斯勒茨基方程例题+答案
(slusky)斯勒茨基方程
x 2’ x2’’ x1’’’ x1’ x1’’ 替代效应 收入效应 x1
不论商品是正常品、劣等品还是吉
芬品，替代效应一定是非负的，但 收入效应可正、可负。
总效应的正负取决于收入效应。
Slutsky方程
x2
在实际货币收入不变的 情况下，商品1的价格变 动引起的需求变动
x2 x2’’
(x1’,x2’)
x1
x1’’
x1
计算
x2
原预算线为： P1X1＋P2X2＝M B’’的预算线为： P’1X1＋P2X2＝M’ （P’1－P1）X1 ＝ M’－M
x 2’ x2’’
x 1’
x1’’
B’’
x1
x2
使原消费束安新的价格仍然能支付 得起的收入变动恰好等于商品1原 消费量与价格变动的乘积。
（P1－P’1）X1 ＝ M－M’
x2
1. 转动后的预算线B’’的 斜率与价格变化后的预 算线B ’斜率相等，有相 同的交换率。
x2
P’1/P2
x1 B1 B’’ B’ x1
x2
2. 初始消费束（X1，X2）既 在原预算线上，也在B’’上，说 明经过这样的转动消费者的购 买力没变。
x2
但原消费束不是预算 线B’’最佳消费束。
x1
x1 B2 B1 商品1和商品2消费量的变化可由替代效应和收入效应来 表示和计算。
x1
如何计算这二个效应呢？
x2
y p2
P’1/P2
P1/P2
x1
转动与移动
x2
交换比率的变化引起预算线 的转动－替代效应。购买力 增加引起预算线的移动－收 入效应。
B1
B’’
B’
x1
替代效应的图示和计算
第8章 斯勒茨基方程
第8章 斯勒茨基方程一、判断题（T 或F ）1．补偿需求函数指的是价格变动中保持对原消费束购买力不变而对收入进行调整的需求函数。
（ ）【答案】F【解析】补偿需求函数是指价格变动过程中收入进行调整并保持效用不变的需求函数。
2．在相似偏好下，由于价格变动引起的需求变化全部来自于替代效应。
（ ）【答案】F【解析】由于两种商品之间的交换比率的变化所引起的需求变化称作替代效应。
在相似偏好下，既存在替代效应也存在收入效应。
3．如果商品x 与商品y 对某消费者为完全互补品，则商品x 的价格下降引起y 的需求变化全部归因于收入效应。
（ ）【答案】T【解析】完全替代偏好下，价格变动中全部表现为替代效应，收入效应为零；完全互补偏好下，价格变动中全部表现为收入效应，替代效应为零。
4．如果某商品的恩格尔曲线向上倾斜，那么该商品的需求曲线一定向下倾斜。
（ ）【答案】T【解析】恩格尔曲线表示在商品价格保持不变的条件下，收入和需求量的关系。
恩格尔曲线向上倾斜说明随着收入增长，需求量也增加，由此可知该商品是正常品，其需求曲线是向下倾斜的。
5．商品x 对消费者是越多越喜欢，如果x 商品的价格下降并且其他商品的价格保持不变，那么这个消费者必然增加对x 的需求。
（ ）【答案】F【解析】商品x 对消费者是越多越喜欢并没有说明商品x 是正常物品还是低档物品，因此无法判断商品x 的价格变化如何导致需求变化。
6．在当前收入下，某消费者所消费的两种商品中有一种是吉芬商品。
如果该吉芬商品的价格上升，则消费者对另一种商品的需求一定减少。
（ ）【答案】T【解析】吉芬商品的价格上升，那么其需求量会增加，占消费者总支出的比例增加，在收入不变的情况下，另一种商品价格不变，需求量一定减少。
7．吉芬商品价格的上升会使消费它的消费者状况改变得更好。
（ ）【答案】F【解析】商品（无论是普通商品还是吉芬商品）价格的上升会导致消费者的预算约束线向内旋转，导致消费束的选择范围减少，消费者的状况变差。
范里安《微观经济学：现代观点》(第9版)课后习题详解-(斯勒茨基方程)【圣才出品】
第8章斯勒茨基方程1．假定消费者对于两种商品的偏好符合完全替代的情况，你能以使全部需求变动归因于收入效应的方式改变商品的价格吗？答：会发生这种情况。
例如，假定红铅笔和蓝铅笔之间按照1:1的比例完全替代，并且红铅笔的价格为10美分，蓝铅笔的价格为5美分，消费者在铅笔上的总支出是1美元。
于是她将消费20支蓝铅笔。
如果蓝铅笔的价格下降到4美分一支，她将消费25支蓝铅笔，可见，消费量的变化完全取决于收入效应。
2．假定消费者的偏好是凹的，替代效应仍然是负的吗？答：在消费者的偏好是凹的情况下，替代效应是非正的。
替代效应为负是指替代效应的变化和价格变化方向相反。
在消费者的偏好是凹的情况下，消费者的最优选择是端点消费束。
这种情况有点类似于完全替代的偏好，消费者根据预算线的斜率与无差异曲线来决定购买哪种商品。
图8-1 凹偏好的替代效应在图8-1的情况下，当商品1的价格上涨时，最优消费束从A点移动到C点，消费者仍然把所有的收入拿来购买商品1，再从图中虚线的位置就知道替代效应等于0；而在图8-2的情况下，价格的变化使消费者由原来的只购买商品1变为只购买商品2，从图中虚线的位置就知道，此时只有替代效应，收入效应为零。
价格上涨，而消费减少至0，则替代效应为负。
因此，在偏好是凹性的情况下，替代效应不一定为负，还可能为0。
图8-2 凹偏好的替代效应3．在征收汽油税的例子中，如果不是根据最终消费的汽油量x′，而是根据最初消费的汽油量x向消费者退税，情况会发生怎样的变化？答：如果不是根据最终消费的汽油x′，而是根据原先消费的汽油x向消费者退税，那么消费者的汽油消费量会减少，但他们的境况至少和以前一样好。
分析如下：假设消费者的预算线为px＋y＝m，其中p代表石油价格，x代表石油的消费量，y表示花在其他商品上的货币，m表示总收入，从而消费者的最优选择为（x*，y*），如图8-3所示。
图8-3 退税对消费者的影响特别的，该选择必然满足：px*＋y*＝m实行退税政策后，消费者的预算线变为：（p＋t）x＋y＝m＋tx*此时新的预算线过原来的最优点，但斜率不一样，新的预算集包括原来的最优消费束，所以现在消费者的境况至少和原来一样好。
范里安《微观经济学：现代观点》第9版章节题库(斯勒茨基方程)【圣才出品】
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【答案】F
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【解析】希克斯分解保持的是效用水平不变，那么补偿预算线一定与初始的无差异曲线
相切。因此希克斯替代效应衡量的是同一条无差异曲线上的两点之间的移动。斯勒茨基分解
保持的是购买力不变，因此补偿预算线一定经过价格变化前的均衡点。因此斯勒茨基替代效
2．如果商品 x 与商品 y 对某消费者为完全互补品，则商品 x 的价格下降引起 y 的需求 变化全部归因于收入效应。（ ）
【答案】T 【解析】完全替代偏好下，价格变动中全部表现为替代效应，收入效应为零；完全互补 偏好下，价格变动中全部表现为收入效应，替代效应为零。
3．某消费者效用函数为 u（x，y）＝xy，如果两种商品价格和消费者收入都发生变化， 但他原来的最优消费束正好在新的预算线上，他不会改变原来的消费选择。（ ）
（2）利用替代效应和收入效应对“吉芬难题”进行解释 19 世纪，英国统计学家罗伯特·吉芬发现一个现象，1845 年爱尔兰发生灾荒，导致土 豆价格上升，但居民对土豆的需求量却反而增加了，而这无法用传统的经济学理论进行解释， 故此现象称为“吉芬难题”，并将这种需求量与价格同方向变动的物品称之为“吉芬物品”。
【答案】T 【解析】因为这个消费者的效用函数是拟线性偏好的效用函数，且 y 又是位于效用函数 中的非线性部分的商品，所以商品 y 只有替代效应没有收入效应。
12．什么是商品价格变动所产生的替代效应和收入效应？画图说明微观经济学用替代 效应和收入效应对“吉芬难题”的解释。（用希克斯的替代效应进行分析）
图 8-1 u（x，y）＝xy 的最优选择 4．补偿需求函数指的是价格变动中保持对原消费束购买力不变而对收入进行调整的需 求函数。（ ） 【答案】F 【解析】补偿需求函数是指价格变动过程中收入进行调整并保持效用不变的需求函数。 5．在相似偏好下，由于价格变动引起的需求变化全部来自于替代效应。（ ） 【答案】F 【解析】由于两种商品之间的交换比率的变化所引起的需求变化称作替代效应。在相似 偏好下，既存在替代效应也存在收入效应。 6．某消费者只消费两种商品 x 和 y，商品 x 在某个收入范围内是低档商品，那么一定
斯勒茨基方程
南财2011年秋季
中级微观经济学
10
价格变化的效应
• 可以把一次价格下降对需求的影响分解 为两个不同的过程，这两个过程对需求 的影响的总和就等于价格变化对需求的 可观察的影响。
• 为了分离替代效应， 可以这样思考：如果消 费者的购买力不发生变化，那么在价格变化后 消费者会选择哪个需求点呢？
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中级微观经济学
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替代效应
• 购买力不发生变化，意味着新的预算线 应该过原来消费束Ea，但是斜率是新价 格下的斜率 ，这样就可以得出替代效应。
• 也就是说，为了分离出替代效应，我们 首先要调整消费者的收入以使得消费者 的正好可以购买原来的消费束。换句话 讲，我们让消费者的购买力保持不变。
• 因此，替代效应也被称为补偿的需求变动（compensated demand).
• 我们首先来计算这个补偿收入：
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中级微观经济学
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替代效应
设原来的消费束为 x1, x2 ，要保持购买力不变，
这个消费束仍然处在转动后的预算线上。计算货币收入 的调整量。
设 m' 表示价格变动后恰好能使原来的消费束可以支付
xa
X1
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中级微观经济学
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价格变化的效应
X2
新的最优点在Eb
价格下降对需求的总
的影响是需求从Xa增
加到Xb
Ea
Eb
《中级微观经济学》教材第08章 斯勒茨基方程
Τ2
为正；如果商品1时低档品，那么C点
′ Τ2
在B点的左边，收入效应为负。因此收
A
B
C
入效应可能为正，也可能为负。
x1
斯勒茨基方程
1.斯勒茨基方程绝对形式
假设消费者收入和商品2的价格2 不变，商品1价格由1 变成1′ 。
斯勒茨基的替代效应为：
∆1 = 1′′ − 1′ = 1 1′ , 2 , ′ − 1 1 , 2 ,
应会使商品1的消费量增加；商品1为劣等品时，收入效应使得对商品1的
消费量减少，当收入效应使得商品1消费减少的量小于替代效应使得商品
1消费增加的量时，价格下降带来的总效应仍为商品1消费量增加，此时
商品1仍然为普通品。
斯勒茨基方程
2.斯勒茨基方程绝对形式：低档品与普通品
x2
(x1’’’,x2’’’)
价格下降，替代效应为正，收入
2′
2′′
1′
1′′
x1
替代效应与收入效应
1.替代效应与收入效应大小
x2
商品1的相对价格下降引起消费者以增加商
Τ2
品1的消费量 1′′ − 1′ 替代商品2的减少量
′Τ
2′′ − 2′ ， 1′′ − 1′ 就叫做替代效应。
2
2′
2′′
1′
1′′
x1
替代效应与收入效应
斯勒茨基方程
1.斯勒茨基方程绝对形式
不管商品是正常品还是低档品，替代效应总是非正的，然而收入
效应的正负不确定。替代效应总是非正的，指的是它的变化与价
格变化相反，价格增加时减少，价格减少时增加。
斯勒茨基方程
2.斯勒茨基方程绝对形式：正常品与普通品
微观经济学范里安版第八章斯勒茨基方程
习题
1、某消费者的效用函数为U=XY， PX=1元，PY=2元，M=40元，现存PY突 然下降到1元。计算价格变动对X和Y的 总效应、替代效应和收入效应。
X 替代：－5，收入：5 Y 替代：5，收入：5
2、某君爱好葡萄酒，当其他商品价格不 变时，他对高质量的红葡萄酒的需求函 数为q=0.02M-2P．收入Ｍ为７５００ 元，价格Ｐ为３０元．现在价格上升到 ４０元，问价格上涨的价格效应是多少？ 其中替代效应和收入效应各是多少？
例子：假设消费者对牛奶的需求函数
为
x1
10
m 10 p1
起初，他的收入是每周120美元，牛 奶的价格是每夸脱3美元。假设每夸脱 牛奶的价格下降到2美元，求收入效应。
替代效应的符号
如果一种商品的价格下降，那么可归因 于替代效应的该商品的需求的变动一定是 非负的，即： 如果p1 > p’1,则必定有
p1x1+p2x2> p1y1+p2y2 q1y1+q2y2> q1x1+q2x2 由此，以下两不等式必成立
p1x1+p2x2≤p1y1+p2y2 q1y1+q2y2≤ q1x1+q2x2 将以上两不等式相加，重新整理得：
(q1-p1)(y1-x1) +(q2-p2)(y2-x2)≤ 0
这里， q2＝p2，于是有： (q1-p1)(y1-x1) ≤ 0
收入效应为负，且大于 替代效应
y
x1
8.4 变动率
把 x1m 定义为负收入效应：
x1 x1s x1m
等式两边都除以 p1，得到：
x1 x1s x1m
p1
p1
p1
其中
p1
西方经济学 课后习题答案1
第2章需求、供给与价格1、经过市场研究，巧克力的需求函数为Ｑｄ＝1600－300P，供给函数为Ｑｓ＝700P－1400。
试求巧克力的市场均衡价格和均衡数量。
解：在市场均衡时有Q d=Q s故1600－300P＝700P－1400解得：P= 3Q=7002、某小家电的需求曲线为Ｑｄ＝１０－２Ｐ，供给曲线为Ｑｓ＝Ｐ／２，（Ｑ以万台为单位，Ｐ以百元／台为单位）试求：（１）该家电的均衡价格和均衡销售量各为多少？（２）若生产这种小家电的行业主管部门规定价格不能高于３００元／台，则这种小家电的供求关系会发生什么变化？（３）若政府对这种小家电增加税收，税额为１００元／台，征税后均衡价格和均衡数量有何变化？各为多少？解：市场均衡时有Q d=Q s10－2P＝P/2可得P=4 Q=2(2) 若此时主管部门规定价格不能高于300元，则生产商回按照300元得价格销售，此时得供给量为：Qs＝300/2＝150此时得供给将下降。
（3）政府对其收税此时得需求不变供给变为：Q d=10-2*(p+1)10-2*(p+1)=P/2可得：P= 3.2Q=1.6答：征收后的价格为320元/台，数量为160。
3、假设某种杂志原价为每册２．５０元，发行量为４万册，现提价为每册３.00元，发行量减少为２万册，问：（１）该杂志的需求价格弹性是多少？（２）提价后该杂志的总收入增加了，还是减少了？说明其原因。
(1) 解：弹性公式可知△Q/Q*P/△P20000/40000*2.5/0.5=2.5故ed p=2.5(2) 解:由需求弹性和收入的关系可知：由于该商品的需求价格弹性为2.5故当提高价格时收入会下降4、甲、乙两个司机，开车至加油站。
两个人均不看价格，甲说“请给我加２０升汽油”；乙说“请给我加６０元的汽油”。
问两个司机的需求价格弹性各是多少？提示（用定义区想）甲的需求弹性为零，已的需求弹性为无穷。
5、某商品的需求函数为Ｑ＝５００－１００Ｐ，试求：（１）Ｐ＝２元时的需求点弹性；（２）价格在２元和４元之间的需求弧弹性。
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1．查理消费苹果和香蕉。
他的效用函数是2),(xy y x U =，
其中x 是苹果的消费量，y 是香蕉的消费量。
苹果的价格是$1，香蕉的价格是$2，他的收入是$30。
如果香蕉的价格下降至$1，请计算香蕉的斯勒茨基替代效应和收入效应。
2．假设阿曼达的效用函数为Y X U ⋅=，她的初始收入为100，X 的价格2=X P 。
现在X 的价格变为1='X P ，Y 的价格不变，请计算商品X 的希克斯替代效应和收入效应。
1．解：查理的效用函数是2),(xy y x U =，则其最优消费选择（需求函数）为：
x
p m x ⋅=31，y p m y ⋅=32， 因此原消费束为)10,10(),(=y x 。
设m '为价格变动后，恰好能支付得起原消费束的货币收入，则
20)21(1030)(),(=-⋅+=-'⋅+='y y
y p p m p y m m 因此， 替代效应3
1023032120323232),(),(=⋅-⋅=⋅-''⋅=-''=∆y y y y s p m p m m p y m p y y ， 收入效应32012032130323232),(),(=⋅-⋅=''⋅-'⋅=
''-'=∆y y y y m p m p m m p y m p y y 。
2．解：由效用函数为Y X U ⋅=，可得需求函数为：
X P M X ⋅=21，Y
P M Y ⋅=21 原来的效用为：Y P Y X U 10021210021⋅⨯⋅=
⋅=。
希克斯替代效应要求调整收入额保持效用不变，因此调整后的收入M '应满足：
Y
Y P M M P '⋅⨯'⋅=⋅⨯⋅2112110021210021 解得5.70250≈='M
因此，
希克斯替代效应
25.102
1002115.7021)100,2()5.70,1(),(),(=⋅-⋅=-=-''=X X M P X M P X X X
希克斯收入效应 75.1415.7021110021)5.70,1()100,1(),(),(=⋅-⋅=-=''-'=X X M P X M P X X X
习题：补偿变化和等价变化
卡尔的效用函数为},min{),(y x y x U =，他有$150的收入，且x 和y 的价格均为$1。
卡尔的老板想将他调到另外一个城市去，那里x 的价格为$1，而y 的价格为$2，但是老板并不给卡尔加薪。
由于对补偿变化和等价变化很是了解，卡尔非常抱怨老板的这一决定。
他说，尽管前往另外一个城市并不使他反感，但这相当于削减了他的一部分工资$A ，而如果给他加薪$B ，他将不介意前往另外的城市。
请计算$A 、$B 分别是多少
解：如下图所示，A 为等价变化，B 为补偿变化。
由效用函数可知，当y x =时效用达到最大化。
调任前，150=+y x ，y x =，可得75==y x ，效用751=U ； 调任后，1502=+y x ，y x =，可得50==y x ，效用502=U 。
设等价变化后的效用为U 3，
则由23U U =，可得502/)150(=-A ，所以50=A 。
设补偿变化后的效用为U 4，
则由14U U =，可得753/)150(=+B ，所以75=B 。