第一章有理数补课学案

第一章有理数1.1正数和负数【教学内容】1.了解正数和负数是怎样产生的，什么是相反意义的量；2.知道什么是正数和负数；3.理解数0表示的量的意义；4.有理数的概念及分类．【知识要点】1.负数产生的原因：⑴生活和生产的需要，对实际生活中出现的相反意义的量，如卖出与买入.盈利与亏损.上升与下降.增加与减少.前进与后退等，无法用自然数表示，为了解决这些问题人们引进了负数；⑵数学本身的需要，如对较小的数减去较大的数的问题的解决，需要引进负数．2.像3，2，1.8%这样的数叫做正数；3.像－3，－2，－2.7%这样在前面加上的数叫做负数．4.数0既不是，也不是 .5.0和正数称为，0和负数称为 .【考点分析】数是数学知识的基础，也是其他学科的工具，在近年来各地的中考试题中经常出现．全国大多数省市中考试题对数的概念单独命题，试题难度为低.中档次，题量约占总量的1%，题型以填空题.选择题居多．【典型例题】例1：下列各数哪些是正数，哪些是负数？例2：用正数和负数表示下列具有相反意义的量．（1）温度上升3℃和下降5℃；（2）盈利5万元和亏损8千元；（3）向东10米和向西6米；（4）运进50箱和运出100箱．例3：给出一对数＋2和－3，请赋予它们实际的意义．例其中气温最低的城市是（）A.北京B.武汉C.广州D.哈尔滨例5：某化肥厂生产的颗粒磷肥外包装袋上标有净重：50〒0.5kg，请你说说这是什么意思？例6：下列说法正确的是（）A.整数.分数和负数统称为有理数B.有理数包括正数和负数C.正整数都是整数.整数都是正整数D.0是整数，也是自然数【模拟试题】（答题时间：50分钟） 一.选择题1.有五个数为41,31,5,0,213--其中正数的个数是（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.2008年12月某日我国部分城市的平均气温情况如下表（记温度零上为正，A.广州 3.正整数集合和负整数集合合在一起，构成数的集合是（ ） A.整数集合B.有理数集合C.自然数集合D.非零整数集合4.规定正常水位为0m ，高于正常水位0.5m 时，记作＋0.5米，下列说法错误的是（ ）A.高于正常水位1.5m 记作+1.5mB.低于正常水位1.5m 记作-1.5mC.-1m 表示比正常水位低1mD.+2m 表示比正常水位低2m5.如果收入200元记作＋200元，那么支出150元记作（ ） A.+150元 B.-150元 C.+50元 D.-50元6.文具店.书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边20m 处，玩具店位于书店东边100m 处，小明从书店沿街向东走了40m ，接着又向东走了－60m ，此时小明的位置在（ ） A.文具店 B.玩具店 C.文具店西边20m D.玩具店东边－60m7.下面是关于有理数的叙述：①有理数分为正有理数和负有理数两部分； ②有理数分为整数和分数两部分； ③有理数分为正数.负数和零三部分；④有理数分为正分数.负分数.正整数.负整数和零五部分； ⑤有理数分为正整数.负整数和零三部分． 其中正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.一天早晨气温是－7℃，中午的气温比早晨上升了11℃，中午的气温是（ ） A.11℃ B.4℃ C.18℃ D.－11℃ 二.填空题9.如果把顺时针转60°记作＋60°，那么逆时针转30°记作 ． 10.在电视上看到的天气预报中，绵阳王朗国家级自然保护区某天的气温为 “-5℃”，表示的意思是 ．11.孔子诞生在公元前551年9月28日，则2007年9月28日是孔子诞辰 周年．（注：不存在公元0年） 12.把下列各数分别填入相应的括号：（1）整数集：｛ …｝； （2）正整数集：｛ …｝； （3）负整数集：｛ …｝； （4）分数集：｛ …｝； （5）正分数集：｛ …｝； （6）负分数集：｛ …｝； （7）有理数集：｛ …｝； （8）正有理数集：｛ …｝； （9）负有理数集：｛ …｝； 三.解答题13.工商部门抽查了一些500g 包装的白糖，检查的记录如下：10，－15，13，－20，－18，15，－31，24，－25，－5，－14，－9． 你估计这里的正.负数表示什么？从这些数据中，你能获得哪些信息？14.用正.负数表示下面各组具有相反意义的量，并指出它们的分界点． （1）零上10℃与零下5℃；（2）高出海平面100m 与低于海平面200m ； （3）收入8元，支出6元．15.观察下列各数，找出规律后填空：（1）－1，2，－4，8，－16，32，……，第10个数是__________． （2）1，－3，5，－7，…，第15个数是__________．（3）1，－4，7，－10，13，…，第100个数是__________．1.2有理数【教学内容】1. 有理数2. 数轴.相反数3. 绝对值【知识要点】1.有理数的概念和分类和统称为有理数.按照数的性质整数可以分为 . 和 . 分数可以分为和 .2.数轴定义：规定了 . 和的直线叫做数轴.3.相反数定义：只有不同的两个数叫做互为相反数，0的相反数是，如2的相反数是，a的相反数为 .相反数的性质：正数的相反数为，负数的相反数为，0的相反数为 .互为相反数的两数之和为，即若a和b互为相反数，则，反之亦然.相反数的几何意义：互为相反数的两数在数轴上的对应点到的距离且位于原点的两侧.多重符号的化简： .如-（-2）= ，-（+2）= .4.绝对值定义：数轴上表示数a的点到叫做a的绝对值.记作 .性质：①正数的绝对值是，负数的绝对值为它的，0的绝对值为 .②绝对值为它本身的数为 .绝对值等于它的相反数的数为 .③互为相反数的两个数的绝对值，即若a+b=0，则 .④绝对值具有非负性，可表示为 .5.有理数的大小比较⑴利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的有理数，左边的数右边的数.⑵利用绝对值比较数的大小正数 0和负数，0 负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而 . 【考点分析】1.有理数的有关概念是中考的一大热点，常以选择题.填空题的形式出现；2.利用数轴比较大小，相反数的概念，是近几年的中考热点，一般多是与绝对值等内容综合考查，常以选择题.填空题的形式出现；3.绝对值的中考考点有三个：求一个数或一个整式的绝对值；绝对值非负性的应用；比较有理数的大小，中考命题时形式多样，既有填空题又有选择题，有时出现解答题.【典例精析】例1：把下列各数填在相应的大括号里：-1，39-，0，+3.6，-17%，3.142，119，-0.088，2008，-506 整数集合：{ …} 分数集合：{ …} 负整数集合：{ …} 正分数集合：{ …} 负有理数集合：{ …} 正有理数集合：{ …} 例2：在数轴上表示下列各数，并用“＜”号把它们连接起来：-3，32-，0，1，＋4.5，-1.5，311例3：已知︱x-3︱+︱4-y︱=0，求x，y的值.例4：某检修小组乘汽车沿一条东西方向的公路检修线路，如果规定向东为正，向西为负，某天从 A 地出发，到收工时所走的路线（单位：千米）如下：+10，-5，+4，-9，+8，-12，-8（1）收工时检修组在A地何处？（2）若汽车每千米耗油0.2升，到收工时共耗油多少升？【模拟试题】（答题时间：60分钟，满分100分） 一.填空题（每题4分，共32分）1. 把下列各数分别填入相应的括号内：+3，-5，21+，-0.09，０，-70，3.36，87- 正分数（ ）负分数（ ）负整数（ ） 整数（ ）正有理数（ ）2. 用“＞”..“＜”或“＝”填空：⑴21- 31- ⑵-（-3） ︱－3︱ ⑶0 -（+5）3. 数轴上距原点距离是4个单位的点表示的数是 .4. 绝对值不大于3的整数有 个，它们的和是 .5. 绝对值最小的有理数是 ，最大的负整数是6. 若｜x-6｜+｜y-2｜＝0，则yx ＝ .7. 若｜m ｜=m ，则m 0，若｜m ｜=-m ，则m 0，8. 已知一个数的相反数是-2.5的绝对值，则这个数是 .二.选择题（每题4分，共24分） 9. 一个有理数的绝对值是（ ） A. 正数 B. 负数 C. 非正数 D. 非负数 10. 下面结论中错误的是（ ） A. ０是整数但不是正数 B. 正分数都是正有理数 C. 整数和分数统称为有理数 D. 有理数中除了正数就是负数 11. 下列两数中互为相反数的是（ ） A. 4和41 B. -0.3和31 C. -（-6）和-︱-6︱ D. 5和︱-5︱ 12. 数轴上，在表示数－3.5与2.5的两点之间，表示整数的点的个数是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 13. 若mm＝1，则m 是（ ） A. 正数或负数 B. 正数 C. 有理数 D. 正整数 14. 已知 ｜-x ｜＝20，｜y ｜＝5，则｜x ｜+y 的值是（ ）A. 15B. 25C. 15或-2 5D. 15或25 三 解答题（共44分）15.（6分）比较下列各组数的大小（1）-5与-6 （2）｜-3.1｜与｜2.9｜ （3）0与｜-3｜16.（8分）若｜x+4｜＋｜1-y ｜＝0，求x+y 的值.17.（10分）｜a ｜＝3，｜b ｜＝5，若a ，b 同号，求a ＋b 的值.18.（8分）有一天，甲乙两数在争比大小，甲抢着说，在数轴上表示的点到原点的距离，我的比你的大，看来我比你大；乙不甘示弱，接着说，我是正数，我大于0，也大于一切负数，当然我比你大，请你帮助评论一下，到底谁大？19.（12分）小蚂蚁从原点O 出发在一直线上爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，各段路程依次为（单位cm ） -40，+50，-43，+65，-29，+ 17（1）小蚂蚁最后是否回到出发点O ？ （2）小蚂蚁离开出发点O 最远是多少？（3）在爬行过程中，如果每爬行10mm 奖励一粒芝麻，则小蚂蚁一共得到多少粒芝麻？1.3有理数加减法【教学内容】1.理解有理数的加减法法则以及减法与加法的转换关系；2.会用有理数的加减法解决生活中的实际问题．3.有理数的加减混合运算．【知识要点】1.有理数加法的意义⑴在小学我们学过，把两个数合并成一个数的运算叫加法，数的范围扩大到有理数后，有理数的加法所表示的意义仍然是这种运算．⑵两个有理数相加有以下几种情况：①；②；③．⑶有理数的加法法则：同号两数相加，取的符号，并把相加．异号两数相加，绝对值不相等时，取的符号，并用减去．绝对值相等时和为；一个数同0相加，仍得．2.有理数加法的运算律⑴加法交换律：（用式子表示）；⑵加法结合律：（用式子表示）．3.有理数减法的意义⑴有理数的减法的意义与小学学过的减法的意义相同．已知两个加数的和与，求的运算，叫做减法．减法是加法的．⑵有理数的减法法则：减去一个数等于．4.有理数的加减混合运算对于加减混合运算，可以根据有理数的减法法则，将加减混合运算转化为有理数的运算，然后可以运用加法的简化运算.5.代数和：有理数的加减混合运算统一成运算后，省略和所得的算式.如（-20）+（-3）-（+5）-（-7）写成代数和是，读作或 . 【典型例题】例1：计算，直接写出结果.⑴（-2）+（-5）= ⑵（-6）+4 =⑶（-3）+0=⑷-3-（-5）=例2：计算（-20）+（-3）-（+5）-（-7）方法一：方法二：例3：有10名学生参加数学竞赛，以80分为标准，超过80分记为正，不足80分记为负，评分记录如下：+10，+15，-10，-9，-8，-1，+2，-3，-2，+1，问这10名同学的总分比标准超过或不足多少分？总分为多少？例4：已知︱a+5︱＝1，︱b-2︱＝3，求a-b的值．例5：依次排列4个数：2，11，8，9．对相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差排在这两个数之间得到一串新的数：2，9，11，-3，8，1，9．这称为一次操作，作二次操作后得到一串新的数：2，7，9，2，11，-14，-3，11，8，-7，1，8，9．这样下去，第100次操作后得到的一串数的和是（）A. 737B. 700C. 723D. 730 【模拟试题】（答题时间：45分钟） 一. 选择题1.一个数是3，另一个数比它的相反数大3，则这两个数的和为（ ） A. 3 B. 0 C. -3 D. 〒32.计算2-3的结果是（ ）A. 5B. -5C. 1D. -13.哈市4月份某天的最高气温是5℃，最低气温是－3℃，那么这天的温差（最高气温减最低气温）是（ ）A. -2℃B. 8℃C. -8℃D. 2℃ 4.下列说法中正确的是（ ）A. 若两个有理数的和为正数，则这两个数都为正数B. 若两个有理数的和为负数，则这两个数都为负数C. 若两个数的和为零，则这两个数都为零D. 数轴上右边的点所表示的数减去左边的点所表示的数的差是正数 5.如果x<0，y>0，且︱x ︱>︱y ︱，那么x ＋y 是（ ）A. 正数B. 负数C. 非正数D. 正、负不能确定 6.若两个有理数的差是正数，那么（ ）A. 被减数是负数，减数是正数B. 被减数和减数都是正数C. 被减数大于减数D. 被减数和减数不能同为负数 7.当x<0，y>0时，则x ，x+y ，x-y ，y 中最大的是（ ） A. x B. x+y C. x-y D. y8.计算()75.1321432323++⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-等于( )A.-1B.0C.1D.2 二. 填空题9.一个数是-2，另一个数比-2大-5，则这两个数的和是 ．10.已知两数之和是16，其中一个加数是－4，则另一个加数是 ． 11.数轴上到原点的距离不到5并且表示整数的只有 个，它们对应的数的和是 ．12.已知a 是绝对值最小的负整数，b 是最小正整数的相反数，c 是绝对值最小的有理数，则c+b-a ＝ ．13.将6-（+3）-（-7）+（-2）写成代数和的形式是 . 14.有依次排列的3个数：3，9，8，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，-1，8，这称为第一次操作；作第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，-10，-1，9，8，继续依次操作下去，则从数串3，9，8开始操作第一百次以后所产生的那个新数串的所有数之和是 ． 三. 解答题 15.计算：⑴33+（-32）+7-（-3） ⑵21-（+32）+（-31） ⑶532)2(1-----+16.甲、乙两队进行拔河比赛，标志物先向乙队方向移动了0.2m ，又向甲队方向移动了0.5m ，相持一会，又向乙队方向移动了0.4m,随后又向甲队方向移动了1.3m,在大家的欢呼鼓励中，标志物又向甲队方向移动了0.9m ，若规定标志物向某队移动2m 该队获胜，那么现在谁赢了？17.根据211211-=⨯，3121321-=⨯，4131431-=⨯，…计算201420131431321211⨯++⨯+⨯+⨯1.4有理数的乘除法【教学内容】1.有理数的乘法法则及符号法则；2.有理数的乘法运算律及其应用；3.有理数的除法法则，倒数的意义.【知识要点】1.有理数的乘法法则：两数相乘， ，并把相乘；任何数与0相乘，积为 .2.有理数的乘法符号法则：多个有理数相乘时积的符号由 决定，当负因数个数为奇数时，积为 ；当负因数个数为偶数时，积为 ，积的绝对值等于各个因数的 的积. 3.乘法运算律乘法交换律： （用式子表示）；乘法结合律： （用式子表示）；乘法分配律： （用式子表示）.4.有理数的除法法则：法则一：除以一个数等于乘以这个数的 ；法则二：两数相除， ，并把 相除；0除以任何不为0的数都得 .5.倒数： .如，-2的倒数是 ；212的倒数是 ；-1.25的倒数是 . 【考点分析】有理数乘除法是中考的必考内容，一般是融合在其他题目中考查，有时以填空，选择或简答题的形式出现.有理数乘除混合运算，还可以开放性、`探索性题目出现.【典型例题】例1：计算，直接写出结果.⑴5〓（-4）= ⑵（-4）〓（-9）=⑶（-0.6）〓（-5）= ⑷73〔⎪⎭⎫ ⎝⎛-721=例2：计算：⑴（-4）〓9〓（-2.5） ⑵（613141-+）〓（-48）⑶()4.045531411-⨯⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛- ⑷（-16）〔5〓51⑸()521438716-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯- ⑹⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-171317例3：某超市推出如下优惠方案：⑴一次性购物不超过100元，不享受优惠；⑵一次性购物超过100元，但不超过300元一律九折；⑶一次性购物超过300元一律八折；某人两次购物分别付款80元，252元，如果他将这两次所购商品一次性购买，则应付款多少元？【模拟试题】（答题时间：60分钟，满分100分） 一. 选择题（每题4分，共20分） 1.-3的倒数是（ ）A.31-B.31C.-3D.3 2.如果b a +<0，ab＞0，则下列结论成立的是（ ）A.0,0>>b aB. 0,0<<b aC.0,0><b aD. 0,0<>b a3.下列说法错误的是（ ）A. 小于-1的数的倒数大于其本身；B. 大于1的数的倒数小于其本身C. 一个数的倒数不可能等于它本身D.（m －n ）（其中m ≠n ）的倒数是nm -14.下列说法不正确的是（ ）A. 一个数与它的倒数之积是1B. 两个数的积为1，这两个数互为倒数C. 一个数与它的相反数之商是1D. 两数之商为-1，这两个数互为相反数5.已知abc ＜0，a ＞c ，ac ＜0，则下列结论正确的是：（ ） A. a ＜0，b ＜0，c ＞0 B. a ＞0，b ＞0，c ＜0 C. a ＜0，b ＜0，c ＜0 D. a ＞0，b ＞0，c ＞0 二. 填空题（每题6分，共60分）6.31-= ，31-的相反数为 ，倒数等于本身的数为 .7.化简：=--621 ；=--1025 ；=-2014. 8.如果a 与1互为相反数，那么2+a = .9.在数轴上距表示-1的点三个单位长度的点表示的数是 .10.()⎪⎭⎫⎝⎛-÷-21316= .三.解答题（20分） 11.计算⑴（92-）〓211〔31〔（-0.5） ⑵53143316167÷⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯12.若a,b 互为相反数，且a ≠0,c,d 互为倒数，|m|＝3，求abmcd m b a +++ 的值.13.已知︱x ︱＝4，︱y ︱＝21，且xy ＞0，求yx-的值.1.5有理数的乘方【教学内容】1.乘方的意义，会用乘法的符号法则进行乘方运算；2.会用科学记数法表示较大的数，理解近似数和有效数字表示的意义；3.了解科学记数法在实际生活中的作用。