分式和二次根式
分式与二次根式的知识点
分式与二次根式的知识点分式与二次根式是数学中的重要知识点，它们在代数运算、方程求解、函数图像等方面都有应用。
本文将逐步介绍分式与二次根式的基本概念、运算规则以及解题思路。
1.分式的基本概念分式是由两个整数或多项式构成的比值形式，通常表示为a/b，其中a为分子，b为分母。
分子和分母可以是整数、多项式或含有变量的表达式。
分式可以表示实数、有理数、无理数等不同类型的数。
2.分式的化简与运算（1）分式的化简：当分式的分子和分母有公约数时，可以通过约分的方式化简分式。
即找到分子和分母的最大公约数，将其约去，使得分子和分母互质。
（2）分式的加减乘除：分式的加减运算可以通过通分的方式进行。
即将两个分式的分母化为相同的数，然后将分子进行加减运算。
分式的乘除运算可以直接对分子和分母进行相应的运算。
3.二次根式的基本概念二次根式是形如√a的表达式，其中a为非负实数。
当a为正实数时，二次根式的值为正实数；当a为零时，二次根式的值为零；当a为负实数时，二次根式的值为虚数。
4.二次根式的化简与运算（1）二次根式的化简：当二次根式内部存在完全平方数因子时，可以将其化简为有理数的形式。
即将完全平方数因子提取出来，使得根号内只剩下非完全平方数。
（2）二次根式的加减乘除：二次根式的加减运算可以通过化简后的形式进行。
即先将二次根式化简为有理数形式，然后进行加减运算。
二次根式的乘除运算可以直接对根号内的数进行相应的运算。
5.解题思路在解题时，我们需要根据具体的问题，灵活运用分式与二次根式的知识。
常见的解题思路包括：（1）化简分式与二次根式，使得问题更加简化。
（2）通过分式与二次根式的运算规则，将复杂的表达式转化为简单的形式。
（3）注意分式与二次根式在方程求解、函数图像等问题中的应用。
分式与二次根式是数学中的重要知识点，掌握了它们的基本概念、运算规则和解题思路，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
在学习过程中，我们应该多进行练习，加深对分式与二次根式的理解和掌握。
初中整式、分式、二次根式的总结
定义
A 的形式， B 形如 的式子叫二次根式，其中 叫 A 如果除以 B 中含有字母，那么称 为分式， B 被开方数，只有当 是一个非负数时， 才
其中 A 称为分式的分子，B 称为分式的分母， 有意义． 对于任意的一个分式，分母 B 都不等于零。 1.分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个 不为零的数，分式的值不变 ①
2 2 2
异分母
把分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的 积作为积的分母， 即
运 算
乘法
b d bd a c ac
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
除法 乘方
1.单项式的除法： 2.多项式除以单项式：
把除式的分子和分母颠倒后再与被除式相 乘，即
(am bm cm) m am m bm m cm m a b c
性质
A 有意义的条件： B 0 ； B A 3. 分式 值为 0 的条件： A 0, B 0 B 4. 分式的符号，分母的符号，分子的符号三
2. 分式
② ③ ④ 把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次 根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开 方数不变。
者变两者，分式的值不变
同分母：
加法
合并同类项
1.单项式的乘法 2. 单项式乘以多项式：即 m(a b c) ma mb mc ( m, a, b, c 都是单项式) 3. 多项式与多项式相乘； 平方差公式： (a b)(a b) a 2 b 2 完全平方公式： (a b) a 2ab b
整式
1.单项式：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单项式 的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。 2.多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫 多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。 3.整式：单项式和多项式统称整式
数学中的二次根式与分式方程
数学中的二次根式与分式方程二次根式是数学中的一种重要概念，与之相关的分式方程也是数学中一个常见且有挑战性的问题。
本文将介绍二次根式的定义、性质以及与分式方程的关系，并通过例题进行具体说明。
一、二次根式的定义与性质1. 定义：二次根式是形如√a 的数，其中 a 为非负实数。
其中，√a 可以理解为满足b^2 = a 的非负实数b。
在二次根式中，a 称为根式的被开方数，b 称为根式的值。
2. 性质：（1）二次根式的值是不唯一的，因为一个数的平方可能有两个相反的值。
（2）二次根式的乘法：√a * √b = √(a * b)。
即根式的乘积等于被开方数的乘积的二次根式。
（3）二次根式的除法：√a / √b = √(a / b)。
即根式的商等于被开方数的除法的二次根式。
二、分式方程的概念与解法1. 概念：分式方程是一个含有分式的方程，其中方程中至少有一个变量（未知数）存在于分式中。
2. 解法：解决分式方程的关键是将方程中的分式转化为整式，从而得到更简化的等式。
下面将介绍三种常见的解法。
（1）通分法：将方程中的所有分式的分母找出最小公倍数，并使每个分式的分母都等于最小公倍数，然后将方程两边同乘以最小公倍数，消去分母。
（2）消去法：通过观察可以将分式方程进行简化，将分子或分母中某些数值相同的项通过消去的方式，从而得到一个更简单的等式，进而求解。
（3）代换法：对于某些特定的分式方程，可以通过适当的代换使得方程更加简洁，然后利用已知的数学性质求解。
三、例题分析1. 题目：求解方程 3 / (x+2) + 2 / (x-1) = 1解法：采用通分法解此方程。
首先，找到最小公倍数为 (x+2)*(x-1)，然后将方程两边同时乘以(x+2)*(x-1)，得到 3*(x-1) + 2*(x+2) = (x+2)*(x-1)。
经过展开和整理后，得到 7x - 7 = x^2 + x - 2。
进一步整理后变为 x^2 - 6x + 5 = 0。
数学知识点二次根式与分式的运算
数学知识点二次根式与分式的运算数学知识点：二次根式与分式的运算在数学中，二次根式与分式是常见的运算形式。
二次根式表示被开方数的平方根，而分式则表示数之间的比值。
正确地运用二次根式与分式的运算规则，能够更高效地解决问题。
本文将详细介绍二次根式与分式的运算方法和规则。
一、二次根式的运算二次根式是形如√a的表达式，其中a为非负实数。
在运算二次根式时，常见的操作有合并同类项、分解因式、有理化等。
1. 合并同类项合并同类项是将同一根号内的数合并，然后再进行开方。
例如：√9 + √4 = √(9+4) = √132. 分解因式分解因式是将根号内的数按照倍数的形式分解，以便于提取出根号外的因式。
例如：√12 = √(4×3) = √4 × √3 = 2√33. 有理化有理化是将二次根式中含有根号的分母进行处理，使其变为分母不含根号的形式。
例如：1/√2 = (1/√2) × (√2/√2) = √2/2二、分式的运算分式是形如a/b的表达式，其中a为分子，b为分母。
分式的运算包括四则运算、化简、通分、约分等。
1. 四则运算分式的四则运算与整数的四则运算类似，根据需要进行加、减、乘、除的操作。
例如：(1/2) + (1/3) = (3/6) + (2/6) = 5/62. 化简化简是将分式的分子与分母进行约分，使其达到最简形式。
例如：4/8 = (4÷4) / (8÷4) = 1/23. 通分通分是将分式的分母化为相同的公共分母，以便于进行加减运算。
例如：(1/2) + (1/3) = (3/6) + (2/6) = 5/64. 约分约分是将分数的分子与分母进行化简，使其达到最简形式。
例如：4/8 = (4÷4) / (8÷4) = 1/2三、综合运算在实际问题中，常常需要综合运用二次根式与分式的运算。
例如：例1：计算√(5+2√6) × √(5-2√6) 的值。
第三讲--分式与二次根式
5、二次根式：式子 a（a≥0）
注意：（1）式子 a 表示 a的算术平方根 （2） a ≥0
6、二次根式的性质： （1）（ a）² =a(a≥0）（2） a2 |a|
（3） ab a b（ a≥0, b≥0 ）
（4） a a（ a≥0, b>0 ）
bb
7、二次根式的运算：加减，乘除，分母有理化
a 1
a2 2a 1 的值
a2 a
例6、汽车从A地开往B地，每小时行驶 v1km，t小时可以到达，如果每小时多行 v2km，那么可以提前a小时到达。
（1）已知t, v1，v2，求a
（2）已知a, t，v2，求v1
例7、判断下列各式是否立？
2 2 2 2 33
请用含有m的式子表 示以上规律：
(A) 2x2 (B) b2 1 (C)
4a (D)
1 x
（2）若b<0,化简 ab2 的结果是 ( D )
(A) -b ab (B) b ab (C) b ab (D) b a
(3)下列运算正确的是 (C )
1
(A) 2 1 1 2
(B) 3－ 2 0＝0
(C) 18 50＝ 36 25 (D) （ 3)2 3
（3）（ 5）²=5 （4）52 =5 中
正确的是：（__4_）____
4、若y= x 3 3 x +4 ，则xy=_1_2_
5、当式子
x2
x
5 4x 5
的值为零时，x的值是_-_5__
6、若 a 12 +a+1=0，则a的范围: a≤-1
7、下列各式中，正确的是 （D）
说明：运算结果必须为最简根式
中考数学考前满分计划：整式、分式、二次根式、因式分解(含解析)
○热○点○考○点○解○读一、整式1．单项式与多项式单独的一个数或一个字母也是单项式．2．合并同类项合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变，例如：合并同类项3x 2y 和4x 2y 为3x 2y +4x 2y =（3+4）x 2y =7x 2y ．3．整式的运算（1）整式的加减运算实际就是合并同类项．（2）整式的乘法：()()a b m n am an bm bn ++=+++．（3）整式的除法：单项式除以单项式时，把系数、相同字母的幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则照抄下来；多项式除以单项式时，用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．（4）乘法公式①平方差公式：22()()a b a b a b +-=-．②完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+．4．幂的运算性质（1）同底数幂相乘法则：m n m n a a a +⋅=（,m n 为整数，0a ≠）（2）幂的乘方法则：()m n mn a a =（,m n 为整数，0a ≠）（3）积的乘方法则：()n n n ab a b =（n 为整数，0ab ≠）整式、分式、二次根式、因式分解常识必背语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．5．用十字相乘法分解因式利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用（ax ＋b ）（cx ＋d ）乘法法则．它的一般规律是：（1）对于二次项系数为1的二次三项式，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式（2）对于二次项系数不是1的二次三项式（a ，b ，c 都是整数且a ≠0）来说，如果存在四个整数，使，，且，那么．一个式子是分式需满足的三个条件：q px x ++2))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++c bx ax ++22121,,,c c a a a a a =⋅21c c c =⋅21b c a c a =+1221c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=易错易混2．约分（1）分式约分时，要注意不注意符号导致的错误．（2）要注意约分不彻底导致的错误．（3）约分时需注意分式的分子、分母都是乘积形式时才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常先将分子、分母分解因式，再约分．（4）约分的结果是整式或最简分式．（5）分式的约分是恒等变形，约分前后分式的值不变．3．分解因式要彻底．方法必知1．同类项（1）几个项是不是同类项，一看所含字母是否完全相同．二看相同字母的指数是否相同．“二同”缺一不可．（2）同类项与单项式的系数无关，与字母顺序无关，几个常数项也是同类项．（3）同类项不一定是两项，也可以是三项，四项……但至少为两项．2．合并同类项（1）合并同类项时，注意合并的只是系数，字母部分不变，不要漏掉．（2）合并同类项时，注意各项系数的符号，尤其系数为负数时，不要遗漏负号，同时不要丢项．（3）如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项的结果为0．3．整式的加减的最后结果的要求：（1）不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；（2）一般按照某一字母的降幂或升幂排列；（3）不能出现带分数，带分数必须要化为假分数．4．整式的化简求值（1）化简求值题一般先按整式的运算法则进行化简，然后再代入求值．（2）在求整式的值时，代入负数时应用括号括起来，作为底数的分数也应用括号括起来5．约分时需要注意的问题：（1）如果分子、分母中至少有一个是多顶式，就应先分解因式，然后找出分子、分母的公因式，再约分．（2）注意发现分式的分子和分母的一些隐含的公因式，如a﹣5与5﹣a表面虽不相同，但通过提取“﹣”可发现含有公因式（a﹣5）．（3）当分式的分子或分母的系数是负数时，可利用分式的基本性质，把负号提到分式的前面．通分时确定了分母乘什么，分子也必须随之乘什么，要防止只对分母变形而忽略了分子，导致变形前后分式的值发生变化而出错．6．分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，在运算过程中要注意正确地运用运算法则，灵活地运用运算律，使运算尽量简便．7．因式分解（1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式；（2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式；（3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止；（4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算．8．提公因式法（1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式．（2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样．（3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数．9．十字相乘法这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数之积；（3）一次项系数是常数项的两个因数之和．◇以◇练◇带◇学1．（鞍山）下列运算正确的是( )A ．222(4)8ab a b =B ．22423a a a +=C ．642a a a ÷=D ．222()a b a b +=+2．（攀枝花）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．（邵阳）下列计算正确的是( )A ．623a a a =B ．235()a a =C ．22()()a ba ba b a b +=+++D ．01()13-=4．（内蒙古）下列运算正确的是( )A+=B ．236()a a -=C ．11223a a a+=D ．21133b ab a b÷=5．（成都）若23320ab b --=，则代数式2222(1)ab b a ba a b---÷的值为 ．6．x 的取值范围是 ．7．（扬州）分解因式：24xy x -= ．8．（内蒙古）分解因式：34x x -= ．9．（盐城）先化简，再求值：2(3)(3)(3)a b a b a b +++-，其中2a =，1b =-．10．（滨州）先化简，再求值：22421()244a a a a a a a a -+-÷---+，其中a 满足211(6cos6004a a --⋅+︒=．1．（官渡区校级模拟）按一定规律排列的式子：a ，32a ，54a ，78a ，916a ，⋯，则第2024个式子为( )A ．202320252a B ．20244047(21)a -C ．202340472a D ．202440492a 2．（济南一模）下列运算正确的是( )A ．22a b ab+=B ．2222a b a b a b-=C ．238()a a =D ．84222a a a ÷=3．（金山区二模）单项式22a b -的系数和次数分别是( )A ．2-和2B ．2-和3C ．2和2D ．2和34．（龙岗区模拟）下列计算正确的是( )A ．236a a a ⋅=B ．2323a a a +=C ．2234(3)218ab ab a b -⋅=-D ．326(2)3ab ab b ÷-=-5．（中山市校级一模）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是( )A ．2()a a b a ab+=+B ．23()3a ab a a b +-=+-C ．22282(4)ab a a b -=-D ．228(2)(4)a a a a --=+-6．（钱塘区一模）下列因式分解正确的是( )A ．241(41)(41)a a a -=+-B ．225(5)(5)a a a -+=+-C ．22269(3)a ab b a b --=-D ．22816(8)a a a -+=-7．（新乡一模）化简2422a a a ---的结果是( )A ．2a +B ．2a -C ．12a +D ．12a -8．（东莞市校级模拟）分式23x x --的值为0时，x 的值是( )A ．0x =B ．2x =C ．3x =D ．2x =或3x =9．（碑林区校级一模）先化简，再求值：2[(2)(2)(2)](4)a b b a b a a --+-÷，其中12a =，2b =．10．（龙湖区校级一模）先化简，再求值：2344(111x x x x -+-÷++，其中3x =．1．按一定规律排列的单项式：3x ，54x -，79x ，916x -，⋯，第n 个单项式是( )A ．1221(1)n n n x ---B ．1221(1)n n n x ++-C ．1221(1)(1)n n n x ---+D ．1221(1)(1)n n n x ++-+2．下列运算正确的是( )A ．22(4)16x x -=-B ．325x y xy +=C ．432x x x ÷=D ．2224()xy x y =3．下列语句正确的是( )A ．5-不是单项式B ．a 可以表示负数C ．25a b -的系数是5，次数是2D ．221a ab ++是四次三项式4．下列因式分解正确的一项是( )A ．222()x y x y +=+B ．24(2)(2)x x x -=+-C ．2221(1)x x x --=-D ．242(2)xy x xy x +=+5．要使分式11x x -+有意义，则x 应满足的条件是( )A ．1x ≠-B ．1x ≠C ．1x <-D ．1x >-6．下列二次根式中，属于最简二次根式的是( )AB C D7．计算：0|1tan 60|(2024-︒+．8．先化简，再求值：2344(111x x x x -+-÷++，其中3x =．9．先化简，再求值：2(2)(4)a a a -++，其中a =．10．先化简，再求值：(2)(2)4()a b a b a a b -+--，其中2a =-，1b =．1．【答案】C【分析】根据积的乘方，合并同类项，同底数幂的除法法则，完全平方公式进行计算，逐一判断即可解答．【解答】解：A 、222(4)16ab a b =，故A 不符合题意；B 、22223a a a +=，故B 不符合题意；C 、642a a a ÷=，故C 符合题意；D 、222()2a b a ab b +=++，故D 不符合题意；故选：C ．2．【答案】D【分析】观察各个图形及相应的代数恒等式即可得到答案．【解答】解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④，故选：D ．3．【答案】D【分析】分别根据分式的加减法则、幂的乘方与积的乘方法则、零指数幂的运算法则对各选项进行逐一计算即可．【解答】解：A 、633a a a=，原计算错误，不符合题意；B 、236()a a =，原计算错误，不符合题意；C 、221()()a b a b a b a b+=+++，原计算错误，不符合题意；D 、01()13-=，正确，符合题意．故选：D ．4．【答案】D【分析】根据二次根式的加法、幂的乘法与积的乘方以及分式的运算的计算方法解题即可．【解答】解：A +=≠B ．2366()a a a -=-≠，故该选项不正确，不符合题意；C ．11123222223a a a a a a+=+=≠，故该选项不正确，不符合题意；21131.333b a D ab a ab b b ÷=⨯=，故该选项正确，符合题意；故选：D ．5．【答案】23．【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．【解答】解：2222(1ab b a b a a b---÷2222(2)a ab b a b a a b--=⋅-222()a b a b a a b-=⋅-()b a b =-2ab b =-，23320ab b --= ，2332ab b ∴-=，223ab b ∴-=，∴原式23=．故答案为：23．6．【答案】3x >．【分析】根据记二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：30x ->，解得：3x >，故答案为：3x >．7．【分析】原式提取x ，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式2(4)(2)(2)x y x y y =-=+-，故答案为：(2)(2)x y y +-8．【分析】应先提取公因式x ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：34x x -，2(4)x x =-，(2)(2)x x x =+-．故答案为：(2)(2)x x x +-．9．【分析】依据题意，利用平方差公式和完全平方公式将原式进行化简，再将a ，b 的值代入计算即可求解．【解答】解：2(3)(3)(3)a b a b a b +++-2222699a ab b a b =+++-226a ab =+．当2a =，1b =-时，原式22262(1)=⨯+⨯⨯-812=-4=-．10．【答案】244a a -+，1．【分析】将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算，结合负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值化简，整体代入得出答案．【解答】解：原式2421[(2)(2)a a a a a a a -+-=÷---224(2)(2)(1)[](2)(2)a a a a a a a a a a -+--=÷---22244(2)a a a a a a a ---+=÷-24(2)4a a a a a --=⋅-2(2)a =-244a a =-+， 211()6cos6004a a --⋅+︒=，2430a a ∴-+=，243a a ∴-=-，∴原式341=-+=．1．【答案】C【分析】由题目可得式子的一般性规律：第n 个式子为：1212n n a --⋅，当2024n =时，第2024个式子为：202340472a ⋅，即可得出答案．【解答】解：式子的系数为1，2，4，8，16， ，则第n 个式子的系数为：12n -；式子的指数为1，3，5，7，9， ，则第n 个式子的指数为：21n -，∴第n 个式子为：1212n n a --⋅，当2024n =时，第2024个式子为：202340472a ⋅，故选：C ．2．【答案】B【分析】根据合并同类项法则、幂的乘方法则、单项式除以单项式法则分别判断即可．【解答】解：A 、2a 与b 不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；B 、2222a b a b a b -=，故此选项符合题意；C 、236()a a =，故此选项不符合题意；D 、84422a a a ÷=，故此选项不符合题意；故选：B．3．【答案】B【分析】数字与字母的积叫做单项式，其中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；由此计算即可．【解答】解：单项式22a b -的系数和次数分别是2-和3，故选：B ．4．【答案】D【分析】根据整式相关运算法则逐项判断即可．【解答】解：235a a a ⋅=，故A 错误，不符合题意；a 与22a 不能合并，故B 错误，不符合题意；2234(3)218ab ab a b -⋅=，故C 错误，不符合题意；326(2)3ab ab b ÷-=-，故D 正确，符合题意；故选：D ．5．【答案】D【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【解答】解：A ．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B ．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；C ．22282(4)2(2)(2)ab a a b a b b -=-=+-，分解不彻底，从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；D ．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意．故选：D ．6．【答案】B【分析】根据平方差公式和完全平方公式逐个判断即可．【解答】解：A ．241(21)(21)a a a -=+-，故本选项不符合题意；B ．225(5)(5)a a a -+=+-，故本选项符合题意；C ．22269(3)a ab b a b -+=-，故本选项不符合题意；D ．22816(4)a a a -+=-，故本选项不符合题意；故选：B ．7．【答案】A【分析】根据分式的加减法运算法则计算即可．【解答】解：2244(2)(2)22222a a a a a a a a a --+-===+----，故选：A ．8．【分析】分式的值为零时：分子等于零且分母不为零．据此求得x 的值．【解答】解：依题意得：20x -=，解得2x =．经检验当2x =时，分母30x -≠，符合题意．故选：B ．9．【答案】2a b -，1-．【分析】先利用平方差公式和完全平方公式进行计算，再根据多项式除以单项式的法则进行计算，最后把12a =，2b =代入计算即可．【解答】解：原式2222[44(4)](4)a ab b b a a =-+--÷2222(444)(4)a ab b b a a =-+-+÷2(84)(4)a ab a =-÷2a b =-，当12a =，2b =时，原式12212=⨯-=-．10．【答案】12x -，1．【分析】先算小括号里面的，然后算括号外面的，最后代入求值．【解答】解：原式213(2)()111x x x x x +-=-÷+++2211(2)x x x x -+=⋅+-12x =-，当3x =时，原式1132==-．1．【答案】B【分析】根据单项式的数字系数的符号，数字系数和指数的变化规律即可得出结果．【解答】解：在上述单项式中，可以发现：奇数项的数字系数的符号为正，偶数项的数字系数的符号为负，∴可得：第n 个单项式的数字系数的符号为：1(1)n --或1(1)n +-，单项式的数字系数为：1，4，9，16， ，∴第n 个单项式的数字系数为：2n ，单项式的指数为：3，5，7，9， ，∴第n 个单项式的指数为：21n +，∴第n 个单项式是1221(1)n n n x ++-，故选：B ．2．【答案】D【分析】根据整式的运算法则逐项分析判断即可．【解答】解：A 、22(4)816x x x -=-+，原计算错误，不符合题意；B 、3x 与2y 不是同类项，不能合并，故原计算错误，不符合题意；C 、43x x x ÷=，原计算错误不符合题意；D 、2224()xy x y =，正确，符合题意；故选：D ．3．【答案】B【分析】根据单项式的定义可判断A ，根据字母表示数的意义可判断B ，根据单项式系数和次数的定义可判断C ，根据多项式的项和次数的定义可判断D ，进而可得答案．【解答】解：A 、5-是单项式，故本选项错误，不符合题意；B 、a可以表示负数，故本选项正确，符合题意；C 、25a b -的系数是5-，次数是3，故本选项错误，不符合题意；D 、221a ab ++是二次三项式，故本选项错误，不符合题意；故选：B ．4．【答案】B【分析】根据因式分解的定义进行判断即可．【解答】解：A 、222()x y x y +≠+不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；B 、24(2)(2)x x x -=+-符合因式分解的定义，且因式分解正确，故本选项符合题意；C 、2221(1)x x x --≠-，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；D 、242(2)xy x x y +=+，原因式分解错误，故本选项不符合题意；故选：B ．5．【分析】先根据分式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可．【解答】解：由题意，得10x +≠，解得1x ≠-，故选：A ．6．【分析】直接利用最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，进而得出答案．【解答】解：A =，不是最简二次根式，故此选项错误；B ，是最简二次根式，故此选项正确；C 2=，不是最简二次根式，故此选项错误；D =故选：B ．7．．【分析】根据二次根式的混合运算法则和零指数幂与特殊的三角函数值等知识点计算即可．【解答】解：原式11=---+11=-+=．8．【答案】12x -，1．【分析】先算小括号里面的，然后算括号外面的，最后代入求值．【解答】解：原式213(2)()111x x x x x +-=-÷+++2211(2)x x x x -+=⋅+-12x =-，当3x =时，原式1132==-．9．【答案】224a +，原式8=．【分析】先利用完全平方公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把a 的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．【解答】解：2(2)(4)a a a -++22444a a a a=-+++224a =+，当a =224224448=⨯+=⨯+=+=．10．【答案】24ab b -，原式9=-．【分析】先利用平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把a ，b 的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．【解答】解：(2)(2)4()a b a b a a b -+--222444a b a ab=--+24ab b =-，当2a =-，1b =时，原式24(2)11819=⨯-⨯-=--=-．。
分式和二次根式2010-10-14
1.写出下列等式中的未知的分子或分母.
(a2+ab ) a+b = ab a2b
2 ab+b (2) = 2 ab +b
(1)
a+b
( ab+1 )
(3)
a -b a+b
a2+b2-2ab
=
(
)
a2 –b2
(4)
a+b = ab
2a2+2ab
(2a2b )
2.下列变形正确的是( a a2 = b b2 2-x X-2 = X-1 1-x
（２）
（３）
x 7．如果把分式 x＋y 中的x和y的值都扩大３倍， 则分式的值（ B ） Ａ 扩大３倍 Ｂ不变 Ｃ缩小１／３ Ｄ缩小１／６
8．如果把分式
则分式的值（
Ａ 扩大３倍
A
xy x＋y 中的x和y的值都扩大３倍， ） Ｂ不变 Ｃ缩小１／３ Ｄ缩小１／６
9．若x，y的值均变为原来的１／３ ，则分式 （ ）． C Ａ 是原来的１／３ Ｂ 是原来的１／９ Ｃ 保持不变 Ｄ 不能确定
=
5
,求
2x-3xy+2y -x+2xy-y
的值.
3.已知 x +
1
x
=3 , 求
x2
+
1
x2
的值.
变: 已知
x2
– 3x+1=0 ,求
x 2+
1
x2
的值.
1 变:已知 x+ =3 ,求 x
x2 x4+x2+1
的值.
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子， 把分母相乘的积作为积的分母。
数学中的二次根式与分式
数学中的二次根式与分式在数学中，二次根式和分式是我们经常会遇到的两个概念。
它们在解决方程、计算和简化表达式等方面都具有重要的作用。
本文将详细介绍二次根式和分式的定义、性质以及它们在数学中的应用。
一、二次根式的定义与性质二次根式是指根号下包含二次项的表达式。
具体地说，对于一个非负实数a和正整数n，我们定义二次根式√a为满足以下条件的实数x：x的n次方等于a，即x^n = a。
其中，n称为根式的指数，而a则是根式的被开方数。
二次根式的性质如下：1. 非负性质：二次根式的值不会小于0，即根号下的被开方数必须为非负实数。
2. 分解性质：对于一个二次根式√ab，可以将其分解为√a * √b。
3. 合并性质：对于两个同类项的二次根式√a和√b，可以合并为√(a+b)。
4. 化简性质：如果被开方数能够整除完全平方数，那么二次根式就可以化简为一个有理数。
二、分式的定义与性质分式是数学中的一种表达形式，通常由分子和分母组成，中间用分数线分隔。
分式可以表示两个数之间的关系，其中分子表示被除数，分母表示除数。
分式的定义如下：对于两个整数a和b（其中b≠0），我们定义分式a/b为两个整数a和b的比值。
在分式中，a被称为分子，b被称为分母。
分式的性质如下：1. 除法性质：分式表示的是除法运算，即a/b = a÷b。
2. 分子和分母的性质：在一个分式中，如果分子和分母乘（或除）以同一个非零实数k，则分式的值不变。
3. 分式的简化：如果分子和分母有一个公因数，那么可以进行约分，将分式化简为最简形式。
4. 分式的加减乘除：两个分式的加减可以通过通分和化简的方法进行，两个分式的乘除可以通过分子乘分子、分母乘分母的方法进行。
三、二次根式与分式的联系与应用二次根式和分式在数学中经常会有联系，并在解决问题中应用到一起。
1. 化简分式时可以利用二次根式的性质进行转化。
比如，在分式中出现二次根式时，可以将其转化为最简形式，使得分母中不存在二次根式。
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2006年中考数学第一轮复习专题训练 (三) （分式和二次根式） 一、填空题：（每题 3 分，共 36 分） １、当 x ＿＿＿＿时，分式x 2x －3有意义。
２、当＿＿＿＿时，a －2有意义。
３、计算：a 2a －1－a －1＝＿＿＿＿。
４、化简：(x 2－xy)÷x －y xy ＝＿＿＿＿。
５、分式b 2a 2，4a 3bc ，a 5c 2的最简公分母是＿＿＿＿。
６、比较大小：23＿＿＿＿32。
７、已知x ＋2y 2y ＝ 5 2，则x ＋y y 的值是＿＿＿＿。
８、若最简根式x ＋1和y 3是同类根式，则 x ＋y ＝＿＿＿＿。
９、仿照20.5＝22·0.5＝4×0.5＝2的做法，化简313＝＿＿＿＿。
10、当 2＜x ＜3 时，(2－x)2－(x －3)2＝＿＿＿＿。
11、若3的小数部分是 a ，则 a ＝＿＿＿＿。
12、若 ＝1－x ＋x －1＋2成立，则 x ＋y ＝＿＿＿＿。
二、选择题：（每题 4 分，共 24 分） １、下列各式中，属于分式的是（ ） A 、x －y 2 B 、2x ＋y C 、12x ＋ D 、x 2 ２、对于分式1x －1总有（ ） A 、1x －1＝x －1(x －1)2 B 、1x －1＝x ＋1x 2－1 C 、1x －1＝12(x －1)2 D 、1x －1＝11－x
３、下列根式中，属最简二次根式的是（ ） A 、27 B 、x 2＋1 C 、12 D 、a 2b ４、可以与18合并的二次根式是（ ） A 、27 B 、6 C 、13 D 、8 ５、如果分式2x x ＋y 中的 x 和 都扩大为原来的 2 倍，那么分式的值（ ） A 、扩大 2 倍 B 、扩大 4 倍 C 、不变 D 、缩小 2 倍 ６、当 x ＜0 时，｜x 2－x ｜等于（ ） A 、0 B 、－2x C 、2x D 、－2x 或0 三、计算：（每题 6 分，共 24 分） y y y …
…
…
…
…
…
…
…
…
…
密
…
…
…
…
…
…
…
…
封
…
…
…
…
…
…
…
…
装
…
…
…
…
…
…
…
…
订
…
…
…
…
…
…
…学校：＿＿＿＿＿＿ 班级：＿＿＿＿＿ 姓名：＿＿＿＿＿＿ 座号：＿＿＿＿
１、(
b
2a2
)3÷(
2b2
3a
)0×(－
b
a
)－2２、(
x2
x－2
＋
4
2－x
)÷
x＋2
2x
３、8－4
2
＋12４、(32－23)2
四、计算：（每题6 分，共24 分）
１、
x
x＋y
－
y
y－x
＋
2xy
x2－y2
２、
x2－1
x2＋4x＋4
÷(x＋1)·
x2＋3x＋2
x－1
３、20＋5
5
－
1
3
·12４、4b
a
b
＋
2
a a
5b3－3ab (1
ab
＋4ab)
五、解答题：（每题8 分，共32 分）
１、某人在环形跑道上跑步，共跑两圈，第一圈的速度是x 米/分钟，第二圈的速度是米/分钟（x＞），则他平均一分钟跑的路程是多少？
y
y
２、若菱形的两条对角线的长分别为 32＋23 和 32－23，求菱形的面积。
３、如图，是某住宅的平面结构示意图，图中标明了有关尺寸（墙体厚度忽略不计，单位：m ），
房主计划把卧室以外的地面都铺上地砖，如果他选用的地砖的价格是 a 元/m 2
，则买砖至少需要多少元？若每平方米需砖 b 块，则他应该买多少块砖？（用含 a ，x ，的代数式表示）。
六、（10分）某同学作业本上做了这么一道题：“当 a
＝ 时，试求 a ＋a 2－2a ＋1的
值”，其中 是被墨水弄污的，该同学所求得的答案为12
，请你判断该同学答案是否正确，说出你的道理。
y 卧室 y 2y x 2x 4y 4x
答案
（三）
一、1、≠32、a≥23、
1
a－1
4、x2y
5、30a2bc2
6、＜
7、2
8、4
9、310、111、3－112、3
二、1、B2、A3、B4、D5、C6、B
三、1、＝b3
8a6
·1×
a3
b2
＝
b
8a4
2、＝
x＋2
x－2
·
2x
x＋2
＝
2x
x－2
3、＝22－22＋23＝23
4、＝18－126＋12＝30－126
四、1、＝x2－xy
x2－y2
＋
xy＋y2
x2－y2
＋
2xy
x2－y2
＝
(x＋y)2
x2－y2
＝
x＋y
x－y
2、
x＋1
x＋2
3、＝2＋1－2＝1
4、4ab＋2ab ab－3ab－6ab ab＝ab－4ab ab
五、1、
2
1
x
＋
1
y
2、
1
2
(32＋23) (32－23)＝1
2
(18－12)＝3
3、解：2x·4y＋x·2y＋xy＝8xy＋2xy＋xy＝11xy①11axy元②11bxy块
六、a＋(a－1)2＝a＋| a－1 |当a≥1 时，上式＝2a－12a－1＝1
2
时，a＝
3
4
（不合题意）
当a＜1时，上式＝1∴该同学答案不对。