函数数学高三数学第二章第一节.

、选择题 1.设集合A = R ,集合B =正实数集，则从集合 A 到集合B 的映射f 只可能是( )A . f : X T y = |x|B . f : X T y = J XC . f : X T y = 3 xD . f : X T y = Iog 2(1 + |X |) 答案：C解析：指数函数的定义域是R ，值域是(0 ,+^ )，所以f 是X T y = 3- X .12. 设 f(x)= X - 1|—|x|,贝y f[f (2)]=()A .— 1 C.Q答案： 1B . 0 2 D . 1D解析：f(1)= 2- 1- 2 = 0， 1f[f (2)] = f(0) = |0- 1|-|0|= 1，故选 D. 3.函数f : {1,2,3} T {1,2,3}满足f[f(x)] = f(x)，则这样的函数个数共有 ( )A . 1个B . 4个C . 8 个D . 10 个答案：D解析：本题考查映射的性质.以及f[f(x)] = f(x)的条件，可列举出来10个符合要求的 同步检测训练根据映射一对一、多对一的性质，4. (2009北京市东城区)设f(x) = 2- X (0 < X < 1) (X - 2)2 (1<X W 2) 1 A.2 C . 2 —兀 答案：A—3，则f W)的值等于()1D . 2 + ~2-3331解析：设f -1(^)= n ,则f(n) = 2解方程2 — n = ~(0< n < 1),得n = ?,函数f(x)有反函数, 2 3(n -2)2 = ~(1<n < 2))，故选 A.Iog 2x(x>0) 13X0)，则叫)]的值是()3满足f(n)=2的n 只有一个值(不必再解方程5. (2009重庆市诊测)已知函数f(x)=A . -9 C.9答案：C函数：如解析：依题意得 f (4)= log 21=- 2, f[f (4)] = f( — 2) = 3— 2= 9 选 C.sin( n 2) 6.函数 f(x)= x -1 e(—1<x<0),.. ... (x > 0). 若f(1)+ f(a)= 2,则a 的所有可能值为(A . 1B . 1 —亚1, 2C . — 2D .1亚 1, 2答案：B解析：当 a >0 时，f(1) = 1, f(a)= e a —1,二1 + e a —1= 2 ,二 a = 1,当一1<a<0 时，f(1) = 1,f(a) = sin( n a ),••• 1 + sin( n 2) = 2, /. a 21=2,…a =—2 '，故选 B. 7. (2008西南师大附中 )集合A = {a ,b , c}, B = { — 1,0,1}，从A 到B 的映射f 满足f(a)=f(b) + f(c)，那么这样的映射 f 的个数是 ( )A . 2个B . 4个C . 5个D . 7个答案：D解析：当f(a) = — 1时，f(b), f(c)为一1,0或0，— 1，这样的映射有两个；当 f(a)= 0时,f(b), f(c)为—1,1或1,— 1或0,0,这样的映射有三个；当 f(a) = 1时，f(b), f(c)为1,0或0,1, 这样的映射有两个；综上所述，所求映射共7个，故选D.8. (2009江西五校联考)已知函数f(x)= 2—x — 1, (x w 0),若方程f(x)= x + a 有且只有两个不相等的实数根，贝U 实数a 的取值范f(x — 1), (x>0) 围为()A . (— s, 0]B . [0,1)C . (— s, 1)D . [0 ,+s )答案：C解析：函数f(x)的图象如下图所示，从图中可知，当 a > 1时，方程f(x) = x + a 只有一个、填空题9. (2008北京海淀)已知函数f(x)= —|x + 1| (x < 0),2那么不等式f(x)<0的解集为 x 2— 1 (x>0),答案：( — s, — 1) U (— 1,1)—|x + 1|<0,解析：由x < 0,根，当a<1时，满足条件，故选X? —1<0,由得0<x<1，那么不等式f(x)<0的解集为(—8,—1) U (- 1,1),x>0,故填(—^，― 1) U (—1,1).10 . (2008北京崇文)定义在R 上的函数f(x)满足f(x + 1) = —f(x),且f(x)=1 ( —1<x w 0),则f(3)=—1(0<x W 1),答案：—1解析：f(x)满足f(x+ 1) =—f(x),贝y f(x) = —f(x+ 1) =—[ —f(x+ 2)] = f(x+ 2)，贝y f(x)的周期为2, f(3) = f(1) = —1，故填—1.11 . (2009北京海淀区)已知：对于给定的q€ N*及映射f: A宀B, B? N*.若集合C? A, 且C中所有元素对应的象之和大于或等于q，则称C为集合A的好子集.①对于q = 2, A={a, b, c}，映射f: 1, x€ A,那么集合A的所有好子集的个数为_______ ;②对于给定的q, Ax123456nf(x)11111y z若当且仅当C中含有n和至少A中2个整数或者C中至少含有A中5个整数时，C为集合A的好子集.写出所有满足条件的数组(q, y, z)：_______ .答案：4, (5,1,3)解析：①依题意得集合C中的所有元素的象都是1,且要求C中的所有元素的象之和不小于2,因此集合C中的元素个数可以是2个或3个，满足题意的集合C的个数是C3+ C3 =4.②依题意知当C中恰好含有A中5个整数时，C为集合A的好子集，因此q<5;当C 中仅含有A中4个整数时，C不是集合A的好子集，因此q>4.又q € N*，于是q= 5•当C中恰好含有n和A中2个整数时，C为集合A的好子集，因此z+ y+ 1> 5, z+ 2> 5;当C中恰好含有n和A中1个整数时，C不是集合A的好子集，因此5>1 +乙5>y+ z,3< z<4，又z€ N*, 故z= 3, y> 1且y<2，又y€ N*，于是y= 1，所以满足条件的数组(q, y, z)= (5,1,3).三、解答题12.如右图所示.(1) 求对应于折线OABC函数f(x)的解析表达式；(2) 若x=t与折线OABC及x轴所围成(x w t)的部分面积为S,当t € [0,3]时，求S与t的函数关系式，并画出图象.解：(1)函数/(J)的解析表达式为：(応工G r o 11)+y( JC ) = ( i • x 6-「imI 3—JES & w [2*3]. (2)s 与｛之间的函数关系式为；[f ? f G 「OJ). S= v Z-y.f e [1,2 八|— ( r —6 f 十 5)，W [2*3]*图象如下图所示.13.已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且 f(x)= x 2 + 2x.⑴求g(x)的解析式；⑵解不等式 g(x)> f(x)—|x — 1|.解：⑴设函数y = f(x)的图象上任一点 Q(x o , y o )关于原点的对称点为P(x , y),•••点Q(x o , y o )在函数y = f(x)的图象上, ••• — y = x 2— 2x ,即卩 y =— x 2+ 2x , 故 g(x) = — x 2+ 2x.⑵由 g(x)>f(x) — |x — 1|可得：2/—|x — 1|w o. 当x > 1时，2x 2— x + 1< 0,此时不等式无解.当 x<1 时，2x 2 + x — 1 w O , • — 1 w x w 1 因此，原不等式的解集为 14.如右图所示，有一块半径为R 的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底 AB 是O O 的直径，且上底 CD 的 端点在圆周上，写出梯形周长y 关于腰长x 的函数关系式，并求出它 的定义域.解：AB=2R.C 、D 在O O 的半圆周上， 设腰长 AD=BC=x ，作 DE 丄 AB ,x o + x~2~ = o , y °+ y2 =o ,x o = — x , 即y °=— y.DA E O H垂足为E ,连接BD , 那么/ ADB 是直角， 由此 Rt △ ADE s Rt △ ABD.x 2••• AD 2=AE X AB ，即 AE=2R , x 2• CD=AB-2AE=2R-R2 y=2R+2x+(2R-X ),g 卩 R15•已知函数y = f(x)是定义在R 上的周期函数，周期 T = 5,函数 奇函数.又知y = f(x)在［0,1］上是一次函数，在［1,4］上是二次函数， 且在 值，最小值为—5.(1) 证明：f(1) + f(4) = 0;(2) 试求y = f(x), x € ［1,4］的解析式； (3) 试求y = f(x)在［4,9］上的解析式.(1)证明：•/ y = f(x)是以5为周期的周期函数， f(4) = f(4 — 5) = f(— 1). 又 y = f(x)( — K x w 1) 是 奇函数， • f(1) = — f(— 1)=— f(4). • f(1) + f(4) = 0.⑵解：当x € [1,4]时，由题意，可设 f(x)= a(x — 2)2— 5 (a 工 0) 由 f(1) + f(4)= 0 得a(1 — 2)2 — 5 + a(4 — 2)2— 5 = 0 解得a = 2.• f(x)= 2(x — 2)2— 5 (1 w x < 4). ⑶解：•/ y = f(x) (— 1w x w 1)是奇函数, • f(0) = — f(— 0). • f(0) = 0.又y = f(x) (0 w x w 1)是一次函数, •可设 f(x) = kx(0 w x w 1), ••• f(1) = 2(1 — 2)2— 5=— 3, 又 f(1) = k • = k , • k =— 3.•当 0w x w 1 时，f(x) = — 3x ; 当一1w x<0 时，0< — x w 1. • f (x) = — f(— x) = — 3x. •当一1 w x w 1 时，f (x)=— 3x ;再由 所以 x>0x 22R >0x 22R-R>°2y =— * + 2x + 4R ,定义域为(0,2R). R，解得 0<x< ,2R.2X y=- +2x+4R. R所以 y = f(x)( — 1 w x w 1)是 x = 2时函数取得最小■寸W9——XVL■起6WXV9汕@ +X 0 ——H (g ——X o——H(9——X )4LX )4...・L W9——XWL ——■起9 W X W寸汕•6W X V 9 ・g——p—x )cxl1x )4...owxw 寸・9L+xe•9 —ZQ ——x )cxl Hg ——J CXI ——(9——x )r H H (x =。