北京大学线性代数方博汉线代B物院2018秋期中考试题

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北京大学线性代数方博汉线代B2017经院期末考试题

其中A, B ∈ Mn×n(R), Bt是矩阵B的转置, tr表示矩阵的迹. • 请验证如此定义的双线性函数确实是内积, 这样Mn×n(R)构成了一个欧几里德空间. (5分)
• 设U ⊂ Mn×n(R)为所有反对称矩阵的全体, 它是一个子空间(不用证明). 对任何的方阵A = (aij), 试用aij写出PU A, 即A在子空间U 上的正交投影. (10分)
1
2
LINEAR ALGEBRA B FINAL, 2:00PM-4:00PM
• 正交补空间U ⊥的维数是多少? (8分) • 若非零子空间U 里的任何两个向量α, β满足f (α, β) = 0, 这样的子空间
是否存在(2分), 可能的最大维数是多少(5分)？ (6) (15分) 设V 是复数域C上的n维线性空间.
(1) (15分) 设矩阵A为
A=
1 −1
2 4
• 写出A的特征值和特征向量. A可不可以对角化? (8分)
• 考察线性变换A : M2×2(C) → M2×2(C), 定义为A(U ) = A−1U A, 这里U ∈ M2×2(C)是一个2阶复数方阵. 写出这个线性变换的特征值和特征向量, 并且判断A是不是可以对角化并说明理由. (7分)
(4) (15分) 实对称矩阵
0 2 4 A = 2 −3 2 .
420
是否存在实矩阵B使得B2 = A; 若没有，是否存在复矩阵B使得B2 = A? 请说明你这么判断的理由.
(5) (15分) 设K是一个数域, 考察下述K2n上的非退化反对称双线性函数
f (α, β) = x1y1 − y1x1 + x2y2 − y2x2 + · · · + xnyn − ynxn, 其中

2017-2018学年北京师范大学附属中学下学期高二年级期中考试数学(理科)试题-解析版

绝密★启用前北京师范大学附属中学2017-2018学年下学期高二年级期中考试数学（理科）试题第I卷（选择题）一、单选题1．已知i为虚数单位，复数在复平面上对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】分析：根据除法运算将复数化为代数形式，得到复数对应的点后可得结论．详解：，所以复数对应的点为，位于第一象限．故选A．点睛：由复数的几何意义可得，复数、复平面内的点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可根据向量的知识来理解复数运算的几何意义．2．若直线（t为参数）的倾斜角为α，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由直线的参数方程中参数的系数的意义可得，进而可得的值．详解：∵直线的参数方程为（t为参数）∴，∴．故选C ．点睛：本题考查直线的参数方程中参数系数的意义，主要考查学生的理解能力，属于容易题．3．已知双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的虚轴长为2，焦距为近线方程为（）A. y =B. 2y x =±C. 2y x =± D. 12y x =±【答案】C【解析】由题意知∴2=c 2-b 2∴渐近线方程为y=±ba 2x.故选C.视频 4．计算定积分()12xex dx +=⎰ ( )A. 1B. e-1C. eD. e+1【答案】C【解析】试题分析： ()()121002|11xx ex dx e x e e +=+=+-=⎰，故选：C ．考点：定积分． 5．下面为函数的递增区间的是 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：求出导函数，根据导函数的符号判断即可．详解：∵， ∴，∴当时，单调递增，∴函数的递增区间的是．故选B ．点睛：解题时注意单调性与导函数符号间的关系，即当时，函数在相应区间上单调递增（减），但反之不成立．同时解题时还要注意三角函数值的符号，可借助三角函数的图象来判定．6．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩，（t 为参数），圆C 的极坐标方程是θρcos 4=则直线l 被圆C 截得的弦长为（）A ．142 C ．2 D ．22 【答案】D【解析】试题分析：直线的普通方程为40x y --=，圆的直角坐标方程为()2224x y -+=，圆心到直线的距离d ==2222l d r l ⎛⎫+=∴= ⎪⎝⎭考点：1．参数方程化普通方程；2．极坐标与直角坐标的转化；3．直线与圆相交的弦长问题7．如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA 1=2，点G 与E 分别是A 1B 1和CC 1的中点，点D 与F 分别是AC 和AB 上的动点．若GD ⊥EF ，则线段DF 长度的最小值为 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：建立空间直角坐标系，设出点F,D 的坐标，求出向量,，利用GD ⊥EF求得关系式，然后可得到DF 长度的表达式，最后利用二次函数求最值．详解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0),E (0,2,1),G (1,0,2),F (x ,0,0),D (0,y ,0)，则,，由于GD⊥EF，所以，所以，故，所以当时，线段DF长度取得最小值，且最小值为．故选A．点睛：建立空间直角坐标系后，可将立体几何问题转化为数的运算的问题来处理，解题时要注意建立的坐标系要合理，尽量多地把已知点放在坐标轴上，同时求点的坐标时要准确．8．已知函数的图象关于点(-1，0)对称，且当x∈(-∞，0)时，成立，(其中f′(x)是f(x)的导数）；若, ，，则a，b，c的大小关系是（）A. a>b>cB. b>a>cC. c>a>bD. c>b>a【答案】B【解析】分析：令，则，可得在(∞，0)上单调递增．由函数的图象关于点(1，0)对称，可得函数的图象关于点(，0)对称，故函数为奇函数，所以函数为偶函数，且在(∞，0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减．由于，可得．详解：令，则，∴当x∈(∞，0)时，函数单调递增．∵函数的图象关于点(1，0)对称，∴函数的图象关于点(，0)对称，∴函数为奇函数，∴函数为偶函数，且在(∞，0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减．又，，∴．故选B．点睛：（1）本题考查函数性质的综合运用，解题时要认真分析题意，从中得到函数的相关性质．（2）解题时注意偶函数性质的运用，即若函数为偶函数，则，运用这一性质可将问题转化到同一单调区间上研究．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题9．若复数z满足，其中i为虚数单位，则|z|=____________．【答案】【解析】分析：先求得复数z，再求|z|．详解：∵，∴，∴．点睛：本题考查复数的乘法运算和复数的模，解题的关键是正确得到复数，然后再根据模的定义求解．10．在极坐标系中，极点到直线的距离是________．【答案】【解析】分析：将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，再根据点到直线的距离公式求解．详解：由题意得，整理得，把代入上式可得，故直线的直角坐标方程为，所以所求距离为．故极点到直线的距离是．点睛：解题的关键是把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，其中要注意转化公式的合理利用．11．如图，圆222:O x y π+=内的正弦曲线sin y x =与x 轴围成的区域记为M (图中阴影部分)，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是______________．【答案】π34【解析】3003y sinx x M S 2sinxdx 2cosx |4O A A M P 4/B ππππ==⎰=-==解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为正弦曲线与轴围成的区域记为，根据图形的对称性得：面积为，由几何概率的计算公式可得，随机往圆内投一个点，则点落在区域内的概率故选．12．设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为_____．【答案】【解析】试题分析：对y ＝e x 求导得y ′＝e x ，令x ＝0，得曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线y ＝(x >0)上点P 处的切线斜率为－1，由y ′＝－＝－1，得x ＝1，则y ＝1，所以P 的坐标为(1，1)．考点：导数的几何意义．视频 13．已知函数在x=-2处取得极值，并且它的图象与直线在点(1，0)处相切，则函数f(x)的表达式为________________。

北京市第四中学20172018学年高二数学下学期期中试题理

北京四中2017－2018学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1. 复数z 满足（1+i ）z=i ，则在复平面内复数z 所对应的点位于 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 定积分⎰+1)2(dx e x x 的值为A. e+2B. e+1C. eD. e －13. 曲线y=x 3－2x+1在点（1，0）处的切线方程为 A. y=x －1B. y=－x+lC. y=2x －2D. y=－2x+24. 函数y=xcosx 的导数为 A. y'=cosx －xsinx B. y'=cosx+xsinx C. y'=xcosx －sinxD. y'=xcosx+sinx5. 设f （x ）=x 2－2x －4 lnx ，则函数f （x ）的增区间为 A. （0，+∞） B. （－∞，－1），（2，+∞） C. （2，+∞）D. （－1，0）6. 若复数z=（x 2－4）+（x+3）i （x ∈R ），则“z 是纯虚数”是“x=2”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 函数f （x ）的定义域为开区间（a ，b ），其导函数f'（x ）在（a ，b ）内的图象如图所示，则函数f （x ）在开区间（a ，b ）内极小值点的个数为A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. 直线y=3x 与曲线y=x 2围成图形的面积为A.227B. 9C.427D.29 9. 若函数y=f （x ）的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y=f （x ）具有T 性质. 下列函数中具有T 性质的是A. y=sinxB. y=lnxC. y=e xD. y=x 310. 函数f （x ）=x 3－3x －1，若对于区间[－3，2]上的任意x 1，x 2，都有|f （x 1）－f （x 2）|≤t ，则实数t 的最小值是A. 20B. 18C. 3D. 011. 设函数f'（x ）是奇函数f （x ）的导函数，f （－1）=0，当x>0时，xf'（x ）－f （x ）<0，则使得f （x ）>0成立的x 的取值范围是A. （－∞，－1）（0，1）B. （－1，0）（1，+∞）C. （－∞，－1）（－l ，0）D. （0，1）（1，+∞）12. 设函数f （x ）=（x －2）lnx －ax+l ，若存在唯一的整数x 0，使得f （x 0）<0，则a 的取值范围是A. （0，33ln 1+） B. （21，33ln 1+]C. （33ln 1+，1）D. [33ln 1+，1）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 13. 下列是关于复数的类比推理：①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则； ②由实数绝对值的性质|x|2=x 2类比得到复数z 的性质|z|2=z 2；③已知a ，b ∈R ，若a －b>0，则a>b 类比得已知z 1，z 2∈C ，若z 1－z 2>0，则z 1>z 2； ④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义. 其中推理结论正确的是__________.14. 如图，函数y=f （x ）的图象在点P 处的切线方程是y=－x+8，则f （2018）+f'（2018）=_________.15. 已知函数f（x）=e x－2x+a有零点，则a的取值范围是_________.16. 已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=l处有极值10，则（a，b）=__________.17. 函数f（x）=ax3+bx2+cx的图象如图所示，且f（x）在x=x0与x=－1处取得极值，给出下列判断：①f（1）+f（－1）=0；②f（－2）>0；③函数y=f'（x）在区间（－，0）上是增函数. 其中正确的判断是_________. （写出所有正确判断的序号）18. 对于函数f（x）=（2x－x2）e x①（－2，2）是f（x）的单调递减区间；②f（－2）是f（x）的极小值，f（2）是f（x）的极大值；③f（x）有最大值，没有最小值；④f（x）没有最大值，也没有最小值.其中判断正确的是________.三、解答题：本大题共4小题，每小题15分，共60分.19. 已知函数f （x ）=ax 3+x 2a ∈R . 在x=－34处取得极值. （I ）确定a 的值；（II ）若g （x ）=f （x ）·e x，讨论g （x ）的单调性.20. 设f （x ）=a （x －5）2+6lnx ，其中a ∈R ，曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线与y 轴相交于点（0，6）.（I ）确定a 的值；（II ）求函数f （x ）的单调区间与极值. 21. 已知函数f （x ）=e x+ax -1. （I ）当a=21时，求函数f （x ）在x=0处的切线方程；（II ）函数f （x ）是否存在零点?若存在，求出零点的个数；若不存在，请说明理由. 22. 已知函数f （x ）=xx 1ln -－ax. （I ）当a=2时，（i ）求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（ii ）求函数f （x ）的单调区间；（II ）若1<a<2，求证：f （x ）<－1.参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 ACAACBADAAAB二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 13①④ 14 －2011 15 （－∞，2ln2－2]16（4，－11） 17 ②③ 18 ②④三、解答题：本大题共4小题，共60分.19. 解：（I ）对f （x ）求导得f'（x ）=3ax 2+ax ，因为f （x ）在x=－34处取得极值，所以f'（－34）=0，即3a ·916+2·（－34）=316a －38=0，解得a=21.（II ）由（I ）得g （x ）=（2321x x +）e x ，故g'（x ）=（x x 2232+）e x+（2321x x +）e x ＝（x x x 2252123++）e x=21x （x+1）（x+4）e x . 令g'（x ）=0，解得x=0，x=－1或x=－4. 当x<－4时，g' （x ）<0，故g （x ）为减函数；当－4<x<－1时，g'（x ）>0，故g （x ）为增函数；当－1<x<0时，g'（x ）<0，故g （x ）为减函数；当x>0时，g'（x ）>0，故g （x ）为增函数.综上知，g （x ）在（－∞，－4）和（－l ，0）内为减函数，在（－4，－1）和（0，+∞）内为增函数.20. 解：（I ）因f （x ）=a （x －5）2+6 lnx ，故f'（x ）=2a （x －5）+x6. 令x=1，得f （1）=16a ，f' （1）=6－8a ，所以曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y －16a=6－8a （x －1），由点（0，6）在切线上可得6－16a=8a －6，故a=21.（II ）由（I ）知f （x ）=21（x －5）2+6lnx （x>0），f'（x ）=x －5+x 6=x x x )3)(2(--.令f'（x ）=0，解得x 1=2，x 2=3.当0<x<2或x>3时，f'（x ）>0，故f （x ）在（0，2），（3，+∞）上为增函数；当2<x<3时，f'（x ）<0，故f （x ）在（2，3）上为减函数. 由此可知f （x ）在x=2处取得极大值f （2）=29+6ln2，在x=3处取得极小值f （3）=2+6ln3. 21. 解：（I ）f （x ）=e x+a x -1，f'（x ）=e x－2)(1a x -，f' （0）=1－21a .当a=21时，f'（0）=－3. 又f （0）=－1，则f （x ）在x=0处的切线方程为y=－3x －l. （II ）函数f （x ）的定义域为（－∞，a ）（a ，+∞）. 当x ∈（a ，+∞）时，e x>0，a x -1>0，所以f （x ）=e x+ax -1>0，即f （x ）在区间（a ，+∞）上没有零点.当x ∈（－∞，a ）时，f （x ）=e x+ax -1=a x a x e x -+-1)(，令g （x ）=e x（x －a ）+1，只要讨论g （x ）的零点即可. g'（x ）=e x（x －a+1），g'（a －1）=0.当x ∈（－∞，a －1）时，g'（x ）<0，g （x ）是减函数；当x ∈（a －1，a ）时，g'（x ）>0，g （x ）是增函数，所以g （x ）在区间（－∞，a ）上的最小值为g （a －1）=1－ea －1.当a=1时，g （a －1）=0，所以x=a －1是f （x ）的唯一的零点；当a<l 时，g （a －1）=1－e a －1>0，所以f （x ）没有零点；当a>l 时，g （a －1）=1－ea －1<0. 所以f （x ）有两个零点.22. 解：（I ）当a=2时，f （x ）=xx 1ln -－2x. f'（x ）=2ln 2xx-－2=22ln 22x x x --. （i ）可得f'（1）=0，又f （1）=－3，所以f （x ）在点（1，－3）处的切线方程为y=－3.（ii ）在区间（0，1）上2－2x 2>0，且－lnx>0，则f'（x ）>0.在区间（1，+∞）上2－2x 2<0，且－lnx<0，则f' （x ）<0. 所以f （x ）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）. （II ）由x>0，f （x ）<－1，等价于xx 1ln -－ax<－l ，等价于ax 2－x+1－lnx>0. 设h （x ）=ax 2－x+1－lnx ，只须证h （x ）>0成立.因为h'（x ）=2ax －1－x1=x x ax 122--，1<a<2，由h'（x ）=0，得2ax 2－x －1=0有异号两根.令其正根为x 0，则2ax 20－x 0－1=0.在（0，x 0）上h'（x ）<0，在（x 0，+∞）上h'（x ）>0.则h （x ）的最小值为h （x 0）=ax 20－x 0+1－lnx 0=000ln 121x x x -+-+ =00ln 23x x --.又h'（1）=2a －2>0，h'（21）=2（232-a ）=a －3<0，所以21<x 0<1. 则230x ->0，－lnx 0>0.因此230x -－lnx 0>0，即h （x 0）>0. 所以h （x ）>0所以f （x ）<－1.。

北京大学樊铁栓数理上2018秋期中考试题

数学物理方法（上）前四章综合练习（2018-11-16）姓名学号(本次练习共2页,总计4道大题,合计100分,完成时间120分钟)一、选择与填空（50分）1．（6分）复数()()23cos5sin 5cos3sin 3i i ϕϕϕϕ+-的（1）指数表示式=() ；（2）三角表示式=() 。

2.（6分) 对数函数()ln 1w z =+是多值函数，其原因来自：（A ）arg z 的多值性；（B ）()arg 1z +的多值性；（C ）z 数值的不确定性；（D ）()1z +数值的不确定性。

3．（6分）设函数()f z 在复连通区域G 内解析，C 为G 内的分段光滑曲线，端点为A 和B ，则积分()C f z dz ⎰（A ）与积分路径无关，但与端点坐标有关；（B ）与积分路径有关，但与端点坐标无关；（C ）与积分路径和端点坐标均无关；（D ）与积分路径和端点坐标均有关。

4．（6分）级数1sinh n in ∞=的收敛性为：（A ）通项不趋于0；（B ）通项趋于0，发散；（C ）条件收敛；（D ）绝对收敛。

5．（7分）幂级数()11n n n i z ∞=-∑的收敛半径为（A ） 1；（B；（C ）；（D ） 12 。

6．（7分）现有复数()i x e φ，其中()x φ是实变数x 的实函数，则()i x e φ的（1）实部() =；（2）虚部() =；（3）模() =；（4）辐角() =。

7．（7分）已知()42e f z d z πςςςς=-⎰＝，则有（1）()() f i =；（2）()()34 f i -=。

8. （5分）请判断()sin ln i z 是（A ）多值函数；（B ）单值函数。

二、（20分）请计算（1）（12分）积分()()*25n z z f n dz z ==-⎰，其中n 是整数，*z 是复数z 的复共轭。

（2）（8分）积分()3cos 2C z I dz z z π=-⎰，C 为曲线14z =。

北京市北京师范大学附属中学2018届高三上学期期中考试数学(文)试题Word版含解析

北京师大附中2018 届上学期高中三年级期中考试数学试卷（文科）本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟 .一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的. 请将答案填写在答题纸上.1. 已知会合，，则会合中元素的个数为（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】 C【分析】由，解得：，即，∵，∴，则会合中元素的个数为 2 ，应选 C.2. 以下函数中为偶函数的是（）A. B. C. D.【答案】 A【分析】 A ．的定义域为，定义域对于原点对称，，故其为偶函数；对于 B. 的定义域为，因为定义域不对于原点对称，故其为非奇非偶函数；对于 C. 的图象对于对称，故其为非奇非偶函数； D.依据指数函数的性质可得，的图象既不对于原点对称也不对于轴对称，其为非奇非偶函数，故选 A.3. 已知直线 m， n 和平面α，假如，那么“ m⊥n”是“ m⊥ α”的（）A. 充足而不用要条件B. 必需而不充足条件C. 充足必需条件D. 既不充足也不用要条件【答案】 B【分析】若，则，即必需性建立，当时，不必定建立，一定垂直平面内的两条订交直线，即充足性不建立，故“”是“”的必需不充足条件，故选 B.4. 已知平面向量，则a与a+b的夹角为（）A. B. C. D.【答案】 A【分析】∵向量，，∴，，设与的夹角为，，则由，可得，应选 A.5. 在等比数列中，，，则等于（）A. 9B.72C.9或 72D. 9 或 -72【答案】 D【分析】设等比数列的公比为，∵，，∴，解得或，故或，应选 D.6. 设 x， y 知足则的最小值为（）A.1B.C.5D.9【答案】 B【分析】作出不等式组对应的平面地区如图：的几何意义是地区内的点到定点的距离的平方，由图象知 A 到直线的距离最小，此时距离，则距离的平方，应选 B.7. 若函数的相邻两个零点的距离为，且，则函数的极值点为（）A. B.C. D.【答案】 D【分析】∵函数的相邻两个零点的距离为，∴，故，又∵，即函数为奇函数，故可得，联合得，故，∴，令，得，经查验为极值点，应选 D.8.中国历法推断依照以测为辅、以算为主的原则，比如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷 (gu ǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测获得的，其余节气的晷影长则是依照等差数列的规律计算得出的，下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，此中115.1 寸表示 115 寸 1 分（ 1 寸 =10 分） .已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0 寸，夏至晷影长为 14.8 寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为()A. 72.4 寸B. 81.4 寸C. 82.0 寸D. 91.6 寸【答案】 C【分析】设晷影长为等差数列，公差为，，，则，解得，∴，∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是寸，故选 C.二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分 . 请将答案填写在答题纸上 .9. 设 i 为虚数单位，复数=______________.【答案】【分析】，故答案为.10. 在△ ABC 中，角 A ， B ，C 的对边分别为a，b， c.若 c=4，，则a=_______， S△ABC =_________.【答案】(1). 2(2).11.若一个几何体由正方体挖去一部分获得，其三视图以下图，则该几何体的体积为_________.【答案】【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个正方体挖去一个同底同高的四棱锥获得的组合体，正方体的体积为：，四棱锥的体积为：，故组合体的体积，故答案为.点睛：此题考察的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档；由已知中的三视图可得：该几何体是一个正方体挖去一个同底同高的四棱锥获得的组合体，分别计算他们的体积，相减可得答案.12. 已知向量a=（1,1），点A（3,0），点B为直线y=2x上的一个动点，若∥ a，则点 B 的坐标为_____________.【答案】（-3， -6）【分析】设，，∵，∴，解得，∴，故答案为.13. 已知函数，.（1）当 k=0 时，函数 g（ x）的零点个数为 ____________；（ 2）若函数g（ x）恰有 2 个不一样的零点，则实数k 的取值范围为 _________.【答案】(1). 2(2).【分析】（ 1）当时，，明显可得，当时，无零点，当当时，时，时，，当，函数单一递加，而且当有两个零点，即和，解得，故函数的零点个数为 2 个；（ 2）时，，函数单一递减，当时，即函数图象在轴的下方，函数的图象有两个交点，以下图：函数图象的最低点对应的函数值为，函数图象最高点对应的函数值为，要使两图象有两个交点，故应知足，故答案为.点睛：此题主要考察函数零点个数的判断，将方程转变为两个函数的订交个数问题是解决本题问题的基本方法，利用导数研究函数的单一性与极值是解决此题的重点，在该题中最简单出现的的错误是判断当时，函数图象一直在轴下方.14. 在平面直角坐标系xOy 中， A （ -12,0 ）， B （ 0,6），点P 在圆O：上，若，则点P 的横坐标的取值范围是_________.【答案】【分析】设，由，易得，由，可得或，由得 P 点在圆左侧弧上，联合限制条件，可得点P 横坐标的取值范围为．点睛 : 对于线性规划问题，第一明确可行域对应的是关闭地区仍是开放地区、分界限是实线仍是虚线，其次确立目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、仍是点到直线的距离等，最后联合图形确立目标函数的最值或取值范围．三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.15. 已知等比数列的公比q>0，且.（ I）求公比q 和的值；（ II ）若的前n项和为，求证：.【答案】 ( Ⅰ)q=2..( Ⅱ) 证明看法析 .【分析】试题剖析：（Ⅰ）因为为等比数列，所以由等比数列的性质得，又因为，所以，因为，所以，因为，即得．因为，所以，即；（Ⅱ）由（ 1）得，，所以,因为，所以．试题分析：（Ⅰ）因为为等比数列，且，所以，因为，所以，因为，所以．因为，所以，即（Ⅱ）因为，所以因为所以,因为，所以．考点：等比数列的通项公式和乞降公式．16. 已知函数.（ I）求的值；（ II ）求函数的最小正周期和单一递加区间.【答案】 ( Ⅰ)；( Ⅱ) 最小正周期. . 单一递加区间为【分析】试题剖析：（Ⅰ）因为，直接令，即可求得的值；（Ⅱ）由正弦函数的和差公式化简得，由三角函数的周期公式即可求得函数的最小正周期，令，，即可得函数的单一递加区间．试题分析：（Ⅰ）因为所以（Ⅱ）因为所以所以周期．令，解得，．所以的单一递加区间为考点：三角函数的性质．17. 如图，在四棱锥E-ABCD 中， AE ⊥DE ， CD ⊥平面 ADE ，AB ⊥平面ADE ， CD=DA=6 ， AB=2 ， DE=3.（I）求棱锥 C-ADE 的体积；（II ）求证：平面 ACE ⊥平面 CDE ；（ III ）在线段DE 上能否存在一点F，使 AF ∥平面 BCE ？若存在，求出的值；若不存在，说明原因.【答案】 ( Ⅰ)；( Ⅱ) 证明看法析；( Ⅲ) 答案看法析.【分析】试题剖析：（ I）在中，，可得于平面，可得；（II）由平面而获得平面，即可证明平面平面；（III）在线段平面，．设为线段上的一点，且，过作线面垂直的性质可得：．可得四边形是平行四边形，于是，由，可得，进上存在一点，使交于点，由，即可证明平面试题分析：（ I ）在Rt△ ADE 中，，因为CD ⊥平面ADE ，所以棱锥C-ADE 的体积为.（II ）因为所以平面平面，，又因为平面平面，所以，所以平面.又因为平面，，（III ）在线段上存在一点F，且，使平面.解：设为线段因为平面上一点，且，平面，过点作，所以交于，又因为，则.所以又因为，平面，所以四边形，平面是平行四边形，则，所以平面..点睛：此题考察了线面面面垂直与平行的判断与性质定理、三棱锥的体积计算公式、平行线分线段成比率定理，考察了推理能力与计算能力，属于中档题；因为“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间能够互相转变，所以整个证明过程环绕着线面垂直这个中心而睁开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在，证明线面平行的几种常有形式：1、利用三角形中位线获得线线平行；2、结构平行四边形；3、结构面面平行.18.已知点 A （ a，3），圆 C 的圆心为（ 1,2），半径为 2.（I）求圆 C 的方程；（II ）设 a=3，求过点 A 且与圆 C 相切的直线方程；（ III ）设a=4，直线l 过点 A 且被圆 C 截得的弦长为，求直线l 的方程；（IV ）设a=2，直线过点A，求被圆 C 截得的线段的最短长度，并求此时的方程.【答案】（I）；（II ）（III ）或或；；（IV ）；.【分析】试题剖析：（ I ）由圆心和半径可得圆的方程为程的点斜式为，利用点到直线的距离为圆的半径2，可解出；（ II ）设切线方，当直线的斜率不存在时也知足题意；（III）由直线被圆截得的弦长为，故而圆心到直线的距离为当与，利用点到直线的距离解出的值即可得直线方程；（ IV ）第一判断点在圆内，垂直时，直线截圆所得线段最短，可得直线的方程，再求出点到直线的距离即可求出弦长.试题分析：（ I ）圆 C 的方程为；（II ）当直线斜率存在时，设切线方程的点斜式为，即则圆心到直线的距离为率不存在时，直线方程为，解得，知足题意，故过点，即切线方程为A 且与圆 C 相切的直线方程为，当斜或；（III ）设直线方程为弦心距为，，即，因为直线被圆截得的弦长为，解得或，即直线的方程为，故而或；（IV ）∵∵，∴点在圆内，当与，∴直线的斜率为，故直线的方程为，故弦长为.垂直时，直线截圆所得线段最短，，圆心到直线的距离为19. 已知函数（ I）若曲线.存在斜率为-1 的切线，务实数 a 的取值范围；（II）求的单一区间；（ III ）设函数，求证：当时，在上存在极小值.【答案】( Ⅰ).( Ⅱ) 答案看法析；( Ⅲ) 证明看法析.【分析】试题剖析：( Ⅰ) 求出函数的导数，问题转变为存在大于0 的实数根，依据在时递加，求出的范围即可；( Ⅱ) 求出函数的导数，经过议论的范围，判断导函数的符号，求出函数的单一区间即可；( Ⅲ) 求出函数的导数，依据，获得存在知足，进而获得函数的单一区间，求出函数的极小值，证出结论即可.试题分析：（ I ）由得.由已知曲线存在斜率为-1 的切线，所以存在大于零的实数根，即存在大于零的实数根，因为在时单一递加，所以实数 a 的取值范围.（II ）由可得当时，，所以函数的增区间为；当时，若，，若，，所以此时函数的增区间为，减区间为.（III ）由及题设得，由可得，由（II ）可知函数在上递加，所以，取，明显，，所以存在知足，即存在知足，所以，在区间（1， +∞）上的状况以下：－0 +↘极小↗所以当 -1<a<0 时， g（ x）在（ 1， +∞）上存在极小值.（此题所取的特别值不独一，注意到），所以只要要即可)点睛：此题考察了函数的单一性、最值问题，考察导数的应用以及分类议论思想、是一道综合题，属于难题；导数的几何意义即函数在某一点处的导数即为在该点处切线的斜率，利用分类议论的思想解决含有参数的函数的单一性，在该题中主要依照导函数的零点与定义域的关系睁开议论.20. 已知椭圆C：的两个焦点和短轴的两个极点组成的四边形是一个正方形，且其周长为.（ I）求椭圆 C 的方程；（ II ）设过点 B （ 0， m）（ m>0）的直线与椭圆 C 订交于E，F 两点，点 B 对于原点的对称点为 D ，若点 D 总在以线段EF 为直径的圆内，求m 的取值范围 .【答案】 ( Ⅰ)；(Ⅱ).【分析】试题剖析：（ I）由题意列出方程组求出，，由此能求出椭圆的方程． ( Ⅱ)当直线的斜率不存在时，的方程为，，点 B 在椭圆内，由，得，由此利用根的鉴别式、韦达定理、弦长公式、由此能求出的取值范围.试题分析：（ I ）解：由题意，得：又因为解得，所以椭圆 C 的方程为.（II ）当直线的斜率不存在时，由题意知的方程为x=0 ，此时 E， F 为椭圆的上下极点，且，因为点总在以线段为直径的圆内，且，所以，故点 B 在椭圆内 .当直线的斜率存在时，设的方程为.由方程组得，因为点 B 在椭圆内，所以直线与椭圆 C 有两个公共点，即.设，则.设 EF的中点，则，所以.所以，，因为点 D 总在以线段EF 为直径的圆内，所以对于恒建立.所以.化简，得，整理，得，而（当且仅当k=0 时等号建立）所以，由 m>0，得.综上， m 的取值范围是.。

北京大学线性代数方博汉线代B物院2018秋期末考试题(回忆版)

2018秋线性代数期末(回忆版)教师：⽅博汉(1)(20分) V 为实数域 ℝ 上 n 维线性空间，若正交线性映射 f:V →V 特征值为1的特征⼦空间 W 维数为 n −1 。

证明 f =id -−2P ，其中 id - 为 V 上恒同映射， P 为向 W 的正交补空间 W 0 的正交投影映射。

(2)(20分) 复数和四元数的矩阵表⽰• 设 V 为实数域上2阶实矩阵空间 M 2×2(ℝ) 的⼦空间，试找到⼀组基 {1,i} ，使得1 ∙1=1,1∙i =i ∙1=i,i ∙i =−1• 设 V 为实数域上2阶复矩阵空间 M 2×2(ℝ) 的⼦空间（所以共有8维），试找到⼀组基 {1,i,j,k} 使得1∙1=1,1∙i =i ∙1=1,1∙j =j ∙1=j,1∙k =k ∙1=1 i 2=j 2=k 2=i ∙j ∙k =−1 (3)(20分) 设矩阵A =>0000011010010000@ 若将 A 视为实数域上正交矩阵，求⼀组正交基，使得A 化为标准的分块对⾓化的形式(10分)；若将A 视为⾣矩阵，求⾣空间中⼀组正交基，使得A 对⾓化。

(10分)(4)(20分) 若A 为复数域上 n 阶⽅阵，定义exp (A )=D A E k!GEHI =I +A +A 22!+A L 3!+⋯可以⽤Jordan 标准形证明，对于任意矩阵，右边的式⼦是收敛的(你不⽤证明)。

• (10分)证明：expOtr (A )R =det (exp (A))•(10分)证明：若A是反对称矩阵，则 exp (A) 是正交矩阵。

(提⽰：先证明若AB=BA，则 exp(A+B)=exp(A)∙exp (B) 可以直接⽤这个结论证明，得5分)(5)(20分) 设 V 为复数域上 n 维线性空间。

我们知道 V⊗V 上有同构σ(α⊗β)=β⊗α(a) (2分) 设 S={v∈V⊗V |σ(v)=v } ，S 是 V⊗V 的⼦空间(你不⽤证明这个事实)，求 S 的维数，设 V 的⼀组基为 {e\,e2,⋯,e]}。

北京师大附中2017-2018学年下学期高二年级期中考试数学试卷(文科)(解析版)

2
f (2) ，
A. c b a
B. b a c
C. b c a【答案】 BFra bibliotekD. a b c
【解析】
分析：首先根据题意知函数图像关于
x 1 对称，即可知 a
1 f( )
5 f ( ) ，再结合
y
f ( x) 在 (1,
)上
2
2
单调递增，得出 f (2)
5 f( )
f (3) ，即可得出答案 .
故选： A．
【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，利用函数奇偶性的定义进行判断，是解决本题的关键．
x2 y2
4.设双曲线 a2 b2 1 (a>0， b>0) 的虚轴长为 2，焦距为 2 3 ，则双曲线的渐近线方程为 (
)
A. y＝ ± 2 x
B. y＝ ±2x
C. y＝ ± 2 x 2
【答案】 C 【解析】
调性 .
3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（
）
A. y x2 sin x
B. y x2 cos x
C. y
2x
1 2x
【答案】 A
D. y x sin 2x
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性的定义进行判断即可．【详解】解： A． f（﹣ x）＝（﹣ x） 2+sin（﹣ x）＝ x2﹣sin x，则 f（﹣ x）≠﹣ f（x ）且 f（﹣ x）≠ f（x），
则函数 f（ x）为非奇非偶函数；
B． f（﹣ x）＝（﹣ x） 2﹣ cos（﹣ x）＝ x2﹣ cosx＝ f（ x），则函数 f（ x）是偶函数；
C． f（﹣ x） 2 x
1 2x

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ι : V ∗ → Map(A, K),
这里Map(A, K)是集合A到数域K的函数的全体, 构成一个线性空间. 对任何V 上的线性函数r ∈ V ∗, ι(r)就是r限制在集合A上, 即ι(r)(αi)定义为r(αi). 试证明:
• (5分) 若rankA = n, 则ι是单射; • (5分) 若A线性无关, 则ι是满射.
线性代数B 期中考试十月三十日1:00PM-2:50PM
请在另外提供的答题本上答题。务必在答题本封面清楚的标注您的姓名、院系和学号。本试卷考试结束后不用回收。请写出解答过程。考试期间不可以使用计算器手机等电子设备，不可以参考任何电子或纸质材料，不可以从其他人那里获得任何帮助。本试卷共100分。
(1) (20分) 求下列方程组的通解
x1 + x2 + 5x3 = 0, 3x1 + 2x2 + x3 − x4 = 1,
2x1 + x2 − 4x3 − x4 = 1, 4x1 + 3x2 + 6x3 − 3x4 = 1.
(2) (20分)n × n矩阵A, J为
a11 a12 . . . a1n
现在令V = Q3, 这里Q是有理数域. 设
1
0
1 = 0 , 2 = 1 ,
0
0
0 3 = 0 .
1
若η1, . . . , ηn是另外一组基
2
0
3
η1 = 1 , η2 = 1 , η3 = 0 .
−1
1
1
用V ∗的基 ∨1 ,
∨ 2
,
∨ 3
线性表出η1∨,
η2∨
,
η3∨.
(6) (10分)设A = {α1, . . . , αs}为K上有限维线性空间V 中的向量组, 设V 的维数是n. 考察映射
(5) (20分) 数域K上的线性空间V 的对偶空间V ∗为从V 到K的所有线性映射构成的集合Hom(V, K). 若V 的一组基是α1, . . . , αn, 定义对偶基αi∨ ∈ V ∗使得∀j,
αi∨(αj ) = δij =
1, if i = j, 0, if i = j.
1
2
LINEAR ALGEBRA B
(3) (20分) 求下列向量组的秩和它的一个极大无关组 α1 = (1, 3, −2, 6), α2 = (4, 7, −4, 11), α3 = (2, 1, 0, −1), α4 = (1, −2, 2, −7).
(4) (10分) 设A ∈ Ms×n(K), B ∈ Mn×s(K)且AB = 0, 证明 rank(A) + rank(B) ≤ n,
A
=
a21 . . .
a22 ...
...
a2n
,
an1 an2 . . . ann
0 0 0 . . . 0 0
1 0 0 . . . 0 0
J
=
.
0 ..
1 ...
0 ......0源自0 .00 . . . 1 0 0
0 0 ... 0 1 0
试计算AJ和JA并指出何时AJ = JA.