等腰三角形与等边三角形的性质、空间角，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于难题．22．（15分）已知椭圆的离心率为，且过点B（0，1）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若点A是椭圆的右顶点，点P（x0，y0）（y0＞1）在以AB为直径的圆上，延长PB交椭圆E于点Q，求|BP|•|BQ|的最大值．【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和b=1，结合基本量的关系，可得a，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）可得A（2，0），又B（0，1），求得圆方程和设PQ的参数方程为（t为参数，α为锐角），分别代入圆方程和椭圆方程，可得|BP|，|BQ|，再由换元法和判别式法，解不等式可得最大值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆的离心率为，且过点B（0，1），可得b=1，e==，a2﹣b2=c2，解得a=2，c=，则椭圆E的方程为+y2=1；（Ⅱ）可得A（2，0），又B（0，1），可得以AB为直径的圆方程为x2+y2﹣2x﹣y=0，设PQ的参数方程为（t为参数，α为锐角），代入圆方程可得t2+t（sinα﹣2cosα）=0，可得|BP|=t1=2cosα﹣sinα，将直线的参数方程代入椭圆方程可得：t2（cos2α+4sin2α）+8tsinα=0，可得|BQ|=，则|BP|•|BQ|==，设t=tanα＞0，设上式为y=f（t）=，即有（4y+8）t2﹣16t+y=0，y＞0，△≥0，即为256﹣4y（4y+8）≥0，解得0＜y≤﹣1，则|BP|•|BQ|的最大值为﹣1．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式，考查直线的参数方程的运用和参会时的几何意义，以及换元思想和判别式法，考查运算能力，属于中档题．。