第九章应力状态与应变状态分析
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应力及应变状态
斜切微分面上的应力
19Βιβλιοθήκη 一、一点附近应力表示法4. 主应力和应力不变量 已知单元体的应力状态为：
és x t xy t xz ù és x t xy t xz ù ê ú ê ú s ij = êt yx s y t yz ú = ê s y t yz ú êt zx t zy s z ú ê sz ú û ë û ë
s 1 = s 0 × cos a
F
单向拉伸时轴向应力随截面方位变化
16
外载荷不变的情况下， 应力的数值取决于其所 作用平面的方位。
一、一点附近应力表示法
3. 直角坐标系下一点的应力状态
s ij =
és x t xy t xz ù êyx s y t yz ú t êt yx s y t yz ú êt zx t zy s z ú ë û
应力状态和应变状态分析
内容
l塑性加工应力分析 — 一点附近应力表示方法 l平衡微分方程 l塑性加工应变分析 --- 点的应变状态分析
2
F
预测金属变形？载荷？缺陷？ 应力和应变分析 变形区域内接触应力 变形力F
平衡方程 Forging F 塑性条件 物理方程 几何方程 边界条件
Extrusion
三维空间问题 （十三个未知数，十三个方程） 轴对称问题 （九个未知数，九个方程） 平面问题 3 （三个未知数，三个方程）
一、一点附近应力表示法
1.基本概念
外力： 外部施加作用在物体上的力。（接触力，摩擦力，重力等） 内力： 外力作用下，物体各点之间产生相互作用的力。 应力： 变形体中单位面积上的内力。
4
一、一点附近应力表示法 外力分析
正压力—工具与工件接触面上的垂直作用力
19Βιβλιοθήκη 一、一点附近应力表示法4. 主应力和应力不变量 已知单元体的应力状态为：
és x t xy t xz ù és x t xy t xz ù ê ú ê ú s ij = êt yx s y t yz ú = ê s y t yz ú êt zx t zy s z ú ê sz ú û ë û ë
s 1 = s 0 × cos a
F
单向拉伸时轴向应力随截面方位变化
16
外载荷不变的情况下， 应力的数值取决于其所 作用平面的方位。
一、一点附近应力表示法
3. 直角坐标系下一点的应力状态
s ij =
és x t xy t xz ù êyx s y t yz ú t êt yx s y t yz ú êt zx t zy s z ú ë û
应力状态和应变状态分析
内容
l塑性加工应力分析 — 一点附近应力表示方法 l平衡微分方程 l塑性加工应变分析 --- 点的应变状态分析
2
F
预测金属变形？载荷？缺陷？ 应力和应变分析 变形区域内接触应力 变形力F
平衡方程 Forging F 塑性条件 物理方程 几何方程 边界条件
Extrusion
三维空间问题 （十三个未知数，十三个方程） 轴对称问题 （九个未知数，九个方程） 平面问题 3 （三个未知数，三个方程）
一、一点附近应力表示法
1.基本概念
外力： 外部施加作用在物体上的力。（接触力，摩擦力，重力等） 内力： 外力作用下，物体各点之间产生相互作用的力。 应力： 变形体中单位面积上的内力。
4
一、一点附近应力表示法 外力分析
正压力—工具与工件接触面上的垂直作用力
第九章应力状态(3,4,5)分解
s min
2 2
2 t x
解：
s 2 50MPa s 1 s 2 50MPa
s 3 50MPa
t max s1 s 3
2 50MPa
[例9-14]求图示应力状态的主应力和最大 剪应力（应力单位为MPa）。
s max
解：
s min
s x s y
§9-3 空间应力状态的概念
当一点处的三个主应力都不等于零时，称该点 处的应力状态为空间应力状态(三向应力状态)；钢 轨在轮轨触点处就处于空间应力状态(图a)。
空间应力状态最一 般的表现形式如图所 示；正应力sx、sy、sz 的下角标表示其作用 面，切应力txy、txz、tyx、 tyz、tzx、tzy的第一个下角标表示其作用面，第二个 下角标表示切应力的方向。
现在来导出一般空 间应力状态(图a)下的广 义胡克定律。因为在线 弹性,小变形条件下可以 应用叠加原理，故知x方 向的线应变与正应力之 间的关系为
s y sz 1 ex s x s y s z E E E E 同理有 1 1 e y s y s x s z ，e z s z s x s y E E sx
图中所示的正应力和切应力均为正的，即正应力以拉应 力为正。如果某作用面的外法线是沿着坐标轴的正向，则该 面上的切应力分量就以沿坐标轴正向时为正，相反，如果某 截面上的外法线是沿着坐标轴的负向，则该面上的切应力分 量就以沿坐标轴负向时为正。这样剪应力互等定理的表达式 就可不加负号了。
最一般表现形式的空间应力状态中有9个应力 分量，但根据切应力互等定理有txy＝tyx，tyz＝tzy ， txz＝tzx，因而独立的应力分量为6个，即sx、sy、sz、 tyx、tzy、tzx。
2 2
2 t x
解：
s 2 50MPa s 1 s 2 50MPa
s 3 50MPa
t max s1 s 3
2 50MPa
[例9-14]求图示应力状态的主应力和最大 剪应力（应力单位为MPa）。
s max
解：
s min
s x s y
§9-3 空间应力状态的概念
当一点处的三个主应力都不等于零时，称该点 处的应力状态为空间应力状态(三向应力状态)；钢 轨在轮轨触点处就处于空间应力状态(图a)。
空间应力状态最一 般的表现形式如图所 示；正应力sx、sy、sz 的下角标表示其作用 面，切应力txy、txz、tyx、 tyz、tzx、tzy的第一个下角标表示其作用面，第二个 下角标表示切应力的方向。
现在来导出一般空 间应力状态(图a)下的广 义胡克定律。因为在线 弹性,小变形条件下可以 应用叠加原理，故知x方 向的线应变与正应力之 间的关系为
s y sz 1 ex s x s y s z E E E E 同理有 1 1 e y s y s x s z ，e z s z s x s y E E sx
图中所示的正应力和切应力均为正的，即正应力以拉应 力为正。如果某作用面的外法线是沿着坐标轴的正向，则该 面上的切应力分量就以沿坐标轴正向时为正，相反，如果某 截面上的外法线是沿着坐标轴的负向，则该面上的切应力分 量就以沿坐标轴负向时为正。这样剪应力互等定理的表达式 就可不加负号了。
最一般表现形式的空间应力状态中有9个应力 分量，但根据切应力互等定理有txy＝tyx，tyz＝tzy ， txz＝tzx，因而独立的应力分量为6个，即sx、sy、sz、 tyx、tzy、tzx。
应力应变状态
应力应变状态
作为一名小学生，我不太懂“应力应变状态”这个词呀，这对我来说太难啦！这难道不是大人们在工程学或者物理学里才会研究的东西吗？
不过我可以想象一下，“应力应变状态”就好像我们做游戏时的规则和我们的表现。
比如说，玩跳绳的时候，绳子就像一个有规则的“应力”，我们跳的动作和速度就是“应变”。
如果绳子甩得太快或者太慢，这就是一种特别的“应力状态”，而我们能不能跟上节奏跳过去或者被绊倒，就是我们的“应变状态”啦。
再比如搭积木，积木的材质和结构承受的压力就是“应力”，而积木会不会变形、倒塌就是“应变”。
如果我们堆得太高，积木承受不住了，这不就是一种不好的“应力应变状态”吗？
哎呀，我真的不太确定我说的对不对。
我去问问我的小伙伴们。
我找到小明，问他：“小明，你知道应力应变状态吗？”小明挠挠头说：“我不知道呀，这听起来好难！”我又跑去问小红，小红眨眨眼睛说：“我好像在哥哥的书上看到过，但是不太懂呢。
”
我想，也许“应力应变状态”就像一个神秘的密码，等着我们长大后去解开。
它是不是像一个隐藏在深处的宝藏，只有掌握了特殊的知识和技能才能找到？
对于现在的我来说，虽然不太明白这个复杂的概念，但我相信，只要我努力学习知识，总有一天能搞清楚的！我可不会被它难倒，我一定要弄明白！。
应力和应变状态
由应力圆可计算出： 1 5P， 2 P
例3 已知受力构件的A点处于平面应力状态，过A点两斜截面上 的应力圆如图，试用应力圆求该点的主应力、主平面和最大剪应 力。
解：
1 OA1 232.5MPa
3 OB1 107.5MPa
100
max 170MPa R
四、三向应力状态和最大剪应力
若单元体是主单元体，即各面上的应力为主应力； 各方向的主应变为：
1 2
3
1
E 1
E 1
E
1 2 3
2 1 2
3 3 1
各平面的剪应变为零
12 23 31 0.
例1、测得A点处的x=400×10-6，y=-120×10-6 （）。已知： E=200GPa，=0.3，求A点在x和y方向上的正应力。
3）夹角关系：圆上某两条半径夹角等于单元体上对 应截面外法线夹角的两倍，且转向相同。
3.应力圆的应用:
1）确定单元体上任一斜截面上的正应力σα、 剪应力τα；
2）确定两个主应力的大小和方位；
3）确定两个最大最小剪应力的大小和方位；
例1 σx=60MPa,τxy=20.6MPa ,σy= 0 , 用图解法求： 1）该点的主应力和主平面的方位； 2）求与轴线方向成-450的应力σ-450、τ -450 ？
100 (80) sin 600 40cos600 2
97.64(MPa)
4）计算σmax、σmin及主平面方位角
max
min
x
y
2
x
2
y
2
2 xy
10888.5.（5 MPa）
1 108 .5, 2 0, 3 88.5
t g20
2xy x y
9第九章 应力、应变分析、强度理论123
第九章 应力、应变分析、强度理论一、是非题9-1、单元体最大正应力面上的剪应力恒等于零。
（ ）9-2、单元体最大剪应力面上的正应力恒等于零。
（ ）9-3、依照剪应力互等定理，一单元体中两个平面上的剪应力数值相等，符号相反，则这两平面必定相互垂直。
（ ）9-4、 只要构件横截面上的轴力N=0，则该横截面正应力处处为零。
（ ）9-5、 梁受横力弯曲时，其横截面上各点处的主应力必定是σ1≥0，σ3≤0。
（ ）9-6、 等截面圆杆受纯扭转时，杆内任一点处只有剪应力，而无正应力。
（ ）9-7、若受力构件中一点处，某方向上的线应变为零，则该方向上的正应力必为零。
（ ）9-8、若受力钢质构件中的一点处，某相互垂直方向的剪应变为零，则该方向上的剪应力必为零。
（ ） 9-9、若各向同性材料单元体的三个正应力σx >σy >σz ，则对应的三个线应变也有εx >εy >εz 。
（ ） 9-10、 各向同性单元体的三个主应变为ε1≠0，ε2≠0，ε3=0，若（1）、当ε1>0，则必有σ1>0；（ ）（2）、当ε1>ε2，则必有σ1>σ2；（ ）（3）、当ε1>ε2>0，则()()21max 12εεμτ-+=E 。
（ ） 9-11、各向同性材料在三向均匀压缩或拉伸时，其形状改变比能恒等于零。
（ ）二、选择题9-12、单元体应力状态如图9-1所示，由x 轴至σ1方向的夹角为（ ）。
A 、＋13.5°；B 、－76.5°；C 、＋76.5°；D 、－13.5°。
9-13、 若已知σ1=5MP a ，则另一个主应力为（ ）。
A 、σ2=－85MP a ；B 、σ3=－85MP a ；C 、σ2=75MP a ；D 、σ3=－75MP a 。
9-14、 三种应力状态分别如图9-2a 、b 、c 所示，则三者间的关系为（ ）。
A 、完全等价；B 、完全不等价；C 、（b ）和（c ）等价；D 、（a ）和（c ）等价。
第九章应力状态(3,4,5)
s
3
e3
1 E
s
3
s 1
s 2
例 9-17
边长a =0.1 m的铜质立方体，置于刚性很大的 钢块中的凹坑内(图a)，钢块与凹坑之间无间隙。 试求当铜块受均匀分布于顶面的竖向荷载F =300 kN时，铜块内的主应力，最大切应力，以及铜块 的体应变。已知铜的弹性模量E =100 GPa，泊松比
1 2
E
sx sy sz
思考: 各向同性材料制成的构件内一点处，
三个主应力为s1＝30 MPa，s2＝10 MPa，s3＝-40
MPa。现从该点处以平行于主应力的截面取出边 长均为a的单元体，试问：(1) 变形后该单元体的 体积有无变化？(2) 变形后该单元体的三个边长之 比有无变化？
弹性,小变形条件下可以
应用叠加原理，故知x方 向的线应变与正应力之
间的关系为
e x
sx
E
sy
E
sz
E
1 E
sx
sy
sz
同理有
e y
1 E
s
y
s x
s z ，e z
1 E
sz
sx
s
最一般表现形式的空间应力状态中有9个应力
分量，但根据切应力互等定理有txy＝tyx，tyz＝tzy ， txz＝tzx，因而独立的应力分量为6个，即sx、sy、sz、 tyx、tzy、tzx。
当空间应力状态的三个主应
力s1、s2、s3已知时(图a)，与
任何一个主平面垂直的那些斜截
面(即平行于该主平面上主应力
第九章应变、力与
Rl 忽略
R
计时： R Rl
R S S R Rl '
S
R
应对灵敏度加以修正
5、减小读数漂移 使电桥电密尽可能对称。良好的接地。 6、电磁干扰 如有电磁场，可能是仪表发生误差。
7、测点的选择 对于被测体，如何选择测点，是正确测量的一个重要环节。一 般以最少的测点达到真实反映结构受力状态的原则来选点。 （1）对被测结构进行受力分析。找出其主要处的受力和变形 部位。 （2）对应力集中部位，应适当多分布测点。 （3）利用对称性，可减少测点。 （4)利用已知应变，应力的位置。可检查结果的正确性。
电阻应变仪分类
类 别
静态电阻应变仪 静动态电阻应变仪 动态电阻应变仪 超动态电阻应变仪 遥测应变仪
测量应变信号
静态应变 单点动态应变测量 周期或非周期动态应变 多通道 动态应变：爆炸、高速冲击 无线电传输信号原理 测量旋转体、运动件
测量频率范围
0 ~ 15Hz < 200Hz < 5KHz
几十 KHz
(3) 应变片自补偿法 粘贴在被测部位上的是一种特殊应变片，当温 度变化时，产生的附加应变为零或相互抵消，这种 特殊应变片称为温度自补偿应变片。 ①选择式自补偿应变片 ②双金属敏感栅自补偿应变片 这种应变片也称组合式自补偿应变片。这是利用 两种电阻丝材料的电阻温度系数不同(一个为正，一 个为负)的特性，将二者串联绕制成敏感栅。
h
H1 H 3 2
0
对每一个记录幅值，都可同样办法计算其对应的应变值。
第二节
力的测量
通过对机械零件和机械结构的力的测量，可以分析其受力状 况和工作状态，验证设计计算，确定工作过程和某些物理现 象的机理。力的测量方法可以归纳为利用力的静力效应和动 力效应两种。
材料力学：第九章 应力状态分析
Me
τx
C
F
Me
d
C
(a)
·
σx
(b)
C
T
F
解：C点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图 所示， 点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图b所示 点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图 所示， 其值为
FN 500 × 103 N σx = = = 63.7 × 106 Pa=63.7MPa π 2 A 0.1m ) ( 4
经整理后得到 ）、（2） ）、（ （1） 由（1）、（ ）式，可以求出单 ） 元体各个截面上的应力。（ 。（即 点 元体各个截面上的应力。（即a点 （2） 处各个方向上的应力） ） 处各个方向上的应力）
∑F = 0
t
τ =τ′
σ α = −τ sin 2α
τ α = τ cos 2α
定义：构件内一点处各个方向上的应力集合， 定义：构件内一点处各个方向上的应力集合，称为该点处的 应力状态。 应力状态。
F F
横截面上只有正应力，且 横截面上只有正应力， 均匀分布 计算公式： 计算公式：
m
σ
F
FN
FN σ= A
等直圆杆扭转时横截面上的应力： 等直圆杆扭转时横截面上的应力：
Me m Me
m
横截面上只有切应力，呈 横截面上只有切应力， 线性分布
T
o
τρ
τmax
T⋅ρ 计算公式： 计算公式： τρ = Ip
R
τ
T 16 M e τ= = WP πd3
为了研究a点处各个方向的应力，围绕a点取一个各边长均为无 为了研究 点处各个方向的应力，围绕 点取一个各边长均为无 点处各个方向的应力 限小的六面体（称为单元体）。 限小的六面体（称为单元体）。 径向截面
τx
C
F
Me
d
C
(a)
·
σx
(b)
C
T
F
解：C点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图 所示， 点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图b所示 点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图 所示， 其值为
FN 500 × 103 N σx = = = 63.7 × 106 Pa=63.7MPa π 2 A 0.1m ) ( 4
经整理后得到 ）、（2） ）、（ （1） 由（1）、（ ）式，可以求出单 ） 元体各个截面上的应力。（ 。（即 点 元体各个截面上的应力。（即a点 （2） 处各个方向上的应力） ） 处各个方向上的应力）
∑F = 0
t
τ =τ′
σ α = −τ sin 2α
τ α = τ cos 2α
定义：构件内一点处各个方向上的应力集合， 定义：构件内一点处各个方向上的应力集合，称为该点处的 应力状态。 应力状态。
F F
横截面上只有正应力，且 横截面上只有正应力， 均匀分布 计算公式： 计算公式：
m
σ
F
FN
FN σ= A
等直圆杆扭转时横截面上的应力： 等直圆杆扭转时横截面上的应力：
Me m Me
m
横截面上只有切应力，呈 横截面上只有切应力， 线性分布
T
o
τρ
τmax
T⋅ρ 计算公式： 计算公式： τρ = Ip
R
τ
T 16 M e τ= = WP πd3
为了研究a点处各个方向的应力，围绕a点取一个各边长均为无 为了研究 点处各个方向的应力，围绕 点取一个各边长均为无 点处各个方向的应力 限小的六面体（称为单元体）。 限小的六面体（称为单元体）。 径向截面
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向
面
应
应
力
力
状 特例 状
态
态
单向应力状态
特例
纯剪应力状态
常用术语 主平面
x1
x1
面上只有正应力
主单元体
三个主平面相 互垂直
主应力 单元体的某个面上剪应力等于零时的正应力;
约定：
12 3
应力状态
空间（三向）应力状态： 三个主应力均不为零； 平面（二向）应力状态： 两个主应力不为零； 单向应力状态：一个主应力不为零;
两种材料的扭转试验
低碳钢扭转
铸铁扭转
为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？
为什么要研究应力状态 试件的破坏不只在横截面，
有时也沿斜截面发生破坏；
不仅要研究横截面上的应力， 而且也要研究斜截面上的应力。
三、如何描述一点的应力状态
微元
微元及其各面上的应力来描 述一点的应力状态。
dz
dy
dx
约定:
哪一个面上？ 哪一点？
指明
哪一点？ 哪个方向面？
应力状态:
——过同一点不同方向面上应力的集合，称 为这一点的应力状态；
二、为什么要研究应力状态？
请看下列实验现象：
低碳钢和铸铁的拉伸实验 低碳钢和铸铁的扭转实验
两种材料的拉伸试验
铸铁拉伸
低碳钢拉伸
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？ (P18 图2.16)
应力的面的概念
轴向拉压
F
同一横截面上各点应力相等： F
A
F
同一点在斜截面上时： co2s
2
sin2
应力的面的概念
——过同一点不同方向面上的应力 各不相同；
受轴向拉力作用的杆件，受力之前,表面的正方形
FP
FP
受拉后，正方形变成了矩形，直角没有改变。 横截面上没有剪应力；
应力的面的概念
受拉之前,表面斜置的正方形
9.1 应力状态概述
9.1 应力状态的基本概念 一、什么是应力状态？ 二、为什么要研究应力状态? 三、如何描述一点的应力状态?
一、什么是应力状态？
应力的点的概念: ——同一截面上不同点的应力 各不相同;
FQ
Mz
横截面上的正应力分布
横截面上的剪应力分布
结果表明：
同一面上不同点的应力各不相同，即应力的点的概念。
FP
FP
受力之后,在其表面斜置的正方形在受拉后， 变成了菱形。
这表明：拉杆的斜截面上存在剪应力。
应力的面的概念
受扭之前，圆轴表面的圆
Mx Mx
受扭后，变为一斜置椭圆，长轴方向伸长， 短轴方向缩短。这是为什么？
轴扭转时，其斜截面上存在着正应力。
根据微元的局部平衡
y' x x'
x' y'
x
x
拉中有切 x
微元体的体积为无穷小； 相对面上的应力等值、反向、共线;
一般三向（空间）应力状态
z
z
zx zy
xz yz
x x
xy
yx
y y
一般平面（二向）应力状态
σy
τyx
τ xy
x
σx
yx xy
y
一般单向应力状态或纯剪应力状态
y
x
x
y
yx xy
x
单向应力状态
纯剪力状态
一点的应力状态
三
平
3 2
1
本章难点 提取危险点处应力状态； 应力状态是一剪应力分析的基础；
1 提取拉压变形杆件一点的应力状态
x
F A
单向应力状态
2 提取拉压变形杆件一点的应力状态-斜截面上
co2s
2
sin2
3 提取扭转变形杆件一点的应力状态
T IP
T Wt
纯剪应力状态
4 提取横力弯曲变形杆件下边缘一点的应力状态
M Wz
单向应力状态
5 提取横力弯曲变形杆件任意一点的应力状态
My Iz
F
s
S
* z
bI z
平面应力状态
6 提取工字形截面梁上一点的应力状态
FP S平面
l/2
l/2
5
FQ
FP 2
S平面
5
4
4
3
3
Mz
FP l 4
2
2
1
1
x1
1
2
x2
3
3 3
2 2
2 2
4
x2
x1
5
7 同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式. S平面
F
F
1
F
A
1
S平面
n
F
1
F
1
90
Mx Mx
根据微元的局部平衡
y ' yx
x'
xy
xy
切中有拉
x' y' x'
yx
x'y'
x'
xy
x'y'
x'
yx
x
微元平衡分析结果表明：
即使同一点不同方向面上的应力也是各不相同的，此即应 力的面的概念。
不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力。
应力的点的概念与面的概念
应力