(完整版)斯勒茨基方程例题+答案
第8章 斯勒茨基方程
第8章 斯勒茨基方程一、判断题（T 或F ）1．补偿需求函数指的是价格变动中保持对原消费束购买力不变而对收入进行调整的需求函数。
（ ）【答案】F【解析】补偿需求函数是指价格变动过程中收入进行调整并保持效用不变的需求函数。
2．在相似偏好下，由于价格变动引起的需求变化全部来自于替代效应。
（ ）【答案】F【解析】由于两种商品之间的交换比率的变化所引起的需求变化称作替代效应。
在相似偏好下，既存在替代效应也存在收入效应。
3．如果商品x 与商品y 对某消费者为完全互补品，则商品x 的价格下降引起y 的需求变化全部归因于收入效应。
（ ）【答案】T【解析】完全替代偏好下，价格变动中全部表现为替代效应，收入效应为零；完全互补偏好下，价格变动中全部表现为收入效应，替代效应为零。
4．如果某商品的恩格尔曲线向上倾斜，那么该商品的需求曲线一定向下倾斜。
（ ）【答案】T【解析】恩格尔曲线表示在商品价格保持不变的条件下，收入和需求量的关系。
恩格尔曲线向上倾斜说明随着收入增长，需求量也增加，由此可知该商品是正常品，其需求曲线是向下倾斜的。
5．商品x 对消费者是越多越喜欢，如果x 商品的价格下降并且其他商品的价格保持不变，那么这个消费者必然增加对x 的需求。
（ ）【答案】F【解析】商品x 对消费者是越多越喜欢并没有说明商品x 是正常物品还是低档物品，因此无法判断商品x 的价格变化如何导致需求变化。
6．在当前收入下，某消费者所消费的两种商品中有一种是吉芬商品。
如果该吉芬商品的价格上升，则消费者对另一种商品的需求一定减少。
（ ）【答案】T【解析】吉芬商品的价格上升，那么其需求量会增加，占消费者总支出的比例增加，在收入不变的情况下，另一种商品价格不变，需求量一定减少。
7．吉芬商品价格的上升会使消费它的消费者状况改变得更好。
（ ）【答案】F【解析】商品（无论是普通商品还是吉芬商品）价格的上升会导致消费者的预算约束线向内旋转，导致消费束的选择范围减少，消费者的状况变差。
8 斯勒茨基方程_范里安
正常商品的收入效应为正 低档商品的收入效应为负
x2
x2 x 2’ x2’’
初始选择
吉芬商品价格变动 （下降）的效应
(x1’’’,x2’’’) 初始选择
x1
低档商品
x 1’
x1’’
x1
8.3
替代效应、收入效应的计算
（1）调整货币收入以保持实际购买力不变 初始均衡点：价格水平为 (p1,p2) ，均衡商品束为 (x1,x2) ， 支付的货币为: p1x1 +p2x2 =m 价格变动后：价格水平为 (p1’,p2)，均衡商品束为 (x1’,x2’), 要使消费者购买力保持不变，则货币收入应该调整为： m’=p1’x1 +p2x2 则在价格变动后要保持消费者购买力不变，货币收入的调 整量应为：
s.t :
u ( x) u ( x )
x
x h ( p, u ) x( p, e( p, u ))
希克斯补偿
m h e( p, u ) m
希克斯分解
斯勒茨基方程 希克斯需求函数对 p1求偏导，在点 p 取 值，得：
x1h ( p, u ) x1 ( p1 , p2 , m) x1 ( p1 , p2 , m) x1 ( p1 , p2 , m) p1 p1 m
8.1 价格变化的影响
当收入固定而商品1的价格发生变动时，预算线绕纵轴转动。 我们把这种调整看作是分两阶段发生的： 首先是转动，即预算线绕原来选择的商品束转动， 然后是移动，即这条转动后的线向外移动到新的需求束上。
x2
m' p2
m p2
初始选择
x 2’
(x1’’’,x2’’’)
范里安《微观经济学：现代观点》(第9版)课后习题详解-(斯勒茨基方程)【圣才出品】
第8章斯勒茨基方程1．假定消费者对于两种商品的偏好符合完全替代的情况，你能以使全部需求变动归因于收入效应的方式改变商品的价格吗？答：会发生这种情况。
例如，假定红铅笔和蓝铅笔之间按照1:1的比例完全替代，并且红铅笔的价格为10美分，蓝铅笔的价格为5美分，消费者在铅笔上的总支出是1美元。
于是她将消费20支蓝铅笔。
如果蓝铅笔的价格下降到4美分一支，她将消费25支蓝铅笔，可见，消费量的变化完全取决于收入效应。
2．假定消费者的偏好是凹的，替代效应仍然是负的吗？答：在消费者的偏好是凹的情况下，替代效应是非正的。
替代效应为负是指替代效应的变化和价格变化方向相反。
在消费者的偏好是凹的情况下，消费者的最优选择是端点消费束。
这种情况有点类似于完全替代的偏好，消费者根据预算线的斜率与无差异曲线来决定购买哪种商品。
图8-1 凹偏好的替代效应在图8-1的情况下，当商品1的价格上涨时，最优消费束从A点移动到C点，消费者仍然把所有的收入拿来购买商品1，再从图中虚线的位置就知道替代效应等于0；而在图8-2的情况下，价格的变化使消费者由原来的只购买商品1变为只购买商品2，从图中虚线的位置就知道，此时只有替代效应，收入效应为零。
价格上涨，而消费减少至0，则替代效应为负。
因此，在偏好是凹性的情况下，替代效应不一定为负，还可能为0。
图8-2 凹偏好的替代效应3．在征收汽油税的例子中，如果不是根据最终消费的汽油量x′，而是根据最初消费的汽油量x向消费者退税，情况会发生怎样的变化？答：如果不是根据最终消费的汽油x′，而是根据原先消费的汽油x向消费者退税，那么消费者的汽油消费量会减少，但他们的境况至少和以前一样好。
分析如下：假设消费者的预算线为px＋y＝m，其中p代表石油价格，x代表石油的消费量，y表示花在其他商品上的货币，m表示总收入，从而消费者的最优选择为（x*，y*），如图8-3所示。
图8-3 退税对消费者的影响特别的，该选择必然满足：px*＋y*＝m实行退税政策后，消费者的预算线变为：（p＋t）x＋y＝m＋tx*此时新的预算线过原来的最优点，但斜率不一样，新的预算集包括原来的最优消费束，所以现在消费者的境况至少和原来一样好。
斯勒茨基方程
支出函数：价格的凹函数
谢菲尔德引理：支出函数对价格求导可 是希克斯需求；或者希克斯需求是支出 函数对价格的偏导函数
希克斯替代效应是希克斯需求的导函数 希克斯替代效应总是负的
支出函数的二阶导数是负的，支出函数为凹 函数
x1h
p1,
p2
,u
E
p1, p2, p1
u
希克斯替代效应
x2
希克斯需求替代效应总
是负的
x2’ x2’’
x1 ( p1, p2 , u )
x1’ x1’’
x1
支出函数：价格的凹函数
谢菲尔德引理：支出函数对价格求导可 是希克斯需求；或者希克斯需求是支出 函数对价格的偏导函数
支出函数：价格的凹函数
初始选择
p2
x1
价格效应
x2
消费者的预算是 $y. 商品1的价格下降
y
预算线向外转动.
p2
x1
价格效应
x2
消费者的预算是 $y. 商品1的价格下降
y
预算线向外转动.
p2
在新的价格条件下，现在仅需 $y’ 即可购买原
y'
来的消费束,
p2
相当于消费者的收入增加了 $y - $y’.
x1
价格效应
x2
这种商品叫吉芬商品.
吉芬商品的斯勒茨基效应
x2
p1 下降导致商品1的需求
量也下降.
x2’
x1’
x1
吉芬商品的斯勒茨基效应
x2
p1 下降导致商品1的需求
量也下降.
x2’’’
x2’
x1’’’ x1’
x1
第8章 斯勒茨基方程
x1
实际收入变化
x2
原始的预算约束和消费束。
x1
实际收入变化
x2 原始的预算约束和消费束。 新的预算约束。
x1
实际收入变化
x2 原始的预算约束和消费束。 新的预算约束；实际收入减少了。
x1
纯粹替代效应 （Pure Substitution Effect）
x1
价格变化的效应
由于额外（„extra‟）收入引发的需求量的变 化是价格变动的收入效应。
价格变化的效应
Slutsky揭示出由于价格变化导致的需求变化 是纯粹的替代效应（a pure substitution effect）和收入效应的加总。
实际收入变化
Slutsky 定义如果在新价格体系下，
斯勒茨基把价格变化的效应分解为纯粹替 代效应和收入效应解释了为什么极端的低 档商品违背需求规律。
斯勒茨基方程
1、斯勒茨基等式
（1）绝对量 总效应=替代效应+收入效应
TE=SE+IE
x1 x + x
s 1
n 1
= x1 (p1', m) - x1 (p1 , m) = [x1 (p1', m') - x1 (p1 , m)] + [x1 (p1', m) - x1 (p1 ', m')]
x2’ x2’’
x 1’
x1’’
x1
低档商品（ Income-Inferior Goods） 的斯勒茨基效应
x2
(x1’’’,x2’’’) 纯粹替代效应和正 常商品是一样的， 但是收入效应的方 向相反。商品1是 低档商品，因为收 入增加需求量反而 减少。 x1
中级微观经济学 范里安 斯勒茨基方程
需求法则
消费者理论并不限制价格变动时需求变动的情 况也不限制收入变动时需求变动的情况，但它 的确限制了这两种变动是如何相互作用的
需求法则：如果一种商品的需求随着收入的增 加而增加那么这种商品的需求一定随着价格的 上升而下降
例题：价格变动的效应分析
例1：设消费者每天对牛奶的需求函数为： x1(p,m)101m 0p1 m 12 ,p10 3,p1'2
（1调整货币收入以保持实际购买力不变
初始均衡点：价格水平为3p2)均衡商品束为(14,x2)，支付的 货币为: m=120=3x14+p2x2
价格变动后：价格水平为(2,p2),均衡商品束为(16,x2’)
要使消费者购买力保持不变，则货币收入应该调整为：
m’=2x14+p2x2
则在价格变动后要保持消费者购买力不变，货币收入的调整 量应为：
因此替代效应 就x 1s 是在商品1的价格变动到p’，同
时货币收入变动到m’的情况下，对商品1的需求所发 生的变化，即：
x1 sx1(p,m )x1(p 1,m )
替代效应又被称为补偿的需求变动，指由于价格上 升，消费者被给予足够的收入作为补偿以购买他原 有的消费束如果价格下降，对他的补偿就是从他那 里取走一些收入购买他原有的消费束。
p1
p1
表示价格变动收入保持不变时需求的 变动率，即总效应；
2、x1s x1(p1',m)x1(p1,m)
p1
p1
表示价格变动收入调整到恰使原消费束能
够支付得起的需求变动率，即替代效应；
3、 xm 1 mx1x1(p1 ',m m ) m x1(p1 ,m )x1
表示价格不变收入作出调整时的需求变动 率，即收入效应
8 斯勒茨基方程解析
? m ? x1? p1 ? 20 ? 0.1 ? 2美元
? 如果消费者的收入增加2美元，他就恰好能消费与原先数 量相同的20支棒糖
8
x2
m/p2
m'/p2
x21
Ea
尽管（x11，x21）仍然是可支付的，但是通 常，它并非转动后的预算线上的最佳购买
Ib Ic Ia
x1
替代效应 13
2、收入效应
? 收入效应是指让消费者的收入发生变化，而相对价 格不变时，商品的需求变动。
? 确切的说，收入效应? x1I衡量的是商品1 的价格保持 在p'不变，同时货币收入从m'变化至m时，商品1 的 需求发生的变化，即：
? x1I
?
x1( p1' , m) ?
x1
8、斯勒茨基方程
本章要点：
1. 替代效应 2. 收入效应 3. 收入效应和替代效应的例子 4. 替代效应的两种定义
价格变化的效应
? 斯勒茨基揭示出由于价格变化导致的需求变化是替代效应和收入 效应的加总。
? 当一种商品的价格下降时，会产生两种效应 : 1、 替代效应(substitution effect）：用一种商品交换另一种商品 的比例发生了变化。商品1将变得相对便宜，于是消费者消费更 多的这种商品，替代相对较贵的商品。这种购买力保持不变，由 于交换比例（相对价格）发生变化引起的需求变化叫做替代效应。
2
价格变化的效应
? 当一种商品的价格下降时，会产生两种效应 : 2、 收入效应（income effect）：原有收入的购买力发生了变化。 因为商品1价格下降，原来的收入可以购买更多的商品1，即货 币的购买力提高了。这种交换比例（相对价格）保持不变，由 于购买力的变化而导致的需求变化，叫做收入效应。
分解禀赋
e(p,u*) = e(p,v(p,y)) =y (对偶关系)
ζe(p,u*)/ζpj=xjh(p, u*) (谢泼德引理)
= xjh(p, v(p,y)) = xj(p,y)
6)收入效应的符号不确定.
x2 图2——
x2
低档商品
图3—— 吉芬商品
E”
E
E’
E”
E’ E
x1
x1
图1中,收入效应符号与替代效应符号相同, 与价格反向变动;图2.3中,收入效应符号与 替代效应符号相反,与价格同向变动. 7)总效应等于替代效应加收入效应; 图1中,收入效应符号与替代效应符号相同, 总效应与价格反向变动;图2中,收入效应符号 与替代效应符号相反,收入效应小于替代效应, 总效应与价格反向变动; 图3中,收入效应符号与替代效应符号相反,收 入效应大于替代效应,总效应与价格同向变动;
R
三.跨期选择
1.预算线
假设只有两期1和2,每个时期消费价
格恒为1,c1和c2分别表示在第1和2期 的消费,m1和m2分别表示在第1和2期 消费者的收入.r表示借贷利率.
消费者做贷款者的预算线为:
c2=m2+(m1-c1)(1+r) 消费者做借款者的预算线为:
c2=m2-(c1-m1)(1+r)
一般终值形式为: c1(1+r)+c2=m1(1+r)+m2
(w1-x1)△x1m/△m 3)牛奶场主每周生产40夸脱牛奶.
x1(p1’,m)=10+120/(10*2)=16 △m=w1△p1=40*(2-3)=-40 m’=m+ △m=120-40=80 x1(p1’,m’)=10+80/(10*2)=14
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1．查理消费苹果和香蕉。
他的效用函数是2),(xy y x U =，其中
x 是苹果的消费量，y 是香蕉的消费量。
苹果的价格是$1，香蕉的价格是$2，他的收入是$30。
如果香蕉的价格下降至$1，请计算香蕉的斯勒茨基替代效应和收入效应。
2．假设阿曼达的效用函数为Y X U ⋅=，她的初始收入为100，X 的价格2=X P 。
现在X 的价格变为1='X P ，Y 的价格不变，请计算商品X 的希克斯替代效应和收入效应。
1．解：查理的效用函数是2),(xy y x U =，则其最优消费选择（需求函数）为：
x
p m x ⋅=31，y p m y ⋅=32， 因此原消费束为)10,10(),(=y x 。
设m '为价格变动后，恰好能支付得起原消费束的货币收入，则
20)21(1030)(),(=-⋅+=-'⋅+='y y
y p p m p y m m 因此， 替代效应3
1023032120323232),(),(=⋅-⋅=⋅-''⋅=-''=∆y y y y s p m p m m p y m p y y ， 收入效应32012032130323232),(),(=⋅-⋅=''⋅-'⋅=
''-'=∆y y y y m p m p m m p y m p y y 。
2．解：由效用函数为Y X U ⋅=，可得需求函数为：
X P M X ⋅=21，Y
P M Y ⋅=21 原来的效用为：Y P Y X U 10021210021⋅⨯⋅=
⋅=。
希克斯替代效应要求调整收入额保持效用不变，因此调整后的收入M '应满足：
Y
Y P M M P '⋅⨯'⋅=⋅⨯⋅2112110021210021 解得5.70250≈='M
因此，
希克斯替代效应
25.102
1002115.7021)100,2()5.70,1(),(),(=⋅-⋅=-=-''=X X M P X M P X X X
希克斯收入效应 75.141
5.7021110021)5.70,1()100,1(),(),(=⋅-⋅=-=''-'=X X M P X M P X X X
习题：补偿变化和等价变化
卡尔的效用函数为},min{),(y x y x U =，他有$150的收入，且x 和y 的价格均为$1。
卡尔的老板想将他调到另外一个城市去，那里x 的价格为$1，而y 的价格为$2，但是老板并不给卡尔加薪。
由于对补偿变化和等价变化很是了解，卡尔非常抱怨老板的这一决定。
他说，尽管前往另外一个城市并不使他反感，但这相当于削减了他的一部分工资$A ，而如果给他加薪$B ，他将不介意前往另外的城市。
请计算$A 、$B 分别是多少？
解：如下图所示，A 为等价变化，B 为补偿变化。
由效用函数可知，当y x =时效用达到最大化。
调任前，150=+y x ，y x =，可得75==y x ，效用751=U ； 调任后，1502=+y x ，y x =，可得50==y x ，效用502=U 。
设等价变化后的效用为U 3， 则由23U U =，可得502/)150(=-A ，所以50=A 。
设补偿变化后的效用为U 4， 则由14U U =，可得753/)150(=+B ，所以75=B 。