北京大学线性代数方博汉线代B2016期中考试题
北京大学线性代数方博汉线代B2017经院期末考试题
其中A, B ∈ Mn×n(R), Bt是矩阵B的转置, tr表示矩阵的迹. • 请验证如此定义的双线性函数确实是内积, 这样Mn×n(R)构成了一个 欧几里德空间. (5分)
• 设U ⊂ Mn×n(R)为所有反对称矩阵的全体, 它是一个子空间(不用证 明). 对任何的方阵A = (aij), 试用aij写出PU A, 即A在子空间U 上的正 交投影. (10分)
1
2
LINEAR ALGEBRA B FINAL, 2:00PM-4:00PM
• 正交补空间U ⊥的维数是多少? (8分) • 若非零子空间U 里的任何两个向量α, β满足f (α, β) = 0, 这样的子空间
是否存在(2分), 可能的最大维数是多少(5分)？ (6) (15分) 设V 是复数域C上的n维线性空间.
(1) (15分) 设矩阵A为
A=
1 −1
2 4
• 写出A的特征值和特征向量. A可不可以对角化? (8分)
• 考察线性变换A : M2×2(C) → M2×2(C), 定义为A(U ) = A−1U A, 这 里U ∈ M2×2(C)是一个2阶复数方阵. 写出这个线性变换的特征值和特 征向量, 并且判断A是不是可以对角化并说明理由. (7分)
(4) (15分) 实对称矩阵
0 2 4 A = 2 −3 2 .
420
是否存在实矩阵B使得B2 = A; 若没有，是否存在复矩阵B使得B2 = A? 请说明你这么判断的理由.
(5) (15分) 设K是一个数域, 考察下述K2n上的非退化反对称双线性函数
f (α, β) = x1y1 − y1x1 + x2y2 − y2x2 + · · · + xnyn − ynxn, 其中
2016年北大博雅计划数学试题及答案
K M
B D
由弦切角定理，得
∠DKM = ∠BAK = ∠KLM,
又 ∠KLA = ∠KM L，于是可得 ∠AKL = ∠BKL，因此由角平分线定理可得 AL : BL = AK : BK，从 而可得 BL = 25．
12.解 C． 分别令 x = 0, 1, −1，可得
2f (0) + f (−1) = 1,
B. 12
C. 13
D. 前三个答案都不对
11. 两个圆内切于 K，大圆的弦 AB 与小圆切于 L，已知 AK : BK = 2 : 5，AL = 10，则 BL 的长为 ( )
A. 24
B. 25
C. 26
D. 前三个答案都不对
(
)
Ä √ä
12. f (x) 是定义在 R 上的函数，且对任意实数 x 均有 2f (x) + f x2 − 1 = 1，则 f − 2 等于 ( )
22ff
(1) + f (0) = 1, (−1) + f (0) = 1,
解得
f (0)
=
f (1)
=
f (−1)
=
1 ．再令
x
=
−√2，可得
√ 2f (− 2)
+
f (1)
=
1，从而
√ f (− 2)
=
1．
3
3
13.解 A．
以正 9 边形的某个顶点为等腰三角形的底边所对顶点的等腰三角形有 4 个，其中有一个是正三角形．因
的 x 的个数为 11，分别为
11213123415 ,,,,,,,,,,.
23344555566
5.解 A． 根据题意，有
北京大学高等代数_I+2016+期中考试题+-+答案
北京大学数学学院期中试题一．（16分）（1）叙述向量组线性相关, 线性无关, 向量组极大无关组的定义 ;（2）已知向量组α1 , ... , α s 能线性表出β1 , ... , β r , 且α1 , ... , α s 的秩等于β1 , ... , β r 的秩 . 证明: β1 , ... , β r 也能线性表出α1 , ... , αs .二．（16分）计算n 级行列式 D = nn 2n 1n n 22212n 12111b a n b a n b a n b a b a b a b a b a b a +++++++++222111. 解：n = 1时，D = 1+ a 1b 1 ；n = 2时，D =（2a 1–a 2 ）（b 1–b 2 ）；n>2时，D = n1n 21n 11n n 12212112n 12111b a n a b a n a b a n a b a a b a a b a a b a b a b a )()()()2()2()2(111------+++= 0 .三．（24分）设矩阵 A 的列向量依次为α1 , ... , α5 . 已知齐次方程组A X = 0解空间的一组基为 [ 3 1 1 0 0 ] T , [ 5 6 1 2 -1 ] T .1) 求A 的简化阶梯型矩阵J ;2) 求A 列向量组的一个极大无关组, 并用此极大无关组表出A 的每个列向量;3) 求 A 行空间的一组基, 并判断当a 取何值时，β = [ 1 a 0 3 2a –1 ] 落在A 的行空间里, 写出此时β在 基底下的坐标；4) 将A 写成BC 的形式，B 是列满秩的矩阵，C 是行满秩的矩阵.解: 1) 矩阵A 的行空间与A 的解空间在R 5中互为正交补 , 即向量 [ a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 ] 在A 的行空间中当且仅当 3 a 1 + a 2 + a 3 = 0 且 5a 1 + 6a 2 + a 3 +2 a 4 – a 5 = 0 .解此方程组得行空间的一组基⎥⎦⎤⎢⎣⎡---→⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12052001131216500113 得 ⎩⎨⎧++=--=42152132523a a a a a a a a 1 , a 2 , a 4为自由变量. ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++--=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡21000501102030125234214214212154321a a a a a a a a a a a a a a a a 故A 的简化阶梯形为 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-- 00000210005*********. 2) A 列向量组的一个极大无关组为α1 , α2 , α4 , 且α3 = –3 α1 – α2 , α5 = 2 α1 + 5α2 + 2α3 ;3) A 行空间的一组基为简化阶梯形的前3个行向量；若 β = [ 1 a 0 3 2a –1 ] 落在A 的行空间里, 则β在此基底下的坐标只能是 [ 1 a 3 ] T ，且有–3–a = 0 , 2 + 5 a + 6 =2a –1 .此条件当且仅当 a = –3 时成立.故当且仅当 a = –3 时β落在A 的行空间里, 此时β的坐标是[ 1 –3 3 ] T .4) A = [ a 1 a 2 a 4 ] ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--210005*********.四．（12分）设A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000100010. 记 C( A) = { X ∈ M 3 (R) | A X = X A }.1) 证明: 集合C( A )是线性空间M 3 (R) 的子空间;2) 求子空间C( A ) 的维数和一组基 .解：2) C( A ) 的一组基为 I ，A ，A 2 （ A 3 = 0 ）。
北京大学线性代数方博汉线代B物院2018秋期中考试题
这里Map(A, K)是集合A到数域K的函数的全体, 构成一个线性空间. 对 任 何V 上 的 线 性 函 数r ∈ V ∗, ι(r)就 是r限 制 在 集 合A上, 即ι(r)(αi)定 义 为r(αi). 试证明:
• (5分) 若rankA = n, 则ι是单射; • (5分) 若A线性无关, 则ι是满射.
线性代数B 期中考试 十月三十日1:00PM-2:50PM
请在另外提供的答题本上答题。务必在答题本封面清楚的标注您的姓名、院系 和学号。本试卷考试结束后不用回收。请写出解答过程。考试期间不可以使用计算 器手机等电子设备，不可以参考任何电子或纸质材料，不可以从其他人那里获得任 何帮助。本试卷共100分。
(1) (20分) 求下列方程组的通解
x1 + x2 + 5x3 = 0, 3x1 + 2x2 + x3 − x4 = 1,
2x1 + x2 − 4x3 − x4 = 1, 4x1 + 3x2 + 6x3 − 3x4 = 1.
(2) (20分)n × n矩阵A, J为
a11 a12 . . . a1n
现在令V = Q3, 这里Q是有理数域. 设
1
0
1 = 0 , 2 = 1 ,
0
0
0 3 = 0 .
1
若η1, . . . , ηn是另外一组基
2
0
3
η1 = 1 , η2 = 1 , η3 = 0 .
−1
1
1
用V ∗的基 ∨1 ,
∨ 2
,
∨ 3
线性表出η1∨,
η2∨
,
η3∨.
(6) (10分)设A = {α1, . . . , αs}为K上有限维线性空间V 中的向量组, 设V 的维数 是n. 考察映射
北京大学线性代数方博汉线代B物院2018秋期末考试题(回忆版)
2018秋线性代数期末(回忆版)教师：⽅博汉(1)(20分) V 为实数域 ℝ 上 n 维线性空间，若正交线性映射 f:V →V 特征值为1的特征⼦空间 W 维数为 n −1 。
证明 f =id -−2P ，其中 id - 为 V 上恒同映射， P 为向 W 的正交补空间 W 0 的正交投影映射。
(2)(20分) 复数和四元数的矩阵表⽰• 设 V 为实数域上2阶实矩阵空间 M 2×2(ℝ) 的⼦空间，试找到⼀组基 {1,i} ，使得1 ∙1=1,1∙i =i ∙1=i,i ∙i =−1• 设 V 为实数域上2阶复矩阵空间 M 2×2(ℝ) 的⼦空间（所以共有8维），试找到⼀组基 {1,i,j,k} 使得1∙1=1,1∙i =i ∙1=1,1∙j =j ∙1=j,1∙k =k ∙1=1 i 2=j 2=k 2=i ∙j ∙k =−1 (3)(20分) 设矩阵A =>0000011010010000@ 若将 A 视为实数域上正交矩阵，求⼀组正交基，使得A 化为标准的分块对⾓化的形式(10分)；若将A 视为⾣矩阵，求⾣空间中⼀组正交基，使得A 对⾓化。
(10分)(4)(20分) 若A 为复数域上 n 阶⽅阵，定义exp (A )=D A E k!GEHI =I +A +A 22!+A L 3!+⋯可以⽤Jordan 标准形证明，对于任意矩阵，右边的式⼦是收敛的(你不⽤证明)。
• (10分)证明：expOtr (A )R =det (exp (A))•(10分)证明：若A是反对称矩阵，则 exp (A) 是正交矩阵。
(提⽰：先证明 若AB=BA，则 exp(A+B)=exp(A)∙exp (B) 可以直接⽤这个结论证明，得5分)(5)(20分) 设 V 为复数域上 n 维线性空间。
我们知道 V⊗V 上有同构σ(α⊗β)=β⊗α(a) (2分) 设 S={v∈V⊗V |σ(v)=v } ，S 是 V⊗V 的⼦空间(你不⽤证明这个事实)，求 S 的维数，设 V 的⼀组基为 {e\,e2,⋯,e]}。
北大博雅数学2016答案
2016年北京大学博雅计划测试数学 答案1.【解答】A由于()x a x a e e ++'-=-，于是切点横坐标为x =-a ，进而有-(-a )+2=a a e -+-解得a =-3. 【评析】非常基础的问题，注意计算速度和准确度。
2.【解答】B不妨假设0a b c a b c <≤≤+>，。
(1) 0≥； (2) 错误，a =2，b =3，c =4即为反例； (3) 正确，因为有0222a b c a b ca ++-+-=>； (4) 正确，因为有()()()()()1110ab bc c a a b b c c a -++-+--+>-+---=。
【评析】一道灵活结合了不等式和几何三角形的问题，考察学生的代数基本功，总体难度也不算大。
3.【解答】C如图，连接CF ，由于DOE ∆与DFC ∆相似，因此DO DC DE DF ⋅=⋅，从而22421DO =⋅，因此OE ===【评析】非常简单的几何计算。
4.【解答】D满足(0,1)x ∈，且1()7f x >的x 的个数为11，分别为1121312341523344555566，，，，，，，，，，。
【评析】这个函数是非常有名的黎曼函数的一部分，但是对于学生的要求很低，只需要准确理解题意即可，问题本身并不困难。
5.【解答】A根据题意，有()()2242313=x x x x c x ax bx c --+-+++，于是a =-c -10，b =3c -3，从而有a +b -2c =-13。
【评析】简单的待定系数法，注意计算不要出错。
6.【解答】B令2log k x =，则a +x ，a +12x ，a +13x 成等比数列，从而可得x =-4a ，进而可得公比为13。
【评析】涉及等比数列的运算，较为基础。
7.【解答】D 依据题意，有2102458367910coscoscoscos cos cos cos cos cos cos cos cos cos 11111111111111111111111111πππππππππππππ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭224816cos cos cos cos cos 1111111111πππππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭而24816116coscoscos cos cos 2sin cos ...cos 11111111111111112sin 11πππππππππ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1221613212sin cos ...cos ...sin 11111111324sin 32sin 1111ππππππ⎛⎫==== ⎪⎝⎭ 故原式值为11024-【评析】熟悉余弦二倍角连乘的点鞭炮公式的话，此题不算难题，但是要注意计算不能出错。
线代期中考试卷及答案详解
..2012《线性代数》期中考试试卷及答案详解一、单项选择题 (每小题4分，共20分)1. 下列各式中，哪个是5阶行列式det (a ij )的项⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( B )(A) 5541342312a a a a a (B) 2451421533a a a a a (C) 4124335215a a a a a (D) 5433451122a a a a a解 根据n 阶行列式的定义，行列式的算式中，每一项都是不同行、不同列的n 个数的乘积，并且带有符号：(1) 若行标排列是标准排列，则该项的符号取决于列标排列的逆序数的奇偶性；(2) 若列标排列是标准排列，则符号取决于行标排列的逆序数的奇偶性；(3) 若行标、列标排列都不是标准排列，则符号取决于行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性(或者，交换一般项中的元素，使行标成为标准排列，再根据列标排列的逆序数判断).题中每个选项都是5阶行列式不同行、不同列的5个数的乘积，因此，需进一步判断各项是否带有正确的符号.选项(A)错误。
其行标排列是标准排列，列标排列的逆序数为t (23415)=3, 故，列标排列为奇排列，(或者，由于将列标排列23415变成标准排列12345需要进行奇数次对换，也可得23415为奇排列)。
所以选项(A)缺少“-”.选项(B)正确。
其行标和列标排列都不是标准排列，方法一：行标排列和列标排列的逆序数之和t (31452)+t (35214)=4+6=10，得符号为“+”；方法二，交换相乘的元素，使行标成为标准排列，得a 15a 24a 33a 42a 51，此时列标排列54321为偶排列，故取“+”. 同理，选项(C)和(D)错误，都应带“-”.2. 已知n 阶行列式D =1，将D 逆时针旋转90o，得行列式D ~，则D ~的值为⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( C )(A) 1 (B) -1 (C) (-1)n (n -1)/2 (D) (-1)n /2解 将D 逆时针旋转90o ，相当于对D 先作转置(这不会改变行列式的值)，再作上下翻转[即交换n (n -1)/2次相邻行的位置，每次交换都改变行列式的符号]，因此，应选(C).参见“行列式的性质”布置的思考题，或者教材习题一第7题的解答.3. n 阶行列式D n =0的必要条件是⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( D )(A) 有一行(列)元素全为零 (B) 有两行(列)元素对应成比例 (C) 各列元素之和皆为零(D) 以D n 为系数行列式的齐次线性方程组有非零解解 选项(A)(B)(C)都是D n =0的充分条件(但不是必要条件). 只有选项(D)为充分必要条件.4. 已知A , B 均为n 阶方阵，E 是n 阶单位矩阵，则下列命题中正确的是⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( D )(A) 若A ≠B ，则∣A ∣≠∣B ∣(B) 若(A -E )(B -E )=O ，则A =E 或B =E (C) A 2-B 2=( A +B )( A -B ) (D) A 2-E =( A +E )( A -E )解 答案为(D).选项(A)错误，反例：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1112B 选项(B)错误。
北大版-线性代数部分课后答案详解
2•用行列式的泄义证明习题1.2：如如如如1 •写岀四阶行列式中幻I'2勺3"24含有因子的项“3】a 32 a 33a 34«41勺 2«43仙解：由行列式的泄义可知，第三行只能从@2、中选，第四行只能从厲2、中选，所 以所有的组合只有（-l ）f （，324）如给角2知或（-1）"网 a H a 23a 34a 42，即含有因子勺］“23的项为一如吹32% 和 a H a 23a 34a 42证明：第五行只有取他「山2整个因式才能有可能不为°,同理，第四行取“42,第三 行取①I 、©2，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0 •以第 五行为参考，含有的因式必含有0,同理，含有的因式也必含有0“故所有因式都为0 •原命题得证・。
3 •求下列行列式的值:0 1 0♦ • ♦0 •… 0 1 00 02 ♦ • 00 ... 2 0 0(1)■ ■ ■ ■■ ；（2）• • ■ • • •0 00 • • ”一〃 一 1 0 0 0n 0 0 • •• 00 …0 H0 1 0 ♦ • • 00 2• • • 0解：（1） ■ ■ ■■ ■ ■ ■■ ■/lX r(234...nl)=("1)Ix2x3x--•xn =(-1)*"1 n\0 0 ・•・//-In 0 0 • • • 0a 2l0 01 0 0 ■ …2 • •0 ■ 0 ■■ ”一• • …0 • 0 ■0 0 00 n=(-1)侶心5)» B= 如■ •“22 ■■f 1-n…5少…如尸■5肝・・・a nn证明:A=BoE (T 严•”%叫2…％沪Wi"叫z (T 严％%…讣A 叩2・・％和巾 时2 ••叭和巾命题得证。
5•证明：如下2007阶行列式不等于61 2 …2006 200722 32 …20072 2OO82 D=33 • 43 • …20083 • • 20083■• ■■ •• • • •■ ■证明：最后一行元素，除去2007*”是奇数以外，其余都是偶数，故含2008^7的因式也都 是偶数。
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何帮助。本试卷共100分。 (1) （20ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ) 下面线性方程组有没有解？若有，请找出所有的解。
x1 − x2
x1
+2x3 = 1, −2x3 = 1,
x1 − 3x2 +4x3 = 2.
(2) （20分）求矩阵A的逆
1 0 −1 A = −2 1 3 .
3 −1 2
(3) （20分）求下列向量组的秩和它的一个极大无关组
线性代数B（课程号：00131460）期中考试 十一月一日10:10AM-12:00PM, 理教201
请在另外提供的答题本上答题。务必在答题本封面清楚的标注您的姓名、院系 和学号。本试卷考试结束后不用回收。请写出解答过程。考试期间不可以使用计算 器手机等电子设备，不可以参考任何电子或纸质材料，不可以从其他人那里获得任
α1 = (3, 6, 1, 5),
α2 = (1, 4, −1, 3),
α3 = (−1, −10, 5, −7),
α4 = (4, −2, 8, 0).
(4) （20分）请计算下面的矩阵的特征值和每个特征值对应的特征子空间。
0 1 1 2 −1 1
2 −1 1
(5) （10分）给定矩阵
1 −1 A = 2 2 ,
10
B=
3 −4
1 4
,
请问是否存在矩阵C使得CA = B? 若存在，请找出一个来。 (6) （10分）计算An（这里整数n ≥ 1），其中A如下
λ 1
A
=
λ
1 λ
1
.
λ
答案应该是一个矩阵，并且每项是λ, n的表达式。
1