反比例函数与三角形
初三数学反比例函数与三角形难题(含详细答案)
《反比例函数—三角形》难度题1、如图，已知点A 是双曲线y =x4在第一象限的分支上的一个动点，连结AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为边作等边△ABC ，点C 在第四象限．随着点A 的运动，点C 的位置也不断变化，但点C 始终在双曲线xky =（k ＜0）上运动，则k 的值是 ﹣12 ．2、如图，已知点A 是双曲线6y x=在第三象限分支上的一个动点，连结AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为边作等边三角形ABC ，点C 在第四象限内，且随着点A 的运动，点C 的位置也在不断变化，但点C 始终在双曲线ky x=上运动，则k 的值是 63-【解】∵双曲线6y =A 与点B 关于原点对称．∴OA ＝OB ．连接OC ，如图所示．∵△ABC 是等边三角形，OA ＝OB ，∴OC ⊥AB ．∠BAC ＝60°．∴3OCtan OAC OA∠==．∴，3OC OA =，过点A 作AE ⊥y 轴，垂足为E ，过点C 作CF ⊥y 轴，垂足为F ，∵AE ⊥OE ，CF ⊥OF ，OC ⊥OA ，∴∠AEO ＝∠OFC ，∠AOE ＝90°－∠FOC ＝∠OCF ．∴△OFC ∽△AEO ．相似比3OCOA=3OFC AEOS S = ．∵点A 在第一象限，设点A 坐标为（a ，b ），∵点A 在双曲线6y x =上，∴S △AEO ＝12ab ＝62，∴S △OFC ＝12FC OF ⋅= 362．∴设点C 坐标为（x ，y ），∵点C 在双曲线ky x =上，∴k ＝xy ∵点C 在第四象限，∴FC ＝x ，OF ＝－y ．∴FC•OF ＝x•（－y ）＝－xy ＝－36 6．∴xy ＝－36．．故答案为：－36．3、如图，已知点A 是双曲线xy 4=在第一象限的分支上的一个动点，连结AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为斜边作等腰直角△ABC ，点C 在第四象限．随着点A 的运动，点C 的位置也不断变化，但点C 始终在双曲线xky =（k ＜0）上运动，则k 的值是 ﹣4 ．4、如图，等腰直角三角形OAB 和BCD 的底边OB 、BD 都在x 轴上，直角顶点A 、C 都在反比例函数y ＝kx图象上，若D （－8，0），则k ＝___8-_______．【方法】利用特殊形的角度、长度与坐标的关系，巧设坐标，联立方程求值 A （－a , a ），C （－4－a , 4－a ） 82-=-=a k5、如图，等边三角形OAB 和BCD 的底边OB 、BD 都在x 轴上，直角顶点A 、C 都在反比例xyACDBO函数y ＝kx图象上，若D （－12，0），则k ＝__________318-．6、如图，Rt △AOB 中，O 为坐标原点，∠AOB ＝90°，∠B ＝30°，如果点A 在反比例函数xy 1=（x ＞0）的图象上运动，那么点B 在函数xy 3-=（填函数解析式）的图象上运动．【方法】A 、B 两点分别向y 轴作垂线段，利用相似直角三角形的比例关系，用A 点坐标表示B 点坐标 设A )1,(00x x , B (x ，y )，得：B )3,3(00x x -7、如图，Rt △ABO 中，∠AOB =90°，点A 在第一象限、点B 在第四象限，且AO ：BO =1：2，若点A ),(00y x 的坐标0x 、0y 满足001x y =，则点B （x ，y ）的坐标x ，y 所满足的关系式为 xy 2-=x8、已知点A ，B 分别在反比例函数x y 2=（x ＞0），xy 8-=（x ＞0）的图象上且OA ⊥OB ，则tanB 为21【解】相似比 A(11,y x ) B(22,y x ) tanB = 2121x y y x =- ∴ 2121y y x x -== 2116x x ∴ 421=x x tanB = 21212x x x y == 219、如图，已知双曲线(0)ky k x=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为 9【解】∵点D 为△OAB 斜边OA 的中点，且点A 的坐标（﹣6，4）， ∴点D 的坐标为（﹣3，2）， 把（﹣3，2）代入双曲线)0(<=k xky ，可得k =﹣6，即双曲线解析式为x y 6-=，∵AB ⊥OB ，且点A 的坐标（﹣6，4）， ∴C 点的横坐标为﹣6，代入解析式xy 6-=，y=1， 即点C 坐标为（﹣6，1），∴AC=3，又∵OB=6，∴S △AOC =×AC×OB = 9． 故答案为：9．10、如图，已知双曲线)0(＞k xky =经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝_____2_____【方法】设D ),(a k a ， 则B )2,2(a k a , C )2,2(ak a11、如图，Rt △AOB 的一条直角边OB 在x 轴上，双曲线x ky =(x >0)经过斜边OA 的中点C ，与另一直角边交于点D ．若S △OCD =9，则S △OBD 的值为 6 ．ABOx yDC ABOx yDC12、如图，等腰直角三角形ABC 顶点A ，C 在x 轴上，∠BCA =90°，AC =BC =22，反比例函数y =x3（x ＞0）的图象分别与AB ，BC 交于点D ，E ．当△BDE ∽△BCA 时，点E 的坐标为 )2,223(【方法】设E ),(11y x ，D ),(22y x ； D )22,(1x 直线DE ：m x y +-=联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=+-=x y m x y 3 得：032=+-mx x 得：321=x x ∴ 11222x x y +== 2231=x ∴ D )2,223(13、如图，已知在Rt △OAC 中，O 为坐标原点，直角顶点C 在x 轴的正半轴上，反比例函数xky =（k ≠0）在第一象限的图象经过OA 的中点B ，交AC 于点D ，连接OD ．若△OCD ∽△ACO ，则直线OA 的解析式为14、如图，Rt △AOC 的直角边OC 在x 轴上，∠ACO=90o ，反比例函数xky =经过另一条直角边AC 的中点D ，3=∆AOC S ，则k = 315、如图，A 、B 是双曲线)0(>=k xky 上的点， A 、B 两点的横坐标分别是a 、2a ，线段AB 的延长线交x 轴于点C ，若S △AOC = 6．则k= 4【方法】向坐标轴作垂线段，将坐标与长度、角度建立等量关系 C(3a , 0)16、如图，反比例函数xy 6-=在第二象限的图象上有两点A 、B ，它们的横坐标分别为﹣1，﹣3，直线AB 与x 轴交于点C ，则△AOC 的面积为（ ）yxOBCAA ．8B ．10C ．12D ．2417、如图，点A 、B 在反比例函数(0,0)ky k x x=>>的图像上，过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，延长线段AB 交x 轴于点C ，若OM MN NC ==,AOC ∆的面积为6，则k 的值为 4.18、如图，点A 、B 在反比例函数y ＝ kx的图象上，且点A 、B 的横坐标分别为a 、2a （a ＜0），若S △AOB＝3，则k 的值为____－4____．【方法】等面积法设A(a , 2b ), B(2a, b ) 梯形AFEB 面积为3 4-=∴kOABxyO AB xyEF19、如图，若双曲线y =kx与边长为5的等边△AOB 的边OA ，AB 分别相交于C ，D 两点，且OC =3BD ，则实数k 的值为 ．20、已知点A 是双曲线y ＝4x上一动点，且OA ＝4，OA 的垂直平分线交x 轴于点B ，过A 作AC ⊥x 轴于点C ，则△ABC 的周长为________62________，∠ABC ＝____︒30_____【方法】设而不求，求比例；勾股定理；AB = 21AC21、如图，点A 在双曲线6y x=上，且OA ＝4，过A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，OA 的垂直平分线交OC 于B ，则△ABC 的周长为_______7OCA BxyM 93422、如图，点P 1（x 1，y 1），点P 2（x 2，y 2），…，点P n （x n ，y n ）在函数xy 1=（x ＞0）的图象上，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…，△P n A n ﹣1A n 都是等腰直角三角形，斜边OA 1、A 1A 2、A 2A 3，…，A n ﹣1A n 都在x 轴上（n 是大于或等于2的正整数），则点P 3的坐标是)23,23(-+ ；点P n 的坐标是 )1,1(---+n n n n （用含n 的式子表示）．23、如图，点P 是反比例函数y ＝x34 （x ＞0）图象上的动点， 在y 轴上取点Q ，使得以P ，O ，Q 为顶点的三角形是一个含有30°的直角三角形，则符合条件的点Q 的坐标是 (0,2), (0,8),(0,23),(0,338) ． OCA BxyM24、如图，点A（m，6），B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC=5．线段DC上有一点E，当△ABE的面积等于5时，点E的坐标为（5，0）．25、如图，以原点O为顶点的等腰直角三角形ABO中，∠BAO＝90°，反比例函数kyx=过A、B两点，若点A的横坐标为2，则k＝252-．26、如图，A 、B 是双曲线xky =上的两点，过A 点作AC ⊥x 轴，交OB 于D 点，垂足为C ．若△ADO 的面积为1，D 为OB 的中点，则k 的值为27、如图，已知点A 在反比例函数)0(<=x xky 上，作RT ⊿ABC ，点D 为斜边AC 的中点，连DB 并延长交y 轴于点E ，若⊿BCE 的面积为8，则k = 1628、如图，平面直角坐标系中，OB 在x 轴上，∠ABO=90°，点A 的坐标为（1，2），将△AOB 绕点A 逆时针旋转90°，点O 的对应点C 恰好落在双曲线xky =（x ＞0）上，则k 的值为 3【解】易得OB=1，AB=2，∴AD=2，∴点D 的坐标为（3，2）， ∴点C 的坐标为（3，1），∴k =3×1=3．29、如图，△AOB 和△ACD 均为正三角形，顶点B 、D 在双曲线xy 4=（x ＞0）上，则S △OBP = 4 ．30、如图，点A 是反比例函数xky =的图象上的一点，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为B ．点C 为y 轴上的一点，连接AC ，BC ．若△ABC 的面积为3，则k 的值是 ﹣631、如图在反比例函数xy x y 32=-=和的图象上分别有A 、B 两点，若AB ∥x 轴且OA ⊥OB,则=OBOA36 ．第15题O BAy x34、如图，已知点A ，B 在双曲线)0(>=x xky 上，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D ，AC 与BD 交于点P ，P 是AC 的中点，若△ABP 的面积为3，则k 的值为 12 ．35、 如图，过点C （1,2）分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线y=－x +6于A 、B 两点，若反比例函数ky x=（x ＞0）的图像与△ABC 有公共点，则k 的取值范围是（ ） A ．2≤k ≤9 B. 2≤k ≤8 C. 2≤k ≤5 D. 5≤k ≤8答案：A36、如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线x y 23=与双曲线xy 6=相交于A ，B 两点，C 是第一象限内双曲线上一点，连接CA 并延长交y 轴于点P ，连接BP ，BC ．若△PBC 的面积是24，则点C 的坐标为 （6，1）．38、如图，A 、B 是双曲线xky =上的两点，过A 点作AC ⊥x 轴，交OB 于D 点，垂足为C ．若△ADO 的面积为1，D 为OB 的中点，则k 的值为39、如图，点A 在双曲线y ＝xk的第一象限的那一支上，AB 垂直于x 轴与点B ，点C 在x 轴正半轴上，且OC ＝2AB ，点E 在线段AC 上，且AE ＝3EC ，点D 为OB 的中点，若△ADE 的面积为3，则k 的值为___316_____．【方法】等面积法，设A （a , 2b ）, 则C （2a ,0）4=∆ACD S ACD COD ABD ABCD S S S S ∆∆∆++=梯形40、如图，OAC ∆和BAD ∆都是等腰直角三角形， 90=∠=∠ADB ACO ,反比例函数xk y =在第一象限的图象经过点B ，若1222=-AB OA ，则k 的值为________.641、如图，已知动点A 在函数4(0)y x x=>的图象上，AB x ⊥轴于点B ，AC y ⊥轴于点C ，延长CA 至点D ，使AD=AB ，延长BA 至点E ，使AE=AC 。
一次函数与反比例函数求三角形面积
一次函数与反比例函数求三角形面积
要求三角形的面积，首先要知道三角形的底和高。
对于一次函数，可以表示为y=ax+b。
设两个点的坐标为
（x1,y1）和（x2,y2），则可以通过这两个点求得直线的斜率
a和截距b。
斜率a即为直线的导数，表示直线的倾斜程度。
然后通过求两点间的距离|x2-x1|作为三角形的底d。
反比例函数形式为y=k/x，其中k是一个常数。
对于反比例函
数来说，由于分母x不能为0，所以不能计算出具体的斜率。
在求三角形面积时，我们可以假设x的值很小，可以无限接近于0，此时y的值趋于无穷大。
这时我们可以通过取两个非常
小的点（x1,y1）和（x2,y2）求出直线斜率的极限值，即为0。
我们同样通过|x2-x1|计算出三角形的底d。
对于一次函数和反比例函数，计算出底d之后，我们还需要计算出三角形的高h。
通过已有的函数表达式，可以在直线上取
两个点（x,y1）和（x,y2），计算出点到直线的距离即可，即
为三角形的高h。
最后，根据底d和高h，可以计算出三角形的面积S = 1/2 * d
* h。
2023年中考数学高频压轴题突破——反比例函数与三角形综合
2023年中考数学高频压轴题突破——反比例函数与三角形综合1．如图，四边形ABCO是平行四边形且点C（﹣4，0），将平行四边形ABCO绕点A逆时针旋转得到平行四边形ADEF，AD经过点O，点F恰好落在x轴的正半轴上，若点A，D在反比例函数y＝的图象上，过A作AH⊥x轴，交EF于点H．（1）证明：△AOF是等边三角形，并求k的值；（2）在x轴上找点G，使△ACG是等腰三角形，求出G的坐标；（3）设P（x1，a），Q（x2，b）（x2＞x1＞0），M（m，y1），N（n，y2）是双曲线y＝上的四点，m＝，n＝，试判断y1，y2的大小，说明理由．2．如图①，直角三角形AOB中，∠AOB＝90°，AB平行于x轴，OA＝2OB，AB＝5，反比例函数（x＞0）的图象经过点A．（1）直接写出反比例函数的解析式；（2）如图②，P（x，y）在（1）中的反比例函数图象上，其中1＜x＜8，连接OP，过点O作OQ⊥OP，且OP＝2OQ，连接PQ．设点Q坐标为（m，n），其中m＜0，n＞0，求n与m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，若Q坐标为（m，1），求△POQ的面积．3．如图，将透明三角形纸片PAB的直角顶点P落在第四象限，顶点A、B分别落在反比例函数y＝图象的两支上，且PB⊥x于点C，PA⊥y于点D，AB分别与x轴，y轴相交于点E、F．已知B（1，3）．（1）k＝；（2）试说明AE＝BF；（3）当四边形ABCD的面积为时，求点P的坐标．4．如图，将边长为4的等边三角形AOB放置于平面直角坐标系xOy中，F是AB边上的动点（不与端点A、B重合），过点F的反比例函数y＝（k＞0，x＞0）与OA边交于点E，过点F作FC⊥x轴于点C，连接EF、OF．＝，求反比例函数的解析式；（1）若S△OCF（2）在（1）的条件下，试判断以点E为圆心，EA长为半径的圆与y轴的位置关系，并说明理由；（3）AB边上是否存在点F，使得EF⊥AE？若存在，请求出BF：FA的值；若不存在，请说明理由．5．如图在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x与反比例函数在第一象限交于点P（1，p），点M的横坐标为m（0＜m＜1）是反比例函数图象上的一点，MN∥x轴交一次函数于点N．（1）求出k的值；（2）是否存在点M，使△MNP是以MN为底的等腰三角形，若存在求出m，若不存在说明理由；（3）以MN为边长，在MN的下方作正方形MNAB，判断边NA与反比例函数图象是否有交点，若有求出交点坐标，若没有并说明理由．6．在平面直角坐标系xOy中，直线l1过点A（1，0）且与y轴平行，直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与直线l2相交于点p，点E为直线l2上一点，反比例函数y＝（k＞0）的图象过点E且与直线l1相交于点F．（1）若点E与点P重合，求k的值；（2）连接OE、OF、EF，若△OEF的面积为△PEF面积的3倍，求点E的坐标：（3）当k＜2时，G是y轴上一点，直接写出所有使得△EFG是等腰直角三角形的点G的坐标，并把求其中一个点G的坐标的过程写出来．7．如图，在直角坐标系中，点B的坐标为（2，1），过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别是C，A，反比例函数y＝（x＞0）的图象交AB，BC分别于点E，F．（1）求直线EF的解析式；（2）求四边形BEOF的面积；（3）若点P在y轴上，且△POE是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．8．有一边是另一边的倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角．（1）已知Rt△ABC为智慧三角形，且Rt△ABC的一边长为，则该智慧三角形的面积为；（2）如图①，在△ABC中，∠C＝105°，∠B＝30°，求证：△ABC是智慧三角形；（3）如图②，△ABC是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，A（3，0），点B，C在函数y＝上（x＞0）的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为．当△ABC是直角三角形时，求k的值．9．如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B，直线CD与x轴、y 轴分别交于点C、D，AB与CD相交于点E，线段OA、OC的长是一元二次方程x2﹣18x+72＝0的两根（OA＞OC），＝，点E的横坐标为3，反比例函数y＝的图象经过点E．（1）求k的值；（2）若直线AB与反比例函数图象上除点E外的另一交点为P，求三角形ECP的面积；（3）若点M在坐标轴上，在平面内是否存在一点N，使以点C，E，M，N为顶点的四边形是矩形且线段CE为矩形的一条边？若存在，直接写出符合条件的N点坐标；若不存在，请说明理由．10．如图1，▱OABC的边OC在x轴的正半轴上，OC＝5，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（1，4）．（1）求反比例函数的关系式和点B的坐标；（2）如图2，过BC的中点D作DP∥x轴交反比例函数图象于点P，连接AP、OP．①求△AOP的面积；②在▱OABC的边上是否存在点M，使得△POM是以PO为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，已知反比例函数y＝的图象经过第二象限内的点A（﹣2，2），若直线y＝ax+b经过点A，并且经过反比例函数y＝的图象上另一点B（m，﹣1），与x轴交于点m．（1）求反比例函数y＝的解析式和直线y＝ax+b的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）x轴是否存在一点P，使△PAO为等腰三角形？若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由．12．直线y＝kx与双曲线交于A、B两点，C为第三象限内一点．（1）如图1，若点A的坐标为（a，3）．①a＝，点B的坐标为．②不等式的解集为．（2）如图2，当△ABC为等边三角形时，点C的坐标为（m，n），试求m、n之间的关系．13．如图所示，直线y＝ax+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与反比例函数相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC＝2，点A的坐标为（﹣2，0）．（1）求双曲线的解析式；（2）直接写出x在什么范围时，反比例函数的值大于一次函数的值；（3）若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于H，当以点Q、C、H为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标．14．如图，直线y＝x与双曲线y＝（k≠0）交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝2CD．（1）求k的值并直接写出点B的坐标；（2）P是坐标轴上的点，Q是平面内一点，是否存在点P、Q，使得四边形ABPQ是矩形？若存在，请求出所有符合条件的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点G是直线AB上的动点，连接GB，GC，若三角形GBC的面积为4，求点G 的坐标．15．如图1，一次函数AB：y＝x+1的图象与反比例函数y＝（x＞0）大的图象交于点A （a，3），与y轴交于点B．（1）求a，k的值．（2）直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD．①如图2，连接OA，OC，求△OAC的面积．②点P在x轴上，若以点A，B，P为顶点的三角形是等腰三角形，写出符合条件的点P的坐标．＜0）的图象交于点B（﹣3，b），连接OB．（1）b＝，k＝．（2）若点P在第三象限内，是否存在点P使得△OBP是以OB为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，C是线段AB上一点（不与点A，B重合），过点C且平行于y轴的直线l 交该反比例函数的图象于点D，连接OC，OD，BD．若四边形OCBD的面积为3，求点C的坐标．＞0）上的一动点，PM⊥x轴于M，交线段AB于F，PN⊥y轴于N，交线段AB于E．（1）点E的坐标为，点F的坐标为（用a，b的式子表示）；（2）当点P运动且线段PM、PN均与线段AB有交点时，在下列2个问题中任选一题探究；①△BOF与△AEO是否一定相似？如果一定相似，请予以证明；如果不一定相似或一定不相似，请简短说明理由；②BE、EF、FA这三条线段是否能组成一个直角三角形？说明理由．（3）∠EOF的大小是否会改变？若不存，求出∠EOF的度数，若会改变，请说明理由．18．如图1，平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，矩形AOBC 的顶点C在反比例函数y＝的图象上．（1）反比例函数的表达式为；（2）如图2，点D是直线AB上的一个动点，过点D作x轴的平行线，与直线AC及反比例函数y＝的图象分别交于点E，F．设点D的纵坐标为n．①若点D在线段AB上运动，则线段EF的长为（用含n的式子表示）；②若点D在直线AB上运动，求AD＝OA时线段EF的长；（3）在（2）的条件下，当点D在直线AB上运动时，试探究是否存在某一时刻，使以A，D，C为顶点的三角形与以A，C，F为顶点的三角形全等？若存在，直接写出n的值；若不存在，说明理由．19．如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣4），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝CD．（1）求k的值并直接写出点B的坐标；（2）点G是y轴上的动点，连接GB，GC，求GB+GC的最小值；（3）P是x轴上的一点，当△PAB为直角三角形时，请求出符合条件的所有P点的坐标．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝ax+b（a，b为常数，且a≠0）与反比例函数（m为常数，且m≠0）的图象交于点A（﹣4，2），B（2，n）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）在x轴上是否存在点P，使△PAO为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的P 点的坐标：若不存在，请写出理由．参考答案与试题解析1．【解答】解：（1）由旋转的性质可得AO＝AF＝DE＝BC，∠BAO＝∠OAF，∵AB∥OC，∴∠BAO＝∠AOF，∴∠AOF＝∠OAF，∴AF＝OF，∴AF＝OF＝OA，∴△AOF为等边三角形，∵点A，D在反比例函数y＝的图象上，∴A、D关于原点对称，∴AO＝OD＝AD＝OC＝2，如图1，设AH交x轴于点K，在Rt△AOK中，可得∠OAK＝30°，∴OK＝OA＝1，AK＝OA＝，∴A（1，），∴k＝1×＝；（2）设G（x，0），且A（1，），C（﹣4，0），∴AG＝＝，CG＝|x+4|，AC＝＝2，∵△ACG是等腰三角形，∴有AG＝CG、AG＝AC和CG＝AC三种情况，①当AG＝CG时，则＝|x+4|，解得x＝﹣，此时G点坐标为（﹣，0）；②当AG＝AC时，则＝2，解得x＝﹣4（与C点重合，舍去）或x＝6，此时G点坐标为（6，0）；③当CG＝AC时，则|x+4|＝2，解得x＝﹣4+2或x＝﹣4﹣2，此时G点坐标为（﹣4+2，0）或（﹣4﹣2，0）；综上可知G点坐标为（﹣，0）或（6，0）或（﹣4+2，0）或（﹣4﹣2，0）；（3）y1＜y2．理由如下：由（1）可知反比例函数解析式为y＝，∵P（x1，a），Q（x2，b）（x2＞x1＞0）在反比例函数图象上，∴a＝，b＝，∴m＝＝＝，∴m2﹣n2＝﹣＝＝，∵x2＞x1＞0，∴＞0，即m2﹣n2＞0，∴m2＞n2，又由题意可知m＞0，n＞0，∴m＞n，∵M（m，y1），N（n，y2）在反比例函数y＝的图象上，且在第一象限，∴y1＜y2．2．【解答】解：（1）如图①，∵∠AOB＝90°，∴OA2+OB2＝AB2，∵OA＝2OB，AB＝5，∴4OB2+OB2＝25，解得OB＝，∴OA＝2，∵AB平行于x轴，∴OC⊥AB，∴OC•AB＝OB•OA，即OC＝＝2，在Rt△AOC中，AC＝＝4，∴A点坐标为（4，2），设过A点的反比例函数解析式为y＝，∴k＝4×2＝8，∴反比例函数解析式为y＝；（2）分别过P、Q作x轴垂线，垂足分别为H、D，如图②，∵OQ⊥OP，∴∠POH+∠QOD＝90°，∵∠POH+∠OPH＝90°，∴∠QOD＝∠OPH，∴Rt△POH∽Rt△OQD，∴＝＝，∵P（x，y）在（1）中的反比例函数图象上，其中1＜x＜8，Q点坐标为（m，n），其中m＜0，n＞0，OP＝2OQ，∴PH＝y，OH＝x，OD＝﹣m，QD＝n，∴＝＝2，解得x＝2n，y＝﹣2m，∵y＝，∴2n•（﹣2m）＝8，∴n＝（﹣4＜m＜﹣）；（3）∵n＝1时，m＝﹣2，即Q点坐标为（﹣2，1），∴OQ＝＝，∴OP＝2OQ＝2，＝××2＝5．∴S△POQ3．【解答】解：（1）把B（1，3）代入y＝得k＝1×3＝3；故答案为：3；（2）反比例函数解析式为y＝，设A点坐标为（a，），∵PB⊥x于点C，PA⊥y于点D，∴D点坐标为（0，），P点坐标为（1，），C点坐标为（1，0），∴PB＝3﹣，PC＝﹣，PA＝1﹣a，PD＝1，∴＝＝，＝，∴＝，而∠CPD＝∠BPA，∴△PCD∽△PBA，∴∠PCD＝∠PBA，∴CD∥BA，而BC∥DF，AD∥EC，∴四边形BCDF、ADCE都是平行四边形，∴BF＝CD，AE＝CD，∴BF＝AE，﹣S△PCD，（3）∵四边形ABCD的面积＝S△P AB∴•（3﹣）•（1﹣a）﹣•1•（﹣）＝，整理得a+＝0，解得a＝﹣，∴P点坐标为（1，﹣2）．4．【解答】解：（1）设F（x，y），（x＞0，y＞0），则OC＝x，CF＝y，＝xy＝，∴S△OCF∴xy＝2，∴k＝2，∴反比例函数解析式为y＝（x＞0）；（2）该圆与y轴相离，理由为：过点E作EH⊥x轴，垂足为H，过点E作EG⊥y轴，垂足为G，在△AOB中，OA＝AB＝4，∠AOB＝∠ABO＝∠A＝60°，设OH＝m，则tan∠AOB＝＝，∴EH＝m，OE＝2m，∴E坐标为（m，m），∵E在反比例y＝图象上，∴m＝，∴m1＝，m2＝﹣（舍去），∴OE＝2，EA＝4﹣2，EG＝，∵4﹣2＜，∴EA＜EG，∴以E为圆心，EA长为半径的圆与y轴相离；（3）存在．假设存在点F，使AE⊥FE，过E点作EH⊥OB于点H，设BF＝x．∵△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝OB＝4，∠AOB＝∠ABO＝∠A＝60°，∴BC＝FB•cos∠FBC＝x，FC＝FB•sin∠FBC＝x，∴AF＝4﹣x，OC＝OB﹣BC＝4﹣x，∵AE⊥FE，∴AE＝AF•cos A＝2﹣x，∴OE＝OA﹣AE＝x+2，∴OH＝OE•cos∠AOB＝x+1，EH＝OE•sin∠AOB＝x+，∴E（x+1，x+），F（4﹣x，x），∵E、F都在双曲线y＝的图象上，∴（x+1）（x+）＝（4﹣x）•x，解得：x1＝4，x2＝，当BF＝4时，AF＝0，不存在，舍去；当BF＝时，AF＝，BF：AF＝1：4．5．【解答】解：（1）∵一次函数y＝2x的图象过点P（1，p），∴p＝2，∴点P（1，2），∵反比例函数过点P（1，2），∴k＝2；（2）不存在，理由如下：由（1）可知：反比例函数的解析式为y＝，∴点M（m，），若△MNP是以MN为底的等腰三角形，∴点P在MN的垂直平分线上，∴点N（2﹣m，），∵点N在直线y＝2x上，∴＝2（2﹣m），∴m＝1，∵0＜m＜1，∴m＝1不合题意舍去，∴不存在点M，使△MNP是以MN为底的等腰三角形；（3）没有交点，理由如下：∵点M（m，），MN∥x轴，∴点N（，），∴MN＝﹣m，∵四边形MNAB是正方形，∴MN＝AN＝﹣m，AN⊥MN，∴点A（，+m），当x＝时，y＝2m，∵0＜m＜1，∴2m＜+m，∴点A在双曲线的上方，∴NA与反比例函数图象没有交点．6．【解答】解：（1）如图1中，由题意知，直线l1与直线l2相交于点p，∴P（1，2），把P（1，2）代入y＝得，2＝，∴k＝2，即k的值为2；（2）①如图2，当E在P右边时，作EM⊥x轴于M，设E（m，2），则F（1，2m），＝S△AOF+S梯形AMEF﹣S△OEM，∵S△OEF＝S△EOM，又∵S△AOF＝S梯形AMEF，∴S△OEF＝3S△PEF，∵S△EOF∴×（m﹣1）＝3××（m﹣1）（2m﹣2），解得m＝1或m＝2，∵E在P右边，∴m＞1，∴m＝2，此时E（2，2）；②如图3，当E在P左边时，作EM⊥x轴于M，设E（m，2），则F（1，2m），同理可得，×（1﹣m）＝3×（1﹣m）（2﹣2m），解得m＝1或m＝，∵点E在点P左边，∴0＜m＜1，∴m＝，此时E（，2）；综上，当点E（4，2）或（，2）时，△OEF的面积为△PEF面积的3倍；（3）根据题意，设E（m，2），则F（1，2m），∵0＜k＜2，∴0＜m＜1，当△EFG是等腰直角三角形时可分以下几种情况：①如图6，当点E在P点左边时，∠FEG＝90°，EG＝EF，∵∠FEG＝90°，∴∠BEG+∠PEF＝90°，又∵∠BEG+∠BGE＝90°，∴∠PEF＝∠BEG，又∵EG＝EF，∠GBE＝∠EPF＝90°，∴△EFP≌△GEB（ASA），∴EB＝PF，BG＝PE，∴m＝2﹣2m，解得m＝，∴BE＝，∴BG＝PE＝1﹣＝，OG＝2﹣BG＝2﹣＝，∴此时G（0，）；②如下图，当点E在P点左边时，∠FGE＝90°，EG＝GF，作FH⊥OB于H，∵∠FGE＝90°，∴∠BGE+∠HGF＝90°，又∵∠BEG+∠BGE＝90°，∴∠BEG＝∠HGF，又∵EG＝GF，∠GBE＝∠FHG＝90°，∴△GBE≌△FHG（AAS），∴EB＝GH＝m，BG＝FH＝1，∵F（1，2m），∴OH＝AF＝2m，∴BG+GH+OH＝2，即1+m+2m＝2，解得m＝，∴OG＝GH+OH＝m+2m＝1，∴此时，G点的坐标为（0，1）；③如图7中，当点E在点P左侧时，∠EFG＝90°，EF＝FG，作GN⊥PA于N，同理可证△EFP≌△FGN（SAS），∴PE＝FN，PF＝GN，∴2﹣2m＝1，∴m＝，∴BG＝PF+FN＝，∴OG＝，∴G（0，），综上，满足条件的点G坐标为（0，）或（0，）．7．【解答】解：（1）∵点B的坐标为（2，1），过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别是C，A，∴点A，点E纵坐标为1，点C，点F的横坐标为2，∵点E，点F在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴点E（1，1），点F（2，），设直线EF的解析式的解析式为：y＝kx+b，∴∴∴直线EF的解析式的解析式为：y＝﹣x+；﹣S△AOE﹣S△OCF，（2）∵四边形BEOF的面积＝S四边形ABCO∴四边形BEOF的面积＝2﹣﹣＝1；（3）∵点E（1，1），∴OE＝，若OE＝OP＝，则点P（0，）或（0，﹣），若OE＝EP，且AE⊥AO，∴OA＝AP＝1，∴点P（0，2）若OP＝PE，∴点P在OE的垂直平分线上，即点P（0，1），综上所述：当点P（0，）或（0，﹣）或（0，2）或（0，1）时，△POE是等腰三角形．8．【解答】解：（1）如图1，设∠A＝90°，AC≤AB，S△ABC＝AC•AB①若AC＝i）AB＝AC＝2，∴S＝ii）BC＝AC＝2，则AB＝，∴S＝②若AB＝i）AB＝AC，即AC＝，∴S＝ii）BC＝AB＝2，则AC＝∴S＝③若BC＝，若AB＝AC＝＝1∴S＝，若AB＝AC，AB＝，，S＝××＝故答案为：或1或或或．（2）证明：如图2，过点C作CD⊥AB于点D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°在Rt△BCD中，∠B＝30°，∴BC＝2CD，∠BCD＝90°﹣∠B＝60°∵∠ACB＝105°∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝45°∴Rt△ACD中，AD＝CD∴AC＝∴∴△ABC是智慧三角形．（3）∵△ABC是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角∴BC＝AB∵△ABC是直角三角形，∴AB不可能为斜边，即∠ACB≠90°∴∠ABC＝90°或∠BAC＝90°①当∠ABC＝90°时，过B作BE⊥x轴于E，过C作CF⊥EB于F，过C作CG⊥x轴于G，如图3，∴∠AEB＝∠F＝∠ABC＝90°∴∠BCF+∠CBF＝∠ABE+∠CBF＝90°∴∠BCF＝∠ABE∴△BCF∽△ABE∴设AE＝a，则BF＝AE＝a∵A（3，0）∴OE＝OA+AE＝3+a∵B的纵坐标为，即BE＝∴CF＝BE＝2，CG＝EF＝BE+BF＝，B（3+a，）∴OG＝OE﹣GE＝OE﹣CF＝3+a﹣2＝1+a∴C（1+a，）∵点B、C在在函数y＝上（x＞0）的图象上，∴（3+a）＝（1+a）（+a）＝k解得：a1＝﹣2（舍去），a2＝1∴k＝②当∠BAC＝90°时，过C作CM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，如图4，∴∠CMA＝∠ANB＝∠BAC＝90°∴∠MCA+∠MAC＝∠MAC+∠NAB＝90°∴∠MCA＝∠NAB∴△MCA∽△NAB∵BC＝，∴2AB2＝BC2＝AB2+AC2∴AC＝AB∴△MCA≌△NAB（AAS）∴AM＝BN＝∴OM＝OA﹣AM＝3﹣设CM＝AN＝b，则ON＝OA+AN＝3+b，∴C（3﹣，b），B（3+b，）∵点B、C在在函数y＝上（x＞0）的图象上，∴（3﹣）b＝（3+b）＝k解得：b＝∴k＝18+15综上所述，k的值为或9．【解答】解：（1）∵线段OA、OC的长是一元二次方程x2﹣18x+72＝0的两根（OA＞OC），∴OC＝6，OA＝12，∴A（12，0），C（﹣6，0），∵＝，∴OB＝OA＝16，∴B（0，16），设直线AB解析式为y＝k'x+16，∴12k'+16＝0，∴k'＝﹣，∴直线AB解析式为y＝﹣x+16，∵AB与CD相交于点E，点E的横坐标为3，∴E（3，12），∵反比例函数y＝的图象经过点E，∴k＝3×12＝36，（2）如图1，∵点P在直线AB上，∴设P（m，﹣m+16），由（1）知，k＝36，∴反比例函数解析式为y＝，∵点P还在反比例函数的图象上，∴m×（﹣m+16）＝36，∴m＝3，或m＝9，∴P（9，4），由（1）知，A（12，0），C60），E（3，12）∴AC＝18＝S△ECA﹣S△PCA＝AC×|y E|﹣AC×|y P|＝AC×（|y E|﹣|y P|）＝×18×（12∴S△ECP﹣4）＝72；（3）如图2，由（1）知，C（﹣6，0），E（3，12），∴直线CE解析式为y＝x+8，∵以点C，E，M，N为顶点的四边形是矩形且线段CE为矩形的一条边，∴过点E作MM'⊥CE，∴直线MM'的解析式为y＝﹣x+④，∴M（0，）．M'（19，0），过点M作MN∥CE，∴直线MN解析式为y＝x+，①过点C作CN⊥MN，∴直线CN的解析式为y＝﹣x﹣②①联立①②得，x＝﹣9，y＝，∴N（﹣9，），②过点M'作M'N'⊥MM'交直线CN于N'∴直线M'N'的解析式为y＝x﹣③，联立②③得，x＝10，y＝﹣12，∴N'（10，﹣12），③过M''作M''N'⊥CN交MM'于N，∵直线CN的解析式为y＝﹣x﹣∴M''N''的解析式为y＝x﹣⑤，联立④⑤解得，x＝9，y＝，∴N''（9，）∴满足条件的N点的坐标为（﹣9，）、（9，）或（10，﹣12）．10．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（1，4），∴m＝1×4＝4，∴反比例函数的关系式为y＝（x＞0）．∵四边形OABC为平行四边形，且点O（0，0），OC＝5，点A（1，4），∴点C（5，0），点B（6，4）．（2）①延长DP交OA于点E，如图3所示．∵点D为线段BC的中点，点C（5，0）、B（6，4），∴点D（，2）．令y＝中y＝2，则x＝2，∴点P（2，2），∴PD＝﹣2＝，EP＝ED﹣PD＝，＝EP•（y A﹣y O）＝××（4﹣0）＝3．∴S△AOP②假设存在．以OP为直径作圆，交OC于点M1，交OA于点M2，连接PM1、PM2，如图4所示．∵点P（2，2），O（0，0），∴点M1（2，0）；∵点A（1，4），点O（0，0），∴直线OA的关系式为y＝4x．设点M2（n，4n），＝3，OA＝＝，∵S△AOP∴PM2＝＝＝＝，即289n2﹣340n+100＝0，解得：n＝，∴点M2（，）．故在▱OABC的边上存在点M，使得△POM是以PO为斜边的直角三角形，点M的坐标为（2，0）或（，）．11．【解答】解：（1）将A（﹣2，2）代入y＝得：k＝﹣4，∴反比例函数解析式y＝﹣，将y＝﹣1代入反比例解析式得：x＝4，即m＝4，∴B（4，﹣1），将A（﹣2，2）与B（4，﹣1）代入y＝ax+b得：，解得：a＝﹣，b＝1，∴直线解析式y＝﹣x+1；（2）连接OA，OB，对于直线y＝﹣x+1，令y＝0，得到x＝2，即M（2，0），OM＝2，＝S△AOM+S△BOM＝×2×2+×2×1＝2+1＝3；则S△AOB（3）假设存在点P（p，0）使得为等腰三角形，AP2＝（p+2）2+22＝p2+4p+8，AO2＝8，PO2＝p2，若AP＝AO，则有AP2＝AO2，即p2+4p+8＝8，解得：p＝﹣4或p＝0（舍去），此时P1（﹣4，0）；若AP＝PO，则有AP2＝PO2，p2+4p+8＝p2，解得：p＝﹣2，此时P2（﹣2，0）；若AO＝PO，则有p2＝8，解得：p＝±2，此时P3（2，0），P4（﹣2，0），综上，P点坐标是（﹣4，0）；（﹣2，0）；（2，0）；（﹣2，0）．12．【解答】解：（1）①由于点A在反比例函数图象上，所以3＝﹣，解得a＝﹣2，将A（﹣2，3）代入y＝kx，∴k＝﹣，∴y＝﹣x，∵点A是直线y＝kx与双曲线y＝﹣的交点，令y＝﹣x＝﹣，解得x＝±2，y＝±3．∴B点坐标为（2，﹣3），故答案为：﹣2，（2，﹣3）；②由图可得：x＜﹣2或0＜x＜2；故答案为：x＜﹣2或0＜x＜2；（2）连接CO，作AD⊥y轴于D点，作CE⊥y轴于E点．∵反比例函数和正比例函数都是中心对称图形，它们都关于原点对称，∴OA＝OB．又∵△ABC为等边三角形，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，∵∠AOD+∠DAO＝90°，∠COE+∠BOE＝90°，∠DOA＝∠BOE，∴∠DAO＝∠COE．∴△ADO∽△OEC，∴．∵∠ACO＝30°，∴tan∠ACO＝＝，因为C的坐标为（m，n），所以CE＝﹣m，OE＝﹣n，∴AD＝﹣n，OD＝﹣m，所以A（n，﹣m），代入y＝﹣中，得mn＝18．13．【解答】解：（1）把A（﹣2，0）代入y＝ax+1中，求得a＝，由PC＝2，把y＝2代入y＝x+1中，得x＝2，即P（2，2），把P代入y＝得：k＝4，则双曲线解析式为y＝；（2）∵P（2，2），∴当0＜x＜2时，反比例函数的值大于一次函数的值；（3）设Q（m，n），∵Q（m，n）在y＝上，∴n＝，当△QCH∽△BAO时，可得＝，即＝，∴m﹣2＝2n，即m﹣2＝，整理得：m2﹣2m﹣8＝0，解得：m＝4或m＝﹣2（舍去），∴Q（4，1）；当△QCH∽△ABO时，可得＝，即＝，整理得：2m﹣4＝，解得：m＝1+或m＝1﹣（舍），∴Q（1+，2﹣2）．综上，Q（4，1）或Q（1+，2﹣2）．14．【解答】解：（1）将点A（m，﹣3）代入y＝x，解得m＝﹣2，∴A（﹣2，﹣3），将A（﹣2，﹣3）代入y＝，∴k＝6，∴y＝，当＝x时，解得x＝2或x＝﹣2，∴B（2，3）；（2）存在点P、Q，使得四边形ABPQ是矩形，理由如下：如图1，当P点在x轴上时，过点B作BE⊥x轴交于E点，∵B（2，3），∴OB＝，∴cos∠BOP＝＝＝，∴OP＝，∴P（，0），∵PQ∥AB，∴直线PQ的解析式为y＝x﹣，设Q（t，t﹣），∵AB＝PQ，∴52＝（t﹣）2+（t﹣）2，解得t＝或t＝（舍），∴Q（，﹣6）；如图2，当P点在y轴上时，过B点作BF⊥y轴交于点F，∵cos∠BOP＝＝，∴OP＝，∵PQ∥AB，∴直线PQ的解析式为y＝x+，设Q（t，t+），∵AB＝PQ，∴52＝t2+（t）2，解得t＝4（舍）或t＝﹣4，∴Q（﹣4，﹣）；综上所述：P（，0），Q（，﹣6）或P（0，），Q（﹣4，﹣）；（3）如图3，过C点作CK⊥x轴交于K点，过B作BH⊥x轴交于H点，∵BC＝2CD，∴＝＝＝，∴CK＝1，∴C（6，1），设直线BC的解析式为y＝k'x+b，∴，解得，∴y＝﹣x+4，过G点作GM∥y轴交BC于点M，设G（m，m），则M（m，﹣m+4），∴GM＝|2m﹣4|，＝4×|2m﹣4|＝4，∴S△BCG解得m＝3或m＝1，∴G（1，）或（3，）．15．【解答】解：（1）将（a，3）代入y＝x+1，得3＝a+1，∴a＝4，将（4，3）代入y＝，∴k＝12；（2）①∵AC＝AD，A（4，3），设C（m，n），D（z，0），由中点公式知：＝3，＝4n＝6，将n＝6代入y＝，得6＝，∴m＝2，∴z＝6，∴△OAC的面积＝6×6÷2﹣6×3÷2＝9；（3）设P（s，0），∵A（4，3），B（0，1），当PA＝PB时，（s﹣4）2+32＝s2+12，解得s＝3，∴P（3，0），当PB＝AB时，s2+12＝42+（3﹣1）2，解得s＝±，∴P（，0）或P（﹣，0），当PA＝AB时，（s﹣4）2+32＝42+（3﹣1）2，解得s1＝4+，s2＝4﹣，∴P（4+，0）或（4﹣，0），综上所述，点P的坐标为（3，0）或（，0）或（﹣，0）或（4+，0）或（4﹣，0）．16．【解答】解：（1）∵B（﹣3，b）在反比例函数（x＜0）的图象上，∴b＝1，∴B（﹣3，1），∵一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象过点B，∴1＝﹣3k﹣2，∴k＝﹣1，故答案为：1，﹣1；（2）存在，理由如下：若△OBP是以OB为直角边的等腰直角三角形，则需要分两种情况讨论：①当点O为直角顶点时，过点O作OP⊥OB，且OP＝OB，分别过点B，P作y轴的垂线，垂直于点E，F，∴∠BEO＝∠OFP＝90°，∠BOE+∠FOP＝∠BOE+∠OBE＝90°，∴∠FOP＝∠OBE，∵OB＝OP，∴△BEO≌△OFP（AAS），∴OE＝FP＝1，BE＝OF＝3，∴P（﹣1，﹣3），②当点B为直角顶点时，连接PP'，∴四边形OBPP'是正方形，∴OB∥PP'，且OB＝PP'，∴P'（﹣4，﹣2），综上，点P的坐标为（﹣1，﹣3）或（﹣4，﹣2）；（3）∵点C在直线AB上，∴设点C（m，﹣m﹣2），则点D（m，），＝S△CDB+S△CDO＝CD•（x O﹣x B）＝（﹣+m+2）×3＝3，∴S四边形OCBD解得m＝﹣或（舍去），∴C（﹣，﹣2）．17．【解答】解：（1）当y＝b时，﹣x+1＝b，∴x＝1﹣b，当x＝a时，y＝﹣a+1，∴E（1﹣b，b），F（a，1﹣a），故答案为：（1﹣b，b），F（a，1﹣a）；（2）①△BOF与△AEO一定相似，∵E（1﹣b，b），F（a，1﹣a），A（1，0），∴OE2＝（1﹣b）2+b2＝2b2﹣2b+1，EA2＝2b2，FA2＝2（1﹣a）2，∴EF＝AE﹣AF＝b﹣（1﹣a）＝（a+b﹣1），∵EF×EA＝（a+b﹣1）×b＝2b2﹣2b+1，∴OE2＝EF×EA，∵∠OEF＝∠AEO，∴△OEF∽△AEO，∴∠EOF＝∠EAO＝45°，∴∠BFO＝45°+∠FOA，∵∠AOE＝45°+∠AOF，∴∠BFO＝∠AOE，∵∠OBA＝∠OAB＝45°，∴△BFO∽△AOE；②∵BE2＝2（1﹣b）2，AF2＝2（1﹣a）2，EF2＝2（a+b﹣1）2，∴BE2+AF2＝2（1﹣b）2+2（1﹣a）2，＝2（2﹣2b+b2+a2﹣2a），∵点P（a，b）在y＝上，∴ab＝，∴EF2＝2[a2+2ab+b2+1﹣2（a+b）]＝2（a2+2×+b2+1﹣2a﹣2b）＝2（2﹣2b+b2+a2﹣2a），∴BE2+AF2＝EF2，∴BE、EF、FA这三条线段能组成一个直角三角形；（3）∠EOF的大小不变，∵E（1﹣b，b），F（a，1﹣a），A（1，0），∴OE2＝（1﹣b）2+b2＝2b2﹣2b+1，EA2＝2b2，FA2＝2（1﹣a）2，∴EF＝AE﹣AF＝b﹣（1﹣a）＝（a+b﹣1），∵EF×EA＝（a+b﹣1）×b＝2b2﹣2b+1，∴OE2＝EF×EA，∵∠OEF＝∠AEO，∴△OEF∽△AEO，∴∠EOF＝∠EAO＝45°，∴∠EOF的大小不变，为45°．18．【解答】解：（1）对于直线y＝﹣x+4，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝3，则点B的坐标为（0，4），点A的坐标为（3，0），∴点C的坐标为（3，4），则k＝3×4＝12，∴反比例函数的表达式为：y＝，故答案为：y＝；（2）①∵点D的纵坐标为n，DF∥x轴，∴点E的坐标为（3，n），点F的坐标为（，n），∴EF＝﹣3＝，故答案为：；②∵点A的坐标为（3，0），点D的坐标为（，n），∴AD＝＝n，由题意得：n＝3，解得：n＝，∴EF＝＝2；（3）由题意得：△ADC≌△AFC，∴AD＝AF，∵AE⊥DF，∴DE＝EF，即＝3，整理得：n2+4n﹣16＝0，解得：n1＝2﹣2，n2＝﹣2﹣2，则n的值为2﹣2或﹣2﹣2．19．【解答】解：（1）∵A（m，﹣4）在直线上，∴m＝﹣4，解得m＝﹣3，∴A（﹣3，﹣4），∵A（﹣3，﹣4）在y＝上，∴k＝12，∴y＝，∵直线和双曲线均关于原点对称，∴A、B关于原点对称，∴B（3，4）；（2）∵BC＝CD，∴C点是BD的中点，∴C点的纵坐标为2，∴C（6，2），作B点关于y轴的对称点B'，连接B'C交y轴于点G，∴BG＝B'G，∴BG+CG＝B'G+CG≥B'C，∴当B'、G、C三点共线时，BG+CG的值最小，∴B'（﹣3，4），∴B'C＝，∴BG+CG的最小值为；（3）设P（x，0），∴PA2＝（x+3）2+16，PB2＝（x﹣3）2+16，AB2＝100，①当∠PAB＝90°时，（x﹣3）2+16＝（x+3）2+16+100，解得x＝﹣，∴P（﹣，0）；②当∠PBA＝90°时，（x+3）2+16＝（x﹣3）2+16+100，解得x＝，∴P（，0）；③当∠APB＝90°时，100＝（x+3）2+16+（x﹣3）2+16，解得x＝±5，∴P（5，0）或（﹣5，0）；综上所述：P点坐标为（﹣，0）或（，0）或（5，0）或（﹣5，0）．20．【解答】解：（1）∵A（﹣4，2），∴将A坐标代入反比例函数解析式中，得m＝﹣8，∴反比例函数解析式为y＝﹣；将B坐标代入y＝﹣，得n＝﹣4，∴B坐标（2，﹣4），将A与B坐标代入一次函数解析式中，得，解得，∴一次函数解析式为y1＝﹣x﹣2；（2）当﹣x﹣2＝0时，解得x＝﹣2，∵点A（﹣4，2）、点B（2，﹣4），∴△AOB的面积为：×|﹣2|×2×|﹣2|×|﹣4|＝6．（3）设P（m，0），∵A（﹣4，2），∴OP＝|m|，AP＝，OA＝2，∵△AOP是等腰三角形，∴①当OP＝AP时，|m|＝，∴m＝﹣，∴P（﹣，0）；②当OP＝OA时，|m|＝2，∴m＝±2，∴P（2，0）或（﹣2，0）；③当OA＝AP时，2＝，∴m＝0或m＝﹣8，∴P（﹣8，0）；即点P的坐标为P（﹣，0）或（2，0）或（﹣2，0）或（﹣8，0）．。
反比例函数及三角形
一、反比例函数：1. 定义：一般地，形如x k y=（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。
x ky =还可以写成kxy =1-2. 反比例函数的特征： ⑴等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。
分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1. ⑵比例系数0≠k⑶自变量x 的取值为一切非零实数。
⑷函数y 的取值是一切非零实数。
3. 反比例函数的图像⑴图像的画法：描点法① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数）② 描点（有小到大的顺序）③ 连线（从左到右光滑的曲线）⑵反比例函数的图像是双曲线，x k y =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。
⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=）。
⑷反比例函数xk y =（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线x ky = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。
4．反比例函数性质如下表：k 的取值 图像所在象限函数的增减性o k > 一、三象限 在每个象限内，y 值随x 的增大而减小o k < 二、四象限 在每个象限内，y 值随x 的增大而增大5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k ）6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数x ky =中的两个变量必成反比例关系。
二．三角形的知识点：1.等腰三角形的两个底角相等；2.等腰三角形的两边相等；3.两角相等的三角形是等腰三角形；两边相等的三角形是等腰三角形 形；4.等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合， 简述为“三线合一”；5.等边三角形的三个角都相等，且都为60； 6.有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形；7.在直角三角形中，30 所对的直角边是斜边的一半；8.三个角都相等的三角形是等边三角形。
反比例函数与三角形交点问题
反比例函数与三角形交点问题反比例函数和三角形的交点问题，听起来是不是有点复杂？但咱们可以把它聊得轻松点，毕竟这事儿还真是蛮有意思的。
想象一下，反比例函数就像是一个总是在变的朋友，你跟他聊的时候，他的态度总是变来变去，哈哈。
比如，y = k/x，k是个常数，这家伙真是古灵精怪。
当x越大时，y却变得越来越小，简直就像个调皮的小孩，总是要和你捉迷藏。
再说说三角形，嘿，三角形可真是个好家伙，有着三条边、三个角，简单却又充满了可能性。
就像我们的生活，虽然平凡，但每个角度都能给你不同的视野。
咱们假设一个三角形，像个小山丘，底边和高也都是有数的。
这个三角形和反比例函数的图像交点，真的是个神奇的地方。
当这两者相遇的时候，嘿，真是好戏连台。
你可以想象，图像上那根弯弯曲曲的线和三角形的边缘好似在跳舞，时而靠近，时而远离，仿佛在进行一场恋爱游戏。
咱们要想知道它们在哪儿交汇，这就需要一些技巧。
别担心，数学不一定得像个死板的老头，实际上，它可以非常有趣。
你可以设想一下，把三角形的边长带入反比例函数的公式里，像是在玩拼图。
找出交点就像是找到钥匙，打开一个全新世界的大门。
想象一下，那一瞬间，当你找到那个交点时，心里的小雀雀是不是在蹦蹦跳跳？哈哈，真的是太开心了。
反比例函数的图像是个优雅的开口，三角形则稳重而扎实。
它们的交点就像是不同风格的朋友相聚，碰撞出奇妙的火花。
比如，某个角落里，y轴上高高在上的值可能与三角形的某条边相吻合，这一刻，简单又美好。
数学有时就是这样，咱们找到规律，便能掌控这个看似复杂的世界。
话说回来，找到这些交点，实际上也能让我们更深入地理解函数的性质。
比如，当k的值不同，图像的形状变化也会随之而变。
好比人生，选择不同的道路，结果各异。
你可得留心每一个交点，这不仅仅是数字的游戏，而是对生活的一种理解。
每个交点都能给我们带来新的思考，让我们在复杂中找到简单的乐趣。
说到底，数学就是生活的一部分。
我们不妨把这些抽象的概念具体化，带入到生活的点滴中去。
中考数学高频考点突破——反比例函数与三角形综合
中考数学高频考点突破——反比例函数与三角形综合(x>0)的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于A(1,m)，1.如图，反比例函数y1=kxB(4,n)两点，过点A作AC垂直于x轴于点C，且S△OAC=2．(1) 求反比例函数和一次函数的表达式；(2) 当y1>y2时，求x的取值范围．)，且与2.如图，在平面直角坐标系中，直线AC与x轴交于点A与y轴交于点B(0,52反比例函数y=10在第一象限的图象交于点C，CD⊥y轴于点D，CD=2．x(1) 根据函数图象，直接写出当反比例函数y=10的函数值y≤5时，自变量x的取x值范围．的图象于点Q．若(2) 动点P在x轴上，PQ⊥x轴交反比例函数y=10xS△PAC:S POQ=2，求点P的坐标．在第一象限图象上一点，连接OA，过A作3.如图，点A(3,4)是反比例函数y=kxAB∥x轴，截取AB=OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y=k的图象于x 点P，连接AP．(1) 求反比例函数的表达式．(2) 求△OAP的面积．(k≠0)的图象相交于A，4.如图，一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与反比例函数y=kxB两点，与x轴，y轴分别交于C，D两点，tan∠DCO=3，过点A作AE⊥x轴于2点E，若点C是OE的中点，且点A的横坐标为−4．(1) 求该反比例函数和一次函数的解析式(2) 连接ED,求△ADE的面积5.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，直角顶点B位于x轴的负半轴，点A(0,−2)，，y轴平分∠BAC，斜边AC交x轴于点D，BC与y轴交于点E，且tan∠OAD=12(x>0)的图象经过点C．反比例函数y=kx(1) 求点B，D坐标；(x>0)的函数表达式．(2) 求y=kx6.如图，在△AOB中，∠OAB=90∘，AO=AB=4，以O为原点，OB所在直线为x的图象上．轴，建立平面直角坐标系，△OAB的顶点A在反比例函数y=kx(1) 求反比例函数的表达式．(2) 把△OAB向右平移m个单位长度，对应得到△OʹAʹBʹ，当这个函数图象经过△OʹAʹBʹ一边的中点时，求m的值．7.如图的反比例函数图象经过点A(2,5)．(1) 求该反比例函数的解析式．(2) 过点A作AB⊥x轴，垂足为B，在直线AB右侧的反比例函数图象上取一点C，若△ABC的面积为20，求点C的坐标．8.如图，一次函数y=x+32的图象与反比例函数y=kx的图象在第一象限的一个交点为A(1,m)，与y轴交于B点．(1) 求反比例函数y=kx的表达式；(2) 若点P在x轴上，且满足S△POB=S△AOB，求此时点P的坐标．9.正比例函数y=k1x和反比例函数y=k2x，（k1k2≠0）的图象交于点A(−0.5,2)和点B．(1) 求图象的另一交点B的坐标；(2) 在x轴上找一点P，使△APB的面积等于4，写出点P的坐标．10.如图，直线y=ax(a≠0)与双曲线y=kx(k≠0)(x>0)相交于点A(3,4)，P是x 轴上的一个动点，点P的坐标为(5t,0)(t>0)，过点P作PQ⊥OA，垂足为Q．(1) 求a和k的值．(2) 用含t代数式表示点Q的坐标．(3) 如果将△OPQ绕点P顺时针旋转90∘，使得旋转后△OPQ的顶点O或Q落在双曲线上，求t的值．11.如图，已知直线y=kx+b与反比例函数y=mx(x>0)的图象交于A(1,4)，B(4,1)两点，与x轴交于C点．(1) 求一次函数与反比例函数的解析式．(2) 根据图象直接回答：在第一象限内，当x取何值时，一次函数值大于反比例函数值？(x>0)图象上的一个动点，作PQ⊥x轴于Q点，连接PC，当(3) 点P是y=mxS△CPQ=1S△CAO时，求点P的坐标．212.已知平面直角坐标系中，O是坐标原点，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=4的图象交于点A(m,2)，B(−1,n)．x(1) 求m，n的值；(2) ①求一次函数的表达式；，直接写出x的取值范围；②当kx+b≥4x(3) 点P是x轴上一点，当△OAP和△OAB的面积相等时，求P点的坐标．13.如图，直线y=ax+b与x轴交于点A(4,0)，与y轴交于点B(0,−2)，与反比例函(x>0)的图象交于点C(m,1)．数y=kx(1) 求直线和反比例函数的表达式．≥ax+b的解集(2) 结合图象，请直接写出不等式kx(3) 连接OC，在x轴上找一点P，使△OPC是以C为腰的等腰三角形，请求出点P的坐标．14.如图，直线y=kx+b与x轴交于点A(4,0)，与y轴交于点B(0,−2)，与反比例函(x>0)的图象交于点C(m,1)．数y=kx(1) 求直线和反比例函数的表达式．≥ax+b的解集．(2) 结合图象，请直接写出不等式kx(3) 连接OC，在x轴上找一点P，使△OPC是以OC为腰的等腰三角形，请求出点P的坐标．15.如图在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y1=4x(x>0)的图象与一次函数y2= kx−k的图象的交点为A(m,2)．(1) 求一次函数的解析式；(2) 观察图象，直接写出使y1≥y2的x的取值范围；(3) 设一次函数y2=kx−k的图象与y轴交于点B，若点P是x轴上一点，且满足△PAB的面积是4，请写出点P的坐标．16.如图，直线l的解析式为y=−13x+73，与x轴，y轴分别交于A，B两点，双曲线y=kx(x>0)与直线l交于EF两点，点E的横坐标为1．(1) 求k的值及F点的坐标；(2) 连接OE，OF，求△EOF的面积；(3) 若点P是EF下方双曲线上的动点（不与E，F重合），过点P作x轴，y轴的垂线，分别交直线l于点M，N，求BM⋅AN的值．17.如图，反比例函数y1=kx 的图象与一次函数y2=14x的图象交于点A，B，点B的横坐标实数4，点P(1,m)在反比例函数y1=kx的图象上．(1) 求反比例函数的表达式；(2) 观察图象回答：当为何范围时，y1>y2；(3) 求△PAB的面积．18.如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=mx(m≠0)的图象交于二、四象限内的A，B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为(−3,4)，点B的坐标为(6,n)．(1) 求该反比例函数和一次函数的解析式；(2) 连接OB，求△AOB的面积；(3) 在x轴上是否存在点P，使是△APC直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．的图象经19.如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=mx 过点A(2,2)．(1) 分别求这两个函数的表达式；(2) 将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于B，与反比例函数图象在第一象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及△ABC的面积；(3) 反比例函数图象上是否存在点D，使DC⊥BC？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．的图象和一次函数的图象交于A，B两点，点A的横坐标为−1，20.已知反比例函数y=2x点B的纵坐标为−1．(1) 求这个一次函数的表达式．(2) 若点P(m,n)在反比例函数的图象上，且P点关于x轴的对称点Q恰好落在一次函数的图象上，求m2+n2的的值．(3) 若M(x1,y1)，N(x2,y2)是反比例函数在第一象限图象上的两点，满足x2−x1=2，y1+y2=3，求三角形MON的面积．答案1. 【答案】(1) 因为 AC ⊥x 轴，A (1,m )，S △OAC =2，所以 12×1⋅m =2， 所以 m =4， 所以 A (1,4)．又因为点 A 在反比例函数 y =kx上，所以 k =1×4=4，所以反比例函数的表达式为 y =4x ． 又因为点 B 在反比例函数 y =4x 上， 所以 4n =4，n =1， 所以 B (4,1)，把 A ，B 两点坐标代入 y =ax +b ，得 {a +b =4,4a +b =1,所以 {a =−1,b =5,所以一次函数的表达式为 y =−x +5． (2) 0<x <1 或 x >4．2. 【答案】(1) x ≥2 或 x <0．(2) ∵CD ⊥y 轴于点 D ，CD =2， ∴C 点的横坐标为 2．把 x =2 代入反比例函数 y =10x ，得 y =102=5， ∴C (2,5)．设直线 AC 的解析式为 y =kx +b ，把 B (0,52)，C (2,5) 代入，得 {b =52,2k +b =5, 解得 {k =54,b =52.∴ 直线 AC 的解析式为 y =54x +52，令 y =54x +52=0，解得 x =−2．∴A (−2,0)，∵PQ ⊥x 轴，点 Q 在反比例函数 y =10x的图象上， ∴S △POQ =12×10=5． ∵S △PAC :S △POQ =2，∴S PAC =10，则 12PA ⋅y c =10， ∴PA =2×105=4， ∴(−6,0) 或 (2,0)． 【解析】(1) 当 y =5 时，x =10y =2，观察图形可知：y ≤5 时，x ≥2 或 x <0．3. 【答案】(1) 将点 A (3,4) 代入 y =kx ，得：k =12，则反比例函数表达式为 y =12x ．(2) 如图，过点 A 作 AC ⊥x 轴于点 C ， 则 OC =3，AC =4， ∴OA =√42+32=5，∵AB ∥x 轴，且 AB =OA =5， ∴ 点 B 的坐标为 (8,4)，设 OB 所在直线表达式为：y =kx ，由 B (8,4) 得：OB 所在直线表达式为 y =12x ， ∴ 点 D (3,22)， ∴AD =52，由 {y =12x,y =12x 可得点 P 坐标为 (2√6,√6)，∴S △OAP =12AD ⋅2√6=12⋅52⋅2√6=52√6．4. 【答案】(1) ∵AE ⊥x 轴于点 E ，点 C 是 OE 的中点，且点 A 的横坐标为 −4， ∴OE =4，OC =2，∵Rt △COD 中，tan∠DCO =32， ∴OD =3， ∴A (−4,3)，∴D (0,−3)，C (−2,0)，∵ 直线 y =ax +b (a ≠0) 与 x 轴，y 轴分别交于 C ，D 两点，∴{b =−3,−2a +b =0,解得 {a =−32,b =−3,∴ 一次函数的解析式为 y =−32x −3， 把点 A 的坐标 (−4,3) 代入，可得3=k−4，解得 k =−12， ∴A (−2,3)，∴ 反比例函数解析式为 y =−12x ．(2)S △ADE =S △ACE +S △DCE =12EC ⋅AE +12EC ⋅OD=12×2×3+12×2×3=6.故答案为：6．5. 【答案】(1) ∵ 点 A (0,−2)， ∴OA =2，∵tan∠OAD =OD OA =12，∴OD =1，∵y 轴平分 ∠BAC ， ∴∠BAO =∠DAO ，∵∠AOD =∠AOB =90∘，AO =AO ， ∴△AOB ≌△AOD (ASA )， ∴OB =OD =1，∴ 点 B 坐标为 (−1,0)，点 D 坐标为 (1,0)； (2) 过 C 作 CH ⊥x 轴于 H ， ∴∠CHD =90∘， ∵∠ABC =90∘，∴∠ABO +∠CBO =∠ABO +∠BAO =90∘， ∴∠BAO =∠DAO =∠CBD ， ∵∠ADO =∠CDH ， ∴∠DCH =∠DAO ， ∴∠DCH =∠CBH ，∴tan∠CBH =tan∠DCH =12， ∴CHBH =DH CH=12，设 DH =x ，则 CH =2x ，BH =4x ， ∴2+x =4x ，∴x =23，∴OH =53，CH =43， ∴C (53,43)，∴k =53×43=209，∴y =k x (x >0) 的函数表达式为 y =209x ．6. 【答案】(1) 过点 A 作 AD ⊥x 轴于点 D ，如图 1． ∵∠OAB =90∘，AO =AB =4，∴S △AOB =12×4×4=8，∵OD =DB ，∴S △AOD =12S △AOB =4， ∴k =2S △AOD =8，∴y =8x ．答：反比例函数的表达式为 y =8x ．(2) ①当边 AʹBʹ 的中点 C 在 y =8x 的图象上，如图 2， ∵∠OAB =90∘，AO =AB =4，∴Aʹ(2√2+m,2√2)，Bʹ(4√2+m,0)，C(3√2+m,√2)， ∴(3√2+m)√2=8， ∴m =√2；②当边 AʹOʹ 的中点 E 在 y =8x 的图象上，过点 Aʹ 作 AʹD ⊥x 轴于点 D ，如备用图， ∵Oʹ(m,0)，Aʹ(m +2√2,2√2)， ∴ 中点 E(m +√2,√2)， ∴(m +√2)√2=8， ∴m =3√2．综上所述：符合条件的 m 的值有 √2 或 3√2．7. 【答案】(1) 设反比例函数的解析式为 y =kx，且过 A (2,5)，∴k =2×5=10．∴ 反比例函数的解析式为 y =10x ．(2) 设点 C (m,10m )，∵△ABC 的面积为 20，∴20=12×5×(m −2)， ∴m =10， ∴ 点 C (10,1)．8. 【答案】(1) ∵ 一次函数 y =x +32的图象经过点 A (1,m )，得 m =1+32=52，将 (1,52) 代入 y =kx ，得 k =52， ∴ 反比例函数的表达式为 y =52x ． (2) 由条件得 OB =32，∴S △AOB =12×1×32=34． 设点 P (x,0)，则 OP =∣x ∣，由 S △POB =S △AOB ，得 12⋅∣x ∣⋅32=34，解得 x =±1，∴ 点 P 的坐标为 (−1,0) 或 (1,0)．9. 【答案】(1) 点 B 的坐标为 (0.5,−2)． (2) P (±2,0)．10. 【答案】(1) 因为直线 y =ax (a ≠0) 与双曲线 y =kx(k ≠0)(x >0) 相交于点 A (3,4)，所以 3a =4，4=k3，所以 a =43，k =12．(2) 过点 A 作 AB ⊥ 轴于点 B ， 过点 Q 作 QC ⊥ 轴于点 C ， 因为 PQ ⊥OA ，所以 ∠ABO =∠PQO =90∘， 又 ∠AOB =∠POQ ， 所以 △AOB ∽△POQ ，所以 ABPQ =OBOQ =OAOP ，因为 A (3,4)，P (5t,0)，所以 OB =3，AB =4，OP =5t ，所以 OA =√OB 2+AB 2=5， 所以 4PQ =3OQ =55t， 所以 PQ =4t ，OQ =3t ，因为 S △OPQ =12OQ ⋅PQ =12OP ⋅CQ ，所以 CQ =3t⋅4t5t =125t ，所以 OC =√OQ 2−CQ 2=95t ， 所以点 Q 的坐标为 (95t,125t)．(3) 设 △OPQ 旋转后点 O 的对应点为 Oʹ，点 Q 的对应点为 Qʹ，因为 ∠OPOʹ=90∘，OʹP =OP =5t ，所以 Oʹ(5t,5t )，过点 Qʹ 作 Qʹ D ⊥x 轴于点 D ，则 ∠QʹDP =∠PCQ =90∘，∠QʹPD +∠PQʹD =90∘，因为 ∠QʹPQ =90∘，所以 ∠QʹPD +∠QPC =90∘，所以 ∠PQʹD =∠QPC ．又 QʹP =PQ ，所以 △QʹDP ≌△PCQ ，所以 QʹD =PC =OP −OC =5t −95t =165t ，DP =CQ =125t ， 所以 OD =OP +DP =5t +125t =375t ， 所以 Qʹ(375t,165t)， ①当点 Oʹ 落在双曲线 y =12x (x >0) 上时，5t =125t ，解得 t =2√35（负值舍去）， ②当点 Oʹ 落在双曲线 y =12x (x >0) 上时，165t =12375t ，解得 t =5√11174（负值舍去）， 综上所述，t 的值为 2√35 或5√11174．11. 【答案】 (1) 把 A (1,4) 代入 y =m x (x >0)，得 m =1×4=4，∴ 反比例函数为 y =4x ； 把 A (1,4) 和 B (4,1) 代入 y =kx +b 得 {k +b =4,4k +b =1, 解得：{k =−1,b =5,∴ 一次函数为 y =−x +5．(2) 1<x ≤4(3) 设 P (m,4m )， 由一次函数 y =−x +5 可知 C (5,0)，∴S △CAO =12×5×4=10，∵S △CPQ =12S △CAO ， ∴S △CPQ =5， ∴12∣5−m ∣⋅4m =5，解得 m =107 或 m =−103（舍去）， ∴P (107,145)．12. 【答案】 (1) 点 A (m,2)，B (−1,n ) 在反比例函数 y =4x ， ∴2m =−n =4，∴m =2，n =−4．(2) ①一次函数 y =kx +b 的图象过点 A (m,2)，B (−1,n )， ∴{2k +b =2,−k +b =−6, ∴{k =2,b =−2,∴ 一次函数的表达式为：y =6x −2； ②当 kx +b ≥4x 时，x ≥4 或 −1≤x <0．(3) 由直线 y =2x −2 可知，D (0,−2)，∴S △AOB =32×2×7+12×3×1=3．设 P (m,2)，∵△OAP 和 △OAB 的面积相等， 则 S △OAP =12∣m ∣⋅7=3，解得 m =±67，∴P (−67,0) 或 (67,0)．13. 【答案】(1) 将 A (4,0)，B (0,−2) 代入 y =ax +b ， 得：{4a +b =0,b =−2, 解得：{a =12,b =−2,∴ 直线 AB 的函数表达式为 y =12x −2，当 y =1 时，12m −2=1，∴ 点 C 的坐标为 (6,1)， 将 C (6,1) 代入 y =k x ，得：1=k 6，解得：k =6，∴ 反比例函数的表达式为 y =6x ．(2) 0<x ≤6．(3) 过点 C 作 CD ⊥x 轴，垂足为 D 点，则 OD =6，CD =1，∴OC =√OD 2+CD 2=√37，∵OC 为腰，∴ 分两种情况考虑，如图所示：①当 OP =OC 时，∵OC =√37，∴OP =√37，∴ 点 P 1 的坐标为 (√37,0)，点 P 2 的坐标为 (−√37,0)；②当 CO =CP 时，DP =DO =6，∴OP =2OD =12，∴ 点 P 3 的坐标为 (12,0)．【解析】(2) 观察函数图象，可知： 当 0<x <6 时，反比例函数 y =6x 的图象在直线 y =12x −2 的上方，∴ 不等式 kx ≥ax +b 的解集为 0<x ≤6．14. 【答案】(1) 将 A (4,0)，B (0,−2) 代入 y =ax +b ，得： {4a +b =0,b =−2, 解得：{a =12,b =−2,∴ 直线 AB 的函数表达式为 y =12x −2．把 C (m,1)，代入 y =12x −2 中，得 12m −2=1，m =6，∴C (6,1)， 把 C (6,1) 代入 y =k x 中，得 k =6×1=6，∴ 反比例函数解析式 y =6x ．(2) 观察图象可知 k x ≥ax +b 的解集为 0<x ≤6． (3) 过点 C 作 CD ⊥x 轴，垂足为 D 点，则 OD =6，CD =1，∴OC =√OD 2+CD 2=√37，∵OC 为腰，∴ 分两种情况考虑，如图所示：①当 OP =OC 时，∵OC =√37，∴OP =√37，∴ 点 P 1 的坐标为 (√37,0)，点 P 2(√37,0)，的坐标为 (−√37,0)，②当 CO =CP 时，DP =DO =6，∴OP =2OD =12，∴ 点 P 3 的坐标为 (12,0)．综上 P 坐标为 (√37,0) 或 (−√37,0) 或 (12,0)．15. 【答案】 (1) 将 A (m,2) 代入 y 1=4x (x >0) 得，m =2，则 A 点坐标为 A (2,2)，将 A (2,2) 代入 y 2=kx −k 得，2k −k =2，解得 k =2，则一次函数解析式为 y =2x −2．(2) 0<x ≤2．(3) ∵ 一次函数 y 2=2x −2 与 x 轴的交点为 C (1,0)，与 y 轴的交点为 B (0,−2)，S △ABP =S △ACP +S △BPC ，∴12×2CP +12×2CP =4，解得 CP =2，则 P 点坐标为 (3,0)，(−1,0)．【解析】(2) ∵A (2,2)，∴ 当 0<x ≤2 时，y 1≥y 2．16. 【答案】 (1) 将点 E 的横坐标 1 代入直线 y =−13x +73 ⋯⋯① 中，得 y =2，∴E (1,2)， 将点 E (1,2) 代入双曲线 y =k x (x >0) 中，得 k =1×2=2，∴ 双曲线的解析式为 y =2x (x >0). ⋯⋯② 联立①②解得 {x =1,y =2（点 E 的纵横坐标）或 {x =6,y =13.∴F (6,13)． (2) 针对于直线 y =−13x +73， 令 x =0，则 y =73，∴B (0,73)，∴OB =73， 令 y =0，则 0=−13x +73，∴x =7，∴A (7,0)，∴OA =7，如图，连接 OE ，OF ， 由（1）知，E (1,2)，F (6,13)， ∴S △EOF =S △AOB −S △BOE −S △AOF=12×73×7−12×73×1−12×7×13=356.(3) 如备用图． 由（2）知，OA =7，OB =73，∴AB =√OA 2+OB 2=7√103， ∵ 点 P 在双曲线 y =2x (1<x <7) 上， ∴ 设 P (m,2m)(1<m <7)， 过点 M 作 MG ⊥y 轴于 G ，过点 N 作 NH ⊥x 轴于 H ，∵ 过点 P 作 x 轴，y 轴的垂线，分别交直线 l 于点 M ，N ， ∴MG =m ，NH =2m，∵NH ⊥x 轴，∴NH ∥y 轴， ∴△AHN ∽△AOB ， ∴AN AB =NH OB ，∴AN =ABOB ⋅NH ， 同理：△BGM ∽△BOA ，∴BM AB =MG OA ，∴BM =ABOA ⋅MG ，∴BM ⋅AN =AB OB ⋅MG ⋅AB OA ⋅NH=AB 2OA⋅OB ⋅NH ⋅MG =(7√103)27×73×2m ⋅m =203.17. 【答案】 (1) 将 x =4 代入 y 2=14x 得：y =1，所以 B (4,1)．所以 k =xy =4×1=4，所以反比例函数的表达式为 y =4x ．(2) 由正比例函数和反比例函数的对称性可知点 A 的横坐标为 −4．因为 y 1>y 2，所以反比例函数图象位于正比例函数图象上方，所以 x <−4 或 0<x <4．(3) 过点 A 作 AR ⊥y 轴于 R ，过点 P 作 PS ⊥y 轴于 S ，连接 PO ，设 AP 与 y 轴交于点 C ，如图，因为点 A 与点 B 关于原点对称，所以 OA =OB ，所以 S △MOP =S △BOP ，所以 S △PAB =2S △AOP ．y 1=4x 中，当 x =1 时，y =4， 所以 P (1,4)．设直线 AP 的函数关系式为 y =mx +n ，把点 A (−4,−1)，P (1,4) 代入 y =mx +n ，则 {−4m +n =−1,m +n =4,解得 m =1，n =3．故直线 AP 的函数关系式为 y =x +3，则点 C 的坐标 (0,3)，OC =3，所以 S △AOP =S △AOC +S △POC =12OC ⋅AR +12OC ⋅PS =12×3×4+12×3×1=152，所以 S △PAB =2S △AOP =15．18. 【答案】 (1) 将 A (−3,4) 代入 y =m x ，得 m =−3×4=−12，∴ 反比例函数的解析式为 y =−12x ；将 B (6,n ) 代入 y =−12x ，得 6n =−12，解得 n =−2，∴B (6,−2)，将 A (−3,4) 和 B (6,−2) 分别代入 y =kx +b (k ≠0)，得{−3k +b =46k +b =−2, 解得 {k =−23b =2, ∴ 所求的一次函数的解析式为 y =−23x +2； (2) 当 y =0 时，−23x +2=0， 解得：x =3，∴C (3,0)， ∴S △AOC =12×3×4=6，S △BOC =12×3×2=3，∴S △AOB =6+3=9；(3) 存在．过点 A 作 AP 1⊥x 轴于 P 1，AP 2⊥AC 交 x 轴于 P 2，如图，∴∠AP 1C =90∘，∴A 点坐标为 (−3,4)，∴P 1 点的坐标为 (−3,0)，∴∠P 2AC =90∘，∴∠P 2AP 1+∠P 1AC =90∘，而 ∠AP 2P 1+∠P 2AP 1=90∘，∴∠AP 2P 1=∠P 1AC ，∴Rt △AP 2P 1∽Rt △CAP 1，∴AP 1CP 1=P 1P 2AP 1，即 46=P 1P 24， ∴P 1P 2=83， ∴OP 2=3+83=173，∴P 2 点的坐标为 (−173,0)，∴ 满足条件的 P 点坐标为 (−3,0) 、 (−173,0)．19. 【答案】(1) 若将 A (2,2) 代入 y =kx ，所以 2k =2，所以 k =1，所以正比例函数的解析式为：y =x ． 将 A (2,2) 代入 y =m x ，所以 m =2×2=4，所以反比例函数的解析式为：y =4x ； (2) 因为直线 BC 由直线 OA 向上平移 3 个单位所得，所以 B (0,3)，所以直线 BC 的解析式为：y =x +3， 联立 {y =x +3,y =4x ,解得：{x =1,y =4, 或 {x =−4,y =−1,因为点 C 在第一象限，所以点 C 的坐标为 (1,4)，因为 OA ∥BC ，所以 S △ABC =S △BOC =12×3×1=32．(3) 设 D (m,4m )，因为 DC ⊥BC ，所以 k DC ⋅k BC =−1，因为 k DC =4m −4m−1=−4m ， 所以 −4m ×1=−1．所以 m =4，所以 D (4,1)．20. 【答案】 (1) ∵ 反比例函数 y =2x的图象和一次函数的图象交于 A ，B 两点，点 A 的横坐标是−1，点 B 的纵坐标是 −1，∴A (−1,−2)，B (−2,−1)，设一次函数的表达式为 y =kx +b ，把 A (−1,−2)，B (−2,−1) 代入，得：{−k +b =−2,−2k +b =−1, 解得 {k =−1,b =−3,∴ 这个一次函数的表达式为 y =−x −3．(2) ∵ 点 P (m,n ) 与点 Q 关于 x 轴对称，∴Q (m,−n )，∵ 点 P (m,n ) 在反比例函数图象上，∴mn =2，∵ 点 Q 恰好落在一次函数的图象上，∴−n =−m −3，即 n =m +3，∴m (m +3)=2，∴m 2+3m =2，∴m 2+n 2=m 2+(m +3)2=2m 2+6m +9=2(m 2+3m )+9=2×2+9=13.(3) 如图，过 M 作 MG ⊥x 轴于 G ，过 N 作 NH ⊥x 轴于 H ， ∵M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2) 是反比例函数 y =2x 在第一象限图象上的两点，∴S △MOG =S △NOH =12∣k ∣=1．∵x 2−x 1=2，y 1+y 2=3， ∴S △MON =S △MOG +S MNHG −S △NOH =S MNHG =12(y 1+y 2)(x 2−x 1)=3.。
反比函数图像上四种三角形的面积
反比函数图像上的四种三角形的面积函数是解决实际生活问题的重要模型，在近几年各省市的考题中，对于函数的考查比例占有相当重的份量，绝大部分是考查考生对其基本概念、图象性质的理解和应用，甚至成为中考压轴题的大类。
反比例函数的图像经常与三角形的面积联系在一起，下面就举例说明。
结论1、过反比例函数图像上一点，向x 轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，原点为顶点的三角形的面积等于反比例函数k 的绝对值的一半。
设P （a ，b ）是反比例函数y=xk（k ≠0）图像上的一点，过点P 作PA ⊥x轴，垂足为A ，三角形PAO 的面积是S ，则S k 2=结论2、过反比例函数图像上一点，向y 轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，原点为顶点的三角形的面积等于反比例函数k 的绝对值的一半。
设P （a ，b ）是反比例函数y=x k（k ≠0）图像上的一点，过点P 作PB ⊥y 轴，垂足为B ，三角形PBO 的面积是S ，则S k 2=。
结论3、正比例函数y=k 1x （k 1＞0）与反比例函数y=xk（k ＞0）的图像交于A 、kx 襄樊市第四十七中学 熊沙 图（1）2）B 两点，过A 点作AC ⊥x 轴，垂足是C ，三角形ABC 的面积设为S ，则S=|k|，与正比例函数的比例系数k 1无关。
证明：I因为，正比例函数y=k 1x （k 1＞0）与反比例函数y=x k（k ＞0）的图像交于A 、B 两点，所以，x k xk1=，所以，x=±111k kk k k =， 当x=11k kk 时，y= k 1x=1kk ，所以，点A 的坐标是（11k kk ，1kk ），当x =-11k kk 时，y= k 1x =-1kk ，所以，点B 的坐标是（-11k kk ，-1kk ），所以，OC 的长度是11k kk ，三角形ABC 的面积=三角形AOC 的面积+三角形BOC 的面积=21×OC ×AC+21×OC ×BD =21×11k kk ×1kk +21×11k kk ×|-1kk | =21k+21k=k 。
“反比例函数与相似三角形问题”的复习课课例分析
“反比例函数与相似三角形问题”的复习课课例分析作者：吴博思来源：《课程教育研究》2020年第52期【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2020）52-0085-02一、教学背景分析笔者吴博思老师在深圳市九年级数学教研会上为全市初中数学老师上了一节中考专题复习示范课。
反比例函数是在学生学习了一次函数、二次函数的基础上开始学习的，反比例函数的教学一方面丰富了用函数思想分析问题、解决问题的经验，也为学生构建数学模型奠定了基础，在中学数学体系中占有重要的地位。
作为九年级第一轮复习课，学生已经学过了《反比例函数》和《相似三角形》全章的知识，掌握了反比例函数的概念、图像、性质，初步具有对反比例函数的有关问题进行合作探究的意识与能力，会用反比例函数的知识解决一些简单问题。
为了与时下的中考热点相结合，为大家提供一节有价值的复习课，笔者所在的备课组全体老师全力以赴、共同研究，经过反复几轮的备课、上课、评课等磨课活动，最终成功地展示了一节“反比例函数与相似三角形”的高效复习课。
下面笔者谈谈这节课的教学设计与反思，希望给同行一点启发。
二、教学设计分析设计分析：初中阶段最重要的三个相似三角形数学模型分别是“A字型”、“一线三等角模型”、“双垂直模型”，也是学生思维重要的切入口。
通过三道热身训练，让学生捕捉到反比函数当中隐藏的相似三角形的模型，通过辅助线的添加能够进一步呈现模型。
设计的目的就是抓住学生的心灵，激发学生的思维，为接下来的问题引入埋下伏笔，突出反比例函数与相似三角形结合的教学意图，顺理成章引出本节课的课题——反比例函数与相似三角形问题。
本环节注重夯实知识点，对于反比例函数与相似三角形的综合应用采用启发式教学，通过课前热身的训练指导学生进行知识的自我整理、自我质疑，通过自我挑战，达到自我提高的目标。
本环节将由学生自行探索题目中所蕴含的相似三角形模型，一方面可培养学生的表达能力，另一方面又能培养及时归纳总结的好习惯。
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X反比例函数与三角形1、如图，11POA ∆、212P A A ∆都是等腰直角三角形1P 、2P 在函数4y x=(0x >)的图像上，斜边1OA 、12A A 、都在x 轴上，则点2A 的坐标__________2、如图所示，()()111222P x y P x y ，，，，……，()n n n P x y ，在函数()90y x x=>的图象上，11OP A ∆，212P A A ∆，323P A A ∆，…，1n n n P A A -∆，…都是等腰直角三角形，斜边1121n n OA A A A A -，，…，都在x 轴上，则12n y y y +++=…__________3、如图，直线y=x+4与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，与y= kx 相交于C 、D 两点，过C 点作CE ⊥y 轴，垂足为E 点，S △BDE = 32 ，则k=__________XXX4、如图，直线y=x+3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，与y= kx (x<0)的图像交于C 、D 两点，E 是点C 关于点A 的中心对称点，EF ⊥OA 于F ，若△AOD 的面积与△AEF 的面积之和为 72 时，则k=__________5、如图，反比例函数y=kx (k<0)与直线y=x+4交于C 、D 两点，S △OCD=2S △AOC ，则k=6、如图，直线y=-x+b 与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，与双曲线y= 2x 相交于C 、D两点，当S △BOC + S △AOD= S △COD 时，b=7、如图，直线y=-2x-2分别与两坐标轴交于A 、B 两点，C 为双曲线y= kx (x>0)上的一点，AC 交y 轴于点D ，且D 为AC 的中点，若△ABC 的面积为52 ，则k=8、如图，直线y=–43 x 与双曲线y= kx 交于A 、B 两点，C （5，0）为x 轴正半轴上一点，若∠ACB=90°，则k=9、将直线y x =向左平移1个单位长度后得到直线a ，如图，直线a 与反比例函数()10y x x=>的图象相交于A ，与x 轴相交于B ，则22OA OB -=DBAyxOC10、如图，平面直角坐标系中，OB 在x 轴上，∠ABO =90°，点A 的坐标为（1,2）。
将△AOB 绕点A 逆时针旋转90°，点O 的对应点C 恰好落在双曲线y =kx（x>0）上，则k 的值为11、如图，已知双曲线(0)ky k x=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为12、如图，已知双曲线)0k (xky ＞=经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝yxOBCA（第18题）13、如图，点A 在双曲线6y x上，且OA ＝4，过A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，OA 的垂直平分线交OC 于B ，则△ABC 的周长为14、如图，A 、B 是双曲线 y = k x(k >0) 上的点， A 、B 两点的横坐标分别是a 、2a ，线段AB 的延长线交x 轴于点C ，若S △AOC =6．则k=15、如图，在平面直角坐标系中，函数（，常数）的图象经过点，，（），过点作轴的垂线，垂足为．若的面积为2，则点－6OBxy A 的坐标为16、关于x 的一元二次方程()01222=+-+k x k x 的两根21,x x 满足02221=-x x ，双曲线xky 4=(x ＞0)经过Rt △OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 交于C （如图），则OBC △S = ．17、已知反比例函数y =kx的图像经过点A 3，1），点O 是坐标原点，将线段OA 绕点O 顺时针旋转30°得到线段OB ，则点B （是、否）在反比例函数的图像上.18、已知：等腰三角形OAB 在直角坐标系中的位置如图，点A 的坐标为()333-，点B 的坐标为()60-，． ①若将三角形OAB 沿x 轴向右平移a 个单位，此时点A 恰好落在反比例函数63y 的图像上，求a 的值；②若三角形OAB 绕点O 按逆时针方向旋转α度(090α<<)．当α=30o 时点B 恰好落在反比例函数ky x=的图像上，求k 的值．19、如图：等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A 在直线y =x 上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB 、AC 分别平行于x 轴、y 轴，若双曲线y= (k ≠0)与△ABC 有交点，则k 的取值围是20、如图，在第一象限，点P （2，3），M （α，2）是双曲线y=xk(k ≠0)上的两点，PA ⊥χ轴于点B ，MB ⊥χ轴于点B ，PA 与OM 交于点C ，则△OAC 的面积为E F P NB M A x y OEDCBAOxy21、双曲线xy x y 21==与在第一象限的图象如图所示，作一条平行于y 轴的直线分别交双两点，连接OA 、OB ，则△AOB 的面积为二、反比例函数与四边形1、已知点(1，3)在函数ky x=(0x >)的图像上，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，E 是对角线BD 的中点，函数ky x=(0x >)的图像经过A 、E 两点，若45ABD ∠=︒，则E 点的坐标 .2、如图，P 是函数12y x=(0x >)图象上一点，直线1y x =-+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，PM Ox ⊥轴于M ，交AB 于E ，PN Oy ⊥轴于N ，交AB 于F .则AF BE ⋅=3、已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)ky k x=>的图象与AC 边交于点E ．将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB上，则点F 的坐标 8y x=的图象过矩形OABC 的顶点B ，OA 、OC 分别在x 轴、y 轴的2:1=．设矩形OABC 的对角线交于点E ，则E点的坐标X5、如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OEFG 的顶点E 的坐标为（4，0），顶点G 的坐标为（2，0）。
将矩形OEFG 绕点O 逆时针旋转，使点F 落在y 轴的点N 处，得到矩形OMNP ，OM 与GF 交于点A 。
反比例函数y= kx 的图像经过点A ，则k=6、如图，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，直线y=- 12 -1经过A ，C 两点，过D 点的双曲线y= kx 恰好经过AC 的中点M ，则k=7、如图，点Ｐ为双曲线y= 8x (x>0)上一点，PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ，PA ，PB 分别交双曲线y= kx (x>0)于C 、D ，连CD ，若S △PCD =1，则k=的边BC 在x 轴上，E 为CD 的中点，点A ，E 在双曲线y= 4x 上，则S矩形ABCD =9、如图所示，已知菱形OABC ，点C 在x 轴上，直线y =x 经过点A ，菱形OABC .若反比例函数的图象经过点B ，则此反比例函数表达式为10、如图，反比例函数y ＝kx(x ＞0)的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别与AB 、BC 相交于点D 、E ．若四边形ODBE 的面积为6，则k 的值为11、如图，已知梯形ABCO 的底边AO 在x 轴上，BC ∥AO ，AB ⊥AO ，过点C 的双曲线k y x交OB 于D ，且OD ：DB=1:2，若△OBC 的面积等于3，则k 的值12、函数6y x =-与函数()40y x x=>的图象交于A 、B 两点，设点A 的坐标为()11,x y ，则边长分别为1x 、1y 的矩形面积和周长分别为13、如图，若形OABC 的顶点B 和形ADEF 的顶点E 都在函数 1y x=（0x >）的图象上，则点E 的坐标是14、如图，点A 、B 是双曲线3y x=上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若1S =阴影，则12S S +=xyABO1S2S15、如图，双曲线)0(＞kxky 经过矩形QABC的边BC的中点E，交AB于点D。
若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为16、反比例函数y=-5x的图像如图所示，P是图像上的任意点，过点P分别做两坐标轴的垂线，与坐标轴构成矩形OAPB，点D是对角线OP上的动点，连接DA、DB，则图中阴影部分的面积是17、已知点（1，3）在函数)0(>=x x ky 的图像上。
形ABCD 的边BC 在x 轴上，点E 是对角线BD 的中点，函数)0(>=x xky 的图像又经过A 、E 两点，则点E 的横坐标为__________18、如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，菱形OABC 的对角线OB 在x 轴上，顶点A在反比例函数y=的图像上，则菱形的面积为____________D O C A P B y x19、如图，点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）都在双曲线(0)ky x x=>上，且214x x -=，122y y -=；分别过点A 、B 向x 轴、y 轴作垂线段，垂足分别为C 、D 、E 、F ，AC 与BF 相交于G 点，四边形FOCG 的面积为2，五边形AEODB 的面积为14，那么双曲线的解析式为20、函数y= 4x 和y=1x 在第一象限的图像如图，点P 是y= 4x的图像上一动点，PC ⊥x 轴于点C ，交y=1x的图像于点B.给出如下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②PA 与PB 始终相等；③四边形PAOB 的面积大小不会发生变化；④CA= 13AP.其中所有正确结论的序号是_____________ 21、如图，矩形ABCD 的一边AD 在x 轴上，对角线AC 、BD 交于点E ，过B 点的双曲线y= k x(x>0)恰好经过点E ，①若k=4，则矩形ABCD 的面积为 ②若AB=4，AD=2，则k 的值是实用文档y=k 2xy=k 1xP DyxOCBAEO XYCBA D 22、两个反比例函数1k y x =和()2120ky k k x=>>在第一象限的图象如图所示，动点P 在1k y x =的图象上，PC x ⊥轴于点C ，交2k y x =的图象于点A ，PD y ⊥轴于点D ，交2ky x =的图象于点B ．⑴求证：四边形PAOB 的面积是定值； ⑵当23PA PC =时，求DBBP的值；。