第2讲函数与方程思想、数形结合思想1

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最新人教版高考数学复习第三篇考场技巧第2讲思想方法

第2讲思想方法(一) 函数与方程一、函数与方程思想在不等式中的应用【典例1】已知函数f(x)＝ax 2＋x ＋2－4a(a ≠0)，且对任意的x ∈R ，f(x)≥2x 恒成立． (1)若g(x)＝f （x ）x，x>0，求函数g(x)的最小值； (2)若对任意的x ∈[－1，1]，不等式f(x ＋t)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2 恒成立，求实数t 的取值范围．【解析】(1)因为对任意的x ∈R ，f(x)≥2x 恒成立，所以ax 2－x ＋2－4a ≥0对x ∈R 恒成立，所以⎩⎨⎧a>0，Δ＝1－4a （2－4a ）≤0，即⎩⎨⎧a>0，（4a －1）2≤0，解得a ＝14 ，所以f(x)＝14 x 2＋x ＋1；因为g(x)＝f （x ）x ＝14 x ＋1x＋1，x>0，又14 x ＋1x≥2x 4·1x ＝1(当且仅当x 4 ＝1x，即x ＝2时取等号)，所以g(x)min ＝1＋1＝2.(2)由f(x ＋t)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2 得14 (x ＋t)2＋(x ＋t)＋1<14 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2 2 ＋x 2 ＋1，即3x 2＋(8t ＋8)x ＋4t 2＋16t<0，所以对任意的x ∈[－1，1]，不等式3x 2＋(8t ＋8)x ＋4t 2＋16t<0恒成立．令m(x)＝3x 2＋(8t ＋8)x ＋4t 2＋16t ，则⎩⎨⎧m （－1）＝4t 2＋8t －5<0，m （1）＝4t 2＋24t ＋11<0，解得－52 <t<－12 ，所以实数t 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－12 .函数与不等式的相互转化，把不等式问题转化为函数问题，借助函数的图象和性质可解决相关的问题．常涉及不等式恒成立、比较大小问题等，一般利用函数思想构造新函数，从而研究函数性质解决问题．已知函数g(x)＝ax 2－2ax ＋1＋b(a>0，b ∈R )在区间[2，4]上有最小值1和最大值9，设f(x)＝g （x ）x. (1)求a ，b 的值．(2)若不等式f(3x )－k ·3x ≥0在x ∈[－1，1]上有解，求实数k 的取值范围．【解析】(1)函数g(x)＝ax 2－2ax ＋1＋b(a>0，b ∈R ) 则对称轴x ＝－－2a2a＝1，故函数g(x)在[2，4]上为单调增函数，所以当 x ＝2时，g(x)min ＝1，当 x ＝4时，g(x)max ＝9，所以⎩⎨⎧b ＋1＝1，8a ＋1＋b ＝9，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝0，故a 的值为1，b 的值为0.(2)由(1)得g(x)＝x 2－2x ＋1，f(x)＝g （x ）x ＝x ＋1x－2，因为不等式f(3x )－k ·3x ≥0在x ∈[－1，1]上有解，所以3x＋13x －2－k ·3x ≥0在x ∈[－1，1]上有解，设t ＝13x ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3 ，所以t 2－2t ＋1≥k 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3 上有解，即(t 2－2t ＋1)max ≥k ，设h(t)＝t 2－2t ＋1，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3 ，对称轴t ＝1，则当t ＝3时，h(t)max ＝h(3)＝9－6＋1＝4，所以实数k 的取值范围是(－∞，4]. 二、函数与方程思想在数列的应用【典例2】(1)(2021·银川二模)已知函数f(x)，对任意实数m ，n 都有f(m ＋n)＝f(m)＋f(n)－35，已知f(1)＝31，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n)(n ∈N *)的最大值等于( ) A ．133 B ．135 C ．136 D ．138【解析】选C.因为对任意实数m ，n 都有f(m ＋n)＝f(m)＋f(n)－35，所以f(n ＋1)＝f(n)＋f(1)－35＝f(n)－4，所以f(n ＋1)－f(n)＝－4，故{f (n)}是以31为首项，以－4为公差的等差数列，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n)＝31n ＋n （n －1）2 ×(－4)＝－2n 2＋33n ，对称轴为n ＝334，因为n ∈N *，所以n ＝8时，f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n)取得最大值为136.(2)(2021·岳阳一模)已知数列{a n }满足a 1＝1，且点(a n ，a n ＋1－2n )在函数f(x)＝3x 的图象上．①求证：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n ＋1 是等比数列，并求{a n }的通项公式：②若b n ＝a n ＋1a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：S n >3n ＋23 .【解析】①由点(a n ，a n ＋1－2n )在函数f(x)＝3x 的图象上，可得a n ＋1＝2n ＋3a n ，所以a n ＋12n ＝3a n 2n ＋1，即a n ＋12n ＋1 ＝32 ·a n 2n ＋12 ，也即a n ＋12n ＋1 ＋1＝32 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n 2n ＋1 ，由a 1＝1，所以a 121 ＋1＝32，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n ＋1 是首项和公比均为32 的等比数列，则a n 2n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32 n，所以a n ＝3n －2n .②b n ＝a n ＋1a n ＝3n ＋1－2n ＋13n －2n ＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1 ＝3＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1 >3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23 n ，所以，S n >3n ＋23 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23 2 ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23 n ＝3n ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2n 3n 1－23＝3n ＋2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫23 n≥3n ＋2－43 ＝3n ＋23 .数列是定义在正整数集上的特殊函数，等差数列、等比数列的通项公式、前n 项和公式都具有函数关系，都可以看成关于n 的函数，在解等差数列、等比数列问题时，有意识地寻找其函数关系，从而用函数思想或函数方法研究，解决问题，不仅能获得简便的解法，而且能促进科学思维的培养，提高发散思维的水平．1．设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：a 3<0，且S 5S 6＋16＝0，则S 11的最小值为________．【解析】由题意，a 3<0⇒a 1＋2d<0.S 5S 6＋16＝0⇒(5a 1＋10d)(6a 1＋15d)＋16＝0. 设a 1＋5d ＝x.则(5a 1＋10d)(6a 1＋15d)＋16＝0 ⇔15(x －3d)(2x －5d)＋16＝0 ⇔225d 2－165xd ＋30x 2＋16＝0. 因为关于d 的方程有实数解，故Δ≥0. 即(－165x)2－4×225×(30x 2＋16)≥0，解得x ≥8或x ≤－8(舍去). 故S 11＝11(a 1＋5d)＝11x ≥88.此时a 1＝－203 ，d ＝4415 ，满足a 1＋2d<0.即S 11的最小值为88. 答案：882．已知f(x)＝x 2－3x ，数列{a n }前n 项和为S n ，且S n ＝f(n).(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }满足b n ＝a n4×3n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，且对于任意n ∈N *，总存在x ∈[4，6]，使得T n >mf(x)成立，求实数m 的取值范围．【解析】(1)因为f(x)＝x 2－3x ，S n ＝f(n)，所以S n ＝n 2－3n ，当n ≥2时，S n －1＝(n －1)2－3(n －1)，a n ＝S n －S n －1＝2n －4，当n ＝1时，a 1＝S 1＝－2，也满足a n ＝2n －4，故a n ＝2n －4. (2)因为a n ＝2n －4，b n ＝a n4×3n，所以b n ＝2n －44×3n ＝n －22×3n ，b 1＝－16 <0，b 2＝0，当n ≥3时，b n >0，故T 1＝T 2，为T n 的最小值，T n 的最小值为－16 ，因为对于任意n ∈N *，总存在x ∈[4，6]，使得T n >mf(x)成立，所以－16>[mf(x)]min ，因为x ∈[4，6]，f(x)＝x 2－3x ＝⎝⎛⎭⎪⎫x －32 2 －94 ，所以f(x)∈[4，18]，当m ≥0时，显然－16 >[mf(x)]min 不成立；当m<0时，－16 >[mf(x)]min ，即－16 >18m ，解得m<－1108，故实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1108 .三、函数与方程思想在三角函数、平面向量中的应用【典例3】(1)已知△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝45°，BC ＝12，点M 是线段BC 上靠近点B 的三等分点，点N 在线段AM 上，则AN → ·CN → 的最小值为( ) A ．－365 B ．－725 C ．－185 D ．－545【解析】选C.由∠ABC ＝∠ACB ＝45°，可知∠BAC ＝90°.以点A 为坐标原点，AB ，AC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图所示．则A(0，0)，M(4 2 ，2 2 )，C(0，6 2 )，设N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12x ，其中0≤x ≤4 2 ，则AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12x ，CN → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12x －62 ，故AN → ·CN → ＝x 2＋12 x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －62 ＝54 x 2－3 2 x.令f(x)＝54 x 2－3 2 x ，0≤x ≤4 2 ，则当x ＝625 时，函数f(x)有最小值，且f(x)min ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫625 ＝－185 ，即AN → ·CN → 的最小值为－185.(2)(2021·合肥模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a( 3 cos C ＋sin C)＝ 3 b. ①求A ；②求cos 2B ＋cos 2C 的最小值．【解析】①因为a( 3 cosC ＋sin C)＝ 3 b ，所以sin A( 3 cos C ＋sin C)＝ 3 sin B. 即sin A( 3 cos C ＋sin C)＝ 3 sin (A ＋C)，所以 3 sin A cos C ＋sin A sin C ＝ 3 sin A cos C ＋ 3 cos A sin C ，得sin A sin C ＝ 3 cos A sin C ，因为0<C<π，所以sin C>0，得sin A ＝ 3 cos A.又因为0<A<π，所以tan A ＝ 3 ，所以A ＝π3. ②因为A ＝π3 ，所以B ＋C ＝2π3，因为cos 2B ＋cos 2C ＝1＋cos2B 2 ＋1＋cos 2C2＝1＋12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫4π3－2B ＝1＋12 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π3 . 因为0<B<2π3 ，所以π3 <2B ＋π3 <5π3，得－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π3 <12 .所以12 ≤1＋12 cos (2B ＋π3 )<54 .所以当A ＝B ＝C ＝π3 时，cos 2B ＋cos 2C 最小，最小值为12.1．含参数的三角函数方程问题的两种处理思路(1)分离参数构造函数，将方程有解转化为求函数的值域；(2)换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决． 2．解决平面向量问题的常用方法对平面向量的模进行平方处理，把模的问题转化为数量积问题，再利用函数与方程思想进行分析与处理．1．(2021·南通二模)如图，点C 在半径为2的AB ︵上运动，∠AOB ＝π3 .若OC → ＝mOA→ ＋nOB → ，则m ＋n 的最大值为( )A ．1B ． 2C ．233D ． 3【解析】选C.以O 为原点，OA → 的方向为x 轴的正方向，建立平面直角坐标系，则有OA → ＝(2，0)，OB → ＝(1， 3 ). 设∠AOC ＝α，则OC → ＝(2cos α，2sin α). 由题意可知⎩⎨⎧2m ＋n ＝2cos α，3n ＝2sin α所以m ＋n ＝cos α＋33 sin α＝233 sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3 .因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 ，所以α＋π3 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3 ，所以当α＋π3 ＝π2 ，即α＝π6 时，m ＋n 最大，最大值为233. 2．(2021·北京高考)已知在△ABC 中，c ＝2b cos B ，C ＝2π3. (1)求B 的大小；(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一确定，并求出BC 边上的中线的长度．①c ＝ 2 b ；②周长为4＋2 3 ； ③面积为S △ABC ＝334.【解析】(Ⅰ)由已知及正弦定理，sin C ＝2sin B cos B ＝sin 2B ，所以C ＝2B(舍去)或C ＋2B ＝π，所以B ＝π6； (Ⅱ)由(Ⅰ)及已知，c ＝ 3 b ，所以不能选①. 选②，设BC ＝AC ＝2x ，则AB ＝2 3 x ，故周长为(4＋2 3 )x ＝4＋2 3 ，解得x ＝1，即BC ＝AC ＝2，AB ＝2 3 ，设BC 中点为D ，则在△ABD 中，由余弦定理，得cos B ＝AB 2＋BD 2－AD 22×AB ×BD ＝12＋1－AD 243 ＝32 ，解得AD ＝7 .选③，设BC ＝AC ＝2x ，则AB ＝2 3 x ，故S △ABC ＝12 ×(2x)×(2x)×sin 120°＝ 3 x 2＝334，解得x ＝32 ，即BC ＝AC ＝3 ，AB ＝3，设BC 中点为D ，则在△ABD 中，由余弦定理，得cos B ＝AB 2＋BD 2－AD 22×AB ×BD ＝9＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－AD 233 ＝32 ，解得AD ＝212.四、函数与方程思想在解析几何中的应用【典例4】(2021·郑州二模)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，点D ⎝⎛⎭⎪⎫1，32 是椭圆C 上一点，离心率为12 . (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 过椭圆右焦点F 2且与椭圆交于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 与直线x ＝4分别交于M ，N.①求证：M ，N 两点的纵坐标之积为定值； ②求△AMN 面积的最小值．【解析】(1)由题意，椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)过点D ⎝⎛⎭⎪⎫1，32 ，且离心率为12 ，可得⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝12，1a 2＋94b 2＝1，a 2－b 2＝c 2，解得a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆C 的方程为 x 24 ＋y23 ＝1.(2)①设直线l 的方程为x ＝my ＋1，联立方程组⎩⎨⎧x ＝my ＋1，x 24＋y23＝1，整理得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，可得y 1＋y 2＝－6m 3 m 2＋4 ，y 1y 2＝－93m 2＋4，直线AP 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，令x ＝4，可得y M ＝6y 1x 1＋2 ，同理可得y N ＝6y 2x 2＋2，所以y M y N ＝36y 1y 2（x 1＋2）（x 2＋2）＝36y 1y 2（my 1＋3）（my 2＋3）＝36y 1y 2m 2y 1y 2＋3m （y 1＋y 2）＋9 ＝36·－93m 2＋4 m 2·－93m 2＋4＋3m ·－6 m3m 2＋4＋9＝－9. ②由S △AMN ＝12 ·6·|y M －y N |＝3⎪⎪⎪⎪⎪⎪y M ＋9y M ≥3·2y M ·9y M＝18，当且仅当y M ＝3，y N ＝－3或y M ＝－3，y N ＝3时等号成立，所以△AMN 面积的最小值为18.解决解析几何中的范围与最值问题的关键是抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助函数的性质解决问题，这是解决面积、线段长、最值与范围问题的基本方法．1．P 为椭圆x 216 ＋y215 ＝1上任意点，EF 为圆N ：(x －1)2＋y 2＝4的任意一条直径，则PE → ·PF →最大值为________．【解析】圆N ：(x －1)2＋y 2＝4的圆心为N(1，0)，半径长为2，设点P(x ，y)，则y 2＝15－1516x 2且－4≤x ≤4， PE →＝PN → ＋NE → ，PF → ＝PN → ＋NF → ＝PN → －NE → ，所以，PE → ·PF → ＝(PN → ＋NE → )·(PN → －NE → ) ＝PN → 2－NE → 2＝(x －1)2＋y 2－4 ＝x 2－2x ＋1＋15－1516x 2－4 ＝116 x 2－2x ＋12＝116(x －16)2－4，所以，当x ＝－4时，PE → ·PF → 取得最大值，即(PE → ·PF → )max ＝116 ×(－4)2＋8＋12＝21.答案：212．(2021·德阳三模)已知平面上的动点E(x ，y)及两定点A(－2，0)，B(2，0)，直线EA ，EB 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2＝－34 ，设动点E 的轨迹为曲线R.(1)求曲线R 的方程；(2)过点P(－1，0)的直线l 与曲线R 交于C ，D 两点．记△ABD 与△ABC 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1－S 2|的最大值．【解析】(1)由题意知x ≠±2，且k 1＝y x ＋2 ，k 2＝y x －2 则y x ＋2 ·y x －2 ＝－34整理得，曲线R 的方程为x 24 ＋y 23 ＝1(y ≠0).(2)当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x ＝－1 此时△ABD 与△ABC 面积相等，|S 1－S 2|＝0 当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y ＝k(x ＋1)(k ≠0)C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2) 联立方程，得⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x ＋1）消去y ，得：(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0.Δ>0，且x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2 ，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，此时|S 1－S 2|＝2||y 2|－|y 1||＝2|y 2＋y 1|＝2|k(x 2＋1)＋k(x 1＋1)| ＝2|k(x 2＋x 1)＋2k|＝12|k|3＋4k 2因为k ≠0，上式＝123|k|＋4|k| ≤1223|k|·4|k|＝12212 ＝ 3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当k ＝±32时等号成立所以|S 1－S 2|的最大值为 3 .(二) 分类与整合一、由概念、法则、公式引起的分类讨论【典例1】(2021·沧州三模)已知数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项和S n 满足a n ＋1＝S n ＋1(n ∈N *). (1)求S n ； (2)记 b n ＝S n ＋1－S nS n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 【解析】(1)当n ≥2时，a n ＝S n －1＋1，所以a n ＋1－a n ＝S n －S n －1＝a n ，即a n ＋1＝2a n (n ≥2)，在a n ＋1＝S n ＋1中，令n ＝1，可得a 2＝a 1＋1. 因为a 1＝1，所以a 2＝2a 1，所以{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，其通项公式为a n ＝2n －1，所以S n ＝a n ＋1－1＝2n －1. (2)因为b n ＝S n ＋1－S n S n S n ＋1 ＝1S n －1S n ＋1 ＝12n －1 －12n ＋1－1，所以T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－17 ＋…＋(12n －1 －12n ＋1－1 )，＝1－12n ＋1－1 .解决由概念、法则、公式引起的分类与整合问题的步骤第一步：确定需分类的目标和对象，即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标．第二步：根据公式、定理确定分类标准，运用公式、定理对分类对象进行区分．第三步：分类解决“分目标”问题，对分类出来的“分目标”分别进行处理．第四步：汇总“分目标”，将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理．(2021·辽宁葫芦岛二模)已知椭圆G ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)过A(0，4)，B( 5 ，－2 3 )两点，直线l 交椭圆G 于M ，N 两点． (1)求椭圆G 的标准方程；(2)若直线l 过椭圆G 的右焦点F ，是否存在常数t ，使得tOM → ·ON →＋FM → ·FN → 为定值，若存在，求t 的值及定值；若不存在，请说明理由．【解析】(1)由已知得b ＝4且5a 2 ＋12b 2 ＝1，解得a 2＝20，所以椭圆方程为x 220 ＋y 216＝1.(2)①当直线l 的斜率存在时，设直线l 为y ＝k(x －2)代入G 得(4＋5k 2)x 2－20k 2x ＋20k 2－80＝0，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，Δ>0，x 1＋x 2＝20k 24＋5k 2 ，x 1x 2＝20k 2－804＋5k 2，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－64k 24＋5k 2tOM → ·ON → ＋FM → ·FN →＝t(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＋(x 1－2，y 1)·(x 2－2，y 2) ＝t(x 1x 2＋y 1y 2)＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2＝t 20k 2－804＋5k 2 ＋t －64k 24＋5k 2 ＋20k 2－804＋5k 2 －220k 24＋5k 2 ＋4＋－64k 24＋5k 2＝－（44t ＋64）k 2－（80t ＋64）5k 2＋4若tOM → ·ON →＋FM → ·FN → 为定值，故44t ＋645 ＝80t ＋644 ，解得t ＝－27 ，定值为－727.②当直线l 斜率不存在时，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，855 ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－855 ，所以OM → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，855 ，ON → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－855 ，FM → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，855 ，FN → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－855 ，OM → ·ON → ＝4－645 ＝－445 ，FM → ·FN →＝－645，当t ＝－27 时，tOM → ·ON → ＋FM → ·FN →＝－727综上所述，存在常数t ＝－27 ，使得tOM → ·ON →＋FM → ·FN → 为定值－727 .二、由参数的取值范围引起的分类讨论【典例2】(2021·广东三模)已知函数f(x)＝ln x ＋ax 2－x ，g(x)＝ln x －e x＋x 32＋1.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】(1)函数f(x)＝ln x ＋ax 2－x 的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x)＝1x ＋2ax －1＝2ax 2－x ＋1x .①当a ＝0时，f ′(x)＝1－xx，若0<x<1，则f ′(x)>0；若x>1，则f ′(x)<0. 此时，函数f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)； ②当a<0时，Δ＝1－8a>0，令f ′(x)＝0，可得x ＝1＋1－8a 4a (舍)或x ＝1－1－8a4a .若0<x<1－1－8a4a，则f ′(x)>0；若x>1－1－8a4a，则f ′(x)<0.此时，函数f(x)的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－8a 4a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－8a 4a ，＋∞ ；③当a>0时，Δ＝1－8a.(ⅰ)若Δ＝1－8a ≤0，即当a ≥18 时，对任意的x>0，f ′(x)≥0，此时，函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数； (ⅱ)若Δ＝1－8a>0，即当0<a<18 时，由f ′(x)＝0可得x ＝1＋1－8a 4a 或x ＝1－1－8a4a，且1＋1－8a 4a >1－1－8a4a. 由f ′(x)>0，可得0<x<1－1－8a 4a 或x>1＋1－8a4a；由f ′(x)<0，可得1－1－8a 4a <x<1＋1－8a 4a. 此时，函数f(x)的单调递减区间为(1－1－8a 4a ，1＋1－8a4a)，单调递增区间为(0，1－1－8a 4a )，(1＋1－8a4a ，＋∞).综上所述，当a<0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，1－1－8a4a)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－8a 4a ，＋∞ ；当a ＝0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)；当0<a<18 时，函数f(x)的单调递减区间为(1－1－8a 4a ，1＋1－8a4a )，单调递增区间为(0，1－1－8a 4a )，(1＋1－8a4a，＋∞)；当a ≥18时，函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数；(2)由f(x)≥g(x)，可得ln x ＋ax 2－x ≥ln x －e x ＋x32＋1，即a ≥x 2 －e x －x －1x 2对任意的x>0恒成立，令h(x)＝x 2 －e x －x －1x 2 ，其中x>0，h ′(x)＝12 －（x －2）e x ＋x ＋2x 3＝（x －2）（x 2＋2x ＋2－2e x ）2x 3，令φ(x)＝x 2＋2x ＋2－2e x ，其中x>0，则φ′(x)＝2x ＋2－2e x ，φ″(x)＝2－2e x <0. 所以，函数φ′(x)在(0，＋∞)上单调递减，则φ′(x)<φ′(0)＝0，所以，函数φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，故φ(x)<φ(0)＝0，所以，当0<x<2时，h ′(x)>0，此时函数h(x)在(0，2)上单调递增，当x>2时，h ′(x)<0，此时函数h(x)在(2，＋∞)上单调递减．所以，h(x)max ＝h(2)＝1－e 2－34 ＝7－e 24 ，所以a ≥7－e 24 .因此，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫7－e 24，＋∞ .若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到标准明确、不重不漏．(2021·成都三模)已知函数f(x)＝ln x. (1)讨论函数g(x)＝f(x)－ax(a ∈R )的单调性； (2)证明：函数f(x)<e x －2(e 为自然对数的底数)恒成立．【解析】(1)g(x)的定义域为(0，＋∞)，g ′(x)＝1x －a ＝1－axx (x>0)当a ≤0时，g ′(x)>0恒成立，所以，g(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，令g ′(x)＝0，得到x ＝1a所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，g ′(x)>0，g(x)单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞ 时，g ′(x)<0，g(x)单调递减．综上所述：当a ≤0时，g(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，g(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞ 上单调递减．(2)记函数φ(x)＝e x －2－ln x ＝e xe 2 －ln x ，则φ′(x)＝1e 2 ×e x －1x ＝e x －2－1x易知φ′(x)在(0，＋∞)上单调递增，又由φ′(1)<0，φ′(2)>0知，φ′(x)在(0，＋∞)上有唯一的实数根x 0，且1<x 0<2，则φ′(x 0)＝ex 0－2－1x 0 ＝0，即0x 2e －＝1x 0(*)当x ∈(0，x 0)时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减；当x ∈(x 0，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，所以φ(x)≥φ(x 0)＝0x 2e －－ln x 0，结合(*)式0x 2e－＝1x 0，知x 0－2＝－ln x 0，所以φ(x)≥φ(x 0)＝1x 0 ＋x 0－2＝x 20 －2x 0＋1x 0 ＝（x 0－1）2x 0 >0则φ(x)＝e x －2－ln x>0，即e x －2>ln x ，所以有f(x)<e x －2恒成立．三、由图形位置或形状引起的分类讨论【典例3】(1)设F 1，F 2为椭圆x 29 ＋y24 ＝1的两个焦点，点P 为椭圆上一点，已知点P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|＝_______．【解析】若∠PF 2F 1＝90°，则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，又|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝2 5 ，解得|PF 1|＝143 ，|PF 2|＝43 ，所以|PF 1||PF 2| ＝72. 若∠F 1PF 2＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，所以|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2＝20，又|PF 1|>|PF 2|，所以|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以|PF 1||PF 2| ＝2.综上知，|PF 1||PF 2| ＝72 或2.答案：72或2(2)在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”．如图，棱柱ABC A 1B 1C 1为一“堑堵”，P是BB1的中点，AA1＝AC＝BC＝2，设平面α过点P且与AC1平行，现有下列四个结论：①当平面α截棱柱的截面图形为等腰梯形时，该图形的面积等于332；②当平面α截棱柱的截面图形为直角梯形时，该图形的面积等于2 2 ；③异面直线AC1与CP所成角的余弦值为1010；④三棱锥C1ACP的体积是该“堑堵”体积的13.所有正确结论的序号是________．【解析】对于①，如图，取E，F，G分别为对应边中点，易知四边形PEFG是等腰梯形，且高为62，当E不是AA1中点时，PE不平行平面A1B1C1，则四边形不是梯形，等腰梯形有且仅有一个，S PEFG ＝12×( 2 ＋2 2 )×62＝332.所以①正确；对于②，向下作截面满足题意的梯形是直角梯形，同理，直角梯形有且仅有一个，其面积S＝12×(1＋2)× 2 ＝322 .所以②错误；对于③，将三棱柱补成正方体，J为对应边中点，易知∠CPJ为异面直线AC1与CP所成角或补角，CP＝CJ ＝ 5 ，PJ＝ 2 ，所以cos ∠CPJ＝225＝1010，所以③正确；对于④，VC1ACP＝VPC1CA＝13S△C1CA×2＝43，VABCA1B1C1＝12×2×2×2＝4，所以④正确．答案：①③④六类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类整合(1)二次函数对称轴的变化；(2)函数问题中区间的变化；(3)函数图象形状的变化；(4)直线由斜率引起的位置变化；(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；(6)立体几何中点、线、面的位置变化等．1．(2021·珠海二模)设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，P为曲线C上一点，|PF1|∶|PF2|∶|F1F2|＝5∶4∶2，则曲线C的离心率为________．【解析】依题意：令焦距2c＝|F1F2|＝2m(m>0)，则|PF1|＝5m，|PF2|＝4m，当曲线C是椭圆时，长轴长2a＝|PF1|＋|PF2|＝9m，其离心率e＝2c2a＝29，当曲线C是双曲线时，实轴长2a＝|PF1|－|PF2|＝m，其离心率e＝2c2a＝2，所以曲线C的离心率为29或2.答案：29或22．设f(x)＝x 2－4x －4，x ∈[t ，t ＋1](t ∈R )，求函数f(x)的最小值g(t)的解析式．【解析】f(x)＝x 2－4x －4＝(x －2)2－8，x ∈[t ，t ＋1]，函数图象的对称轴为直线x ＝2，所以当2∈[t ，t ＋1]时，即1≤t ≤2时，所以g(t)＝f(2)＝－8. 当t ＋1<2，即t<1时，f(x)在[t ，t ＋1]上是减函数，所以g(t)＝f(t ＋1)＝t 2－2t －7.当t>2时，f(x)在[t ，t ＋1]上是增函数，所以g(t)＝f(t)＝t 2－4t －4.综上：g(t)＝⎩⎨⎧t 2－2t －7，t ∈（－∞，1），－8，t ∈[1，2]，t 2－4t －4，t ∈（2，＋∞）.四、由运算性质引起的分类讨论【典例4】(2021·珠海二模)已知等差数列{a n }满足a 1＝－1，a 4＝2a 2＋a 3. (1)求数列{a n }的通项a n ；(2)若b n ＝ a 2n cosn π2，求数列{b n }的前40项和S 40. 【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，a 4＝a 1＋3d ，2a 2＋a 3＝3a 1＋4d ，由a 1＝－1，a 4＝2a 2＋a 3，则a 1＋3d ＝3a 1＋4d ，得d ＝2，所以a n ＝2n －3；(2)因b n ＝a 2n cos n π2，则有：①n 为奇数时，b n ＝0，②n 为偶数时，n ＝4k ＋2，k ∈N 时，b n ＝－a 2n ，n ＝4k ＋4，k ∈N 时，b n ＝a 2n ，所以S 40＝(a 24 －a 22 )＋(a 28 －a 26 )＋(a 212 －a 210 )＋…＋(a 236 －a 234 )＋(a 240 －a 238 ) ＝2d(a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 40)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫20a 2＋20×192×2d ＝3 120.计算时，常遇到需要分类讨论的问题，这时一般是根据绝对值的性质、函数奇偶性、指数函数性质、对数函数性质等进行分类讨论，在处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪个区间段，再选取相应的对应法则．离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因之一．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2，数列{b n }为等差数列，b 1＝3a 1，b 4＝a 5－2. (1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)记c n ＝a n －b n ，求数列{|c n |}的前n 项和T n . 【解析】(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－2，得a 1＝2；当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2，由a n ＝S n －S n －1，得a n ＝2a n －1. 故{a n }为等比数列，其公比为2，所以a n ＝2n . 由a 1＝2，b 1＝3a 1，得b 1＝6，b 4＝a 5－2＝30，因为{b n }为等差数列，所以其公差d ＝8，所以b n ＝8n －2.(2)因为c n ＝a n －b n ＝2n －8n ＋2，所以当n ≤5时，c n <0，当n ≥5时，c n >0. 所以当n ≤5时，T n ＝b 1－a 1＋b 2－a 2＋…＋b n －a n ＝4n 2＋2n ＋2－2n ＋1. 当n>5时，T n ＝(b 1－a 1＋b 2－a 2＋…＋b 5－a 5)＋(a 5－b 5＋…＋a n －b n ) ＝2n ＋1－4n 2－2n ＋94.故数列{|c n |}的前n 项和T n ＝⎩⎨⎧4n 2＋2n ＋2－2n ＋1，n ≤5，2n ＋1－4n 2－2n ＋94，n>5.(三) 数形结合一、数形结合思想在函数与方程中的应用【典例1】(2021·新乡三模)已知函数f(x)＝|x 2＋mx|(m>0)，当a ∈(1，4)时，关于x 的方程f(x)－a|x －1|＝0恰有两个不同的实根，则m 的取值范围是( ) A ．(0，2] B ．(1，3] C ．(0，3] D ．(1，4]【解析】选C.当x ＝1时，f(x)＝|m ＋1|>1，所以x ＝1不是方程f(x)－a|x －1|＝0的实根；当x ≠1时，由f(x)－a|x －1|＝0，得a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪（x －1）＋m ＋1x －1＋m ＋2 . 方程f(x)－a|x －1|＝0恰有两个不同的实根等价于直线y ＝a 与函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪（x －1）＋m ＋1x －1＋m ＋2 的图象有两个不同的交点．因为m>0，所以m ＋2＝(m ＋1 )2＋1>2m ＋1 ，则函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪（x －1）＋m ＋1x －1＋m ＋2 的大致图象如图所示．因为a ∈(1，4)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1＋m ＋2≥4，－2m ＋1＋m ＋2≤1，⇒0<m ≤3，m>0.利用数形结合思想研究方程解的问题(1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数，使问题转化为两曲线交点问题． (2)准确做出两个函数的图象是解决问题的关键．数形结合应以快和准为原则，不能刻意去用数形结合．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧3x －x 3，x<02－x －1，x ≥0，若关于x 的方程4f 2(x)－4a ·f(x)＋2a ＋3＝0有5个不同的实根，求实数a 的取值范围．【解析】当x<0时，f(x)＝3x －x 3，则f ′(x)＝3－3x 2＝3(1－x)(1＋x)，当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，当x ∈(－1，0)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，作出f(x)的图象，如图所示，令f(x)＝t ，则4t 2－4at ＋2a ＋3＝0，令g(t)＝4t 2－4at ＋2a ＋3，由题意得方程g(t)＝0有两个不同的实根：①有两个不同的实根t 1，t 2，且t 1∈(－2，－1)，t 2∈(－1，0)，则有⎩⎨⎧g （－2）>0，g （－1）<0，g （0）>0，解得－32 <a<－76.②有两个不同的实根t 1，t 2，且t 1＝－1，t 2∈(－1，0)，则有g(t 1)＝g(－1)＝6a ＋7＝0，则a ＝－76，方程为6t 2＋7t ＋1＝0，得t 1＝－1，t 2＝－16 ∈(－1，0)，满足条件．③有两个不同的实根t 1，t 2，且t 1＝0，t 2∈(－1，0)，因为g(t 1)＝g(0)＝2a ＋3＝0，则a ＝－32，方程为t 2＋32 t ＝0，得t 1＝0，t 2＝－32∉(－1，0)，不符合题意，舍去．综上所述，实数a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，－76 .二、数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用【典例2】(2021·厦门三模)已知函数f(x)＝⎩⎨⎧2x 2＋x ＋2，x<0xe x －1＋2，x ≥0 ，若f(x)≥2|x －a|，则实数a 的取值范围是________．【解析】因为f(x)＝⎩⎨⎧2x 2＋x ＋2，x<0xe x －1＋2，x ≥0，当x<0时，f ′(x)＝4x ＋1，当x<－14 时，f ′(x)<0，函数单调递减，当－14 <x<0时，f ′(x)>0，函数单调递增，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14 ＝158 ，当x ≥0时，f ′(x)＝(x ＋1)ex －1，当x ≥0时，f ′(x)>0，此时f(x)单调递增．图象如图所示：令g(x)＝2|x|，将其向右平移至与f(x)(x<0)相切，此刻a 取最大值，即f ′(x)＝4x ＋1＝－2，得到x ＝－34 ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34 ＝198 ，将⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，198 代入f(x)＝2|x －a|，得198 ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪－34－a ，所以a ＝716 ，a ＝－3116 (舍去)；将g(x)＝2|x|向左平移至与f(x)(x>0)相切，此刻a 取最小值，即f ′(x)＝(x ＋1)e x －1＝2，得到x ＝1，f(1)＝3，将(1，3)代入f(x)＝2|x －a|，得3＝2|1－a|，所以a ＝－12 ，a ＝52 (舍去)；所以a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，716 .答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，716利用数形结合处理不等式问题，要从题目的条件与结论出发，着重分析其几何意义，从图形上找出解题思路．因此，往往通过构造熟悉的函数，做出函数图象，利用图象的交点和图象的相对位置求解不等式．1．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）x<0的解集为( )A ．(－2，0)∩(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0，2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(0，2)【解析】选D.由已知条件可以画出函数f(x)的草图，如图所示．由函数f(x)为奇函数可化简不等式f （x ）－f （－x ）x <0为2f （x ）x<0.若x>0，则需有f(x)<0，结合图象可知0<x<2；若x<0，则需有f(x)>0，结合图象可知－2<x<0. 综上可知，不等式的解集为(－2，0)∪(0，2).2．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x>0.若|f(x)|≥ax ，则a 的取值范围是________．【解析】画出函数|f(x)|的图象，数形结合求解．作出函数y ＝|f(x)|的图象，如图，当|f(x)|≥ax 时，必有k ≤a ≤0，其中k 是y ＝x 2－2x(x ≤0)在原点处的切线斜率，显然，k ＝－2.所以a的取值范围是[－2，0].答案：[－2，0]三、数形结合思想在解析几何中的应用【典例3】(1)已知P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是( )A． 2 B．2 2 C． 3 D．2 3【解析】选C.圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为C(1，1)，半径为r＝1，圆心C(1，1)到直线l：3x－4y＋11＝0的距离d＝|3－4＋11|32＋42＝105＝2>r＝1，所以圆C与直线l相离．根据对称性可知，四边形PACB的面积为2S△APC ＝2×12×|PA|×r＝|PA|＝|PC|2－r2＝|PC|2－1 ，要使四边形PACB的面积最小，则只需|PC|最小．又|PC|最小值为圆心到直线l：3x－4y＋11＝0的距离d＝2.所以四边形PACB面积的最小值为|PC|2min－1 ＝4－1 ＝ 3 .(2)已知A(－4，0)，B是圆(x－1)2＋(y－4)2＝1上的点，点P在双曲线x29－y27＝1的右支上，则|PA|＋|PB|的最小值为( ) A．9 B．2 C．10 D．12【解析】选C.在双曲线x29－y27＝1中，a＝3，b＝7 ，c＝4，如下图所示：易知点F(4，0)为双曲线x 29 －y 27 ＝1的右焦点，由双曲线的定义可得|PA|－|PF|＝2a ＝6，所以|PA|＝6＋|PF|，圆(x －1)2＋(y －4)2＝1的圆心为E(1，4)，半径为r ＝1，且|EF|＝（1－4）2＋42 ＝5，所以|PA|＋|PB|＝6＋|PF|＋|PB|≥6＋|PF|＋|PE|－1≥|EF|＋5＝10，当且仅当E ，B ，P ，F 四点共线，且B ，P 分别为线段EF 与圆(x －1)2＋(y －4)2＝1和双曲线x 29－y 27 ＝1的交点时，两个等号同时成立．因此，|PA|＋|PB|的最小值为10.应用数形结合解决平面解析几何中的最值，涉及到平面几何中的相关最值的判断问题．如线段长度之和问题往往转化为三点共线问题等．已知抛物线的方程为x 2＝8y ，点F 是其焦点，点A(－2，4)，在抛物线上求一点P ，使△APF 的周长最小，此时点P 的坐标为 ________．【解析】因为(－2)2<8×4，所以点A(－2，4)在抛物线x 2＝8y 的内部，如图，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B ，连接AQ.则△APF 的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，当且仅当P ，B ，A 三点共线时，△APF 的周长取得最小值，即|AB|＋|AF|.因为A(－2，4)，所以不妨设△APF 的周长最小时，点P 的坐标为(－2，y 0)，代入x 2＝8y ，得y 0＝12.故使△APF 的周长最小时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2，12 .答案：⎝⎛⎭⎪⎫－2，12(四) 转化与化归一、一般与特殊的相互转化【典例1】(1)“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C ：x 2a ＋1＋y 2a ＝1(a>0)的离心率为12 ，则椭圆C 的蒙日圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2＝9 B ．x 2＋y 2＝7 C ．x 2＋y 2＝5 D ．x 2＋y 2＝4【解析】选B.因为椭圆C ：x 2a ＋1 ＋y 2a ＝1(a>0)的离心率为12 ，所以1a ＋1 ＝12 ，解得a ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24 ＋y 23 ＝1，所以椭圆的上顶点A(0， 3 )，右顶点B(2，0)，所以经过A ，B 两点的切线方程分别为y ＝ 3 ，x ＝2，所以两条切线的交点坐标为(2， 3 )，又过A ，B 的切线互相垂直，由题意知交点必在一个与椭圆C 同心的圆上，可得圆的半径r ＝22＋（3）2 ＝7 ，所以椭圆C 的蒙日圆方程为x 2＋y 2＝7.(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C1＋cos A cos C等于( )A ．45B．15C．35D．25【解析】选A.令a＝b＝c，则△ABC为等边三角形，且cos A＝cos C＝12，代入所求式子，得cos A＋cos C1＋cos A cos C＝12＋121＋12×12＝45.(1)一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；(2)特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F的直线与C交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝3|AF|·|BF|，则p＝( )A．2 B．3 C．32D．23【解析】选D.因为AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，取其通径，所以2p＝1|AF|＋1|BF|＝|AF|＋|BF||AF|·|BF|＝3，所以p＝23.二、正与反的相互转化【典例2】若命题“∀x∈R，|x|－1＋m>0”是假命题，则实数m的取值范围是( ) A．[1，＋∞) B．(－1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－∞，1]【解析】选D“∀x∈R，|x|－1＋m>0”是假命题，所以∃x∈R，使得|x|－1＋m≤0成立是真命题，即|x|－1＋m≤0对于x∈R有解，所以m≤1－|x|，所以m≤(1－|x|)max，因为|x|≥0，所以－|x|≤0，1－|x|≤1，所以(1－|x|)max＝1，所以m≤1，所以实数m的取值范围是(－∞，1].正与反的转化正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，这充分体现了对立与统一的思想方法．一般地，题目中若出现多种成立的情况，则不成立的情形比较少，从反面思考比较简单．因此，间接法多用于含有“至多”、“至少”情形的问题中．1．命题p ：∃x ∈{x|1≤x ≤9}，x 2－ax ＋36≤0，若p 是真命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．[37，＋∞) B ．[13，＋∞) C ．[12，＋∞) D ．(－∞，13]【解析】选C.因为命题p ：∃x ∈{x|1≤x ≤9}，使x 2－ax ＋36≤0为真命题，即∃x ∈{x|1≤x ≤9}，使x 2－ax ＋36≤0成立，即a ≥x ＋36x能成立，设f(x)＝x ＋36x ，则f(x)＝x ＋36x≥2x ·36x＝12，当且仅当x ＝36x，即x ＝6时，取等号，即f(x)min ＝12，所以a ≥12，故a 的取值范围是[12，＋∞).2．已知函数f(x)＝ln x －ax －2在区间(1，2)上不单调，则实数a 的取值范围为( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23【解析】选B.由f ′(x)＝1x －a ＝1－ax x ，①当a ≤0时函数f(x)单调递增，不合题意；②当a>0时，函数f(x)的极值点为x ＝1a ，若函数f(x)在区间(1，2)不单调，必有1<1a <2，解得12 <a<1.三、常量与变量的相互转化【典例3】已知a ∈[－1，1]时，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a>0恒成立，则x 的取值范围为( ) A ．(－∞，2)∪(3，＋∞) B ．(－∞，1)∪(2，＋∞) C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1，3)【解析】选C.由题意，因为a ∈[－1，1]时，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a>0恒成立，可转化为关于a 的函数f(a)＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则f(a)>0对应任意a ∈[－1，1]恒成立，则满足⎩⎨⎧f （－1）＝x 2－5x ＋6>0，f （1）＝x 2－3x ＋2>0，解得：x<1或x>3，即x 的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞).(1)本题若利用常规方法求解，需把x 看作主元，就需要分类讨论，但是比较麻烦．而以a 为变量，则问题就变为一次函数，可以轻易解决该问题．(2)在处理多元问题时，可以选取其中的常数(或参数)，将其看作“主元”，实现主与次的转化，从而达到减元的目的．设f(x)＝x 2＋(a －1)x ＋5，若函数f(x)在区间[1，4]上的图象位于直线y ＝x ＋1上方，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞)B ．[－2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－2]【解析】选A.由题意得，f(x)＝x 2＋(a －1)x ＋5>x ＋1在区间[1，4]上恒成立， a －2>－x －4x 在区间[1，4]上恒成立，令y ＝x ＋4x，其图象如图所示：由图象知y ≥4，所以－x －4x ＝－y ≤－4，所以a －2>－4，解得a>－2.四、形、体位置关系的相互转化【典例4】如图，在棱长都为1的直棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，∠BAD ＝60°，三棱锥C 1A 1BD 的体积为( )A ．33 B ．34 C ．36 D ．13【解析】选C.由棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1为直棱柱，所以AA 1⊥平面ABCD ，由题意在△ABD 中，∠BAD ＝60°，AB ＝AD ＝1，所以S △ABD ＝12 ×AD ×AB ×sin 60°＝34 ，所以VA 1ABD ＝13 ×S △ABD ×AA 1＝312 ，所以S ▱ABCD ＝2S △ABD ＝32，则直棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的体积为VABCD A 1B 1C 1D 1＝S ▱ABCD ×AA 1＝32，由题意可知三棱锥C 1A 1BD 是直棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1切去角上的4个小三棱锥而得到的．即切去4个小三棱锥为A 1ABD ，D BCC 1，D A 1D 1C 1，B A 1B 1C 1 由题意可得这4个小三棱锥的高均为AA 1，且有S △ABD ＝S △BCC 1＝S △A 1D 1C 1＝S △A 1B 1C 1 所以VA 1ABD ＝VD BCC 1＝VD A 1D 1C 1＝VB A 1B 1C 1 所以VC 1A 1BD ＝32 －4×312 ＝36.形体位置关系相互转化的技巧(1)分析特征，一般要分析形体的特征，根据特征确定需要转化的对象；(2)位置转化，将不规则几何体通过切割、挖补、延展等方式转化为便于观察、计算的常见几何体，进而求解相关问题．(3)由于新的几何体是由旧几何体转化而来，一定要注意准确理解新的几何体的特征分析；(4)得出结论，在新几何体结构中解决目标函数即可．(2021·江门一模)如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 为棱DD 1上的一点，当A 1M ＋MC 取最小值时，B 1M 的长为( )A ．2 3B ． 5C ． 6D ． 3【解析】选D.如图所示，将侧面AA 1D 1D ，侧面CDD 1C 1延展至同一平面，当A 1，M ，C 三点共线时，A 1M ＋MC 取最小值，易知四边形AA 1C 1C 为正方形，则∠CA 1C 1＝45°，且△A 1D 1M 为等腰直角三角形，所以，D 1M ＝A 1D 1＝1，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，A 1M ＝ 2 ，因为A 1B 1⊥平面AA 1D 1D ，A 1M ⊂平面AA 1D 1D ，所以A 1B 1⊥A 1M ，因此，B 1M ＝ A 1B 21 ＋ A 1M2 ＝3 .。

数学思想方法的综合应用

► 探究点二使用函数方法解决非函数问题例2 (1)已知{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5，则数列{a n }前n 项和S n 的最大值是________．(2)长度都为2的向量OA →，OB →的夹角为60°，点C 在以O 为圆心的圆弧AB (劣弧)上，OC →＝mOA→＋nOB →，则m ＋n 的最大值是________．【分析】 (1)根据方程思想求出数列的首项和公差，建立S n 关于n 的函数；(2)将向量坐标化，建立m ＋n 关于动向量OC →的函数关系．(1)4 (2)233【解析】 (1)设{a n }的公差为d ，由已知条件，⎩⎨⎧a 1＋d ＝1，a 1＋4d ＝－5，解出a 1＝3，d ＝－2.S n ＝na 1＋n n －12d ＝－n 2＋4n ＝4－(n －2)2.所以n ＝2时，S n 取到最大值4.(2)建立平面直角坐标系，设向量OA →＝(2,0)，向量OB →＝(1，3)．设向量OC →＝(2cos α，2sin α)，0≤α≤π3.由OC →＝mOA→＋nOB →，得(2cos α，2sin α)＝(2m ＋n ，3n )，即2cos α＝2m ＋n,2sin α＝3n ，解得m ＝cos α－13sin α，n ＝23sin α.故m ＋n ＝cos α＋13sin α＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3≤233.变式题若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2a ＋12＝1的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，5)C ．[2，5]D ．(3，5) B 【解析】 e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝a 2＋a ＋12a 2＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a 2，因为1a 是减函数，所以当a >1时，0<1a<1，所以2<e 2<5，即2<e < 5.► 探究点三联用函数与方程的思想例3 已知函数f (x )＝x (x －a )2，g (x )＝－x 2＋(a －1)x ＋a (其中a 为常数)．设a >0，问是否存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，a 3，使得f (x 0)>g (x 0)？若存在，请求出实数a 的取值范围，若不存在，请说明理由；【解答】假设存在，即存在x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，a 3，使得， f (x 0)－g (x 0)＝x 0(x 0－a )2－[－x 20＋(a －1)x 0＋a ]＝x 0(x 0－a )2＋(x 0－a )(x 0＋1)＝(x 0－a )[x 20＋(1－a )x 0＋1]>0，当x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，a 3时，又a >0，故x 0－a <0，则存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，a 3，使得x 20＋(1－a )x 0＋1<0， ①当a －12>a3即a >3时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32＋(1－a )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋1<0得a >3或a <－32，∴a >3； ②当－1≤a －12≤a 3即0<a ≤3时，4－a －124<0得a <－1或a >3，∴a 无解．综上：a >3.► 探究点四以形助数探索解题思路例4 (1)不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．[1,2]D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)(2)已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1C ．(1,2)D ．(1，－2)【分析】 (1)把不等式的左端看作一个函数，问题等价于这个函数的最大值不大于不等式右端的代数式的值，通过画出函数图象找到这个函数的最大值即可；(2)画出抛物线，根据抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，把问题归结为两点之间的距离．(1)A (2)A 【解析】 (1)f (x )＝|x ＋3|－|x －1|＝⎩⎨⎧－4x <－3，2x ＋2－3≤x <1，4x >1.画出函数f (x )的图象，如图，可以看出函数f (x )的最大值为4，故只要a 2－3a ≥4即可，解得a ≤－1或a ≥4.正确选项为A.(2)点P 到抛物线焦点距离等于点P 到抛物线准线距离，如图，PF ＋PQ ＝PS ＋PQ ，故最小值在S ，P ，Q 三点共线时取得，此时P ，Q 的纵坐标都是－1，代入y 2＝4x 得x ＝14，故点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1，正确选项为A.(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，7 (2)⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪[－1，＋∞) 【解析】 (1)g (x )＝f ′(x )＝3x 2＋4x －a ，g (x )＝f ′(x )在区间(－1,1)上存在零点，等价于3x 2＋4x ＝a 在区间(－1,1)上有解，等价于a 的取值范围是函数y ＝3x 2＋4x 在区间(－1,1)上的值域，不难求出这个函数的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－43，7.故所求的a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－43，7. (2)由⎩⎨⎧Δ1＝4a2－43－4a <0，Δ2＝a －12－4a 2<0，Δ3＝2a2＋8a <0，解得－32<a <－1，再求它的补集，则a 的取值范围是：a ≤－32或a ≥－1.例4 (1)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2，则sin(α－2π)sin(α－π)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝________.(2)函数f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin2x 的最小值是________．【分析】 (1)化简已知和求解目标，然后采取适当的方法；(2)把sin x ＋cos x 看做一个整体，用这个整体表示已知函数．(1)－35 (2)－54 【解析】 (1)已知条件即sin α＝2cos α，求解目标即cos 2α－sin 2α.已知条件转化为tan α＝2，求解目标转化为cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α，把已知代入得求解结果是－35. (2)令t ＝sin x ＋cos x ，则t 2＝1＋sin2x ，且t ∈[]－2，2.此时函数化为y ＝t ＋t 2－1＝⎝⎛⎭⎪⎫t ＋122－54，故所求函数的最小值为－54.。

数学中考复习：数形结合思想PPT课件

距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米。（1）求这条抛物线的解析式； y
（2）若不计其它因素，水池
A
的半径至少要多少米，才能
使喷出的水流不至于落在池外？
P 3
4
O 1B 水平面 x
5．已知一次函数y＝3x/2＋m和 y＝－x/2＋n的图象都经过点A（﹣2，0），且与 y轴分别交于B、C两点，试求△ABC的面积。
∴S△ABC＝1/2×BC×AO＝4
6.某机动车出发前油箱内有42升油，行驶若干小时
后，途中在加油站加油若干升。油箱中余油量Q（升）
与行驶时间t（小时）之间的函数关系如图所示，根
据下图回答问题：
(1)机动车行驶几小时后加油？答：＿5＿小时
(2)加油前余油量Q与行驶时间t的函数关系式
是：＿Q＝＿＿42＿－＿6＿t Q（升）
中考复习
数形结合思想
2024/9/19
1
谈到“数形结合”，大多与函数问题有关。
函数的解析式和函数的图象分别从
“数”和“形”两方面反应了函数的性质，
函数的解析式是从数量关系上反应量与量之间的联系；
函数图象则直观地反应了函数的各
种性质，使抽象的函数关系得到了形象的显示。
“数形结合思想”就是通过数量与
B、M = 0
C、M < 0
D、不能确定
运用数形结合的方法，将 -1 0 1
x
函数的解析式、图象和性
质三者有机地结合起来
1.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所
示.下列关于a,b,c的条件中，
不正确的是 ( D ) y
(A)a＜0,b＞0,c＜0
(B)b2－4ac＜0
(C)a＋b＋c＜0

数学教学中的几种数学思想

数学教学中的几种数学思想作者：李秋燕来源：《成才之路》2009年第17期所谓数学思想,是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中,经过思维活动而产生的结果。

数学思想是对数学知识、方法、规律的本质认识,是数学思维的结晶和概括,是解决数学问题的灵魂和根本策略。

常用的数学思想主要有以下几种:1. 函数与方程思想函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。

方程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型,然后通过解方程或不等式来使问题获解。

有时,还实现函数与方程的互相转化、接轨,达到解决问题的目的。

在解题中,善于挖掘题目中的隐含条件,构造出函数解析式和妙用函数的性质,是应用函数思想的关键。

对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时,才能产生由此及彼的联系,构造出函数原型。

2. 数形结合数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化。

在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点:第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征,对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;第二是恰当设参、合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围。

3. 分类讨论思想有时将问题看成一个整体时,则无从下手,若分而治之,各个击破,则能柳暗花明。

分类讨论正是这一种思想,也是一种重要的数学思想方法,它将问题所涉及的对象不遗漏地分成若干类问题,然后逐一解决,从而达到最终解决整个问题的目的。

引起分类讨论的原因主要是以下几个方面:(1) 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。

(2) 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制,或者是分类给出的。

(3) 解含有参数的题目时,必须根据参数的不同取值范围进行讨论。

高中数学四大数学思想

高中数学四大数学思想1.数形结合思想数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合. 应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决. 运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征.应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：（1）集合的运算及韦恩图；（2）函数及其图象；（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线.以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法.以数助形常用有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合.2.分类讨论思想分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决. 分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论”.应用分类讨论思想方法解决数学问题的关键是如何正确分类，即正确选择一个分类标准，确保分类的科学，既不重复，又不遗漏. 如何实施正确分类，解题时需要我们首先明确讨论对象和需要分类的全体，然后确定分类标准与分类方法，再逐项进行讨论，最后进行归纳小结.常见的分类情形有：按数分类；按字母的取值范围分类；按事件的可能情况分类；按图形的位置特征分类等. 分类讨论思想方法可以渗透到高中数学的各个章节，它依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则.3.函数与方程思想函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多. 函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决.运用函数与方程的思想时，要注意函数，方程与不等式之间的相互联系和转化，应做到：（1）深刻理解函数f(x)的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换），熟练掌握基本初等函数的性质，这是应用函数思想解题的基础.（2）密切注意三个“二次”的相关问题，三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系. 掌握二次函数基本性质，二次方程实根分布条件，二次不等式的转化策略.4.转化与化归思想化归与转化的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将，问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想. 转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题.转化与化归思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和解题过程的各个环节中. 转化有等价转化与不等价转化. 等价转化后的新问题与原问题实质是一样的. 不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正.应用转化与化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化. 常见的转化有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化.。

高中数学七大基本思想方法讲解

高中数学七大基本思想方法讲解第一：函数与方程思想（1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用（2）方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查第二：数形结合思想：（1）数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面（2）在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化第三：分类与整合思想（1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法（2）从具体出发，选取适当的分类标准（3）划分只是手段，分类研究才是目的（4）有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性（5）含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性第四：化归与转化思想（1）将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题（2）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法（3）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化第五：特殊与一般思想（1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识（2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论（3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程（4）构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程（5）高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向第六：有限与无限的思想：（1）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路（2）积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向（3）立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用（4）随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查第七：或然与必然的思想：（1）随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性（2）偶然中找必然，再用必然规律解决偶然（3）等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点。

高中数学二轮专题复习——数形结合思想

思想方法专题数形结合思想【思想方法诠释】一、数形结合的思想所谓的数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。

数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合．数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．二、数形结合思想解决的问题常有以下几种：1．构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；2．构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；3．构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；4．构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；5．构建立体几何模型研究代数问题；6．构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；7．构建方程模型，求根的个数；8．研究图形的形状、位置关系、性质等。

三、数形结合思想是解答高考数学试题的一种常见方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥奇特功效，具体操作时，应注意以下几点：1．准确画出函数图象，注意函数的定义域；2．用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图）然后作出两个函数的图象，由图求解。

四、在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：1．要清楚一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；2．要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；3．要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；4．精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解。

【高考第一轮复习数学】函数思想渗透

思想渗透1、数形结合思想典型例题：求函数y=│x+1│+│x-2│的值域.思路分析：要求函数y 的值域，关键是去掉绝对值符号，将含绝对值的解析式转化为不含绝对值的解析式，画出它的图像，根据图象求出值域..解析：将函数的解析式中的绝对值符号去掉，化成分段函数的形式：⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<--≤+-=)2(12)21(3)1(12)(x x x x x x f该函数的图象如图所示，由图象可知，函数y 的值域是[)+∞,3点拨：结合函数图象，将抽象的问题形象化是求解复杂函数性质的一种重要方法，是数形结合思想在解题中应用的典范..2. 分类讨论思想典型例题：函数y=-（x-3）·|x| 的递增区间是________. 思路分析：本题|x|中x 的值不能确定，需要讨论. 解析：分类讨论，当X>0时，那么，等效于y= -(x-3)x ，这是一个开口向下的抛物线，对称轴=3/2，根据图像性质，[0，3/2]单调递增，当X<0时，那么等效于y= (x-3)x ，这是一个开口向上的抛物线，对称轴=3/2，根据图像性质，（负无穷，0）单调递减，那么，递增区间是[0，3/2]点拨：含有绝对值的函数或方程问题，往往需要根据自变量的取值，对自变量进行分类讨论.3、函数与方程思想典型例题：（2004•广东）设函数f （x ）=x-In （x+m ），其中常数m 为整数．（1）当m 为何值时，f （x ）≥0；（2）定理：若函数g （x ）在[a ，b]上连续，且g （a ）与g （b ）异号，则至少存在一点x 0∈（a ，b ），使g （x 0）=0．试用上述定理证明：当整数m ＞1时，方程f （x ）=0，在[e -m -m ，e 2m-m]内有两个实根．典型例题：若函数f(x)的定义域为（-1，1）且在定义域内单调递减，又当a 、b ∈（-1，1），且a+b=0时，f(a)+f(b)=0,解不等式0)1()1(2>-+-m f m f .思路分析：利用单调性的定义，实现单调性与自变量和函数值之间的大小转化. 解：由题意知f(x)在（-1，1）上是减函数且为奇函数， ∴0)1()1(2>-+-mf m f ,即为)1()1(2->-m f m f。

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1 ln �� , 2
关闭
∵x∈(e-1,1), ∴a=ln x∈(-1,0),b=
1 ln �� 2
∈(1,2),c=eln x=x∈(e-1,1).∴b>c>a.
关闭
A
解析答案
第一部分
应用一应用二应用三
一、函数与方程思想
思想方法诠释应用四思想分类应用应用五应用方法归纳
第一部分
应用一应用二应用三
一、函数与方程思想
思想方法诠释应用四思想分类应用应用五应用方法归纳
-10-
突破训练2当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a 的取值范围是 . 关闭 ��2 -4��-3 当-2≤x<0 时,不等式转化为 a≤ 3 ,
即
1 2 1 2 2 ��=y +x -2yx× ,化简,得 2 2 ��2 -4
1
1 2 y(x-1)=x - , 4
∵x>1,∴x-1>0, ∴y= ��-1 ,
即 y=(x-1)+3 +2≥ 3+2, 4 ( �� 1 ) A. 1 + m B.2 m 关闭 2 3 3 当且仅当 1= D.(2 时 ,取 “)m =”号,因此当 x=1+ 2 时,y 有最小值 2+ 3. 3)m + 3 D C.(1+ x4(��-1) 3
-17-
应用五
函数与方程思想在导数与函数中的应用
�� x-1 1 f(x)= ��,g(x)=e - -ln e ��
例 5(2018 河北唐山一模,文 21)已知函数 x-x+a.
(1)求f(x)的最大值; (2)若曲线y=g(x)与x轴相切,求a的值.
第一部分
应用一应用二应用三
关闭
令
��4 -��2 ��4 -��2 ��4 2��3 (��2 -2) g(q)= 2 (q>1),g'(q)= 2 2 . �� -1 (�� -1)
�� -1
分析可得:当 1<q< 2时,g'(q)<0,g(q)在(0, 2)为减函数, 当 q> 2时,g'(q)>0,g(q)在( 2,+∞)为增函数,则当 q= 2时,g(q)取得最小值,此时 g(q)=g( 2)=4, ∴a6+λa7 的最小值为 4. D
第一部分
应用一应用二应用三
一、函数与方程思想
思想方法诠释应用四思想分类应用应用五应用方法归纳
-7-
突破训练 1 在△ABC 中,D 为 BC 边上一点,DC=2BD,AD= 2,∠ ADC=45°,若 AC= 2AB,则 BD 等于 ( )
关闭
2+DC2-2AD· A.2+中3 B.4 在△ADC ,AC2=AD DC· cos 45°=2+DC2-2 2 · DC· D.3+ 5 2 C.2+ 2 5 =2+DC -2DC; 2
一、函数与方程思想
思想方法诠释应用四思想分类应用应用五应用方法归纳
-18-
1-�� 解: (1)f'(x)= e�� ,当 x<1 时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当 x>1 时,f'(x)<0,f(x) 1 单调递减,故当 x=1 时,f(x)取得最大值 f(1)=e . 1 1 (2)因为 g'(x)=ex-1+��2 − ��-1,设切点为(t,0),则 g'(t)=0,且 g(t)=0,即 1 1 1 et-1+ 2 − �� -1=0,et-1- �� -ln t-t+a=0, �� 1 所以 a= �� +ln t+t-et-1. 1 1 令 h(x)=ex-1+��2 − ��-1, 1 �� 1 由(1)得 f(x)≤ e,所以e�� ≤ e, 1 即 ex-1≥x,当且仅当 x=1 时等号成立,所以 h(x)≥x+ 2 − �� 1 (��-1)2 (��+1) -1= ≥0,当且仅当 x=1 时等号成立,所以当且仅当 x=1 �� 2
��+2
��
3
3
��+1 2 =1+ (n≥2),由函数 ��-1 ��-1 2 n=2 处, 取得最大值 2. ��-1 �� ∴ �� 的最大值为 3. ��-1
y=
2 �� 在(1,+∞)内单调递减,可得�� 在 ��-1 ��-1
关闭
C
解析答案
第一部分
应用一应用二应用三
一、函数与方程思想
思想方法诠释应用四思想分类应用应用五
关闭
应用方法归纳
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由应用二 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,满足 f'(x)-f(x)>0.不妨设函数与方程思想在不等式中的应用 x -x f(x)例 =e -e , 山东济南二模,理12)已知f(x)是定义在R上的奇函数,记 2 (2018 故 x)在 R 内为增函数 f(xf)(的导函数为 f'(x),当x.≥0时,满足f'(x)-f(x)>0.若x∈[-2,+∞)使不等 xx 33 xx 3 ∵ f[e (( xx -3 x+ 3)] ≤ f( a ee +x ), ex(x -3x+3) ex-x≤0 在[ 式 f[e 3 x+ 3)] ≤ f( a +x )∴ 成立 ,则实数 a-a 的最小值为 (-2,+∞ ))上有解. 3-3x+3- �� , ∴a≥x 2 2 �� e A.e-1 B.2-e �� 3 令 g(x)=x -3x+3- �� . 1 e C.1+2e2 D.1��-1 g'(x)=3x2-3+ e�� =(x-1)
e
3x+3+e�� ,故当 x∈(-2,1)时,g'(x)<0,当 x∈
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1
(1,+∞)时,g'(x)>0, 故 g(x)在(-2,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数.
D gmin(x)=g(1)=1-3+3-1=1-1.故选 D. 故 e e
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一、函数与方程思想
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思维升华函数思想的实质是使用函数方法解决数学问题(不一定只是函数问题),构造函数解题是函数思想的一种主要体现;方程思想的本质是根据已知得出方程(组),通过解方程(组)解决问题.
3
2 3
2
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∵幂函数 R 上是增函数,∴a<b<1. ∵函数 y=log 3 x 是减函数, ∴c=log 3 3>log 3 4=1, ∴a<b<c.
A
4 4
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2 y=�� 3 在 4
2
3
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思维升华因为数列是自变量为正整数的函数,所以根据题目条件构造函数关系,把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题是常用的解题思路.
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一、函数与方程思想
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应用一函数与方程思想在解三角形中的应用关闭例1为了竖一块广告牌,要制造三角形支架,如图,要求 1 1 设 BC 的长度为 m,AC 的长度为 yAC m,比则AB AB 的长度为 �� m, ∠ACB= 60°,BCx 的长度大于 1 m,且长 m, 为了稳固广告牌 , 2 2 要求 AC越短越好 ,则AC最短为 ) 2-2AC· 在 △ABC 中,由余弦定理 ,得 AB2( =AC2+BC BCcos∠ACB,
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�� 突破训练3已知在数列{an}中,前n项和为Sn,且 Sn= a 的 n,则 3 ��-1 最大值为( ) 关闭 A.-3 B.-1 ��+2 ∵S a, n= C .3 3 Dn .1 ��+2 ��+1 �� ∴当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= an- an-1,可化为 =
在△ABD 中,AB2=BD2+AD2-2BD· AD· cos 135°=BD2+2+2 2 · BD·
2 2 = 2 +BD +2BD. 2