青岛版九年级数学下反比例函数(3课时)_
青岛版九年级数学下册第五章《反比例函数》课件
个分支分别在第一、
三象限内。y随x的增
大而减小
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2. 当k<0时, 图象的两 个分支分别在第二、 四象限内。y随x的增 大而增大
y
y
=
6 x
0
x
y
0
x
y=
6 x
k
（1）如果反比例函数y= 那么函数的图象应在（
x）的图象过点（3，-4），
A.第一、三象限 B.第一、第二象限
C.第二、四象限 D.第三、四象限
y
6
5 4
y
=
6 x
3
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
-1
-2
-3
-4 -5
-6
-1 1 2 3 4 5 6 …
-6 6 3 2 1.5 1.2 1 …
6 -6 -3 -2 -1.5-1.2 -1 …
y
6
y=
6 x
5 4
3
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
第5章 对函数的再探索 zxxk §5.2 反比例函数（2） ——反比例函数的性质
复习回顾
1．什么是反比例函数？
一般地，形如
y
=
k —x
( k是常数, k = 0 ) 的函数
叫做反比例函数.
2．反比例函数的定义中需要注意什么？ （1）k 是非零常数； （2）自变量 x 是 分母， （3）xy = k
3．反比例函数的图象是什么？有些什么性质？
w你还记得一次函数的图象与性质吗?
• 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条 直线,称直线y=kx+b.
青岛版九年级下册数学《反比例函数》PPT教学课件
以上三个问题的函数解析式为：
v 800 t
y 10 x
16 800 n
根据上述三个解析式回答： 1.你能说出它们的共同特征吗？ 2.你能用一个一般形式表示出来吗？
一般地，形如 y k （k是常数,且k≠ 0）的函数, x
叫做反比例函数.
∴k=2
x
∴ y2
x
（2）当x=a时，y=2a，
当2a=3a+2时，解得a=4，
检验a=4是原分式方程的解，
∴当a=4时，点B在反比例函数图象上；
当a≠4 时，点B不在反比例函数图象上．
反比例函数的图象和性质
1.形状 反比例函数的图象是由两支曲线组成的， 因此称反比例函数的图象为双曲线.
2.位置 当k>0时,两支曲线分别位于第一、三象限内;在 每一个象限内,y随x的增大而减小; 当k<0时,两支曲线分别位于第二、四象限内,y随 x的增大而增大.
y x
6y
y6
5
x
4
3
2
2
1
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5
-6
-6
作反比例函数图象时应注意哪些问题？
1.列表时,选取的自变量的值,既要易于计算,又要便于描点, 尽量多取一些数值(取互为相反数的一对一对的数),多描一些点, 这样既可以方便连线，又可以使图象精确． 2.描点时要严格按照表中所列的对应值描点，绝对不能把点的 位置描错． 3.一定要养成按自变量从小到大的顺序依次画线,连线时必须用 光滑的曲线连接各点,不能用折线连接． 4.图象是延伸的，注意不要画的有明确端点． 5.曲线的发展趋势只能靠近坐标轴,但不能和坐标轴相交.
青岛版(新)数学九年级下册 5.2反比例函数
青岛版（新）数学九年级下册 5.2 反比例函数一、概念介绍在数学中，反比例函数是指一种特殊的函数关系，表示为y = k/x，其中k为常数。
当x增大时，y的值会减小；当x减小时，y的值会增大。
其特点是x和y之间的积始终保持不变。
反比例函数也可以表示为y = kx^(-1)，可以看出，反比例函数是一个一次函数的倒数。
二、图像特点1.角平分线：反比例函数图像上的任意两点和原点连线的夹角都相等。
2.对称中心：反比例函数的图像关于坐标轴的交点与原点连线的垂直平分线交于一点，该点称为对称中心。
3.渐近线：对于反比例函数，当x趋近于无穷大时，y趋近于0；当x趋近于0时，y趋近于无穷大。
因此，反比例函数的图像有两条渐近线，即x轴和y轴。
三、性质和运算1.性质：–反比例函数的定义域是除了0以外的实数集，值域也是除了0以外的实数集。
–反比例函数的图像在x轴和y轴上有渐近线。
–反比例函数的图像关于对称中心对称。
2.运算：–反比例函数的乘法：两个反比例函数相乘仍然是一个反比例函数。
–函数与常数的乘法：反比例函数与一个常数相乘，仍然是一个反比例函数。
–函数的加法：两个反比例函数相加得到的是一个通式为y = k(x+a)(x+b)的二次函数。
四、解题方法反比例函数常常出现在数学习题和实际问题中，解决这类问题的方法一般可以分为以下几步：1.将问题翻译为数学语言，使用变量表示未知量。
2.根据问题的要求，建立反比例函数的数学模型，列出方程。
3.解方程，求解未知量。
4.检验解的合理性，回答问题。
举个例子：例题：一辆车以每小时60公里的速度行驶，行驶时间为6小时，求该车行驶的距离。
解答：根据题意，我们可以建立反比例函数的数学模型：距离 = 速度× 时间。
设x为时间（小时），y为距离（公里），则反比例函数为 y = 60/x。
代入题中已知条件，可以得到方程 y = 60/6，解方程得到 y = 10。
因此，该车行驶的距离为10公里。
青岛版数学九年级下册5.2《反比例函数》教案
《反比例函数》教案第一课时教学目标知识与技能：1．从现实情境和已有的知识、经验出发、讨论两个变量之间的相依关系，加深对函数、函数概念的理解；2．使学生理解并掌握反比例函数的概念；3．能判断一个函数是否为反比例函数，并用待定系数法求函数解析式．过程与方法：1．经历对两个变量之间相依关系的讨论，培养学生的辩证唯物主义观点；2．经历抽象反比例函数概念的过程，发展学生的抽象思维能力，提高数学化意识；3．经历在实际问题中探索数量关系的过程，养成用数学思维方式解决实际问题的习惯，体会函数的建模思想．情感、态度与价值观：1．经历抽象反比例概念的过程，体会数学学习的重要性，提高学生学习数学的兴趣；2．通过分组讨论，培养学生合作交流意识和探索精神．教学重点理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式．教学难点理解反比例函数的概念．教学流程一、情境引入复习：什么是函数？问题：京沪线铁路全程为1463km，某次列车的平均速度v（单位：km/h）随此次列车的全程运行时间t（单位：h）的变化而变化．你能写出关于t的解析式吗？1463vt引出课题：今天，我们就来研究这种形式的函数．二、探究归纳下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请直接写出解析式．（1）某住宅小区要种植一块面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长y（单位：m）随宽x（单位：m）的变化而变化．（2）已知北京市的总面积为1.68×104km2，人均占有面积S（单位：km2/人）随全市总人口n（单位：人）的变化而变化．1000y x=，41.6810S n ⨯= 归纳概念：一般地，形如k y x=（k 为常数，且k ≠0）的函数，叫做反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数.强调：自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数．例题指引：例1．用函数解析式表示下列问题中变量间的对应关系：（1）一个游泳池的容积为2000m 3，游泳池注满水所用时间t （单位：h ）随注水速度v （单位：m 3/h ）的变化而变化；（2）某长方体的体积为1000cm 3，长方体的高h （单位：cm ）随底面积S （单位：cm 2）的变化而变化；（3）一个物体重100N ，物体对地面的压强p （单位：Pa ）随物体与地面的接触面积S （单位：m 2）的变化而变化．例2．已知y 是x 的反比例函数，并且当x ＝2时，y ＝-3，求这个反比例函数的表达式．三、应用提高1．下列哪些关系式中的y 是x 的反比例函数？ 4y x =，3y x =，2y x =-，61y x =+，21y x =-，21y x=，123xy =. 2．已知y 与x 2成反比例，并且当x ＝3时，y ＝4．（1）写出y 关于x 的函数解析式；（2）当x ＝1.5时，求y 的值；（3）当 y ＝6时，求x 的值.四、体验收获说一说你的收获．1．今天我们学习了哪些知识？2．我们是如何形成反比例函数概念的？3．如何根据已知条件确定反比例函数的解析式？五、课内检测1．在下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（ ）A ．85y x =+B ．37y x =+C ．5xy =D ．22y x= 2．已知函数7m y x -=是正比例函数，则m ＝ .3．已知函数75m y x -=是反比例函数，则m ＝ . 4．已知y 是x 的反比例函数，并且当x ＝3时，y ＝－8.。
青岛版数学九年级下册《反比例图象和性质》教学设计1
青岛版数学九年级下册《反比例图象和性质》教学设计1一. 教材分析《反比例函数图象和性质》是青岛版数学九年级下册的教学内容。
本节内容是在学生已经掌握了比例函数、一次函数和二次函数的图象和性质的基础上进行教学的。
通过学习反比例函数的图象和性质，使学生能够进一步理解函数的概念，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经具备了一定的函数知识，对比例函数、一次函数和二次函数的图象和性质有一定的了解。
但学生的数学基础和学习能力参差不齐，对于一些抽象的概念和图象的理解可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的个体差异，引导学生通过观察、操作、思考、交流和归纳等活动，理解和掌握反比例函数的图象和性质。
三. 教学目标1.让学生理解反比例函数的图象和性质，提高学生的数学素养。
2.培养学生观察、操作、思考、交流和归纳的能力，提高学生的数学思维能力。
3.通过解决实际问题，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.反比例函数图象的特点2.反比例函数性质的理解和运用五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过观察、操作、思考、交流和归纳等活动，理解和掌握反比例函数的图象和性质。
2.利用多媒体辅助教学，通过动态演示和实例分析，使学生更好地理解反比例函数的图象和性质。
3.采用分层教学法，关注学生的个体差异，满足不同学生的学习需求。
六. 教学准备1.多媒体教学设备2.反比例函数图象和性质的PPT课件3.反比例函数的实际问题案例4.练习题和测试题七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习比例函数、一次函数和二次函数的图象和性质，引导学生进入反比例函数的学习。
2.呈现（10分钟）利用PPT课件，展示反比例函数的图象和性质，让学生通过观察和思考，理解反比例函数的图象和性质。
3.操练（10分钟）让学生通过实际问题，运用反比例函数的性质解决问题，巩固所学知识。
4.巩固（10分钟）通过练习题，检验学生对反比例函数图象和性质的理解和掌握程度。
青岛版数学九年级下册《反比例图象和性质》教学设计
青岛版数学九年级下册《反比例图象和性质》教学设计一. 教材分析《反比例函数的图象和性质》是青岛版数学九年级下册第五章第三节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了比例函数、一次函数、二次函数的图象和性质的基础上进行学习的。
通过本节课的学习，使学生了解反比例函数的图象和性质，能识别反比例函数的图象，理解反比例函数的增减性、对称性、渐近线等性质，为以后的反比例函数综合应用打下基础。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经接触过比例函数、一次函数、二次函数的图象和性质，对于函数的图象和性质有一定的了解。
但反比例函数的图象和性质与之前学习的函数有很大的不同，学生可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，要注重引导学生通过观察、分析、归纳等方法，自主探索反比例函数的图象和性质。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生了解反比例函数的图象和性质，能识别反比例函数的图象，理解反比例函数的增减性、对称性、渐近线等性质。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生的动手操作能力、观察分析能力以及抽象概括能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、积极向上的学习精神。
四. 教学重难点1.教学重点：反比例函数的图象和性质。
2.教学难点：反比例函数的渐近线和对称性。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生通过观察、分析、归纳等方法，自主探索反比例函数的图象和性质。
六. 教学准备1.教学课件：制作反比例函数的图象和性质的课件，用于辅助教学。
2.教学素材：准备一些反比例函数的图象和性质的案例，用于讲解和分析。
3.学生活动材料：为学生准备一些反比例函数的图象和性质的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些实际生活中的反比例关系，如速度与时间的关系、路程与速度的关系等，引导学生了解反比例函数的实际应用，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）展示反比例函数的图象和性质的课件，引导学生观察反比例函数的图象，分析反比例函数的增减性、对称性、渐近线等性质。
青岛版数学九年级下册《反比例函数》说课稿
青岛版数学九年级下册《反比例函数》说课稿一. 教材分析青岛版数学九年级下册《反比例函数》是中学数学的重要内容，它为学生提供了研究变量之间关系的一种新的数学工具。
本节课的内容主要包括反比例函数的定义、图像和性质，以及反比例函数在实际问题中的应用。
通过学习本节课，学生能够理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的图像和性质，能够运用反比例函数解决一些实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数的基本概念和一次函数、二次函数的性质，对于函数的思想有一定的理解。
但是，反比例函数的概念和性质与一次函数、二次函数有很大的不同，学生可能会感到难以理解。
因此，在教学过程中，我需要充分考虑学生的认知水平，采用适当的教学方法，帮助学生理解和掌握反比例函数。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解反比例函数的定义，掌握反比例函数的图像和性质，能够运用反比例函数解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：学生通过观察、实验、探究等活动，培养自己的观察能力、实验能力和探究能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂活动，克服学习中的困难，增强自己的自信心，培养对数学的兴趣。
四. 说教学重难点1.教学重点：反比例函数的定义，反比例函数的图像和性质。
2.教学难点：反比例函数概念的理解，反比例函数图像的画法，反比例函数性质的证明。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用讲授法、引导法、探究法等教学方法，引导学生通过观察、实验、探究等活动，理解和掌握反比例函数。
同时，我还将利用多媒体教学手段，如PPT、几何画板等，为学生提供丰富的教学资源，帮助学生更好地理解和掌握反比例函数。
六. 说教学过程1.导入：通过复习一次函数、二次函数的性质，引导学生思考函数的另一种形式，引出反比例函数的概念。
2.新课讲解：讲解反比例函数的定义，通过示例让学生理解反比例函数的概念。
然后，引导学生观察反比例函数的图像，总结反比例函数的性质。
青岛版初中数学九年级下册《反比例函数(3)》导学案
青岛版初中数学 重点知识精选
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TB:小初高题库
青岛版初中数学
5.2 反比例函数 第 3 课时
【学习目标】会用反比例函数的知识解决简单的面积问题．
【学习重点】面积问题
【学习过程】
一．自主预习：
任务一：认真学习 21 的例 3 完成下列问题：
x (1)求 k 和 b 的值. (2)求△OAB 的面积.
二、自主拓展：完成课本 22 页的挑战自我．
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三、自主总结：
我学会了
我不明白的地方
四、自主评价：（每题 2 分，共 10 分）
1.如图，四边形 OABC 是矩形，ADEF 是正方形，点 A、D 在 x 轴的正半轴
可以让他们更理性地看待人生
TB:小初高题库
垂线，垂足分别为 M、N，延长线段 AB 交 x 轴于点 C，若 OM=MN=NC,△
AOC 的面积为 6，则 k 的值为
.
【课后反思】 （教师寄语：例如：只有不断反思才能不断进步或没有反思就不会有提高等）
TB:小初高题库
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相信自己，就能走向成功的第一步 教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。数学思维
MAO 的面积为 2，则 k 的值为
.
4.如图，菱形 OABC 的顶点 O 是原点，顶点 B 在 y 轴上，菱形的两条对角线的
长分别是
6和
4.反
比例函数
k y=
(x<0)的 图 象
经过顶点
C， 则k的值x源自为.TB:小初高题库
青岛版初中数学
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5
-2
做一做(三)
2 1.如图,点P是反比例函数 y 图象上 x 的一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积
为 1 .
y
P (m,n)
o
D
x
k 9.如图, P是反比例函数y 图像上的一点,由P分别 x 向x轴, y轴引垂线,阴影部分面积为3, 则这个反比例 函数的解析式是 ____.
解:由性质(2)可得
y
A.S1>S2 B.S1<S2 C.S1 = S2 D.S1和S2的大小关系不能确定.
由上述性质1可知选C
o
S2
S1
A
B
x
C
D
1 8.如图, 在y ( x 0)的图像上有三点A, B, C , x 经过三点分别向x轴引垂线, 交x轴于A1 , B1 , C1三点, 边结OA, OB , OC , 记OAA1 , OBB1 , OCC1的
y
A.S = 1 C.S = 2
B.1<S<2 D.S>2
o
A
解:由上述性质(3)可知, S△ABC = 2|k| = 2
x
B
C
6.(武汉 市2000年) 1 如图:A、C是函数y x
的图象上任意两点，
过 A作x轴 的垂 线 垂足为 过 , B. C作y轴 的垂线 , 垂足为 记 ΔAOB的面积为S1 , D. Rt RtΔOC D的面积为 S2 ,则 C ___.
A 面积分别为S1 , S2 , S3 , 则有 __ . A.S1 = S2 = S3 B. S1 < S2 < S3 C. S3 < S1 < S2 D. S1 > S2 >S3
解:由性质(1)得
1 1 1 1 S AOA1 | k | , S BOB1 | k | , 2 2 2 2 1 1 S OOC1 | k | ,即S1 S 2 S3 , 故选A. 2 2
S矩形=|xy|=|k|
A
x
1 |xy|= 1 |k| S三角形= 2 2
k 设P(m, n )是双曲线 (k 0)上任意一点有 : y , x (1)过P作x轴的垂线 垂足为A, 则 ,
SOAP
面积性质 1 1 1 OA AP | m | | n | | k | （一）
8 y , 解 : (1) x y x 2.
x 4, x 2, 解得 或 y 2; y 4.
y A
N M O
B
x
A(2,4), B(4,2).
5.( 2002 年成都) k 如图 : RtABO的顶点A是双曲线y 与直线y －x ( k 1) x 3 在第二象限的交点, AB x轴于点B, 且SABO , 2 (1)求这两个函数的解析式; ( 2)求直线与双曲线的两个交点A、、 的坐标和AOC的面积.
3.如图,点P是反比例函数图象上的一
点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴 影部分面积为3,则这个反比例函数的
3 关系式是 y x .
y
p
N
o x
M
6. 如图点Ｐ 是反比例函数y= 4/x 的图象上的任意 点，PA垂直于x轴，设三角形AOP的面积为S，则 2 Ｓ＝_____
4
2
P
-5
O
A
y
A S1 B
C
o
S2 S3 A1 B1 C1
x
1．如图所示,一个反比例函数的图象在第二象限内,点A 是图象上的任意一点,AM⊥x轴于
M,O是原点,若S△AOM=3,求该反比 例函数的解析式, 并写出自变量的取值范围.
8 2.已知如图, 反比例函数y 与一次函数y x 2的图像 x 交于A, B两点.求(1) A, B两点的坐标; (2)AOB的面积.
y A
D B O
x C
1 | AP AP | 1 | 2m | | 2n | 2 | k | (如图所示). S ΔPA P 2 2
y
面积性质（三）
P(m,n)
x
P/ A
如图,点P是x轴上的一个动点,过点P作x 轴的垂线PQ交双曲线于点Q,连结OQ, 当 点P沿x轴正半方向运动时,Rt△QOP面积 ( ). A.逐渐增大 B.逐渐减小 C.保持不变 D.无法确定
第五章《反比例函数 》 第3课时
想一想
S1
k y x
P
S2 R
Q
S3
S1、S2有什么关系？为什么？
任取一点向两坐标轴作垂线得到的 矩形面积是一个定值，为｜k |.
想一想
k y x
P
S1 S3 S2
Q
S1、S2等于多少?
y
面积不变性：
P (x,y) A
x o y P(x,y)
B o
2 2 2
y P(m,n) y P(m,n) o A x
o
A
x
( 2)过P分别作x轴, y轴的垂线 垂足分别为 , B, , A 则S矩形OAPB OA AP | m | | n || k | (如图所示 ).
面积性质（二）
y
y
B
P(m,n)
A
B
P(m,n) A
o
x
o
x
(3)设P(m, n)关于原点的对称点是P (m,n), 过P作x轴的垂线 与过P作y轴的垂线交于A点, 则
S矩形APCO | k |,| k | 3.
又图像在二,四象限,
P
y
C
k 3
3 解析式为y . x
A
o x
1 7.如图 A ,B是函数y 的图像上关 , 于原点O对称 x 的任意两点A C平行于y , BC平行于x ,ΔA BC的 轴 轴 面积为 S ,则 C ___.