浙教版八年级数学特殊三角形单元测试题

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第2章特殊三角形单元测试题 2021——2022学年浙教版八年级数学上册

第2章特殊三角形一、选择题(每小题5分,共35分)1.下列图形中是轴对称图形的是()图12.已知等腰三角形的一个内角为40°,则这个等腰三角形的顶角为()A.40°B.100°C.40°或100°D.70°或50°3.已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足(a-b)2+|c2-a2-b2|=0,则下列对△ABC的形状的判断最准确的为()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形4.如图2所示,△ABC的面积为8 cm2,AP垂直∠ABC的平分线BP于点P,则△PBC的面积为()图2A.2 cm2B.3 cm2C.4 cm2D.5 cm25.如图3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,连结CD,则∠ACD的度数是()图3A.50°B.40°C.30°D.20°6.如图4,已知点P在∠AOB的边OA上,OP=10,点M,N在边OB上,PM=PN.若MN=2,OM=5,则PM的长为()图4A.6B.8C.√65D.97.如图5,在锐角三角形ABC中,∠BAC=45°,AB=2,∠BAC的平分线交BC于点D,M,N分别是AD,AB上的动点,则BM+MN的最小值是()A.1B.1.5C.√2D.√3二、填空题(每小题5分,共30分)8.定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是______________________.图59.如图6,已知AB是Rt△ABC和Rt△ABD的斜边,O是AB的中点,其中OC=2 cm,则OD=________cm.图610.如图7,在△ABC中,BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,OM∥AB,ON∥AC,BC=10 cm,则△OMN的周长为________cm.图711.如图8,在长方形ABCD中,BC=6,CD=3,将△BCD沿对角线BD翻折,使点C落在点C'处,BC'交AD于点E,则线段DE的长为________.图812.将45°的∠AOB按如图9所示的方式摆放在一把刻度尺上,顶点O与刻度尺下沿的端点重合,OA与刻度尺下沿重合,OB与刻度尺上沿的交点B在刻度尺上的读数为2 cm.若按相同的方式将30°的∠AOC放置在该刻度尺上,OC与刻度尺上沿的交点为C,则点C在刻度尺上的读数为________cm.图913.如图10,一个直径为8 cm的杯子,在它的正中间竖直放一根筷子,筷子露出杯子外1 cm,当筷子倒向杯壁时(筷子底端不动),筷子顶端刚好触到杯口,则筷子的长度为________cm.图10三、解答题(共35分)14.(10分)如图11,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,分别过点B,C作过点A的直线的垂线BD,CE,垂足为D,E.若BD=4 cm,CE=3 cm,求DE的长.图1115.(12分)如图12,已知AC⊥BC,AD⊥BD,E为AB的中点.(1)如图①,求证:△ECD是等腰三角形;(2)如图②,CD与AB交于点F,若AD=BD,EF=3,DE=4,求CD的长.图1216.(13分)定义:把斜边重合,且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做“共边直角三角形”. (1)概念理解:如图13①所示,在△ABC中,∠C=90°,作出△ABC的“共边直角三角形”(画一个即可);(2)问题探究:如图②所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,△ABD与△ABC是“共边直角三角形”,连结CD,当CD⊥AB时,求CD的长;(3)拓展延伸:如图③所示,△ABC和△ABD是“共边直角三角形”,BD=CD.求证:AD平分∠CAB.图13答案1.D2.C[解析] 当40°角是等腰三角形的顶角时,则顶角就是40°;当40°角是等腰三角形的底角时,则顶角是180°-40°×2=100°.3.C[解析] ∵(a-b)2+|c2-a2-b2|=0,∴a-b=0,c2-a2-b2=0,解得a=b,a2+b2=c2,∴△ABC为等腰直角三角形.故选C.4.C[解析] 如图,延长AP交BC于点E.∵AP垂直∠ABC的平分线BP于点P,∴∠APB=∠EPB=90°,∠ABP=∠EBP.又∵BP=BP,∴△ABP≌△EBP,∴S△ABP=S△EBP,AP=PE,∴S△APC=S△PCE,∴S△PBC=S△EBP+S△PCE=1S△ABC=4 cm2.25.D[解析] ∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,∴∠B=40°.∵BC=BD,∴∠BCD=∠BDC=1×(180°-40°)=70°,2∴∠ACD=90°-70°=20°.因此本题选D.6.C7.C[解析] 过点B作BH⊥AC,垂足为H,交AD于点M',过点M'作M'N'⊥AB,垂足为N',则BM'+M'N'为所求的最小值.∵AD是∠BAC的平分线,∴M'H=M'N'.∵BH⊥AC,∠BAC=45°,∴∠ABH=45°,∴AH=BH.又∵AB=2,∴BH=√2,∴BM+MN 的最小值是BM'+M'N'=BM'+M'H=BH=√2.故选C .8.有两个角互余的三角形是直角三角形9.2 [解析] ∵AB 是Rt △ABC 和Rt △ABD 的斜边,O 是AB 的中点,∴OC=12AB=OD. ∵OC=2 cm, ∴OD=2 cm .故答案为2.10.10 [解析] ∵BO 平分∠ABC ,∴∠ABO=∠MBO.∵OM ∥AB ,∴∠ABO=∠MOB , ∴∠MBO=∠MOB ,∴OM=BM ,同理ON=CN.∵BC=10 cm,∴△OMN 的周长=OM+MN+ON=BM+MN+CN=BC=10 cm .故答案为10.11.154 [解析] 设DE=x ,则AE=6-x.∵四边形ABCD 为长方形, ∴AD ∥BC , ∴∠EDB=∠DBC.由折叠的性质,得∠EBD=∠DBC ,∴∠EDB=∠EBD , ∴BE=DE=x.在Rt △ABE 中,由勾股定理, 得BE 2=AB 2+AE 2,即x 2=9+(6-x )2,解得x=154,∴DE=154. 12.√1213.8.5 [解析] 设杯子的高度是x cm,那么筷子的长度是(x+1)cm . 由题意,得x 2+42=(x+1)2,整理,得16=2x+1, 解得x=7.5,∴x+1=8.5.∴筷子的长度为8.5 cm .故答案为8.5.14.解:∵∠BAC=90°,∠ADB=∠AEC=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°,∠BAD+∠ABD=90°, ∴∠CAE=∠ABD.又∵AB=CA ,∴△ABD ≌△CAE , ∴AD=CE ,BD=AE ,∴DE=AD+AE=CE+BD=7 cm .15.解:(1)证明:∵AC ⊥BC ,AD ⊥BD ,∴∠ACB=90°,∠ADB=90°.又∵E 为AB 的中点,∴CE=12AB ,DE=12AB , ∴CE=DE ,即△ECD 是等腰三角形. (2)∵AD=BD ,E 为AB 的中点,∴DE ⊥AB. ∵DE=4,EF=3,∴在Rt △DEF 中,由勾股定理,得DF=5.过点E 作EH ⊥CD 于点H.∵∠FED=90°,EH ⊥DF , ∴S △DEF =12EF ·ED=12DF ·EH , ∴EH=EF ·ED DF =125,∴DH=√DE 2-EH 2=165. ∵△ECD 是等腰三角形,∴CD=2DH=325.16.解:(1)略.(2)如图①所示,设AB ,CD 交于点E ,取AB 的中点O ,连结CO ,DO. 在Rt △ABC 中,∵AC=6,BC=8, ∴AB=10.∵△ABC 和△ABD 是共边直角三角形, ∴OC=OD=12AB. ∵CD ⊥AB , ∴CD=2CE.∵S △ABC =12AC ·BC=12AB ·CE , ∴CE=4.8,∴CD=4.8×2=9.6.(3)证明:设AD ,BC 交于点E ,如图②,分别延长BD 和AC 交于点F .∵△ABC 和△ABD 是共边直角三角形, ∴AC ⊥BC ,AD ⊥BF . ∵BD=CD , ∴∠CBD=∠BCD.∵∠CBD+∠F=∠BCD+∠DCF=90°, ∴∠DCF=∠F , ∴CD=FD , ∴BD=FD ,即AD 为线段BF 的垂直平分线,∴AF=AB ,∴AD 平分∠CAB (等腰三角形三线合一).。

浙教版八年级上册数学第二章《特殊三角形》测试卷含答案

浙教版八年级上册数学第二章《特殊三角形》测试卷含答案(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--浙教版八年级上册数学第二章《特殊三角形》测试卷考试时间：120分钟满分：120分一、选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1.下列图形中是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，则这个等腰三角形的周长为（）A. 12B. 12或15 C. 15 D. 93.在中，，，则BC边上的高为（）A. 12B. 10C. 9D. 84.若等腰三角形一个外角等于100 ，则它的顶角度数为（）A. 20°B. 80°C. 20°或80° D. 50°或80°5.如图△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D 交AC于点E，那么下列结论中正确的是（）①△BDF和△CEF都是等腰三角形②DE=BD+CE③△ADE的周长等于AB和AC的和④BF=CFA. ①②③④B. ①②③C. ①②D. ①6.如图，将绕点A按逆时针方向旋转100°，得到，若点在线段BC 的延长线上，则的大小为（）A. 70°B. 80°C. 84°D. 86°（第5题）（第6题）（第7题）（第9题）7.如图，正方形A，B，C的边长分别为直角三角形的三边长，若正方形A，B的边长分别为3和5，则正方形C的面积为( )A. 4B. 15C. 16D. 188.以下列长度的线段不能围成直角三角形的是（）A. 5，12, 13B.C. ，3，4 D. 2，3，49.如图由于台风的影响，一棵树在离地面处折断，折断后树干上部分与地面成30度的夹角，折断前长度是（）A. B. C.D. .10.如图，AC＝BC，AE＝CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE＝7，BD＝2，则DE 的长是（）A. 7B. 5C. 3D. 2（第10题）（第11题）11.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。

2024年浙教版八年级(上)数学第二章特殊三角形单元检测(含解析)

2024年新八年级（上）数学第二章单元检测（浙教版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）1．中国瓷器积淀了深厚的文化底蕴，是中国传统艺术文化的重要组成部分．瓷器上的图案设计精美，极富变化．下面瓷器上的图案中，是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（）A ．2，3，4B ．3，4，6C ．6，8，15D ．5，12，133．在中，，，若，则边的长为（）A ．1B ．2C ．4D ．64．在中，斜边的长为，则斜边上的中线的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．65．如图，已知直线，点，在直线上，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线，于，两点，连接，．若，则的度数为（）A ．B ．C ．D ．6．如图，学校有一块直角三角形菜地，，．为方便劳作，准备在菜地中间修建一条小路．测量发现，，，，则的长为（）A ．3mB ．4mC ．5mD ．6m7．若一个等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为（）A ．B ．C ．或D ．8．如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分ABC 90C ∠=︒30BAC ∠=︒2BC =AB Rt ABC △AB 12cm CD cm 12l l ∥A D 1l A 1l 2l C B AB BC 106BCD ︒∠=1∠30︒32︒36︒42︒90ABC ∠=︒12m BC =ADE AED ∠=∠1m BD EF ==8m CF =AE 32cm 8cm 8cm 12cm 8cm 16cm 16cmRt ABC △别记作和．若，，则的周长是（）A ．12B ．13C ．14D ．159．如图，，点B 、C 分别在上运动（不与点A 重合），连接，将沿折叠，点落在点的位置，则下列结论：①当点落在的一边上时，为直角三角形；②当点落在AN 边上时，；③当点落在内部时，；④当点落在外部时，．其中正确的是（）A ．①②B ．①③C ．②④D ．①③④10．矩形纸片两邻边的长分别为a ，b （），连接它的一条对角线，用四张这样的矩形纸片按如图所示的方式拼成正方形，其边长为．图中正方形，正方形和正方形的面积之和为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）11．写出命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题：．12．若等腰三角形的一个底角的度数为，则它的顶角度数为 °．13．如图，在中，，，将沿着直线折叠，点B 恰好与点A 重合，折痕为，则的周长为．1S 2S 127S S +=6AB =ABC ()090MAN αα∠=︒<<︒AM AN 、BC ABC BC A A 'A 'MAN ∠ABC A '2NA B A '∠=∠A 'MAN ∠2MBA NCA A ''∠+∠=∠A 'MAN ∠2MBA NCA A ∠∠'-='∠a b <ABCD a b +ABCD EFGH MNPQ 2222a b +2223a b +2233a b +2244a b +40︒ABC 8BC =6AC =ABC MN DF ACF △14．如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，再以点为圆心，为半径画弧，交于点，则的长为．15．如图，在中，，将一块足够大的直角三角尺（，）按如图放置，顶点P 在边AC 上滑动，三角尺的直角边始终经过点B ，斜边交于点D ，若点P 在滑动中恰能使与均为等腰三角形，则∠C 的度数为．16．（1）如图1，两个面积为1的小正方形可拼成一个大正方形（中间为小正方形），由此可得小正方形的对角线长为．（2）把长为2，宽为1的两个小长方形进行裁剪，拼成如图2所示的一个大正方形（中间为小正方形），则小长方形的对角线的长为．三、解答题（本题有7小题，共52分，解答题写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）17．（5分）如图，点为平分线上一点，交于点．求证：是等腰三角形．Rt ABC △90C ∠=︒5AB =3BC =B BC AB D A AD AC E CE ABC 30A ∠=︒PMN 90M ∠=︒30MPN ∠=︒PM PN AB PAD PBC C AOB ∠CD OB ∥OA D DOC △18．（6分）如图，在中，，是的平分线，，交于点E ．(1)求证：；(2)若，求的度数．19．（6分）已知：如图，线段是和的公共斜边，点，分别是和的中点．求证：(1)；(2)．20．（7分）如图，为等腰直角三角形，，点在上，点在的延长线上，且．ABC AB AC =CD ACB ∠DE BC ∥AC DCE CDE ∠=∠32CDE ∠=︒A ∠AB Rt ABC △Rt △ABD E F AB CD CE DE =EF CD ⊥ABC 90BCA ∠=︒D CA E BC BD AE =(1)求证：；(2)若，求的度数．21．（8分）如图，一条南北走向的高速公路经过县城C ，村庄A 位于高速公路西侧，村庄A 和县城C 之间有一大型水库无法直达，A 村村民需要乘车经公路和高速路段才能到达县城C ．为方便A 村村民出行，县政府计划新修一条公路．测得，，，．(1)请通过计算说明新公路是村庄A 到高速公路的最短路线；(2)求村庄A 到县城C 的距离的长．22．（8分）如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A 修了一条垂直的小路（垂足为E ），E 恰好是的中点，且．(1)求边的长；(2)连接，判断的形状；(3)求这块空地的面积．BCD ACE ≌67BAE ∠=︒DBA ∠AB BC AD AC BC =30km AB =18km BD =24km AD =AD BC AC ABCD 15m AB =8=CD m 17m AD =BC AE BC 12m AE =BC AC ADC △23．（12分）已知，如图，为等边三角形，，、相交于点．(1)求证：；(2)求的度数；(3)若于，，，求的长．ABC AE CD =AD BE P AEB CDA ≌BPQ ∠BQ AD ⊥Q 4PQ =2PE =BE参考答案：1．B【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．【详解】解：A 、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；B 、是轴对称图形，故此选项符合题意；C 、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D 、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；故选：B ．2．D【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．【详解】解：A ．，，，不能构成直角三角形，故选项不符合题意；B ．，，，不能构成直角三角形，故选项不符合题意；C ．，不能构成三角形，故选项不符合题意；D ．，，，能构成直角三角形，故选项符合题意；故选：D ．3．C【分析】本题主要考查了直角三角形的性质．根据直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解．【详解】解：如图，在中，，，，∴．故选：C4．D222313+= 2416=222234∴+≠∴224325+= 2636=222436∴+≠∴681415+=< ∴22125169+= 213169=22212513∴+=∴ABC 90C ∠=︒30BAC ∠=︒2BC =24AB BC ==【分析】本题主要考查了直角三角形的相关性质．根据直角三角形斜边上的中线的相关性质，即可推出的长度．【详解】解：在中，∵斜边的长为，∴斜边上的中线．故选：D5．B【分析】本题考查平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解决问题的关键．根据尺规作图可知，利用等腰三角形性质得到，根据三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质即可得解．【详解】解：，，根据作图可知，，，，直线，，故选：B ．6．B【分析】本题考查了等腰三角形的判定，勾股定理；由得，设，则可得，利用勾股定理建立方程求得x 的值，即可得结果．【详解】解：，；设，则，，在中，由勾股定理有：，即，解得；即．故选：B ．7．A【分析】本题考查等腰三角形的性质，正确理解分长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解．分两种情况讨论且利用三角形的三边关系定理是解题的关键．【详解】解：当长是的边是底边时，腰长是：，此时三边为、、，该等腰三角形存在；当长是的边是腰时，底边长是：，而，不满足三角形的三边关系，CD Rt ABC △AB 12cm 11126cm 22CD AB ==⨯=AC AB =68ACB ABC ∠=∠=︒18032BAC ACB ABC ∠=︒-∠-∠=︒106BCD ∠=︒ 18074ACB BCD ∴∠=︒-∠=︒AC AB =74ACB ABC ∴∠=∠=︒18032BAC ACB ABC ∴∠=︒-∠-∠=︒ 12l l ∥132BAC ∴∠=∠=︒ADE AED ∠=∠AD AE =m AE x =AB AC 、ADE AED ∠=∠ AD AE ∴=m AE x =m AD x =(1)m (9)m AB AD BD x AC AE EF CF x ∴=+=+=++=+、Rt ABC △222AB BC AC +=222(1)12(9)x x ++=+4x =4m AE =8cm 8cm ()()328212cm -÷=8cm 12cm 12cm 8cm ()328816cm --=8816+=则以、、为边不能构成三角形，∴该等腰三角形的底边长为．故选：A ．8．C【分析】本题考查的是勾股定理，半圆的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理得到，根据半圆面积公式、完全平方公式计算即可．【详解】解：由勾股定理得，，，，，，（负值舍去），的周长，故选：C ．9．D【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定与性质，几何中角度的计算，根据题意利用折叠的性质构造平行线，逐一判断即可．【详解】解：如图，当点落在的边上时，，，，是直角三角形，当点落在的边上时，同理，，是直角三角形，故①正确；当点落在的边上时，，，，，不一定成立，故②错误；当点落在内部时，过点作，点作，8cm 8cm 16cm 8cm 222AC BC AB +=222AC BC AB +=127S S += ∴222111172222222AC BC AB AC BC πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭14AC BC ∴⨯=2222()2621464AC BC AC BC AC BC ∴+=++⋅=+⨯=8AC BC ∴+=ABC ∴ 8614AB AC BC =++=+=A 'MAN ∠AN ACB A CB '∠=∠ 180ACB A CB '∠+∠=︒∴90ACB A CB '∠=∠=︒ABC ∴ A 'MAN ∠AM 90ABC A BC '∠=∠=︒ABC ∴ A 'MAN ∠AN A CA B '∠=∠ 180NA B CA B ''∠+∠=︒∴180NA B A '∠+∠=︒∴2NA B A '∠=∠A 'MAN ∠A 'A E AN '∥B BF AN ∥则，，，，，，故③正确；当点落在的边下方时，过点作，点作，则，，，，，，；当点落在的边上方时，过点作，点作，则，，，，，，，BF A E '∥,NCA CA E FBA EA B ''''∴∠=∠∠=∠NCA FBA EA B CA E CA B A '''''∴∠+∠=∠+∠=∠=∠MBF A ∠=∠ 2MBF FBA NCA A ''∴∠+∠+∠=∠∴2MBA NCA A ''∠+∠=∠A 'MAN ∠AN A 'A E AN '∥B BF AN ∥BF A E '∥,NCA CA E FBA EA B ''''∴∠=∠∠=∠EA B CA E CA B FBA ''''∴∠=∠+=∠MBF A ∠=∠A CA B '∠=∠ MBA A CA B EA C A NCA ''''∴∠-∠=∠+∠=∠+∠2MBA NCA A ''∴∠-∠=∠A 'MAN ∠AM A 'A E AN '∥B BF AN ∥BF A E '∥∴180,180FBA EA B NCA EA C ''''∠+∠=︒∠+∠=︒A MBF ∠=∠A CA B '∠=∠ FBA MBA EA B EA C ''''∴∠-∠=∠-∠()()180180FBA MBA FBA NCA ∴∠-∠=︒-∠-︒-∠''''2FBA MBA NCA '''∴∠-∠=∠，，即；，故④正确；故选：D ．10．C【分析】此题考查了勾股定理，完全平方公式，首先根据勾股定理得到，然后利用正方形，正方形和正方形的面积之和为：代入求解即可．【详解】∵∴∴正方形，正方形和正方形的面积之和为：．故选：C ．11．两直线平行，内错角相等【分析】考查了命题与与逆命题，熟练掌握知识点是解题的关键．交换原命题的特设与结论即可写出逆命题．【详解】解：命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题：两直线平行，内错角相等，故答案为：两直线平行，内错角相等．12．100【分析】本题主要考查了等腰三角形两底角相等，根据三角形内角和定理，结合等腰三角形两底角相等，求出它的顶角度数即可．【详解】解：∵等腰三角形的一个底角的度数为，∴它的顶角度数为：，故答案为：100．13．【分析】本题主要考查了折叠的性质和三角形的周长．由折叠的性质可得，由此求解即可．【详解】解：由折叠的性质可得，∴的周长，∵，，∴的周长故答案为：．14．【分析】本题考查了勾股定理及用尺规画线段，正确认识尺规作图和掌握勾股定理是解题关键．先通过尺规作图确定，，再利用勾股定理求，即可求解．【详解】解：∵以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，再以点为圆心，为半径画弧，交于点，，，∴，，FBA MBA MBF MBA A '''∠=∠+∠=∠+∠ ()2MBA A MBA NCA ∴∠+∠-∠=∠'''2NCA MBA A ''∠-∠=∠∴2MBA NCA A ∠∠'-='∠22222EF BE BF a b =+=+ABCD EFGH MNPQ 222AB EF MN ++90B Ð=°22222EF BE BF a b =+=+ABCD EFGH MNPQ 222AB EF MN ++()()2222a b a b b a =++++-22222222a ab b a b a ab b =+++++-+2233a b =+40︒180240100︒-⨯︒=︒14AF BF =AF BF =ACF △AC CF AF AC CF BF AC BC =++=++=+8BC =6AC =ACF △8614AC BC =+=+=142BC BD =AD AE =AC B BC AB D A AD AC E 5AB =3BC =3BC BD ==2AD AE AB BD ==-=在中，，∴，故答案为：．15．或或【分析】本题考查了三角形内角和定理，等边对等角等知识，根据①当，时，②当，时，③当，时，④当，时，四种情况讨论即可作答．【详解】①当，时，如图，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴；②当，时，如图，同①可得：，∵，∴，③当，时，如图，Rt ABC△4AC ===422EC AC AE =-=-=230︒75︒52.5︒AD AP =BC PC=AD AP =BC BP =AD AP =PC BP =AD DP =PC BP =AD AP =BC PC =AD AP =30A ∠=︒()1180752APD ADP A ∠=∠=︒-∠=︒30MPN ∠=︒18075CPB MPN APD ∠=︒-∠-∠=︒BC PC =75CPB CBP ∠=∠=︒()18030C CPB CBP ∠=︒-∠=∠=︒AD AP =BC BP =75CPB ∠=︒BC BP =75CPB C ∠=∠=︒AD AP =PC BP =同①可得：，∵，∴；④当，时，如图，∵，，∴，∵，∴，综上：∠C 的度数为或或故答案为：或或．16．【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键．根据勾股定理可得答案．【详解】解：（1）∵两个面积为1的小正方形可拼成一个大正方形，∴小的正方形的边长为1，∴（2）∵小长方形的长为2，宽为1；17．见解析【分析】此题主要考查等腰三角形的判定，根据平行线的性质、角平分线的性质证明，由等腰三角形的判定即可求解．75CPB ∠=︒PC BP =()118052.53CBP C CPB ∠=∠=︒-∠=︒AD DP =PC BP =30MPN ∠=︒30A ∠=︒180120BPC APD MPN ∠=︒-∠-∠=︒PC BP =()1180302C PBC BPC ∠=∠=︒-∠=︒30︒75︒52.5︒30︒75︒52.5︒==AOC DCO ∠=∠【详解】证明：平分，．，，，，是等腰三角形．18．(1)见解析(2)．【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质以及角平分线（1）根据角平分线的性质可得出，由可得出，进而可得出，再利用等角对等边即可证出，从而得证；（2）由（1）可得出，进而可得出，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出的度数．【详解】（1）证明：∵是的平分线，∴，∵，∴，∴，（2）解：∵，∴，∵是的平分线，∴，∵，∴，∴．19．(1)见解析；(2)见解析．【分析】本题考查斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质．（1）根据斜边上的中线等于斜边上的一半，即可得证；（2）根据等腰三角形三线合一，即可得证．掌握斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键．【详解】（1）线段是和的公共斜边，点是的中点，，，；（2），点是的中点，．20．(1)见解析(2)的度数为【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质找出的角和相等的边，再运用判定直角三OC AOB ∠AOC BOC ∴∠=∠CD OB ∥DCO BOC ∴∠=∠AOC DCO ∴∠=∠OD CD ∴=DOC ∴△52A ∠=︒BCD ECD ∠=∠DE BC ∥EDC BCD ∠=∠EDC ECD ∠=∠DE CE =32ECD EDC ∠=∠=︒264ACB ECD ∠=∠=︒A ∠CD ACB ∠ACD DCB ∠=∠DE BC ∥EDC DCB ∠=∠DCE CDE ∠=∠32CDE ∠=︒32CDE DCB ∠=∠=︒CD ACB ∠264ACB DCB ∠=∠=︒AB AC =64B ACB ∠=∠=︒18052A B ACB ∠=︒-∠-∠=︒ AB Rt ABC △Rt △ABD E AB 12CE AB ∴=12DE AB =CE DE ∴=CE DE = F CD EF CD ∴⊥DBA ∠23︒90︒HL角形全等即可；（2）根据为等腰直角三角形，可知，则，再结合以及（）中所证明得全等三角形可得，进而可得到答案．【详解】（1）证明：∵为等腰直角三角形，，∴，在和中，，，∴．（2）解：∵为等腰直角三角形，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，因此的度数为．21．(1)见解析(2)【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，注意计算的准确性即可；（1）判断是否成立即可；（2）根据即可求解．【详解】（1）解：∵，，∴．∴是直角三角形，且．∴．根据“垂线段最短”可知新公路是村庄A 到高速公路的最短路线．（2）解：设，则．由（1）知，即．在中，，∴，解得．答：村庄A 到县城C 的距离是．22．(1)(2)是直角三角形(3)这块空地的面积为【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积计算，掌握勾股定理和三角形面积公式是解题关键．（1）利用勾股定理以及线段中点的性质即可．（2）通过计算三条边的长度，根据勾股定理的逆定理来判断三角形的形状．ABC 90BCA ∠=︒45CAB CBA ∠=∠=︒67BAE ∠=︒122EAC DBC ∠=∠=︒ABC 90BCA ∠=︒AC BC =Rt ACE Rt BCD AC BC =AE BD =()Rt ACE Rt BCD HL ≌ABC 90BCA ∠=︒45CAB CBA ∠=∠=︒67BAE ∠=︒674522EAC BAE CAB ∠=∠-∠=︒-︒=︒ACE BCD ≌22EAC DBC ∠=∠=︒452223 DBA CAB DBC ∠=∠∠=︒︒=︒－－DBA ∠23︒25kmAD BC ⊥222AC AD DC =+22222418900AD BD +=+=2230900AB ==222AD BD AB +=ABD △90ADB ∠=︒AD BC ⊥AD BC AC BC x ==18DC x =-AD BC ⊥90ADC ∠=︒Rt ADC 222AC AD DC =+()2222418x x =+-25x =AC 25km 18mADC △2168m（3）把四边形的面积分割成两个三角形的面积来计算．【详解】（1）解：，．在中，，，．是的中点，．（2）解：如图，，是的中点，．，，，，是直角三角形．（3）解：由（2）可知，是直角三角形，，，由（1）可知，，这块空地得面积为：．23．(1)见解析(2)(3)【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）由等边三角形的性质得出，，利用即可证明；（2）由全等三角形的性质得出，结合三角形外角的定义及性质即可得出答案；（3）由含角的直角三角形的性质得出，再由即可得出答案．【详解】（1）证明：∵为等边三角形，AE BC ⊥∴90AEB ∠=︒Rt ABE 15m AB =12m AE =∴9m BE === E BC ∴218m BC BE == AE BC ⊥E BC ∴15m AC AB == 17m AD =8=CD m ∴222CD AC AD +=∴=90ACD ∠︒∴ADC △ADC △15m AC =∴21115860m 22ACD S AC CD =⋅=⨯⨯= 18m BC =∴2111812108m 22ABC S BC AE =⋅=⨯⨯= ∴210860168m ABC ADC S S +=+=△△60BPQ ∠=︒10BE =30︒60BAE ACD ∠=∠=︒BA AC =SAS AEB CDA ≌ABE CAD ∠=∠30︒28BP PQ ==BE BP PE =+ABC∴，，在和中，，∴；（2）解：∵，∴，∴，即；（3）解：∵，∴，∴，∴，∴．60BAE ACD ∠=∠=︒BA AC =AEB △CDA 60BA AC BAE ACD AE CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()SAS AEB CDA ≌AEB CDA ≌ABE CAD ∠=∠ABE BAP CAD BAP ∠+∠=∠+∠60∠=∠=︒BPQ BAC BQ AD ⊥90BPQ ∠=︒9030PBQ BPQ ∠=︒-∠=︒28BP PQ ==8210BE BP PE =+=+=。

浙教版八年级上册数学_第二章特殊三角形测试题

八年级（上）第二章测试卷班级_______________,姓名________________得分________________。

1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为（）（A）17 （B）22 （C）17或22 （D）132、等边三角形的对称轴有（）A 1 条B 2条C 3条D 4条3、以下列三个数为边长的三角形能组成直角三角形的是（）A 1, 1 ,2B 5, 8 10C 6 ,7 ,8D 3 ,4 ,54、已知ΔABC的三边分别是3cm, 4cm, 5cm,则ΔABC的面积是（）A 6c㎡,B 7.5c㎡C 10c㎡D 12c㎡5、三角形内到三角形各边的距离都相等的点必在三角形的（）A 中线上B 角平分线上C 高线上D 不能确定6、下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）A 两个锐角对应相等B 一条边和一个锐角对应相等C 两条直角边对应相等D 一条直角边和一条斜边对应相等7、等腰三角形的一个顶角为40º，则它的底角为（）（A）100º（B）40º（C）70º（D）70º或40º8、下列能断定△ABC为等腰三角形的是（）（A）∠A=30º、∠B=60º（B）∠A=50º、∠B=80º（C）AB=AC=2，BC=4 （D）AB=3、BC=7，周长为139、若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60º，那么这个三角形一定为（）（A）等边三角形（B）等腰三角形（C）直角三角形（D）钝角三角形10、如图∠B C A=90，C D⊥A B，则图中与∠A互余的角有（）个A．1个B、2个C、3个D、4个二．填空题（10*3=30）1、一个等腰三角形底上的高、________和顶角的________互相重合。

2、在Rt△ABC中,∠C=90度,∠B=25度,则∠A=______度.3、等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则其底边上的高为______.4、已知等边三角形的周长为24cm，则等边三角形的边长为_______cm5、Rt△ABC的斜边AB的长为10cm，则AB边上的中线长为________ DCBAD B C A FE AB C6、在Rt △ABC 中，∠C=90º，∠A=30º，BC=2cm ，则AB=_____cm 。

浙教版2020八年级数学上册第二章特殊三角形单元综合能力测试题1(附答案详解)

浙教版2020八年级数学上册第二章特殊三角形单元综合能力测试题1（附答案详解）1．如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（）A．24πB．22πC．1 D．22．已知一元二次方程x2﹣6x+9=1的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为（）A．10 B．10或8 C．9 D．83．等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为（）A．65°B．65°或80°C．50°或65°D．40°4．以下列选项中的数为长度的三条线段中，不能组成直角三角形的是（）A．5，12，13 B．8，15，17 C．3，4，7 D．6，8，10 5．下边的图案是由下面五种基本图形中的两种拼接而成，这两种基本图形是（）A．②⑤B．②④C．③⑤D．①⑤6．下列几组数中，为勾股数的是（）A．13，14，15B．3，4，6C．5，12，13D．0.9，1.2，1.57．O是等边△ABC内的一点，OB=1，OA=2，∠AOB=150°，则OC的长为（）A3B5C7D．38．下列三个命题：①对顶角相等；②全等三角形的对应边相等；③如果两个实数是正数，它们的积是正数.它们的逆命题成立的个数是( )A．0个B．1个C．2个D．3个9．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A 在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动．在运动过程中，点B到原点的最大距离是( ).A．6B．26C．22＋2D．2510．如图，一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是（）A．2B．3C．5D．211．在镜中看到的一串数字是“80008”，则这串数字是______________12．在∠A（0°＜∠A＜90°）的内部画线段，并使线段的两端点分别落在角的两边AB、AC 上，如图所示，从点A1开始，依次向右画线段，使线段与线段在两端点处互相垂直，A1A2为第1条线段.设AA1=A1A2=A2A3=1，则∠A =_____；若记线段A2n-1A2n的长度为a n（n为正整数），如A1A2=a1,A3A4=a2，则此时a2=_______，a n=________（用含n的式子表示）.13．轴对称图形对应点连线被________，对应角对应线段都________．14．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的腰边长为_____cm.．15．在△ABC中，AB=2，AC=3，cos∠ACB=22，则∠ABC的大小为________度．16．如图所示的一块地，已知∠ADC＝90°，AD＝12m，CD＝9m，AB＝25m，BC＝20m，则这块地的面积为____________ .17．如图，在凸四边形ABCD 中，AB=BC=BD ，∠ABC=80°，则∠ADC 等于_______18．已知点P （x ，x+y ）与点Q （5，x ﹣7）关于x 轴对称，则点P 的坐标为_____． 19．如图①，在边长为4cm 的正方形ABCD 中，点P 以每秒2cm 的速度从点A 出发，沿AB BC →的路径运动，到点C 停止.过点P 作PQ //BD ，PQ 与边AD(或边CD)交于点Q ，PQ 的长度()y cm 与点P 的运动时间x(秒)的函数图象如图②所示.当点P 运动2.5秒时，PQ 的长度是______cm ．20．如图，长方体ABCD —A 1B l C l D 1中，AD ＝3，AA l ＝4，AB ＝5，则从A 点沿表面到C l 的最短距离为______．21．如图，ABC 中，AB AC =，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 上的点，且BD CE =，DEF B ∠=∠．（1）求证：BDE ≌CEF ；（2）若40A ∠=，求EDF ∠的度数．22．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观察，距沿海某城市A正南220千米的B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心风力不变，若城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响．（1）该城市是否会受到这次台风的影响？为什么？（2）若受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？23．在如图所示的5×5网格中，小方格的边长为1.(1)图中格点正方形ABCD的面积为________；(2)若连接AC，则以AC为边的正方形的面积为________；(3)在所给网格中画一个格点正方形，使其各边都不在格线上且面积最大，你所画的正方形面积为_____．24．在平面直角坐标系中，，点在第二象限的角平分线上，、的垂直平分线交于点.（1）求证：；（2）设交轴于点，若，求点的坐标；（3）作交轴于点，若，求点的坐标.25．如图，D 是△ABC 的BC 边上的一点，∠B =40°，∠ADC=80°．（1）求证：AD=BD ；（2）若∠BAC=70°，判断△ABC 的形状，并说明理由．26．如图1，已知A （a ，0），B （0，b ）分别为两坐标轴上的点，且a 、b 满足2)60a b b -+-=（，OC ∶OA =1∶3．（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）若D （1，0），过点D 的直线分别交AB 、BC 于E 、F 两点，设E 、F 两点的横坐标分别为E F x x 、．当BD 平分△BEF 的面积时，求E F x x +的值；（3）如图2，若M （2，4），点P 是x 轴上A 点右侧一动点，AH ⊥PM 于点H ，在HM 上取点G ，使HG =HA ，连接CG ，当点P 在点A 右侧运动时，∠CGM 的度数是否改变？若不变，请求其值；若改变，请说明理由．27．如图，隧道的截面由半圆和长方形构成，长方形的长BC 为8m ，宽AB 为1m ，该隧道内设双向行驶的车道（共有2条车道），若现有一辆货运卡车高4m ，宽2.3m ．则这辆货运卡车能否通过该隧道？说明理由．28．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A、B 是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是多少米？参考答案1．C【解析】【分析】连接OC ，作PE ⊥AB 于E ，MH ⊥AB 于H ，QF ⊥AB 于F ，如图，利用等腰直角三角形的性质得，∠A=∠B=45°，OC ⊥AB ，OC=OA=OB=1，∠OCB=45°，再证明Rt △AOP ≌△COQ 得到AP=CQ ，接着利用△APE 和△BFQ 都为等腰直角三角形得到PE=2AP=2CQ ，QF=2BQ ，所以PE+QF=2BC=1，然后证明MH 为梯形PEFQ 的中位线得到MH=12，即可判定点M 到AB 的距离为12，从而得到点M 的运动路线为△ABC 的中位线，最后利用三角形中位线性质得到点M 所经过的路线长．【详解】连接OC ，作PE ⊥AB 于E ，MH ⊥AB 于H ，QF ⊥AB 于F ，如图，∵△ACB 为到等腰直角三角形，∴AC=BC=2，∠A=∠B=45°， ∵O 为AB 的中点，∴OC ⊥AB ，OC 平分∠ACB ，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°， ∵∠POQ=90°，∠COA=90°， ∴∠AOP=∠COQ ，在Rt △AOP 和△COQ 中A OCQ AO COAOP COQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴Rt △AOP ≌△COQ ，∴AP=CQ ，易得△APE 和△BFQ 都为等腰直角三角形，∴，BQ ，∴PE+QF=2（CQ+BQ）=2BC=22=1，∵M点为PQ的中点，∴MH为梯形PEFQ的中位线，∴MH=12（PE+QF）=12，即点M到AB的距离为12，而CO=1，∴点M的运动路线为△ABC的中位线，∴当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长=12AB=1，故选C．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、梯形的中位线、点运动的轨迹，通过计算确定动点在运动过程中不变的量，从而得到运动的轨迹是解题的关键. 2．A【解析】【分析】先求得方程的两根，再把方程两根分别为底可求得三角形的三边长，即可求得答案．【详解】解方程x2−6x+9=1可得x=2或x=4，当△ABC的底为2时，则三角形的三边长为2、4、4，满足三角形三边关系，其周长为10，当△ABC的底为4时，则三角形的三边长为4、2、2，不满足三角形三边关系，舍去，∴△ABC的周长为10.故答案选：A.【点睛】本题考查了三角形的三边关系与等腰三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是熟练的掌握三角形的三边关系与等腰三角形的性质以及根据因式分解法解一元二次方程.3．C【解析】【分析】已知给出了一个内角是50°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还要用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．【详解】当50°是等腰三角形的顶角时，则底角为（180°﹣50°）×=65°；当50°是底角时也可以．故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．4．C【解析】【分析】根据勾股定理逆定理逐个分析即可.如果a2+b2=c2,那么以a,b,c为边的三角形是直角三角形. 【详解】因为52+122=132;82+152=172;32+42≠72;62+82=102所以，以5，12，13；8，15，17；6，8，10为长度的三条线段能组成直角三角形，以3，4，7为长度的三条线段不能组成直角三角形.故选C【点睛】本题考核知识点：勾股定理逆定理. 解题关键点：熟记勾股定理逆定理.5．A【解析】试题分析：右边的图案中由两种基本图形拼接而成，分别是②⑤，左上方和右下方的基本图形是②，左下方和右上方的基本图形是⑤考点：图形拼接点评：本题考查图形拼接，考查学生的观察图形的能力6．C【解析】【分析】可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数，根据这个概念进行判断即可. 【详解】A：13，14，15不是整数，故其不为勾股数；B：222346+≠，故其不为勾股数；C：22251213+=，故其为勾股数；D：0.9，1.2，1.5不是整数，故其不为勾股数.故选:C.【点睛】考查勾股数的定义，熟练掌握定义是解题的关键.7．B【解析】如图，将△AOB绕B点顺时针旋转60°到△BO′C的位置，由旋转的性质，得BO=BO′，∴△BO′O为等边三角形，由旋转的性质可知∠BO′C=∠AOB=150°，∴∠CO′O=150°-60°=90°，又∵OO′=OB=1，CO′=AO=2，∴在Rt△COO′中，由勾股定理，得OC=2222+=+=．O O O C''125故选B．8．B【解析】【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再把逆命题进行判断即可．【详解】①对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题错误；②全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的两个三角形全等，正确；③如果两个实数是正数，它们的积是正数的逆命题是如果两个数的积为正数，那么这两个数也是正数，逆命题错误，也可以有都是负数，所以逆命题成立的只有一个，故选B.【点睛】本题考查了互逆命题，真命题与假命题，真命题要运用相关知识进行推导，假命题要通过举反例来进行否定.9．C【解析】【分析】点A，C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点O在到AC的中点的距离不变．本题可通过设出AC的中点坐标，根据B、D、O在一条直线上时，点B到原点O的最大可得出答案．【详解】作AC的中点D，连接OD、DB，∵OB≤OD+BD，∴当O、D、B三点共线时OB取得最大值，∵D是AC中点，∴OD=12AC=2， ∵BD=22222=2+，OD=12AC=2， ∴点B 到原点O 的最大距离为2+22，故选D ．【点睛】此题主要考查了两点间的距离，以及勾股定理的应用，本题的难度较大，理解D 到O 的距离不变是解决本题的关键． 10．C 【解析】∵展开后由勾股定理得：AB 2=12+（1+1）2=5， ∴AB=5，故选C ．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键． 11．80008【解析】根据镜面对称可得这串数字是80008，故答案为：80008. 12．22.5︒ 12+ (112n -+【解析】∵A 1A 2=A 2A 3，A 1A 2⊥A 2A 3， ∴△A 1A 2A 3为等腰直角三角形， ∴∠A 2A 1A 3=45°，又AA 1=A 1A 2， ∴∠A =∠AA 2A 1，又∠A 2A 1A 3为△AA 2A 1的外角， ∴∠A =∠AA 2A 1=12∠A 2A 1A 3=22.5°；∵AA1=A1A2=A2A3=1，∴A1A2=a1=1；在Rt△A1A2A3中，根据勾股定理得：A1A3，∴AA3=A3A4=a2=AA1+A1A3；同理AA5=A5A6=a3=AA3+A3A5（）=（）2；以此类推，a n=（）n-1．故答案为：22.5°；；（）n-1．点睛：此题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，以及三角形的外角性质，属于规律型题，锻炼了学生归纳总结的能力，是中考中常考的题型．13．对称轴垂直平分相等【解析】【分析】根据轴对称图形对应点和对应角的性质可解得此题.【详解】根据轴对称图形的性质：轴对称图形对应点连线被对称轴垂直平分，对应角对应线段都相等．【点睛】此题考查了学生轴对称图形知识，掌握轴对称图形的性质是解决此题的关键.14．5或4【解析】【分析】此题分为两种情况：5cm是等腰三角形的底边或5cm是等腰三角形的腰，然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．【详解】解：当5cm是等腰三角形的底边时，则其腰长是（13-5）÷2=4（cm），能够组成三角形；当5cm是等腰三角形的腰时，则其底边是13-5×2=3（cm），能够组成三角形．故答案为：4或5．【点睛】此题考查了等腰三角形的两腰相等的性质与三角形的三边关系，解题时要注意分类讨论思想的运用． 15．30或150 【解析】如图，作AD ⊥BC 于点D ，在Rt △ACD 中，∵AC=3、cos ∠ACB=223，∴CD=ACcos ∠ACB=3×223=22，则AD=()2222322AC CD -=-=1，①若点B 在AD 左侧，∵AB=2、AD=1，∴∠ABC=30°；②若点B 在AD 右侧，则∠AB′D=30°，∴∠AB′C=150°，故答案为30或150．16．96m 2 【解析】试题解析：如图，连接AC ．在△ACD 中，∵AD=12m ，CD=9m ，∠ADC=90°， ∴AC=15m ，又∵AC 2+BC 2=152+202=252=AB 2， ∴△ABC 是直角三角形，∴这块地的面积=△ABC 的面积-△ACD 的面积=12×15×20-12×9×12=96（平方米）．故答案为：96m 2． 17．140° 【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得1902ADB ABD ∠=︒-∠，1902CDB CBD ∠=︒-∠，由于∠ADC=∠ADB+∠CDB ，∠ABC=80°，依此即可求解．【详解】 ∵AB =BC =BD ，∴11909022ADB ABD CDB CBD ，，∠=︒-∠∠=︒-∠ ∴11909022ADC ADB CDB ABD CBD ∠=∠+∠=-∠+-∠11180()1808018040140.22ABD CBD =-∠+∠=-⨯=-=故答案为140. 【点睛】考查等腰三角形的性质以及三角形的内角和，得到190,2ADB ABD ∠=︒-∠ 190,2CDB CBD ∠=︒-∠是解题的关键.18．（5，2）【解析】试题解析：由点P （x ，x+y ）与点Q （5，x ﹣7）关于x 轴对称，得 x=5，x+y=7﹣x ．解得x=5，y=﹣3，点P 的坐标为（5，2）.点睛：对称点的坐标规律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．19．【解析】【分析】根据运动速度乘以时间，可得P 的位置，根据线段的和差，可得CP 的长，最好根据勾股定理，可得PQ 的长度．【详解】由题可得：点P 运动2.5秒时，P 点运动了5cm ，此时，点P 在BC 上，853cmCP∴=-=，Rt PCQ中，由勾股定理，得223332cmPQ=+=，故答案为：32．【点睛】本题考查了动点函数图象，依据点P的位置，利用勾股定理进行计算是解题关键．20．74【解析】【分析】A点沿表面到C l共有三种情况，一是经平面AB1，A1C1，二是经平面AB1，BC1，三是经平面AC，BC1，画出三种情况下的图形，并利用勾股定理进行求解，最后比较三个结果，最小的即为答案．【详解】从A点沿表面到C l的情况可以分为以下三种：与A1B1相交，如下图示：此时174AC②与BB1相交，如下图示：此时180AC=③与BC相交，如下图示：此时190AC=综上,从A点沿表面到C l7474【点睛】考查多面体表面上的最短路径问题，利用数形结合思想，根据两点之间，线段最短，用勾股定理求解即可.21．（1）证明见解析；（2）55°．【解析】【分析】（1）根据三角形外角的性质可得到∠CEF=∠BDE，可证△BDE≌△CEF；（2）由（1）可得DE=FE，即△DEF是等腰三角形，由等腰三角形的性质可求出∠B=70°，即∠DEF=∠B=70°，从而求出∠EDF的度数．【详解】（1）∵∠DEC=∠B+∠BDE=∠CEF+∠DEF，∠DEF=∠B，∴∠CEF=∠BDE．∵AB =AC ，∴∠C =∠B ．又∵CE =BD ，∴△BDE ≌△CEF ．（2）∵△BDE ≌△CEF ，∴DE =FE ． ∴△DEF 是等腰三角形，∴∠EDF =∠EFD ． ∵AB =AC ，∠A =40°，∴∠B =70°．∵∠DEF =∠B ，∴∠DEF =70°，∴∠EDF =∠EFD =12×（180°﹣70°）=55°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、三角形的外角与内角的关系及全等三角形的判定及性质；证得三角形全等是正确解答本题的关键．22．（1）该城市会受到这次台风的影响（2）415小时（3）6.5级【解析】试题分析：（1）求是否会受到台风的影响，其实就是求A 到BC 的距离是否大于台风影响范围的半径，如果大于，则不受影响，反之则受影响．如果过A 作AD BC ⊥于D ，AD 就是所求的线段 Rt △ABD 中，有ABD ∠的度数，有AB 的长，AD 就不难求出了．（2）受台风影响时，台风中心移动的距离，应该是A 为圆心，台风影响范围的半径为半径，所得圆截得的BC 上的线段的长即EF 得长，可通过在Rt AED △和Rt AFD 中，根据勾股定理求得．有了路程，有了速度，时间就可以求出了．（3）风力最大时，台风中心应该位于D 点，然后根据题目给出的条件判断出时几级风．试题解析：(1)该城市会受到这次台风的影响。

最新浙教版八年级数学上学期《特殊三角形》单元测试题及答案解析.docx

《第2章特殊三角形》一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每小题四个答案中，只有一个是正确的请将正确的答案选出来．1．△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D，则图中的等腰三角形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列说法中，正确的有（）①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；④等腰三角形是轴对称图形．A．1个B．2个C．3个D．4个3．在平面直角坐标系xoy中，已知点A（2，﹣2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．在△ABC中，∠A的相邻外角是110°，要使△ABC为等腰三角形，则底角∠B的度数是（）A．70 B．55° C．70°或55°D．60°5．已知三角形的周长为15cm，且其中两边都等于第三边的2倍，那么最短边的长是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm6．如图所示，△ABC中，AB=AC，过AC上一点作DE⊥AC，EF⊥BC，若∠BDE=140°，则∠DEF=（）A．55° B．60° C．65° D．70°7．若三角形中的一条边是另一条边的2倍，且有一个角为30°，则这个三角形是（）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对8．如图所示，在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：5：10，又△A′B′C′≌△ABC，则∠BCA′：∠BCB′等于（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：49．如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，若AB=3，BC=5，则DC的长度是（）A．B．C．D．10．一个三角形两边中点的连线叫做这个三角形的中位线．只要顺次连结三角形三条中位线，则可将原三角形分割为四个全等的小三角形（如图（1））；把三条边分成三等份，再按照图（2）将分点连起来，可以看作将整个三角形分成9个全等的小三角形；把三条边分成四等份，…，按照这种方式分下去，第n个图形中应该得到（）个全等的小三角形．A．B．C．D．（n+1）2二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）温馨提示：填空题应当是填最简洁，最正确的答案！11．如图，△ABC是Rt△，BC是斜边，P是三角形内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP=3，那么PP′的长等于．12．在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥AC，交BC于D，若AB=a，则CD= ．13．如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E．则四边形AECF的面积是．14．如图所示，在Rt△ABC中，CD是斜边上的中线，CE是高．已知AB=10cm，DE=2.5cm，则∠BDC= 度，S△BCD= cm2．15．若直角三角形两条直角边上的中线分别是5厘米和厘米，则斜边长为厘米．16．已知：如图，∠BAC=90°，∠C=30°，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，BE=1，BC= ．三、解答题（共8题，共66分）温馨提示：解答题应把必要的解答过程表述出来！17．如图所示，已知：AB=BC=AC，CD=DE=EC，求证：AD=BE．18．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，添加一个条件，使DE=DF，并说明理由．解：需添加条件是．19．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，且BC=6，AB=10，求AC和CD．20．已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF为等边三角形．求证：（1）△AEF≌△CDE；（2）△ABC为等边三角形．21．已知，如图△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F．求证：（1）BF=AC；（2）CE=BF．22．如图，已知OA=a，P是射线ON上一动点（即P可以在射线ON上运动），∠AON=60°，填空：（1）当OP= 时，△AOP为等边三角形；（2）当OP= 时，△AOP为直角三角形；（3）当OP满足时，△AOP为钝角三角形．23．已知，如图，AD∥BC，∠A=90°，AD=BE，∠EDC=∠ECD，请你说明下列结论成立的理由：（1）△AED≌△BCE，（2）AB=AD+BC．24．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？《第2章特殊三角形》参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每小题四个答案中，只有一个是正确的请将正确的答案选出来．1．△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D，则图中的等腰三角形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】等腰三角形的判定与性质；三角形内角和定理．【分析】由已知条件，利用三角形的内角和定理及角平分线的性质得到各角的度数，根据等腰三角形的定义及等角对等边得出答案．【解答】解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．∵∠A=36°，∴∠C=∠ABC=72°．BD平分∠ABC交AC于D，∴∠ABD=∠DBC=36°，∵∠A=∠ABD=36°，∴△ABD是等腰三角形．∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，∴△BDC是等腰三角形．∴共有3个等腰三角形．故选C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；求得角的度数是正确解答本题的关键．2．下列说法中，正确的有（）①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；④等腰三角形是轴对称图形．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】等腰三角形的性质．【分析】认真阅读每一问题给出的已知条件，根据等腰三角形的概念、性质判断正误．【解答】解：①等腰三角形的两腰相等，正确；②等腰三角形的两底角相等，正确；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等，正确；④等腰三角形是轴对称图形，对称轴就是底边上的高所在的直线，正确．故选D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质；熟练掌握并灵活应用这些知识是解答本题的关键．3．在平面直角坐标系xoy中，已知点A（2，﹣2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质．【分析】如果OA为等腰三角形的腰，有两种可能，以O为圆心OA为半径的圆弧与y 轴有两个交点，以A为圆心AO为半径的圆弧与y轴有一个交点；如果OA为等腰三角形的底，只有一种可能，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点；符合条件的点一共4个．【解答】解：分二种情况进行讨论：当OA为等腰三角形的腰时，以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A 为圆心AO为半径的圆弧与y轴有一个交点；当OA为等腰三角形的底时，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点．∴符合条件的点一共4个．故选D．【点评】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；针对线段OA在等腰三角形中的地位，分类讨论用画圆弧的方式，找与y轴的交点，比较形象易懂．4．在△ABC中，∠A的相邻外角是110°，要使△ABC为等腰三角形，则底角∠B的度数是（）A．70 B．55° C．70°或55°D．60°【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．【专题】计算题；分类讨论．【分析】根据已知可求得∠A的度数，题中没有指明∠A是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而不难求解．【解答】解：①当∵∠A是顶角时，∵∠A的相邻外角是110°，∴∠A=180°﹣110°=70°，∵只有当∠B=∠C时，△ABC为等腰三角形，∴∠B=（180°﹣70°）÷2=55°，②当∠A=∠B是底角时，∵∠A的相邻外角是110°，∴∠A=180°﹣110°=70°，∴∠B=70°，故选C．【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用，注意分类讨论思想的运用．5．已知三角形的周长为15cm，且其中两边都等于第三边的2倍，那么最短边的长是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【考点】三角形三边关系．【分析】可设这个三角形的最短边为x厘米，根据三角形的周长为15厘米可列出方程求解即可．【解答】解：设这个三角形的最短边为x厘米，依题意有x+2x+2x=15，5x=15，x=3．故这个三角形的最短边为3厘米．故选C．【点评】考查了等腰三角形的性质，本题关键是根据三角形的周长列出方程求解．6．如图所示，△ABC中，AB=AC，过AC上一点作DE⊥AC，EF⊥BC，若∠BDE=140°，则∠DEF=（）A．55° B．60° C．65° D．70°【考点】三角形的外角性质．【分析】由DE⊥AC，∠BDE=140°，可计算出∠A，再利用等腰三角形的性质求出∠C，最后利用EF⊥BC及同角的余角相等得到∠DEF的度数．【解答】解：∵DE⊥AC，∠BDE=140°，∴∠A=50°，又∵AB=AC，∴∠C==65°，∵EF⊥BC，∴∠DEF=∠C=65°．所以A错，B错，C对，D错．故选C．【点评】考查了垂直的性质，等腰三角形的性质和三角形的外角性质．7．若三角形中的一条边是另一条边的2倍，且有一个角为30°，则这个三角形是（）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对【考点】三角形．【分析】如图，分AB是30°角所对的边AC的2倍和AB是30°角相邻的边AC的2倍两种情况求解．【解答】解：如图：（1）当AB是30°角所对的边AC的2倍时，△ABC是直角三角形；（2）当AB是30°角相邻的边AC的2倍时，△ABC是钝角三角形．所以三角形的形状不能确定．故选D．【点评】解答本题关键在于已知30°的角与边的关系不明确，需要讨论求解，所以三角形的形状不能确定．8．如图所示，在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：5：10，又△A′B′C′≌△ABC，则∠BCA′：∠BCB′等于（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：4【考点】全等三角形的性质．【分析】设∠A=3k，∠B=5k，∠C=10k，根据全等三角形对应角相等可得∠A′CB′=∠ACB=10k，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BCB′=8k，然后求出∠A′CB=2k，求出比值即可．【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=3：5：10，∴设∠A=3k，∠B=5k，∠C=10k，∵△A′B′C′≌△ABC，∴∠A′CB′=∠ACB=10k，在△ABC中，∠B′CB=∠A+∠B=3k+5k=8k，∴∠A′CB=∠A′CB′﹣∠B′CB′=10k﹣8k=2k，∴∠BCA′：∠BCB′=2k：8k=1：4．故选D．【点评】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，利用“设k法”表示出各角更简便．9．如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，若AB=3，BC=5，则DC的长度是（）A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理．【专题】计算题．【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理计算AC===4，易证得Rt △CAD∽Rt△CBA，根据相似三角形的性质得到CD：AC=AC：BC，即CD：4=4：5，即可求出CD．【解答】解：∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，∴AC===4，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，而∠C公共，∴Rt△CAD∽Rt△CBA，∴CD：AC=AC：BC，即CD：4=4：5，∴CD=．故选C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形对应边的比相等．也考查了勾股定理．10．一个三角形两边中点的连线叫做这个三角形的中位线．只要顺次连结三角形三条中位线，则可将原三角形分割为四个全等的小三角形（如图（1））；把三条边分成三等份，再按照图（2）将分点连起来，可以看作将整个三角形分成9个全等的小三角形；把三条边分成四等份，…，按照这种方式分下去，第n个图形中应该得到（）个全等的小三角形．A．B．C．D．（n+1）2【考点】三角形中位线定理；规律型：图形的变化类．【分析】第一图形中三角形的个数为4，第二个图形中三角形的个数为9，这两个数均为完全平方数，那么就可得到第n个图形中全等的三角形个数．【解答】解：由图（1）可知：顺次连接各中点所得全等的小三角形为1+3=（1+1）2；图（2）中顺次连接各中点所得全等的小三角形为1+3+5=（2+1）2；同理如果把三条边分成3等分可得到1+3+5+7=（3+1）2个全等的小三角形，按照这种方式分下去，第n个图形中应该得到（n+1）2个全等的小三角形．故选：D．【点评】本题考查了三角形中位线定理，用加法表示出全等三角形的个数，进而找到相应规律是解决本题的关键．二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）温馨提示：填空题应当是填最简洁，最正确的答案！11．如图，△ABC是Rt△，BC是斜边，P是三角形内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP=3，那么PP′的长等于．【考点】旋转的性质．【专题】计算题．【分析】根据旋转的性质得到AP′=AP=3，∠P′AP=∠CAB=90°，然后根据等腰直角三角形的性质可得到出PP′的长．【解答】解：∵△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，∴AP′=AP=3，∠P′AP=∠CAB=90°，∴△P′AP为等腰直角三角形，∴P′P=AP=3．故答案为3．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质．12．在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥AC，交BC于D，若AB=a，则CD= 2a ．【考点】等腰三角形的判定与性质．【分析】如图：作CD的中点E，连接AE，由直角三角形的性质可以得出AE=CD，可以得出∠AEB=2∠C，得出∠AEB=∠B，就有AB=AE=a，就可以得出结论．【解答】解：如图，作CD的中点E，连接AE，∴DE=CE=CD．∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°，∴AE=CD，∴AE=CE，∴∠C=∠EAC，∵∠AED=∠C+CAE，∴∠AED=2∠C．∵∠B=2∠C，∴∠AEB=∠B，∴AB=AE=CD，∴CD=2AB．∵AB=a，∴CD=2a．故答案为：2a．【点评】本题考查了作辅助线的运用及直角三角形的斜边上的中线的性质的运用等腰三角形的性质的运用，解答本题作斜边上的中线是关健．13．如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E．则四边形AECF的面积是16 ．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】由四边形ABCD为正方形可以得到∠D=∠B=90°，AD=AB，又∠ABE=∠D=90°，而∠EAF=90°由此可以推出∠DAF+∠BAF=90°，∠BAE+∠BAF=90°，进一步得到∠DAF=∠BAE，所以可以证明△AEB≌△AFD，所以S△AEB=S△AFD，那么它们都加上四边形ABCF 的面积，即可四边形AECF的面积=正方形的面积，从而求出其面积．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠D=∠ABC=90°，AD=AB，∴∠ABE=∠D=90°，∵∠EAF=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∠BAE+∠BAF=90°，∴∠DAF=∠BAE，在△AEB和△AFD中，∵，∴△AEB≌△AFD（ASA），∴S△AEB=S△AFD，∴它们都加上四边形ABCF的面积，可得到四边形AECF的面积=正方形的面积=16．故答案为：16．【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质、正方形的面积公式，正方形的性质，关键在于求证△AEB≌△AFD．14．如图所示，在Rt△ABC中，CD是斜边上的中线，CE是高．已知AB=10cm，DE=2.5cm，则∠BDC= 120 度，S△BCD= cm2．【考点】直角三角形斜边上的中线；等边三角形的判定与性质；勾股定理．【分析】首先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=5cm，再根据三角函数值算出∠ECD的度数，然后根据三角形的内角与外角的关系可得∠CDB=∠CED+∠ECD，进而得到∠CDB的度数；再根据勾股定理可计算出CE的长，然后再利用三角形的面积公式进行计算即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，CD是斜边上的中线，∴CD=AB，∵AB=10cm，∴CD=5cm，∵CE是高，∴△CED是直角三角形，∵DE=2.5cm，∴sin∠ECD==，∴∠ECD=30°，∴∠CDB=∠CED+∠ECD=90°+30°=120°；在Rt△CED中：CE===（cm），∴S△BCD=DB•CE=×5×=（cm2）．故答案为：120；．【点评】此题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理，以及三角函数的应用，解决问题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．15．若直角三角形两条直角边上的中线分别是5厘米和厘米，则斜边长为厘米．【考点】勾股定理．【分析】如图，在Rt△ABE与Rt△CBD中，利用勾股定理列出关于a、b的方程组，通过解方程组求得a、b的值；然后在Rt△ABC中根据勾股定理来求斜边AC的长度．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AE、CD分别是直角边BC、AB上的中线，且AE=5厘米，CD=厘米，则由勾股定理知，解得，则AB=2a=4，BC=2b=6．则在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC===2（厘米）．故答案是：2．【点评】本题考查了勾股定理．注意：勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．16．已知：如图，∠BAC=90°，∠C=30°，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，BE=1，BC= 8 ．【考点】含30度角的直角三角形．【分析】根据已知条件易求得∠BDE=30°，∠BAD=30°，则”30度角所对的直角边是斜边的一半“，所以BD=2BE=2，AB=2BD=4，BC=2AB=8．【解答】解：如图，∵∠BAC=90°即AC⊥B，DE⊥AB，∴ED∥AC，∴∠BDE=∠C=30°，∴BD=2BE．又∵AD⊥BC，∴∠BAD=30°，∴AB=2BD=4BE，∴BC=2AB=8BE=8．故填：8．【点评】本题考查了含30度角的直角三角形．在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．三、解答题（共8题，共66分）温馨提示：解答题应把必要的解答过程表述出来！17．如图所示，已知：AB=BC=AC，CD=DE=EC，求证：AD=BE．【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】先根据等边三角形的内角等于60°推出∠ACD=∠BCE，然后利用边角边证明△ACD与△BCE全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明．【解答】证明：∵AB=BC=AC，CD=DE=EC，∴△ABC与△CDE是等边三角形，∴∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB﹣∠BCD=∠DCE﹣∠BCD，即∠ACD=∠BCE，在△ACD与△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，判定出△ABC与△CDE是等边三角形并求出∠ACD=∠BCE是解题的关键．18．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，添加一个条件，使DE=DF，并说明理由．解：需添加条件是BD=CD，或BE=CF ．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题；开放型．【分析】本题是开放题，应先确定选择哪对三角形，再对应三角形全等条件求解．【解答】解：需添加的条件是：BD=CD，或BE=CF．添加BD=CD的理由：如图，∵AB=AC，∴∠B=∠C．又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°．∴△BDE≌△CDF（AAS）．∴DE=DF．添加BE=CF的理由：如图，∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD．又∵BE=CF，∴△BDE≌△CDF（ASA）．∴DE=DF．【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．19．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，且BC=6，AB=10，求AC和CD．【考点】勾股定理．【分析】首先利用勾股定理求得直角边AC=8；然后利用面积法来求CD的长度．【解答】解：∵如图，在Rt△ABC中，BC=6，AB=10，∴由勾股定理，得AC===8∴，∴．【点评】本题考查了勾股定理．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．20．已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF为等边三角形．求证：（1）△AEF≌△CDE；（2）△ABC为等边三角形．【考点】全等三角形的判定；等边三角形的判定．【专题】证明题；压轴题．【分析】（1）关键是证出CE=AF，可由AE=AB，AC=BF，两两相加可得．再结合已知条件可证出△AEF≌△CDE．（2）有（1）中的全等关系，可得出∠AFE=∠CED，再结合△DEF是等边三角形，可知∠DEF=60°，从而得出∠BAC=60°，同理可得∠ACB=60°，那么∠ABC=60°．因而△ABC 是等边三角形．【解答】证明：（1）∵BF=AC，AB=AE（已知）∴FA=EC（等量加等量和相等）．∵△DEF是等边三角形（已知），∴EF=DE（等边三角形的性质）．又∵AE=CD（已知），∴△AEF≌△CDE（SSS）．（2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC（对应角相等），∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF（等量代换），△DEF是等边三角形（已知），∴∠DEF=60°（等边三角形的性质），∴∠BCA=60°（等量代换），由△AEF≌△CDE，得∠EFA=∠DEC，∵∠DEC+∠FEC=60°，∴∠EFA+∠FEC=60°，又∠BAC是△AEF的外角，∴∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°，∴△ABC中，AB=BC（等角对等边）．∴△ABC是等边三角形（等边三角形的判定）．【点评】本题利用了等量加等量和相等，全等三角形的判定和性质，还有三角形的外角等不相邻的两个内角之和，等边三角形的判定（三个角都是60°，那么就是等边三角形）．21．已知，如图△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F．求证：（1）BF=AC；（2）CE=BF．【考点】全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质．【专题】证明题；压轴题．【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出∠A=∠DFB，推出BD=DC，根据AAS证出△BDF≌△CDA即可；（2）推出∠AEB=∠CEB，∠ABE=∠CBE，根据ASA证出△AEB≌△CEB，推出AE=CE即可．【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°，∴∠A+∠ABE=90°，∠ABE+∠DFB=90°，∴∠A=∠DFB，∵∠ABC=45°，∠BDC=90°，∴∠DCB=90°﹣45°=45°=∠DBC，∴BD=DC，在△BDF和△CDA中∵，∴△BDF≌△CDA（AAS），∴BF=AC；（2）证明：∵BE⊥AC，∴∠AEB=∠CEB，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，在△AEB和△CEB中∵，∴△AEB≌△CEB（ASA），∴AE=CE，即CE=AC，∵由（1）知AC=BF，∴CE=BF．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出△BDF≌△CDA和△AEB≌△CEB，题目综合性比较强．22．如图，已知OA=a，P是射线ON上一动点（即P可以在射线ON上运动），∠AON=60°，填空：（1）当OP= a 时，△AOP为等边三角形；（2）当OP= 时，△AOP为直角三角形；（3）当OP满足时，△AOP为钝角三角形．【考点】等边三角形的判定；含30度角的直角三角形．【分析】（1）由∠AON=60°，可得当OP=OA=a时，△AOP为等边三角形；（2）分别从若AP⊥ON与若PA⊥OA去分析求解，根据三角函数的性质，即可求得OP的长；（3）结合（2）的结论，即可求得答案．【解答】解：（1）∵∠AON=60°，∴当OP=OA=a时，△AOP为等边三角形；（2）若AP⊥ON，∵∠AON=60°，∴OP=OA•cos60°=a；若PA⊥OA，则OP==2a，∴当OP=时，△AOP为直角三角形；（3）由（2）可得：当OP满足时，△AOP为钝角三角形．故答案为：（1）a，（2）a或2a，（3）OP＞2a或OP＜a．【点评】此题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．23．（2008秋•广安校级期中）已知，如图，AD∥BC，∠A=90°，AD=BE，∠EDC=∠ECD，请你说明下列结论成立的理由：（1）△AED≌△BCE，（2）AB=AD+BC．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）由AD∥BC，∠A=90°，根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠B=90°，根据直角三角形的HL定理，即可证得；（2）由（1）△AED≌△BCE，根据全等三角形的性质，可得AE=BC，又AB=AE+BE，等量代换，即可得出；【解答】证明：（1）∵AD∥BC，∠A=90°，∴∠B=90°，∵∠EDC=∠ECD，∴ED=EC，在直角△AED和直角△BCE中，，∴△AED≌△BCE；（2）∵△AED≌△BCE，∴AE=BC，AD=BE，又∵AB=AE+BE，∴AB=AD+BC．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．24．（12分）（2013秋•高邮市校级期中）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】分类讨论．【分析】（1）根据旋转的性质可得OC=CD，∠OCD=60°，然后根据有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形判定即可；（2）根据旋转的性质可得∠ADC=α，然后求出∠ADO=90°，即可得解；（3）分AO=AD时，表示出∠AOC=∠ADC=α，然后根据周角等于360°列式求解即可；DA=DO时，先表示出∠ADO，再根据等腰三角形的性质表示出∠AOD，然后根据周角列出方程求解即可；AO=DO时，先表示出∠ADO，再根据等腰三角形的性质表示出∠AOD，然后根据周角列出方程求解即可．【解答】（1）证明：∵OC=CD，∠OCD=60°，∴∠OCD是等边三角形（有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形）；（2）当∠α=150°时，由旋转的性质，∠ADC=α=150°，∵∠ODC=60°，∴∠ADO=∠ADC﹣∠ODC=150°﹣60°=90°，∴△AOD直角三角形；（3）当AO=AD时，∠AOD=∠ADO=α﹣60°，∴∠AOC=∠ADC=α，∴2α+110°=360°，∴α=125°，当DA=DO时，∠ADO=α﹣60°，∴∠AOD=（180°﹣∠ADO）=（180°﹣α+60°）=120°﹣α，∴120°﹣α+60°+α+110°=360°，∴α=140°，当AO=OD时，∠ADO=α﹣60°，∴∠AOD=180°﹣2（α﹣60°）=300°﹣2α，∴300°﹣2α+110°+α+60°=360°，∴α=110°．【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的两底角相等的性质，难点在于（3）要分情况讨论．。

2020年浙教新版八年级上册数学《第2章特殊三角形》单元测试卷(解析版)

2020年浙教新版八年级上册数学《第2章特殊三角形》单元测试卷一．选择题（共10小题）1．下列判定直角三角形全等的方法，错误的是（）A．两条直角边对应相等B．斜边和一锐角对应相等C．斜边和一直角边对应相等D．两锐角相等2．若等腰△ABC中有一个内角为40°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为（）A．40°B．100°C．40°或100°D．40°或70°3．具备下列条件的三角形为等腰三角形的是（）A．有两个角分别为20°，120°B．有两个角分别为40°，80°C．有两个角分别为30°，60°D．有两个角分别为50°，80°4．反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”先应假设这个三角形中（）A．有一个内角小于60°B．每个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每个内角都大于60°5．下面算式中，每个汉字代表0，l，2，…，9中的一个数字，不同的汉字代表不同的数字．算式中的乘数应是（）A．2B．3C．4D．≥56．如图所示，∠MON＝45°，点P为∠MON内一点，点P关于OM、ON对称的对称点分别为点P1、P2，连接OP、OP1、OP2、PP1、PP2、P1P2，P1P2分别与OM、ON交于点A、B，连接AP，BP，则∠APB的度数为（）A．45°B．90°C．135°D．150°7．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，若∠BAD ＝α，则∠ACB的度数为（）A．45°B．α﹣45°C．αD．90°﹣α8．以下是几种垃圾分类的图标，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．9．下列图形中轴对称图形是（）A．B．C．D．10．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）A．140°B．100°C．50°D．40°二．填空题（共8小题）11．如果两个直角三角形的分别对应相等，那么这两个直角三角形全等．12．已知，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，P为直线BC上一点，BP＝AB，则∠APB的度数为．13．用反证法证明“两条直线相交，只能有一个交点”，应假设．14．用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”，应当先假设这个三角形中．15．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，点C关于BD的对称点E恰好落在AD上，若∠BDC ＝α，则∠ABC的度数为（用含a的代数式表示）．16．已知∠AOB＝45°，点P在∠AOB内部，点P1与点P关于OA对称，点P2与点P关于OB对称，连接P1P2交OA、OB于E、F，若P1E＝，OP＝，则EF的长度是．17．写出一个成轴对称图形的大写英文字母：．18．下列说法中，正确的有（把所有正确的答案都写上）①圆、线段、角、梯形、平行四边形都是轴对称图形；②若两图形成轴对称，则对称轴两侧的对应点所连成的线段被对称轴垂直平分；③如果三角形中有两边上的高相等，则这个三角形一定是等腰三角形；④等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行；⑤等腰三角形的一个内角为80°，则另外两个内角必然都是50°．三．解答题（共8小题）19．如图：AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，EF过点C，BE⊥EF于E，DF⊥EF于F，BE＝DF．求证：Rt△BCE≌Rt△DCF．20．综合与实践：问题情境：已知在△ABC中，∠BAC＝100°，∠ABC＝∠ACB，点D为直线BC上的动点（不与点B，C重合），点E在直线AC上，且AE＝AD，设∠DAC＝n．（1）如图1，若点D在BC边上，当n＝36°时，求∠BAD和∠CDE的度数；拓广探索：（2）如图2，当点D运动到点B的左侧时，其他条件不变，试猜想∠BAD和∠CDE的数量关系，并说明理由；（3）当点D运动点C的右侧时，其他条件不变，请直接写出∠BAD和∠CDE的数量关系．21．如图，已知AB∥CD，CD⊥EF，垂足为N，AB与EF交于点M，求证：AB⊥EF．（用反证法证明）22．用反证法证明：如果x＞，那么x2+2x﹣1≠0．23．等边三角形有条对称轴．24．图中有阴影的三角形与哪些三角形成轴对称？整个图形是轴对称图形吗？它共有几条对称轴？25．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上，点E在BC边上，且点E在小正方形的顶点上，连接AE．（1）在图中画出△AEF，使△AEF与△AEB关于直线AE对称，点F与点B是对称点，并求出BF的长；（2）△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积为．26．如图，一个牧童在距小河边1千米的点A处牧马，而牧童家在河边同侧且距河边7千米的点B处，已知点A与点B的直线距离是10千米．他想先把马牵到河边去饮水，然后再回家，求他要完成这件事情所走的最短路程是多少千米．（精确到0.1千米，参考数据：≈1.41，≈1.73）2020年浙教新版八年级上册数学《第2章特殊三角形》单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列判定直角三角形全等的方法，错误的是（）A．两条直角边对应相等B．斜边和一锐角对应相等C．斜边和一直角边对应相等D．两锐角相等【分析】根据全等三角形的判定方法对A、B、C、D选项逐个分析是否可求证两三角形全等，然后即可得出正确选项．【解答】解：如果在两个直角三角形中，两条直角边对应相等，那么根据SAS即可判断两三角形全等，故选项A正确．如果如果在两个直角三角形中，斜边和一锐角对应相等，那么根据AAS也可判断两三角形全等，故选项B正确．如果如果在两个直角三角形中，斜边和一直角边对应相等，那么根据HL也可判断两三角形全等，故选项C正确．故选：D．【点评】此题主要考查学生对直角三角形全等得判定的理解和掌握，解得此题的关键是根据A、B、C选项给出的已知条件都可判断出三角形全等，所以答案就很明显了．2．若等腰△ABC中有一个内角为40°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为（）A．40°B．100°C．40°或100°D．40°或70°【分析】由于不明确40°的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分40°的角是顶角和底角两种情况讨论．【解答】解：当40°的角为等腰三角形的顶角时，底角的度数＝＝70°；当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°，故它的底角的度数是70°或40°．故选：D．【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，由于不明确40°的角是等腰三角形的底角还是顶角，所以要采用分类讨论的思想．3．具备下列条件的三角形为等腰三角形的是（）A．有两个角分别为20°，120°B．有两个角分别为40°，80°C．有两个角分别为30°，60°D．有两个角分别为50°，80°【分析】分别求出第三个内角的度数，即可得出结论．【解答】解：A、有两个角分别为20°，120°的三角形，第三个内角为180°﹣120°﹣20°＝40°，∴有两个角分别为20°，120°的三角形不是等腰三角形，选项A不符合题意；B、有两个角分别为40°，80°的三角形，第三个内角为180°﹣40°﹣80°＝60°，∴有两个角分别为40°，80°的三角形不是等腰三角形，选项B不符合题意；C、有两个角分别为30°，60°的三角形，第三个内角为180°﹣30°﹣60°＝90°，∴有两个角分别为30°，60°的三角形不是等腰三角形，选项C不符合题意；D、有两个角分别为50°，80°的三角形，第三个内角为180°﹣50°﹣80°＝50°，有两个角相等，是等腰三角形；∴有两个角分别为50°，80°的三角形是等腰三角形，选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的判定以及三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理和等腰三角形的判定是解题的关键．4．反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”先应假设这个三角形中（）A．有一个内角小于60°B．每个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每个内角都大于60°【分析】此题要运用反证法，由题意先假设三角形的三个角都小于60°成立．然后推出不成立．得出选项．【解答】解：设三角形的三个角分别为：a，b，c．假设，a＜60°，b＜60°，c＜60°，则a+b+c＜60°+60°+60°，即，a+b+c＜180°与三角形内角和定理a+b+c＝180°矛盾．所以假设不成立，即三角形中至少有一个角不小于60°．故选：B．【点评】此题考查的知识点是反证法，解答此题的关键是由已知三角形中至少有一个角不小于60°假设都小于60°进行论证．5．下面算式中，每个汉字代表0，l，2，…，9中的一个数字，不同的汉字代表不同的数字．算式中的乘数应是（）A．2B．3C．4D．≥5【分析】对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．【解答】解：假设：“好”≥5，则“客”＝1，故“好“＝7或9．若“好”＝7，则“居“＝3，引出矛盾；假设：“好“＝9，则“居’’＝9，引出矛盾．故“好’’≤4．显然“好“≠1；假设：“好”＝2，则“客”≤4，只有“客“＝4，从而“居”＝7，引出矛盾；假设：“好”＝3，则“客“≤2，但若“客”＝1，则“居”＝7，引出矛盾；假设：“客“＝2，则“居“＝4，引出矛盾．故只有“好”＝4．故选：C．【点评】本题考查了用反证法证明命题的正确性，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．6．如图所示，∠MON＝45°，点P为∠MON内一点，点P关于OM、ON对称的对称点分别为点P1、P2，连接OP、OP1、OP2、PP1、PP2、P1P2，P1P2分别与OM、ON交于点A、B，连接AP，BP，则∠APB的度数为（）A．45°B．90°C．135°D．150°【分析】依据轴对称的性质，即可得到∠APO＝∠AP1O，∠AOP＝∠AOP1，∠BPO＝∠BP2O，∠BOP＝∠BOP2，进而得出∠OP1P2+∠OP2P1＝90°，再根据∠APB＝∠APO+∠BPO＝∠AP1O+∠BP2O，即可得出结论．【解答】解：由轴对称可得，OP＝OP1、AP＝AP1，而AO＝AO，∴△AOP≌△AOP1（SSS），∴∠APO＝∠AP1O，∠AOP＝∠AOP1，同理可得，∠BPO＝∠BP2O，∠BOP＝∠BOP2，∴∠P1OP2＝2∠AOB＝90°，∴∠OP1P2+∠OP2P1＝90°，∴∠APB＝∠APO+∠BPO＝∠AP1O+∠BP2O＝90°，故选：B．【点评】本题主要考查了轴对称的性质，轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．7．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，若∠BAD ＝α，则∠ACB的度数为（）A．45°B．α﹣45°C．αD．90°﹣α【分析】连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，依据∠BAC＝∠B'AC，∠DAE＝∠B'AE，即可得出∠CAE＝∠BAD＝，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到∠ACB＝∠ACB'＝90°﹣．【解答】解：如图，连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，∴AC垂直平分BB'，∴AB＝AB'，∴∠BAC＝∠B'AC，∵AB＝AD，∴AD＝AB'，又∵AE⊥CD，∴∠DAE＝∠B'AE，∴∠CAE＝∠BAD＝，又∵∠AEB'＝∠AOB'＝90°，∴四边形AOB'E中，∠EB'O＝180°﹣，∴∠ACB'＝∠EB'O﹣∠COB'＝180°﹣﹣90°＝90°﹣，∴∠ACB＝∠ACB'＝90°﹣，故选：D．【点评】本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形AOB'E，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．8．以下是几种垃圾分类的图标，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念判断．【解答】解：A、不是轴对称图形；B、是轴对称图形；C、不是轴对称图形；D、不是轴对称图形；故选：B．【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．9．下列图形中轴对称图形是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．【解答】解：A、不是轴对称图形；B、不是轴对称图形；C、是轴对称图形；D、不是轴对称图形；故选：C．【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．10．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）A．140°B．100°C．50°D．40°【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周长＝P1P2，然后得到等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，即可得出∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°．【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，PN＝P2N，则△PMN的周长的最小值＝P1P2，∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°，∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°，故选：B．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正确正确作出辅助线，得到等腰△OP1P2中∠OP1P2+∠OP2P1＝100°是关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．二．填空题（共8小题）11．如果两个直角三角形的两条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等．【分析】直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，添加条件AC＝DE，BC＝EF，根据SAS推出两三角形全等即可．【解答】解：如图所示∵在Rt△ACB和Rt△DEF中，∴Rt△ACB≌Rt△DEF（SAS）．故答案为：两条直角边．【点评】本题考查了直角三角形全等的判定，注意：直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，此题是一道开放性的题目，答案不唯一．12．已知，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，P为直线BC上一点，BP＝AB，则∠APB的度数为75°或15°．【分析】首先根据题意画出图形，然后利用等腰三角形的性质求解即可求得答案，注意分为点P在边BC上或在CB的延长线上．【解答】解：如图1，∵在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵BP＝AB，∴∠APB＝＝75°；如图2，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠C＝30°，∵BP＝AB，∴∠APB＝∠ABC＝15°．综上所述：∠APB的度数为75°或15°．故答案为：75°或15°．【点评】此题考查了等腰三角形的性质．注意结合题意画出图形，利用图形求解是关键．13．用反证法证明“两条直线相交，只能有一个交点”，应假设两条直线相交，有两个或两个以上交点．【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答．【解答】解：用反证法证明“两条直线相交，只能有一个交点”，应假设两条直线相交，有两个或两个以上交点，故答案为：两条直线相交，有两个或两个以上交点．【点评】本题结合直线的位置关系考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．14．用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”，应当先假设这个三角形中三角形中每一个内角都小于60°．【分析】反证法的第一步是假设命题的结论不成立，据此可以得到答案．【解答】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都小于60°．故答案为：三角形中每一个内角都小于60°．【点评】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．15．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，点C关于BD的对称点E恰好落在AD上，若∠BDC ＝α，则∠ABC的度数为180°﹣2α（用含a的代数式表示）．【分析】依据轴对称的性质，即可得出△BCD≌△BED，∠A＝∠AEB，再根据四边形ABCD 中，∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC＝2∠BDC＝2α，即可得到∠ABC＝180°﹣2α．【解答】解：如图所示，连接BE，∵点C关于BD的对称点E恰好落在AD上，∴BC＝BE＝AB，DE＝DC，∴△BCD≌△BED，∠A＝∠AEB，∴∠BCD＝∠BED，又∵∠BED+∠AEB＝180°，∴∠A+∠BCD＝180°，∴四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，又∵∠ADC＝2∠BDC＝2α，∴∠ABC＝180°﹣2α，故答案为：180°﹣2α．【点评】本题主要考查了轴对称的性质以及四边形内角和的运用，如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．16．已知∠AOB＝45°，点P在∠AOB内部，点P1与点P关于OA对称，点P2与点P关于OB对称，连接P1P2交OA、OB于E、F，若P1E＝，OP＝，则EF的长度是．【分析】由P，P1关于直线OA对称，P、P2关于直线OB对称，推出OP＝OP1＝OP2，∠AOP＝∠AOP1，∠BOP＝∠BOP2，推出∠P1OP2＝90°，由此即可判断△P1OP2是等腰直角三角形，由轴对称可得，∠OPE＝∠OP1E＝45°，∠OPF＝∠OP2F＝45°，进而得出∠EPF＝90°，最后依据勾股定理列方程，即可得到EF的长度．【解答】解：∵P，P1关于直线OA对称，P、P2关于直线OB对称，∴OP＝OP1＝OP2＝，∠AOP＝∠AOP1，∠BOP＝∠BOP2，∵∠AOB＝45°，∴∠P1OP2＝2∠AOP+2∠BOP＝2（∠AOP+∠BOP）＝90°，∴△P1OP2是等腰直角三角形，∴P1P2＝＝2，设EF＝x，∵P1E＝＝PE，∴PF＝P2F＝﹣x，由轴对称可得，∠OPE＝∠OP1E＝45°，∠OPF＝∠OP2F＝45°，∴∠EPF＝90°，∴PE2+PF2＝EF2，即（）2+（﹣x）2＝x2，解得x＝．故答案为：．【点评】本题考查轴对称的性质、等腰直角三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用对称的性质解决问题，依据勾股定理列方程求解．17．写出一个成轴对称图形的大写英文字母：A、B、D、E中的任一个均可．【分析】根据轴对称图形的概念，分析得出可以看成轴对称图形的字母．【解答】解：大写字母是轴对称的有：A、B、D、E等．故答案可为：A、B、D、E中的任一个均可．【点评】此题考查了轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，难度一般．18．下列说法中，正确的有②③④（把所有正确的答案都写上）①圆、线段、角、梯形、平行四边形都是轴对称图形；②若两图形成轴对称，则对称轴两侧的对应点所连成的线段被对称轴垂直平分；③如果三角形中有两边上的高相等，则这个三角形一定是等腰三角形；④等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行；⑤等腰三角形的一个内角为80°，则另外两个内角必然都是50°．【分析】根据轴对称图形的定义判断①②；根据等腰三角形的判定判断③；根据平行线的判定判断④；根据等腰三角形线段的性质判断⑤．【解答】解：①梯形、平行四边形不是轴对称图形，故本项错误；②若两图形成轴对称，则对称轴两侧的对应点所连成的线段被对称轴垂直平分，本项正确；③如果三角形中有两边上的高相等，则这个三角形一定是等腰三角形，本项正确；④等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行，本项正确；⑤等腰三角形的一个内角为80°，则另外两个内角为50°，50°或80°，20°，故本项错误，故答案为：②③④．【点评】本题主要考查了轴对称图形的定义、等腰三角形的判定、平行线的判定、等腰三角形线段的性质．熟练掌握定理及性质是解题的关键．三．解答题（共8小题）19．如图：AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，EF过点C，BE⊥EF于E，DF⊥EF于F，BE＝DF．求证：Rt△BCE≌Rt△DCF．【分析】连接BD，根据等腰三角形的性质和判定，求出BC＝DC，根据直角三角形全等的判定定理HL推出两三角形全等即可．【解答】证明：连接BD，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠CBD＝∠CDB，∴BC＝DC，∵BE⊥EF，DF⊥EF，∴∠E＝∠F＝90°，在Rt△BCE和Rt△DCF中，∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，直角三角形全等的判定的应用，主要培养学生运用定理进行推理的能力，题型较好，难度适中．20．综合与实践：问题情境：已知在△ABC中，∠BAC＝100°，∠ABC＝∠ACB，点D为直线BC上的动点（不与点B，C重合），点E在直线AC上，且AE＝AD，设∠DAC＝n．（1）如图1，若点D在BC边上，当n＝36°时，求∠BAD和∠CDE的度数；拓广探索：（2）如图2，当点D运动到点B的左侧时，其他条件不变，试猜想∠BAD和∠CDE的数量关系，并说明理由；（3）当点D运动点C的右侧时，其他条件不变，请直接写出∠BAD和∠CDE的数量关系．【分析】（1）如图1，将∠BAC＝100°，∠DAC＝36°代入∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC，求出∠BAD．在△ABC中利用三角形内角和定理求出∠ABC＝∠ACB＝40°，根据三角形外角的性质得出∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝104°，在△ADE中利用三角形内角和定理求出∠ADE＝∠AED＝72°，那么∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝32°；（2）如图2，在△ABC和△ADE中利用三角形内角和定理求出∠ABC＝∠ACB＝40°，∠ADE＝∠AED＝．根据三角形外角的性质得出∠CDE＝∠ACB﹣∠AED＝，再由∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC得到∠BAD＝n﹣100°，从而得出结论∠BAD ＝2∠CDE；（3）如图3，在△ABC和△ADE中利用三角形内角和定理求出∠ABC＝∠ACB＝40°，∠ADE＝∠AED＝．根据三角形外角的性质得出∠CDE＝∠ACD﹣∠AED＝，再由∠BAD＝∠BAC+∠DAC得到∠BAD＝100°+n，从而得出结论∠BAD＝2∠CDE．【解答】解：（1）∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝100°﹣36°＝64°．∵在△ABC中，∠BAC＝100°，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB＝40°，∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝40°+64°＝104°．∵AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED．∵∠DAC＝36°，∴∠ADE＝∠AED＝72°．∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝104°﹣72°＝32°．（2）∠BAD＝2∠CDE．理由如下：在△ABC中，∠BAC＝100°，∴∠ABC＝∠ACB＝40°．在△ADE中，∠DAC＝n，∴．∵∠ACB＝∠CDE+∠E，∴＝．∵∠BAC＝100°，∠DAC＝n，∴∠BAD＝n﹣100°．∴∠BAD＝2∠CDE．（3）∠BAD＝2∠CDE，理由如下：如图③，在△ABC中，∠BAC＝100°，∴∠ABC＝∠ACB＝40°，∴∠ACD＝140°．在△ADE中，∠DAC＝n，∴∠ADE＝∠AED＝．∵∠ACD＝∠CDE+∠AED，∴∠CDE＝∠ACD﹣∠AED＝140°﹣＝，∵∠BAC＝100°，∠DAC＝n，∴∠BAD＝100°+n，∴∠BAD＝2∠CDE．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，从图形中得出相关角度之间的关系是解题的关键．21．如图，已知AB∥CD，CD⊥EF，垂足为N，AB与EF交于点M，求证：AB⊥EF．（用反证法证明）【分析】根据反证法的一般步骤，假设AB与EF不垂直，根据平行线的性质证明∠CNE ≠90°，与已知相矛盾，从而肯定原命题的结论正确．【解答】证明：假设AB与EF不垂直，则∠AME≠90°，∵AB∥CD，∴∠AME＝∠CNE，∴∠CNE≠90°，这与CD⊥EF相矛盾，∴AB⊥EF．【点评】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．22．用反证法证明：如果x＞，那么x2+2x﹣1≠0．【分析】假设x2+2x﹣1＝0，根据一元二次方程的解法解出方程，证明方程的两个根小于即可．【解答】解：假设x2+2x﹣1＝0，x＝，x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，∵2，∴，∴﹣1+，∴x1＜，易得x2＜，这与已知相矛盾，∴假设不成立，∴如果x＞，那么x2+2x﹣1≠0．【点评】本题考查的是反证法的应用，反证法的步骤是：假设结论不成立；从假设出发推出矛盾；假设不成立，则结论成立．23．等边三角形有3条对称轴．【分析】轴对称就是一个图形的一部分，沿着一条直线对折，能够和另一部分重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，依据定义即可求解．【解答】解：等边三角形有3条对称轴．故答案为：3【点评】本题考查了轴对称的性质，正确理解轴对称图形的定义是解决本题的关键，是一个基础题．24．图中有阴影的三角形与哪些三角形成轴对称？整个图形是轴对称图形吗？它共有几条对称轴？【分析】根据轴对称、轴对称图形的概念以及对称轴的概念进行解答即可．【解答】解：图中有阴影的三角形与三角形1、3成轴对称，整个图形是轴对称图形，它共有2条对称轴．【点评】本题考查的是轴对称和轴对称图形的概念，掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．25．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上，点E在BC边上，且点E在小正方形的顶点上，连接AE．（1）在图中画出△AEF，使△AEF与△AEB关于直线AE对称，点F与点B是对称点，并求出BF的长；（2）△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积为6．【分析】（1）根据轴对称的性质确定出点B关于AE的对称点F即可；（2）即DC与EF的交点为G，由四边形ADGE的面积＝平行四边形ADCE的面积﹣△ECG的面积求解即可．【解答】解：（1）如图1所示：在Rt△BEF中，由勾股定理得：BF＝＝＝6．（2）如图2所示：重叠部分的面积＝S ADEC﹣S△GEC＝×（2+2）×4﹣＝8﹣2＝6．故答案为：6．是解题的【点评】本题主要考查的是轴对称变换，重叠部分的面积转化为S ADEC﹣S△GEC 关键．26．如图，一个牧童在距小河边1千米的点A处牧马，而牧童家在河边同侧且距河边7千米的点B处，已知点A与点B的直线距离是10千米．他想先把马牵到河边去饮水，然后再回家，求他要完成这件事情所走的最短路程是多少千米．（精确到0.1千米，参考数据：≈1.41，≈1.73）【分析】根据对称性，作点A关于小河l的对称点A′，连接A′B，则A′B的长度就是牧童完成这件事情所走的最短路线．【解答】解：过点A作点A关于小河l的对称点A′，连接A′B，与小河l交于点P，点P就是马饮水的地方．则A′B的长度就是牧童完成这件事情所走的最短路线．过点A、A′分别作l的平行线与过点B作的l的垂线分别相交于M、N两点，如图所示：在Rt△ABM中，AB＝10，BM＝6，∴AM＝8，在Rt△BNA′中，A′N＝AM＝8，BN＝BM+MN＝6+2＝8，∴A′B＝＝8≈11.3．答：他要完成这件事情所走的最短路程是11.3千米．【点评】本题考查了最短路线问题、近似数和有效数字，解决本题的关键是掌握轴对称性质．。

浙教版八年级数学上《第2章特殊三角形》单元测试含答案

第2章特殊三角形一、选择题1．若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°2．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（）A．35° B．45° C．55° D．60°3．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（）A．35° B．40° C．45° D．50°4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）A．15° B．17.5°C．20° D．22.5°5．若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（）A．12 B．9 C．12或9 D．9或76．若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为（）A．9 B．12 C．7或9 D．9或127．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（）A．8或10 B．8 C．10 D．6或128．如图，C，D分别是线段AB，AC的中点，分别以点C，D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，测量∠AMB的度数，结果为（）A．80° B．90° C．100°D．105°9．如图，△ABC、△ADE中，C、D两点分别在AE、AB上，BC与DE相交于F点．若BD=CD=CE，∠ADC+∠ACD=114°，则∠DFC的度数为何？（）A．114 B．123 C．132 D．14710．已知等腰△ABC的两边长分别为2和3，则等腰△ABC的周长为（）A．7 B．8 C．6或8 D．7或811．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A．17 B．15 C．13 D．13或1712．如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，则∠C的度数为（）A．30° B．40° C．45° D．60°13．已知等腰三角形△ABC中，腰AB=8，底BC=5，则这个三角形的周长为（）A．21 B．20 C．19 D．1814．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD=（）A．30° B．45° C．60° D．90°15．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（）A．40° B．45° C．60° D．70°16．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（）A．11 B．16 C．17 D．16或1717．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（）A．36° B．54° C．18° D．64°18．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为（）A．36° B．60° C．72° D．108°19．如图，在五边形ABCDE中，AB=AC=AD=AE，且AB∥ED，∠EAB=120°，则∠DCB=（）A．150°B．160°C．130°D．60°20．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题21．等腰三角形的一个外角是60°，则它的顶角的度数是______．22．如图，△ABC 中，D 是BC 上一点，AC=AD=DB ，∠BAC=102°，则∠ADC=______度．23．如图，a ∥b ，∠ABC=50°，若△ABC 是等腰三角形，则∠α=______°（填一个即可）24．一个等腰三角形的两边长分别是2cm 、5cm ，则它的周长为______cm ．25．若等腰三角形的两条边长分别为7cm 和14cm ，则它的周长为______cm ．26．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是______．27．如图，∠BOC=9°，点A 在OB 上，且OA=1，按下列要求画图：以A 为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 1，得第1条线段AA 1；再以A 1为圆心，1为半径向右画弧交OB 于点A 2，得第2条线段A 1A 2；再以A 2为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 3，得第3条线段A 2A 3；…这样画下去，直到得第n 条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=______．第2章特殊三角形参考答案一、选择题1．D；2．C；3．A；4．A；5．A；6．B；7．C；8．B；9．B；10．D；11．A；12．B；13．A；14．B；15．A；16．D；17．B；18．C；19．A；20．A；二、填空题21．120°；22．52；23．130；24．12；25．35；26．110°或70°；27．9；。

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第2章特殊三角形单元测试题
一、填空题（每小题3分，共24分）
1．等腰三角形一边长为1cm ，另一边长为5cm ，它的周长是_____cm ． 2．在Rt △ABC 中，∠C=Rt ∠，∠A=70°，则∠B=_______．
3．△ABC 为等腰直角三角形，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 边上的中点，则图中共有_____个等腰直角三角形．
4．现用火柴棒摆一个直角三角形，两直角边分别用了7根、24根长度相同的火柴棒，则斜边需要用______根． 5. 等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则其底边上的高为______.
6. 在等腰三角形中，设底角为x °，顶角为y °，则用含x 的代数式表示y ，得y= .
7．如图，在△ABC 中，∠C=902，AD 平分∠BAC ，BC=10㎝，BD=6㎝，则D 点到AB 的距离为________． 8．如图，已知：在△ABC 中，AB=AC ，∠B=700，BD=CF ，则∠EDF= 2。

二、选择题(24分)
9．下列图形中，不是轴对称图形的是（）
A 线段
B 角
C 等腰三角形
D 直角三角形 10．等腰三角形的一个顶角为40º，则它的底角为（）
A 100º
B 40º
C 70º
D 70º或40º 11．下列判断正确的是（）
A 顶角相等的的两个等腰三角形全等
B 腰相等的两个等腰三角形全等
C 有一边及一锐角相等的两个直角三角形全等
D 顶角和底边分别相等的两个等腰三角形全等 12．已知一个三角形的周长为15cm ，且其中两边长都等于第三边的2倍，那么这个三角形的最短边为（）
A 1cm
B 2cm
C 3cm
D 4cm
13．如图所示，△ABC 中， AB=AC ，过AC 上一点作DE ⊥AC ，EF ⊥BC ，若∠BDE=140°，则∠DEF=（）
A 55°
B 60°
C 65°
D 70°
14．如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF ），左边滑梯的高度AC•与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，则∠ABC+∠DFE 的度数为（）
A 600
B 900
C 1200 C 不确定
15．如图，CD 是ABC Rt ∆斜边AB 上的高，将∆BCD 沿CD 折叠，B 点恰好落在AB 的中
点E 处，则∠A 等于（） A 、25
B 、30
C 、45
D 、60
16．在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)。

已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3
，正放置的四个正
B
A D
C
E
方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4等于（）
A 4
B 5
C 6
D 14
三、解答题:(本题有5小题，共52分)
17．已知：如图∠B=∠E=90°AC=DF FB=EC ，则AB=DE.请说明理由。

18．如图，AD ∥BC ，∠A=90°，E 是AB 上一点，∠1=∠2，AE=BC 。

请你说明∠DEC=90°的理由。

19．如图，已知：在等边三角形ABC 中，D 、E 分别在AB 和AC 上，且AD=CE ，BE 和CD 相交于点P 。

（1）说明△AD ≌△CEB
（2）求：∠BPC 的度数.
20．如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB 为直角，已知滑杆AB 长2.5米，顶端A 在AC 上运动，量得滑杆下端B 距C 点的距离为1.5米，当端点B 向右移动0.5米时，求滑杆顶端A 下滑多少米？
21、如图所示，已知△ABC 中，AB=6，AC=9，AD ⊥BC 于D ，M 为AD 上任一点，则求MC 2-MB 2•
l
3
2
1
S 4
S 3
S 2
S
1
B
A D C
M。