2018-2019学年浙江省9+1高中联盟高二(下)期中数学试卷(解析版)
2018-2019学年浙江省9+1高中联盟高二（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（4分）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，则∁U A＝（）A．∅B．{1，3}C．{2，4，5}D．{1，2，3，4，5} 2．（4分）函数的定义域是（）A．B．C．D．3．（4分）已知，，，则＝（）A．B．C．D．4．（4分）复数z＝在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．（4分）“sinα＝cosα”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（4分）为了得到的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位7．（4分）已知函数在区间（1，+∞）上有极小值无极大值，则实数a的取值范围（）A．B．C．D．8．（4分）为了提高某次考试的真实性，命题组指派4名教师对数学卷的选择题，填空题和解答题这3种题型进行改编，并且每人只能参与一种题型，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（）A．12B．24C．36D．729．（4分）已知函数f（x）满足，则f（1）+f（2020）的最大值是（）A．B．2C．D．410．（4分）已知函数f（x）＝alnx﹣2x，若不等式2alnx≤2x2+f（2x﹣1）在x∈（1，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a≤2B．a≥2C．a≤0D．0≤a≤2二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分．11．（6分）已知向量||＝1，，，的夹角为，则＝，||＝．12．（6分）已知随机变量X～B（n，p），则E（X）＝2，D（X）＝，则n＝，p ＝．13．（6分）二项式（1+2x）5展开式中，第三项的系数为；所有的二项式系数之和为．14．（6分）在数列{a n}中，已知a1＝2，，则a2＝，归纳可知a n＝．15．（4分）已知函数f（x）＝3x﹣2，若存在使得不等式成立，则实数λ的最小值为．16．（4分）设a＞0且a≠1，函数f（x）＝为奇函数，则f（g（2））＝．17．（4分）已知D是△ABC中AC所在边上的一点，，，，则在上投影的最小值是．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知函数，（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）当时，求f（x）的取值范围．19．（15分）中国乒乓球队为了备战2019直通布达佩斯世乒赛，在深圳集训并进行队内选拔．选手F与A，B，C三位选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，选手F获胜的概率分别为，，，且各场比赛互不影响．（Ⅰ）若选手至少获胜两场的概率大于，则该选手入选世乒赛最终名单，否则不予入选，问选手F是否会入选；（Ⅱ）求选手F获胜场数X的分布列和数学期望．20．（15分）已知向量与，其中．（Ⅰ）若⊥，求tan x的值；（Ⅱ）记函数f（x）＝•，且f（a）＝，求sinα的值．21．（15分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）满足f（0）＝0，对于任意x∈R都有f（x）≥x，且．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；（Ⅱ）令g（x）＝f（x）﹣|λx﹣1|（λ＞0），讨论函数g（x）在区间（﹣1，2）上零点个数的所有情况．22．（15分）已知函数f（x）＝mxln（x+1）+x+1，m∈R．（Ⅰ）求函数f（x）在x＝0处的切线方程；（Ⅱ）当x≥0时，f（x）≤e x，求实数m的取值范围．（Ⅲ）求证：（n∈N*）．2018-2019学年浙江省9+1高中联盟高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．【分析】根据补集的定义直接求解：∁U A 是由所有属于集合U 但不属于A 的元素构成的集合．【解答】解：根据补集的定义，∁U A 是由所有属于集合U 但不属于A 的元素构成的集合，由已知，有且仅有2，4，5符合元素的条件． ∁U A ＝{2，4，5} 故选：C ．【点评】本题考查了补集的定义以及简单求解，属于简单题． 2．【分析】由函数的解析式列出不等式进行求解即可． 【解答】解：由题意得，，解得x ＞，则函数的定义域是，故选：C ．【点评】本题考查了函数的定义域的求法，属于基础题． 3．【分析】运用平面向量基本定理可解决此问题．【解答】解：根据题意设＝x +y ，则（﹣1，2）＝x （1，1）+y （1，﹣1） ∴x +y ＝﹣1 ① x ﹣y ＝2 ②由①②知，x ＝，y ＝﹣∴＝﹣故选：D ．【点评】本题考查平面向量的坐标表示．4．【分析】将复数化简整理，得z＝﹣+i，由此不难得到它在复平面内对应的点，得到点所在的象限．【解答】解：＝＝﹣+i∴复数在复平面内对应的点为Z（﹣，），为第二象限内的点故选：B．【点评】本题将一个复数化为最简形式，找出它在复平面内对应的点所在的象限，着重考查了复数四则运算和复数的几何意义等知识，属于基础题．5．【分析】根据充分必要条件的定义结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：由“sinα＝cosα”得：α＝kπ+，k∈Z，故sinα＝cosα是“”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考查了充分必要条件，考查三角函数以及集合的包含关系，是一道基础题．6．【分析】先利用诱导公式统一这两个三角函数的名称，再利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数y＝sin2x＝cos（2x﹣）的图象向左平移个单位，可得y＝cos（2x+﹣）＝cos（2x+）的图象，故选：D．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．7．【分析】先对函数进行求导，根据函数函数在区间（1，+∞）上有极小值无极大值，列出不等式组，进而可解出a的范围．【解答】解：∵函数，∴f'（x）＝x2+2ax﹣2，∵函数在区间（1，+∞）上有极小值无极大值，∴f'（x）＝x2+2ax﹣2＝0在区间（1，+∞）上有1个实根，（﹣∞，1]上有1个根．，解得a＜．故选：A．【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件，以及二次函数根的分布问题，体现了转化和数形结合的思想．属中档题．8．【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将4名教师分成3组，②，将分好的三组全排列，对应3种题型，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，将4名教师分成3组，有C42＝6种分组方法，②，将分好的三组全排列，对应3种题型，有A33＝6种情况，则有6×6＝36种不同的分派方法；故选：C．【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．9．【分析】将条件进行平方，利用作差法构造函数g（x）＝2f（x）﹣f2（x），然后利用基本不等式的性质，转化为关于f（1）+f（2020）的一元二次不等式，进行求解即可．【解答】解：由，得2f（x）﹣f2（x）≥0，得0≤f（x）≤2，平方得f2（x+1）＝1+2+2f（x）﹣f2（x），①∴2f（x+1）＝2+2②②﹣①得2f（x+1）﹣f2（x+1）＝2+2﹣[1+2+2f（x）﹣f2（x）]＝1﹣[2f（x）﹣f2（x）]，即2f（x+1）﹣f2（x+1）+2f（x）﹣f2（x）＝1，③设g（x）＝2f（x）﹣f2（x），则③等价为g（x+1）+g（x）＝1，即g（x+2）+g（x+1）＝g（x+1）+g（x）＝1，∴g（x+2）＝g（x），则g（0）＝g（2）＝g（4）＝…＝g（2020），g（1）＝g（3）＝g（5）＝…＝g（2021），则g（1）+g（2020）＝g（1）+g（0）＝1，∴2f（1）﹣f2（1）+2f（2020）﹣f2（2020）＝1，即2[f（1）+f（2020）]﹣[f2（1）+f2（2020）]＝1即2[f（1）+f（2020）]﹣[f（1）+f（2020）]2\+2f（1）f（2020）]＝12f（1）f（2020）＝1+[f（1）+f（2020）]2\﹣2[f（1）+f（2020）]≤2×[]2＝[f（1）+f（2020）]2，设t＝f（1）+f（2020），则不等式等价为1+t2﹣2t≤t2，整理得t2﹣4t+2≤0，得2≤t≤2+，即2≤f（1）+f（2020）≤2+，则f（1）+f（2020）的最大值为2+，故选：C．【点评】本题主要考查函数最值的求解，根据条件利用平方法，构造函数，结合基本不等式的性质，转化为一元二次不等式是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．10．【分析】根据条件先计算f（x2），将不等式等价转化为f（x2）≤f（2x﹣1）在x∈（1，+∞）上恒成立，结合函数单调性进行求解即可．【解答】解：∵f（x）＝alnx﹣2x，x＞0，∴f（x2）＝alnx2﹣2x2＝2alnx﹣2x2，则不等式2alnx≤2x2+f（2x﹣1）在x∈（1，+∞）上恒成立，等价为2alnx﹣2x2≤f（2x﹣1），即f（x2）≤f（2x﹣1）在x∈（1，+∞）上恒成立，∵x2﹣（2x﹣1）＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2＞0，即x2＞2x﹣1，∴等价为函数f（x）在（1，+∞）为减函数即可，函数的导数f′（x）≤0即可，∵f′（x）＝﹣2，∴由f′（x）＝﹣2≤0，即≤2，则a≤2x，在（1，+∞）上恒成立，∵2x＞2，∴a≤2，即实数a的取值范围是a≤2，故选：A．【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，利用条件转化为f（x2）≤f（2x﹣1）在x∈（1，+∞）上恒成立，以及利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分．11．【分析】直接利用向量的数量积运算法则求解即可，通过向量的模转化求解即可．【解答】解：向量||＝1，，，的夹角为，则＝||||cos＝1×＝1，||＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查计算能力．12．【分析】直接利用离散型随机变量的期望与方差，列出方程求解即可．【解答】解：随机变量X﹣B（n，p），且E（X）＝2，D（X）＝，可得np＝2，np（1﹣p）＝，解得p＝．n＝8故答案为：8；．【点评】本题考查离散型随机变量的期望与方差公式的应用，考查计算能力．13．【分析】由二项式定理及二项式系数得：二项式（1+2x）5展开式的通项可得：T r+1＝（2x）r，当r＝2时，第三项的系数为＝40，所有的二项式系数之和为＝25＝32，得解．【解答】解：由二项式（1+2x）5展开式的通项可得：T r+1＝（2x）r，当r＝2时，第三项的系数为＝40，所有的二项式系数之和为＝25＝32，故答案为：40 32．【点评】本题考查了二项式定理及二项式系数，属中档题．14．【分析】根据数列的递推关系进行计算，利用取倒数法，结合等差数列的定义进行求解即可．【解答】解：∵a1＝2，，∴a2＝＝＝，由，取倒数得＝＝3+，得得﹣＝3，即数列{}是以公差d＝3的等差数列，首项为，则＝+3（n﹣1）＝，即a n＝，n∈N•故答案为：，【点评】本题主要考查递推数列的应用，结合数列递推公式，利用取倒数法是解决本题的关键．15．【分析】令f（x）≥﹣解得x＞，若存在θ∈（0，]，不等式f（cos2θ+λsinθ﹣1）+≥0成立，化为存在θ∈（0，]，不等式cos2θ+λsinθ﹣1＞成立，即sin2θ﹣λsinθ+≤0成立；设g（θ）＝sin2θ﹣λsinθ+，θ∈（0，]，求g（θ）的最小值小于或等于0即可．【解答】解：函数f（x）＝3x﹣2，令f（x）≥﹣，解得：x≥；若存在θ∈（0，]，不等式f（cos2θ+λsinθ﹣1）+≥0成立，则存在θ∈（0，]，cos2θ+λsinθ﹣1≥成立，即1﹣sin2θ+λsinθ﹣1≥成立，所以sin2θ﹣λsinθ+≤0成立；设g（θ）＝sin2θ﹣λsinθ+，θ∈（0，]，则g（θ）＝+﹣，由θ∈（0，]，得sinθ∈（0，1]；所以λ≤0时，g（θ）在（0，]上单调递增，则g（θ）＞g（0）＝，不满足题意；0＜λ≤2时，g（θ）在（0，]上先增或减，则g（θ）＞g（0）＝﹣，令﹣≤0，解得λ≥或λ≤﹣（不合题意，舍去），所以≤λ≤2；λ＞2时，g（θ）在（0，]上单调递减，则g（θ）＞g（）＝1﹣λ+＝﹣λ，令﹣λ≤0，解得λ≥，所以＞2；综上所述，λ的取值范围是[，+∞），所以λ的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了不等式成立应用问题，也考查了等价转化与应用问题，是难题．16．【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝0，即有f（0）＝a﹣2＝0，解可得a ＝2，则f（x）＝，据此结合函数解析式分析可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝为奇函数，且其定义域为R，则有f（0）＝a﹣2＝0，解可得a＝2，则f（x）＝，f（﹣2）＝2﹣1﹣2＝﹣，则g（2）＝f（2）＝﹣f（﹣2）＝，g（）＝f（）＝﹣f（﹣）＝2﹣，则f（g（2））＝2﹣，故答案为：2﹣．【点评】本题考查函数的奇偶性的应用，涉及分段函数的解析式，属于基础题．17．【分析】依题意AC＝6，设||＝t，（0≤t≤6），然后根据数量积可以求出•的最小值，从而可求出在上投影的最小值【解答】解：依题意AC＝6，设||＝t，（0≤t≤6）∵•＝（﹣）•＝•﹣•＝4×6×﹣6（6﹣t）＝6t﹣≥﹣（t＝0时取等，此时D与C重合），∴在上投影为＝≥﹣＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤．18．【分析】（Ⅰ）由题意利用两角和差的三角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得函数的最小正周期．（Ⅱ）当时，利用正弦函数定义域和值域，求出f（x）的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵＝＝，故它的周期．（Ⅱ）∵，∴，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，即．【点评】本题主要考查两角和差的三角公式，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于基础题．19．【分析】（Ⅰ）选手F与A，B，C的对抗赛获胜，利用互斥事件的概率以及对立事件的概率的乘法转化求解即可．（Ⅱ）X的可能值为0，1，2，3．求出概率，得到X的分布列，然后求解期望即可．【解答】（本题满分15分）解：（Ⅰ）…………（5分）∵∴F会入选………………（7分）（Ⅱ）X的可能值为0，1，2，3．P（X＝0）＝×＝，P（X＝1）＝××+××+××＝；P（X＝2）＝×+××+××＝，P（X＝3）＝××＝所以，X的分布列为：………………（15分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．20．【分析】（Ⅰ）通过向量的表达式，结合⊥，利用二倍角公式化简求tan x的值；（Ⅱ）化简函数f（x）＝•，且f（a）＝，列出关系式，通过两角和与差的三角函数，转化求sinα的值．【解答】（本题满分15分）解：（Ⅰ）向量与，其中．．………………（4分）∴………………（7分）（Ⅱ），∴………………（9分）∵，∴，∴………………（12分）∴＝＝………………（15分）【点评】本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数，三角函数化简求值，考查计算能力．21．【分析】（Ⅰ）利用二次函数的性质，得到对称轴方程，结合不等式恒成立进行求解即可（Ⅱ）求出g（x）的解析式，当当时，方程x2+x＝1﹣λx在内必有一解，则只需要讨论当时，方程x2+x＝λx﹣1在内的解的个数问题，利用一元二次函数的性质进行讨论求解即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（0）＝0，∴c＝0，∵对于任意x∈R，都有，∴函数f（x）的对称轴为，即，得a＝b………………（3分）又f（x）≥x，即ax2+（b﹣1）x≥0对于任意x∈R，都成立，∴a＞0，且△＝（b﹣1）2≤0．∵（b﹣1）2≥0，∴b＝1，a＝1．∴f（x）＝x2+x．………………（6分）（Ⅱ）g（x）＝f（x）﹣|λx﹣1|＝x2+x﹣|λx﹣1|，∵λ＞0，则即求方程x2+x﹣λ|x﹣|，在（﹣1，2）内的解的个数问题．∵λ＞0，当时，方程x2+x＝1﹣λx在内必有一解．………………（8分）只需考虑时，方程x2+x＝λx﹣1在内的解的个数问题．即x2+（1﹣λ）x+1＝0，判别式△＝（1﹣λ）2﹣4＝λ2﹣2λ﹣3＝（λ+1）（λ﹣3），当△＝0时，可得λ＝3．此时x＝1．在（，2）上，此时有一解；当△＜0时，可得0＜λ＜3．此时f（x）＝0无解，即此时在内无解；当△＞0时，可得λ＞3．记两解为x1，x2，（x1＜x2），∵x1•x2＝1，必有之间，取x＝2，若2λ﹣1＜f（2）即时，解x2∈（1，2）；若2λ﹣1＞f（2），即，x2∈[2，+∞）；………………（14分）综上，当0＜λ＜3时，g（x）在（﹣1，2）内有一个零点；当λ＝3或时，g（x）在（﹣1，2）内有两个零点；当时，g（x）在（﹣1，2）内有三个零点；………………（15分）【点评】本题主要考查了函数的解析式的求解，函数的单调区间，零点存在的判定定理，考查了分类讨论思想的在解题中的应用．属于综合性较强的试题．22．【分析】（Ⅰ）推导出函数f（x）恒过点（0，1）．f′（x）＝mln（x+1）++1，f′（0）＝1．利用导数性质能求出函数f（x）在x＝0处的切线方程．（Ⅱ）令g（x）＝e x﹣（x+1），x≥0．g（0）＝0．则g′（x）＝e x﹣1≥0，推导出e x ≥x+1．m≤0时，x≥0时，f（x）≤e x恒成立．m＞0时，x≥0时，f（x）≤e x．令F（x）＝f（x）﹣e x，（x≥0），F（0）＝f（0）﹣1＝0．由F（x）≤0，可得mxln（x+1）≤e x ﹣x﹣1，证明：≥．由此能求出实数m的取值范围．（Ⅲ）当时，，从而，令，推导出，利用累加法能证明（n∈N*）．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝mxln（x+1）+x+1，令x＝0时，f（0）＝1，∴函数f（x）恒过点（0，1）．f′（x）＝mln（x+1）++1，∴f′（0）＝1．∵函数f（x）在x＝0处的切线方程为：y﹣1＝x，即x﹣y+1＝0．（Ⅱ）令g（x）＝e x﹣（x+1），x≥0．g（0）＝0．则g′（x）＝e x﹣1≥0，∴x≥0时，函数g（x）单调递增，因此g（x）≥g（0）＝0，因此e x≥x+1．①若f（x）＝mxln（x+1）+x+1≤x+1，则f（x）≤e x，则mxln（x+1）≤0，可得：m≤0．∴m≤0时，x≥0时，f（x）≤e x恒成立．②m＞0时，x≥0时，f（x）≤e x．令F（x）＝f（x）﹣e x，（x≥0），F（0）＝f（0）﹣1＝0．由F（x）≤0，可得mxln（x+1）≤e x﹣x﹣1，x＝0时，化为0≤0，恒成立，m∈R．x＞0时，化为：m≤．下面证明：≥．令h（x）＝2e x﹣2x﹣2﹣xln（x+1），h（0）＝0．h′（x）＝2e x﹣2﹣ln（x+1）﹣．h′（0）＝0．h″（x）＝2e x﹣﹣≥h″（0）＝0，∴h′（x）≥0．∴函数h（x）在[0，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（0）＝0．∴≥成立，并且是其最小值．∴m≤．综上可得：实数m的取值范围是（﹣∞，）．（Ⅲ）由（2）知：当时，，∴，令，∴，∴，累加得：∴，∴（n∈N*）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、切线的斜率、不等式的解法与性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．。
2018-2019学年浙江省9+1高中联盟高二(下)期中数学试卷
2018-2019学年浙江省9+1高中联盟高二（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（4分）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，则∁U A＝（）A．∅B．{1，3}C．{2，4，5}D．{1，2，3，4，5} 2．（4分）函数的定义域是（）A．B．C．D．3．（4分）已知，，，则＝（）A．B．C．D．4．（4分）复数z＝在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．（4分）“sinα＝cosα”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（4分）为了得到的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位7．（4分）已知函数在区间（1，+∞）上有极小值无极大值，则实数a的取值范围（）A．B．C．D．8．（4分）为了提高某次考试的真实性，命题组指派4名教师对数学卷的选择题，填空题和解答题这3种题型进行改编，并且每人只能参与一种题型，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（）A．12B．24C．36D．729．（4分）已知函数f（x）满足，则f（1）+f（2020）的最大值是（）A．B．2C．D．410．（4分）已知函数f（x）＝alnx﹣2x，若不等式2alnx≤2x2+f（2x﹣1）在x∈（1，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a≤2B．a≥2C．a≤0D．0≤a≤2二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分．11．（6分）已知向量||＝1，，，的夹角为，则＝，||＝．12．（6分）已知随机变量X～B（n，p），则E（X）＝2，D（X）＝，则n＝，p ＝．13．（6分）二项式（1+2x）5展开式中，第三项的系数为；所有的二项式系数之和为．14．（6分）在数列{a n}中，已知a1＝2，，则a2＝，归纳可知a n＝．15．（4分）已知函数f（x）＝3x﹣2，若存在使得不等式成立，则实数λ的最小值为．16．（4分）设a＞0且a≠1，函数f（x）＝为奇函数，则f（g（2））＝．17．（4分）已知D是△ABC中AC所在边上的一点，，，，则在上投影的最小值是．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知函数，（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）当时，求f（x）的取值范围．19．（15分）中国乒乓球队为了备战2019直通布达佩斯世乒赛，在深圳集训并进行队内选拔．选手F与A，B，C三位选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，选手F获胜的概率分别为，，，且各场比赛互不影响．（Ⅰ）若选手至少获胜两场的概率大于，则该选手入选世乒赛最终名单，否则不予入选，问选手F是否会入选；（Ⅱ）求选手F获胜场数X的分布列和数学期望．20．（15分）已知向量与，其中．（Ⅰ）若⊥，求tan x的值；（Ⅱ）记函数f（x）＝•，且f（a）＝，求sinα的值．21．（15分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）满足f（0）＝0，对于任意x∈R都有f（x）≥x，且．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；（Ⅱ）令g（x）＝f（x）﹣|λx﹣1|（λ＞0），讨论函数g（x）在区间（﹣1，2）上零点个数的所有情况．22．（15分）已知函数f（x）＝mxln（x+1）+x+1，m∈R．（Ⅰ）求函数f（x）在x＝0处的切线方程；（Ⅱ）当x≥0时，f（x）≤e x，求实数m的取值范围．（Ⅲ）求证：（n∈N*）．。
2019-2020学年浙江省9+1联盟高二下学期期中考试数学试卷及解析
2019-2020学年浙江省9+1联盟高二下学期期中考试数学试卷★祝考试顺利★（解析版）一、选择题（本大题共10题,每小题4分,共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选,错选均不得分）1.设集合{}1,2,3,4A =,,m n A ∈,则方程221x y m n+=表示焦点位于x 轴上的椭圆有( ) A. 6个B. 8个C. 12个D. 16个【答案】A【解析】 根据m n >,对A 中元素进行分析即可求解.【详解】因为椭圆焦点在x 轴上,所以m n >,当2m =时,1n =；当3m =时,1,2n =；当4m =时,1,2,3n =,一共有6个符合要求的椭圆,故选：A2.设,x y R ∈,则11()()22x y >是22log log x y <成立的( ) A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】 根据指数函数的单调性、对数函数的单调性,可得出结论. 【详解】因为1()2x y =为R 上的减函数,2log y x =是(0,)+∞上的增函数, 所以由11()()22x y >可得x y <（,x y R ∈）22log log x y <,由22log log x y <可得x y <（,x y R +∈）⇒11()()22x y >, 故11()()22x y >是22log log x y <成立的必要不充分条件, 故选：B3.下列函数中是偶函数,且在0∞+（，）上单调递增的是（）A. 3y x =B. 2y lgx =-C. 2x y =D. y =【答案】D【解析】根据各函数的性质与单调性逐个判断即可.【详解】.A 函数为奇函数,不满足条件． B .函数的定义域为{|0}x x ≠,函数为偶函数,当0x >时,22y lgx lgx =-=-为减函数,不满足条件．C .2x y =为增函数,为非奇非偶函数,不满足条件．D .令()f x =定义域为R ,()()f x f x -===,该函数为偶函数,当0x >时,y =,满足条件,故选：D ．4.用数学归纳法证明“1112n n ++++…111()24n N n n +≥∈+”时,由n k =到1n k =+时,不等试左边应添加的项是( ) A.12(1)k + B. 112122k k +++ C. 11121221k k k +-+++ D. 1111212212k k k k +--++++ 【答案】C【解析】分别代入,1n k n k ==+,两式作差可得左边应添加项．【详解】由n=k 时,左边为11112k k k k+++++, 当n=k+1时,左边为11111231(1)(1)k k k k k k k k +++++++++++++。
2018-2019学年浙江省9 1高中联盟高一下学期期中数学试题(解析版)
2018-2019学年浙江省9+1高中联盟高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}2,3,4,5,6U =，集合{}2,4A =，集合{}2,3,4B =，则() U A B =I ð（ ） A ．{}2,4 B ．{}3C ．{}5,6D ．{}3,5,6【答案】D【解析】先求出{}2,4A B =I ,由此能求出() U A B I ð. 【详解】因为集合{2,4}A =,集合{3,2,4}B =, 所以{}2,4A B =I ，又{}2,3,4,5,6U =，所以() U A B =I ð{}3,5,6， 故选：D. 【点睛】本题考查集合的交集，补集运算，属于基础题. 2．下列函数既是奇函数，又在()0,+?上为增函数的是（ ）A ．1y x=B ．3y x =C ．y x =D ．2log y x =【答案】B【解析】根据题意,依次分析选项中函数的奇偶性与单调性,综合即可得答案. 【详解】根据题意,依次分析选项: 对于A,1y x=为奇函数,但在区间(0,)+∞上为减函数,不符合题意; 对于B, 3y x =,有()33=x x --，所以3y x =奇函数，且在()0,+?上为增函数，符合题意；对于C,||y x =,有()||||()f x x x f x -=-==,即()f x 为偶函数,不符合题意; 对于D,2log y x =为非奇非偶函数,不符合题意; 故选：B. 【点睛】于基础题.3．已知函数()28xf x x =+-，若()00f x =，则（ ）A ．001x <<B ．012x <<C ．023x <<D ．x <<034【答案】C【解析】根据函数解析式求得各端点的函数值的符号，由零点存在定理可得出选项. 【详解】因为函数()28xf x x =+-，所以()00208=70f =+--<，()11218=50f =+--<，()22228=20f =+--<，()33238=3>0f =+-，()44248=12>0f =+-，所以()()230f f ⋅<，根据零点存在定理得出023x <<， 故选：C. 【点睛】本题考查函数的零点存在的区间，关键在于求得端点的函数值的符号，运用零点存在定理，属于基础题.4．已知向量()3,1a =-r ，()1,b x =r ，若a b ⊥r r，则x 的值为（ ）A ．3B ．3-C ．13-D ．13【答案】A【解析】利用向量垂直的坐标运算直接求解可得选项. 【详解】因为向量()3,1a =-r ，()1,b x =r ，a b ⊥r r ，3+0a b x ∴⋅=-=r r , 解得3x =，故选：A. 【点睛】本题考查向量的垂直的坐标运算，关键在于熟记向量的数量积的坐标运算运用到向量的垂直上，属于基础题.5．若{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且11113S π=，则6cos 2a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．12B ．12-C D ．【解析】根据所给的前11项的和,可求得第六项的结果是3π,再代入后运用三角函数诱导公式可求其函数值. 【详解】()11111611111123a a S a π+===Q , 63a π∴=,所以6cos =cos =sin =2233a ππππ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：D. 【点睛】本题考查等差数列的性质,三角函数的诱导公式，特殊角的三角函数值,是一个综合题目,这种题目是综合数列和三角的题目,是一种常见的组合,要引起注意.6．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，满足()()a b c a b c ab +++-=，则ABC ∆的最大角为（ ）A ．30oB ．120oC ．90oD ．60o【答案】B【解析】由已知条件和余弦定理可得选项. 【详解】根据方程可知：222()()2a b c a b c a ab b c ab +-++=++-=，故222a b c ab +-=-，由余弦定理得：2221cos 22a b c C ab +-==-，又(0,)C π∈，故23C π=. 故选：B. 【点睛】本题主要考查三角形中余弦定理的应用，熟记余弦定理的形式是关键，属于基础题. 7．函数的图像3cos 2y x =可以看作把函数3sin 2y x =的图像向（ ）而得到的.A ．左平移2π个单位B ．左平移4π个单位C ．右平移2π个单位 D ．右平移4π个单位 【答案】B【解析】由条件利用诱导公式，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论．因为3cos 2=3sin 2+3sin 2+24y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以函数3sin 2y x =左平移4π个单位得出函数3sin 2+4y x π⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 故选：B. 【点睛】本题考查三角函数诱导公式和正弦型函数的图象变换，关键在于由诱导公式化成同名函数，在求得图象的平移时，注意自变量的系数和平移的方向，属于基础题.8．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，满足2cos b c A =，则ABC ∆的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．锐角三角形【答案】C【解析】利用余弦定理表示出cos A ,代入已知等式变形后得到a c =,即可结论. 【详解】222cos 2b c a A bc +-=Q ,2222cos b c a b c A b+-∴=⋅=,即2222b b c a =+-, 整理得:()()0c a c a +-=,即a c =,则ABC V 为等腰三角形. 故选：C. 【点睛】本题考查了余弦定理以及等腰三角形的判定,熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题.9．设(),0,αβπ∈，()5sin 13αβ+=，4tan 3α=，则cos β的值是（ ） A ．1665-B ．5665 C ．1665-或5665D ．1665或5665- 【答案】A【解析】根据已知条件得出角+βαβ，的范围，从而求出sin ,cos αα，cos()αβ+的值，再由cos cos[()]βαβα=+-，运用余弦的差角公式，可求得值. 【详解】 因为4tan >0α=，ππα∴<<，3ππαβ+<<，43sin ,cos αα∴==，又5230sin()sin1324παβ<+=<=Q ，所以34παβπ∴<+<，12cos()13αβ∴+=-， 所以cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++123541613513565=-⨯+⨯=-， 故选：A. 【点睛】本题主要考查两角和的三角函数，同角三角函数的关系，诱导公式，三角函数的性质，关键在于尽可能地缩小角的范围，运用已知的角表示待求的角，属于中档题. 10．如图，D 为ABC ∆的边AC 上一点，2AD DC =，60ABC ∠=o ，24AB BC +=，当BD 取最小值时，ABC ∆的面积为（ ）A ．3B 3C 3D 3【答案】C【解析】设CD x =，BD y =，BC m =，则2AD x =，42AB m =-，在ABC ∆中，运用余弦定理可得22972016x m m =-+，再由cos cos ADB BDC ADB BDC π∠+∠=∠=-∠，，得22216162233y x m m =-+-+，代入根据二次函数的最值可求得当1m =时，2y 有最小值，从而求得此时三角形的面积. 【详解】设CD x =，BD y =，BC m =，则2AD x =，42AB m =-，在ABC ∆中，60ABC ︒∠=，222(42)(3)1cos 2(42)2m m x ABC m m -+-∴∠==⋅⋅-，22972016x m m ∴=-+，又cos cos ADB BDC ADB BDC π∠+∠=∴∠=-∠Q ，，2222224(42)222x y m x y m x y x y +--+-∴=-⋅⋅⋅⋅，22216162233y x m m ∴=-+-+， 2227201616162299933y m m m m ⎛⎫∴=--++-+ ⎪⎝⎭，整理得224816999m y m =-+，当1m =时，2y 有最小值，此时BD 取最小值，此时1,2BC AB ==，所以121sin 602ABC S =⨯⨯⨯=o V . 故选：C. 【点睛】本题考查解三角形的余弦定理，二次函数的最值，三角形的面积公式，关键在于表示BD 的长，求得何时BD 取得最小值，属于中档题.二、填空题11．设全集U =R ，集合{}2A x x =<，{}2230B x x x =-->，则A B =I ______；() UA B =U ð______.【答案】(),1-∞- ()[),12,-∞-+∞U【解析】由题意求出集合B ,根据集合的交集、并集、补集运算可得答案. 【详解】因为集合{}2|230{|1B x x x x x =-->=<-或3}x >,集合{}2A x x =<，所以A B =I (),1-∞-，又{|2}U C A x x =≥,所以()U A B =U ð()[),12,-∞-+∞U . 故答案为：(),1-∞-；()[),12,-∞-+∞U . 【点睛】本题考查集合的基本交集、并集、补集运算,属于基础题.12．已知sin 4α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α=______；()cos 2πα-=______.【答案】78【解析】由条件利用同角三角函数的基本关系,求得tan α的值，再运用余弦的二倍角公【详解】sin α=Q ，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1cos 4α∴==-,则sintan cos ααα==()()227cos 2cos 212sin 2148πααα⎛-=-=--=⨯-= ⎝⎭,故答案为：78. 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系,余弦的二倍角公式，关键在于熟记相关的公式，属于基础题.13．设函数()23,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，则()2f =______；若()9f x ≤，则实数x 的取值范围是______.【答案】9 []3,2-【解析】由题意，代入相应的解析式中，可求得函数值，再分0x ≥与0x <讨论求不等式的解集． 【详解】因为函数()23,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，则()223=9f =；因为()9f x ≤，所以390x x ⎧⎨≥≤⎩或29x x ⎧⎨<≤⎩，解得02x ≤≤或-<3≤0x ，所以实数x 的取值范围是[]3,2-.故答案为：9 ， []3,2- 【点睛】本题考查根据分段函数的解析式求得函数值和求解不等式，关键在于分段考虑，分别求解，属于中档题．14．等腰ABC ∆中，23ACB π∠=，1CA =，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，点P 是ABC ∆（包括边界）内一点，则AE =u u u r ______；AE DP ⋅u u u r u u u r的最大值为______.【解析】根据解三角形的余弦定理可求得AE u u u r，再建立直角坐标系，运用向量数量积的坐标运算和线性规划的知识可求得最大值. 【详解】在等腰ABC ∆中，23ACB π∠=，1CA =，所以1CA BC ==， 因为E 分别是边BC 的中点，所以1122EC BC ==，在ACE △中，120ACE ︒∠=，222221112cos120121222AE AC CE AC CE ︒⎛⎫⎛⎫∴=+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭171244=++=，AE ∴=u u u r ；建立直角坐标系如下图所示，则,0,22A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1(0,0),42D E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设(,)P x y，则1(,)44y AE DP x y x ⎫⋅=⋅=+⎪⎪⎝⎭u u u r u u u r ， 又直线AC的方程是12y x =+，直线BC的方程是12y x =+，所以,x y 满足10210320x y x y y -+≥⎪⎪⎪--+≥⎨⎪≥⎪⎪⎪⎩，令4y Z =+，则4y Z =-+，当直线过点2B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，Z 有最大值98, 所以AE DP ⋅u u u r u u u r的最大值为98.故答案为：2； 98.【点睛】本题考查解三角形的余弦定理，向量数量积的坐标运算，以及运用线性规划求得最值，关键在于明确所要求的目标函数的几何意义，属于中档题.15．等差数列{}n a 中，25a =，514a =，若2n n b a =，则数列{}n b 的前6项和等于______.【答案】120【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，然后根据25a =，514a =，建立方程组，解之即可求出公差，从而求出通项公式，可求得数列的前几项的和. 【详解】设等差数列 {} n a 的公差为 d ，则115,414?a d a d +=+=，解得 12? 3a d ==，. 所以数列{}n a 的通项为()1131n a a n d n =+-=-. 又2n n b a =，所以321=61n b n n =⨯--，所以数列{}n b 的前6项和()()66611+6611202S ⨯⨯-⨯-⎡⎤⎣⎦==，故答案为： 120. 【点睛】本题考查等差数列的基本量的计算，通项公式，前n 项和的公式，属于基础题. 16．已知函数()()21f x m x x =++有且仅有4个零点，则实数m 的取值范围为______. 【答案】1,04⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】令()()210f x m x x =++=，对m 进行参变分离，再令()2||(1)x g x x =-+，分当0x ≥时，和当0x <时，得出函数()g x 的解析式，并且通过函数()g x 的单调性的定义的证明，得出函数()g x 的单调性，从而可得出实数m 的取值范围.令()()210f x m x x =++=，得2||(1)x m x =-+，令()2||(1)x g x x =-+，当0x ≥时，2()(1)xg x x =-+，设120x x <<，()()()()()()()()()()()()22211221211212222222122121*********x x x x x x x x x x g x g x x x x x x x +-+---=-+==++++++，当1201x x <<<，1210x x -<，又()()2212210,110x x x x -<++>，()()120g x g x ∴->，()()21g x g x ∴>，()g x ∴在(0)1，上单调递减， 当121x x <<时，所以1210x x ->，又()()2212120,110x x x x -<++>Q ，()()120g x g x ∴-<，()()12g x g x ∴<，()g x ∴在()1+∞，上单调递增， 1(1)()04g g x ∴-=≤≤， 当0x <时，2()(1)xg x x =+，设120x x <<，()()()()()()()()()()()()22122112112122222122122221111111111x x x x x x x x x x g x g x x x x x x x +-+---=-==++++++，当121x x <<-，1210x x -<，又()()2212210,110x x x x -<++>，()()120g x g x ∴->，()()21g x g x ∴>，()g x ∴在(1)-∞-，上单调递减， 当1210x x -<<<时，所以1210x x ->，又()()2212120,110x x x x -<++>Q ，()()120g x g x ∴-<，()()12g x g x ∴<，()g x ∴在()10-，上单调递增，且()1,x g x →-→-∞，所以要使函数()()21f x m x x =++有且仅有4个零点，则实数m 的取值范围为1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故答案为：1,0⎛⎫-.【点睛】本题主要考查函数的零点，参变分离的运用,函数的单调性的定义的证明，体现了分类讨论的数学思想,属于难度题.17．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且()cos62Ca b -=，()sin122Ca b +=，则c =______.【答案】【解析】由()cos62C a b -=，()sin 122Ca b +=，平方相加可得222cos 180a b ab C +-=,即可得出结论.【详解】 由()cos62C a b -=，()sin 122Ca b +=，平方相加可得222cos 180a b ab C +-=, 由余弦定理可得：2180c =，c ∴=故答案为: 【点睛】本题考查解三角形的余弦定理，余弦的二倍角公式，关键在于观察式子特点，平方相加后可运用余弦定理.三、解答题18．已知()sin a θθ=r ，()1,1b =r ，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）若//a b r r，求θ的值；（2）若a b =r r ，求θ的值和a r 在b r 方向上的投影.【答案】（1）θ3π=；（2）4πθ=；122+【解析】(1) 根据向量的平行的坐标运算可得sin 0θθ=，可求θ;(2)由向量的模相等得21cos 2θ=，根据范围可求得θ，再由向量在另一向量上的投影的定义可得值. 【详解】（1）//a b r r，则sin 0θθ=，得到tan θ=∵θ0,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴θ3π=; （2）∵a b =r r，==得到21cos 2θ=，∵0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴cos 2θ=，∴4πθ=， ∵4πθ=，∴2a ⎛= ⎝⎭r ，由cos a b a b a ⋅=<r r r r r ，b >r，所以a r 在br方向上的投影为122a b b+⋅==+r r r . 【点睛】本题考查向量间的平行关系的坐标运算，向量的模，向量在另一向量上的投影，属于基础题.19．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足3cos cos cos c C a B b A =+.（1）求cos C 的值；（2）若5a b +=，且ABC ∆的面积S =，求c 的值. 【答案】（1）1cos 3C =；（2）c =【解析】(1)由正弦定理进行边化角可求得cos C ；(2)由（1）的结论和同角三角函数的关系求得sin 3C =，再运用三角形的面积公式和余弦定理可求其值. 【详解】（1）由正弦定理得()3sin cos sin cos sin cos sin sin C C A B B A A B C =+=+=，得到1cos 3C =；（2）由（1）知1cos 3C =，0C π<<,sin 3C =. ∵1sin 2S ab C ==，得到274ab =,根据余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，即()2222cos 7c a b ab ab C =+--=,所以c =【点睛】本题考查解三角形之正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，以及同角三角函数的关系，关键在于运用定理进行边角转化，属于基础题.20．已知函数()2sin cos 2x x f x x =+-，x ∈R . （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； （2）若函数()()()0g x af x b a =+>在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为[]3,4，求实数,a b 的值.【答案】（1）T π=，5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ （2）210,33a b == 【解析】（1）根据三角函数的二倍角公式，辅助角公式进行恒等变换化简得()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据正弦型函数的周期性和单调性的求解方法，可求得函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）由571,2,sin 2,1121236632x x x ππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤∈-⇒+∈⇒+∈- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦，再根据一次函数的值域求解方法可求得实数,a b 的值. 【详解】（1）()2sin cos sin 223f x x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，∴T π=, ∵222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，∴51212k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈ ∴函数()f x 的单调递增区间是5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ （2）∵()()sin 23g x af x b a x b π⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭由571,2,sin 2,1121236632x x x ππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤∈-⇒+∈⇒+∈- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦ 因为0a >时，所以()()min max 23321043a a g x b g x a b b ⎧⎧=⎪=-+=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+==⎩⎪⎩. 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，周期，单调性，值域，关键在于将函数化为一个角一个三角函数的形式，属于基础题.21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足44a =，525S =. （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； （2）求数列{}n a 的前n 项和n T ； （3）若242nn n a a b -=()1,2,3...n =，如果对任意*n N ∈，都有2122n b t t +≤，求实数t 的取值范围.【答案】（1）8n a n =-，2152n n n S -+=（2）2215,821556>82n n nn T n n n ⎧-+≤⎪⎪=⎨-⎪+⎪⎩， （3）11,,42⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U 【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ,由已知建立方程组113451025a d a d +=⎧⎨+=⎩,解之可得首项和公差，从而得出数列的通项和前n 项和；（2）分当8n ≤时和当8n >时，分别求和可得数列{}n a 的前n 项和n T ；（3）由（1）得81222n n n b --=，作差得18822n n nnb b +---=，讨论n 可得出n b 的最大值，再由恒等式思想，建立关于t 的不等式，可求得实数t 的取值范围.【详解】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由已知可得113451025a d a d +=⎧⎨+=⎩得171a d =⎧⎨=-⎩,所以，()118n a a n d n =+-=-，2152n n nS -+=；（2）当8n ≤时，0n a ≥，∴2152n n n nT S -+==，当8n >时，0n a <，∴()()21289815 (2562)n n n n nT a a a a a S S -=+++-++=-=+；（3）82412222n n n a n a n b ---==，则由18822n nnnb b +---=， ①当14n ≤<时，10n n b b +->， ②当4n =时，1n n b b +=. ③当4n >时，10n n b b +-<，所以123456...n b b b b b b b <<<=>>>，所以数列{}n b 的最大值为4514b b ==， 又因为2122n b t t +≤恒成立，所以211242t t ≤-，所以14t ≤-或12t ≥. 所以实数t 的取值范围是11,,42⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U .【点睛】本题考查等差数列的基本量的求解，绝对值项的求和，以及不等式的恒成立问题，关键在于得出数列的单调性，得出数列的最大项，属于难度题. 22．已知函数()21f x x ax =++，()1g x x =-.（1）若函数()y g x m =+为偶函数，求实数m 的值；（2）存在实数1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式()()f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围；（3）若方程()()f x g x =在()0,∞+上有且仅有两个不相等的实根，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1m = （2）72a ≥-（3）(,1-∞- 【解析】(1)根据函数的奇偶性的定义()()f x f x =-，可求得实数m 的值；(2)由()()f x g x ≥，得211x ax x ++≥-，由于1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，对a 进行参数分离得()()2221x a x h x x x --⎛⎫-≥=-+= ⎪⎝⎭，运用函数的单调性和不等式的存在性，可求得实数a 的取值范围；(3)分①当0a ≥时，②当20a -≤<，③当2a <-时，分别讨论方程的根的情况，可求得实数a 的取值范围. 【详解】（1）因为函数()y g x m =+为偶函数，即函数1y x m =+-为偶函数，所以11x m x m +-=-+-，所以11x m x m +-=-+-或()11x m x m +-=--+-，解得1m =， 所以实数m 的值为1；（2）()()f x g x ≥，即211x ax x ++≥-，则()212a x x -≥--，∵1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()()2221x a x h x x x --⎛⎫-≥=-+= ⎪⎝⎭， 令()2h x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()h x 的定义域为()(),00,-∞+∞U ，设120x x <<，则()()()()211212121212222+x x h x h x x x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫-=-++=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当120x x <<<()()120h x h x -<12x x <时，()()12>0h x h x -， 所以()h x在(上单调递增，在)+∞上单调递减，因为()h x 是定义域为()(),00,-∞+∞U 的奇函数，所以()h x在()上单调递增，在(,-∞上单调递减，∵1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()h x在12⎡⎢⎣上单调递增，在⎤⎦上单调递减，而1129=12222h ⎛⎫⎪⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，()211933=>332h ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭，∴()()min 19122a h x h ⎛⎫-≥==-⎪⎝⎭，得到72a ≥-； （3）①当0a ≥时，()f x 在()0,+?上单调递增，此时方程()()f x g x =没有根；②当0a <，2104a -≥，即20a -≤<时，因为211x ax x ++=-有两个正根，所以()218010a a ⎧∆=-->⎪⎨->⎪⎩，得21a -≤<-③当2a <-时，设方程210x ax ++=的两个根为()1212,x x x x <，则有1201x x <<<，结合图形可知()()f x g x =在()0,+?上必有两个不同的实根.综上，实数a的取值范围为(,1-∞-. 【点睛】本题考查函数的奇偶性，方程的根，不等式的存在性问题，属于难度题. 对于不等式的存在性的问题时，常有以下情形：（1）0 x D ∃∈，使不等式()0f x A >成立，则max ()f x A >； （2）0 x D ∃∈，使不等式()0f x B <成立，则()min f x B <；（3）0 x D ∃∈,使不等式()()00f x g x >成立,则max ()()(),()0F x f x g x F x =-∴>； （4）0 x D ∃∈,使不等式()()00f x g x <成立,则min ()()(),()0F x f x g x F x =-∴<； （5）1 x D ∃∈,2 x E ∃∈,均有()()12f x g x >恒成立，则max min ()()f x g x >； （6）1 x D ∃∈,2 x E ∃∈,均有()()12f x g x <恒成立，则min max ()()f x g x <.。
2018-2019学年浙江省9 1高中联盟高二(下)期中考试数学试题(解析版)
6．为了得到 的图象，只需将函数 的图象（ ）
A．向右平移 个单位B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位D．向左平移 个单位
【答案】D
【解析】先利用诱导公式统一这两个三角函数的名称，再利用函数 的图象变换规律，得出结论．
故选：C．
【点睛】
本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
9．已知函数 满足 ，则 的最大值是（ ）
A． B．2C． D．4
【答案】C
【解析】将条件进行平方，利用作差法构造函数 ，然后利用基本不等式的性质，转化为关于 的一元二次不等式，进行求解即可．
【详解】
由 ，
得 ，得 ，
平方得 ，①
随机变量 ，且 ，
可得 ，
解得
故答案为：(1). 8 (2).
【点睛】
本题考查离散型随机变量的期望与方差公式的应用，考查计算能力．
13．二项式 展开式中，第三项的系数为_____；所有的二项式系数之和为_____．
【答案】40 32
【解析】由二项式定理及二项式系数得：二项式 展开式的通项可得： ，当 时，第三项的系数为 ，所有的二项式系数之和为 ，得解．
（1）求函数 的表达式；
（2）令 ，讨论函数 在区间 上零点个数的所有情况．
【答案】（1） ；（2）见解析
【解析】（1）利用二次函数的性质，得到对称轴方程，结合不等式恒成立进行求解即可;（2）求出 的解析式，当 时，方程 在 内必有一解，则只需要讨论当 时，方程 在 内的解的个数问题，利用一元二次函数的性质进行讨论求解即可．
【考点】充要关系
2018-2019学年浙江省温州新力量联盟高二下学期期中考试数学试题(解析版)
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
其中是“美丽函数”的序号有．
【答案】②③④
【解析】试题分析：①函数 ，所以不可能是“美丽函数”，所以①错；② 的值域为 ，关于原点对称，所以②正确；③ ，值域为 ，关于原点对称，所以③正确；④ ，令 ，则 ，在 上单调递增，且值域为 ，值域关于原点对称，所以④正确；⑤ ，则 ，不关于原点对称，所以⑤错误．故答案为：②③④．
可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)．
方法二 易知f(x)＝lnx＋x－2在(0，＋∞)上为增函数，
且f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2>0.
所以根据函数零点存在性定理可知在区间(1，2)内函数存在零点．
【点睛】
判断函数零点所在区间有三种方法：①解方程，直接求出零点；②利用零点存在定理，判断零点所在区间；③图象法，观察交点所在区间.
A．15平方米B．12平方米C．9平方米D．6平方米
【答案】C
【解析】试题分析：如图,根据题意可得: ,在 中,可得: ， ， ,可得:矢 ,由 ,可得:弦 ,所以:弧田面积 (弦 矢 矢 ) 平方米.所以C选项是正确的.
【考点】扇形面积公式.
9．如图，函数 （其中 ）与坐标轴的三个交点 满足 为 的中点， ，则 的值为（ ）
【点睛】
本题考查由 的部分图象确定其解析式，求得 点与 点的坐标是关键，考查识图、运算与求解能力，属于中档题．
10．已知集合 ，若对于任意 ，存在 ，使得 成立，则称集合 是“理想集合”.给出下列4个集合：
① ；
② ；
③ ；
④ .
其中所有“理想集合”的序号是（）
浙江湖州市2018-2019学年下学期期中考高二数学试卷附答案解析
湖州市2018-2019学年下学期期中考高二数学试卷一、单选题 1．函数f(x)=√2x −3+1x−3的定义域为（ ）A ．[32，3）∪（3，+∞） B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[32，+∞） D ．（3，+∞） 2．设复数z 满足()12i z i -=，则z= （ ）A ．-1+iB ．-1-iC ．1+iD ．1-i 3．甲、乙、丙、丁四人站成一排，则甲、乙相邻的排法种数是（ ）A ．4B ．6C ．12D ．244．已知函数21,0()cos ,0x x f x x x ⎧+>=⎨≤⎩，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是增函数C ．()f x 是周期函数D ．()f x 的值域为)-1+⎡∞⎣，5．曲线1x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）.A ．2eB ．eC ．2D ．16．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)5f =且(4)()f x f x +=-，则(2012)(2019)f f +的值为（ ）A ．5-B ．2C ．0D ．57．若()521ax -的展开式中4x 的系数为40-，则a 的值为（ ）A ．1-B ．2C ．2-D ．±28．函数()y f x =的图象如图①所示，则图②对应的解析式可以表示为（ ）① ②A ．(||)y f x =B ．|()|y f x =C ．(||)y f x =-D ．(||)y f x =-9．设奇函数()f x ，()x R ∈的导函数为()f x '，且(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '+>，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1)(1,0)-∞--U B ．(0,1)(1,)⋃+∞ C ．(,1)(0,1)-∞-UD ．(1,0)(1,)-??10．已知二次函数2()(,)f x x bx c b c R =++∈，若()f x 在区间(2,3)上有两个零点，则2b c +的取值范围为（ ） A ．(4,3)-- B ．(4,3)- C ．[4,3)- D ．(4,3]--二、填空题11．设全集{1,2,3,4,5}U =，{1,2}A =，{4,5}B =则A B =U ______，U ()A B =I ð______． 12．已知复数(1)(12)Z i i =++，其中i 是虚数单位，则Z 的模是______，Z 的共轭复数为______． 13．计算：3285C A -=______，31log 223log ln 2e +-⋅=______．14．若2n x ⎫⎪⎭的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则n =______，展开式中的常数项为______． 15．把5个不同的小球放到4个不同的盒子中，保证每个盒子都不空，不同的放法有___种.16．已知函数2,(0)()21,(0)x e x f x x x x ⎧<=⎨-+≥⎩，则函数1()(())2g x f f x =-的零点个数为______．17．已知a R ∈，函数16()f x x a a x=+-+在区间[2,5]上的最大值为10，则a 的取值范围是______． 三、解答题18．从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会，问： (1)如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？(2)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？ (3)如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？19．设函数2()ln (,)f x x ax bx a b R =-+∈，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为0y =．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的极值．20．已知二次函数()f x 满足(1)()21f x f x x +-=-，(0)3f =-． （Ⅰ）求函数()f x 的表达式；（Ⅱ）设()1g x kx =+，若0.5()log [()()]F x g x f x =-在区间[2,3]上单调递增，求实数k 的取值范围．21．设函数()ln(1)f x x x =-+．（Ⅰ）求证：ln(1)x x ≥+； （Ⅱ）若0a b >>，求证：1ln(1)ln(1)a be a b +->+++．22．已知函数()2f x x a =-，()|1|g x a x =-，a R ∈． （Ⅰ）若1a =，求满足()(1)1g x g x +->的实数x 的取值范围；（Ⅱ）设()()()h x f x g x =+，若存在12,[2,2]x x ∈-，使得()()216h x h x -≥成立，试求实数a 的取值范围．解析浙江湖州市2018-2019学年下学期期中考高二数学试卷一、单选题 1．函数f(x)=√2x −3+1x−3的定义域为（ ）A ．[32，3）∪（3，+∞） B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[32，+∞） D ．（3，+∞） 【答案】A【解析】根据幂函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可. 【详解】 因为函数y =√2x −3+1x−3,∴{2x −3≥0x −3≠0，解得x≥32且x ≠3；∴函数f(x)=√2x −3+1x−3的定义域为[32,3)∪(3,+∞), 故选A ．【点睛】定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数f (x )的定义域为[a,b ]，则函数f(g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出.2．设复数z 满足()12i z i -=，则z= （ ）A ．-1+iB ．-1-iC ．1+iD ．1-i【答案】A 【解析】()12i z i -=【详解】 由()12i z i -=得21iz i=-=(1)1i i i +=-+，故选A. 【考点定位】本小题主要考查复数的四则运算,复数在高考中主要以小题形式出现，属容易题，主要考查复数的概念、几何意义与四则运算是基础内容.3．甲、乙、丙、丁四人站成一排，则甲、乙相邻的排法种数是（ ） A ．4 B ．6 C ．12 D ．24【答案】C【解析】利用捆绑法将甲乙二人看成一个整体，再与另外两人进行全排列即可求解. 【详解】将甲乙二人捆绑后看成一个整体，再与丙、丁一起进行全排列， 则有2323232112A A =⨯⨯⨯=种方法，故选：C. 【点睛】本题考查了排列问题的简单应用，相邻问题的解决方法，属于基础题.4．已知函数21,0()cos ,0x x f x x x ⎧+>=⎨≤⎩，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是增函数C ．()f x 是周期函数D ．()f x 的值域为)-1+⎡∞⎣，【答案】D【解析】根据解析式的特点，逐个选项进行验证求解. 【详解】因为0x >时2()1f x x =+，0x ≤时()cos f x x =，()()f x f x -≠所以不是偶函数；因为3()0()12f f -π=>-π=-，所以不是增函数； 因为0x >时2()1f x x =+为增函数，所以不是周期函数；因为当0x ≤时()cos [1,1]f x x =∈-，0x >时2()1(1,)f x x =+∈+∞，所以值域为[1,)-+∞.综上可知选D. 【点睛】本题主要考查分段函数的性质，研究分段函数的性质时不要只关注某一段函数，要从整体上进行把握. 5．曲线1x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）.A ．2eB ．eC ．2D ．1【答案】C【解析】试题分析：由1x y xe -=，得，故，故切线的斜率为，故选C.【考点】导数的集合意义.6．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)5f =且(4)()f x f x +=-，则(2012)(2019)f f +的值为（ ）A ．5-B ．2C ．0D ．5【答案】D【解析】根据奇函数性质及所给表达式，可知()f x 为周期函数，由奇函数性质及周期性即可求解. 【详解】函数()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以(0)0f =，且()()f x f x =-， 因为(4)()f x f x +=-，令4x +替代上式x 代入可得()(8)(4)f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 是以8为周期的周期函数， 则()()()(2012)25184400f f f f =⨯+==-=，而(1)5f =， 所以()()()()(2019)252833115f f f f f =⨯+==--==， 所以(2012)(2019)055f f +=+=，故选：D. 【点睛】本题考查了抽象函数奇偶性及周期性的综合应用，属于基础题. 7．若()521ax -的展开式中4x 的系数为40-，则a 的值为（ ）A ．1-B ．2C ．2-D ．±2【答案】D【解析】由二项定理展开式的同学，根据4x 的系数即可求得a 的值.【详解】根据二项定理展开式的通项可知()()()()55210215511rr rrrrr r T C ax C a x ---+=⋅-=⋅-，令1024r-=，解得3r =，所以4x 的系数为32540C a -=-，解得2a =±， 故选：D. 【点睛】本题考查了二项定理展开式的应用，由指定项的系数求参数，属于基础题. 8．函数()y f x =的图象如图①所示，则图②对应的解析式可以表示为（ ）① ②A ．(||)y f x =B ．|()|y f x =C ．(||)y f x =-D ．(||)y f x =-【答案】C【解析】根据绝对值函数的翻折、对称变形，即可判断各选项对应的函数图象形式，即可判断图②对应的解析式. 【详解】函数()y f x =的图象如图①，对于A ，将()y f x =的图象左侧部分去除，将右侧图象关于y 对称，可得(||)y f x =，结合图②可知A 错误； 对于B ，将()y f x =的图象在x 轴以上部分不变，x 轴以下部分翻折到x 轴上方，可得|()|y f x =，结合图②可知B 选项错误；对于C ，将()y f x =的图象的右侧部分去除，将左侧图象关于y 对称，可得(||)y f x =-的图象，结合图②可知C 正确；对于D ，将()y f x =的图象左侧部分去除，将右侧图象关于y 对称，再将整个函数图象关于x 轴对称，即可得(||)y f x =-，结合图②可知D 错误；综上可知，图②表示函数(||)y f x =-的图象， 故选：C. 【点睛】本题考查了绝对值函数翻折、对称变换，注意函数的符号位置及绝对值变换方式，属于中档题.9．设奇函数()f x ，()x R ∈的导函数为()f x '，且(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '+>，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1)(1,0)-∞--U B ．(0,1)(1,)⋃+∞ C ．(,1)(0,1)-∞-U D ．(1,0)(1,)-??【答案】D【解析】根据所给不等式，构造函数()()g x x f x =⋅，由导数与单调性关系可知()g x 在0x >时单调递增，由函数奇偶性的性质可知()g x 为偶函数，画出函数示意图，即可求得()0f x >成立的x 的取值范围.【详解】 令()()gx x f x =⋅，则()()()g x x f x f x '=⋅'+，当0x >时，()()0xf x f x '+>， 则当0x >时，()()gx x f x =⋅为单调递增函数，()f x 为奇函数，则()()g x x f x =⋅为偶函数，且由(1)0f -=，可知(1)(1)0f f =--=， 所以()()110gg =-=，则()()g x x f x =⋅的函数关系示意图如下图所示：当0x <时，若()0f x >，则()0g x <，此时()1,0x ∈-；当0x >时，若()0f x >，则()0gx >，此时()1,x ∈+∞；综上可知，()0f x >的解集为(1,0)(1,)-??，故选：D. 【点睛】本题考查了构造函数法解不等式，导数与函数单调性的关系应用，奇偶性的性质应用，数形结合法解不等式的应用，属于中档题.10．已知二次函数2()(,)f x x bx c b c R =++∈，若()f x 在区间(2,3)上有两个零点，则2b c +的取值范围为（ ） A ．(4,3)-- B ．(4,3)-C ．[4,3)-D ．(4,3]--【答案】A【解析】根据题意，设出两个零点后，代入一元二次方程的交点式，结合零点的范围即可确定2b c +的取值范围. 【详解】由题意可知()f x 在区间(2,3)上有两个零点，设两个零点分别为()()122,3,2,3x x ∈∈，则由函数零点定义可知满足()()()12f x x x x x =--，因为()()1221,0,21,0,x x -∈--∈-而()()()12222f x x =--，所以()()20,1f ∈，二次函数2()(,)f x x bx c b c R =++∈，所以(2)42f b c =++，所以2(2)4b c f +=-，由()()20,1f ∈，可得()()244,3f -∈--，所以()24,3b c +∈--，故选：A. 【点睛】本题考查了函数零点的定义，一元二次方程零点的综合应用，属于中档题.二、填空题11．设全集{1,2,3,4,5}U =，{1,2}A =，{4,5}B =则A B =U ______，U ()A B =I ð______． 【答案】{1,2,4,5}； {4,5}.【解析】根据集合并集的运算，即可求得A B U ；由补集和交集定义即可求得U ()A B I ð.【详解】{1,2}A =，{4,5}B =，由集合的并集运算可知{1,2,4,5}A B =U ，全集{1,2,3,4,5}U =，则由补集定义可得U {3,4,5}A =ð，所以由集合交集运算可得U {3,4,5}{4,5}(4,5}){A B ⋂==I ð， 故答案为：{1,2,4,5}；{4,5}. 【点睛】本题考查了集合交集、并集与补集的定义与简单运算，属于基础题.12．已知复数(1)(12)Z i i =++，其中i 是虚数单位，则Z 的模是______，Z 的共轭复数为______．； 13i --.【解析】根据复数的乘法运算化简，结合复数模的定义即可求得Z 的模；由共轭复数定义可得其共轭复数. 【详解】复数(1)(12)Z i i =++， 由复数的乘法运算可得12313Z i i =-+=-+，所以Z ==，由共轭复数定义可知13Zi =--，故答案为：；13i --. 【点睛】本题考查了复数乘法运算的化简运算，复数模的定义及共轭复数定义，属于基础题. 13．计算：3285C A -=______，31log 223log ln 2e +-⋅=______．【答案】36； 5.【解析】根据排列数与组合数公式，代入即可求解；根据对数运算及换底公式应用，即可化简求值. 【详解】根据组合数与排列数公式可得()32858!5!3!83!2!C A -=--87654321321321⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯562036=-=， 由对数的运算性质及换底公式化简可得31log 223log ln 2e +-⋅33log 3log 2ln 3ln 2ln 2e+=-⋅ 3log 631=-615=-=，故答案为：22；5.【点睛】本题考查了排列数与组合数公式的简单应用，对数运算及换底公式的应用，属于基础题.14．若2nx ⎫⎪⎭的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则n =______，展开式中的常数项为______． 【答案】6 60【解析】根据二项定理展开式的性质可得n ；由二项定理展开式的通项，即可求得常数项的值. 【详解】2nx ⎫⎪⎭的展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以6n =；则由二项展开式的通项可知62x ⎫⎪⎭展开式的通项为363216622rrr rrr r T CC x x --+⎛⎫=⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令3302r -=，解得2r =， 所以常数项为222366522602T C ⨯=⋅=⨯=， 故答案为：6；60. 【点睛】本题考查了二项定理展开式的性质及展开式通项的简单应用，属于基础题.15．把5个不同的小球放到4个不同的盒子中，保证每个盒子都不空，不同的放法有___种. 【答案】240【解析】试题分析：由题意，将5个不同的小球分为4组，分法有C 52=10，故总的放法种数有10A 44=240. 【考点】本题主要考查简单排列组合应用问题，计数原理．点评：易错题，解题的关键是理解题意将此问题分为两步求解，先分组，再排列．16．已知函数2,(0)()21,(0)x e x f x x x x ⎧<=⎨-+≥⎩，则函数1()(())2g x f f x =-的零点个数为______．【答案】4【解析】根据函数解析式画出图像，利用换元法令()tf x =，可知()12f t =；结合函数图像及解析式可求得t的值，再结合图像即可确定方程解的个数，即为函数零点的个数. 【详解】函数2,(0)()21,(0)x e x f x x x x ⎧<=⎨-+≥⎩，画出函数图像如下图所示：函数1()(())2g x f f x =-的零点，即1(())2f f x =， 令()t f x =，代入可得()12f t =，由图像可知t 满足012t t e <⎧⎪⎨=⎪⎩或201212t t t ≥⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得ln 2t=-，1t =或1t =+， 所以()ln 2f x =-，()12f x =-或()12f x =+， 结合函数图像可知，()ln 2f x =-无解；()12f x =-有3个解，()12f x =+有1个解， 综合可知，函数1()(())2g x f f x =-的零点有4个， 故答案为：4. 【点睛】本题考查了函数图像的画法，函数零点与方程解的关系，数形结合法判断函数零点个数的应用，属于中档题. 17．已知a R ∈，函数16()f x x a a x=+-+在区间[2,5]上的最大值为10，则a 的取值范围是______． 【答案】(],9-∞【解析】结合基本不等式及定义域可求得[]168,10x x+∈，对a 分类讨论，结合最大值为10即可由最值求得a 的取值范围. 【详解】当[2,5]x ∈，由打勾函数性质可知[]168,10x x+∈， 当8a ≤时，函数可化为1616()f x x a a x x x =+-+=+，则由[]168,10x x+∈，所以当8a ≤时恒成立； 当810a <<时，{}max max ()8,10f x a a a a =-+-+，即{}max max ()28,10f x a =-，所以当2810a -≤时，满足最大值为10，解得9a≤，即89a <≤；当10a ≥时，函数可化为1616()2f x a x a a x x x ⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以最大值为2810a -=，解得9a =，（舍）；综上所述，a 的取值范围为(],9a ∈-∞.故答案为：(],9-∞.【点睛】本题考查了含绝对值不等式的解法，由基本不等式及定义域确定函数的值域，分类讨论思想的综合应用，属于中档题.三、解答题18．从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会，问： (1)如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？(2)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？ (3)如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？ 【答案】（1）30；（2）91种；（3）120种.【解析】【详解】试题分析：（1）根据题意，分别计算“从5名男生中选出2人”和“从4名女生中选出2人”的选法数目，由分步计数原理计算可得答案；（2）用间接法分析：先计算在9人中任选4人的选法数目，再排除其中“甲乙都没有入选”的选法数目，即可得答案；（3）用间接法分析：先计算在9人中任选4人的选法数目，再排除其中“只有男生”和“只有女生”的选法数目，即可得答案． 试题解析： (1)422560C C ⋅=； (2)方法1：(间接法)在9人选4人的选法中，把男甲和女乙都不在内的去掉，就得到符合条件的选法数为：449791C C -=(种)；方法2：(直接法)甲在内乙不在内有37C 种，乙在内甲不在内有37C 种，甲、乙都在内有27C 种，所以男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内的选法共有：3277291C C +=(种).(3)方法1：(间接法)在9人选4人的选法中，把只有男生和只有女生的情况排除掉，得到选法总数为：444954C C C 120--=(种)；方法2：(直接法)分别按含男1，2，3人分类，得到符合条件的选法总数为：132231545454120C C C C C C ++=(种).点睛：（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．19．设函数2()ln (,)f x x ax bx a b R =-+∈，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为0y =．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求()f x 在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的极值．【答案】（Ⅰ）11a b =⎧⎨=⎩；（Ⅱ）()0f x =极大值，无极小值.【解析】（Ⅰ）根据函数解析式，求得导函数()f x '，由切线方程可得切线的斜率和切点坐标，即可由导数的几何意义求得a ，b 的值；（Ⅱ）将a ，b 的值代入解析式及导函数，并令()0f x '=，判断函数的极值点及单调性，即可求得在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的极值． 【详解】（Ⅰ）函数2()ln (,)f x x ax bx a b R =-+∈， 则1()2f x ax b x'=-+， 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为0y =．则(1)120f a b '=-+=，切点坐标为()1,0，将切点代入函数解析式可得0a b -+=，所以1200a b a b -+=⎧⎨-+=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得2()ln f x x x x =-+，定义域为()0,∞+，则2121()21x x f x x x x-++'=-+=，令()0f x '=，解得1x =，12x =-（舍）， 当01x <<时，()0f x '>，所以()f x 在01x <<内单调递增， 当1x <时，()0f x '<时，所以()f x 在1x <内单调递减， 因为自变量1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在区间1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭内单调递增，()f x 在区间(]1,e 内单调递减，所以()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内极大值为()(1)0f x f ==极大值，无极小值.【点睛】本题考查了导数的几何意义的简单应用，由切线方程确定参数，利用导数求闭区间内的极值，属于基础题. 20．已知二次函数()f x 满足(1)()21f x f x x +-=-，(0)3f =-． （Ⅰ）求函数()f x 的表达式；（Ⅱ）设()1g x kx =+，若0.5()log [()()]F x g x f x =-在区间[2,3]上单调递增，求实数k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）2()23f x x x =--（Ⅱ）1,23⎛⎤- ⎥⎝⎦.【解析】（Ⅰ）设出二次函数解析式，根据所给等式，代入后即可确定系数，进而得函数()f x 的表达式； （Ⅱ）将()f x 和()g x 解析式代入()F x ，根据复合函数单调性的性质可得()()224hx x k x =-+++在区间[2,3]上单调递减且大于0，由二次函数对称性及对数函数定义域要求即可解方程组求得k 的取值范围．【详解】（Ⅰ）()f x 为二次函数，设2()f x ax bx c =++，0a ≠，由(0)3f =-，代入可得3c =-； 则()()2(1)11f x a x b x c +=++++， 所以()()()()()22111f x f x a x b x c ax bx c ⎡⎤+-=++++-++⎣⎦2ax a b =++，因为(1)()21f x f x x +-=- 所以221a a b =⎧⎨+=-⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩，所以2()23f x x x =--.（Ⅱ）2()23f x x x =--，()1g x kx =+， 所以0.5()log [()()]F x g x f x =-()20.5log 24x k x ⎡⎤=-+++⎣⎦，因为()F x 在区间[2,3]上单调递增， 由复合函数单调性的性质可知，()()224hx x k x =-+++在区间[2,3]上单调递减且大于0，所以()222233240k k +⎧≤⎪⎨⎪-+++>⎩，解得123k -<≤，即k 的取值范围为1,23⎛⎤- ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，对数型复合函数单调性求参数的取值范围，注意对数函数定义域的要求，属于基础题. 21．设函数()ln(1)f x x x =-+．（Ⅰ）求证：ln(1)x x ≥+； （Ⅱ）若0a b >>，求证：1ln(1)ln(1)a bea b +->+++．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）根据所给函数解析式，求得()f x '并令()0f x '=求得极值点和函数单调区间，进而求得函数的最大值，即可证明不等式ln(1)0x x -+≥恒成立，即ln(1)x x ≥+成立.（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，可知ln(1)ln(1)a b a b +>+++，进而将不等式等价变形为1a b e a b +->+，构造函数()1x gx e x =--，求得导函数()g x '，利用导函数可证明()g x 的单调性，从而可证明()0g x >恒成立，进而原不等式得证. 【详解】 （Ⅰ）证明：函数()ln(1)f x x x =-+，定义域为()1,-+∞，则1()111x f x x x '=-=++， 令()0f x '=，解得0x =， 当10x -<<时，()0f x '<，所以()ln(1)f x x x =-+在10x -<<内单调递减；当0x >时，()0f x '>，所以()ln(1)f x x x =-+在0x <内单调递增；即()f x 在0x =处取得最小值，min ()(0)0ln(01)0f x f ==-+=，即ln(1)0x x -+≥恒成立， 所以ln(1)x x ≥+， 原不等式得证.（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，0a b >>时ln(1),ln(1)a a b b >+>+， 所以ln(1)ln(1)a b a b +>+++， 则要证原不等式1ln(1)ln(1)a be a b +->+++即证1a b e a b +->+，即()10a bea b ++->-，令()1x gx e x =--，0x >，则()10x g x e =-'>，所以()1x g x e x =--在0x >时单调递增， 所以()()00g x g >=，即10xe x -->在0x >时恒成立，所以()10a be a b ++->-成立，即1ln(1)ln(1)a bea b +->+++成立，原不等式得证. 【点睛】本题考查了利用导数证明不等式成立，导数与函数单调性、极值和最值的综合应用，构造函数法证明不等式的应用，属于中档题.22．已知函数()2f x x a =-，()|1|g x a x =-，a R ∈．（Ⅰ）若1a =，求满足()(1)1g x g x +->的实数x 的取值范围；（Ⅱ）设()()()h x f x g x =+，若存在12,[2,2]x x ∈-，使得()()216h x h x -≥成立，试求实数a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）()(),12,-∞⋃+∞；（Ⅱ）(][),14,-∞+∞U .【解析】（Ⅰ）将1a =代入解析，分类讨论1x <、12x ≤≤、2x >三种情况，即可解不等式得解集. （Ⅱ）将()f x 和()g x 解析式代入()h x ，并由[2,2]x ∈-可写成分段函数形式；根据不等式()()216h x h x -≥成立，可知需满足()()max min 6hx h x -≥，进而讨论a 的不同取值范围，结合分段函数确定最大值与最小值，代入不等式即可确定a 的取值范围． 【详解】（Ⅰ）当1a =时，代入可得函数()1g x x =-，所以()(1)12g x g x x x +-=-+-，当1x <时，()(1)23g x g x x +-=-+，若()(1)1g x g x +->，即231x -+>，解得1x <，所以1x <满足不等式，当12x ≤≤时，()(1)1g x g x +-=，不满足不等式()(1)1g x g x +->，此时无解；当2x >时，()(1)23g x g x x +-=-，若()(1)1g x g x +->，即231x ->，解得2x >，所以2x >满足不等式成立，综上可知不等式的解集为()(),12,-∞⋃+∞. （Ⅱ）函数()2f x x a =-，()|1|g x a x =-， 由题意()()()h x f x g x =+21x a a x =-+- (2),21(2)2,12a x x a x a x --≤<⎧=⎨+-≤≤⎩因为存在12,[2,2]x x ∈-，使得()()216h x h x -≥成立， 所以只需()()max min 6hx h x -≥；（1）当2a ≤-时，20,20a a ->+≤， 则()h x 在[)2,1-内单调递增，在[]1,2内单调递减，所以()()max 12h x h a ==-，因为()()224,24,h a h -=-=所以()()22h h -<， 所以()()min 224hx h a =-=-，所以需()()()()max min 2246hx h x a a -=---≥，解得0a ≤，又因为2a ≤-， 所以2a ≤-；（2）当22a -<<时，20,20a a ->+>， 则()h x 在[2,2]-内单调递增， 所以()()max 24hx h ==，()()min 224h x h a =-=-， 所以需()()()max min 4246hx h x a -=--≥，解得1a ≤，又因为22a -<<， 所以21a -<≤；（3）当2a ≥时，20,20a a -<+>， 则()h x 在[)2,1-内单调递减，在[]1,2内单调递增，所以()()min 12hx h a ==-：①当24a ≤<时，因为()()224,24,h a h -=-=所以()()22h h -<，所以()()max 24hx h ==，则需满足()()()max min 426hx h x a -=--≥，解得4a ≥，又因为24a ≤<，所以此时无解；②当4a ≥时，因为()()224,24,h a h -=-=所以()()22h h ->，所以()()max 224hx h a =-=-，则需满足()()()max min 2426hx h x a a -=---≥，解得4a ≥，满足题意.综上所述，a 的取值范围为(][),14,-∞+∞U .【点睛】本题考查了含绝对值不等式的解法，分类讨论解含绝对值的不等式，存在性成立问题的综合应用，分类讨论的过程较为繁琐，属于难题.。
2018-2019学年人教A版浙江省杭州高级中学高二第二学期期中数学试卷 含解析
2018-2019学年高二第二学期期中数学试卷一、选择题1．设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则A∩（∁U B）＝（）A．{1，2，5，6} B．{1} C．{2} D．{1，2，3，4} 2．命题“若a∈M，则b∉M”的逆否命题是（）A．若a∉M，则b∉M B．若b∈M，则a∉MC．若a∉M，则b∈M D．若b∉M，则a∈M3．已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．若变量x，y满足约束条件，且z＝3x+y的最大值为（）A．5 B．6 C．7 D．85．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x（x+1），那么f（﹣1）等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．26．函数y＝xln|x|的大致图象是（）A．B．C．D．7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2＝bc，sin C＝sin B，则A＝（）A．30°B．60°C．90°D．120°8．已知函数，若对任意两个不相等的正数x1、x2，都有恒成立，则a的取值范围为（）A．[2，+∞）B．（4，+∞）C．（﹣∞，4] D．（﹣∞，4）9．如图，在底面为正三角形的棱台ABC﹣A1B1C1中，记锐二面角A1﹣AB﹣C的大小为α，锐二面角B1﹣BC﹣A的大小为β，锐二面角C1﹣AC﹣B的大小为γ，若α＞β＞γ，则（）A．AA1＞BB1＞CC1B．AA1＞CC1＞BB1C．CC1＞BB1＞AA1D．CC1＞AA1＞BB110．已知椭圆C1：+＝1（a1＞b1＞0）与双曲线C2：﹣＝1（a2＞0，b2＞0）有相同的左、右焦点F1，F2，若点P是C1与C2在第一象限内的交点，且|F1F2|＝4|PF2|，设C1与C2的离心率分别为e1，e2，则e2﹣e1的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题11．复数（i为虚数单位）的共轭复数＝，|z|＝．12．曲线的离心率为，渐近线为．13．已知某几何体的三视图如图，则这个几何体的体积是，表面积是．14．已知函数，则f（f（ln2））＝，不等式f（3﹣x2）＞f（2x）的解集为．15．设曲线y＝x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则x1•x2•…•x2019的值为．16．抛物线y2＝8x的焦点为F，设A（x1，y1）、B（x2，y2）是抛物线上的两个动点，若，则∠AFB的最大值为．17．已知函数，则函数y＝f（g（x））﹣a 的零点最多有个．三、解答题18．已知函数．（1）求函f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位后得到函数y＝g（x）的图象，求函数y ＝g（x）在区间上的值域．19．已知函数f（x）＝ax2﹣4ax+1+b（a＞0）的定义域为[2，3]，值域为[1，4]；设g（x）＝．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若不等式g（2x）﹣k•2x≥0在x∈[1，2]上恒成立，求实数k的取值范围．20．如图，已知四棱椎E﹣ABCD，△EAD是以AD为斜边的直角三角形，AE＝2，∠DAE＝60°，BC∥AD，AB＝BC＝CD＝AD，P是ED的中点．（1）求证CP∥平面ABE；（2）若CE＝，求直线CP与平面AED所成的角．21．如图，椭圆E：+＝1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1），且离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）若M点为右准线上一点，B为左顶点，连接BM交椭圆于N，求的取值范围；（3）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A）证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．22．函数．（1）若f（x）是定义域上的单调函数，求a的取值范围；（2）设分别为函数f（x）的极大值和极小值，若s＝m﹣n，求s的取值范围．参考答案一、选择题1．设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则A∩（∁U B）＝（）A．{1，2，5，6} B．{1} C．{2} D．{1，2，3，4} 【分析】进行补集、交集的运算即可．解：∁U B＝{1，5，6}；∴A∩（∁U B）＝{1，2}∩{1，5，6}＝{1}．故选：B．2．命题“若a∈M，则b∉M”的逆否命题是（）A．若a∉M，则b∉M B．若b∈M，则a∉MC．若a∉M，则b∈M D．若b∉M，则a∈M【分析】直接利用四种命题是逆否关系写出结果即可．解：否定没有的条件作结论，否定命题的结论作条件，即可得到命题的逆否命题．命题“若a∈M，则b∉M”的逆否命题是：若b∈M，则a∉M．故选：B．3．已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据线面平行的定义和性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：∵m⊄α，n⊂α，∴当m∥n时，m∥α成立，即充分性成立，当m∥α时，m∥n不一定成立，即必要性不成立，则“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选：A．4．若变量x，y满足约束条件，且z＝3x+y的最大值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求最大值．解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝3x+y得y＝﹣3x+z，平移直线y＝﹣3x+z，由图象可知当直线y＝﹣3x+z经过点C时，直线y＝﹣3x+z的截距最大，此时z最大．由，解得x＝2，y＝﹣1，即C（2，﹣1），代入目标函数z＝3x+y得z＝3×2﹣1＝5．即目标函数z＝3x+y的最大值为5．故选：A．5．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x（x+1），那么f（﹣1）等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2【分析】由函数在x＞0时的解析式可得f（1）的值，又由f（x）为奇函数，结合奇函数的性质，可得f（﹣1）＝﹣f（1），即可得答案．解：根据题意，f（1）＝1×（1+1）＝2，又由f（x）为奇函数，则f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2；故选：A．6．函数y＝xln|x|的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】容易看出，该函数是奇函数，所以排除B项，再原函数式化简，去掉绝对值符号转化为分段函数，再从研究x＞0时，特殊的函数值符号、极值点、单调性、零点等性质进行判断．解：令f（x）＝xln|x|，易知f（﹣x）＝﹣xln|﹣x|＝﹣xln|x|＝﹣f（x），所以该函数是奇函数，排除选项B；又x＞0时，f（x）＝xlnx，容易判断，当x→+∞时，xlnx→+∞，排除D选项；令f（x）＝0，得xlnx＝0，所以x＝1，即x＞0时，函数图象与x轴只有一个交点，所以C选项满足题意．故选：C．7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2＝bc，sin C＝sin B，则A＝（）A．30°B．60°C．90°D．120°【分析】已知第二个等式利用正弦定理化简用b表示出c，代入第一个等式表示出a，利用余弦定理表示出cos A，将表示出的a与c代入求出cos A的值，即可确定出A的度数．解：已知等式sin C＝sin B，由正弦定理化简得：c＝b，代入a2﹣b2＝bc得：a2﹣b2＝3b2，即a＝2b，∴cos A＝＝＝0，则A＝90°，故选：C．8．已知函数，若对任意两个不相等的正数x1、x2，都有恒成立，则a的取值范围为（）A．[2，+∞）B．（4，+∞）C．（﹣∞，4] D．（﹣∞，4）【分析】先确定g（x）＝f（x）﹣4x＝ax2+alnx﹣4x，在（0，+∞）上单增，再利用导数，可得ax2﹣4x+a≥0恒成立，即可求出实数a的取值范围．解：函数，定义域：（0，+∞）；若对任意两个不相等的正数：x1、x2，都有恒成立，则有：f（x1）﹣f（x2）＞4（x1﹣x2），∴f（x1）﹣4x1＞f（x2）﹣4x2，令：g（x）＝f（x）﹣4x＝ax2+alnx﹣4x，有：g（x）＝f（x）﹣4x＝ax2+alnx﹣4x，在（0，+∞）上单增，g′（x）＝ax+﹣4≥0；在（0，+∞）上恒成立，也就是ax2﹣4x+a≥0恒成立，在（0，+∞）；即：a≥；x∈（0，+∞）；a≥（）max；x∈（0，+∞）；令h（x）＝；x∈（0，+∞）；h′（x）＝；函数h（x）在（0，1）上h′（x）＞0，h（x）单调递增，函数h（x）在（1，+∞）上h′（x）＜0，h（x）单调递减．h（1）max＝2∴a≥（）max＝2；故选：A．9．如图，在底面为正三角形的棱台ABC﹣A1B1C1中，记锐二面角A1﹣AB﹣C的大小为α，锐二面角B1﹣BC﹣A的大小为β，锐二面角C1﹣AC﹣B的大小为γ，若α＞β＞γ，则（）A．AA1＞BB1＞CC1B．AA1＞CC1＞BB1C．CC1＞BB1＞AA1D．CC1＞AA1＞BB1【分析】利用二面角的定义，数形结合能求出结果．解：在底面为正三角形的棱台ABC﹣A1B1C1中，记锐二面角A1﹣AB﹣C的大小为α，锐二面角B1﹣BC﹣A的大小为β，锐二面角C1﹣AC﹣B的大小为γ，∵α＞β＞γ，∴三条侧棱AA1，BB1，CC1中，AA1最小，CC1最大，∴CC1＞BB1＞AA1．故选：C．10．已知椭圆C1：+＝1（a1＞b1＞0）与双曲线C2：﹣＝1（a2＞0，b2＞0）有相同的左、右焦点F1，F2，若点P是C1与C2在第一象限内的交点，且|F1F2|＝4|PF2|，设C1与C2的离心率分别为e1，e2，则e2﹣e1的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】运用椭圆和双曲线的定义，以及离心率公式和范围，结合换元法和对勾函数的单调性，即可得到所求范围．解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由椭圆的定义可得m+n＝2a1，由双曲线的定可得m﹣n＝2a2，解得m＝a1+a2，n＝a1﹣a2，由|F1F2|＝4|PF2|，可得n＝c，即a1﹣a2＝c，由e1＝，e2＝，可得﹣＝，由0＜e1＜1，可得＞1，可得＞，即1＜e2＜2，则e2﹣e1＝e2﹣＝，可设2+e2＝t（3＜t＜4），则＝＝t+﹣4，由f（t）＝t+﹣4在3＜t＜4递增，可得f（t）∈（，1）．故选：B．二、填空题11．复数（i为虚数单位）的共轭复数＝1﹣i，|z|＝．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念及复数模的计算公式求解．解：∵＝，∴，|z|＝．故答案为：1﹣i；．12．曲线的离心率为，渐近线为y＝±2x．【分析】根据题意，由双曲线的标准方程分析其焦点位置以及a、b的值，计算可得c 的值，由离心率公式以及渐近线方程计算可得答案．解：根据题意，双曲线，其焦点在x轴上，且a＝1，b＝2，则c＝＝，则双曲线的离心率e＝＝，其渐近线方程y＝±2x；故答案为：，y＝±2x．13．已知某几何体的三视图如图，则这个几何体的体积是，表面积是1+．【分析】几何体为三棱锥，底面为等腰三角形，一条侧棱垂直底面，画出直观图，求解体积以及表面积即可．解：由三视图可知几何体是底面是等腰直角三角形，侧棱垂直底面的三棱锥，棱锥的高为2，如图：AO＝OD＝1，BO＝OC＝，DO⊥底面ABC，所以几何体的体积V＝＝．表面积为：＝1+故答案为：；1+．14．已知函数，则f（f（ln2））＝，不等式f（3﹣x2）＞f（2x）的解集为{x|﹣3＜x＜1} ．【分析】判断函数f（x）在R上的单调性，然后根据单调性解不等式即可．解：f（ln2）＝e ln2＝2，所以f（f（ln2））＝f（2）＝，当x＜0时，f（x）＝，则f'（x）＝x2﹣x＜0，所以f（x）在（﹣∞，0）上递增，则f（x）＜f（0）＝0又当x≤0时，f（x）＝e x，在[0，+∞）上单调递增，则f（x）≥f（0）＝0，所以f（x）在R上单调递增，所以由f（3﹣x2）＞f（2x），得3﹣x2＞2x，所以﹣3＜x＜1，所以不等式的解集为：{x|﹣3＜x＜1}．故答案为：；{x|﹣3＜x＜1}．15．设曲线y＝x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则x1•x2•…•x2019的值为．【分析】先求出其导函数，把x＝1代入，求出切线的斜率，进而得到切线方程，找到切线与x轴的交点的横坐标的表达式，化简即可求出结论．解：因为y＝x n+1，故y′＝（n+1）x n，所以x＝1时，y′＝n+1，则直线方程为y﹣1＝（n+1）（x﹣1），令y＝0，则x＝1﹣＝，故切线与x轴的交点为（，0），则x1•x2•…•x2019＝×××…×＝．故答案为：．16．抛物线y2＝8x的焦点为F，设A（x1，y1）、B（x2，y2）是抛物线上的两个动点，若，则∠AFB的最大值为．【分析】利用余弦定理，结合基本不等式，即可求出∠AFB的最大值．解：∵|AB|，|AF|+|BF|＝x1+x2+4，∴|AF|+|BF|＝|AB|．在△AFB中，由余弦定理得：cos∠AFB＝＝＝﹣1＝．又|AF|+|BF|＝|AB|≥2，∴|AF|•|BF|≤|AB|2．∴cos∠AFB≥＝﹣，∴∠AFB的最大值为，故答案为：．17．已知函数，则函数y＝f（g（x））﹣a的零点最多有 6 个．【分析】分别作出y＝f（x）和y＝g（x）的图象，求得g（x）的值域，通过f（x）的图象，考虑log35＜a＜2时，f（t）＝a的t的范围，再求t＝g（x）的x的个数，可得所求结论．解：分别作出函数的图象（如右），可得g（x）的值域为（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞），由y＝f（g（x））﹣a＝0，可得a＝f[g（x）]，可令t＝g（x），即y＝f（t），当log35＜a＜2时，﹣7＜t＜﹣1，或2＜t＜3或3＜t＜4，由y＝g（x）的图象，可得t＝g（x）的交点个数为6个，则函数y＝f（g（x））﹣a的零点最多6个．故答案为：6．三、解答题18．已知函数．（1）求函f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位后得到函数y＝g（x）的图象，求函数y ＝g（x）在区间上的值域．【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．（2）根据y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得到结果．解：（1）f（x）＝cos x（sin x+cos x）+＝cos x sin x+cos2x+＝cos2x+1＝，∴f（x）的周期T＝，由﹣+2kπ（k∈Z），得﹣+kπ（k∈Z），∴f（x）的单调增区间为；（2）函数f（x）的图象向右平移个单位后，得g（x）＝＝，∵x∈，∴2x﹣，∴，∴g（x）∈，∴g（x）的值域为：．19．已知函数f（x）＝ax2﹣4ax+1+b（a＞0）的定义域为[2，3]，值域为[1，4]；设g（x）＝．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若不等式g（2x）﹣k•2x≥0在x∈[1，2]上恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）＝ax2﹣4ax+1+b（a＞0）的定义域为[2，3]，值域为[1，4]，其图象对称轴为直线x＝2，且g（x）的最小值为1，最大值为4，列出方程可得实数a，b的值；（Ⅱ）若不等式g（2x）﹣k•2x≥0在x∈[1，2]上恒成立，分离变量k，在x∈[1，2]上恒成立，进而得到实数k的取值范围．解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝ax2﹣4ax+1+b（a＞0）其图象对称轴为直线x＝2，函数的定义域为[2，3]，值域为[1，4]，∴，解得：a＝3，b＝12；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）＝3x2﹣12x+13，g（x）＝＝．若不等式g（2x）﹣k•2x≥0在x∈[1，2]上恒成立，则k≤（）2﹣2（）+1在x∈[1，2]上恒成立，2x∈[2，4]，∈[，]，当＝，即x＝1时，（）2﹣2（）+1取最小值，故k≤．20．如图，已知四棱椎E﹣ABCD，△EAD是以AD为斜边的直角三角形，AE＝2，∠DAE＝60°，BC∥AD，AB＝BC＝CD＝AD，P是ED的中点．（1）求证CP∥平面ABE；（2）若CE＝，求直线CP与平面AED所成的角．【分析】（1）取AE的中点F，连结PG，BG，推导出四边形BCPG为平行四边形，CP∥BG，则CP∥平面ABE；（2）在等腰梯形ABCD中，过C作CO⊥AD，垂足为O，求解三角形证明OC⊥底面AED，可得∠CPO为直线CP与平面AED所成的角，进一步求解三角形得答案．【解答】证明：（1）取AE中点G，连结PG，BG，∵BC∥AD，BC＝AD，PG∥AD，PG＝，∴BC∥PG，BC＝PG，则四边形BCPG为平行四边形，则PC∥BG，∵BG⊂平面PAB，PC⊄平面PAB，∴CP∥平面ABE；解：（2）在等腰梯形ABCD中，过C作CO⊥AD，垂足为O，连接EO，PO，由已知可得OD＝1，CD＝2，则CO＝，在△ODE中，由余弦定理求得，而CE＝，∴OC2+OE2＝CE2，即∠COE为直角，则OC⊥OE，由OC⊥AD，∴OC⊥平面AED，∴∠CPO为直线CP与平面AED所成的角，由OP＝，∴tan，即∠CPO＝60°．∴直线CP与平面AED所成的角为60°．21．如图，椭圆E：+＝1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1），且离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）若M点为右准线上一点，B为左顶点，连接BM交椭圆于N，求的取值范围；（3）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A）证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．【分析】（1）运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，进而得到椭圆方程；（2）设N点横坐标为x0，则＝＝，由﹣＜x0≤，可得的取值范围；（3）由题意设直线PQ的方程为y＝k（x﹣1）+1（k≠0），代入椭圆方程+y2＝1，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简计算即可得到结论．【解答】（1）解：由题意知，b＝1，再由a2＝b2+c2，解得，继而得椭圆的方程为；（2）解：由（1）知，椭圆右准线方程为x＝2，设N点横坐标为x0，则＝＝，∵﹣＜x0≤，∴．∴的取值范围是[，+∞）；（3）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1x2≠0由题设知，直线PQ的方程为y＝k（x ﹣1）+1（k≠0），代入，化简得（1+2k2）x2﹣4k（k﹣1）x+2k（k﹣2）＝0，则，由已知△＞0，从而直线AP与AQ的斜率之和＝2k+（2﹣k）＝2k﹣2（k﹣1）＝2．即有直线AP与AQ斜率之和为2．22．函数．（1）若f（x）是定义域上的单调函数，求a的取值范围；（2）设分别为函数f（x）的极大值和极小值，若s＝m﹣n，求s的取值范围．【分析】（1）求出函数导数，令它大于等于0和小于等于0，其在定义域上恒成立，分类讨论a即可得到a的范围，注意定义域；（2）设f'（x）＝0的两根为x1，x2，（x1＜x2），所以m＝f（x1），n＝f（x2），因为x1x2＝1，所以x1＜1＜x2，由＜a＜1，且ax12﹣2x1+a＝0，得＜x1＜1，所以s＝m ﹣n＝ax1﹣﹣2lnx1﹣（ax2﹣﹣2lnx2）＝ax1﹣﹣2lnx1﹣（﹣ax1+2lnx1）＝2（ax1﹣﹣2lnx1），由ax12﹣2x1+a＝0，得a＝，代入上式得，g（x）＝﹣lnx，求导数，应用单调性，即可得到s的范围．解：（1）函数．定义域为（0，+∞），∴f′（x）＝a+﹣＝，∵函数f（x）在定义域（0，+∞）内为单调函数，∴f'（x）≤0或f'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，①当a＝0时，f′（x）＝﹣＜0在（0，+∞）内恒成立，∴a＝0满足题意；②当a＞0时，设g（x）＝ax2﹣2x+a（x∈（0，+∞））由题意知△＝4﹣4a2≤0∴a≤﹣1或a≥1又∵a＞0，∴a≥1，所以a的取值范围为：a＝0或a≥1，（2）由导函数的ax2﹣2x+a，得△＞0得4﹣4a2＞0，即﹣1＜a＜1且＜a＜1，得＜a＜1，此时设f'（x）＝0的两根为x1，x2，（x1＜x2），所以m＝f（x1），n＝f（x2），因为x1x2＝1，所以x1＜1＜x2，由＜a＜1，且ax12﹣2x1+a＝0，得＜x1＜1，所以s＝m﹣n＝ax1﹣﹣2lnx1﹣（ax2﹣﹣2lnx2）＝ax1﹣﹣2lnx1﹣（﹣ax1+2lnx1）＝2（ax1﹣﹣2lnx1），由ax12﹣2x1+a＝0，得a＝，代入上式得，s＝4（﹣lnx1）＝4（﹣lnx12），令x12＝t，所以＜t＜1，g（x）＝﹣lnx，则s＝4g（t），g′（t）＝＜0，所以g（x）在[，1]上单调递减，从而g（1）＜g（t）＜g（），即0＜g（t）＜，所以0＜s＜．s的取值范围是0＜s＜．。
浙江省91高中联盟2018_2019学年高二数学下学期期中试题
2018学年第二学期9+1高中联盟期中考高二数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请将正确答案填入下表内。
题号12345678910答案C A D B B D A C C A二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
11.1，；12．8，14；13.40，32；14.27，265n -；15；16．222-；17．1229-．三、解答题：本大题共5小题，共74分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.(本题满分14分)解：（Ⅰ）()sin(2)cos 26f x x x π=+-1sin 2cos 222x x =-sin(2)6x π=-…………5分2T ππω==…………7分（Ⅱ）03x π≤≤ 2662x πππ∴-≤-≤1(),12f x ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦……………14分19．(本题满分15分)解：（Ⅰ）3213211213111743243243243224P =⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯=…………5分8584120120> ∴F 会入选………………7分（Ⅱ）X 0123P 124141124141111123()012324424412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=………………15分20．(本题满分15分)解：（Ⅰ） a b ⊥ ．∴sin 0x x =………………4分tan x ∴=………………7分（Ⅱ）31)3sin()(=-=πααf 1sin()33πα∴-=………………9分02πα<< 336πππα∴-<-<cos()33πα∴-=………………12分sin sin ()33ππαα⎡⎤∴=-+⎢⎥⎣⎦sin()cos cos()sin 3333ππππαα=-+-11132326+=⨯+=………………15分21.(本题满分15分)解：（Ⅰ）∵f （0）=0，∴c =0，∵对于任意x ∈R,都有11()()22f x f x -+=--，∴函数()f x 的对称轴为12x =-，即122b a -=-，得a b =………………3分又()f x x ≥，即2(1)0ax b x +-≥对于任意x ∈R,都成立，∴0a >，且2(1)0b ∆=-≤．∵2(1)0b -≥，∴b =1，a =1．∴2()f x x x =+．………………6分（Ⅱ）法一：令0)(=x g ，则即求方程|1|2-=+x λx x 在（-1,2）内的解的个数问题．0>λ ，当λx 1<时，方程x λx x -=+12在)1,0(λ内必有一解． (8)分只需考虑λx 1≥时，方程12-=+x λx x 在)2,1(λ内的解的个数问题．当0=∆时，可得3=λ．如图一，此时1=x ．即此时有一解；当0<∆时，可得30<<λ．如图二，此时)2,1(λ内无解；当0>∆时，可得3>λ．记两解为)(,,2121x x x x <，121=⋅x x ，如图三，必有)1,1(1λx ∈之间，取2=x ，若)2(12f λ<-即27<λ时，解∈2x （1，2）；若)2(12f λ>-，即27≥λ，),2[2+∞∈x ；………………14分综上，当30<<λ时，g （x ）在（-1,2）内有一个零点；当3=λ或27≥λ时，g （x ）在（-1,2）内有两个零点；当273<<λ时，g （x ）在（-1,2）内有三个零点；………………15分法二：()()|1|g x f x x =--λ2222221111(1)1+12211+1+1(1)1+122x x ,x x ,x x x ,x x ,x -λ-λ⎧⎧+-λ+≥+-≥⎪⎪⎪⎪λλ==⎨⎨λλ⎪⎪++λ-<--<⎪⎪λλ⎩⎩（）（）（）（）………………8分0>λ ，1)当λx 1<时，对称轴0+102x λ=-<，图一图二图三又(1)1g -=--λ，2111()0g =+>λλλ，(0)10g =--λ<()g x ∴在1-λ（1，）上有一解.………………10分2）当1x ≥λ时，对称轴0-12x λ=，i)若1-12λ≥λ，即02<λ≤时，()g x 在1λ（上递增.又2111()0g =+>λλλ，()=0g x ∴在1λ（上无解.ii)若1-12λ<λ，即2λ>时，()g x 在1-12λλ（，上递减，-1+2λ∞（）上递增.又2111()0g =+>λλλ，2-1-1()1()22g λλ=-，(2)7-2g =λ23∴<λ<当时，()g x 在1λ（上没有零点.=3λ当时，()g x 在1λ（上有一个零点.72<λ<当3时，()g x 在1λ（，2）上有两零点.当27≥λ时，()g x 在1λ（，2）上有一零点.………………14分综上，当30<<λ时，g （x ）在（-1,2）内有一个零点；当3=λ或27≥λ时，g （x ）在（-1,2）内有两个零点；当273<<λ时，g （x ）在（-1,2）内有三个零点；………………15分22.(本题满分15分)（Ⅰ）()[ln(1)+]+1101x f x m x x k f ().'=++'∴== 故切线l 的方程为1y x =+.………………5分（Ⅱ）令()()ln(1)1[0).x x g x e f x e x mx x ,x ,=-=--+-∈+∞则()1ln(1)[0).1x mx g x e m x ,x ,x '=--+-∈+∞+令h()1ln(1)[0).1x mx x e m x ,x ,x =--+-∈+∞+则211()(1)1x h x e m x x ⎡⎤'=-+⎢⎥++⎣⎦，[)0,x ∈+∞h (0)12.m '=-………………7分①当0m ≤时，h ()>0,x 'h(x )∴在[0),+∞上单调递增，故00h(x )g (x )h()'=≥=，g(x )∴在[0),+∞上单调递增，00g(x )g()≥=从而，当0x ≥时，().x e f x ≥②当102m <≤时，h (x )' 在[0),+∞上单调递增，0120h (x )h ()m ,''∴≥=-≥在[0),+∞上单调递增，故与①同理，可得当0x ≥时，().x e f x ≥③当12m >时，h (x )' 在[0),+∞上单调递增，h (x )'∴在[0),+∞内取得最小值h (0)=1-2m '，h (0)<0,'取41x m =-，则0x >，221111h ()[]1[],(1)1(1)1x x e m x m x x x x '∴=-+≥+-+++++11111h (41)4m >40164284m m '∴-≥--⨯-->∴存在唯一的0041x m ∈-（，），使得0()0h x ,'=且当00[0]x ,x ∈时，()0h x ,'≤h(x )∴在0[0],x 上单调递减，∴当0[0]x ,x ∈时，()=g ()(0)=0h x x h ,'≤()g x ∴在0[0],x 上单调递减，此时存在00x x =>，使得0()<g(0)=0g x ，不符合题设要求.综上所述，m 的取值范围为1(]2,-∞.………………10分法二：求导同解法一(0)0h = 且()0f x ≥恒成立(0)120h m '∴=-≥，12m ∴≤211()(1)1x h x e x x ⎡⎤'=-+⎢++⎣⎦21112(1)1x e x x ⎡⎤≥-+⎢⎥++⎣⎦x ∈ [0),+∞(]10,11x ∴∈+，(]2110,2(1)1x x +∈++2111()102(1)1h x x x ⎡⎤'∴≥-+≥⎢⎥++⎣⎦h(x )∴在[0),+∞上单调递增，故00h(x )g (x )h()'=≥=，g(x )∴在[0),+∞上单调递增，00g(x )g()≥=………………10分（Ⅲ）由（2）知：当12m =时，ln(1)12x x x x e +++≤22ln(1)2xe x x x∴+++≤………………12分令(]10,1x n =∈，11ln(1)222n n ne n∴+++≤，1ln(1)ln 2(1)2n n n n ne ∴+-++≤………………14分累加得：[]ln(1)223(1)2(n n e n ∴++++++≤++ 2ln(1)32(n n n e ∴+++≤+++ ………………15分。
浙江省宁波市2019届高二数学下学期期中试题(含解析)
2018-2019 学年第二学期高二年级期中考试数学试卷选择题 :本大题共10 小题 ,每小题4分,共40分．在每小题给出的四个选项中, 金榜题名，高考必胜 ! 蝉鸣声里勾起高考记忆三年的生活，每天睡眠不足六个小时，十二节四十五分钟的课加上早晚自习，每天可以用完一支中性笔，在无数杯速溶咖啡的刺激下，依然活蹦乱跳，当我穿过昏暗的清晨走向教学楼时，我看到了远方地平线上渐渐升起的黎明充满自信，相信自己很多考生失利不是输在知识技能上而是败在信心上，觉得自己不行。
临近考试前可以设置完成一些小目标，比如说今天走 1 万步等，考试之前给自己打气，告诉自己“我一定行”!只有一项是符合题目要求的．最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自最新试卷多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。
成，金榜定题名。
1. 已知函数则的值为( )A. -20B. -10C. 10D. 20【答案】 D【解析】试题分析：因为，所以，，故选 D.考点：导数的定义及对数函数求导.2. 从一批产品中取出三件，设=“三件产品全不是次品”，=“三件产品全是次品”，=“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（）A.A 与 C互斥B.B与 C互斥C.任两个均互斥D.任两个均不互斥【答案】 B【解析】试题分析：事件 C 包括三种情况，一是有两个次品一个正品，二是有一个次品两个正品，三是三件都是正品，即不全是次品，把事件 C 同另外的两个事件进行比较，看清两个事件能否同时发生，得到结果．解：由题意知事件 C包括三种情况，一是有两个次品一个正品，二是有一个次品两个正品，三是三件都是正品，∴事件 C 中不包含 B 事件，事件 C 和事件 B 不能同时发生，∴B与 C 互斥，故选 B．点评：本题考查互斥事件和对立事件，是一个概念辨析问题，注意这种问题一般需要写出事件所包含的所有的结果，把几个事件进行比较，得到结论．3.二项式的展开式中的有理项共有（）A.4 项B.5项C.6项D.7项【答案】 C【解析】二项式的展开式中通项公式为，令为整数，可得r=0 ， 2， 4， 6， 8， 10，共计 6 项，本题选择C选项 .4. 2017年 4 月19 日是“期中考试”，这天小明的妈妈为小明煮了 5 个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件“取到的两个都是豆沙馅”，则=“取到的两个为同一种馅”，事件（）=A. B. C. D.【答案】 A【解析】由题意，,，故选： A．【思路点睛】求条件概率一般有两种方法：一是对于古典概型类题目，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P(B|A) ＝其中 n(AB) 表示事件AB包含的基本事件个数，n(A) 表示事件 A 包含的基本事件个数．，二是直接根据定义计算，P(B|A)＝，特别要注意P(AB) 的求法．5.设函数在定义域内可导，它的图象如图所示，则它的导函数图象可能为 ()A. B. C.D.【答案】 D【解析】函数的图象可知,x <0 时 , 函数是增函数 ,f′( )>0 ，x函数f (x) 有两个极值点，导函数的图象与x轴有 2个交点，排除，；A Cx >0 的极大值前是增函数，导函数为正值，排除.B本题选择D选项 .6.已知，若~,则和分别是（）A.6 和 2.4B.2和2.4C.2和5.6D.6和5.6【答案】 B【解析】由已知随机变量X+Y=8，所以有 Y=8- X.因此， E( Y)=8- E( X)=8- 10×0.6=2，D( Y)=(-1)2D( X)=10×0.6×0.4=2.4.本题选择 B 选项 .7.某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单 . 若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学( 其余三人在其他学校各选一所不同大学) 的概率是( )A. B. C. D.【答案】 C【解析】五所学生自由录取五名学生, 共有 55种不同的录取情况其中满足条件：仅有两名学生录取到同一所大学( 其余三人在其他学校各选一所不同大学)的情况的录取情况有：种， ... ... ...............则：则仅有两名学生录取到同一所大学( 其余三人在其他学校各选一所不同大学) 的概率：本题选择C选项 .8.已知可导函数满足，则当时，大小关系为（）A. B. C. D.【答案】 B【解析】试题分析：所以函数为增函数考点：函数导数与单调性9.某班班会准备从甲、乙等 7 名学生中选派 4 名进行发言，要求甲、乙两人至少有一人参加．当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同的发言顺序的种数为 ()A. 360B. 520C. 600D. 720【答案】 C【解析】试题分析：分两种情况：一种是甲乙有一人参加共有, 一种是甲乙都参加共有综上共有600 种，选 C．考点：有条件的排列问题，不相邻问题．10.设函数，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】 D【解析】设 g(x)=e x(2x - 1) ， y=ax - a，由题意知存在唯一的整数x0使得 g(x 0) 在直线 y=ax - a 的下方，∵g′(x)=e x (2x - 1)+2e x =e x(2x+1) ，∴当时,g ′(x)<0, 当时,g ′(x)>0，∴当时 ,g(x)取最小值，当 x=0 时 ,g(0)= - 1, 当 x=1 时 ,g(1)=e>0 ，直线 y=ax - a 恒过定点 (1,0) 且斜率为 a，故-a>g(0)= - 1 且 g( - 1)= - 3e-1? - a- a, 解得本题选择D选项 .二．填空题 : 本大题共 7 小题 , 多空每空 3 分，单空每题 4 分, 共 36 分．把答案填在答题卷的相应位置．11.在一次招聘中，主考官要求应聘者从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 道题，并独立完成所抽取的 3 道题。
2018-2019学年浙江省金兰教育合作组织高二(下)期中数学试卷 含解析
2018-2019学年高二第二学期期中数学试卷一、选择题.1．设集合A＝{x|x≤2}，则下列四个关系中正确的是（）A．1∈A B．1∉A C．{1}∈A D．1⊆A2．设双曲线（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x3．已知数列{a n}是等差数列，a1+a7＝﹣8，a2＝2，则数列{a n}的公差d等于（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣44．设m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，且m，n⊂α．则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．若函数f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）C．（﹣3，6）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）6．函数y＝（x3﹣x）2|x|图象大致是（）A．B．C．D．7．若变量x、y满足约束条件，则（x﹣2）2+y2的最小值为（）A．B．C．D．58．已知A，B，C在圆x2+y2＝1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则||的最大值为（）A．6B．7C．8D．99．如图，在棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P，Q满足A1P＝BQ，过P，Q，C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为（）A．3：1B．C．4：1D．2：110．已知函数f（x）＝ax2+（1﹣2a）x+a﹣3，则使函数f（x）至少有一个整数零点的所有正整数a的值之和等于（）A．1B．6C．4D．9二、填空题（共7小题，双空题每题6分，每空3分，单空题每空4分，共36分.）11．计算：log2＝，＝．12．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3，表面积为cm2．13．已知直线l1：4x﹣3y+11＝0和直线l2：x＝﹣1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是，此时点P的坐标为．14．已知{a n}是等差数列，公差d不为零，若a2，a3，a7成等比数列，且2a1+a2＝1，则a1＝，d＝．15．函数的递减区间为（﹣2，﹣1），则实数a的值．16．已知平面四边形ABCD为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧），且AB＝2，BC＝4，CD＝5，DA＝3，则平面四边形ABCD 面积的最大值为．17．已知正实数x，y满足x+y+z＝3，xy+yz+zx＝2，则实数z的取值范围是．三、解答题（共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．设f（x）＝sin x cos x﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．19．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD＝CB＝a，∠ABC＝60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE＝a，点M在线段EF上，且MF＝2EM．（1）求证：AM∥平面BDF；（2）求直线AM与平面BEF所成角的余弦值．20．已知数列{a n}中，a1＝1，前n项和（1）求a2，a3；（2）求{a n}的通项公式．21．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）经过点（1，），一个焦点为（，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线y＝k（x﹣1）（k≠0）与x轴交于点P，与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点Q，求的取值范围．22．设（a∈R）．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点处的切线方程；（Ⅱ）当a＜1时，在内是否存在一实数x0，使f（x0）＞e﹣1成立？参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设集合A＝{x|x≤2}，则下列四个关系中正确的是（）A．1∈A B．1∉A C．{1}∈A D．1⊆A【分析】根据描述法表示集合的含义，1≤2，可得1是集合A中的元素．解：∵集合A＝{x|x≤2}，是所有不大于2的实数组成的集合，∴1是集合中的元素，故1∈A，故选：A．2．设双曲线（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x【分析】由题意可得b，c，由双曲线的a，b，c的关系可得a，再由双曲线的渐近线方程，即可得到．解：由题意可得，双曲线的b＝1，c＝，则a＝＝，则双曲线的渐近线方程为y＝x，即为y＝x．故选：B．3．已知数列{a n}是等差数列，a1+a7＝﹣8，a2＝2，则数列{a n}的公差d等于（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣4【分析】由已知条件利用等差数列的通项公式列出方程组，由此能求出数列{a n}的公差．解：∵数列{a n}是等差数列，a1+a7＝﹣8，a2＝2，∴，解得a1＝5，d＝﹣3．故选：C．4．设m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，且m，n⊂α．则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【分析】由面面平行的性质得，充分性成立；由面面平行的判定定理知，必要性不成立．解：当α∥β时，因为m，n⊂α，故能推出m∥β且n∥β，故充分性成立．当m∥β且n∥β时，m，n⊂α，若m，n是两条相交直线，则能推出α∥β，若m，n不是两条相交直线，则α与β可能相交，故不能推出α∥β，故必要性不成立．故选：A．5．若函数f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）C．（﹣3，6）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）【分析】由题意求导f′（x）＝3x2+2ax+（a+6）；从而化函数f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值为△＝（2a）2﹣4×3×（a+6）＞0；从而求解．解：∵f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1，∴f′（x）＝3x2+2ax+（a+6）；又∵函数f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，∴△＝（2a）2﹣4×3×（a+6）＞0；故a＞6或a＜﹣3；故选：B．6．函数y＝（x3﹣x）2|x|图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据函数y为奇函数，它的图象关于原点对称，当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0，结合所给的选项得出结论．解：由于函数y＝（x3﹣x）2|x|为奇函数，故它的图象关于原点对称，当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0，故选：B．7．若变量x、y满足约束条件，则（x﹣2）2+y2的最小值为（）A．B．C．D．5【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z＝（x﹣2）2+y2，利用距离公式进行求解即可．解：作出不等式组对应的平面区域，设z＝（x﹣2）2+y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D（2，0）的距离的平方，由图象知CD的距离最小，此时z最小．由得，即C（0，1），此时z＝（x﹣2）2+y2＝4+1＝5，故选：D．8．已知A，B，C在圆x2+y2＝1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则||的最大值为（）A．6B．7C．8D．9【分析】由题意，AC为直径，所以||＝|2+|．B为（﹣1，0）时，|2+|≤7，即可得出结论．解：由题意，AC为直径，所以||＝|2+|所以B为（﹣1，0）时，|2+|≤7．所以||的最大值为7．另解：设B（cosα，sinα），|2+|＝|2（﹣2，0）+（cosα﹣2，sinα）|＝|（cosα﹣6，sinα）|＝＝，当cosα＝﹣1时，B为（﹣1，0），取得最大值7．故选：B．9．如图，在棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P，Q满足A1P＝BQ，过P，Q，C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为（）A．3：1B．C．4：1D．2：1【分析】由已知中三棱柱的侧棱AA1和BB1上各有一动点P，Q满足A1P＝BQ，我们可得四边形PQBA与四边形PQB1A1的面积相等，等于侧面ABPQB1A1的面积的一半，根据等底同高的棱锥体积相等，可将四棱椎C﹣PQBA的体积转化三棱锥C﹣ABA1的体积，进而根据同底同高的棱锥体积为棱柱的，求出四棱椎C﹣PQBA的体积，进而得到答案．解：设三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V∵侧棱AA1和BB1上各有一动点P，Q满足A1P＝BQ，∴四边形PQBA与四边形PQB1A1的面积相等故四棱椎C﹣PQBA的体积等于三棱锥C﹣ABA1的体积等于V则四棱椎C﹣PQB1A1的体积等于V故过P、Q、C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积比为2：1故选：D．10．已知函数f（x）＝ax2+（1﹣2a）x+a﹣3，则使函数f（x）至少有一个整数零点的所有正整数a的值之和等于（）A．1B．6C．4D．9【分析】“至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根．把它的两个根解出来，判断a的值即可．解：用求根公式解得x＝＝1﹣，∵x＝1﹣是两个都是整数根或一个是整数根，一个不是整数根，∴a＝1或3．故选：C．二、填空题（共7小题，双空题每题6分，每空3分，单空题每空4分，共36分.）11．计算：log2＝，＝．【分析】直接利用对数运算法则化简求值即可．解：log2＝log2＝﹣；＝＝＝3．故答案为：；．12．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3，表面积为cm2．【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积和表面积．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为半径为1的球体的．故，该几何体的表面积为S＝＝．故答案为：；．13．已知直线l1：4x﹣3y+11＝0和直线l2：x＝﹣1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是3，此时点P的坐标为（，）．【分析】画出图形，过点P分别作PM⊥l1，PN⊥l2，垂足分别为M，N．设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义可得|PN|＝|PF|，求|PM|+|PN|转化为求|PM|+|PF|，当三点M，P，F共线时，|PM|+|PF|取得最小值．利用点到直线的距离公式即可得出距离的最小值；求出直线方程，然后求解交点坐标．解：如图所示，过点P分别作PM⊥l1，PN⊥l2，垂足分别为M，N．设抛物线的焦点为F（1，0），由抛物线的定义可得|PN|＝|PF|，∴|PM|+|PN|＝|PM|+|PF|，当三点M，P，F共线时，|PM|+|PF|取得最小值．其最小值为点F到直线l1的距离，∴|FM|＝＝3．此时直线PF的方程为：y＝﹣，与抛物线y2＝4x联立，可得9x2﹣82x+9＝0，解得x＝，x＝9（舍去），可得y＝．P（，）故答案为：3；（，）．14．已知{a n}是等差数列，公差d不为零，若a2，a3，a7成等比数列，且2a1+a2＝1，则a1＝，d＝﹣1．【分析】运用等比数列的性质，结合等差数列的通项公式，计算可得d＝﹣a1，再由条件2a1+a2＝1，运用等差数列的通项公式计算即可得到首项和公差．解：由a2，a3，a7成等比数列，则a32＝a2a7，即有（a1+2d）2＝（a1+d）（a1+6d），即2d2+3a1d＝0，由公差d不为零，则d＝﹣a1，又2a1+a2＝1，即有2a1+a1+d＝1，即3a1﹣a1＝1，解得a1＝，d＝﹣1．故答案为：，﹣1．15．函数的递减区间为（﹣2，﹣1），则实数a的值﹣3．【分析】由题意可得，f′（x）＝x2﹣ax+2＜0的解集（﹣2，﹣1），结合不等式的解集与方程根的关系即可求解．解：由题意可得，f′（x）＝x2﹣ax+2＜0的解集（﹣2，﹣1），即x2﹣ax+2＝0的根为﹣2，﹣1，所以a＝﹣3．故答案为：﹣316．已知平面四边形ABCD为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧），且AB＝2，BC＝4，CD＝5，DA＝3，则平面四边形ABCD 面积的最大值为2．【分析】在△ABC和△ACD中使用余弦定理求出cos B，cos D的关系，得出四边形的面积S关于sin B，sin D的函数表达式，利用余弦函数的性质求出S的最大值．解：设AC＝x，在△ABC中，由余弦定理得：x2＝22+42﹣2×2×4cos B＝20﹣16cos B，同理，在△ADC中，由余弦定理得：x2＝32+52﹣2×3×5cos D＝34﹣30cos D，∴15cos D﹣8cos B＝7，①又平面四边形ABCD面积为，∴8sin B+15sin D＝2S，②①2+②2得：64+225+240（sin B sin D﹣cos B cos D）＝49+4S2，∴S2＝60﹣60cos（B+D），当B+D＝π时，S取最大值＝．故答案为：2．17．已知正实数x，y满足x+y+z＝3，xy+yz+zx＝2，则实数z的取值范围是{z|}．【分析】已知可得y＝3﹣（x+z），代入整理可得x2+（z﹣3）x+z2﹣3z+2＝0，结合二次方程根的存在条件可求．解：由已知可得y＝3﹣（x+z），所以，xy+yz+zx＝x（3﹣x﹣z）+（3﹣x﹣z）z+xz＝2，即x2+（z﹣3）x+z2﹣3z+2＝0，由题意可得，△＝（z﹣3）2﹣4（z2﹣3z+2）≥0，解可得，，又即3＞z＞2或z＜1，综上可得，，故答案为：{z|}．三、解答题（共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．设f（x）＝sin x cos x﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）＝sin2x﹣，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间，由2k≤2x≤2k，k∈Z 可解得单调递减区间．（Ⅱ）由f（）＝sin A﹣＝0，可得sin A，cos A，由余弦定理可得：bc，且当b＝c时等号成立，从而可求bc sin A≤，从而得解．解：（Ⅰ）由题意可知，f（x）＝sin2x﹣＝sin2x﹣＝sin2x﹣由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；所以f（x）的单调递增区间是[k，k]，（k∈Z）；单调递减区间是：[k，k]，（k∈Z）；（Ⅱ）由f（）＝sin A﹣＝0，可得sin A＝，由题意知A为锐角，所以cos A＝，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得：1+bc＝b2+c2≥2bc，即bc，且当b＝c时等号成立．因此S＝bc sin A≤，所以△ABC面积的最大值为．19．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD＝CB＝a，∠ABC＝60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE＝a，点M在线段EF上，且MF＝2EM．（1）求证：AM∥平面BDF；（2）求直线AM与平面BEF所成角的余弦值．【分析】（1）设AC∩BD＝N，连接FN，证明：四边形AMFN是平行四边形，AM∥FN，即可证明AM∥平面BDF；（2）过点C作BF的垂线交BF于点H，求出CH，即可求直线AM与平面BEF所成角的余弦值．【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD＝CD＝CB＝a，∠ABC＝60°，∴四边形ABCD是等腰梯形，且∠DCA＝∠DAC＝30°，∠DCB＝120°，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，又∵AC＝BD＝，∴AB＝2a．设AC∩BD＝N，连接FN，则CN：NA＝1：2，则AN∥MF且AN＝MF，∴四边形AMFN是平行四边形，∴AM∥FN，又NF⊂平面BDF，∴AM∥平面BDF．（2）解：由题知：AC∥EF，∴点A到平面BEF的距离等于点C到平面BEF的距离，过点C作BF的垂线交BF于点H，∵AC⊥CF，AC⊥BC，BC∩CF＝C，∴AC⊥平面BCF，即EF⊥平面BCF，∴CH⊥EF，又∵CH⊥BF，EF∩BF＝F，∴CH⊥平面BEF．在Rt△BCF中，CH＝a，在△AEM中，AM＝a，∴直线AM与平面BEF所成角的正弦值为＝，即直线AM与平面BEF所成角的余弦值为．20．已知数列{a n}中，a1＝1，前n项和（1）求a2，a3；（2）求{a n}的通项公式．【分析】（1）直接利用已知，求出a2，a3；（2）利用已知关系式，推出数列相邻两项的关系式，利用累积法，求出数列的通项公式即可．解：（1）数列{a n}中，a1＝1，前n项和，可知，得3（a1+a2）＝4a2，解得a2＝3a1＝3，由，得3（a1+a2+a3）＝5a3，解得a3＝＝6．（2）由题意知a1＝1，当n＞1时，有a n＝s n﹣s n﹣1＝，整理得，于是a1＝1，a2＝a1，a3＝a2，…，a n﹣1＝a n﹣2，，将以上n个式子两端分别相乘，整理得：．综上{a n}的通项公式为21．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）经过点（1，），一个焦点为（，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线y＝k（x﹣1）（k≠0）与x轴交于点P，与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点Q，求的取值范围．【分析】（Ⅰ）由椭圆过点（1，），结合给出的焦点坐标积隐含条件a2﹣b2＝c2求解a，b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系求出A，B横纵坐标的和与积，进一步求得AB的垂直平分线方程，求得Q的坐标，由两点间的距离公式求得|PQ|，由弦长公式求得|AB|，作比后求得的取值范围．解：（Ⅰ）由题意得，解得a＝2，b＝1．∴椭圆C的方程是；（Ⅱ）联立，得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则有，，．∴线段AB的中点坐标为，∴线段AB的垂直平分线方程为．取y＝0，得，于是，线段AB的垂直平分线与x轴的交点Q，又点P（1，0），∴．又＝．于是，．∵k≠0，∴．∴的取值范围为．22．设（a∈R）．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点处的切线方程；（Ⅱ）当a＜1时，在内是否存在一实数x0，使f（x0）＞e﹣1成立？【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求出切线的斜率，从而求出切线方程即可；（Ⅱ）只需证明时，f（x）max＞e﹣1即可，根据函数的单调性求出f（x）的最大值，从而判断结论即可．解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝x﹣lnx，，．…所以曲线y＝f（x）在点处的切线的斜率为．…所求切线方程为，即x+y﹣ln2﹣1＝0．…（Ⅱ）假设当a＜1时，在存在一点x0，使f（x0）＞e﹣1成立，则只需证明时，f（x）max＞e﹣1即可．…，令f′（x）＝0得，x1＝1，x2＝a﹣1，当a＜1时，a﹣1＜0，当时，f′（x）＜0；当x∈（1，e）时，f′（x）＞0．函数f（x）在上递减，在[1，e]上递增，…∴．于是，只需证明f（e）＞e﹣1或即可．…∵＝＞0∴f（e）＞e﹣1成立…所以假设正确，即当a＜1时，在上至少存在一点x0，使f（x0）＞e﹣1成立．。