振动与波习题课
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振动与波习题课
b
c
O
a
.
b
c X t
a 0
b
2
3 c 2
10.如图（a）为t=0时的波形曲线,经0.5s后波形变为（b） 求（1）波动方程 Y (a) (b) u
（2）P点的振动方程
解：O处的振动方程为 0.1
yo A cos(t )
由图得A=0.1 =/2 =4m
( 2k 1) 2 2 1 1 2 ( 2k 1) 4 r1 [ ] 2 ( 2k 1) 2 ( 2k 1)
Y
u=0.08m/s P . 0.02
X yo A cos(t ) -0.04 0.04 P点的振动方程 2 1 T u 0.08 令x=0.02 u 2 2 3 4 y P 0.04 cos(4t ) T 2 x y 0.04 cos[4 ( t ) ] 0.08 2
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 ) A1 sin 1 A2 sin 2 tg A1 cos 1 A2 cos 2 2 1 B.同方向不同频率：拍 拍频为：
A. 同方向同频率：
2 1 2 2
C.两个相互垂直同频率的振动：椭圆 D.两个相互垂直不同频率的振动：李萨如图 5.平面简谐波波动方程：
u 0.84m / s 取 /3
故得波动方程为
17 / 3
O a b
u
X
x y 0.1cos[7 ( t ) ]( m ) 0.84 3
13.题中图a表示一水平轻绳，左端D为振动器，右端 固定于B点。t0时刻振动器激起的简谐波传到O点。其 波形如图b所示。已知OB＝2.4m，u=0.8m/s. 求：（1） 以为计时零点，写出O点的谐振动方程；（2）取O 点 为原点，写出向右传播的波动方程；（3）若B 处有 半波损失，写出反射波的波动方程（不计能量损失）。 2 D O 解：（1）由 B u 2 2 y(cm) 得 u 80 4 40 4
第4章振动与波动习题课
A 0.5 cm
π 3
(2)
π v 4π sin(8πt ) 2 3π cm/s 3
π a 32π 2 cos(8πt ) 16π 2 cm/s2 3
(3)
k m 2 3.2 2 N/m
第四章习题解答
4-4. 已知弹簧振子的振动曲线如图。试求：（1）图中所标 ABCDE各点的相位，并画出旋转矢量图；（2）振动方程的表 达式。
2π 4π 解： T 1 π (1) cos ，v0 0 2 3
x 2.0 10 cos(4πt
2
1 4π (2) cos ，v0 0 2 3 4π 2 x 2.0 10 cos(4πt ) m 3
第四章习题解答
解： (1)
π 如图： A点相位为 0，B点相位为 ， 3
0 x/cm
10 5
A B
1.0
C点相位为
π 2π 4π ，D点相位为 ，E点相位为 2 3 3
2.2
t/s
C
-10
D
E
A 10 cm
T 1.2 2 2.4 s
2 π 5π T 6 1 π (2) cos ，v0 0 2 3 5π π x A cos( t ) 10cos( t ) cm 6 3
t/s
0 1 -0.2
t/s
2
-0.2
( b)
x=2m处质元的振动曲线
第四章习题解答
4-26. 一列沿x轴正方向传播的平面简谐波在t=0s时的波形如图所 示，设波速为 u 4 m/s 。求：（1）波长、周期、角频率；（2） 写出此波的波动方程；（3）在图上画出t等于四分之一周期时的波 形图并标出波的传播方向。 y/m u T 5s 解：(1) λ 20 m 0.05 u 2π 2 π 20 x/m 0 10 T 5 π -0.05 (2) cos 0，v0 0 2 x π 2π y 0.05cos ( t ) m 4 2 5 (3)
振动与波习题课及课后作业解答
O B N X
π
2π
λ
2OB π = 5π
2π
= 入 反 = π
λ
x (5π +
2π
λ
x) = 6π
4π
2kπ , 波腹 = (2k + 1)π , 波节
0≤x≤1.25λ ≤ ≤ λ
λ
x
3. 空气中声速为 空气中声速为340m/s, 一列车以 一列车以72km/h的速度行驶 车上旅客 的速度行驶, 的速度行驶 听到汽笛声频率为360Hz, 则目送此火车离去的站台上的旅客听到 听到汽笛声频率为 此汽笛声的频率为( 此汽笛声的频率为 B) (A) 360Hz (B) 340Hz (C) 382.5Hz (D) 405Hz 解:
t = ( / 2π )T = T / 12 6
A/2 -π/3
π
ω
x
A
2. 如图为用余弦函数表示的一质点作谐振动曲线 振动圆频率 如图为用余弦函数表示的一质点作谐振动曲线, ,从初始状态到达状态 所需时间为 2s 从初始状态到达状态a所需时间为 . 为 7π/6 π 从初始状态到达状态 分析: 分析:本题的关键是确定各时刻 X(m) 6 的位相, 的位相,在振动曲线上由位移和 3 速度方向(斜率的正负) 速度方向(斜率的正负)定 0 t=0时: -3 X0=A/2,v0<0 = π/3 t=1时: X=0,v>0 ωt+= 3π/2
u vs
s
u = 334m s 1 (3)
u v0 ( 4) λ ′ = ν′ 334 65 = = 0.190m 1418
ω
t = 0, v0 = ωA sin 0 = 10cm / s
3 ∴0 = π 2
π
2π
λ
2OB π = 5π
2π
= 入 反 = π
λ
x (5π +
2π
λ
x) = 6π
4π
2kπ , 波腹 = (2k + 1)π , 波节
0≤x≤1.25λ ≤ ≤ λ
λ
x
3. 空气中声速为 空气中声速为340m/s, 一列车以 一列车以72km/h的速度行驶 车上旅客 的速度行驶, 的速度行驶 听到汽笛声频率为360Hz, 则目送此火车离去的站台上的旅客听到 听到汽笛声频率为 此汽笛声的频率为( 此汽笛声的频率为 B) (A) 360Hz (B) 340Hz (C) 382.5Hz (D) 405Hz 解:
t = ( / 2π )T = T / 12 6
A/2 -π/3
π
ω
x
A
2. 如图为用余弦函数表示的一质点作谐振动曲线 振动圆频率 如图为用余弦函数表示的一质点作谐振动曲线, ,从初始状态到达状态 所需时间为 2s 从初始状态到达状态a所需时间为 . 为 7π/6 π 从初始状态到达状态 分析: 分析:本题的关键是确定各时刻 X(m) 6 的位相, 的位相,在振动曲线上由位移和 3 速度方向(斜率的正负) 速度方向(斜率的正负)定 0 t=0时: -3 X0=A/2,v0<0 = π/3 t=1时: X=0,v>0 ωt+= 3π/2
u vs
s
u = 334m s 1 (3)
u v0 ( 4) λ ′ = ν′ 334 65 = = 0.190m 1418
ω
t = 0, v0 = ωA sin 0 = 10cm / s
3 ∴0 = π 2
振动和波习题课(级)
Y
能量极 小
X
能量极 大
能量极大
能量极 小
16、惠更斯原理：波阵面上的每一点，都是发射 子波的新波源，其后任意时刻，这些子波的包络 面就是新的波阵面。
17、相干条件：两波源应满足：振动方向相同，
频率相同，位相差恒定。
18、波的干涉 在P点引起的合振动的振幅为：
2 1 2 2
S2 S1
r2
p
2 ( 2 1 )＋ ( r1 r2 ) A A A 2 A1 A2 cos S1 r1 若波在两种不同介质中传播
2
y a O b u x
[A]
11.一质点同时参与了三个简谐振动，它们的振动 1 5 方程分别为 x1 A cos( t π ) x2 A cos( t π)
x3 A cos( t π ) 其合成运动的运动方程为x = ___ 0 ．
3
3
12. 一简谐波沿x轴负方向传播，波速为1 m/s，在 x轴上某质点的振动频率为1 Hz、振幅为0.01 m．t =0 时该质点恰好在正向最大位移处．若以该质点 的平衡位置为x轴的原点．求此一维简谐波的表达 式． 结 果 : y 0 . 01 cos 2π ( t x ) (SI) 13. 当机械波在媒质中传播时，一媒质质元的最大 变形量发生在 : (A) 媒质质元离开其平衡位置最大 位移处． (B) 媒质质元离开其平衡位置( 2 A / 2 )处 (A是振动振幅)． (C) 媒质质元在其平衡位置处． 1 [C] (D) 媒质质元离开其平衡位置 2 A 处.
2
2
(C)
3 x2 A cos( t π ) 2
t π ) [B] (D)x2 A cos(
能量极 小
X
能量极 大
能量极大
能量极 小
16、惠更斯原理：波阵面上的每一点，都是发射 子波的新波源，其后任意时刻，这些子波的包络 面就是新的波阵面。
17、相干条件：两波源应满足：振动方向相同，
频率相同，位相差恒定。
18、波的干涉 在P点引起的合振动的振幅为：
2 1 2 2
S2 S1
r2
p
2 ( 2 1 )＋ ( r1 r2 ) A A A 2 A1 A2 cos S1 r1 若波在两种不同介质中传播
2
y a O b u x
[A]
11.一质点同时参与了三个简谐振动，它们的振动 1 5 方程分别为 x1 A cos( t π ) x2 A cos( t π)
x3 A cos( t π ) 其合成运动的运动方程为x = ___ 0 ．
3
3
12. 一简谐波沿x轴负方向传播，波速为1 m/s，在 x轴上某质点的振动频率为1 Hz、振幅为0.01 m．t =0 时该质点恰好在正向最大位移处．若以该质点 的平衡位置为x轴的原点．求此一维简谐波的表达 式． 结 果 : y 0 . 01 cos 2π ( t x ) (SI) 13. 当机械波在媒质中传播时，一媒质质元的最大 变形量发生在 : (A) 媒质质元离开其平衡位置最大 位移处． (B) 媒质质元离开其平衡位置( 2 A / 2 )处 (A是振动振幅)． (C) 媒质质元在其平衡位置处． 1 [C] (D) 媒质质元离开其平衡位置 2 A 处.
2
2
(C)
3 x2 A cos( t π ) 2
t π ) [B] (D)x2 A cos(
振动和波习题课
振动和波习题课壹内容提要一. 振动1.简谐振动的定义：恢复力F=-kx微分方程d2x/d t2+ω2x=0运动方程x=A cos(ωt+ϕ0)弹簧振子ω=(k/m)1/2，单摆ω=(g/l)1/2，复摆ω=(mgh/J)1/2；2.描述谐振动的物理量：(1)固有量：固有频率ω，周期T，频率ν其关系为ω=2π/T=2πνν=1/T(2)非固有量，振幅A A=(x02+v02/ω2)1/2位相ϕϕ=ωt+ϕ0初位相ϕ0tanϕ0=-v0/(ω x0)(再结合另一三角函数定出ϕ0)；3.旋转矢量法(略)；4.谐振动能量：E k=E sin2(ωt+ϕ0)E p=E cos2(ωt+ϕ0)E=E k+ E p5.谐振动的合成：(1)同方向同频率两谐振动的合成A=[A12+A22+2A1A2cos(ϕ20-ϕ10)]1/2tgϕ0=(A1sinϕ10+A2sinϕ20)/(A1cosϕ10+A2cosϕ20) (再结合另一三角函数定出ϕ0)拍∆ω<<ω1拍频∆ν=|ν2-ν1| (2)相互垂直振动的合成ω1与ω2成简单整数比时成李萨如图形ω1=ω2时为椭圆方程：x2/A12+y2/A22- 2(x/A1)(y/A2)cos(ϕ20-ϕ10)=sin2(ϕ20-ϕ10) 二. 波动1.机械波的产生必须有波源及媒质，机械波的传播实质是相位(或振动状态)的传播；2.描述波的物理量：波长λ，频率ν，周期T，波速u其关系为T=1/ν=λ/u u=λ/T=λν3.平面简谐波的波动方程y=A cos(ωt-x/u+ϕ0)=A cos[2π(t/T-x/λ)+ϕ0]=A cos[(2π/λ)(x-ut)-ϕ0]；4.平均能量密度w=ρA2ω2/2，能流密度(波的强度) I=w u=ρA2ω2u/25.惠更斯原理(略)；6.波的叠加原理：独立性，叠加性；7.波的干涉(1)相干条件：频率相同，振动方向相同，位相差恒定。
振动与波习题课.
B
P x
30x
C
x
解：（1） 1 = 2 ，在BC间取一P点(如图) BP = r1 = x 由题意，应有 代入数值 CP = r2 = 30 x
4 x (30 x) (2k 1) 4k 2 2
r1 r2 ( 2 k 1) 2
x = 2k +16
k = 0, 1, 2,
（Ａ）
（B） （C） 5 （D） 0
2 4
A
a
b
o
A
2
9 8
解：由驻波位相分布特点知，同一波节两侧各点的位相相反。
所以选（Ａ）
9、当一平面简谐波通过两种均匀介质时，不会变化的物理量 是 A、波长和频率； C、波长和波速； 答案：D 10、已知一平面简谐波的表达式为y=Acos（at-bx），a、b为 正值，则 A、波的频率为a； B、波的传播速度为b/a； C、波长为π /b 答案：D D、波的周期为2π/a B、波速和频率 D、频率和周期
t x t x C y2 A cos2 0 D y2 A cos2 T T
解：反射波的传播方向与入射波方向相反，反射点为波节， 说明有半波损失。 故应选 (D)
8 某时刻驻波波形图曲线如图所示，则a,b两点位相差是
11、一周期为T的横波沿x轴正向传播，若t时刻波形曲线如图 所示，则在t+T/4时刻，x轴上1、2、3三点的振动位移分别是
A、A，0，-A； B、 -A，0，A
C、 0，A，0；
D、 0，-A，0；
12、图中为t=0时刻，以余弦函数表示的沿x轴正向传播的平面 简谐波的波动方程，则O点处质点振动的初相位为 A、 π/2 B、0 C、3 π/2 D、 π 答案:C
大学物理振动和波习题课
12、一质点作简谐振动，周期为 T。质点由平衡
位置向Ｘ轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一 最大位移这段路程所需要的时间为（ ）。
A T 4 B T 1 C 2 T 6 D T 8
解：令简谐振动为 xA si n t
则当 xA2 时， si n t0.5
Acos2(t 1) T2
Acos2T(t 13)
.
7.图中所示为两个简谐振动的振动曲线．若以余弦函数表 示这两个振动的合成结果，则合振动的方程为
xx1x2 0.04cos(t)
x (m)
0.08
O
-0.04
1
x1 t (s)
2 x2
.
8 如果在固定端 x0处反射的反射波方程式是
y2 Aco2stx
设反射波无能量损失，则入射波的方程式是（ ） 形成的驻波的表达式是（ ）。
y1OAcos2vt y2OA cos2vt
形成的驻入 波射 为波 ：方 程 y1Acos 2 t x
y y 1 y 2 A c 2 ot s2 x A c 2 ot s2 x
得：
S
wu
1 A22u
2
3.惠更斯原理和波的叠加原理
惠更斯原理:
波阵面上每一点都可以看作是发出球面子波的 新波源，这些子波的包络面就是下一时刻的波阵面。
波的叠加原理:
当几列波在介质中某点相遇时，该质点的
振动位移等于各列波单独传播时在该点引起位 移的矢量和。
.
4.波的干涉: 相干条件： 振动方向相同
频率相同
1.机械波
产生的条件： 波源和弹性介质
描述波动的特征量: 波速、波长、波的周期、频率
2.平面简谐波
波函数 yAcos(tux)
振动与波习题课
x/m
（九）波传播过程中，任一体积元的动能、 势能、总机 械能均随 t 作周期性变化，且变化是同相位的。平衡位置时， 体积元的动能、势能和总机械能均最大；位移最大时，三者 均为零。
平衡位置处 释放能量 最大位移处
Ek,Ep,E 吸收能量
0
（2）任一体积元都在不断地接收和放出能量，即不断地传 播能量。任一体积元的机械能不守恒。波动是能量传递的一 种方式。
二、基本内容
（一）简谐振动的特征
1.动力学特征 F kx
简谐振动动力学特征是物体受线性回复力作用。
简谐振动的动力学方程
d2 x 2x 0
dt2
简谐振动的特征式
2.运动学特征 x Acos(t 0 )
简谐振动的运动学方程（振动表达式或振动方程）
简谐振动的速度和加速度
v
0 )
2.时间推迟法 t x
u
y
A cos[ (t
x) u
0
]
3.波动表式的物理意义
（1）当x 一定时(x = x0)表示x0处质点的振动表式
（2）当t 一定时(t = t0)表示t0时
y/m
0.1
刻的波形曲线
o
0.05 3
（3）x、t 都变化反映了波形的传播
u 36 m/s
（2）周期 T 、频率ν和角频率ω
2π 2π
T
（3）相位 ( t 0 )和初相位 0
cos 0
x0 A
sin 0
v0
A
对给定的振动系统，频率由系统本身性质决定。
2.简谐振动的矢量图示法
M
旋转矢量表示法 3.振动曲线（x - t 图）
（九）波传播过程中，任一体积元的动能、 势能、总机 械能均随 t 作周期性变化，且变化是同相位的。平衡位置时， 体积元的动能、势能和总机械能均最大；位移最大时，三者 均为零。
平衡位置处 释放能量 最大位移处
Ek,Ep,E 吸收能量
0
（2）任一体积元都在不断地接收和放出能量，即不断地传 播能量。任一体积元的机械能不守恒。波动是能量传递的一 种方式。
二、基本内容
（一）简谐振动的特征
1.动力学特征 F kx
简谐振动动力学特征是物体受线性回复力作用。
简谐振动的动力学方程
d2 x 2x 0
dt2
简谐振动的特征式
2.运动学特征 x Acos(t 0 )
简谐振动的运动学方程（振动表达式或振动方程）
简谐振动的速度和加速度
v
0 )
2.时间推迟法 t x
u
y
A cos[ (t
x) u
0
]
3.波动表式的物理意义
（1）当x 一定时(x = x0)表示x0处质点的振动表式
（2）当t 一定时(t = t0)表示t0时
y/m
0.1
刻的波形曲线
o
0.05 3
（3）x、t 都变化反映了波形的传播
u 36 m/s
（2）周期 T 、频率ν和角频率ω
2π 2π
T
（3）相位 ( t 0 )和初相位 0
cos 0
x0 A
sin 0
v0
A
对给定的振动系统，频率由系统本身性质决定。
2.简谐振动的矢量图示法
M
旋转矢量表示法 3.振动曲线（x - t 图）
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牛顿运动定律 振动与波习题课
第第 2篇 振动与波动 1章 质点力学
机械振动与机械波 一、内容小结 1．机械振动： (1)简谐振动的判断式： 平动 转动
dx F合 ma m 2 dt
dx 2 x 0 2 dt
2
2
k m
2
d M 合 J J 2 dt 2 d 2 mgl 2 0 2 dt J
x t x y A cos[ (t ) ] A cos[ 2 ( ) ] u T
2 2 2
x w A sin (t ) 能量密度： u 1 2 2 平均能量密度： w A 2
能流：
平均能流：
P wsu P w su
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(4)驻波：振幅相等、传播方向相反的相 干波相互迭加而产生的波。 (5)多普勒效应：由于波源或观测者相对于 媒质的运动，而使观测者接受到的频率有 所变化的现象。
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第第 2篇 振动与波动 1章 质点力学
1. 已知： A,B 两定滑轮固定，两定滑轮之 间的间距为 d=10cm ，一质量均匀分布的 木板置于滑轮上。如图所示放置时，木板 静止，当手拉木版向右移动一小位移时， 木板将沿水平方向左右振动，木板与滑轮 的摩擦系数为 =0.25，木板与滑轮间无 相对滑动。（ 1）求证：此振动为简谐振 动；（2）求出该振动的振动周期。
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2 1 2 2
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(3)简谐振动的能量 1 2 E Ek E P kA 2 (4)同方向、同频率简谐振动的合成
：
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第第 2篇 振动与波动 1章 质点力学
2. 机械波 (1)一维简谐波的波动方程：（沿x轴正向） (2)波的能量：
y O B A
x
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第第 2篇 振动与波动 1章 质点力学
解：设入射波的表达式为
y1 A cos( t
2
x )
则反射波的表达式为
2 7 2 7 y2 A cost ( x) 8 8
y NA C
O
x
NB x
fA
mg
d x 2g x0 2 dt d
2
D fB
B
T 2
d 2g
0.9s
A
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第第 2篇 振动与波动 1章 质点力学
2. 如图所示，两相干波源S1和S2的距离为d =30m ， S1 和 S2 都在 x 坐标轴上， S1 位于坐 标原点O,设由S1和S2分别发出的两列波沿x 轴 传 播 时 ， 强 度 保 持 不 变 . x1=9m 和 x2= 12m 处的两点是相邻的两个因干涉而静止 的点，求两波的波长和两波源间最小位相 差。
(d 2 x) k 0,1,2
(2k 1)
代入x 9m, 6m, 选取适当的 k时位相差
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第第 2篇 振动与波动 1章 质点力学
3. 如图所示，原点O是波源，振动方向垂 直于纸面，波长是，AB为波的反射平面， 反射时无半波损失。 O 点位于 A 点的正上 方，AO = h，OX轴平行于AB，求OX轴上 干涉加强点的坐标（限于x ≥0)
O h A B x
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第第 2篇 振动与波动 1章 质点力学
解：沿ox轴传播的波与从AB面上P点反射 两波的波程差为： 来的波在坐标x处相遇， x 2 2 2 ( ) h x k k 1,2 2 2 2 2 x 4h k O x x C 2k h 2h k 1,2, , [ ] A B
y O B A x
驻波的表达式为
y y1 y2
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第第 2篇 振动与波动 1章 质点力学
7 在x 0处， y 2 A cos( t ) 4 y 9 t 0时， y 0和 0 得 , 即 t 4 4
2
x A cos(t 0 )
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0 cos(t 0 )
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第第 2篇 振动与波动 1章 质点力学
(2)如何求：
A,
,
x1 A1 cos(t 1 ) A1 sin 1 A2 sin 2 x2 A2 cos(t 2 ) tg A cos A cos 1 1 2 2 x A cos(t )
A
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B
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解：
y NA
N A N B mg d d N A ( x) N B ( x) 2 22 d x f A fB m a m 2 dt f A N A f B N B
NB x
第第 2篇 振动与波动 1章 质点力学
S1 x O
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P
d
S2
x
牛顿运动定律 振动与波习题课
第第 2篇 振动与波动 1章 质点力学
解：由波节定义知波长为
2
6m
k 0,1,2
(r2 r1 ) (2k 1)பைடு நூலகம்
r2 d x
波节处
r1 x
2
P
x 0,即4h k 0
2 2 2
k 2h /
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4. 振幅为A，频率为，波长为的一简谐 波沿弦线传播，在自由端 A 点反射（如 图），假设反射后的波不衰减。
第第 2篇 振动与波动 1章 质点力学
已知：OA =7 /8，OB =/2，在t = 0时， x = 0处媒质质元的合振动经平衡位置向负 方向运动。求 B点处入射波和反射波的合 成振动方程。
1 能流密度（波的强度）：I A2 2u 2
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第第 2篇 振动与波动 1章 质点力学
(3) 波的干涉：频率相同、振动方向平 行、位相差恒定。
k 0,1,2, 2 (r2 r1 ) 2k 2 1 k 0,1,2, (2k 1) k 0,1,2, 加强 k r1 r2 (k 1 2) k 0,1,2, 减弱
O
x
C
fA
mg
D fB
B
d x 2g x0 2 dt d
2
A
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T 2
d 2g
0.9s
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第第 2篇 振动与波动 1章 质点力学
解：力矩平衡 NAd=mg(d/2-x) NBd=mg(d/2+x)
F=fA-fB= NA- NB＝ -2mgx/d=ma
B点(x=/2)的振动方程为:
7 7 y 2 A cos( 2 ) cos( t ) 4 4
x
/2 7 7 9 y 2 A cos(2 ) cos(t ) 4 4 4 2 A sin t
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第第 2篇 振动与波动 1章 质点力学
机械振动与机械波 一、内容小结 1．机械振动： (1)简谐振动的判断式： 平动 转动
dx F合 ma m 2 dt
dx 2 x 0 2 dt
2
2
k m
2
d M 合 J J 2 dt 2 d 2 mgl 2 0 2 dt J
x t x y A cos[ (t ) ] A cos[ 2 ( ) ] u T
2 2 2
x w A sin (t ) 能量密度： u 1 2 2 平均能量密度： w A 2
能流：
平均能流：
P wsu P w su
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(4)驻波：振幅相等、传播方向相反的相 干波相互迭加而产生的波。 (5)多普勒效应：由于波源或观测者相对于 媒质的运动，而使观测者接受到的频率有 所变化的现象。
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第第 2篇 振动与波动 1章 质点力学
1. 已知： A,B 两定滑轮固定，两定滑轮之 间的间距为 d=10cm ，一质量均匀分布的 木板置于滑轮上。如图所示放置时，木板 静止，当手拉木版向右移动一小位移时， 木板将沿水平方向左右振动，木板与滑轮 的摩擦系数为 =0.25，木板与滑轮间无 相对滑动。（ 1）求证：此振动为简谐振 动；（2）求出该振动的振动周期。
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2 1 2 2
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(3)简谐振动的能量 1 2 E Ek E P kA 2 (4)同方向、同频率简谐振动的合成
：
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第第 2篇 振动与波动 1章 质点力学
2. 机械波 (1)一维简谐波的波动方程：（沿x轴正向） (2)波的能量：
y O B A
x
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第第 2篇 振动与波动 1章 质点力学
解：设入射波的表达式为
y1 A cos( t
2
x )
则反射波的表达式为
2 7 2 7 y2 A cost ( x) 8 8
y NA C
O
x
NB x
fA
mg
d x 2g x0 2 dt d
2
D fB
B
T 2
d 2g
0.9s
A
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第第 2篇 振动与波动 1章 质点力学
2. 如图所示，两相干波源S1和S2的距离为d =30m ， S1 和 S2 都在 x 坐标轴上， S1 位于坐 标原点O,设由S1和S2分别发出的两列波沿x 轴 传 播 时 ， 强 度 保 持 不 变 . x1=9m 和 x2= 12m 处的两点是相邻的两个因干涉而静止 的点，求两波的波长和两波源间最小位相 差。
(d 2 x) k 0,1,2
(2k 1)
代入x 9m, 6m, 选取适当的 k时位相差
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3. 如图所示，原点O是波源，振动方向垂 直于纸面，波长是，AB为波的反射平面， 反射时无半波损失。 O 点位于 A 点的正上 方，AO = h，OX轴平行于AB，求OX轴上 干涉加强点的坐标（限于x ≥0)
O h A B x
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解：沿ox轴传播的波与从AB面上P点反射 两波的波程差为： 来的波在坐标x处相遇， x 2 2 2 ( ) h x k k 1,2 2 2 2 2 x 4h k O x x C 2k h 2h k 1,2, , [ ] A B
y O B A x
驻波的表达式为
y y1 y2
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7 在x 0处， y 2 A cos( t ) 4 y 9 t 0时， y 0和 0 得 , 即 t 4 4
2
x A cos(t 0 )
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0 cos(t 0 )
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(2)如何求：
A,
,
x1 A1 cos(t 1 ) A1 sin 1 A2 sin 2 x2 A2 cos(t 2 ) tg A cos A cos 1 1 2 2 x A cos(t )
A
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B
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解：
y NA
N A N B mg d d N A ( x) N B ( x) 2 22 d x f A fB m a m 2 dt f A N A f B N B
NB x
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S1 x O
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P
d
S2
x
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解：由波节定义知波长为
2
6m
k 0,1,2
(r2 r1 ) (2k 1)பைடு நூலகம்
r2 d x
波节处
r1 x
2
P
x 0,即4h k 0
2 2 2
k 2h /
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4. 振幅为A，频率为，波长为的一简谐 波沿弦线传播，在自由端 A 点反射（如 图），假设反射后的波不衰减。
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已知：OA =7 /8，OB =/2，在t = 0时， x = 0处媒质质元的合振动经平衡位置向负 方向运动。求 B点处入射波和反射波的合 成振动方程。
1 能流密度（波的强度）：I A2 2u 2
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(3) 波的干涉：频率相同、振动方向平 行、位相差恒定。
k 0,1,2, 2 (r2 r1 ) 2k 2 1 k 0,1,2, (2k 1) k 0,1,2, 加强 k r1 r2 (k 1 2) k 0,1,2, 减弱
O
x
C
fA
mg
D fB
B
d x 2g x0 2 dt d
2
A
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d 2g
0.9s
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解：力矩平衡 NAd=mg(d/2-x) NBd=mg(d/2+x)
F=fA-fB= NA- NB＝ -2mgx/d=ma
B点(x=/2)的振动方程为:
7 7 y 2 A cos( 2 ) cos( t ) 4 4
x
/2 7 7 9 y 2 A cos(2 ) cos(t ) 4 4 4 2 A sin t
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