斯勒茨基方程例题+答案
1．查理消费苹果和香蕉。
他的效用函数是2),(xy y x U =，其中
x 是苹果的消费量，y 是香蕉的消费量。
苹果的价格是$1，香蕉的价格是$2，他的收入是$30。
如果香蕉的价格下降至$1，请计算香蕉的斯勒茨基替代效应和收入效应。
2．假设阿曼达的效用函数为Y X U ⋅=，她的初始收入为100，X 的价格2=X P 。
现在X 的价格变为1='X P ，Y 的价格不变，请计算商品X 的希克斯替代效应和收入效应。
1．解：查理的效用函数是2),(xy y x U =，则其最优消费选择（需求函数）为：
x
p m x ⋅=31，y p m y ⋅=32， 因此原消费束为)10,10(),(=y x 。
设m '为价格变动后，恰好能支付得起原消费束的货币收入，则
20)21(1030)(),(=-⋅+=-'⋅+='y y
y p p m p y m m 因此， 替代效应3
1023032120323232),(),(=⋅-⋅=⋅-''⋅=-''=∆y y y y s p m p m m p y m p y y ， 收入效应32012032130323232),(),(=⋅-⋅=''⋅-'⋅=
''-'=∆y y y y m p m p m m p y m p y y 。
2．解：由效用函数为Y X U ⋅=，可得需求函数为：
X P M X ⋅=21，Y
P M Y ⋅=21 原来的效用为：Y P Y X U 10021210021⋅⨯⋅=
⋅=。
希克斯替代效应要求调整收入额保持效用不变，因此调整后的收入M '应满足：
Y
Y P M M P '⋅⨯'⋅=⋅⨯⋅2112110021210021 解得5.70250≈='M
因此，
希克斯替代效应
25.102
1002115.7021)100,2()5.70,1(),(),(=⋅-⋅=-=-''=X X M P X M P X X X
希克斯收入效应 75.141
5.7021110021)5.70,1()100,1(),(),(=⋅-⋅=-=''-'=X X M P X M P X X X
习题：补偿变化和等价变化
卡尔的效用函数为},min{),(y x y x U =，他有$150的收入，且x 和y 的价格均为$1。
卡尔的老板想将他调到另外一个城市去，那里x 的价格为$1，而y 的价格为$2，但是老板并不给卡尔加薪。
由于对补偿变化和等价变化很是了解，卡尔非常抱怨老板的这一决定。
他说，尽管前往另外一个城市并不使他反感，但这相当于削减了他的一部分工资$A ，而如果给他加薪$B ，他将不介意前往另外的城市。
请计算$A 、$B 分别是多少？
解：如下图所示，A 为等价变化，B 为补偿变化。
由效用函数可知，当y x =时效用达到最大化。
调任前，150=+y x ，y x =，可得75==y x ，效用751=U ； 调任后，1502=+y x ，y x =，可得50==y x ，效用502=U 。
设等价变化后的效用为U 3， 则由23U U =，可得502/)150(=-A ，所以50=A 。
设补偿变化后的效用为U 4， 则由14U U =，可得753/)150(=+B ，所以75=B 。
第8章 斯勒茨基方程
第8章 斯勒茨基方程一、判断题（T 或F ）1．补偿需求函数指的是价格变动中保持对原消费束购买力不变而对收入进行调整的需求函数。
（ ）【答案】F【解析】补偿需求函数是指价格变动过程中收入进行调整并保持效用不变的需求函数。
2．在相似偏好下，由于价格变动引起的需求变化全部来自于替代效应。
（ ）【答案】F【解析】由于两种商品之间的交换比率的变化所引起的需求变化称作替代效应。
在相似偏好下，既存在替代效应也存在收入效应。
3．如果商品x 与商品y 对某消费者为完全互补品，则商品x 的价格下降引起y 的需求变化全部归因于收入效应。
（ ）【答案】T【解析】完全替代偏好下，价格变动中全部表现为替代效应，收入效应为零；完全互补偏好下，价格变动中全部表现为收入效应，替代效应为零。
4．如果某商品的恩格尔曲线向上倾斜，那么该商品的需求曲线一定向下倾斜。
（ ）【答案】T【解析】恩格尔曲线表示在商品价格保持不变的条件下，收入和需求量的关系。
恩格尔曲线向上倾斜说明随着收入增长，需求量也增加，由此可知该商品是正常品，其需求曲线是向下倾斜的。
5．商品x 对消费者是越多越喜欢，如果x 商品的价格下降并且其他商品的价格保持不变，那么这个消费者必然增加对x 的需求。
（ ）【答案】F【解析】商品x 对消费者是越多越喜欢并没有说明商品x 是正常物品还是低档物品，因此无法判断商品x 的价格变化如何导致需求变化。
6．在当前收入下，某消费者所消费的两种商品中有一种是吉芬商品。
如果该吉芬商品的价格上升，则消费者对另一种商品的需求一定减少。
（ ）【答案】T【解析】吉芬商品的价格上升，那么其需求量会增加，占消费者总支出的比例增加，在收入不变的情况下，另一种商品价格不变，需求量一定减少。
7．吉芬商品价格的上升会使消费它的消费者状况改变得更好。
（ ）【答案】F【解析】商品（无论是普通商品还是吉芬商品）价格的上升会导致消费者的预算约束线向内旋转，导致消费束的选择范围减少，消费者的状况变差。
范里安《微观经济学：现代观点》(第9版)课后习题详解-(斯勒茨基方程)【圣才出品】
第8章斯勒茨基方程1．假定消费者对于两种商品的偏好符合完全替代的情况，你能以使全部需求变动归因于收入效应的方式改变商品的价格吗？答：会发生这种情况。
例如，假定红铅笔和蓝铅笔之间按照1:1的比例完全替代，并且红铅笔的价格为10美分，蓝铅笔的价格为5美分，消费者在铅笔上的总支出是1美元。
于是她将消费20支蓝铅笔。
如果蓝铅笔的价格下降到4美分一支，她将消费25支蓝铅笔，可见，消费量的变化完全取决于收入效应。
2．假定消费者的偏好是凹的，替代效应仍然是负的吗？答：在消费者的偏好是凹的情况下，替代效应是非正的。
替代效应为负是指替代效应的变化和价格变化方向相反。
在消费者的偏好是凹的情况下，消费者的最优选择是端点消费束。
这种情况有点类似于完全替代的偏好，消费者根据预算线的斜率与无差异曲线来决定购买哪种商品。
图8-1 凹偏好的替代效应在图8-1的情况下，当商品1的价格上涨时，最优消费束从A点移动到C点，消费者仍然把所有的收入拿来购买商品1，再从图中虚线的位置就知道替代效应等于0；而在图8-2的情况下，价格的变化使消费者由原来的只购买商品1变为只购买商品2，从图中虚线的位置就知道，此时只有替代效应，收入效应为零。
价格上涨，而消费减少至0，则替代效应为负。
因此，在偏好是凹性的情况下，替代效应不一定为负，还可能为0。
图8-2 凹偏好的替代效应3．在征收汽油税的例子中，如果不是根据最终消费的汽油量x′，而是根据最初消费的汽油量x向消费者退税，情况会发生怎样的变化？答：如果不是根据最终消费的汽油x′，而是根据原先消费的汽油x向消费者退税，那么消费者的汽油消费量会减少，但他们的境况至少和以前一样好。
分析如下：假设消费者的预算线为px＋y＝m，其中p代表石油价格，x代表石油的消费量，y表示花在其他商品上的货币，m表示总收入，从而消费者的最优选择为（x*，y*），如图8-3所示。
图8-3 退税对消费者的影响特别的，该选择必然满足：px*＋y*＝m实行退税政策后，消费者的预算线变为：（p＋t）x＋y＝m＋tx*此时新的预算线过原来的最优点，但斜率不一样，新的预算集包括原来的最优消费束，所以现在消费者的境况至少和原来一样好。
《微观经济学》第九讲跨时期选择
（2）根据（1）小问分析可知，消费者相对来说偏向于第一期 消费。若储蓄 不可为负，即第一期不能借款，理性的消费者会 把第一期所有的收入全部用于第一期消费，即第一期消费量为 380，第二期消费量为262.5。
二、比较静态分析
1．区分存款者还是贷款者
若 c1 m1 ，即消费者在第一期是借款者，则必有 c2 m2 ，即 消费者在第二期是贷款者，因为消费者在两个时期的预算必须平 衡。
U C1，C2 ln C1 0.5ln C2
（1）计算该消费者的最优消费额 C1和C2 。 （2）假设储蓄S不可为负，即第一期不能借款，请问消费者 的最优消费 C1 和C2 分别为多少？[南开大学832经济学基础（微、 宏观）2010研]
2019/5/7
解：（1）利用跨期预算约束最优解求解方法得 C1 420 ，
3．最优选择
理性消费者问题是在跨期预算约束下追求效用的最大化， 即：
maxU c1, c2
s.t.c1
c2 1 r
m1
m2 1 r
两个时期消费的最优组合，一定是出现在无差异曲线和跨期
预算约束线的切点上。
假设消费者面对如下跨期选择。消费者共生存两期，在第一 期收入为 Y1 380 ，消费为 C1 ，在第二期收入为Y2 262.5，消费为 C2。消费者第一期可选择储蓄S，当S为负时表明其第一期借款。 储蓄或借款的利息率 r 5% 。消费者生存期末既无储蓄也无借款 。在此约束下，该消费者欲实现生存期间的效用最大化。假设其 效用函数为：
范里安《微观经济学：现代观点》
第九讲 跨时期选择
一、模型分析 1．预算约束
跨时期预算约束方程为：
c1
微观经济学_范里安版_第八章、斯勒茨基方程
收入效应(Income effect )：由于具 有了购买力变化引起的需求变化。
为了将价格变动对需求的影响分解为替 代效应和收入效应，可把价格变动分为 两步：
第一步，相对价格发生变动，同时调整 货币收入使购买力保持不变；
第二步，保持相对价格不变，对购买力 进行调整。
收入效应为负，且大于 替代效应
y
x1
8.4 变动率
x1 x1s x1n
把 x1m 定义为负收入效应：
x1 x1s x1m
等式两边都除以 p1，得到：
x1 x1s x1m
p1
p1
p1
其中
p1
m x1
，代入上式，得：
x1 p1
x1s p1
x1m m
x1
这就是用变化率表示的斯勒茨基恒等式。
x1
表示价格变动，收入作出调整时的需求变 动率，即收入效应。
需求法则
消费者理论并不限制价格变动时需求变动的情 况，也不限制收入变动时需求变动的情况，但 它的确限制了这两种变动是如何相互作用的。
需求法则：如果一种商品的需求随着收入的增 加而增加，那么这种商品的需求一定随着价格 的上升而下降。
8.5 替代效应和收入效应的例证
初始
x2 预算
线
完全互补
I1 最终预算线
收入效应＝总效应
x1
x2
完全替代
初始 选择
最终预算线
初始预算线
最终选择
x1
替代效应＝总效应
拟线性偏好
x
最终预算线
2
初始预 算线
x1
替代效应＝总效应
8.6 另一种替代效应
范里安《微观经济学：现代观点》第9版章节题库(斯勒茨基方程)【圣才出品】
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【答案】F
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【解析】希克斯分解保持的是效用水平不变，那么补偿预算线一定与初始的无差异曲线
相切。因此希克斯替代效应衡量的是同一条无差异曲线上的两点之间的移动。斯勒茨基分解
保持的是购买力不变，因此补偿预算线一定经过价格变化前的均衡点。因此斯勒茨基替代效
2．如果商品 x 与商品 y 对某消费者为完全互补品，则商品 x 的价格下降引起 y 的需求 变化全部归因于收入效应。（ ）
【答案】T 【解析】完全替代偏好下，价格变动中全部表现为替代效应，收入效应为零；完全互补 偏好下，价格变动中全部表现为收入效应，替代效应为零。
3．某消费者效用函数为 u（x，y）＝xy，如果两种商品价格和消费者收入都发生变化， 但他原来的最优消费束正好在新的预算线上，他不会改变原来的消费选择。（ ）
（2）利用替代效应和收入效应对“吉芬难题”进行解释 19 世纪，英国统计学家罗伯特·吉芬发现一个现象，1845 年爱尔兰发生灾荒，导致土 豆价格上升，但居民对土豆的需求量却反而增加了，而这无法用传统的经济学理论进行解释， 故此现象称为“吉芬难题”，并将这种需求量与价格同方向变动的物品称之为“吉芬物品”。
【答案】T 【解析】因为这个消费者的效用函数是拟线性偏好的效用函数，且 y 又是位于效用函数 中的非线性部分的商品，所以商品 y 只有替代效应没有收入效应。
12．什么是商品价格变动所产生的替代效应和收入效应？画图说明微观经济学用替代 效应和收入效应对“吉芬难题”的解释。（用希克斯的替代效应进行分析）
图 8-1 u（x，y）＝xy 的最优选择 4．补偿需求函数指的是价格变动中保持对原消费束购买力不变而对收入进行调整的需 求函数。（ ） 【答案】F 【解析】补偿需求函数是指价格变动过程中收入进行调整并保持效用不变的需求函数。 5．在相似偏好下，由于价格变动引起的需求变化全部来自于替代效应。（ ） 【答案】F 【解析】由于两种商品之间的交换比率的变化所引起的需求变化称作替代效应。在相似 偏好下，既存在替代效应也存在收入效应。 6．某消费者只消费两种商品 x 和 y，商品 x 在某个收入范围内是低档商品，那么一定
范里安《微观经济学：现代观点》【教材精讲+考研真题解析】第8章 斯勒茨基方程 【圣才出品】
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一、价格变化对需求影响的斯勒茨基分解
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1．价格变化对需求影响的斯勒茨基分解 一种商品的价格发生变动时，会有两种效应产生：用一种商品来交换另一种商品的比率 会发生变化；收入的实际购买力会发生变化。 替代效应（substitution effect）也称为补偿的需求变动（compensated demand）， 是由于两种商品之间交换比率的变化所引起某一种商品的需求变化，也就是上面所讲的第一 种效应。 收入效应（income effect）是由于收入的实际购买力发生了变化而引起某一种商品的 需求变化，也就是上面所讲的第二种效应。
m
x1
x1
p1，p2，m
m
就是负的，又由于替代效应是负的，即
x1s
p1，p2，x1，x2 p1
0
，所以总效
应也是负的。也就是说，正常商品的需求总是随着价格的上升而下降。
2．低档商品
低 档 商品 的 需 求是 随 着 收入 的 增 加 而减 少 ， 即 x1 p1，p2，m 0 ， 那 么收 入 效 应
m
x1
x1
p1，p2，m
m
就是正的，但替代效应总是负的，即
x1s
p1，p2，x1，x2 p1
0
研究生中级微观题目+答案
CH11、利用住房市场模型进行比较静态分析：（1）住房的供给减少了；（2）居民的收入提高了；（3）房东将一部分住房出售；（4）对房东进行补贴，房东可以从政府那里每套住房获得1000元补贴。
2、配置住房有四种方法：竞争市场、价格歧视垄断者、一般垄断者、房租管制，利用帕累托效率标准来分析这些资源配置机制。
答1.(1)住房的供给减少了：供给曲线向左平移，需求曲线不变，住房的价格上升 （2）居民的收入提高了：供给曲线不变，需求曲线向右上方平移，住房价格上升 （3）出售部分房屋：供给曲线向左移动，需求曲线向左下方移动。
住房价格不变 （4）对房东补贴：住房价格不变2.竞争市场：在竞争市场下，持有最高保留价格的人也就是说愿意支付的价格高于均衡价格的最终能够获得他想要的物品。
因此，在竞争市场上，一旦交易达成，就再也没有其他的交易收益可得，所以说竞争市场产生的结果是帕累托有效率的。
价格歧视垄断者：通过价格歧视垄断者配置的方法，使最终获得物品的人与通过竞争市场配置的方法得到物品的人，正好是同一批人，即愿意支付的价格高于均衡价格。
因此价格歧视垄断者产生的结果是帕累托有效率的。
一般垄断者：拿出售房子的例子来说，一般垄断者不可能出租所有的住房，他可以通过把一套住房出租给按确定价格租不到房子的人来增加他的利润。
因此，这里存在着可以使垄断者和该租赁者双方都好一些的某些价格，只要垄断者不改变其他任何人的支付价格，其它租赁者的情况还是与以前一样好。
这就存在帕累托改进，所以一般垄断者下，不是帕累托有效率的。
房屋管制：举例说明。
分配房子时使A （保留价格300）住进内城区，而他愿意支付的价格要少于住在外城区的B （保留价格500）。
存在一种帕累托改进：让不在乎是住在内城区还是外城区的A 把内城区的房子出租给想住在内城区的B 。
对A 来说，内城区的住房只值300，B 认为值500.所以如果B 付给A400交换它们的住房，这对双方都好。
中微期中前答疑习题汇总(附答案版)
Chapter 1 市场1假设消费者对租房的需求为D（p）=100-2p，如果垄断者有60套出租房，追求利益最大的话垄断者会是用什么价格，出租多少套房子？如果垄断者只有40套房子出租，情况又会怎样呢？Solution：D(p)=100-2p，P=50-q/2TR=p(q)•q=q•(50-q/2)=50q-q2/2MR=50-q=0Q*=50, p*=25Chapter 2 预算约束1税收和补贴问题：假设以消费者只消费土豆（x）和牛肉（y）。
当土豆价格为9元，牛肉价格为5元时，他的所有收入恰好够他买5单位土豆和10单位牛肉。
县政府对购买土豆进行补贴：每单位土豆补贴是消费者5元。
但为了支付这种补贴，政府要向这个消费者征收20元的收入税。
请写出消费者的预算线。
（学会将经济语言翻译成数学语言）Solution：m=p1x+p2y=9*5+5*10=95土豆现价p1’=9-5=4m’=m-20=75所以BL:4x+5y=752食品券问题：一个家庭月收入为300元，只需支付83元即可得到政府补贴的价值153元的食品券。
若政府规定没有用完的食品券可以按照实际金额退款。
请写出预算方程，并图示。
Solution：设购买食品所花费用为x，其他所有花费为y，预算线分类两段（1）当x<153, 食品券的存在，使得食物价格变便宜（相对于153元的其他商品，食品只用83），△y/△x=-p1/p2=-83/153=-0.54，BL: 0.54x+y=300（2）当x>153, △y/△x=-p1/p2=-1/1=-1, BL: x+y=370折凹点为（153,217）3食品券问题：一个家庭月收入为300元，只需支付83元即可得到政府补贴的价值153元的食品券。
若政府规定153元的食品券必须一次性购买且不能退款及转让。
请写出预算方程，并图示。
（注意对比1、2题）Solution：设购买食品所花费用为x，其他所有花费为y，预算线分类三段（1）当家庭月消费食品x<83, 则消费者不会去购买食品券，△y/△x=-p1/p2=-1/1=-1,BL: x+y=300（2）当83<x<153, 消费者一次性购买食品券花费83元，剩余收入217元，此后直到153都不需要再多花钱消费食品。
斯勒茨基方程
支出函数：价格的凹函数
谢菲尔德引理：支出函数对价格求导可 是希克斯需求；或者希克斯需求是支出 函数对价格的偏导函数
希克斯替代效应是希克斯需求的导函数 希克斯替代效应总是负的
支出函数的二阶导数是负的，支出函数为凹 函数
x1h
p1,
p2
,u
E
p1, p2, p1
u
希克斯替代效应
x2
希克斯需求替代效应总
是负的
x2’ x2’’
x1 ( p1, p2 , u )
x1’ x1’’
x1
支出函数：价格的凹函数
谢菲尔德引理：支出函数对价格求导可 是希克斯需求；或者希克斯需求是支出 函数对价格的偏导函数
支出函数：价格的凹函数
初始选择
p2
x1
价格效应
x2
消费者的预算是 $y. 商品1的价格下降
y
预算线向外转动.
p2
x1
价格效应
x2
消费者的预算是 $y. 商品1的价格下降
y
预算线向外转动.
p2
在新的价格条件下，现在仅需 $y’ 即可购买原
y'
来的消费束,
p2
相当于消费者的收入增加了 $y - $y’.
x1
价格效应
x2
这种商品叫吉芬商品.
吉芬商品的斯勒茨基效应
x2
p1 下降导致商品1的需求
量也下降.
x2’
x1’
x1
吉芬商品的斯勒茨基效应
x2
p1 下降导致商品1的需求
量也下降.
x2’’’
x2’
x1’’’ x1’
x1
第8章 斯勒茨基方程
x1
实际收入变化
x2
原始的预算约束和消费束。
x1
实际收入变化
x2 原始的预算约束和消费束。 新的预算约束。
x1
实际收入变化
x2 原始的预算约束和消费束。 新的预算约束；实际收入减少了。
x1
纯粹替代效应 （Pure Substitution Effect）
x1
价格变化的效应
由于额外（„extra‟）收入引发的需求量的变 化是价格变动的收入效应。
价格变化的效应
Slutsky揭示出由于价格变化导致的需求变化 是纯粹的替代效应（a pure substitution effect）和收入效应的加总。
实际收入变化
Slutsky 定义如果在新价格体系下，
斯勒茨基把价格变化的效应分解为纯粹替 代效应和收入效应解释了为什么极端的低 档商品违背需求规律。
斯勒茨基方程
1、斯勒茨基等式
（1）绝对量 总效应=替代效应+收入效应
TE=SE+IE
x1 x + x
s 1
n 1
= x1 (p1', m) - x1 (p1 , m) = [x1 (p1', m') - x1 (p1 , m)] + [x1 (p1', m) - x1 (p1 ', m')]
x2’ x2’’
x 1’
x1’’
x1
低档商品（ Income-Inferior Goods） 的斯勒茨基效应
x2
(x1’’’,x2’’’) 纯粹替代效应和正 常商品是一样的， 但是收入效应的方 向相反。商品1是 低档商品，因为收 入增加需求量反而 减少。 x1